04 Aplicações da Derivada

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Aplicações da 
Derivação
Já estudamos algumas das aplicações das derivadas; agora, porém, com o auxílio das
regras de derivação, estamos em posição de estudar as aplicações da derivação em maior
profundidade. Aprenderemos como as derivadas afetam o formato do gráfico de uma
função e, em particular, como nos ajudam a localizar os valores máximos e mínimos de
funções. Muitos problemas práticos requerem minimizar um custo ou maximizar uma
área, ou, de alguma forma, encontrar a melhor saída de uma situação. Em particular,
poderemos pesquisar a melhor forma de uma lata e explicar a localização de um arco-
íris no céu.
4
Pichugin Dmitry/Shutterstock
O cálculo que você irá aprender neste capítulo lhe permitirá explicar
a localização do arco-íris no céu e a razão pela qual as cores no
arco-íris secundário aparecerem na ordem oposta às do arco-íris
primário. (Veja o projeto na página 256.)
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:04 AM Page 247
Algumas das aplicações mais importantes do cálculo diferencial são os problemas de otimi-
zação, em que devemos encontrar a maneira ótima (melhor maneira) de fazer alguma coisa.
A seguir, listamos alguns dos problemas de otimização que resolveremos neste capítulo:
■ Qual é a forma de uma lata que minimiza o custo de manufatura?
■ Qual é a aceleração máxima de um ônibus espacial? (Esta é uma questão importante para
os astronautas que têm de suportar os efeitos da aceleração.)
■ Qual o raio de uma traqueia contraída que expele mais rapidamente o ar durante uma tosse?
■ Sob que ângulo os vasos sanguíneos devem se ramificar de forma que minimizem a
energia despendida pelo coração no bombeamento do sangue?
Esses problemas podem ser reduzidos a encontrar os valores máximo ou mínimo de uma fun-
ção. Vamos primeiro explicar exatamente o que queremos dizer por valores máximo e mínimo.
Vemos que o ponto mais alto no gráfico da função f mostrado na Figura 1 é o ponto (3, 5).
Em outras palavras, o maior valor de f é f (3) � 5. Da mesma forma, o menor valor é f (6) � 2.
Dizemos que f (3) � 5 é o máximo absoluto de f e f (6) � 2 é o mínimo absoluto. Em geral, usa-
mos a seguinte definição.
Definição Seja c um número no domínio D de uma função f. Então f (c) é o 
■ valor máximo absoluto de f em D se para todo x em D.
■ valor mínimo absoluto de f em D se para todo x em D.
Um máximo ou mínimo absoluto às vezes é chamado de máximo ou mínimo global. Os
valores máximos e mínimos de f são chamados de valores extremos de f.
A Figura 2 mostra um gráfico de uma função f com máximo absoluto em d e mínimo ab-
soluto em a. Observe que (d, f (d)) é o ponto mais alto no gráfico e (a, f (a)) é o menor ponto.
Na Figura 2, se considerarmos apenas os valores de x próximos b [por exemplo, se restringirmos
nossa atenção ao intervalo (a, c), então f (b) é o maior destes valores de f (x) e é chamado de
valor máximo local de f. Da mesma forma, f (c) é chamado de valor mínimo local de f, pois
para x próximo de c [no intervalo (b, d), por exemplo]. A função f também tem
um mínimo local em . Em geral, temos a seguinte definição.
Definição O número f (c) é um
■ valor máximo local de f se quando x está próximo de c.
■ valor mínimo local de f se quando x está próximo de c.
Na Definição 2 (e em outras situações), se dissermos que algo é verdadeiro próximo a c,
queremos dizer que é verdadeiro em algum intervalo aberto contendo c. Por exemplo, na Fi-
gura 3 vemos que f (4) � 5 é um valor mínimo local, pois é o menor valor de f no intervalo I.
Não é o mínimo absoluto porque f(x) tem valores menores quando x está próximo de 12 (no
intervalo K, por exemplo). Na verdade, f (12) � 3 é tanto o mínimo local quanto o mínimo ab-
soluto. De forma análoga, f (8) � 7 é o máximo local, mas não é o máximo absoluto porque
f tem valores maiores perto de 1.
A função f (x) � cos x assume seu valor máximo (local e absoluto) 1 infinitas
vezes, uma vez que para todo inteiro n e para todo x. Da
mesma forma, cos (2n � 1) p � �1 é seu valor mínimo, onde n é qualquer número inteiro.
�1 � cos x � 1cos 2n� � 1
EXEMPLO 1
f �c� � f �x�
e
f �c� � f �x�
f �c� � f �x�
2
f �c� � f �x�
f �c� � f �x�
1
248 CÁLCULO
4.1 Valores Máximo e Mínimo
y
0 x
2
4
2 64
FIGURA 1
f(a)
f(d)
b x
y
0 da c
FIGURA 2 
Mínimo absoluto f(a), 
máximo absoluto f(d ),
mínimos locais f(c), f(e), 
máximos locais f(b), f(d)
e
mínimo
local
máximo
local
mínimo
local
e
absoluto
I J K
y
x0
2
4
6
4 8 12
FIGURA 3
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:04 AM Page 248
Se f (x) � x2, então, , pois para todo x. Consequentemente,
f (0) � 0 é o valor mínimo absoluto (e local) de f. Isso corresponde ao fato de que a origem é
o menor ponto na parábola . (Veja a Figura 1.) Porém, não há um ponto mais alto sobre
a parábola e, dessa forma, a função não tem um valor máximo.
Do gráfico da função f (x) � x3, mostrado na Figura 5, vemos que essa função não
tem um valor máximo absoluto, nem um valor mínimo absoluto. De fato, ela também não tem
nenhum valor extremo local.
O gráfico da função 
está mostrado na Figura 6. Você pode ver que f (1) � 5 é um máximo local, enquanto o má-
ximo absoluto é f (�1) � 37. (Este máximo absoluto não é um máximo local, pois ele ocorre
em extremo do intervalo.) Além disso, f (0) � 0 é um mínimo local e f (3) � �27 é um mí-
nimo local tanto quanto absoluto. Observe que f não tem um máximo local nem um máximo
absoluto em x � 4.
Vimos que algumas funções têm valores extremos, enquanto outras não têm. O teorema a
seguir dá condições para garantir que uma função tenha valores extremos.
O Teorema do Valor Extremo Se f for contínua em um intervalo fechado [a, b],
então f assume um valor máximo absoluto f (c) e um valor mínimo absoluto f (d) em
certos números c e d em [a, b].
O Teorema do Valor Extremo está ilustrado na Figura 7. Observe que um valor extremo
pode ser assumido mais de uma vez. Embora o Teorema do Valor Extremo seja intuitivamente
muito plausível, ele é difícil de ser demonstrado e, assim, omitimos sua demonstração.
EXEMPLO 2 f �x� � f �0� x 2 � 0
3
�1 � x � 4f �x� � 3x 4 � 16x 3 � 18x 2
EXEMPLO 4
EXEMPLO 3
y � x 2
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 249
FIGURA 5 
Nenhum mínimo, nenhum máximo
x
y
0
y=˛
FIGURA 4 
Valor mínimo 0, nenhum máximo
x
y
0
y=≈
FIGURA 6
(_1, 37)
_1
(3, _27)
(1, 5)
y
x
y=3x$-16˛+18≈
1 2 3 4 5
FIGURA 7 x
y
0 bd x
y
0 ba c2x
y
0 d=ba ca c c1 d
As Figuras 8 e 9 mostram que uma função pode não possuir valores extremos se for omi-
tida uma das duas hipóteses (continuidade ou intervalo fechado) do Teorema do Valor Extremo.
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:04 AM Page 249
A função f, cujo gráfico está mostrado na Figura 8, está definida no intervalo fechado 
[0, 2], mas não tem valor máximo. [Observe que a imagem de f é (0, 3).] Essa função assume
valores arbitrariamente próximos de 3, mas nunca atinge o valor 3.] Isso não necessariamente
contradiz o Teorema de Valores Extremos, pois f não é contínua. [Não obstante, uma função
descontínua pode ter valores máximo e mínimo. Veja o Exercício 13(b).]
A função t da Figura 9 é contínua no intervalo aberto (0, 2), mas não tem nem valor má-
ximo nem mínimo. [A imagem de t é . Essa função assume valores arbitrariamente gran-
des.] Isso não contradiz o Teorema de Valores Extremos, pois o intervalo (0, 2) não é fechado. 
O Teorema do Valor Extremo afirma que uma função contínua em um intervalo fechado
tem um valor máximo e um mínimo; contudo, não diz como encontrar esses valores extremos.
Vamos começar procurando os valores extremos locais.
A Figura 10 mostra o gráfico de uma função f com máximo local em c e mínimo local em
d. Parece que nos pontos de máximo e de mínimo as retas tangentes são horizontais e, portanto,
cada uma tem inclinação 0. Sabemos que a derivadaé a inclinação da reta tangente; assim, pa-
rece que f �(c) � 0 e f �(d) � 0. O teorema a seguir afirma que isso é sempre verdadeiro para
as funções diferenciáveis.
Teorema de Fermat Se f tiver um máximo ou mínimo local em c e se f �(c) existir,
então f �(c) � 0.
DEMONSTRAÇÃO Suponha, para fixar ideias, que f tenha um máximo local em c. Então, de
acordo com a Definição 2, se x for suficientemente próximo de c. Isso implica que,
se h for suficientemente próximo de 0, com h sendo positivo ou negativo, então
e, portanto,
Podemos dividir ambos os lados de uma desigualdade por um número positivo. Assim, se 
h 	 0 e h for suficientemente pequeno, temos
Tomando o limite à direita de ambos os lados dessa desigualdade (usando o Teorema 2.3.2),
obtemos 
Mas, uma vez que f �(c) existe, temos
e assim mostramos que .f ��c� � 0
f ��c� � lim
hl0
f �c � h� � f �c�
h � limhl0�
f �c � h� � f �c�
h
lim
hl0�
f �c � h� � f �c�
h � limhl0�0 � 0
f �c � h� � f �c�
h � 0
f �c � h� � f �c� � 05
f �c� � f �c � h�
f �c� � f �x�
4
�1, 
�
1
x
y
0
FIGURA 9
Essa função contínua g não
tem valor mínimo nem máximo.
2
1
x
y
0
FIGURA 8
Esta função tem valor mínimo
f(2)=0, mas nenhum valor máximo., 
2
3
0 xc d
y
FIGURA 10
{c, f (c)}
{d, f (d)}
Fermat
O Teorema de Fermat é assim designado
em homenagem a Pierre Fermat (1601-
-1665), um advogado francês que tinha
por passatempo favorito a matemática.
Apesar de seu amadorismo, Fermat foi,
junto com Descartes, um dos inventores
da geometria analítica. Seus métodos
para encontrar as tangentes às curvas e
os valores máximo e mínimo (antes da
invenção de limites e derivadas) fazem
dele um precursor de Newton na criação
do cálculo diferencial.
250 CÁLCULO
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:04 AM Page 250
Se h � 0, então o sentido da desigualdade é invertido quando dividimos por h:
.
Logo, tomando o limite à esquerda, temos
.
Mostramos que e também que . Uma vez que ambas as desigualdades de-
vem ser verdadeiras, a única possibilidade é que f �(c) � 0.
Demonstramos o Teorema de Fermat para o caso de um máximo local. O caso de mínimo
local pode ser demonstrado de forma análoga, ou pode ser deduzido do caso já demonstrado,
por meio do Exercício 76 (veja o Exercício 77).
Os seguintes exemplos nos previnem sobre não esperar demais do Teorema de Fermat: não
podemos esperar a locação de valores extremos simplesmente considerando f �(x) � 0 e iso-
lando x.
Se f (x) � x3, então f �(x) � 3x2, logo, f �(0) � 0. Porém, f não tem máximo nem
mínimo em 0, como podemos ver em seu gráfico na Figura 11. (Ou observe que x3 	 0 para
x 	 0, mas x³ � 0 para x < 0.) O fato é que f �(0) � 0 simplesmente significa que a curva y
� x3 tem uma tangente horizontal em (0, 0). Em vez de ter máximo ou mínimo em (0, 0), a
curva cruza sua tangente horizontal aí.
A função tem seu valor mínimo (local e absoluto) em 0, mas o valor
não pode ser encontrado por considerar f �(x) � 0 porque, como mostrado no Exemplo 5 na
Seção 2.8, f �(0) não existe. (Veja a Figura 12.)
| ATENÇÃO Os Exemplos 5 e 6 mostram que devemos ser muito cuidadosos ao usar o Teo-
rema de Fermat. O Exemplo 5 demonstra que, mesmo quando f �(c) � 0, não é necessá-
rio existir um mínimo ou máximo c. (Em outras palavras, a recíproca do Teorema de
Fermat é falsa, em geral.) Além disso, pode existir um valor extremo mesmo quando f �(c)
não existir (como no Exemplo 6).
O Teorema de Fermat sugere que devemos pelo menos começar procurando por valores
extremos de f nos números c onde f �(c) � 0 ou onde f �(c) não existe. Esses números têm um
nome especial.
Definição Um número crítico de uma função f é um número c no domínio de f
tal que ou f �(c) � 0 ou f �(c) não existe.
Encontre os números críticos de .
SOLUÇÃO A Regra do Produto fornece
[O mesmo resultado pode ser obtido, escrevendo-se primeiramente .]
Portanto, f �(x) � 0 se 12 – 8x � 0, ou seja, , e f �(x) não existe quando . Assim, os 
números críticos são e 0.
Em termos de números críticos, o Teorema de Fermat pode ser reescrito como a seguir
(compare a Definição 6 com o Teorema 4):
3
2
x � 0x � 32
f �x� � 4x 3�5 � x 8�5
�
�5x � 3�4 � x�
5x 2�5 �
12 � 8x
5x 2�5
f ��x� � x 3�5��1� � �4 � x�(35 x�2�5) � �x 3�5 � 3�4 � x�5x 2 �5
f �x� � x 3�5�4 � x�EXEMPLO 7
6
f �x� � � x �EXEMPLO 6
EXEMPLO 5
f ��c� � 0f ��c� � 0
f ��c� � lim
hl0
f �c � h� � f �c�
h � limhl0�
f �c � h� � f �c�
h � 0
h � 0f �c � h� � f �c�h � 0
5
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 251
FIGURA 11
Se ƒ=˛, então fª(0)=0, mas ƒ
não tem mínimo ou máximo.
y=˛
x
y
0
FIGURA 12
Se ƒ=| x |, então f(0)=0 é um
valor mínimo, mas fª(0) não existe.
x0
y=|x|
y
A Figura 13 mostra um gráfico de uma
função do Exemplo 7. Ele confirma nossa
resposta, pois há uma tangente horizontal
quando e uma tangente vertical
quando .x � 0
x � 1,5
f
FIGURA 13
3,5
_2
_0,5 5
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:04 AM Page 251
Se f tiver um máximo ou mínimo local em c, então c é um número crítico de f.
Para encontrarmos um máximo ou um mínimo absoluto de uma função contínua em um in-
tervalo fechado, observamos que ele é local [nesse caso ocorre em um número crítico, por
], ou acontece em uma extremidade do intervalo. Assim, o seguinte procedimento de três eta-
pas sempre funciona.
O Método do Intervalo Fechado Para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos de
uma função contínua f em um intervalo fechado [a, b]:
1. Encontre os valores de f nos números críticos de f em (a, b).
2. Encontre os valores de f nas extremidades do intervalo.
3. O maior valor entre as etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao passo que o
menor desses valores é o valor mínimo absoluto.
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função
SOLUÇÃO Uma vez que f é contínua em , podemos usar o Método do Intervalo
Fechado:
Uma vez que f �(x) existe para todo x, os únicos números críticos de f ocorrem quando 
f �(x)� 0, isto é, x � 0 ou x � 2. Observe que cada um desses números críticos está no inter-
valo . Os valores de f nestes números críticos são
Os valores de f nas extremidades do interval são
Comparando esses quatro números, vemos que o valor máximo absoluto é f (4) � 17 e o va-
lor mínimo absoluto, f (2) ��3.
Observe que neste exemplo o máximo absoluto ocorre em uma extremidade, enquanto o
mínimo absoluto acontece em um número crítico. O gráfico de f está esboçado na Figura 14.
Se você tiver uma calculadora gráfica ou um computador com software gráfico, poderá es-
timar facilmente os valores máximo e mínimo. Mas, como mostra o próximo exemplo, o cál-
culo é necessário para encontrar valores exatos.
(a) Use uma ferramenta gráfica para estimar os valores máximo e mínimo absolutos da fun-
ção .
(b) Utilize o cálculo para encontrar os valores máximo e mínimo exatos.
SOLUÇÃO
(a) A Figura 15 mostra o gráfico de f na janela retangular [0, 2p] por [�1, 8]. Movendo o cur-
sor próximo ao ponto de máximo, vemos que a coordenada y não varia muito nas vizinhan-
ças do máximo. O valor máximo absoluto é cerca de 6,97 e ocorre quando . Analo-
gamente, movendo o cursor para próximo do ponto de mínimo, vemos que o valor mínimo
absoluto é cerca de �0,68 e ocorre quando . Seria possível obter mais precisão nas es-
timativas por meio de um zoom em direção aos pontos máximo e mínimo, mas, em vez disso,
vamos usar o cálculo.
x � 1,0
x � 5,2
f �x� � x � 2 sen x, 0 � x � 2p
EXEMPLO 9
f �4� � 17f (�12 ) � 18
f �2� � �3f �0� � 1
(�12, 4)
f ��x� � 3x 2 � 6x � 3x�x � 2�
f �x� � x 3 � 3x 2 � 1
[�12, 4]
�
1
2 � x � 4f �x� � x 3 � 3x 2 � 1
EXEMPLO 8
7
7
252 CÁLCULO
FIGURA 14
5
10
20
_5
15
1
(4, 17)
(2, _3)
_1
y=˛-3≈+1
x
y
0
2
3 4
FIGURA 15
0
8
_1
2πCalculo04:calculo7 6/10/13 6:04 AM Page 252
(b) A função f (x) � x – 2 sen x é contínua em [0, 2p]. Uma vez que f �(x) � 1 � 2 cos x, te-
mos f �(x) � 0 quando , e isso ocorre quando ou . Os valores de f nes-
ses números críticos são
e
Os valores de f nas extremidades são 
e 
Comparando esses quatro números e usando o Método do Intervalo Fechado, vemos 
que o valor mínimo absoluto é e o valor máximo absoluto é
. Os valores da parte (a) servem como uma verificação de nosso tra-
balho.
O telescópio espacial Hubble foi colocado em órbita em 24 abril de 1990 pelo
ônibus espacial Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus durante essa missão, do
lançamento em t � 0 até a ejeção do foguete auxiliar em t � 126 s, é dado por 
(em metros/segundo). Usando este modelo, estime os valores máximo e mínimo absolutos da
aceleração do ônibus entre o lançamento e a ejeção do foguete auxiliar.
SOLUÇÃO São pedidos os valores extremos não da função de velocidade dada, mas da fun-
ção de aceleração. Assim, precisamos primeiro derivar para encontrar a aceleração:
Vamos aplicar agora o Método do Intervalo Fechado à função contínua a no intervalo
. Sua derivada é 
O único número crítico ocorre quando a�(t) � 0:
Calculando a(t) no número crítico e nas extremidades, temos
Assim, a aceleração máxima é cerca de 19,16 m/s2, e a aceleração mínima é cerca de 6,56 m/s2.
a�126� � 19,16a�t1� � 6,56a�0� � 7,196
t1 �
0,05504
0,0023808
� 23,12
a��t� � 0,0023808t � 0,05504
0 � t � 126
� 0,001190 4t 2 � 0,05504t � 7,196
a�t� � v��t� � ddt �0,0003968t
3 � 0,02752t 2 � 7,196t � 0,9397�
v�t� � 0,0003968t 3 � 0,02752t 2 � 7,196t � 0,9397
EXEMPLO 10
f �5��3� � 5��3 � s3
f ���3� � ��3 � s3
f �2p� � 2p � 6,28f �0� � 0
f �5p�3� � 5p
3
� 2 sen
5p
3
�
5p
3
� s3 � 6,968039
f �p�3� � p
3
� 2 sen
p
3
�
p
3
� s3 � �0,684853
5��3x � ��3cos x � 12
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 253
1. Explique a diferença entre mínimo local e mínimo absoluto.
2. Suponha que f seja uma função contínua definida no intervalo fe-
chado [a, b].
(a) Que teorema garante a existência de valores máximo e mínimo
absolutos para f?
(b) Quais as etapas que você deve seguir para encontrar esses va-
lores máximo e mínimo?
3–4 Para cada um dos números a, b, c, d, r e s, diga se a função cujo
gráfico é dado tem um máximo ou mínimo absoluto, máximo ou mí-
nimo local, ou nem máximo nem mínimo. 
4.1 Exercícios
; É necessário o uso de uma calculadora gráfica ou computador 1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
N
AS
A
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:04 AM Page 253
3. 4.
5–6 Use o gráfico para dizer quais os valores máximos e mínimos lo-
cais e absolutos da função.
5. 6.
7–10 Esboce o gráfico de uma função f que seja contínua em [1, 5] e
tenha as propriedades dadas.
7. Máximo absoluto em 3, mínimo absoluto em 2, mínimo local 
em 4.
8. Máximo absoluto em 5, mínimo absoluto em 1, máximo local em
2 e mínimo local em 4.
