NA Escoamento em Condutos v2018 1 parte2

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LIC
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U F R N
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
➢ Escoamento Laminar em Tubos de Seção Circular
➢ Estabelecimento do fluxo no escoamento laminar.
Lei geral da resistência, admite que o fluxo não sofre perturbações devidas a descontinuidade
dos contornos sólidos (tomada de um reservatório, variações da seção da tubulação).
Equações Básicas do Movimento Laminar 
Hipóteses:
- Validade da condição de aderência
0RrV
- Velocidade máxima no eixo do tubo 
máxr VV 0
- Distribuição linear das tensões tangenciais
L
rhp
L
hpD
24
0
 
Comprimento de desenvolvimento do perfil
Subcamada viscosa
Escoamento 
laminar totalmente 
desenvolvido
(Comprimento de Entrada)
Núcleo não viscoso 
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Comparando com a fórmula de Newton: L
rhp
dr
dv
2

 
drr
L
hp
dv


2

Integrando cr
L
hp
v  2
4 

Nos limites: r=0; v=vmáx; r=R, v=0
C= vmáx
L
Dhp
L
Rhp
vmáx 



164
22

L
rhp
vv máx 

4
2

Equação de uma parábola do 2º 
grau com vértice no eixo do tubo. 
Sendo o volume do parabolóide igual à
metade do produto da área da base pela
altura e representando a vazão através do
conduto
máxvAAUQ
2
1

máxvU
2
1

L
Dhp
vmáx 

16
2

L
Dhp
U


32
2

Velocidade média p/
regime laminar em tubo
de seção circular.
L
rhp
2
0

 
dr
dv
dy
dv  0
Então:
H
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Na forma de perda de carga: 
2
32
D
UL
hp



Equação de Hagen-Poiseuille













432
22 D
L
Dhp
AUQ



L
Dhp
Q


128
4

Comparando
2
32
D
UL
hp



Com
g
U
D
L
fhp
2
2

eR
f
64

f no regime laminar independe da rugosidade das paredes.
L
Dhp
U


32
2

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➢ Escoamento Turbulento em Tubos de Seção Circular
Tensões Tangenciais no movimento turbulento.
Recursos estatísticos para definição quantitativa das características principais do fluxo.
Velocidade Instantânea
num ponto =
Por definição => o valor médio
das flutuações é nulo
'''' 0
1
zy
T
xx VVdtV
T
V  
T→tempo 
No caso particular do M. U. em conduto

T
xx dtV
T
VV '
' 1 0
''
 zy VV
Como a média das flutuações é nula, utiliza-se a média quadrática para exprimir a
intensidade média da turbulência:
2
1
2'
2' 1






 
T
xx dtV
T
V
A turbulência introduz no escoamento uma nova causa de resistências internas.
O aumento da perda de carga que se constata após o aparecimento da turbulência indica que o esforço tangencial
é superior ao que se poderia prever do simples efeito da viscosidade.
'
VV 
H
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f (turbulência do fluxo) 
Viscosidade Aparente
ou
Viscosidade de Torvelinho
Para escoamento bidimensional
dy
vd
dy
vd
 
η→Viscosidade dinâmica de Torvelinho
No movimento laminar
0
No movimento turbulento 
dy
vd
 


 
Viscosidade cinemática 
de Torvelinho 
Característico 
exclusivamente do 
escoamento 
Reynolds mostra, baseando-se na troca de quantidade de movimento entre elementos de fluido quando esses mudam
de posição no interior da massa fluida que:
''
yxvv
dy
vd
 
