5Função logaritmica

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Prof. Jorge
Logarítmos
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Definição
 Suponhamos dois reais positivos a e b (a ≠ 1).
Se ax = b, dizemos que x é o logarítmo de b na
base a (simbolicamente loga b = x).
loga b = x ⇔ a
x = b
 a é a base;
 b é o logaritmando ou antilogaritmo;
 x é o logarítmo;
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 log5 √25 = 2/3, porque 5
2/3 = √25
Exemplos
 log2 32 = 5, porque 2
5 = 32
 log3 (1/81) = –4, porque 3
–4 = 1/81
 log10 0,001 = –3, porque 10
–3 = 0,001
3 3 
De acordo com a definição, calcular um logarítmo
é descobrir o expoente, ou seja, resolver uma
equação exponencial.
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Exemplos
 Calcular log4 8.
log4 8 = x ⇒ 4
x = 8 ⇒ (22)x = 23
⇒ 22x = 23 ⇒ x = 3/2
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Exemplos
 Calcular log1/3 √9.
5 
log1/3 √9 = x
5 
⇒
1
3
x 
= √9
5 
⇒ (3–1)x = 32/5 ⇒ 3–x = 32/5
⇒ –x = 2/5
⇒ x = –2/5
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Condição de existência do logaritmo
 Da definição, concluímos que o logarítmo só
existe sob certas condições:
loga b = x ⇔
b > 0
a > 0
a ≠ 1
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Condição de existência
 Analise quais seriam os significados de log2 (–4),
log(–2) 8, log7 0, log1 6 e log0 2, caso fossem
definidos.
log2 (–4) = x ⇒ 2
x = –4 impossível
log–2 8 = x ⇒ (–2)
x = 8 impossível
log7 0 = x ⇒ 7
x = 0 impossível
log1 6 = x ⇒ 1
x = 6 impossível
log0 2 = x ⇒ 0
x = 2 impossível
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Exemplos
 Resolver a equação logx (2x + 8) = 2.
Usando a definição de logarítmo.
logx (2x + 8) = 2 ⇒ x
2 = 2x + 8 ⇒ x2 – 2x – 8 = 0
⇒ x = –2 ou x = 4. ⇒ S = {4}
Gráficos da função Logarítmica
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Conseqüências 
da definição
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Conseqüências da definição
 Admitindo-se válidas as condições de existência
dos logarítmos, temos os seguintes casos
especiais, que são conseqüências da definição.
loga 1 = 0
loga a = 1
loga a
k = k
porque a0 = 1
porque a1 = a
porque ak = ak
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Exemplos
 log3 3 = log10 10 = log3,7 3,7 = 1
 log3 1 = log10 1 = log3,7 1 = 0
 log3 3
9 = 9
 log10 10
–3 = –3
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Conseqüências da definição
 Sabemos que loga k é o expoente ao qual se
deve elevar a base a para se obter k. Vale por
isso, a seguinte igualdade:
loga k
a = k
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Exemplos
log5 3
 5 = 3
1 + log2 6
 2 = 21.2
log2 6
= 2.6 = 12
log3 5
 9 = (32)
log3 5
3
log3 5
2
= = 52 = 25
1 – log15 3
 15 =
log15 3
151
15
=
15
3
= 5
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Observação
 Chama-se co-logaritmo de a na base b (em
símbolos, cologb a) o oposto do logarítmo de a
na base b.
cologb a = – logb a
 colog2 8 = – log2 8 = –3 
 colog3 (1/9) = – log3 (1/9) = 2 
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Mudança de base
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Fórmula de mudança de base
 De modo geral, podemos calcular logba,
utilizando uma outra base k arbitrária. Para isso,
dividimos o logarítmo de a pelo logarítmo de b,
na base k escolhida.
logk a
logk b
Logb a = 
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Exemplos
 Sendo log2 = 0,3 e log3=0,4 , calcular log2 6 
(0,3+0,4) / 0,3  0,7/0,3  7/3
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Exemplos
 Resolver a equação 5x = 20, dados os logarítmos 
decimais log 5 = 0,699 e log 20 = 1,301.
5x = 20 ⇒ x = log5 20 
log10 20
log10 5
log5 20 = 
log 20
log 5
=
1,301
0,699
= = 1,861
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Exemplos
 Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcular log2 3.
log 3
log 2
log2 3 = 
0,48
0,30
=
1o. Vamos a fórmula de mudança de base.