9. Máximo absoluto em 5, mínimo absoluto em 2, máximo local em
3 e mínimo local em 2 e 4.
10. f não tem máximos ou mínimos locais, mas 2 e 4 são números crí-
ticos.
11. (a) Esboce o gráfico de uma função que tenha um máximo local
em 2 e seja derivável em 2.
(b) Esboce o gráfico de uma função que tenha um máximo local
em 2 e seja contínua, mas não derivável em 2.
(c) Esboce o gráfico de uma função que tenha um máximo local
em 2 e não seja contínua em 2.
12. (a) Esboce o gráfico de uma função em [�1, 2] que tenha máximo
absoluto, mas não tenha máximo local.
(b) Esboce o gráfico de uma função em [�1, 2] que tenha um má-
ximo local, mas não tenha máximo absoluto.
13. (a) Esboce o gráfico de uma função em [�1, 2] que tenha um má-
ximo absoluto, mas não tenha mínimo absoluto.
(b) Esboce o gráfico de uma função em [�1, 2] que seja descontí-
nua, mas tenha tanto máximo absoluto como mínimo absoluto.
14. (a) Esboce o gráfico de uma função que tenha dois máximos lo-
cais e um mínimo local, mas nenhum mínimo absoluto.
(b) Esboce o gráfico de uma função que tenha três mínimos lo-
cais, dois máximos locais e sete números críticos.
15–28 Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os
valores máximos e mínimos locais e absolutos de f. (Use os gráficos
e as transformações das Seções 1.2 e 1.3.)
15. , 
16. , 
17. , 
18. , 
19. , 
20. , 
21. , 
22. , 
23. , 
24.
25.
26.
27.
28.
29–44 Encontre os números críticos da função.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
37. 38.
39. 40.
41. 42.
43. 44.
45–46 É dada uma fórmula para a derivada de uma função f. Quantos
números críticos f tem?
45. 46.
47–62 Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no inter-
valo dado.
47. , 
48. , 
49. , 
50. , 
51. , 
52. , 
53. , 
54. , 
55. , 
56. , 
57. , 
58. , 
59. , 
60. , 
61.
62. , 
f(x) � sen x
f(x) � sen x
f(x) � sen x f �x� � x � 2 tg�1x �0, 4�
f �x� � ln�x 2 � x � 1�, ��1, 1�
f �x� � x � ln x [ 12, 2]
��1, 4�f �x� � xe�x2�8
���4, 7��4�f �t� � t � cotg �t�2�
�0, ��2�f �t� � 2cos t � sen 2t
�0, 8�f �t� � s3 t �8 � t�
��1, 2�f �t� � ts4 � t 2
�0, 3�f �x� � xx 2 � x � 1
�0,2; 4�f �x� � x � 1x
��1, 2�f �x� � �x2 � 1�3
��2, 3�f �x� � 3x 4 � 4x 3 � 12x 2 � 1
��3, 5�f �x� � x 3 � 6x 2 � 5
��2, 3�f �x� � 2x 3 � 3x 2 � 12x � 1
�0, 3�f �x� � x 3 � 3x � 1
�0, 3�f �x� � 3x 2 � 12x � 5
f ��x� � 100 cos
2 x
10 � x 2 � 1f ��x� � 5e
�0,1� x � senx � 1
f �x� � x�2 ln xf �x� � x 2e�3x
h�t� � 3t � arcsen tf �u� � 2 cosu � sen2u
t�u� � 4u � tguF�x� � x 4�5�x � 4�2
t�x� � x 1�3 � x�2�3h�t� � t 3�4 � 2 t 1�4
h�p� � p � 1p2 � 4t�y� �
y � 1
y 2 � y � 1
t�t� � � 3t � 4 �t�t� � t 4 � t 3 � t 2 � 1
f �x� � 2x 3 � x 2 � 2xf �x� � 2x 3 � 3x 2 � 36x
f �x� � x 3 � x 2 � xf �x� � 5x 2 � 4x
f �x� � 	4 � x 22x � 1 se �2 � x � 0se 0 � x � 2
f �x� � 	1 � x2x � 4 se 0 � x � 2se 2 � x � 3
f �x� � e x
f �x� � 1 � sx
f �x� � � x �
0 � x � 2f �x� � ln x
�3��2 � t � 3��2f �t� � cos t
���2 � x � ��2
0 � x � ��2
0 � x � ��2
1 � x � 3f �x� � 1�x
x � 1f �x� � 1�x
x � �2f �x� � 2 � 13 x
x � 3f �x� � 12�3x � 1�
y
0 x
y=©
1
1
y
0 x
y=ƒ
1
1
x
y
0 a b c d r sx
y
0 a b c d r s
254 CÁLCULO
;
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:05 AM Page 254
63. Se a e b são números positivos, ache o valor máximo de
, .
64. Use um gráfico para estimar os números críticos de
com precisão de uma casa decimal.
65–68
(a) Use um gráfico para estimar os valores máximo e mínimo ab-
solutos da função com precisão de duas casas decimais.
(b) Use o cálculo para encontrar os valores máximo e mínimo
exatos.
65.
66.
67.
68.
69. Entre 0 ºC e 30 ºC, o volume V (em centímetros cúbicos) de 1 kg
de água a uma temperatura T é aproximadamente dado pela fór-
mula
Encontre a temperatura na qual a água tem sua densidade máxima.
70. Um objeto de massa m é arrastado ao longo de um plano hori-
zontal por uma força agindo ao longo de uma corda atada ao ob-
jeto. Se a corda faz um ângulo u com o plano, então a intensidade
da força é
onde m é uma constante positiva chamada coeficiente de atrito e
onde . Mostre que F é minimizada quando tg u�m.
71. Um modelo para o preço médio norte-americano para o açúcar re-
finado entre 1993 e 2003 é dado pela função
onde t é medido em anos desde agosto de 1993. Estime os ins-
tantes nos quais o açúcar esteve mais barato e mais caro entre
1993 e 2003.
72. Em 7 de maio de 1992, o ônibus espacial Endeavour foi lançado
na missão STS-49, cujo objetivo era instalar um novo motor de
arranque no satélite de comunicação Intelsat. A tabela dá os da-
dos de velocidade para o ônibus espacial entre a partida e a eje-
ção dos foguetes auxiliares.
(a) Useuma calculadora gráfica ou computador para encontrar o
polinômio cúbico que melhor modele a velocidade do ônibus
para o intervalo de tempo . Faça então o gráfico
desse polinômio.
(b) Encontre um modelo para a aceleração do ônibus e use-o para
estimar os valores máximo e mínimo da aceleração durante os
primeiros 125 segundos.
73. Quando um objeto estranho se aloja na traqueia, forçando uma
pessoa a tossir, o diafragma empurra-o para cima, causando um
aumento na pressão dos pulmões. Isso é acompanhado por uma
contração da traqueia, fazendo um canal mais estreito por onde
passa o ar expelido. Para uma dada quantidade de ar escapar em
um tempo fixo, é preciso que ele se mova mais rápido através do
tubo mais estreito do que no mais largo. Quanto maior for a ve-
locidade da corrente de ar, maior a força sobre o objeto estranho.
O uso de raios X mostra que o raio do tubo circular da traqueia
se contrai para cerca de 2/3 de seu raio normal durante a tosse. De
acordo com o modelo matemático para a tosse, a velocidade v está
relacionada ao raio r da traqueia pela equação
em que k é uma constante e , o raio normal da traqueia. A res-
trição sobre r deve-se ao fato de que as paredes da traqueia en-
durecem sob pressão, evitando uma contração maior que (de
outra forma, a pessoa ficaria sufocada).
(a) Determine o valor de r no intervalo no qual tenha
um máximo absoluto. Como isso se compara com a evidên-
cia experimental?
(b) Qual é o valor máximo absoluto de no intervalo?
(c) Esboce o gráfico de no intervalo .
74. Mostre que 5 é um número crítico da função
mas t não tem um valor extremo local em 5.
75. Demonstre que a função
não tem um local máximo nem um local mínimo.
76. Se f tem um valor mínimo local em c, mostre que a função
t(x) ��f (x) tem um valor máximo em c.
77. Demonstre o Teorema de Fermat para o caso em que f tem um mí-
nimo local em c.
78. Uma função cúbica é um polinômio de grau 3, isto é, tem a
forma f (x) � ax3 � bx2 � cx � d, onde .
(a) Mostre que uma função cúbica pode ter dois, um ou nenhum
número(s) crítico(s). Dê exemplos e faça esboços para ilustrar
as três possibilidades.
(b) Quantos valores extremos locais uma função cúbica pode
ter? 
a � 0
f �x� � x 101 � x 51 � x � 1
t�x� � 2 � �x � 5�3
v �0, r0 �
v
[ 12 r0, r0] v
1
2 r0
r0
v�r� � k�r0 � r�r 2 12 r0 � r � r0
t � �0, 125�
� 0,03629t 2 � 0,04458t � 0,4074
S�t� � �0,00003237t 5 � 0,0009037t 4 � 0,008956t 3
0 � � � ��2
F � mmt
m sen u � cos u
V � 999,87 � 0,06426T � 0,0085043T 2 � 0,0000679T 3
f �x� � x � 2 cos x, �2 � x � 0
f �x� � xsx � x 2
f �x� � e x � e�2x, 0 � x � 1
f �x� � x 5 � x 3 � 2, �1 � x � 1
f �x� � � x 3 � 3x 2 � 2 �
0 � x � 1f �x� � x a�1 � x�b
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 255
Evento Tempo (s) Velocidade (m�s)
Lançamento 0 0
Começo da manobra de inclinação 10 56,4
Fim da manobra de inclinação 15 97,2
Regulador de combustível a 89% 20 136,2
Regulador de combustível a 67% 32 226,2
Regulador de combustível a 104% 59 403,9
Pressão dinâmica máxima 62 440,4
Separação do foguete auxiliar 125 1.265,2
;
;
;
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:05 AM Page 255
PROJETO APLICADO O CÁLCULO DO ARCO-ÍRIS
O arco-íris é o fenômeno que resulta da dispersão da luz do Sol em gotas de chuva suspensas na at-
mosfera. Ele tem fascinado a humanidade desde os tempos antigos e tem inspirado tentativas de ex-
plicação científica desde a época de Aristóteles. Neste projeto, usaremos as ideias de Descartes e
de Newton para explicar a forma, a localização e as cores do arco-íris.
1. A figura mostra um raio de luz entrando numa gota d’água esférica por A. Parte da luz é refle-
tida, mas a reta AB mostra a trajetória da parte que entra na gota. Observe que a luz é refra-
tada em direção à reta normal AO e, de fato, a Lei de Snell afirma que , em
que a é o ângulo de incidência, b é o ângulo de refração e , o índice de refração para a
água. Em B, uma parte da luz passa através da gota e é refratada para o ar, mas a reta BC mos-
tra a parte que é refletida. (O ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão.) Quando o
raio alcança C, parte dele é refletido, mas, por ora, estamos mais interessados na parte que
deixa a gota d’água em C. (Note que ele é refratado para longe da reta normal.) O ângulo de
desvio D(a) é a quantidade de rotação no sentido horário sofrida pelo raio que passa por esse
processo de três etapas. Logo,
D(a) � (a � b) � (p� 2b) � (a � b) � p� 2a � 4b
Mostre que o valor mínimo do desvio é e ocorre quando .
O significado do desvio mínimo é que, quando , temos ; logo,
. Isso significa que muitos raios com são desviados aproximadamente
pela mesma quantidade. É essa concentração de raios vindos das proximidades da direção de
desvio mínimo que cria a luminosidade do arco-íris primário. A figura mostra que o ângulo de
elevação a partir do observador até o ponto mais alto sobre o arco-íris é 180º � 138º � 42º. (Esse
ângulo é chamado ângulo do arco-íris.)
2. O Problema 1 explica a localização do arco-íris principal, mas como explicar as cores? A luz
do Sol é formada por um espectro de comprimentos de onda, partindo do vermelho e passando
pelo laranja, amarelo, verde, azul, índigo e violeta. Como Newton havia descoberto em seus
experimentos com prismas em 1666, o índice de refração é diferente para cada cor. (Este efeito
é denominado dispersão.) Para a luz vermelha, o índice de refração é , enquanto
para a luz violeta, é . Repetindo os cálculos do Problema 1 para esses valores de k,
mostre que o ângulo do arco-íris é cerca de 42,3º para o arco vermelho e 40,6º para o arco vio-
leta. Assim, o arco-íris consiste realmente em sete arcos individuais correspondentes às sete
cores.
3. Talvez você já tenha visto um arco-íris secundário mais fraco acima do primeiro. Isso resulta
da parte do raio que entra em uma gota de chuva e é refratada em A, refletida duas vezes (em
B e C), e refratada quando deixa a gota em D (veja a figura à esquerda). Dessa vez, o ângulo
de desvio D(a) é o ângulo total da rotação no sentido anti-horário que o raio sofre nesse pro-
cesso de quatro etapas. Mostre que
D(a) � 2a � 6b� 2p
e D(a) tem um valor mínimo quando 
Usando , mostre que o desvio mínimo é cerca de 129º, e assim o ângulo do arco-íris para
o arco-íris secundário é cerca de 51º, conforme se vê na figura à esquerda.
4. Mostre que as cores no arco-íris secundário aparecem na ordem inversa daquela do primário.
a � 59,4
a � 59,4
k � 43
cos � �
 k 2 � 18
k � 1,3435
k � 1,3318
�D��� � 0
D���� � 0
a � 59,4
D��� � 138
k � 43
sen a � k sen b
256 CÁLCULO
å
å
D(å)
∫
A
do
Sol
Formação do arco-íris principal
para o
observador
C
B
O
∫
∫
∫
raios do Sol
raios do Sol
42°
138°
observador
Formação do arco-íris secundário
D
C
B
A
å
å
∫
∫
∫
∫
∫
∫
para o
observador
do
Sol
42° 51°
Pi
ch
ug
in
 D
m
itr
y/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:05 AM Page 256
Veremos que muitos dos resultados deste capítulo dependem de um fato central, que é chamado
Teorema do Valor Médio. Mas, para chegar ao Teorema do Valor Médio, precisamos primeiro
do seguinte resultado.
Teorema de Rolle Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:
1. f é contínua no intervalo fechado [a, b].
2. f é derivável no intervalo aberto (a, b).
3. f (a) � f (b)
Então, existe um número c em (a, b) tal que f �(c) � 0.
Antes de darmos a demonstração, vamos olhar os gráficos de algumas funções típicas que
satisfaçam as três hipóteses. A Figura 1 mostra os gráficos de quatro dessas funções. Em cada
caso, parece que há pelo menos um ponto (c, f (c)) onde a tangente é horizontal e, portanto, 
f �(c) � 0. Assim, o Teorema de Rolle é plausível.
DEMONSTRAÇÃO Existem três casos:
CASO I , uma constante
Então , assim, o número podeser tomado como qualquer número em (a, b).
CASO II para algum x em (a, b) [como na Figura 1(b) ou (c)]
Pelo Teorema dos Valores Extremos (que pode ser aplicado pela hipótese 1), f tem um va-
lor máximo em algum lugar de [a, b]. Como f(a) � f (b), ele deverá ter esse valor máximo em
um número c num intervalo aberto (a, b). Então f tem um máximo local em c e, pela hipótese
2, f é derivável em c. Portanto f �(c) � 0 pelo Teorema de Fermat.
CASO III para algum x em (a, b) [como na Figura 1(c) ou (d)] 
Pelo Teorema dos Valores Extremos, f tem um valor mínimo em [a, b] e, uma vez que
, ela assume esse valor mínimo em um número c em (a, b). Novamente f �(c) � 0
pelo Teorema de Fermat.
Vamos aplicar o Teorema de Rolle à função posição s � f (t) de um objeto em
movimento. Se o objeto estiver no mesmo lugar em dois instantes diferentes t � a e t � b,
então f (a) � f (b). O Teorema de Rolle afirma que existe algum instante do tempo t � c entre
a e b no qual f �(c) � 0; isto é, a velocidade é 0. (Em particular, você pode ver que isto é ver-
dadeiro quando uma bola é atirada diretamente para cima.)
Demonstre que a equação x3 � x � 1 � 0 tem exatamente uma raiz real.
SOLUÇÃO Primeiro, usamos o Teorema do Valor Intermediário (2.5.10) para mostrar que
existe uma raiz. Seja f (x) � x3 � x � 1. Então f (0) � �1 � 0 e f (1) � 1 	 0. Como f é
uma função polinomial, ela é contínua; assim, o Teorema do Valor Intermediário afirma que
existe um número c entre 0 e 1 tal que f (c) � 0. A equação dada, portanto, tem uma raiz.
Para mostrar que a equação não tem outra raiz real, usamos o Teorema de Rolle e argu-
mentamos por contradição. Suponha que ele tenha duas raízes a e b. Então f (a) � 0 � f (b)
EXEMPLO 2
EXEMPLO 1
f �a� � f �b�
f �x� � f �a�
f �x� 	 f �a�
f ��x� � 0
f �x� � k
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 257
4.2 O Teorema do Valor Médio
Rolle
O Teorema de Rolle foi publicado pela
primeira vez em 1691 pelo matemático
francês Michel Rolle (1652-1719) no livro
intitulado Méthode pour résoudre les
Egalitéz. Ele era um crítico veemente dos
métodos de sua época e atacou o cálculo
como “uma coleção de falácias
engenhosas”. Mais tarde, entretanto, ele
se convenceu de que os métodos do cál-
culo estavam essencialmente corretos.
FIGURA 1 
(b)
a b x
y
0
(a)
ba c™ x
y
0 c1 c2
(c)
ba x
y
0 c1 c2
(d)
ba
y
x0 c
Considere os casosSP
A Figura 2 mostra um gráfico da função
discutida no
Exemplo 2. O Teorema de Rolle mostra que,
independentemente do tamanho da janela
retangular, não podemos nunca encontrar
uma segunda intersecção com o eixo x.
f �x� � x 3 � x � 1
FIGURA 2
_2
3
_3
2
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:05 AM Page 257
e, uma vez que f é uma função polinomial, é derivável em (a, b) e contínua em [a, b]. Assim,
pelo Teorema de Rolle, existe um número c entre a e b tal que f �(c) � 0. Mas
para todo x
(uma vez que ), portanto, f �(x) nunca pode ser zero. Isso fornece uma contradição. Por-
tanto, a equação não pode ter duas raízes reais.
Nosso principal uso do Teorema de Rolle é na demonstração do seguinte importante teo-
rema, o qual foi primeiro enunciado por outro matemático francês, Joseph-Louis Lagrange.
O Teorema do Valor Médio Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:
1. f é contínua no intervalo fechado [a, b].
2. f é derivável no intervalo aberto (a, b).
Então, existe um número c em (a, b) tal que 
ou, de maneira equivalente,
Antes de demonstrarmos esse teorema, podemos ver que ele é razoável interpretando-o geo-
metricamente. As Figuras 3 e 4 mostram os pontos A(a, f (a)) e B(b, f (b)) sobre os gráficos de
duas funções deriváveis. A inclinação da reta secante AB é 
que é a mesma expressão mostrada no lado direito da Equação 1. Uma vez que f �(c) é a in-
clinação da reta tangente no ponto (c, f (c)), o Teorema do Valor Médio na forma dada pela
Equação 1 diz que há, no mínimo, um ponto P(c, f (c)) sobre o gráfico onde a inclinação da
reta tangente é igual à inclinação da reta secante AB. Em outras palavras, há um ponto P onde
a reta tangente é paralela à reta secante AB. (Imagine uma reta paralela a AB, iniciando dis-
tante e se movendo paralelamente a ela mesma até tocar o gráfico pela primeira vez.)
DEMONSTRAÇÃO Aplicamos o Teorema de Rolle a uma nova função h definida como a di-
ferença entre f e a função cujo gráfico é a reta secante AB. Usando a Equação 3, vemos que
a equação da reta AB pode ser escrita como
ou como
Assim, como mostrado na Figura 5, 
y � f �a� � f �b� � f �a�b � a �x � a�
y � f �a� � f �b� � f �a�b � a �x � a�
mAB �
f �b� � f �a�
b � a3
f �b� � f �a� � f ��c��b � a�2
f ��c� � f �b� � f �a�b � a1
x 2 � 0
f ��x� � 3x 2 � 1 � 1
258 CÁLCULO
O Teorema do Valor Médio é um exemplo
do que é chamado teorema da existência.
Da mesma forma que o Teorema do Valor
Intermediário, o Teorema dos Valores
Extremos e o Teorema de Rolle, ele garante
que existe um número com certa pro-
priedade, mas não nos diz como achá-lo.
a
P{c, f(c)}
A{a, f(a)}
B{b, f(b)}
FIGURA 3 FIGURA 4
0 x
y
a b 0 x
y
c1 c2
BP1
A P2
bc
FIGURA 5
0 x
y
x
h(x)
y=ƒ
ƒ
A
B
f(a)+ (x-a)
f(b)-f(a)
b-a
a b
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:05 AM Page 258
Precisamos primeiro verificar que h satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle.
1. A função h é contínua em [a, b], pois é soma de f e uma função polinomial de primeiro
grau, ambas contínuas.
2. A função h é derivável em (a, b) pois tanto f quanto a função polinomial de primeiro grau
são deriváveis. De fato, podemos calcular h� diretamente da Equação 4:
(Observe que f (a) e [f (b) � f (a)]/(b � a) são constantes.)
3.
Portanto, h(a) � h(b).