ilustra que a perda de carga varia
aproximadamente com o quadrado da velocidade.
Este aumento devido a turbulência foi expresso por Boussinesq
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Admitindo-se os efeitos viscosos desprezíveis e as flutuações das velocidades diretamente proporcionais à velocidade
média, obtém-se
2U
Prandtl introduziu o conceito de “Comprimento de mistura” procurando relacionar os esforços tangenciais às
velocidades médias.
Admitiu que a distância média transversal ( l ), percorrida por um elemento de fluido, até adquirir a velocidade da nova
região, estivesse relacionada a um valor médio da velocidade de flutuação. Admitindo ainda que as duas velocidades de
flutuação fossem proporcionais entre si, Prandtl chegou, para o movimento bidimensional:
2
2
dy
vd
l 
como l é função de y, Difícil Previsão!
Von Karman , utilizou um modelo físico diferente para obter uma expressão independente do comprimento de mistura.
Sua hipótese fundamental foi de considerar que o mecanismo da turbulência era o mesmo em todos os pontos do
escoamento, diferindo unicamente quanto às unidades de comprimento e tempo empregadas.
2
2
2
4
2













dy
vd
dy
dv
k 
K Natureza de uma constante universal
equação de Karman-Prandtl depende apenas do fluido em
escoamento e da distribuição de
velocidades.
4.0k

Uso restrito
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Estabelecimento do fluxo em escoamentos turbulentos
Distribuição de Velocidades no Escoamento Turbulento:
2
2
2
4
2













dy
vd
dy
dv
k Karman-Prandtl
Integrada, fornece a lei de
distribuição de velocidades,
desde que se conheça ou se
arbitre a variação de
Considerando que para tubos de seção circular a tensão varia linearmente:














R
y
R
y
kv
vvmáx 11ln1
1
*
Não é integralmente confirmada pela experiência se for admitido
k=cte.
Tem papel importante na 
caracterização dos escoamentos
Subcamada
viscosa
Subcamada
viscosa
Subcamada
viscosa
Subcamada
viscosa
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Considerando 
cte 0
ao longo de toda seção transversal:








R
y
kv
vvmáx ln
1
*
Para k=0.4 Nikuradse








R
y
v
vvmáx ln5.2
*








R
y
v
vvmáx log75.5
*
ou 
A partir desta equação pode-se derivar a relação entre a velocidade máxima e a velocidade média do escoamento.
8
07.41
1
fv
U
máx 

Relação entre a velocidade média e a velocidade média 
do escoamento
ou 
Lei Universal da distribuição de velocidades para fluxos turbulentos
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Subcamada Laminar








R
y
v
vvmáx log75.5
*







R
y
vvv máx log75.5 *
✓ No escoamento turbulento a velocidade varia segundo o log da distância y ao contorno.
✓ Pela natureza da variação logarítmica velocidade nula a uma distância finita da parede. 
contraria os fatos físicos.
✓ A existência de uma região de movimento laminar junto à parede limita naturalmente o campo de validade
da equação logarítmica.




0
6.11
fRD e
8.32


Espessura nominal da subcamada laminar
A natureza da subcamada laminar permite as diferentes condições de fluxo que se podem estabelecer, especialmente
no que se refere à influência da rugosidade do contorno.
Da lei universal da distribuição de velocidades para fluxos turbulentos
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Escoamento turbulento hidraulicamente liso: 
Escoamento turbulento hidraulicamente rugoso: 
Escoamento turbulento hidraulicamente misto ou de 
transição:
kv*
14.14
k
D
fRe
70* 

kv
198
k
D
fRe
705 * 

kv 19814.14 
k
D
fRe
Condições de fluxo com base na subcamada laminar
Estabelecidas experimentalmente através do Número de Reynolds de Rugosidade
5* 

kv
ou 
ou 
ou 
H
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OBS:
Lembrando que a rugosidade não influi na lei de resistência de escoamentos laminares, mas é parâmetro básico na
resistência dos escoamentos turbulentos, observa-se que a influência da rugosidade nos escoamentos turbulentos está
diretamente ligada à ordem de grandeza da rugosidade com relação à espessura da subcamada laminar.
A diferenciação de escoamentos sob este aspecto conduz aos conceitos de :
Tubo hidraulicamente liso (escoamento)
Tubo hidraulicamente rugoso (escoamento)
O valor de δ, é um valor teórico ou nominal, porque os limites entre as regiões de regime laminar e regime
turbulento não são definidos com precisão.
Resultados Experimentais
– Tubos Lisos
Nikuradse – para tubos hidraulicamente lisos








yv
v
v *
*
log75.550.5
 Observa-se que essa lei de distribuição envolve efeitos viscosos (υ) comprovando a existência da subcamada laminar.
 A expressão é geral, não envolvendo mais Vmáx e R, podendo ser aplicada a escoamentos em condutos de seções 
transversais diversas da circular. 