= 1,6
Observe que, log2 3 = 1,6 ⇔ 2
1,6 = 3.
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Exemplos
 Escrevendo os logarítmos numa mesma base, 
obtenha o valor mais simples do produto
log2 7 . Log7 13 . Log13 2
log 7
log 2
.
1o. Vamos a fórmula de mudança de base.
log 13
log 7
. log 2
log 13
= 1
1
1
1
1
1
1
Exemplo
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Resolva a equação
Solução:
Mudar a base
resolvendo
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Propriedades dos 
logarítmos
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Propriedades dos logarítmos
 O logaritmo tem uma particularidade importante.
Ele transforma operações mais complicadas em
operações mais simples.
 Com as propriedades dos logaritmos podemos
transformar:
 multiplicações em adições;
 divisões em subtrações;
 potenciações em multiplicações;
 radiciações em divisões.
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Logarítmo do produto
 Vamos calcular o valor do log 21, a partir dos
valores de log 3 = 0,477 e log 7 = 0,845.
log 3 = 0,477 ⇒ 100,477 = 3
log 7 = 0,845 ⇒ 100,845 = 7
log 21 = x ⇒ 10x = 21
⇒ 10x = 3.7 ⇒ 10x = 100,477.100,845
⇒ x = 0,477 + 0,845 ⇒ x = 1,322 
⇒ 10x = 100,477 + 0,845
log 21 = log (3.7) = log 3 + log 7
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Logaritmo do produto
 De modo geral, o logaritmo do produto de dois
números, numa certa base, é a soma dos
logaritmos desses números, na mesma base.
Loga (x.y) = loga x + loga y
Para o produto de três ou mais fatores, a propriedade
continua válida.
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Exemplos
 A partir de log 2 = 0,301 e log 13 = 1,114,
calcular log 26 e log 2000.
 log 26 = log (2.13) = log 2 + log 13
log 26 = 0,301 + 1,114 = 1,415
 log 2000 = log (2.1000) = log 2 + log 1000
log 2000 = 0,301 + 3 = 3,301
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Exemplos
 Sendo x e y reais positivos, decompor log3 (9xy)
numa soma de logaritmos.
log3 (9xy) = log3 9 + log3 x + log3 y
log3 (9xy) = 2 + log3 x + log3 y
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Exemplos
 Transformar num único logaritmo e calcular o
valor da expressão log 4 + log 5 + log 50.
log 4 + log 5 + log 50 = log (4.5.50)
log 4 + log 5 + log 50 = log 1000 = 3
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Logaritmo do quociente
 Vamos calcular o valor do log (3/2), a partir dos
valores de log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477.
log 2 = 0,301 ⇒ 100,301 = 2
log 3 = 0,477 ⇒ 100,477 = 3
log (3/2) = x ⇒ 10x = 3/2
⇒ 10x =
3
2
=
100,477
100,301
= 100,477 – 0,301
⇒ x = 0,477 – 0,301 ⇒ x = 0,176
log (3/2) = log 3 – log 2
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Logaritmo do quociente
 De modo geral, o logaritmo do quociente de dois
números, numa certa base, é a diferença dos
logaritmos desses números, na mesma base.
Loga = loga x – loga y
x
y
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Exemplos
 A partir de log 2 = 0,301 obter log 5.
log 5 = log 
10
2
= log 10 – log 2 = 1 – 0,301
⇒ log 5 = 0,699
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Logaritmo da potência
 Vamos calcular o valor do log 34, a partir do
valor de log 3 = 0,477.
log 3 = 0,477 ⇒ 100,477 = 3
log 34 = x ⇒ 10x = 34 ⇒ 10x = (100,477)4
⇒ x = 4 . 0,477 ⇒ x = 1,908
log 34 = 4 . log 3
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Logaritmo da potência
 Generalizando, o logaritmo de uma potência, é
igual ao produto do expoente da potência pelo
logaritmo da base.
Loga x
k = k . loga x
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Exemplos
 Se log 2 = a e log 3 = b, escreva o log2 72 em
função de a e b.
log2 72 =
log 72
log 2
=
log 23.32
log 2
=
log 23 + log 32
log 2
=
3.log 2 + 2.log 3
log 2
=
3a + 2b
a