Uma vez que h satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle, esse teorema afirma que existe
um número c em (a, b) tal que h�(c) � 0. Portanto,
e, assim,
Para ilustrarmos o Teorema do Valor Médio com uma função específica, vamos
considerar f (x) � x3 � x, a � 0, b � 2. Uma vez que f é uma função polinomial, então ela é
contínua e derivável para todo x; logo, é certamente contínua em [0, 2] e derivável em (0, 2).
Portanto, pelo Teorema do Valor Médio, existe um número c em (0, 2) tal que 
Agora e , e essa equação fica
o que dá , isto é, . Mas c deve estar em (0, 2), então, . A Figura
6 ilustra esse cálculo: a reta tangente neste valor de c é paralela à reta secante .
Se um objeto move-se em uma linha reta com uma função posição , então
a velocidade média entre e é 
e a velocidade em t � c é f �(c). Assim, o Teorema do Valor Médio (na forma da Equação 1)
nos diz que, em algum instante t � c entre a e b, a velocidade instantânea f �(c) é igual à ve-
locidade média. Por exemplo, se um carro percorrer 180 km em duas horas, então o velocí-
metro deve ter passado pela marca dos 90 km/h pelo menos uma vez.
Em geral, o Teorema do Valor Médio pode ser interpretado como se dissesse que existe um
número no qual a taxa de variação instantânea é igual à taxa de variação média em um intervalo.
f �b� � f �a�
b � a
t � bt � a
s � f �t�EXÉMPLO 4
OB
c � 2�s3c � �2�s3c 2 � 43
6 � �3c 2 � 1�2 � 6c 2 � 2
f ��x� � 3x 2 � 1f �2� � 6, f �0� � 0
f �2� � f �0� � f ��c��2 � 0�
EXEMPLO 3
f ��c� � f �b� � f �a�b � a
0 � h��c� � f ��c� � f �b� � f �a�b � a
� f �b� � f �a� � � f �b� � f �a�� � 0
h�b� � f �b� � f �a� � f �b� � f �a�b � a �b � a�
h�a� � f �a� � f �a� � f �b� � f �a�b � a �a � a� � 0
h��x� � f ��x� � f �b� � f �a�b � a
h�x� � f �x� � f �a� � f �b� � f �a�b � a �x � a�4
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 259
Lagrange e o Teorema do Valor
Médio
O Teorema do Valor Médio foi formulado
pela primeira vez por Joseph-Louis
Lagrange (1736-1813), nascido na Itália,
com pai francês e mãe italiana. Ele foi
uma criança prodígio e se tornou professor
em Turin na idade de 19 anos. Lagrangefez grandes contribuições à teoria dos
números, à teoria das funções, à teoria
das equações, e às mecânicas analítica e
celeste. Em particular, aplicou o cálculo na
análise da estabilidade do sistema solar. A
convite de Frederico, o Grande, ele
sucedeu Euler na Academia de Berlim e,
após a morte de Frederico, Lagrange
aceitou o convite do rei Luís XVI para viver
em Paris, onde lhe foi dado um
apartamento no Louvre. Lá, tornou-se
professor da École Polytechnique. A
despeito das armadilhas da fama e da
luxúria, ele era um homem bondoso e
quieto, que vivia somente para a ciência.
FIGURA 6
y=˛-x
B
x
y
c 2
O
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:05 AM Page 259
A grande importância do Teorema do Valor Médio reside no fato de ele nos possibilitar ob-
ter informações sobre uma função a partir de dados sobre sua derivada. O próximo exemplo
mostra esse princípio.
Suponha que e para todos os valores de x. Quão grande f
(2) pode ser?
SOLUÇÃO Foi-nos dado que f é derivável (e, portanto, contínua) em toda parte. Em particu-
lar, podemos aplicar o Teorema do Valor Médio ao intervalo [0, 2]. Existe, então, um número
c tal que
logo
Foi-nos dado que para todo x; assim, sabemos que . Multiplicando por 2
ambos os lados dessa desigualdade, temos , logo
O maior valor possível para é 7.
O Teorema do Valor Médio pode ser usado para estabelecer alguns dos fatos básicos do cál-
culo diferencial. Um deles é o teorema a seguir. Outros serão encontrados nas seções seguin-
tes.
Teorema Se para todo x em um intervalo (a, b), então f é constante em
(a, b).
DEMONSTRAÇÃO Sejam x1 e x2 dois números quaisquer em (a, b), sendo x1 � x2. Como f é
derivável em (a, b), ela deve ser derivável em (x1, x2) e contínua em [x1, x2]. Aplicando o Teo-
rema do Valor Médio a f no intervalo [x1, x2], obtemos um número c tal que x1 � c � x2 e
Uma vez que para todo x, temos , e a Equação 6 fica
ou 
Portanto, f tem o mesmo valor em quaisquer dois números x1 e x2 em (a, b). Isso significa que
f é constante em (a, b).
Corolário Se para todo x em um intervalo (a, b), então f � t é cons-
tante em (a, b); isto é, , em que c é uma constante.
DEMONSTRAÇÃO Seja . Então
para todo x em (a, b). Assim, pelo Teorema 5, F é constante; isto é, f � t é constante. 
OBSERVAÇÃO É necessário cuidado ao aplicar o Teorema 5. Seja
O domínio de f é e para todo x em D. Mas f não é, obviamente, uma
função constante. Isso não contradiz o Teorema 5, pois D não é um intervalo. Observe que f
é constante no intervalo e também no intervalo .�0, 
� ��
, 0�
f ��x� � 0D � �x � x � 0�
f �x� � x� x � � 	1�1 se x 	 0se x � 0
F��x� � f ��x� � t��x� � 0
F�x� � f �x� � t�x�
f �x� � t�x� � c
f ��x� � t��x�7
f ��c� � 0f ��x� � 0
f �x2 � � f �x1�f �x2 � � f �x1� � 0
f �x2 � � f �x1� � f ��c��x2 � x1�6
f ��x� � 05
f �2�
f �2� � �3 � 2 f ��c� � �3 � 10 � 7
2 f ��c� � 10
f ��c� � 5f ��x� � 5
f �2� � f �0� � 2 f ��c� � �3 � 2 f ��c�
f �2� � f �0� � f ��c��2 � 0�
f ��x� � 5f �0� � �3EXEMPLO 5
260 CÁLCULO
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:06 AM Page 260
Demonstre a identidade .
SOLUÇÃO Embora não seja necessário o cálculo para demonstrar essa identidade, a demons-
tração usando cálculo é bem simples. Se , então
para todos os valores de x. Portanto f (x) � C, uma constante. Para determinar o valor de C,
fazemos x � 1 (porque podemos calcular f (1) exatamente). Então
Assim, .tg�1x � cotg�1x � p�2
C � f �1� � tg�1 1 � cotg�1 1 � p
4
�
p
4
�
p
2
f ��x� � 1
1 � x 2 �
1
1 � x 2 � 0
f �x� � tg�1x � cotg�1x
tg�1x � cotg�1x � p�2EXEMPLO 6
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 261
4.2
; É necessário o uso de uma calculadora gráfica ou computador 1. As Homeworks Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
1– 4 Verifique que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de
Rolle no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que sa-
tisfazem à conclusão do Teorema de Rolle.
1.
2.
3.
4.
5. Seja . Mostre que f (�1) � f (1), mas não existe
um número c em (�1, 1) tal que f �(c) � 0. Por que isso não con-
tradiz o Teorema de Rolle?
6. Seja f (x) � tg x. Mostre que f(0) � f (p), mas não existe um nú-
mero c em (0, p) tal que f �(c) � 0. Por que isso não contradiz o
Teorema de Rolle?
7. Use o gráfico de f para estimar os valores de c que satisfaçam à
conclusão do Teorema do Valor Médio para o intervalo [0, 8].
8. Use o gráfico de f dado no Exercício 7 para estimar os valores de
c que satisfaçam à conclusão do Teorema do Valor Médio para o
intervalo [1, 7].
9–12 Verifique se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor
Médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que sa-
tisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio.
9. , 
10. , 
11.
12. , 
13–14 Encontre o número c que satisfaça à conclusão do Teorema do
Valor Médio para o intervalo dado. Desenhe o gráfico da função, a reta
secante passando pelas extremidades, e a reta tangente em 
(c, f (c)). A reta secante e a reta tangente são paralelas?
13. , 14. , 
15. Seja . Mostre que não existe um valor c em 
(1, 4) tal que . Por que isso não con-
tradiz o Teorema do Valor Médio?
16. Seja . Mostre que não existe um valor c tal
que . Por que isso não contradiz o
Teorema do Valor Médio?
17-18 Mostre que a equação tem exatamente uma raiz real.
17. 18.
19. Mostre que a equação x3 � 15x � c � 0 tem no máximo uma raiz
no intervalo [�2, 2].
20. Mostre que a equação x4 � 4x � c � 0 tem no máximo duas raí-
zes reais.
21. (a) Mostre que um polinômio de grau 3 tem, no máximo, três raí-
zes reais.
(b) Mostre que um polinômio de grau n tem, no máximo, n raí-
zes reais.
22. (a) Suponha que f seja derivável em e tenha duas raízes. Mos-
tre que f � tem pelo menos uma raiz.
(b) Suponha que f seja duas vezes derivável em e tenha três raí-
zes. Mostre que f � tem pelo menos uma raiz real.
(c) Você pode generalizar os itens (a) e (b)?
23. Se f (1) � 10 e para , quão pequeno f(4)
pode ser?
24. Suponha que para todos os valores de x. Mostre
que .18 � f �8� � f �2� � 30
3 � f ��x� � 5
1 � x � 4f ��x� � 2
�
�
x 3 � e x � 02x � cos x � 0
f �3� � f �0� � f ��c��3 � 0�
f �x� � 2 � �2x � 1�
f �4� � f �1� � f ��c��4 � 1�
f �x� � �x � 3��2
�0, 2�f �x� � e�x�0, 4�f �x� � sx
�1, 4�f �x� � xx � 2
f �x� � e�2x, �0, 3�
�0, 2�f �x� � x 3 � x � 1
�0, 2�f �x� � 2x 2 � 3x � 1
y
y =ƒ
1
x0 1
f �x� � 1 � x 2�3
���8, 7��8�f �x� � cos 2x,
�0, 9�f �x� � sx � 13 x,
�0, 3�f �x� � x 3 � x 2 � 6x � 2,
�1, 3�f �x� � 5 � 12x � 3x 2,
Exercícios
;
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:06 AM Page 261
Muitas das aplicações do cálculo dependem de nossa habilidade para deduzir fatos sobre uma
função f a partir de informações relativas a suas derivadas. Como representa a inclinação
da curva y � f (x) no ponto (x, f (x)), ela nos informa para qual direção a curva segue em cada
ponto. Assim, é razoável esperar que informações sobre nos forneçam informações so-
bre f (x).
O que f� diz sobre f ?
Para ver como a derivada de f pode nos dizer onde uma função é crescente ou decrescente, ob-
serve a Figura 1. (As funções crescentes e decrescentes foram definidas na Seção 1.1.) Entre
A e B e entre C e D, as retas tangentes têm inclinação positiva e, portanto, f �(x) 	 0. Entre B
e C, as retas tangentes têm inclinação negativa e, portanto, f �(x) � 0. Assim, parece que f cresce
quando f �(x) é positiva e decresce quando f �(x) é negativa. Para demonstrar que isso é sem-
pre válido, vamos usar o Teorema do Valor Médio.
Teste Crescente/Decrescente
(a) Se em um intervalo, então f é crescente nele.
(b) Se em um intervalo, então f é decrescente nele.
DEMONSTRAÇÃO
(a) Sejam e dois números quaisquer no intervalo com . De acordo com a defini-
ção de uma função crescente, temos de mostrar que .
Como nos foi dadoque , sabemos que f é derivável em . Portanto, pelo
Teorema do Valor Médio, existe um número c entre e tal que
Agora , por hipótese, e , pois . Assim, o lado direito da Equação
1 é positivo e, portanto,
ou f �x1� � f �x2 �f �x2 � � f �x1� 	 0
x1 � x2x2 � x1 	 0f ��c� 	 0
f �x2 � � f �x1� � f ��c��x2 � x1�1
x2x1
�x1, x2 �f ��x� 	 0
f �x1� � f �x2 �
x1 � x2x2x1
f ��x� � 0
f ��x� 	 0
f ��x�
f ��x�
262 CÁLCULO
25. Existe uma função f tal que f (0) ��1, f (2) � 4 e para
todo x?
26. Suponha que e sejam contínuas em [a, b] e deriváveis em 
(a, b). Suponha também que e para
. Prove que . [Dica: Aplique o Teorema do
Valor Médio para a função .]
27. Mostre que se x 	 0.
28. Suponha que f seja uma função ímpar e é derivável em toda
parte. Demonstre que para todo o número positivo b, existe um
número c em (�b, b) tal que .
29. Use o Teorema do Valor Médio para demonstrar a desigualdade
para todo a e b.
30. Se f �(x) � c (c é uma constante) para todo x, use o Corolário 7
para mostrar que f (x) � cx � d para alguma constante d.
31. Sejam f (x) � 1/x e
Mostre que para todo x em seus domínios. Pode-
mos concluir a partir do Corolário 7 que é constante?
32. Use o método do Exemplo 6 para demonstrar a identidade
, .
33. Demonstre a identidade.
34. Ás 14 h da tarde o velocímetro do carro mostra 50 km/h. Às 
14 h 10, ele mostra 65 km/h. Prove que em algum momento en-
tre 14 h e 14 h 10 a aceleração era exatamente de 90 km/h2.
35. Dois corredores iniciam uma corrida no mesmo instante e terminam
empatados. Prove que em algum momento durante a corrida, eles
tinham a mesma velocidade. [Dica: Considere ,
onde t e h são as duas posições dos corredores.] 
36. Um número a é chamado ponto fixo de uma função f se
. Demonstre que se para todos os números
reais x, então f tem no máximo um ponto fixo.
f ��x� � 1f �a� � a
f �t� � t�t� � h�t�
arcsen
x � 1
x � 1 � 2 arctg sx �
p
2
x � 02 sen�1x � cos�1�1 � 2x 2 �
f � t
f ��x� � t��x�
t�x� �
1
x
1 �
1
x
se
se
x 	 0
x � 0
� sen a � sen b � � � a � b �
f ��c� � f �b��b
s1 � x � 1 � 12 x
h � f � t
f �b� � t�b�a � x � b
f ��x� � t��x�f �a� � t�a�
tf
f ��x� � 2
4.3 Como as Derivadas Afetam a Forma de um Gráfico
D
A
B
C
y
0 x
FIGURA 1 
Vamos abreviar o nome deste teste para
Teste C/D.
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:07 AM Page 262
Isso mostra que f está aumentando.
A parte (b) é demonstrada de maneira semelhante.
Encontre onde a função é crescente e onde ela
é decrescente.
SOLUÇÃO
Para usarmos o Teste C/D, devemos saber onde e onde . Isso depende dos
sinais dos três fatores de , isto é, , e . Dividimos a reta real em interva-
los cujas extremidades são os números críticos �1, 0 e 2 e dispomos o que fizemos em uma
tabela. Um sinal de mais indica que a expressão dada é positiva, e um sinal de menos indica
que é negativa. A última coluna da tabela mostra a conclusão baseada no teste C/D. Por exem-
plo, para , de modo que f é decrescente em (0, 2). (Também seria ver-
dade dizer que f é decrescente no intervalo fechado [0, 2].)
O gráfico de f mostrado na Figura 2 confirma a informação dada na tabela. 
Da Seção 4.1, lembre-se de que se f tem um máximo ou mínimo local em c, então c deve
ser um número crítico de f (pelo Teorema de Fermat), mas nem todo número crítico dá origem
a um máximo ou mínimo. Consequentemente, necessitamos de um teste que nos diga se f tem
ou não um máximo ou mínimo local em um número crítico.
Você pode ver a partir da Figura 2 que f (0) � 5 é um valor máximo local de f, pois f cresce
em (�1, 0) e decresce em (0, 2). Ou, em termos de derivadas, para �1 � x � 0 e
para 0 � x � 2. Em outras palavras, o sinal de muda de positivo para nega-
tivo. Essa observação é a base do teste a seguir.
Teste da Primeira Derivada Suponha que c seja um número crítico de uma função con-
tínua f.
(a) Se o sinal de mudar de positivo para negativo em c, então f tem um máximo
local em c.
(b) Se o sinal de mudar de negativo para positivo em c, então f tem um mínimo
local em c.
(c) Se não mudar de sinal em c (isto é, se em ambos os lados de c for positivo
ou negativo), então f não tem máximo ou mínimo locais em c.
O Teste da Primeira Derivada é uma consequência do Teste C/D. Na parte (a), por exem-
plo, uma vez que o sinal de muda de positivo para negativo em c, f é crescente à esquerda
de c e decrescente à direita de c. A consequência é que f tem um máximo local em c.
É fácil memorizar o Teste da Primeira Derivada visualizando diagramas como os da Fi-
gura 3.
f �
f ��x�
f �
f �
f �
f ��x�f ��x� � 0
f ��x� 	 0
0 � x � 2f ��x� � 0
x � 1x � 212xf ��x�
f ��x� � 0f ��x� 	 0
f ��x� � 12x 3 � 12x 2 � 24x � 12x�x � 2��x � 1�
f �x� � 3x 4 � 4x 3 � 12x 2 � 5EXEMPLO 1
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 263
20
_30
_2 3
FIGURA 2 Intervalo x � 2 x � 1 f
� � � � decrescente em (�
, �1)
� � � � crescente em (�1, 0)
� � � � decrescente em (0, 2)
� � � � crescente em (2, 
)
f ��x�12x
x 	 2
0 � x � 2
�1 � x � 0
x � �1
FIGURA 3
0 x
y
c
fª(x)>0 fª(x)<0
(a) Máximo local
c0 x
y
fª(x)<0
fª(x)<0
(d) Nem mínimo, nem máximo(c) Nem máximo, nem mínimo
c0 x
y
fª(x)>0
fª(x)>0
c0 x
y
fª(x)<0 fª(x)>0
(b) Mínimo local
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:07 AM Page 263
Encontre os valores de máximos e mínimos locais da função f do Exemplo 1.
SOLUÇÃO Da tabela na solução do Exemplo 1, vemos que o sinal de f �(x) muda de negativo
para positivo em �1, então f (�1) � 0 é um valor mínimo local pelo Teste da Primeira Deri-
vada. Analogamente, o sinal de f � muda de negativo para positivo em 2; portanto, f (2) ��27
é também um valor mínimo local. Como observado anteriormente, f (0) � 5 é um valor
máximo local, pois o sinal de f �(x) muda de positivo para negativo em 0.
Encontre os valores de máximos e mínimos locais da função
SOLUÇÃO Para achar os números críticos de , derivamos:
Logo, quando . As soluções desta equação são e .
Como é derivável em toda parte, os únicos números críticos são e e, portanto,
analisamos na tabela a seguir. 
Como o sinal de muda de positivo para negativo em , o Teste da Primeira Derivada
nos diz que há um máximo local em e o valor máximo local é
Da mesma forma, o sinal de muda de negativo para positivo em , então 
é um valor mínimo local. O gráfico t na Figura 4 confirma nossa conclusão.
EXEMPLO 2
t
t�4p�3� � 4p
3
� 2 sen
4p
3
�
4p
3
� 2
� s32 � � 4p3 � s3 � 2,46
4��3t��x�
t�2p�3� � 2p
3
� 2 sen
2p
3
�
2p
3
� 2
s32 � � 2p3 � s3 � 3,83
2��3
2��3t��x�
4��32��3
t
t
4��32��3cos x � �12t��x� � 0
t��x� � 1 � 2 cos x
0 � x � 2�t�x� � x � 2 sen x
EXEMPLO 3
264 CÁLCULO
Os sinais + na tabela vêm do fato de que
quando . Do gráfico
de , isso é verdade nos
intervalos indicados.
y � cos x
cos x 	 �12t��x� 	 0
Intervalo
� crescente em 
� decrescente em 
� crescente em �4��3, 2��
�2��3, 4��3�
�0, 2��3�
tt��x� � 1 � 2 cos x
4��3 � x � 2�
2��3 � x � 4��3
0 � x � 2��3
FIGURA 4 
©=x+2 sen x 
6
0 2π
O que f � nos diz sobre f ?
A Figura 5 mostra os gráficos de duas funções crescentes em (a, b). Ambos os gráficos unem
o ponto A ao B, mas eles são diferentes, pois se inclinam em direções diferentes. Como dis-
tinguir entre esses dois tipos de comportamento? Na Figura 6, as tangentes a essas curvas fo-
ram traçadas em vários pontos. Na parte (a), a curva fica acima das tangentes e f é chamada
côncava para cima em (a, b). Em (b), a curva está abaixo das tangentes t e é chamada côn-
cava para baixo em (a, b).
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:07 AM Page 264
Definição Se o gráfico de f estiver acima de todas as suas tangentes no intervalo I, en-
tão f é chamada côncava para cima em I. Se o gráfico de f estiverabaixo de todas as
suas tangentes em I, então f é chamada côncava para baixo em I.
A Figura 7 mostra o gráfico de uma função que é côncava para cima (abrevia-se CC) nos
intervalos (b, c), (d, e) e (e, p), e côncava para baixo (CB) nos intervalos (a, b), (c, d) e (p, q).