R
y
v
vvmáx log75.5
*
Expressão geral
H
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– Tubos Rugosos
Nikuradse – para tubos hidraulicamente rugosos







k
y
v
v
log75.548.8
*
Fator de Resistência
A partir das expressões 
8
*
f
Uv 
pode-se determinar o fator de resistência f (fórmula de Von Karman)
 fR
f
elog0.280.0
1
 








51.2
log0.2
1 fR
f
e
ou 
Para 
5* 

kv
14.14
k
D
fRe
 A expressão é geral, não envolvendo mais Vmáx e R, podendo ser aplicada a escoamentos em condutos de seções 
transversais diversas da circular. 
e da igualdade 
8
07.41
1
fv
U
máx 









yv
v
v *
*
log75.550.5
– Escoamentos Turbulentos Lisos
H
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Escoamentos turbulentos rugosos (fórmula de Nikuradse)
ou 







k
D
f
log0.274.1
1







k
D
f
71.3
log0.2
1
70* 

kv
198
k
D
fRe
Escoamento Turbulento Misto ou de Transição (fórmula de Colebrook-White)









fRD
k
f e
51.2
71.3
log0.2
1
705 * 

kv
19814.14 
k
D
fRe
Para 
Para 
H
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elari
➢ Diagrama de Nikuradse ou Harpa de Nikuradse
As experiências de Nikuradse compreenderam uma série de testes com tubos lisos e rugosos, abrangendo desde o
movimento laminar ao plenamente turbulento. O diagrama de Nikuradse consiste na plotagem de f (obtido nas
experiências) em função de Re e de k/D, em escalas logarítmicas, de acordo com a representação seguida por STANTON.
a) Na região correspondente ao escoamento
laminar os pontos se ajustam segundo a equação
eR
f
64

mostrando a independência de f quanto a
rugosidade das paredes, em acordo com as
conclusões teóricas anteriores.
b) O escoamento turbulento liso conduz a uma 
curva única, de equação 
 fR
f
elog0.280.0
1

Para 
000.100000.3  eR
esta curva coincide
4
1
316.0
eR
f 
praticamente com a reta 
obtida por Blasius, que por sua simplicidade
é frequentemente utilizada na prática, em
tubos lisos , como o de P.V.C..
H
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d
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d
elari
c) Para escoamentos hidraulicamente rugosos, vale
dizer que, para números de Re acima de
determinado limite, os pontos se alinham
segundo retas paralelas ao eixo x, mostrando que
para certa rugosidade o valor de f permanece
constante e independente da viscosidade. A
equação que define esse valor limite de f é







k
D
f
log0.214.1
1
d) Com o crescer do número de Re os pontos
correspondentes as diferentes rugosidades
abandonam a curva característica do escoamento
liso tendendo a situação descrita em (c),
referente ao fluxo rugoso. Essa transição se inicia
quando a rugosidade passa a perturbar a
subcamada laminar e cessa quando esta é
totalmente rompida pelo fluxo turbulento,
conforme análise já efetuada. Por conseguinte, o
início dessa transição é função do valor da
rugosidade relativa e se fará para números de Re
tanto mais elevados quanto menores forem os
valores de k/D.
e) A transição do regime laminar para o turbulento constitui uma
região pouco definida, onde a previsão do fator de resistência
do fluxo se torna difícil e imprecisa.
H
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.Sc. A
d
a Scu
d
elari
➢ Diagramas práticos
Fórmula de Colebrook e White
realizaram experiências em tubos comerciais:













