principio variacional ekeland

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Princ´ıpio Variacional de Ekeland
Neste trabalho, nosso principal objetivo e´ apresentar um resultado cla´ssico
conhecido como o Princ´ıpio Variacional de Ekeland (P.V.E). Desde sua publicac¸a˜o
em 1972, o P.V.E. vem sendo utilizado em diversas aplicac¸o˜es em diferentes cam-
pos da Ana´lise, Geometria Diferencial, etc.
O P.V.E. e algumas consequencias
Enunciaremos a` seguir o Princ´ıpio Variacional de Ekeland.
Teorema 1 (P.V.E). Considere (X, d) um espac¸o me´trico completo e Φ : X → IR
um funcional limitado inferiormente e s.c.i.. Sejam � > 0 e x ∈ X tais que
Φ(x) < inf
X
Φ + �.
Enta˜o, para cada δ > 0, existe y = y(�) ∈ X tal que
O Princ´ıpio Variacional de Ekeland garante a existeˆncia de um sequeˆncia
minimizante de um tipo particular (sequeˆncia quase-cr´ıtica).
Sobre as hipo´tese do teorema acima (com δ = 1), suponha que X seja um
espac¸o de Banach e que Φ seja G-diferencia´vel. Enta˜o, para cada v ∈ X com
||v|| = 1 e t > 0,
Φ(y + tv)− Φ(y) = t ·DΦ(y) · v + o(t).
Tomando u = y + tv em (ii) conclu´ımos que
Φ(y + tv) > Φ(y)− �t.
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Deste modo,
tDΦ(y) · v + o(t) ≥ −�t
isto e´,
DΦ(y) · v ≥ −�.
Trocando v por −v obteremos
|DΦ(y) · v| ≤ �.
Como isto vale para qualquer v ∈ X com ||v|| = 1, obtemos ||DΦ(y)|| ≤ �. Assim,
podemos resumir esse resultado no seguinte
Corola´rio 1. Sejam X um espac¸o de Banach e Φ : X → IRum funcional limitado
inferiormente e s.c.i.. Se Φ e´ G-diferencia´vel enta˜o, para cada � > 0, existe
x� ∈ X tal que
inf
X
Φ ≤ Φ(x�) ≤ inf
X
Φ + �,
||DΦ(x�)|| < �.
O resultado acima garante a existeˆncia de uma sequeˆncia (xn) em X satis-
fazendo
Φ(xn)→ c := inf
X
Φ, n→∞
DΦ(xn)→ 0, n→∞.
Teorema 2. Sejam X um espac¸o de Banach e Φ : X → IR um funcional C1
limitado inferiormente satisfazendo a condic¸a˜o (P.S). Enta˜o, existe x ∈ X tal
que
Φ(x) = inf
X
Φ
DΦ(x) = 0
Demonstrac¸a˜o: Considere uma sequeˆncia (xn) ⊂ X tal que
Φ(xn)→ inf
X
Φ, n→∞
DΦ(xn)→ 0, n→∞.
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Enta˜o, a menos de subsequeˆncia, xn → x em X. Como Φ ∈ C1, temos
Φ(xn)→ Φ(x), n→∞
DΦ(xn)→ DΦ(x), n→∞.
Assim, pela unicidade do limite, segue o resultado.
�
Observe que, quando Φ na˜o e´ necessariamente suave, a condic¸a˜o (ii) se torna
uma conveniente formulac¸a˜o de soluc¸a˜o aproximada. De fato, (ii) apenas expressa
que x e´ uma soluc¸a˜o exata do problema de minimizac¸a˜o
min{Φ(y) + �d(y, x); y ∈ X}. (P�)
Considere o seguinte problema de minimizac¸a˜o
min{Φ(x);x ∈ X}. (Pm)
Se na˜o dispomos de ferramentas para resolver o problema (Pm), surge uma questa˜o
natural: podemos pelo menos provar a existeˆncia de soluc¸o˜es aproximadas (note
que se x e´ soluc¸a˜o de (Pm) enta˜o x e´ soluc¸a˜o de (P�), �-quase-soluc¸a˜o). Neste
contexto, o P.V.E. afirma que para cada � > 0, o problema (Pm) admite uma
�-quase-soluc¸a˜o.
Os itens (i) e (iii) do Teorema 1 admitem uma ide´ia geome´trica bastante
intuitiva. De fato, se o mı´nimo de Φ : X → IR e´ atingido em u ∈ X, enta˜o o
gra´fico de Φ ficara´ inteiramente contido no conjunto
{(x, λ) ∈ X × IR;λ ≥ Φ(u)}.
O Princ´ıpio Variacional de Ekeland afirma que dado � > 0, existe y ∈ X tal que
Φ(y) < inf
X
Φ + �
e
grafΦ ⊂ {(x, λ) ∈ X × IR;λ ≥ Φ(y)− �d(y, x)}.
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