Vamos observar como a segunda derivada nos ajuda a determinar os intervalos de conca-
vidade. Olhando para a Figura 6(a), você pode ver que, indo da esquerda para a direita, a in-
clinação da tangente cresce. Isso significa que a derivada é uma função crescente e, con-
sequentemente, sua derivada é positiva. Da mesma forma, na Figura 6(b) a inclinação da
tangente decresce da esquerda para a direita; logo, decresce e, portanto, é negativa. Esse
raciocínio pode ser invertido e sugere que o teorema a seguir é verdadeiro. Uma demonstra-
ção dele está dada no Apêndice F, a qual usa o Teorema do Valor Médio.
Teste da Concavidade
(a) Se para todo x em I, então o gráfico de f é côncavo para cima em I.
(b) Se para todo x em I, então o gráfico de f é côncavo para baixo em I.
A Figura 8 mostra um gráfico da população de abelhas cipriotas criadas em um
apiário. Como cresce a taxa populacional? Quando essa taxa é mais alta? Sobre quais inter-
valos P é côncavo para cima ou côncavo para baixo?
EXEMPLO 4
f ��x� � 0
f ��x� 	 0
f �
f �
f �
f �
FIGURA 5 
FIGURA 6
f
A
B
x
y
0 a
g
A
B
x
y
0
g
A
B
x
y
0
f
A
B
x
y
0
(a) (b)
(a) Côncava para cima (b) Côncava para baixo
ba b
FIGURA 7 
a q
B
C
D
P
x
y
0
CB CC CB CC CBCC
b c d e p q
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 265
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:07 AM Page 265
SOLUÇÃO Examinando a inclinação da curva quando t cresce, vemos que a taxa de cresci-
mento populacional é inicialmente muito pequena, então se torna maior até atingir o máximo
em cerca de t � 12 semanas, e decresce até a população se estabilizar. À medida que a popu-
lação tende a seu valor máximo de cerca de 75.000 (chamada capacidade de suporte), a taxa
de crescimento, P�(t), tende a 0. A curva parece ser côncava para cima em (0, 12) e côncava
para baixo em (12, 18).
No Exemplo 4, a curva populacional varia de côncava para cima a côncava para baixo apro-
ximadamente no ponto (12, 38.000) Este ponto é chamado de ponto de inflexão da curva. O sig-
nificado desse ponto é que a taxa de crescimento populacional tem ali seu valor máximo. Em ge-
ral, um ponto de inflexão é aquele em que uma curva muda a direção de sua concavidade.
Definição Um ponto P na curva y � f (x) é chamado ponto de inflexão se f é contínua
no ponto e a curva mudar de côncava para cima para côncava para baixo ou vice-versa
em P.
Por exemplo, na Figura 7, B, C, D e P são os pontos de inflexão. Observe que se uma curva
tiver uma tangente em um ponto de inflexão, então a curva cruza sua tangente aí.
Em vista do Teste da Concavidade, há um ponto de inflexão sempre que a segunda deri-
vada mudar de sinal.
Esboce um gráfico possível de uma função f que satisfaça as seguintes condi-
ções:
SOLUÇÃO A condição (i) nos diz que f cresce em e decresce em . A condição (ii)
diz que f é côncava para cima em e , e côncava para baixo em (�2, 2). Da con-
dição (iii) sabemos que o gráfico de f tem duas assíntotas horizontais: e .
Primeiro, traçamos a assíntota horizontal y ��2 como uma linha tracejada (veja a Figura
9). Então fazemos o gráfico de f tendendo a essa assíntota no extremo esquerdo, crescente até
seu máximo no ponto x �1 e decrescente em direção ao eixo x na extremidade direita. Nós
também nos asseguramos de que o gráfico tem pontos de inflexão quando x � �2 e 2. Ob-
serve que fizemos a curva encurvada para cima para x � �2 e x 	 2, e para baixo quando x
está entre �2 e 2.
Outra aplicação da segunda derivada é o teste a seguir para os valores máximo e mínimo.
Ele é uma consequência do Teste da Concavidade.
Teste da Segunda Derivada Suponha que f � seja contínua na proximidade de c.
(a) Se e , então f tem um mínimo local em c.
(b) Se e , então f tem um máximo local em c.f ��c� � 0f ��c� � 0
f ��c� 	 0f ��c� � 0
y � 0y � �2
�2, 
���
, �2�
�1, 
���
, 1�
�iii� lim
xl�
f �x� � �2, lim
xl
f �x� � 0
�ii� f ��x� 	 0 em ��
, �2� e �2, 
�, f ��x� � 0 em ��2, 2�
�i� f ��x� 	 0 em ��
, 1�, f ��x� � 0 em �1, 
�
EXEMPLO 5
266 CÁLCULO
FIGURA 8
t
P
3
20
0
Tempo (em semanas)
6 12 15
40
60
80
Número de abelhas
(em milhares)
189
FIGURA 9
x
y=_2
0 1 2-2
y
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:07 AM Page 266
Por exemplo, a parte (a) é verdadeira, pois próximo a c e portanto f é côncava
para cima próximo de c. Isso significa que o gráfico de f se situa acima de sua tangente hori-
zontal em c, de modo que f tem um mínimo local em c. (Veja a Figura 10.)
Examine a curva y � x4 � 4x3 em relação à concavidade, aos pontos de inflexão
e mínimos e máximos locais. Use essa informação para esboçar a curva.
SOLUÇÃO Se f (x) � x4 � 4x3, então
Para encontrarmos os números críticos, fazemos e obtemos x � 0 e x � 3. Para usar
o Teste da Segunda Derivada, calculamos f � nesses pontos críticos:
Uma vez que e , é um mínimo local. Uma vez que
, o Teste da Segunda Derivada não fornece informações sobre o número crítico 0.
Mas, uma vez que para x � 0 e também para 0 � x � 3, o Teste da Primeira De-
rivada nos diz que f não tem um máximo ou mínimo local em 0. [De fato, a expressão para
mostra que f decresce à esquerda de 3 e cresce à direita de 3.]
Como quando x � 0 ou 2, dividimos a reta real em intervalos com esses nú-
meros como extremidades e completamos a seguinte tabela.
O ponto (0, 0) é um ponto de inflexão, uma vez que a curva muda de côncava para cima
para côncava para baixo aí. Também (2, �16) é um ponto de inflexão, uma vez que é ali que
a curva muda de côncava para baixo para côncava para cima.
Usando o mínimo local, os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão, esboçamos
a curva na Figura 11.
OBSERVAÇÃO O Teste da Segunda Derivada é inconclusivo quando . Em outras
palavras, esse ponto pode ser um máximo, um mínimo ou nenhum dos dois (como no Exem-
plo 6). Esse teste também falha quando não existe. Em tais casos, o Teste da Primeira
Derivada deve ser usado. De fato, mesmo quando ambos os testes são aplicáveis, o Teste da
Primeira da Derivada é frequentemente mais fácil de aplicar.
Esboce o gráfico da função .
SOLUÇÃO O cálculo das duas primeiras derivadas dá
Uma vez que quando x � 4 e não existe quando x � 0 ou x � 6, os números
críticos são 0, 4 e 6.
f ��x� 	 0
f ��x�f ��x� � 0
f ��x� � �8x 4�3�6 � x�5�3f ��x� �
4 � x
x 1�3�6 � x�2�3
f �x� � x 2�3�6 � x�1�3EXEMPLO 7
f ��c�
f ��c� � 0
f ��x� � 0
f ��x�
f ��x� � 0
f ��0� � 0
f �3� � �27f ��3� 	 0f ��3� � 0
f ��3� � 36 	 0f ��0� � 0
f ��x� � 0
f ��x� � 12x2 � 24x � 12x�x � 2�
f ��x� � 4x 3 � 12x 2 � 4x 2�x � 3�
EXEMPLO 6
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 267
fª(c)=0
f(c)
ƒ
c
P
x x
y
0
FIGURA 10
f·(c)>0, f é côncavo para cima.
f
Intervalo Concavidade
(�
, 0) � para cima
(0, 2) � para baixo
(2, 
) � para cima
f ��x� � 12x�x � 2�
FIGURA 11
x
y
2
(2, _16)
(3, _27)
y=x$-4˛
pontos de
inflexão
(0, 0)
3
Use as regras de diferenciação para validar
estes cálculos. 
FIGURA 12
y
x0
2
3
4
1 3 5
(4, 25/3)
y=x 2/3(6-x)1/3
2 4 7
Tente reproduzir o gráfico na Figura 12 com
uma calculadora gráfica ou computador.
Algumas máquinas fornecem o gráfico
completo; outras, apenas a parte à direita
do eixo y, enquanto outras produzem
somente a parte entre e .
Para mais explicações, veja o Exemplo 7 da
Seção 1.4. Uma expressão equivalente que
fornece o gráfico correto é
x � 6x � 0
y � �x 2 �1�3 � 6 � x� 6 � x � � 6 � x �
1�3
Intervalo f
� � � � decrescente em (�, 0)
� � � � crescente em (0, 4)
� � � � decrescente em (4, 6)
� � � � decrescente em (6, 
)
4 � x f ��x��6 � x�2�3x 1�3
x 	 6
4 � x � 6
0 � x � 4
x � 0
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:08 AM Page 267
Para encontrarmos os valores extremos locais, usamos o Teste da Primeira Derivada.
Uma vez que o sinal de f � muda de negativo para positivo em 0, f (0) � 0 é um mínimo lo-
cal. Já que o sinal de f � muda de positivo para negativo em 4, é um máximo lo-
cal. O sinal de f � não muda em 6; logo, não há nem mínimo, nem máximo aí. (O Teste de Se-
gunda Derivada poderia ser usado em 4, mas não em 0 ou 6, uma vez que f � não existe aí.)
Examinando a expressão para f �(x) e observando que para todo x, temos f �(x) � 0
para x � 0 e para 0 � x � 6 e f �(x) � 0 para x > 6. Logo, f é côncava para baixo em
e (0, 6) e côncava para cima em , e o único ponto de inflexão é (6, 0). O gráfico está es-
boçado na Figura 12. Observe que a curva tem tangentes verticais em (0, 0) e (6, 0), pois
quando e quando .
Use a primeira e a segunda derivadas de , junto com as assíntotas,
para esboçar seu gráfico.
SOLUÇÃO Observe que o domínio de f é ; portanto, verificamos a existência de
assíntotas verticais calculando os limites à esquerda e à direita quando . Quando
, sabemos que , logo
e isso mostra que é uma assíntota vertical. Quando , temos , de
modo que
Quando , temos ; logo, 
Isso mostra que y � 1 é uma assíntota horizontal.
Agora, vamos calcular a derivada. A Regra da Cadeia dá 
Uma vez que e para todo , temos para todo . Assim, f
é decrescente em e em . Não há número crítico; logo, a função não tem valores
máximo e mínimo locais. A segunda derivada é
Uma vez que e , temos quando e
quando . Portanto, a curva é côncava para baixo em e côncava para cima
em e em . O ponto de inflexão é .
Para esboçarmos o gráfico de f, primeiro desenhamos a assíntota horizontal y � 1 (como
uma linha tracejada), junto com as partes da curva próxima da assíntota em um esboço preli-
minar [Figura 13(a)]. Essas partes refletem a informação relativa aos limites e o fato de que f
é decrescente tanto em como em . Observe que indicamos que quando
mesmo que f (0) não exista. Na Figura 13(b) terminamos o esboço incorporando a in-
formação relativa à concavidade e ao ponto de inflexão. Na Figura 13(c) verificamos nosso tra-
balho com uma ferramenta gráfica.
xl 0�
���, 0� �0, �� f �x� l 0
(�12, 0) �0, �� (�12, e�2)
x � �12 (��, �12 )
e 1�x � 0 x 4 � 0 f ��x� � 0 x � �12 �x � 0� f ��x� � 0
f ��x� � � x
2e 1�x��1�x 2 � � e 1�x�2x�
x 4 �
e 1�x�2x 	 1�
x 4
���, 0� �0, ��
x � 0f ��x� � 0x � 0x 2 � 0e 1�x � 0
f ��x� � � e
1�x
x 2
lim
xl
�
e 1�x � e 0 � 1
1�xl 0xl 
�
lim
xl0�
e 1�x � lim
tl��
e t � 0
t � 1�xl ��xl 0�x � 0
lim
xl0	
e 1�x � lim
tl�
e t � �
t � 1�xl �xl 0	
xl 0
�x � x � 0�
f �x� � e 1�xEXEMPLO 8
xl 6xl 0� f ��x� �l �
�6, ��
���, 0�
x 4�3 � 0
f �4� � 25�3
268 CÁLCULO
Em Module 4.3 você pode praticar
utilizando a informação sobre , e
assíntotas para determinar a forma do
gráfico de .f
f �f �
TEC
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:10 AM Page 268
1–2 Usar o gráfico dado de f para encontrar o seguinte: 
(a) Os intervalos abertos nos quais f é crescente.
(b) Os intervalos abertos nos quais f é decrescente.
(c) Os intervalos abertos nos quais f é côncava para cima.
(d) Os intervalos abertos nos quais f é côncava para baixo.
(e) As coordenadas dos pontos de inflexão.
1. 2.
3. Suponha que lhe foi dada uma fórmula para uma função f.
(a) Como você determina onde f é crescente ou decrescente?
(b) Como você determina onde o gráfico de f é côncavo para cima
ou para baixo?
(c) Como você localiza os pontos de inflexão?
4. (a) Enuncie o Teste da Primeira Derivada.
(b) Enuncie o Teste da Segunda Derivada. Em que circunstância
ele é inconclusivo? O que você faz se ele falha?
5-6 O gráfico da derivada f� de uma função f está mostrado.
(a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente?
(b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo
local?
5. 6.
7. Em cada item, indique as coordenadas x dos pontos de inflexão
de f. Dê razões para suas escolhas.
(a) Esta curva é o gráfico de f.
(b) Esta curva é o gráfico de f �.
(c) Esta curva é o gráfico de f �.
8. O gráfico da primeira derivada f � de uma função f está mostrado.
(a) Em que intervalos f está crescendo? Explique.
(b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo
local? Explique.
(c) Em que intervalos f é côncava para cima ou para baixo? Ex-
plique.
(d) Quais são as coordenadas dos pontos de inflexão de f? Por
quê?
9–18
(a) Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximo e mínimo locais de f.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
9.
10.
11. 12.
13.
14. , 
15. 16.
17. 18.
19–21 Encontre os valores máximo e mínimo locais de f usando os Tes-
tes da Primeira e da Segunda Derivadas. Qual método você prefere?
f �x� � x 2 � x � ln x f �x� � sx e�x
f �x� � e2x 	 e�x f �x� � x 2 ln x
f �x� � cos2x � 2 sen x 0 � x � 2
f �x� � sen x 	 cos x, 0 � x � 2p
f �x� � x4 � 2x2 	 3 f �x� � x
2
x 2 	 3
f �x� � 4x 3 	 3x 2 � 6x 	 1
f �x� � 2x 3 	 3x 2 � 36x
3
y
0 x5 71 9
y=fª(x)
2
y
0 x4 6 8
2 4 6 x
y
0
y=fª(x)
2 4 6 x
y
0
y=fª(x)
y
0 x
1
1
y
0 x
1
1
FIGURA 13
(a) Esboço preliminar (b) Esboço acabado (c) Confirmação computacional
4
0
_3 3
x0
y
y=1
y=e1/x
ponto de
inflexão
x0
y
y=1
4.3 Exercícios
; É necessário o uso de uma calculadora gráfica ou computador É necessário usar um sistema de computação algébrica
1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
SCA
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 269
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:10 AM Page 269
19. 20.
21.
22. (a) Encontre os números críticos de f (x) � x4(x � 1)3.
(b) O que o Teste da Segunda Derivada mostra para você sobre o
comportamento de f nesses números críticos?
(c) O que mostra o Teste da Primeira Derivada?
23. Suponha que f � seja contínua em .
(a) Se f �(2) � 0 e f �(2) ��5, o que podemos dizer sobre f?
(b) Se f �(6) � 0 e f �(6) � 0, o que podemos dizer sobre f?
24–29 Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as con-
dições dadas.
24. Assíntota vertical , se ,
se ,
se , se 
25. , 
se ou , 
se ou , 
se , se ou 
26. , se , 
se , se , 
se , ponto de inflexão
27. se , se ,
, , se 
28. se , se ,
, , , 
se , se 
29. e para todo 
30. Suponha que e f �(x) � 0 e f �(x) � 0 para
todo x.
(a) Esboce um gráfico possível de f.
(b) Quantas soluções a equação f (x) � 0 tem? Por quê?
(c) É possível que ? Por quê?
31–32 O gráfico da derivada f � de uma função contínua f está mostrado.
(a) Em que intervalos f está crescendo? E decrescendo?
(b) Em que valores de x a função f tem um máximo local? E no
mínimo local?
(c) Em que intervalos f é côncava para cima? E côncava para baixo?
(d) Diga as coordenadas x dos pontos de inflexão.
(e) Supondo que f (0) � 0, esboce o gráfico de f.
31.
32.
33–44
(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou de-
crescente.
(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(d) Use as informações das partes (a)–(c) para esboçar o gráfico.
Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você ti-
ver uma.
33. 34.
35. 36.
37. 38.
39. 40.
41. 42.
43. , 
44. , 
45–52
(a) Encontre as assíntotas verticais e horizontais.
(b) Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou de-
crescente.
(c) Encontre os valores máximos e mínimos locais.
(d) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(e)Use a informação das partes (a)–(d) para esboçar o gráfico de f.
45. 46.
47. 48.
49. 50.
51. 52.
53. Suponha que a derivada da função f seja 
. Em qual intervalo f está
crescendo?
54. Use os métodos desta seção para esboçar a curva
, onde a é uma constante positiva. O que os
membros desta família de curvas têm em comum? Como eles di-
ferem entre si?
55–56
(a) Use um gráfico de f para estimar os valores máximo e mínimo.
Então, encontre os valores exatos.
(b) Estime o valor de x em que f cresce mais rapidamente. Então,
encontre o valor exato.
y � x3 � 3a2x 	 2a3
f ��x� � �x 	 1�2�x � 3�5�x � 6�4
f �x� � earctg xf �x� � ln�1 � ln x�
f �x� � x � 16 x 2 � 23 ln xf �x� � e�x
2
f �x� � e
x
1 � e xf �x� � sx
2 	 1 � x
f �x� � x
2 � 4
x 2 	 4f �x� � 1 	
1
x �
1
x 2
0 � x � 4
S�x� � x � sen x
0 � � � 2
f ��� � 2 cos � 	 cos2�
f �x� � ln�x 4 	 27�C�x� � x1�3�x 	 4�
G�x� � 5x 2�3 � 2x 5�3F�x� � xs6 � x
h�x� � 5x 3 � 3x 5h�x� � �x 	 1�5 � 5x � 2
t�x� � 200 	 8x 3 	 x 4f �x� � 2 	 2x 2 � x 4
f �x� � 2 	 3x � x 3f �x� � 2x 3 � 3x 2 � 12x
y
0 x2 4 6 8
_2
y=fª(x)
2
2 4 6 8
y
0 x
_2
y=fª(x)
2
f ��2� � 13
f �3� � 2, f ��3� � 12
xf ��x� � 0f ��x� � 0
x � 3f ��x� � 00 � x � 3f ��x� � 0
f ��x� � �f �x�lim
xl�
f �x� � 1f ��2� � 0
� x � � 2f ��x� � 0� x � � 2f ��x� � 0
x � 2f ��x� � 0lim
xl 2 � f ��x� � � �f ���2� � 0
� x � � 2f ��x� � 0� x � � 2f ��x� � 0
�0, 1��2 � x � 0f ��x� � 0
� x � � 2f ��x� � �11 � � x � � 2f ��x� � 0
� x � � 1f ��x� � 0f ��1� � f ���1� � 0
x � 3x � 1f ��x� � 01 � x � 3f ��x� � 0
x � 40 � x � 2f ��x� � 0
2 � x � 4x � 0f ��x� � 0
f ��0� � f ��2� � f ��4� � 0
x � 0f ��x� � 0x � 0f ��x� � 0
�x � 0�x � �2f ��x� � 0
x � �2f ��x� � 0x � 0
���, ��
f �x� � sx � s4 x
f �x� � x
2
x � 1f �x� � x
5 � 5x 	 3
270 CÁLCULO
;
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:12 AM Page 270
55. 56.
57–58
(a) Use um gráfico de f para estimar aproximadamente os inter-
valos de concavidade e as coordenadas dos pontos de inflexão.
(b) Use um gráfico de f � para dar uma estimativa melhor.
57. , 
58.
59-60 Estime os intervalos de concavidade com precisão de uma casa
decimal usando um sistema de computação algébrica para calcular e
fazer o gráfico de f �.
59. 60.
61. É dado o seguinte gráfico de uma população de células de levedo
em uma nova cultura de laboratório em função do tempo.
(a) Descreva como varia a taxa de crescimento populacional.
(b) Quanto a taxa é mais alta?
(c) Em quais intervalos a função população é côncava para cima
ou para baixo?
(d) Estime as coordenadas do ponto de inflexão.
62. Seja f(t) a temperatura no instante t onde você mora e suponha que
no instante t � 3 você se sinta desconfortavelmente quente.
Como você se sente em relação às informações dadas em cada
caso?