fR
k
D
D
k
f
e
35.9
1log214.1log0.2
1 equação válida inclusive para a zona de transição.
Esta equação pode ser convenientemente representada num diagrama.
Posteriormente, Moody ampliou a faixa de materiais pesquisados e tornou a apresentar os resultados sob forma gráfica,
análoga ao diagrama de Nikuradse. (Diagrama de MOODY).
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D
ia
gr
am
a 
d
e
 M
O
O
D
Y
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Rouse também ampliou a faixa de materiais pesquisados por Colebrook e White, alterando a disposição dos eixos em relação ao diagrama 
original de Nikuradse. 
H
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Pode-se demonstrar que no plano 
versus ou 
as equações 
f
1 fRe 5
1
fRe
 fR
f
elog0.280.0
1








k
D
f
log0.214.1
1
(Para escoamento turbulento liso)
(Para escoamento turbulento rugoso)
Podem ser representadas por retas, logo: 
f
1
versus 
H
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ia
gr
am
a 
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 M
O
O
D
Y
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ia
gr
am
a 
d
e
 M
O
O
D
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A utilização da equação 













fR
k
D
D
k
f
e
35.9
1log214.1log0.2
1
apresenta dificuldades computacionais. Então Swamee-Jain apresentaram a fórmula
2
9.0
74.5
7.3
log
25.0


















eRD
k
f para 10-6≤ k/D≤10-2 e 103≤ Re≤108
H
ID
R
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A partir desta equação é possível explicitar equações para a perda de carga unitária, para a vazão e para o
diâmetro.
Recentemente Swamee apresentou a equação geral para o cálculo do fator de atrito, válida para os
escoamentos, laminar, turbulento liso, transição e turbulento rugoso, na forma:
2
9.0
74.5
7.3
log
25.0


















eRD
k
f
125.0
16
6
9.0
8
250074.5
7.3
ln5.9
64








































eee
RRD
k
R
f
equação que foi utilizada para
reproduzir o diagrama de Moody.
H
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Na maioria dos projetos de condução de água, como redes de distribuição de água, instalações hidráulico-
sanitárias, sistemas de irrigação, sistemas de bombeamento, etc., as velocidades médias comumente encontradas
estão em geral, na faixa de 0,5 a 3,0 m/s.
Admitindo-se diâmetros utilizados comercialmente nestas aplicações na faixa de 50 a 800mm, os valores práticos
dos números de Reynolds localizam-se no intervalo de 104 a 3.106, indicando, no diagrama de Moody, que em
grande número de situações práticas os regimes são turbulentos de transição, pois em geral as rugosidades
absolutas das tubulações não são altas.
A rugosidades absolutas equivalentes dos diversos materiais utilizados na prática de condução de água são de
difícil especificação, devido aos processos industriais e grau de acabamento da superfície, idade das tubulações,
etc. A literatura apresenta tabelas de valores da rugosidade para diversos materiais, com variações em faixas
largas, além de valores diferentes, para o mesmo material, em diferentes fontes de dados.
A tabela a seguir apresenta valores médios indicativos das rugosidades equivalentes, para os principais materiais
utilizados em projetos de condução de água.
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➢ Problemas Hidraulicamente Determinados
Problema tipo 1
LhpDk ,,,,
Pede-se: Q
Solução:
1) Equação da vazão obtida da fórmula Universal: 
fL
gDhpD
Q
2
4
2

como não dispomos de f
3) Classificar o regime Turbulento
14.14
k
D
fRe
→Turbulento hidraulicamente liso→ 









51.2
log0.2
1 fR
f
e
2
51.2
log0.2


















fR
f
e
198
k
D
fRe
→Turbulento hidraulicamente Rugoso→ 







k
D
f
71.3
log0.2
1
2
71.3
log0.2














D
k
f
19814.14 
k
D
fRe
→Turbulento 
hidraulicamente Misto→ 









fRD
k
f e
51.2
71.3
log0.2
1
2
51.2
71.3
log0.2


















fRD
k
f
e
4) Cálculo da Vazão Q
f
gDJD
Q
2
4
2
 fL
gDhpD
Q
2
4
2

ou 
2) Determinação do Regime de Escoamento:
-cálculo de Re: Impossível (não temos U)
- cálculo de
400fRe
800fRe
→regime Laminar → 
→ regime Turbulento 
2
64









fR
f
e
H
ID
R
Á
U
LIC
A
U F R N
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
Problema tipo 2 Dados: Pede-se: hp
LDkQ ,,,,
Solução:
1) Equação da perda de carga: 
como não dispomos de f
g
Q
D
L
fhp
2
52
8