(a) f �(3) � 2, f �(3) � 4
(b) f �(3) � 2, f �(3) ��4
(c) f �(3) ��2, f �(3) � 4
(d) f �(3) ��2, f �(3) ��4
63. Seja K(t) uma medida do conhecimento adquirido por você estu-
dando t horas para um teste. Qual será maior: K(8) � K(7) ou 
K(3) � K(2)? O gráfico de K é côncavo para cima ou para baixo?
Por quê?
64. A caneca mostrada na figura está sendo enchida com café a uma
taxa constante (medida em volume por unidade de tempo). Esboce
um gráfico da profundidade do café na caneca como uma função
do tempo. Forneça uma explicação para o formato do gráfico em
termos de concavidade. Qual o significado do ponto de inflexão?
65. Uma curva dose-resposta descreve o nível de medicamento na
corrente sanguínea depois de uma droga ser administrada. Uma
função onda é usada frequentemente para mode-
lar a curva de resposta, refletindo uma oscilação inicial acentuada
no nível da droga e então um declínio gradual. Se, para uma droga
específica, A � 0,01, p � 4, k � 0,07 e t for medido em minu-
tos, estime o tempo correspondente aos pontos de inflexão e ex-
plique seu significado. Se você tiver uma ferramenta gráfica,
use-a para traçar a curva de resposta à droga.
66. A família das curvas em forma de sino 
ocorre em probabilidade e estatística, nas quais ela é chamada fun-
ção densidade normal. A constante m é denominada média, e a
constante positiva s é conhecida como desvio padrão. Por sim-
plicidade, mudamos a escala da função de forma a remover o fa-
tor e vamos analisar o caso especial onde m � 0.
Logo, estudamos a função
(a) Encontre a assíntota, o valor máximo e os pontos de inflexão
de f.
(b) Que papel desempenha s no formato da curva?
(c) Ilustre, fazendo o gráfico de quatro membros dessa família so-
bre a mesma tela.
67. Encontre uma função cúbica f (x) � ax3 	 bx2 	 cx 	 d que te-
nha um valor máximo local 3 em x ��2 e um valor mínimo lo-
cal 0 em x � 1.
68. Para quais valores dos números a e b a função
tem o valor máximo de f (2) � 1?
69. (a) Se a função f (x) � x3 	 ax2 	 bx tem o valor mínimo local
de em , quais são os valores de a e b?
(b) Qual das tangentes à curva na parte (a) tem a menor inclina-
ção?
70. Para que valores de a e b é (2; 2,5) um ponto de inflexão da curva
x 2y 	 ax 	 by � 0? Quais pontos de inflexão adicionais a curva
tem?
71. Mostre que a curva y � (1 	 x)/(1 	 x2) tem três pontos de in-
flexão e todos ficam sobre uma mesma reta.
x � 1�s3�29s3
f �x� � axe bx2
f �x� � e�x 2��2� 2�
1�(�s2
 )
y � 1
�s2
 e
��x���2��2� 2�
S�t� � At pe�kt
2 6 10 14 184 8 12 160
Tempo (em horas)
Número
de células
de levedo
100
200
300
400
500
600
700
f �x� � x
2 tg�1 x
1 	 x 3f �x� �
x 4 	 x 3 	 1
sx 2 	 x 	 1
f �x� � x 3�x � 2�4
0 � x � 2
f �x� � cos x 	 12 cos 2x
f �x� � x 2 e�xf �x� � x 	 1sx 2 	 1
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 271
;
SCA
;
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:12 AM Page 271
72. Mostre que as curvas e tocam a curva
em seu ponto de inflexão.
73. Mostre que os pontos de inflexão da curva y � x sen x estão so-
bre a curva y2(x 2 	 4) � 4x 2.
74–76 Suponha que todas as funções sejam duas vezes deriváveis e que
as segundas derivadas nunca sejam nulas.
74. (a) Se f e t forem côncavas para cima em I, mostre que f 	 t é
côncavo para cima em I.
(b) Se f for positiva e côncava para cima em I, mostre que a fun-
ção é côncava para cima em I.
75. (a) Se f e g forem funções positivas, crescentes e côncavas para
cima em I, mostre que a função produto ft é côncava para cima
em I. 
(b) Mostre que a parte (a) permanece verdadeira mesmo que f e
t sejam ambas decrescentes.
(c) Suponha que f seja crescente e t, decrescente. Mostre, dando
três exemplos, que ft pode ser côncava para cima, côncava
para baixo ou linear. Por que os argumentos usados nas par-
tes (a) e (b) não podem ser usados neste caso?
76. Suponha que f e t sejam ambas côncavas para cima em .
Sob que condições em f a função composta será
côncava para cima?
77. Mostre que tg x > x para 0 � x � p/2. [Dica: Mostre que 
f (x) � tg x � x é crescente em (0, p/2).]
78. (a) Mostre que para .
(b) Deduza que para .
(c) Use a indução matemática para demonstrar que para e
qualquer inteiro positivo n,
79. Mostre que uma função cúbica (um polinômio de terceiro grau)
sempre tem exatamente um ponto de inflexão. Se seu gráfico tem
três intersecções com o eixo x, x1, x2 e x3, mostre que a coorde-
nada x do ponto de inflexão é .
80. Para quais valores de c o polinômio P(x) � x4 	 cx3 	 x2 tem dois
pontos de inflexão? E um ponto de inflexão? E nenhum? Ilustre
traçando o gráfico de P para vários valores de c. Como o gráfico
muda quando c decresce?
81. Demonstre que se (c, f (c)) for um ponto de inflexão do gráfico de
f e f � existir em um intervalo aberto contendo c, então f �(c) � 0.
[Dica: Aplique o Teste da Primeira Derivada e o Teorema de Fer-
mat à função .]
82. Mostre que se f (x) � x4, então f �(0) � 0, mas (0, 0) não é um
ponto de inflexãodo gráfico de f.
83. Mostre que a função tem um ponto de inflexão em
(0, 0), mas não existe.
84. Suponha que f � seja contínua e f �(c) � f �(c) � 0, mas f �(c) � 0.
A função f tem um mínimo ou máximo local em c? A função f apre-
senta um ponto de inflexão em c?
85. Suponha que f seja derivável em um intervalo I e f �(x) � 0 para
todos os números x em I, exceto para um único número c. Prove
que f é crescente em todo o intervalo I.
86. Para quais valores de c a função 
é crescente ? 
87. Os três casos no Teste da Primeira Derivada cobrem as situações
encontradas usualmente, mas não esgotam todas as possibilida-
des. Considere as função f, t e h cujos valores em 0 são todos 0
e, para 
, 
(a) Mostre que 0 é um número crítico de todas as três funções,
mas suas derivadas mudam de sinal infinitas vezes em ambos
os lados de 0.
(b) Mostre que f não tem um máximo nem um mínimo local em 0,
que t tem um mínimo local e que h tem um máximo local.
h�x� � x 4��2 	 sen 1x	
t�x� � x 4�2 	 sen 1x	f �x� � x 4 sen 1x
x � 0,
���, ��
f �x� � cx 	 1x 2 	 3
t��0�
t�x� � x � x �
t � f �
�x1 	 x2 	 x3 ��3
e x � 1 	 x 	 x
2
2!
	 � � � 	
x n
n!
x � 0
x � 0e x � 1 	 x 	 12 x 2
x � 0e x � 1 	 x
h�x� � f �t�x��
���, ��
t�x� � 
 f �x�� 2
y � e�x sen x
y � �e�xy � e�x
272 CÁLCULO
4.4
Suponha que estejamos tentando analisar o comportamento da função
Apesar de F não estar definida em x � 1, precisamos saber como F se comporta próximo a 1.
Em particular, gostaríamos de saber o valor do limite
No cálculo desse limite não podemos aplicar a Propriedade 5 dos Limites (o limite de um quo-
ciente é o quociente dos limites; veja a Seção 2.3), pois o limite do denominador é 0. De fato,
embora o limite em exista, seu valor não é óbvio, porque tanto o numerador como o 
denominador tendem a 0 e não está definido.
Em geral, se tivermos um limite da forma
lim
xl a
f �x�
t�x�
0
0
1
lim
xl1
ln x
x � 11
F�x� � ln xx � 1
Formas Indeterminadas e Regra de l’Hôspital
;
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:12 AM Page 272
em que e quando , então o limite pode ou não existir, e é chamado
forma indeterminada do tipo . Encontramos alguns limites desse tipo no Capítulo 2. Por
funções racionais, podemos cancelar os fatores comuns:
Usamos um argumento geométrico para mostrar que
Mas esses métodos não funcionam para limites tais como , de modo que nesta seção in-
troduzimos um método sistemático, conhecido como a Regra de l’Hôspital, para o cálculo de
formas indeterminadas.
Outra situação na qual um limite não é óbvio ocorre quando procuramos uma assíntota ho-
rizontal de F e precisamos calcular o limite
Não é óbvio como calcular esse limite, pois tanto o numerador como o denominador tornam-
se muito grandes quando . Há uma disputa entre o numerador e o denominador. Se o
numerador ganhar, o limite será ; se o denominador ganhar, a resposta será 0. Ou pode ha-
ver algum equilíbrio e, nesse caso, a resposta será algum número positivo finito.
Em geral, se tivermos um limite da forma
em que (ou ) e (ou ), então o limite pode ou não existir, e é cha-
mado forma indeterminada do tipo . Vimos na Seção 2.6 que esse tipo de limite pode
ser calculado para certas funções – incluindo aquelas racionais – dividindo o numerador e o
denominador pela potência mais alta de x que ocorre no denominador. Por exemplo,
Esse método não funciona para um limite como , mas a Regra de l’Hôspital aplica-se tam-
bém a esse tipo de forma indeterminada.
Regra de l’Hôspital Suponha que f e t sejam deriváveis e em um intervalo
aberto I que contém a (exceto possivelmente em a). Suponha que
e 
ou que e 
(Em outras palavras, temos uma forma indeterminada do tipo ou .) Então
se o limite do lado direito existir (ou for ou ).
���
���
lim
xl a
f �x�
t�x� � limxl a
f ��x�
t��x�
���00
lim
xla
t�x� � 
�lim
xla
f �x� � 
�
lim
xla
t�x� � 0lim
xla
f �x� � 0
t��x� � 0
2
lim
xl�
x 2 � 1
2x 2 	 1 � limxl�
1 �
1
x 2
2 	
1
x 2
�
1 � 0
2 	 0
�
1
2
��t�x�l ���f �x�l �
lim
xl a
f �x�
t�x�
�
xl �
lim
xl�
ln x
x � 12
1
lim
xl0
sen x
x � 1
lim
xl1
x 2 � x
x 2 � 1 � limxl1
x�x � 1�
�x 	 1��x � 1� � limxl1
x
x 	 1 �
1
2
0
0
xl at�x�l 0f �x�l 0
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 273
0
y
xa
y=m1(x-a)
y=m2(x-a)
0
y
xa
f
g
FIGURA 1
A Figura 1 sugere visualmente por que a
Regra de l’Hôspital pode ser verdadeira. O
primeiro gráfico mostra duas funções
deriváveis e , que tendem a quando
. Se dermos um zoom em direção
ao ponto , o gráfico começaria a
parecer quase linear. Mas se as funções
forem realmente lineares, como no segun-
do gráfico, então sua razão será
que é a razão de suas derivadas. Isso
sugere que
lim
xl a
f �x�
t�x� � limxl a
f ��x�
t��x�
m1�x � a�
m2�x � a�
�
m1
m2
�a, 0�
x l a
0tf
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:13 AM Page 273
OBSERVAÇÃO 1 A Regra de l’Hôspital diz que o limite de uma função quociente é igual ao
limite dos quocientes de suas derivadas, desde que as condições dadas estejam satisfeitas. É
especialmente importante verificar as condições relativas aos limites de f e t antes de usar a
Regra de l’Hôspital.
OBSERVAÇÃO 2 A Regra de l’Hôspital é válida também para os limites laterais e para os li-
mites no infinito ou no infinito negativo; isto é, “ ” pode ser substituído por quaisquer
dos símbolos a seguir: , ou .
OBSERVAÇÃO 3 Para o caso especial no qual , e são contínuas, e
, é fácil ver por que a Regra de l’Hôspital é verdadeira. De fato, usando a forma al-
ternativa da definição de derivada, temos 
É mais difícil demonstrar a versão geral da Regra de l’Hôspital. Veja o Apêndice F.
Encontre .
SOLUÇÃO Uma vez que
e 
podemos aplicar a Regra de l’Hôspital:
.
Calcule .
SOLUÇÃO Temos e ; logo, a Regra de l’Hôspital fornece 
Uma vez que e quando , o limite do lado direito também é indetermi-
nado, mas uma segunda aplicação da Regra de l’Hôspital fornece 
lim
xl�
ex
x 2 � limxl�
ex
2x � limxl�
ex
2
� �
xl �2xl �ex l �
lim
xl�
ex
x 2 � limxl�
d
dx �e
x �
d
dx �x
2�
� lim
xl�
ex
2x
lim xl� x 2 � �lim xl� ex � �
lim
xl�
ex
x 2EXEMPLO 2
� lim
xl1
1
x � 1
lim
xl1
ln x
x � 1 � limxl1
d
dx �ln x�
d
dx �x � 1�
� lim
xl1
1�x
1
lim
xl1
�x � 1� � 0lim
xl1
ln x � ln 1 � 0
lim
xl1
ln x
x � 1EXEMPLO 1
� lim
xla
f �x� � f �a�
t�x� � t�a� � limxla
f �x�
t�x�
lim
xla
f ��x�
t��x� �
f ��a�
t��a� �
lim
xla
f �x� � f �a�
x � a
lim
xla
t�x� � t�a�
x � a
� lim
xla
f �x� � f �a�
x � a
t�x� � t�a�
x � a
t��a� � 0
t�f �f �a� � t�a� � 0
xl ��xl �xl a�xl a	,
xl a
274 CÁLCULO
l’Hôspital
A Regra de l’Hôspital é assim chamada
em homenagem ao nobre francês
Marquês de l’Hôspital (1661-1704), mas
foi descoberta pelo matemático suíço
John Bernoulli (1667-1748). Você pode
encontrar algumas vezes l’Hôspital escrito
como l’Hôpital, mas ele soletrava seu
próprio nome como l’Hôspital, como era
comum no século XVII. Veja o Exercício
81, que mostra o exemplo o qual o mar-
quês usou para ilustrar sua regra. 
O gráfico da função do Exemplo 2 está na
Figura 2. Observamos anteriormente que a
função exponencial cresce muito mais
rapidamente do que a função potência;
assim, o resultado do Exemplo 2 é
esperado. Veja também o Exercício 71.
| Lembre-se de que quando usamos a
regra de l’Hôspital, derivamos o numer-
ador e o denominador separadamente.
Nós não usamos a Regra do Quociente.
y=
ex
x2
10
20
0
FIGURA 2
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:14 AM Page 274
Calcule .
SOLUÇÃO Uma vez que e quando , a Regra de l’Hôspital pode ser
aplicada:
Observe que o limiteno lado direito agora é do tipo indeterminado . Mas em vez de aplicar-
mos a Regra de l’Hôspital uma segunda vez, como fizemos no Exemplo 2, simplificamos a ex-
pressão e vemos que é desnecessária uma segunda aplicação da regra:
Encontre . (Veja o Exercício 44 na Seção 2.2.)
SOLUÇÃO Observando que e quando , usamos então a Regra de
l’Hôspital:
Uma vez que o limite do lado direito é ainda indeterminado do tipo , aplicamos novamente
a Regra de l’Hôspital:
Pelo fato de , simplificamos os cálculos anteriores da seguinte forma: 
Podemos calcular este último limite ou usando a Regra de l’Hôspital mais uma vez ou escre-
vendo tg x como (sen x)/(cos x) e usando nosso conhecimento de limites trigonométricos. Jun-
tando todos estes passos, obtemos 
Encontre .
SOLUÇÃO Se tentarmos usar cegamente a Regra de l’Hôspital, obteremos
|
Isso está errado! Embora o numerador quando , perceba que o denomi-
nador (1 � cos x) não tende a zero; logo, não podemos aplicar aqui a Regra de l’Hôspital.
O limite pedido é na verdade fácil de ser encontrado, pois a função é contínua em p e o
denominador é diferente de zero:
O Exemplo 5 mostra o que pode acontecer de errado ao usar impensadamente a Regra de
l’Hôspital. Outros limites podem ser encontrados pela Regra de l’Hôspital, mas são mais fa-
lim
xlp�
sen x
1 � cos x �
sen p
1 � cos p
�
0
1 � ��1�
� 0
xl 
�sen xl 0
lim
xlp�
sen x
1 � cos x � limxlp�
cos x
sen x � ��
lim
xlp�
sen x
1 � cos x
EXEMPLO 5
�
1
3
lim
xl0
tg x
x �
1
3
lim
xl0
sec2x
1
�
1
3
lim
xl0
tg x � x
x3 � limxl0
sec2x � 1
3x2 � limxl0
2 sec2x tg x
6x
lim
xl0
2 sec2x tg x
6x �
1
3
lim
xl0
sec2x � lim
xl0
tg x
x �
1
3
lim
xl0
tg x
x
limxl0 sec2x � 1
lim
xl0
sec2x � 1
3x 2 � limxl0
2 sec2x tg x
6x
0
0
lim
xl0
tg x � x
x 3 � limxl0
sec2x � 1
3x 2
xl 0x 3 l 0tg x � xl 0
lim
xl0
tg x � x
x 3EXEMPLO 4
lim
xl�
ln x
s3 x � limxl�
1�x
1
3 x�2�3
� lim
xl�
3
s3 x � 0
0
0
lim
xl�
ln x
s3 x � limxl�
1�x
1
3 x�2�3
xl �s3 x l �ln xl �
lim
xl�
ln x
s3 xEXEMPLO 3
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 275
O gráfico da função do Exemplo 3 está na
Figura 3. Já havíamos discutido anterior-
mente o lento crescimento dos logaritmos,
então não é surpresa que essa razão tenda
a zero quando . Veja também o
Exercício 72.
x l �
O gráfico na Figura 4 dá confirmação visual
do resultado do Exemplo 4. Se déssemos
um zoom, porém, obteríamos um gráfico
impreciso, pois está próximo de 
para pequeno. Veja o Exercício 44 (d) na
Seção 2.2.
x
xtg x
0
_1
2
10.000
y=
ln x
Œ„x
FIGURA 3
FIGURA 4
y=
tg x-x
x3
0
_1 1
1
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:16 AM Page 275
cilmente calculados por outros métodos. (Veja os Exemplos 3 e 5 na Seção 2.3, o Exemplo 3
na Seção 2.6, e a discussão no começo desta seção.) Assim, quando calcular qualquer limite,
você deve considerar outros métodos antes de usar a Regra de l’Hôspital.
Produtos Indeterminados
Se e (ou ), então não está claro que valor de
, se houver algum. Há uma disputa entre f e t. Se f ganhar a resposta é 0;
se t vencer, a resposta será (ou ). Ou pode haver um equilíbrio, e então a resposta é um
número finito diferente de zero. Esse tipo de limite é chamado forma indeterminada do tipo
. Podemos lidar com ela escrevendo o produto ft como um quociente:
ou 
Isso converte o limite dado na forma indeterminada do tipo ou , de modo que podemos
usar a Regra de l’Hôspital.
Calcule .
SOLUÇÃO O limite dado é indeterminado, pois, como , o primeiro fator (x) tende a 0,
enquanto o segundo fator (ln x) tende a . Escrevendo temos
quando ; logo, a Regra de l’Hôspital fornece
OBSERVAÇÃO Ao resolver o Exemplo 6, outra opção possível seria escrever
Isso dá uma forma indeterminada do tipo 0/0, mas, se aplicarmos a Regra de l’Hôspital, ob-
teremos uma expressão mais complicada do que a que começamos. Em geral, quando rees-
crevemos o produto indeterminado, tentamos escolher a opção que leva a um limite mais sim-
ples.
Diferenças Indeterminadas
Se e , então o limite
é chamado forma indeterminada do tipo . De novo, há uma disputa entre f e . A
resposta será (se f ganhar) ou será (se ganhar), ou haverá entre eles um equilíbrio,
resultando um número finito? Para descobrirmos, tentamos converter a diferença em um quo-
ciente (usando um denominador comum ou racionalização, ou pondo em evidência um fator
em comum, por exemplo), de maneira a termos uma forma indeterminada do tipo ou .
Calcule .
SOLUÇÃO Observe primeiro que e quando ; logo, o limite é
indeterminado. Aqui usamos um denominador comum:
Observe que o uso da Regra de l’Hôspital é justificado, pois e
quando . .xl �
�2��
1 � sen xl 0 cos xl 0
� lim
xl�p�2��
1 � sen x
cos x � limxl�p�2��
�cos x
�sen x � 0
lim
xl�p�2��
�sec x � tg x� � lim
xl�p�2�� � 1cos x � sen xcos x	
xl �
�2��tg xl �sec xl �
lim
xl�p�2��
�sec x � tg x�EXEMPLO 7
���00
t
t���
���
lim
xl a
 f �x� � t�x��
lim xl a t�x� � �lim xl a f �x� � �
lim
xl 0	
x ln x � lim
xl 0	
x
1�ln x
� lim
xl0	
��x� � 0lim
xl0	
x ln x � lim
xl0	
ln x
1�x � limxl0	
1�x
�1�x 2
xl 0	
1�xl �x � 1��1�x���
xl 0	
lim
xl0	
x ln xEXEMPLO 6
���00
ft � t
1�fft �
f
1�t
0 � �
���
lim xl a 
 f �x� t�x��
��lim xl a t�x� � �lim xl a f �x� � 0
276 CÁLCULO
A Figura 5 mostra o gráfico da função do
Exemplo 6. Observe que a função não está
definida em ; o gráfico tende à
origem, mas nunca realmente a atinge.
x � 0
0
y
x1
y=x ln x
FIGURA 5
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:17 AM Page 276
Potências Indeterminadas
Várias formas indeterminadas surgem do limite 
1. e , tipo ,
2. e , tipo ,
3. e , tipo .
Cada um dos três casos pode ser tratado tanto tomando o logaritmo natural:
seja , então
quanto escrevendo a função como uma exponencial:
(Relembre que ambos os métodos foram utilizados na derivação dessas funções.) Em qualquer
método, somos levados a um produto indeterminado , que é do tipo .
Calcule .
SOLUÇÃO Observe primeiro que, quando , temos e ,
assim, o limite dado é indeterminado. Considere
Então
e logo, a Regra de l’Hôspital fornece 
Até agora calculamos o limite de ln y, mas o que realmente queremos é o limite de y. Para achá-
lo usamos o fato de que :
Encontre .
SOLUÇÃO Observe que esse limite é indeterminado, pois para todo , mas
para todo . Podemos proceder como no Exemplo 8 ou escrever a função como uma
exponencial:
No Exemplo 6 usamos a Regra de l’Hôspital para mostrar que
Logo lim
xl 0	
x x � lim
xl 0	
ex ln x � e 0 � 1
lim
xl 0	
x ln x � 0
x x � �e ln x�x � ex ln x
x � 0
x 0 � 1x � 00 x � 0
lim
xl 0	
x xEXEMPLO 9
lim
xl0	
�1 	 sen 4x�cotg x � lim
xl0	
y � lim
xl0	
e ln y � e 4
y � e ln y
� lim
xl0	
4 cos 4x
1 	 sen 4x
sec2x � 4
lim
xl0	 ln y � limxl0	
ln�1 	 sen 4x�
tg x
ln y � ln
�1 	 sen 4x�cotg x� � cotg x ln�1 	 sen 4x�
y � �1 	 sen 4x�cotg x
cotg xl �1 	 sen 4xl 1xl 0	
lim
xl0	
�1 	 sen 4x�cotg xEXEMPLO 8
0 � �t�x� ln f �x�
 f �x�� t�x� � e t�x� ln f �x�
ln y � t�x� ln f �x�y � 
 f �x�� t�x�
1�lim
xl a
t�x� � 
�lim
xl a
f �x� � 1
� 0lim
xl a
t�x� � 0lim
xl a
f �x� � �
00lim
xl a
t�x� � 0lim
xl a
f �x� � 0
lim
xla
 f �x�� t�x�
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 277
Apesar de as formas do tipo , , e 
serem indeterminadas, a forma não é
indeterminada. (Veja o Exercício 84.)
0�
1��000
O gráfico da função , é
mostrado na Figura 6. Observe que embora
não esteja definido, os valores da
função tendem a 1 quando . Isso
confirma o resultado do Exemplo 9.
x l 0	
00
x � 0y � x x
2
0
2_1
FIGURA 6
Calculo04:calculo76/10/13 6:18 AM Page 277
1–4 Dado que
quais dos limites a seguir são formas indeterminadas? Para aque-
les que não são formas indeterminadas, calcule o limite quando
possível.
1. (a) (b) (c) 
(d) (e) 
2. (a) (b) 
(c) 
3. (a) (b) 
(c) 
4. (a) (b) (c) 
(d) (e) (f) 
5–6 Use os gráficos de f e t e suas retas tangentes em (2, 0) para en-
contrar .
5. 6.
7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apro-
priado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se
a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê. 
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
37. 38.
39. 40.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47. 48.
49. 50.
51. 52.
53.
54.
55. 56.
57. 58.
59. 60.
61. 62.lim
xl�
x 1�x lim
xl�
�e x 	 x�1�x
lim
xl1	
x 1��1�x� lim
xl�
x �ln 2���1 	 ln x�
lim
xl� �1 	 ax	bxlimxl0 �1 � 2x�1�x
lim
xl0	 �tg 2x�
xlim
xl0	
xsx
lim
xl1	
ln�x 7 � 1� � ln�x 5 � 1��
lim
xl�
�x � ln x�
lim
xl0 �cotg x � 1x	limxl0	 � 1x � 1e x � 1	
lim
xl0
�cossec x � cotg x�lim
xl1
� xx � 1 � 1ln x	
lim
xl�
�2��
cos x sec 5xlim
xl11
ln x tg�px�2�
lim
xl�
x tg�1�x�lim
xl�
x 3e�x 2
lim
xl0	 sen x ln xlimxl0 cotg 2x sen 6x
lim
xl�
sx e�x�2lim
xl�
x sen�p�x�
lim
xla	
cos x ln�x � a�
ln�e x � ea �limxl0
cos x � 1 	 12 x 2
x 4
lim
xl0
e x � e�x � 2x
x � sen xlimxl1
x a � ax 	 a � 1
�x � 1�2
lim
xl0	
x x � 1
ln x 	 x � 1limxl1
1 � x 	 ln x
1 	 cos 
x
lim
xl0
x
tg�1�4x�limxl0
x 	 sen x
x 	 cos x
lim
xl0
cos mx � cos nx
x 2limxl0
x3 x
3x � 1
lim
xl�
�ln x�2
xlimxl0
sen�1x
x
lim
xl0
x � sen x
x � tg xlimxl0
tgh x
tg x
lim
xl0
senh x � x
x 3limxl0
e x � 1 � x
x 2
lim
ul�
e u�10
u3limxl0
s1 	 2x � s1 � 4x
x
lim
tl0
8 t � 5 t
tlimtl1
t 8 � 1
t 5 � 1
lim
xl�
ln ln x
xlimxl0	
ln x
x
lim
xl1
ln x
sen pxlimxl�
ln x
sx
lim
ulp�2
1 � sen u
cossec u
lim
ulp�2
1 � sen u
1 	 cos 2u
lim
xl 0
x 2
1 � cos xlimtl0
e 2t � 1
sen t
lim
xl 0
sen 4x
tg 5xlimxl�p�2�	
cos x
1 � sen x
lim
xl 1�2
6x 2 	 5x � 4
4x 2 	 16x � 9limxl1
x 3 � 2x 2 	 1
x 3 � 1
lim
xl 1
x a � 1
x b � 1limxl�1
x 2 � 1
x 	 1
y
y=1,5(x-2)
x0
2
y=2-x
f
g
y
y=1,8(x-2)
x0
y= (x-2)
4
5
2
f
g
lim
xl2
f �x�
t�x�
lim
xla
q�x�sp�x�lim
xl a
 p�x��q�x�lim
xl a
 p�x�� f �x�
lim
xla
h�x�� p�x�lim
xl a
 f �x�� p�x�lim
xl a
 f �x�� t�x�
lim
xl a
 p�x� 	 q�x��
lim
xl a
 p�x� � q�x��lim
xl a
 f �x� � p�x��
lim
xl a
 p�x�q�x��
lim
xl a
h�x�p�x��lim
xl a
 f �x�p�x��
lim
xl a
p�x�
q�x�limxl a
p�x�
f �x�
lim
xla
h�x�
p�x�limxl a
f �x�
p�x�limxl a
f �x�
t�x�
lim
xl a
p�x� � � lim
xl a
q�x� � �
lim
xla
f �x� � 0 lim
xl a
t�x� � 0 lim
xl a
h�x� � 1
278 CÁLCULO
4.4 Exercícios
; É necessário o uso de uma calculadora gráfica ou computador 1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:23 AM Page 278
63. 64.
65. 66.
67–68 Use gráficos para estimar o valor do limite. A seguir, use a Re-
gra de l’Hôpital para encontrar o valor exato.
67. 68.
69–70 Ilustre a Regra de l’Hôspital fazendo o gráfico de e
próximo de , para ver que essas razões têm o mesmo
limite quando . Calcule também o valor exato do limite.
69. , 
70. , 
71. Demonstre que 
para qualquer inteiro positivo n. Isso mostra que a função expo-
nencial tende mais rapidamente ao infinito que qualquer potên-
cia de x.
72 Demonstre que 
para todo número p � 0. Isso mostra que a função logaritmo tende
a infinito mais vagarosamente que qualquer potência de x.
73–74 O que acontece se você tentar usar a Regra de l’Hôspital para
encontrar o limite? Calcule o limite usando outro método.
73. 74.
75. Investigue a família de curvas dada por . Em par-
ticular, encontre os limites quando e determine os va-
lores de c para os quais f tem um mínimo absoluto. O que acon-
tece aos pontos mínimos quando c cresce?
76. Se um objeto de massa m é solto a partir do repouso, um modelo
para sua velocidade após t segundos, levando-se em conta a re-
sistência do ar, é
Onde t é a aceleração da gravidade e c é uma constante positiva.
(No Capítulo 9 deduziremos essa equação a partir da hipótese de
que a resistência do ar é proporcional à velocidade do objeto; c é
a constante proporcionalidade.)
(a) Calcule . Qual o significado desse limite?
(b) Para um valor fixo de t, use a Regra de l’Hôspital para calcu-
lar . O que você pode concluir sobre a velocidade de
um objeto caindo no vácuo?
77. Se um montante inicial de dinheiro A0 for investido a uma taxa de
juros r capitalizada n vezes ao ano, o valor do investimento após
t anos será 
Se , nos referimos à capitalização contínua de juros. Use
a regra de l’Hôspital para mostrar que se os juros forem capitali-
zados continuamente, então o montante após t anos será 
78. Se uma bola de metal de massa m for lançada na água e a força
de resistência for proporcional ao quadrado da velocidade, então
a distância que a bola percorreu até o instante t é dada por
onde c é uma constante positiva. Encontre .
79. Se um campo eletrostático E agir em um dielétrico polar líquido
ou gasoso, o momento de dipolo resultante P por unidade de vo-
lume é 
Mostre que .
80. Um cabo de metal tem raio r e é coberto por isolante, de modo
que a distância do centro do cabo ao exterior do isolante é R. A
velocidade de um impulso elétrico do cabo é
onde c é uma constante positiva. Encontre os seguintes limites e
interprete suas respostas.
(a) (b) 
81. A primeira aparição impressa da Regra de l’Hôspital foi em um
livro Analyse des infiniment petits publicado pelo marquês de
l’Hôspital em 1696. Esse foi o primeiro livro de cálculo publicado
e o exemplo que o marquês usou em seu livro para ilustrar sua re-
gra foi encontrar o limite da função 
quando x tende a a, onde a � 0. (Naquela época era comum es-
crever aa no lugar de a2.) Resolva esse problema.
82. A figura mostra um setor de um círculo com ângulo central u. Seja
A (u) a área do segmento entre a corda PR e o arco PR. Seja B (u)
a área do triângulo PQR. Encontre .
83. Calcule .
84. Suponha que f seja uma função positiva. Se e
, mostre que
Isso mostra que não é uma forma indeterminada. 
85. Se for contínua, e , calcule
86. Para quais valores de a e b a equação a seguir é válida?
lim
xl0 � sen 2xx3 	 a 	 bx2	 � 0
x l 0
lim
xl0
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xl� �x � x 2 ln�1 	 xx 	
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2
ln� rR	
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P�E� � e
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1
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A � A0�1 	 rn	nt
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lim tl � v
v �
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x l 
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tg xlimxl�
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lim
xl�
ln x
x p � 0
lim
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e x
x n � �
f �x� � e x � 1 t�x� � x 3 	 4x
t�x� � sec x � 1f �x� � 2x sen x
x � 0f ��x��t��x�
f �x��t�x�
lim
xl 0
5x � 4x
3x � 2x
lim
xl� �1 	 2x	
x
lim
xl� �2x � 32x 	 5	2x	1limxl0	 �cos x�1�x2
lim
xl 1
�2 � x�tg�p x�2�lim
xl0	
�4x 	 1�cotg x
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 279
;
;
;
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:26 AM Page 279
280 CÁLCULO
87. Se for contínua, use a Regrade l’Hôspital para mostrar que
Explique o significado dessa equação utilizando um diagrama.
88. Se for contínua, mostre que 
89. Considere
(a) Use a definição de derivada para calcular .
(b) Mostre que f tem derivadas de todas as ordens que são defi-
nidas em . [Dica: Primeiro mostre por indução que há um
polinômio e um número inteiro não negativo tais que
para .]
90. Considere
(a) Mostre que f é contínua em 0.
(b) Pesquise graficamente se f é derivável em 0 por meio de su-
cessivos zooms em direção ao ponto (0, 1) sobre o gráfico de f.
(c) Mostre que f não é derivável em 0. Como reconciliar esse fato
com a aparência do gráfico na parte (b)?
f �x� � �� x �x1 se x � 0se x � 0
f �n��x� � pn�x�f �x��x kn x � 0
pn�x� kn
�
f ��0�
f �x� � �e�1�x 20 se x � 0se x � 0
lim
hl 0
f �x 	 h� � 2 f �x� 	 f �x � h�
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lim
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4.5
PROJETO ESCRITO AS ORIGENS DA REGRA DE L’HÔSPITAL
A Regra de l’Hôspital foi publicada pela primeira vez em 1696, no livro Analyse des infiniment pe-
tits, do marquês de l’Hôspital, mas na verdade ela foi descoberta em 1694 pelo matemático suíço
John (Johann) Bernoulli. A explicação para esse fato é que esses dois matemáticos fizeram um cu-
rioso acordo, que dava ao marquês de l’Hôspital os direitos das descobertas de Bernoulli. Os deta-
lhes desse acordo, inclusive a tradução da carta de l’Hôspital para Bernoulli propondo o arranjo, po-
dem ser encontrados no livro de Eves [1].
Escreva um relatório sobre as origens histórica e matemática da Regra de l’Hôspital. Comece
fornecendo uma breve biografia de ambos (o dicionário editado por Gillispie [2] é uma boa fonte),
e resuma o arranjo feito por eles. A seguir, dê o enunciado da Regra de l’Hôspital, que é encontrada
no livro de Struik [4] e mais resumidamente no livro de Katz [3]. Observe que l’Hôspital e Bernoulli
formularam geometricamente a regra e deram a resposta em termos de diferenciais. Compare seus
enunciados com a versão da regra de Bernoulli dada na Seção 4.4 e mostre que os dois enunciados
são essencialmente iguais.
1. Eves, H. em Mathematical Circles Volume 2: Quadrantes III e IV Boston: Prindle, Weber and
Schmidt, 1969. pp. 20–22.
2. Gillispie, C. C. Dictionary of Scientific Biography. Nova York: Scribner’s, 1974. Veja o artigo
em Johann Bernoulli by E. A. Fellmann e J. O. Fleckenstein em Volume II e o artigo em Mar-
quês de l’Hôspital por Abraham Robinson no Volume VIII.
3. Katz, V. A History of Mathematics: An Introduction. Nova York: HarperCollins, 1993. p. 484.
4. Struik, D. J. A Sourcebook in Mathematics, 1200–1800. Princeton, NJ: Princeton University
Press, 1969. p. 315–316.
Resumo do Esboço de Curvas
Até o momento, estivemos preocupados com alguns aspectos particulares de esboço de cur-
vas: domínio, imagem e simetria no Capítulo 1; limites, continuidade e assíntotas no Capítulo
2; derivadas e tangentes nos Capítulos 2 e 3; e valores extremos, intervalos de crescimento e
decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e Regra de L’Hôspital neste capítulo. Chegou
a hora de agruparmos todas essas informações para esboçar gráficos que revelem os aspectos
importantes das funções.
Você pode se perguntar: por que não usar simplesmente uma calculadora gráfica ou com-
putador para traçar uma curva? Por que precisamos usar o cálculo?
É verdade que a tecnologia moderna é capaz de produzir gráficos bem precisos. Contudo,
mesmo a melhor ferramenta gráfica deve ser usada inteligentemente. Vimos na Seção 1.4 que
é extremamente importante escolher uma janela retangular adequada para evitar obter um grá-
fico que nos leve a conclusões errôneas. (Veja, em particular, os Exemplos 1, 3, 4 e 5 naquela
seção.) O uso do cálculo nos possibilita descobrir os aspectos mais interessantes dos gráficos
e, em muitos casos, calcular exatamente os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão.
;
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:26 AM Page 280
Por exemplo, a Figura 1 mostra o gráfico de f (x) � 8x3 � 21x2 	 18x 	 2. À primeira vista
ele parece razoável; ele tem a mesma forma de curvas cúbicas como y � x3, e não aparenta
ter ponto de máximo ou de mínimo. Mas, se você calcular a derivada, verá que existe um má-
ximo quando x � 0,75 e um mínimo quando x � 1. Realmente, se dermos um zoom nessa parte
do gráfico, veremos o comportamento exibido na Figura 2. Sem o cálculo, poderíamos facil-
mente não ter reparado nisso. 
Na próxima seção desenharemos os gráficos de funções usando a interação entre o cálculo
e as ferramentas gráficas. Nesta seção faremos gráficos considerando primeiro a informação
do roteiro a seguir. Não pressupomos que você tenha uma ferramenta gráfica, mas, se você ti-
ver alguma, use-a somente para verificar o resultado de seu trabalho.
Roteiro para Esboçar uma Curva
A lista a seguir pretende servir como um guia para esboçar uma curva à mão. Nem
todos os itens são relevantes para cada função. (Por exemplo, uma curva pode não ter uma as-
síntotas ou possuir simetria.) No entanto, o roteiro fornece todas as informações necessárias
para fazer um esboço que mostre os aspectos mais importantes da função.
A. Domínio É frequentemente útil começar determinando o domínio D de f, isto é, o conjunto
dos valores de x para os quais f (x) está definida.
B. Intersecções com os Eixos A intersecção com o eixo y é f (0). Para encontrarmos as in-
tersecções com o eixo x, fazemos y � 0 e isolamos x. (Você pode omitir esse passo se a
equação for difícil de resolver.)
C. Simetria
(i) Se f (�x) � f (x) para todo x em D, isto é, a equação da curva não muda se x for substi-
tuído por – x, então f é uma função par, e a curva é simétrica em relação ao eixo y. Isso
significa que nosso trabalho fica cortado pela metade. Se soubermos como é a curva para
, então precisaremos somente refletir em torno do eixo y para obter a curva com-
pleta [veja a Figura 3(a)]. Alguns exemplos são: e y � cos x.
(ii) Se f (�x) � �f (x) para todo x em D, então f é uma função ímpar e a curva é simé-
trica em realação à origem. Novamente, podemos obter a curva completa se soubermos
como ela é para . [Gire 180° em torno da origem; veja a Figura 3(b).] Alguns
exemplos simples de funções ímpares são y � x, y � x3, y � x5 e y � sen x.
(iii) Se f (x 	 p) � f (x) para todo x em D, onde p é uma constante positiva, então f é cha-
mada função periódica, e o menor desses números p é chamado período. Por exem-
plo, y � sen x tem o período 2p e y � tg x tem período p. Se soubermos como é o
gráfico em um intervalo de comprimento p, então poderemos usar a translação para
esboçar o gráfico inteiro (veja a Figura 4).
y � f �x�
x � 0
y � x 2, y � x 4, y � � x �
x � 0
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 281
FIGURA 1
30
_10
_2 4
y=8x3-21x2+18x+2
FIGURA 2
y=8x3-21x2+18x+2
8
6
0 2
FIGURA 3
(a) Função par: simetria reflexional
(b) Função ímpar: simetria rotacional
x
y
0
x
y
0
FIGURA 4
Função periódica:
simetria translacional
a-p a+p x
y
0 a a+2p
D. Assíntotas
(i) Assíntotas horizontais. Lembre-se, da Seção 2.6, de que se ou
, então a reta é uma assíntota horizontal da curva y � f (x). Se
resultar que (ou ), então não temos uma assíntota à direita, o que
também é uma informação, proveitosa no esboço da curva.
(ii) Assíntotas verticais. Lembre-se, da Seção 2.2, de que a reta x � a é uma assíntota ver-
tical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:
lim
xla	 f �x� � �� limxla� f �x� � ��
lim
xla 	 f �x� � � limxla� f �x� � �1
��lim xl� f �x� � �
y � Llim xl�� f �x� � L
lim xl� f �x� � L
Calculo04:calculo76/10/13 6:27 AM Page 281
(Para as funções racionais, você pode localizar as assíntotas verticais igualando a zero o
denominador, após ter cancelado qualquer fator comum. Mas para outras funções esse mé-
todo não se aplica.) Além disso, ao esboçar a curva é muito útil saber exatamente qual das
afirmativas em é verdadeira. Se f (a) não estiver definida, mas a for uma extremidade
do domínio de f, então você deve calcular ou , seja esse limite
infinito ou não. 
(iii) Assíntotas oblíquas. Elas serão discutidas no fim desta seção.
E. Intervalos de Crescimento ou Decrescimento Use o Teste C/D. Calcule f �(x) e encon-
tre os intervalos nos quais f �(x) é positiva (f é crescente) e os intervalos nos quais f �(x) é
negativa (f é decrescente).
F. Valores Máximos e Mínimos Locais Encontre os números críticos de f [os números c nos
quais f �(c) � 0 ou f �(c) não existe]. Use então o Teste da Primeira Derivada. Se f � muda
de positiva para negativa em um número crítico c, então f (c) é um máximo local. Se f �muda
de negativa para positiva em c, então f (c) é um mínimo local. Apesar de ser usualmente
preferível usar o Teste da Primeira Derivada, você pode usar o Teste da Segunda Derivada
se f �(c) � 0 e . Então f �(c) � 0 implica que f (c) é um local mínimo, enquanto
f �(c) � 0 implica que f (c) é um máximo local.