2) Determinação do Regime de Escoamento:
-cálculo de Re:
→regime Laminar → 
→ regime Turbulento 
2500eR
4000eR
eR
f
64

3) Classificar o regime Turbulento
k
D
fRe
pois não dispomos de hp, teremos
então que utilizar as condições
resultantes do estudo de Konakov:
31
9.0

k
D
Re
→ Turbulento Hidraulicamente liso → 









9.0
62.5
log0.2
1
eRf
448
9.0

k
D
Re
→ Turbulento Hidraulicamente rugoso → 
2
71.3
log0.2














D
k
f
44831
9.0

k
D
Re
→Turbulento Hidraulicamente misto→
2
9.0
62.5
71.3
log0.2


















eRD
k
f
4) Calculo do hp
g
Q
D
L
fhp
2
52
8


H
ID
R
Á
U
LIC
A
U F R N
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
Dados: Pede-se: D
Solução:
LkhpQ ,,,, 
1)Equação do diâmetro
g
U
D
L
fhp
2
2
 g
U
hp
L
fD
2
2

5
1
2
2
8







g
Q
hp
L
fD

2) Determinação do regime de escoamento 

 UDUD
Re  
gDJD
fRe
2

fRe
pois não temos D, teremos então que
determinar os adimensionais N e M:
5
1
3
3
5
1 1281







L
hpgQ
fRN e 
K
Q
M
4

1200N
2100N
→ Regime Laminar → 
→ Regime Turbulento 
25.1
181
N
f 
3) Classificar o Regime Turbulento
17
2

M
N
→ Turbulento Hidraulicamente liso → 
2
937.0
15.4
log0.2














N
f
236
2

M
N
→Turbulento Hidraulicamente Rugoso→ 
2
042.138.0
log0.2














M
N
f
23617
2

M
N →Turbulento Hidraulicamente Misto→ 
2
937.0
042.1 15.438.0
log0.2














NM
N
f
4) Calcular D
5
1
2
2
8







g
Q
hp
L
fD

Problema tipo 3
H
ID
R
Á
U
LIC
A
U F R N
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
➢ Referências
 Baptista, M.B.;Coelho, M.M.L.P;Cirilo, J.A.;Mascarenhas, F.C.B.; Hidráulica Aplicada, 2003
 Potter, M.C.; Wiggert, D.C.; Mecânica dos Fluidos; Ed. Cengage Learning Ltda., 2004
 Munson, B.R.; Young, D. F.; Okiishi, T.H.; Fundamentos da Mecânica dos Fluidos; Ed. Edgard 
Blücher Ltda.; 2004
 Fox, R.W.; McDonald, A.T.; Introdução à Mecânica dos Fluidos; Ed. Guanabara, 2004
 Giles,R.V.;Evett,J.B.;Liu Cheng; Mecânica dos Fluidos e Hidráulica; Ed. Makron Books; 1997
 Shames, I.; Mecânica dos Fluidos; Ed. Edgard Blücher Ltda.; 1973
 Brunetti, F.; Mecânica dos Fluidos; Ed. Pearson Prentice Hall; 2008
 Streeter, V.L.; Wylie, E.B.; Mecânica dos Fluidos ; Ed. McGraw-Hill Ltda.;1980
 Porto, R.M.; Hidráulica Básica; EESC-USP,2006
 Neves, E. T.; Curso de Hidráulica, edição esgotada.
 Pinto, N.L.S.; Neidert, S. H.; Fill, H.D.O.A.; Lambros, D.; Reis, F.C.A.; Tozzi, M.J.; ota, J.J.; 
Notas de aula de Mecânica dos Fluidos, UFPR, 1998