G. Concavidade e Pontos de Inflexão Calcule f �(x) e use o Teste da Concavidade. A curva
é côncava para cima se f �(x) � 0, e côncava para baixo se f �(x) � 0. Os pontos de infle-
xão ocorrem quando muda a direção da concavidade.
H. Esboço da Curva Usando as informações nos itens A–G, faça o gráfico. Coloque as as-
síntotas como linhas tracejadas. Marque as intersecções com os eixos, os pontos de má-
ximo e de mínimo e os pontos de inflexão. Então, faça a curva passar por esses pontos, su-
bindo ou descendo de acordo com E, com a concavidade de acordo com G e tendendo às
assíntotas. Se precisão adicional for desejada próximo de algum ponto, você poderá cal-
cular o valor da derivada aí. A tangente indica a direção na qual a curva segue.
Use o roteiro para esboçar a curva .
A. O domínio é
B. As intersecções com os eixos x e y são ambas 0.
C. Uma vez que f (�x) � f (x), a função f é par. A curva é simétrica em relação ao eixo y.
D.
Portanto, a reta y � 2 é uma assíntota horizontal.
Uma vez que o denominador é zero quando , calculamos os seguintes limites:
Consequentemente, as retas x � 1 e x ��1 são assíntotas verticais. Essa informação so-
bre os limites e as assíntotas permite-nos traçar um esboço preliminar na Figura 5 mostrando
as partes da curva próximas das assíntotas.
E.
Como quando e quando , f é crescente
em e e decrescente em e .
F. O único número crítico é x � 0. Uma vez que f � muda de positiva para negativa em 0,
f (0) � 0 é um máximo local pelo Teste da Primeira Derivada.
�1, ���0, 1���1, 0����, �1�
�x � 1�x � 0f ��x� � 0�x � �1�x � 0f ��x� � 0
f ��x� � �x
2 � 1��4x� � 2x 2 � 2x
�x 2 � 1�2 �
�4x
�x 2 � 1�2
lim
xl�1	
2x 2
x 2 � 1 � �� limxl�1�
2x 2
x 2 � 1 � �
lim
xl1	
2x 2
x 2 � 1 � � limxl1�
2x 2
x 2 � 1 � ��
x � 
1
lim
xl
�
2x 2
x 2 � 1 � limxl
�
2
1 � 1�x 2 � 2
�x � x 2 � 1 � 0� � �x � x � 
1� � ���, �1� � ��1, 1� � �1, ��
y � 2x
2
x 2 � 1EXEMPLO 1
f ��c� � 0
lim xl a	 f �x�lim xl a� f �x�
1
282 CÁLCULO
FIGURA 5 
Esboço preliminar
x=1x=_1
y=2
x
y
0
Mostramos que a curva se aproxima de sua
assíntota horizontal por cima na Figura 5;
isso está confirmado pelos intervalos de
crescimento e decrescimento.
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:28 AM Page 282
G.
Uma vez que 12x2 	 4 � 0 para todo x, temos
e . Assim, a curva é côncava para cima nos intervalos
e e côncava para baixo em (�1, 1). Não há ponto de inflexão, já que 1 e �1 não es-
tão no domínio de f.
H. Usando a informação em E–G, finalizamos o esboço da Figura 6.
Esboce o gráfico de .
A. Domínio
B. As intersecções com os eixos x e y são ambas 0.
C. Simetria: nenhuma.
D. Uma vez que
não há assíntota horizontal. Como quando e f (x) é sempre posi-
tiva, temos 
então a reta x ��1 é uma assíntota vertical. 
E.
Vemos que quando x � 0 (note que não está no domínio de f), então o único
número crítico é 0. Como quando e quando , f é
decrescente em (�1, 0) e crescente em .
F. Uma vez que e muda de negativa para positiva em 0, f (0) � 0 é um mínimo
local (e absoluto) pelo Teste da Primeira Derivada.
G.
Observe que o denominador é sempre positivo. O numerador é o polinômio quadrático 
3x2 	 8x 	 8, que é sempre positivo, pois seu discriminante é b2 � 4ac ��32, que é ne-
gativo, e o coeficiente de x2 é positivo. Assim, para todo x no domínio de f, o
que significa que f é côncava para cima em e não há ponto de inflexão.
H. A curva está esboçada na Figura 7.
Esboce o gráfico de f (x) � xex.
A. O domínio é .
B. As intersecções com os eixos x e y são ambas 0.
C. Simetria: nenhuma.
D. Como ambos x e ex tornam-se grandes quando , temos que . Quando
, contudo, e temos um produto indeterminado que requer o uso da Regra
de l’Hôspital:
Assim, o eixo x é uma assíntota horizontal.
E.
Uma vez que ex é sempre positiva, vemos que quando e 
quando x 	 1 � 0. Logo, f é crescente em e decrescente em .���, �1���1, ��
f ��x� � 0x 	 1 � 0f ��x� � 0
f ��x� � xex 	 ex � �x 	 1�ex
lim
xl��
xex � lim
xl��
x
e�x � limxl��
1
�e�x � limxl�� ��e
x� � 0
ex l 0x l ��
lim xl� xex � �xl �
�
EXEMPLO 3
��1, ��
f ��x� � 0
f ��x� � 2�x 	 1�
3�2�6x 	 4� � �3x 2 	 4x�3�x 	 1�1�2
4�x 	 1�3 �
3x 2 	 8x 	 8
4�x 	 1�5�2
f �f ��0� � 0
�0, ��
x � 0f ��x� � 0�1 � x � 0f ��x� � 0
�
4
3f ��x� � 0
f ��x� � 2xsx 	 1 � x
2 � 1�(2sx 	 1)
x 	 1 �
x �3x 	 4�
2�x 	 1�3�2
lim
xl�1	
x 2
sx 	 1 � �
xl �1	sx 	 1l 0
lim
xl�
x 2
sx 	 1 � �
� �x � x 	 1 � 0� � �x � x � �1� � ��1, ��
f �x� � x
2
sx 	 1EXEMPLO 2
�1, ��
���, �1�f ��x� � 0 &? � x � � 1
� x � � 1&?x 2 � 1 � 0&?f ��x� � 0
f ��x� � �x
2 � 1�2��4� 	 4x � 2�x 2 � 1�2x
�x 2 � 1�4 �
12x 2 	 4
�x 2 � 1�3
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 283
FIGURA 6 
Esboço final de y=
x=1x=_1
y=2
2x2
x2-1
x
y
0
FIGURA 7
x=_1
x
y
0
œ„„„„
y=
x2
x+1
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:30 AM Page 283
F. Como e muda de negativa para positiva em , é um
mínimo local (e absoluto).
G.
Visto que se e se , f é côncava para cima em
e côncava para baixo em . O ponto de inflexão é .
H. Usamos essa informação para traçar a curva da Figura 8.
Esboce o gráfico de .
A. O domínio é .
B. A intersecção com o eixo y é . As intersecções com o eixo x ocorrem quando cos
x � 0, ou seja, x � (2n 	 1) p/2, em que n é um número inteiro.
C. f não é nem par nem ímpar, mas f (x 	 2p) � f (x) para todo x; logo, f é periódica e tem
um período 2p. Dessa forma, precisamos considerar somente e então esten-
der a curva por translação na parte H.
D. Assíntotas: nenhuma.
E.
Logo, quando 
. Assim, f é crescente em (7p/6, 11p/6) e decrescente em (0, 7p/6) e
(11p/6, 2p).
F. A partir da parte E e do Teste da Primeira Derivada, vemos que o valor mínimo local é
e o valor máximo local é .
G. Se usarmos a regra do quociente novamente, obtemos
Como e para todo x, sabemos que quando
cos x� 0, ou seja, . Assim, f é côncava para cima em e côn-
cava para baixo em e . Os pontos de inflexão são (p/2, 0) e (3p/2, 0).
H. O gráfico da função restrita a é mostrado na Figura 9. Então, nós o estende-
mos, usando a periodicidade, para completar o gráfico na Figura 10.
0 � x � 2
�3
�2, 2
��0, 
�2�
�p�2, 3p�2�
�2 � x � 3
�2
f ��x� � 01 � sen x � 0�2 	 sen x�3 � 0
f ��x� � � 2 cos x �1 � sen x�
�2 	 sen x�3
f �11
�6� � 1�s3f �7
�6� � �1�s3
7
�6 � x � 11
�6
2 sen x 	 1 � 0 &? sen x ��12 &?f ��x� � 0
f ��x� � �2 	 sen x���sen x� � cos x �cos x��2 	 sen x�2 � �
2 sen x 	 1
�2 	 sen x�2
0 � x � 2
f �0� � 12
�
f �x� � cos x
2 	 sen xEXEMPLO 4
��2, �2e�2����, �2���2, ��
x � �2f ��x� � 0x � �2f ��x� � 0
f ��x� � �x 	 1�ex 	 ex � �x 	 2�ex
x � �1 f ��1� � �e�1f �f ���1� � 0
284 CÁLCULO
FIGURA 8
x
y
1
_1_2
y=xex
(_1, _1/e)
FIGURA 9
y
xππ
2
1
2
2π3π
2
” , ’
11π
6
1
œ„3
-”
7π
6
1
œ„3
, ’
FIGURA 10
y
xπ_π
1
2
2π 3π
Esboce o gráfico de y � ln(4 � x2).
A. O domínio é
B. A intersecção com o eixo y é f (0) � ln 4. Para encontrarmos a intersecção com o eixo x,
fazemos 
Sabemos que , de modo que temos e, portanto, as inter-
secções com o eixo x é .
s3
4 � x 2 � 1 ? x 2 � 3ln 1 � 0
y � ln�4 � x 2 � � 0
�x � 4 � x 2 � 0� � �x � x 2 � 4� � �x � � x � � 2� � ��2, 2�
EXEMPLO 5
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:32 AM Page 284
C. Visto que f (�x) � f (x), f é par, e a curva é simétrica em relação ao eixo y.
D. Procuramos as assíntotas verticais nas extremidades do domínio. Já que
quando e também quando , temos
Assim, as retas x � 2 e x ��2 são assíntotas verticais.
E.
Como quando e quando , f é crescente em
(�2, 0) e decrescente em (0, 2).
F. O único número crítico é x � 0. Uma vez que f � muda de positiva para negativa em 0,
f (0) � ln 4 é um máximo local pelo Teste da Primeira Derivada.
G.
Uma vez que f �(x) � 0 para todo x, a curva é côncava para baixo em (�2, 2) e não tem
ponto de inflexão.
H. Usando essa informação, esboçamos a curva na Figura 11.
Assíntotas Oblíquas
Algumas curvas têm assíntotas que são oblíquas, isto é, não são horizontais nem verticais. Se
onde , então a reta y � mx 	 b é chamada assíntota oblíqua, pois a distância vertical
entre a curva y � f (x) e a linha y � mx 	 b tende a 0, como na Figura 12. (Uma situação si-
milar existe se .) Para funções racionais, assíntotas oblíquas acorrem quando a dife-
rença entre os graus do numerador e do denominador é igual a 1. Neste caso, a equação de uma
assíntota oblíqua pode ser encontrada por divisão de polinômios, como no exemplo a seguir.
Esboce o gráfico de .
A. O domínio é .
B. As intersecções com os eixos x e y são ambas 0.
C. Visto que f (�x) ��f (x), f é ímpar, e seu gráfico, simétrico em relação à origem.
D. Como x2 	 1 nunca é 0, não há assíntota vertical. Uma vez que quando
e quando , não há assíntotas horizontais. Mas a divisão de polinômios
fornece
quando 
Logo, a reta y � x é uma assíntota oblíqua.
E.
Uma vez que para todo x (exceto 0), f é crescente em .
F. Embora , não muda o sinal em 0, logo não há máximo ou mínimo local.f ��0� � 0 f �
���, ��f ��x� � 0
f ��x� � 3x
2�x 2 	 1� � x 3 � 2x
�x 2 	 1�2 �
x 2�x 2 	 3�
�x 2 	 1�2
xl 
�f �x� � x � � xx 2 	 1 � �
1
x
1 	
1
x 2
l 0
f �x� � x
3
x 2 	 1 � x �
x
x 2 	 1
xl ��f �x�l ��
xl �f �x�l �
� � ���, ��
f �x� � x
3
x 2 	 1EXEMPLO 6
xl ��
m � 0
lim
xl�
 f �x� � �mx 	 b�� � 0
f ��x� � �4 � x
2 ���2� 	 2x��2x�
�4 � x 2 �2 �
�8 � 2x 2
�4 � x 2 �2
0 � x � 2f ��x� � 0�2 � x � 0f ��x� � 0
f ��x� � �2x
4 � x 2
lim
xl�2	
ln�4 � x 2 � � ��lim
xl2�
ln�4 � x 2 � � ��
xl �2	xl 2�
4 � x 2 l 0	
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 285
0
y
x
{œ„3, 0}{_œ„3, 0}
x=2x=_2
(0, ln4)
y=ln(4-x2)
FIGURA 11
FIGURA 12
y=ƒ
x
y
0
y=mx+b
ƒ-(mx+b)
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:33 AM Page 285
G.
Visto que quando ou , montamos a seguinte tabela:
Os pontos de inflexão são e .
H. O gráfico de f está esboçado na Figura 13.
(s3 , 34s3 )(�s3 , �34s3 ), �0, 0�
x � 
s3x � 0f ��x� � 0
f ��x� � �4x
3 	 6x��x 2 	 1�2 � �x 4 	 3x 2 � � 2�x 2 	 1�2x
�x 2 	 1�4 �
2x�3 � x 2 �
�x 2 	 1�3
286 CÁLCULO
Intervalo x f
� � 	 	 CC em 
� 	 	 � CB em 
	 	 	 	 CC em 
	 � 	 � CB em x � s3
x � �s3 (��, �s3 )
�s3 � x � 0 (�s3 , 0)
0 � x � s3 (0, s3 )
f ��x��x 2 	 1�33 � x 2
(s3 , �)
FIGURA 13
y=x
”_œ„3,- ’
3œ„3
4
pontos de
inflexão
y=
x3
x2+1
x
y
0
”œ„3, ’
3œ„3
4
1–54 Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. , 
36. , 
37. , 
38. ,
39. 40.
41. 42.
43. 44. ,
45. 46.
47. 48.
49. 50.
51. 52.
53. 54.
55. Na teoria da relatividade, a massa de uma partícula é
onde m0 é a massa de repouso da partícula, m é a massa quando
a partícula se move com velocidade v em relação ao observador
e c é a velocidade da luz. Esboce o gráfico de m como uma fun-
ção de .
56. Na teoria da relatividade, a energia de uma partícula é
em que m0 é a massa de repouso da partícula, l é seu comprimento
de onda e h é a constante de Planck. Esboce o gráfico de E como
uma função de l. O que o gráfico mostra sobre a força?
57. Um modelo para dispersão de um rumor é dado pela equação
onde p(t) é a proporção da população que já ouviu o boato no
tempo t e a e k são constantes positivas.
(a) Quando a metade da população terá ouvido um rumor?
(b) Quando ocorre a maior taxa de dispersão do boato?
(c) Esboce o gráfico de p.
p�t� � 1
1 	 ae�kt
E � sm02 c4 	 h2 c 2��2
v
m � m0s1 � v2�c2
y � tg�1� x � 1x 	 1	y � e3x 	 e�2x
y � ln xx 2y � xe
�1�x
y � ln�x 2 � 3x 	 2�y � ln�sen x�
y � e x�x 2y � �1 	 e x ��2
y � e2 x � e xy � x � ln x
0 � x � 2
y � e�x sen xy � 1��1 	 e�x �
y � �1 � x�e xy � arctg�e x�
y � sen x
2 	 cos xy �
sen x
1 	 cos x
0 � x � 
�2y � sec x 	 tg x
0 � x � 3
y � 12 x � sen x
�
�2 � x � 
�2y � 2x � tg x
�
�2 � x � 
�2y � x tg x
y � x 	 cos xy � sen3 x
y � s3 x 3 	 1y � s3 x 2 � 1
y � x 5�3 � 5x 2�3y � x � 3x1�3
y � xsx 2 � 1y �
s1 � x 2
x
y � xs2 � x 2y � xsx 2 	 1
y � sx 2 	 x � xy � sx 2 	 x � 2
y � 2sx � xy � �x � 3�sx
y � x
3
x � 2y �
x 2
x 2 	 3
y � xx 3 � 1y �
x � 1
x 2
y � 1 	 1x 	
1
x 2y �
x
x 2 	 9
y � x
2
x 2 	 9y �
1
x 2 � 9
y � xx 2 � 9y �
x � x 2
2 � 3x 	 x 2
y � x
2 � 4
x 2 � 2xy �
x
x � 1
y � �4 � x 2 �5y � 15 x 5 � 83 x 3 	 16x
y � x 5 � 5xy � x�x � 4�3
y � 8x 2 � x 4y � 2 � 15x 	 9x 2 � x 3
y � x 3 	 6x 2 	 9xy � x 3 	 x
4.5 Exercícios
1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:37 AM Page 286
58. Um modelo para a concentração no instante t de uma droga inje-
tada na corrente sanguínea é 
onde a, b e K são constantes positivas e b � a. Esboce o gráfico
da função concentração. O que o gráfico nos diz sobre como a
concentração varia conforme o tempo passa?
59. A figura mostra uma viga de comprimento L embutida entre pa-
redes de concreto. Se uma carga constante W for distribuída uni-
formemente ao longo de seu comprimento, a viga assumirá a
forma da curva de deflexão 
onde E e I são constantes positivas. (E é o módulo de elasticidade
de Young, e I é o momento de inércia de uma secção transversal
da viga.) Esboce o gráfico da curva de deflexão. 
60. A Lei de Coulomb afirma que a força de atração entre duas par-
tículas carregadas é diretamente proporcional ao produto das
cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância en-
tre elas. A figura mostra partículas com carga 1 localizadas nas po-
sições 0 e 2 sobre o eixo das coordenadas, e uma partícula com
a carga �1 em uma posição x entre elas. Segue da Lei de Cou-
lomb que a força resultante agindo sobre a partícula do meio é 
onde k é uma constante positiva. Esboce o gráfico da função força
resultante. O que o gráfico mostra sobre a força?
61–64 Ache a equação da assíntota oblíqua. Não desenhe a curva.
61. 62.
63. 64.
65–70 Use o roteiro desta seção para esboçar o gráfico da curva. No
passo D, ache uma equação para aassíntota oblíqua.
65. 66.
67. 68.
69. 70.
71. Mostre que a curva y � x � tg�1x tem duas assíntotas oblíquas:
y � x 	 p/2 e y � x � p/2. Use esse fato para esboçar a curva.
72. Mostre que a curva tem duas assíntotas oblíquas:
y � x 	 2 e y ��x � 2. Use esse fato para esboçar a curva.
73. Mostre que as retas y � (b/a)x e y ��(b/a)x são assíntotas oblí-
quas da hipérbole (x2/a2) � (y2/b2) � 1.
74. Seja f (x) � (x3 	 1)/x. Mostre que
Isso mostra que o gráfico de f tende ao gráfico de y � x2, e dize-
mos que a curva y � f (x) é assintótica à parábola y � x2. Use esse
fato para ajudá-lo no esboço do gráfico de f.
75. Discuta o comportamento assintótico de f (x) � (x4 	 1)/x da
mesma forma que no Exercício 74. Use então seus resultados para
auxiliá-lo no esboço do gráfico de f. 
76. Use o comportamento assintótico de f (x) � cos x 	 1/x2 para es-
boçar seu gráfico sem seguir o roteiro de esboço de curvas desta
seção.
lim
xl
�
 f �x� � x 2 � � 0
y � sx2 	 4x
y � 1 � x 	 e1	x�3y � 1 	 12 x 	 e�x
y � x
3
�x 	 1�2y �
x 3 	 4
x 2
y � 1 	 5x � 2x
2
x � 2y �
x 2
x � 1
y � 5x
4 	 x 2 	 x
x 3 � x 2 	 2y �
4x 3 � 2x 2 	 5
2x 2 	 x � 3
y � 2x
3 	 x 2 	 x 	 3
x 2 	 2xy �
x2 	 1
x 	 1
_1
x
x
+1
2
+1
0
F�x� � � kx 2 	
k
�x � 2�2 0 � x � 2
Wy
0
L
y � � W
24EI x
4 	
WL
12EI x
3 �
WL2
24EI x
2
C�t� � K�e�at � e�bt�
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 287
4.6
O método usado para esboçar as curvas na seção precedente foi um auge dentro de nosso es-
tudo de cálculo diferencial. O gráfico foi o objetivo final obtido por nós. Nesta seção, nosso
ponto de vista é completamente diferente. Começamos aqui com um gráfico produzido por uma
calculadora gráfica ou computador e então o refinamos. Usamos o cálculo para nos assegurar
de que estão aparentes todos os aspectos importantes da curva. E com o uso de ferramentas
gráficas podemos nos dedicar a curvas complicadas demais para tratar sem essa tecnologia.
O objetivo aqui é a interação entre o cálculo e calculadoras.
Faça o gráfico do polinômio f (x) � 2x6 	 3x5 	 3x3 � 2x2. Use os gráficos de 
f � e f � para estimar todos os pontos de máximo e de mínimo e os intervalos de concavidade.
SOLUÇÃO Se especificarmos um domínio, mas não uma imagem, muitas ferramentas gráficas
deduzirão uma imagem adequada a partir dos valores calculados. A Figura 1 mostra o grá-
fico obtido a partir de uma dessas ferramentas se especificarmos que . Embora
essa janela retangular seja útil para mostrar que o comportamento assintótico (o comporta-
mento nas extremidades) é o mesmo que o de y � 2x6, é óbvio que estão omitidos os deta-
�5 � x � 5
EXEMPLO 1
Representação Gráfica com Cálculo e Calculadoras
Se você ainda não leu a Seção 1.4, deve
fazê-lo agora. Ela explica como evitar
algumas das armadilhas das ferramentas
gráficas através da escolha de janelas
retangulares apropriadas.
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:38 AM Page 287
lhes mais refinados. Assim, mudamos para a janela retangular [�3, 2] por [�50, 100] con-
forme mostrado na Figura 2.
A partir desse gráfico, parece que existe um valor mínimo absoluto de cerca de �15,33
quando (através do cursor) e f é decrescente em e crescente em
. Aparentemente também existe uma tangente horizontal na origem e pontos de in-
flexão quando x � 0 e quando x está em algum lugar entre �2 e �1.
Vamos tentar confirmar essas impressões usando o cálculo. Derivando, obtemos 
Quando fazemos o gráfico de na Figura 3, vemos que muda de negativa para positiva
quando ; isso confirma (pelo Teste da Primeira Derivada) o valor mínimo encon-
trado anteriormente. Mas, talvez para nossa surpresa, observamos também que muda de
positiva para negativa quando x� 0, e de negativa para positiva quando . Isso signi-
fica que f tem um máximo local em 0 e um mínimo local quando , mas esses valo-
res estavam escondidos na Figura 2. Realmente, se dermos um zoom em direção à origem, como
na Figura 4, veremos o que havíamos perdido antes: o valor máximo local de 0 quando x� 0
e um valor local mínimo de aproximadamente �0,1 quando .
E o que dizer sobre a concavidade e os pontos de inflexão? Das Figuras 2 e 4, parece ha-
ver pontos de inflexão quando x está um pouco à esquerda de �1 e quando x está um pouco
à direita de 0. Mas é difícil determinar os pontos de inflexão a partir do gráfico de f; assim,
fazemos o gráfico da segunda derivada f � na Figura 5. Vemos que f � muda de positivo para
negativo quando , e de negativa para positiva quando . Logo, com preci-
são de duas casas decimais, f é côncava para cima em e e côncava para
baixo em (�1,23; 0,19). Os pontos de inflexão são (�1,23; �10,18) e (0,19; �0,05).
Descobrimos que um único gráfico não revela todos os aspectos importantes desse poli-
nômio. Porém, as Figuras 2 e 4, quando olhadas em conjunto, fornecem uma visualização pre-
cisa.
Faça o gráfico da função 
f �x� � x
2 	 7x 	 3
x 2
EXEMPLO 2
�0,19; �����; �1,23�
x � 0,19x � �1,23
20
_5
_3 2
y=fª(x)
FIGURA 3
1
_1
_1 1
y=f(x)
FIGURA 4
x � 0,35
x � 0,35
f ��x�
x � 0,35
x � �1,62
f ��x�f �
f ��x� � 60x 4 	 60x 3 	 18x � 4
f ��x� � 12x 5 	 15x 4 	 9x 2 � 4x
��1,62; ��
���; �1,62�x � �1,62
100
_50
_3 2
y=ƒ
FIGURA 2
41.000
_1.000
_5 5
y=ƒ
FIGURA 1
288 CÁLCULO
10
_30
_3 2
y=f·(x)
FIGURA 5
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:39 AM Page 288
em uma janela retangular que contenha todos os aspectos importantes da função. Estime os
valores máximo e mínimo e os intervalos de concavidade. Então, use o cálculo para verificar
o valor exato dessas quantidades.
SOLUÇÃO A Figura 6, feita por um computador com escolha automática de escala, é um
desastre. Algumas calculadoras gráficas usam como janela retangular padrão [�10, 10] por
[�10, 10]; assim, vamos tentar fazer isso. Obtemos o gráfico mostrado na Figura 7, e ele é
uma grande melhoria.
O eixo y parece ser uma assíntota vertical e realmente o é, pois 
A Figura 7 também nos permite estimar as intersecções com o eixo de x em cerca de �0,5 e
de �6,5. Os valores exatos são obtidos usando a fórmula quadrática para resolver a equação
x2 � 7x � 3 � 0; Obtemos .
Para obter uma visão melhor das assíntotas horizontais, mudamos para a janela retangu-
lar [�20, 20] por [�5, 10] na Figura 8. Aparentemente, y � 1 é a assíntota horizontal, e isso
é facilmente confirmado:
Para estimarmos o valor mínimo, damos um zoom para a janela de inspeção [�3, 0] por
[�4, 2] da Figura 9. O cursor indica que o valor mínimo absoluto é de cerca de �3,1 quando
, e vemos que a função decresce em e e cresce em (�0,9; 0). Os
valores exatos são obtidos por derivação:
Isso mostra que quando e quando . O valor mínimo
exato é .
A Figura 9 também mostra que ocorre um ponto de inflexão em algum lugar entre x � �1
e x � �2. Podemos estimá-lo mais precisamente usando o gráfico da segunda derivada, o que
nesse caso é tão fácil quanto achar os valores exatos. Uma vez que
vemos que quando . Logo, f é côncava para cima em e
e côncava para baixo em . O ponto de inflexão é .
A análise usando as duas primeiras derivadas mostra que a Figura 8 exibe todos os aspectos
mais importantes da curva.
Faça o gráfico da função .
SOLUÇÃO Com base em nossa experiência com a função racional no Exemplo 2, vamos come-
çar fazendo o gráfico de f na janela retangular [�10, 10] por [�10, 10]. Da Figura 10 temos a
f �x� � x
2�x � 1�3
�x � 2�2�x � 4�4
EXEMPLO 3
(�97, �7127 )(��, �97 )
�0, ��(�97, 0)�x � 0�x � �97f ��x� � 0
f ��x� � 14
x 3
�
18
x 4
�
2(7x � 9�
x 4
f (� 67 ) � � 3712 � �3,08
x � �
6
7f 	�x� � 0�67 � x � 0f 	�x� � 0
f 	�x� � � 7
x 2
�
6
x 3
� �
7x � 6
x 3
x � �0,9 �0, �����; �0,9�
lim
xl
�
x 2 � 7x � 3
x 2
� lim
xl
�
�1 � 7
x
�
3
x 2
� � 1x � (�7 
 s37 )�2
lim
xl 0
x 2 � 7x � 3
x 2
� �
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 289
3 � 1018
_5 5
y=f(x)
FIGURA 6
10
_10
_10 10
y=f(x)
FIGURA 7
10
_5
_20 20
y=f(x)
y=1
FIGURA 8
2
_4
_3 0
y=f(x)
FIGURA 9
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:41 AM Page 289
sensação de que vamos precisar dar um zoom para ver mais detalhadamente, e também nos
afastar para ter uma visão geral melhor. Mas, como regra para dar um zoom inteligente, vamos
primeiro analisar bem de perto a expressão de f (x). Em razão dos fatores (x � 2)2 e (x � 4)4
no denominador, esperamos que x � 2 e x � 4 sejam assíntotas verticais. De fato,
e 
Para encontrarmos as assíntotas horizontais, dividimos numerador e denominador por x6:
Isto mostra que , de modo que o eixo x é uma assíntota horizontal.
É também muito útil considerar o comportamento do gráfico nas proximidades da inter-
secção com o eixo x, usando uma análise igual à do Exemplo 12 na Seção 2.6. Uma vez que
x2 é positivo, f (x) não muda de sinal em 0 e, portanto, seu gráfico não cruza o eixo x em 0. No
entanto, em virtude do fator (x � 1)3, o gráfico cruza o eixo x em � 1 e tem uma tangente ho-
rizontal aí. Juntando todas essas informações, mas sem usar as derivadas, vemos que a curva
deve se parecer com algo semelhante ao mostrado na Figura 11.
Agora que sabemos o que procurar, damos vários zooms para obter os gráficos nas Figu-
ras 12 e 13 e afastamos várias vezes para obter a Figura 14.
Podemos ver nesses gráficos que o mínimo absoluto está em torno de �0,02 e ocorre
quando . Há também um máximo local quando e um mínimo
local quando . Esses gráficos também mostram três pontos de inflexão próxi-
mos a �35, �5 e �1, e dois entre �1 e 0. Para estimarmos os pontos de inflexão mais pre-
cisamente, necessitaremos do gráfico de f �, mas calcular à mão f � é uma tarefa não razoável.
Se você tiver um sistema de computação algébrica, então não encontrará maiores problemas
(veja o Exercício 15).
Vimos que para essa função particular são necessários três gráficos (Figuras 12, 13 e 14)
para juntar todas as informações úteis. A única maneira de dispor todos esses aspectos da fun-
ção em um único gráfico é fazê-lo à mão. A despeito dos exageros e distorções, a Figura 11
consegue resumir a natureza essencial da função.
Faça o gráfico da função f (x) � sen(x � sen 2x). Para , estime todos
os valores máximo e mínimo, intervalos de crescimento e de decrescimento, e pontos de in-
flexão.
SOLUÇÃO Observamos primeiro que f é periódica com período de 2p. Também, f é ímpar e
para todo x. Então, a escolha de visualizar um retângulo não é um problema para
esta função: começamos com [0, p] por [�1,1; 1,1]. (Veja a Figura 15.) Parece que existem
três valores máximos locais e dois mínimos locais nessa janela. Para confirmarmos isso e
localizá-los mais precisamente, calculamos que
� f �x� � � 1
0 � x � 
EXEMPLO 4
x � 2,5�211
x � �0,3�0,00002x � �20
f �x�l0 quando xl
�
x 2�x � 1�3
�x � 2�2�x � 4�4
�
x 2
x 3
�
�x � 1�3
x 3
�x � 2�2
x 2
�
�x � 4�4
x 4
�
1
x
�1 � 1
x
�3
�1 � 2
x
�2�1 � 4
x
�4
lim
xl 4
x 2�x � 1�3
�x � 2�2�x � 4�4
� �lim
xl2
x 2�x � 1�3
�x � 2�2�x � 4�4
� �
290 CÁLCULO
10
_10
_10 10
y=f(x)
FIGURA 10
FIGURA 11
x
y
1 2 3_1 4
0,05
_0,05
_100 1
y=f(x)
FIGURA 12
0,0001
_0,0001
_1,5 0,5
y=f(x)
FIGURA 13
500
_10
_1 10
y=f(x)
FIGURA 14
A família de funções 
onde é uma constante, ocorre em apli-
cações de síntese de frequência modulada
(FM). Uma onda senoidal é modulada por
uma onda de frequência diferente .
O caso em que é estudado no
Exemplo 4. O Exercício 27 lida com outro
caso especial.
c � 2
�sen cx�
c
f �x� � sen�x � sen cx�
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:42 AM Page 290
e fazemos os gráficos de f e f 	 na Figura 16.
Dando um zoom e usando o Teste da Primeira Derivada, encontramos os seguintes valo-
res aproximados.
Intervalos de crescimento:
Intervalos de decrescimento:
Valores máximos locais:
Valores mínimos locais:
A segunda derivada é
Fazendo o gráfico de f e f � na Figura 17, obtemos os seguintes valores aproximados:
Côncava para baixo: (0,8; 1,3), (1,8; 2,3)
Côncava para baixo: (0; 0,8), (1,3; 1,8), (2,3; p)
Pontos de inflexão: (0; 0), (0,8; 0,97), (1,3; 0,97), (1,8; 0,97), (2,3; 0,97)
A Figura 15 realmente representa precisamente f para , e assim podemos afirmar
que o gráfico estendido na Figura 18 representa f precisamente para . 
Nosso último exemplo trata de famílias de funções. Conforme discutido na Seção 1.4, isso
significa que as funções na família estão relacionadas umas às outras por uma fórmula que con-
tém uma ou mais constantes arbitrárias. Cada um dos valores da constante dá origem a um
membro da família, e a ideia é ver como varia o gráfico da função à medida que mudamos a
constante.
Como o gráfico de varia conforme c varia?
SOLUÇÃO Os gráficos nas Figuras 19 e 20 (os casos especiais c � 2 e c � �2) mostram duas
curvas com aspectos bem diferentes. Antes de fazermos qualquer outro gráfico, vamos ver o
que os membros dessa família têm em comum. Uma vez que
para todo valor de c, todos têm como assíntota horizontal o eixo x. Uma assíntota vertical 
ocorrerá quando x2 � 2x � c � 0. Resolvendo essa equação quadrática, obtemos
. Quando c � 1, não há assíntotas verticais (como na Figura 19). Quando
c � 1, o gráfico tem uma única assíntota vertical x � �1, pois
Quando c � 1, há duas assíntotas verticais: (como na Figura 20).
Calculamos agora a derivada:
f 	�x� � � 2x � 2
�x 2 � 2x � c�2
x � �1 
 s1 � c
lim
xl�1
1
x 2 � 2x � 1
� lim
xl�1
1
�x � 1�2
� �
x � �1 
 s1 � c
lim
xl
�
1
x 2 � 2x � c
� 0
f �x� � 1��x 2 � 2x � c�EXEMPLO 5
�2
 � x � 2
0 � x � 
1,2
_1,2
0 π
f
f ·
FIGURA 17
1,2
_1,2
_2π 2π
FIGURA 18
f ��x� � ��1 � 2 cos 2x�2 sen�x � sen 2x� � 4 sen 2x cos�x � sen 2x�
f �1,0� � 0,94, f �2,1� � 0,94
f �0,6� � 1, f �1,6� � 1, f �2,5� � 1
�0,6; 1,0�, �1,6; 2,1�, �2,5; p�
�0; 0,6�, �1,0; 1,6�, �2,1; 2,5�
f 	�x� � cos�x � sen 2x� � �1 � 2 cos 2x�
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 291
1,1
_1,1
0
FIGURA 15
π
1,2
_1,2
0 π
y=f(x)
y=fª(x)
FIGURA 16
FIGURA 19
c=2
y=
1
x2+2x+2
2
_2
_5 4
FIGURA 20
c=_2
2
_2
_5 4
y=
1
x2+2x-2
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:44 AM Page 291
Isso mostra que quando (se ), quando , e 
quando . Para isso significa que f é crescente em e decrescente em
. Para , existe um valor máximo absoluto . Para ,
é um valor máximo local, e os intervalos de crescimento e decrescimento
são interrompidos nas assíntotas verticais.
A Figura 21 mostra cinco membros da família, feitos na janela retangular [�5, 4] por
[�2, 2]. Conforme previsto, c � 1 é o valor no qual ocorre uma transição de duas assínto-
tas verticais para uma e depois para nenhuma. À medida que aumentamos c a partir de 1,
vemos que o ponto de máximo fica cada vez mais baixo; isso é explicado pelo fato de que
quando . À medida que c decresce a partir de 1, as assíntotas verticais
ficam cada vez mais separadas, pois a distância entre elas é , que fica maior à me-
dida que . Novamente, o ponto de máximo tende ao eixo x, pois 
quando .
Claramente não há pontos de inflexão quando . Para c � 1 calculamos que
e deduzimos que os pontos de inflexão ocorrem quando . Portanto,
os pontos de inflexão tornam-se mais afastados à medida que c cresce, e isso parece plausí-
vel a partir das duas últimas partes da Figura 21.
x � �1 
 s3�c � 1��3
f ��x� � 2�3x
2 � 6x � 4 � c�
�x 2 � 2x � c�3
c � 1
1��c � 1�l 0
cl ��
cl ��
2s1 � c
cl �1��c � 1�l 0
f ��1� � 1��c � 1�
c � 1f ��1� � 1��c � 1�c � 1��1, ��
���, �1�c � 1x � �1
f 	�x� � 0x � �1f 	�x� � 0c � 1x� �1f 	�x� � 0
292 CÁLCULO
c=3c=2c=1c=0c=_1
FIGURA 21 A família das funções f(x)=1/(x2+2x+c)
Veja uma animação na Figura 21
em Visual 4.6.
TEC
4.6 Exercícios;
1–8 Faça gráficos de f que revelem todos os aspectos importantes da
curva. Em particular, você deve usar os gráficos de f 	 e f � para esti-
mar os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos,
intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
1.
2.
3.
4. 5.
6.
7. , 
8.
9–10 Faça gráficos de f que revelem todos os aspectos importantes da
curva. Estime os intervalos de crescimento e decrescimento, valores
extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão, e use o cál-
culo para achar essas quantidades exatamente.
9. 10.
11–12
(a) Faça o gráfico da função.
(b) Use a Regra de l’Hôspital para explicar o comportamento
quando .
(c) Estime o valor mínimo e os intervalos de concavidade. Então,
use o cálculo para achar os valores exatos.
11. 12.
13–14 Esboce o gráfico à mão, usando as assíntotas e as intersecções
com os eixos, mas não as derivadas. Então, use seu esboço como um
roteiro na obtenção de gráficos (com uma ferramenta gráfica) que
xl 0
f �x� � xe1�xf �x� � x 2 ln x
f �x� � 1
x 8
�
2 � 108
x 4
f �x� � 1 � 1
x
�
8
x 2
�
1
x 3
f �x� � e x � 0,186x 4
�4 � x � 4f �x� � x 2 � 4x � 7 cos x
f �x� � tg x � 5 cos x
f �x� � x
x 3 � x 2 � 4x � 1
f �x� � x
2 � 1
40x 3 � x � 1
f �x� � x 6 � 10x 5 � 400x 4 � 2.500x 3
f �x� � x6 � 15x 5 � 75x 4 � 125x 3 � x
f �x� � 4x 4 � 32x 3 � 89x 2 � 95x � 29
; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador É necessário usar um sistema de computação algébrica 
1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
SCA
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:46 AM Page 292
mostrem os aspectos mais importantes da curva. Use esses gráficos
para estimar os valores máximo e mínimo.
13. 14.
15. Se f for a função considerada no Exemplo 3, use um sistema de
computação algébrica para calcular f 	 e então faça seu gráfico
para confirmar que todos os valores máximos e mínimos são
como dados no exemplo. Calcule f � e use-a para estimar os in-
tervalos de concavidade e pontos de inflexão.
16. Se f for a função do Exercício 14, encontre f 	 e f � e use seus grá-
ficos para estimar os intervalos de crescimento e decrescimento
e de concavidade de f.
17–22 Use um sistema de computação algébrica para fazer o gráfico
de f e encontrar f 	 e f �. Utilize os gráficos dessas derivadas para es-
timar os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos,
intervalos de concavidade e pontos de inflexão de f.
17. 18.
19. , 
20.
21. 22.
23–24 Faça o gráfico da função usando quantas visualizações retan-
gulares você precisar para descrever a verdadeira natureza da função.
23. 24.
25–26
(a) Faça o gráfico da função.
(b) Explique a forma do gráfico calculando o limite quando
ou quando .
(c) Estime os valores máximo e mínimo e então use o cálculo para
achar os valores exatos.
(d) Use um gráfico de f � para estimar a coordenada x dos pontos
de inflexão.
25. 26.
27. No Exemplo 4 consideramos um membro da família de funções 
f (x) � sen(x � sen cx) que ocorre na síntese de FM. Aqui investi-
gamos a função com c � 3. Comece o gráfico f com a janela re-
tangular [0, p] por [�1,2; 1,2]. Quantos pontos de máximo locais
você pode ver? O gráfico tem mais informações do que podemos
perceber a olho nu. Para descobrir os pontos de máximo e mínimo
escondidos será necessário examinar muito cuidadosamente o grá-
fico de f 	. De fato, ajuda examinar ao mesmo tempo o gráfico de
f �. Encontre todos os valores máximos e mínimos e os pontos de
inflexão. Então faça o gráfico de f na janela retangular [�2p, 2p]
por [�1,2; 1,2] e comente sobre a simetria.
28-35 Descreva a mudança no gráfico de f à medida que c varia. Faça
o gráfico de vários membros da família para ilustrar as tendências que
você descobriu. Em particular, você deve investigar como os pontos
de máximo e mínimo e os pontos de inflexão movem-se quando c va-
ria. Você deve também identificar qualquer valor intermediário de c
no qual o aspecto básico da curva mude.
28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35.
36. A família de funções , onde a, b e c são nú-
meros positivos e b � a, tem sido usada para modelar a concen-
tração de uma droga injetada na corrente sanguínea no instante 
t � 0. Faça o gráfico de vários membros dessa família. O que eles
têm em comum? Para valores fixos de C e a, descubra grafica-
mente o que acontece à medida que b cresce. Use então o cálculo
para demonstrar o que você descobriu.
37. Investigue a família de curvas dadas por , em que c
é um número real. Comece calculando os limites quando
. Identifique qualquer valor intermediário de c onde
mude a forma básica. O que acontece aos pontos de máximo, 
de mínimo e de inflexão quando c varia? Ilustre fazendo o gráfi-
co de vários membros da família.
38. Investigue a família de curvas dadas pela equação f (x) � x4 � cx2
� x. Comece determinando o valor de transição de c em que o nú-
mero de pontos de inflexão muda. Faça então o gráfico de vários
membros da família para ver quais formas são possíveis. Existe
outro valor de transição de no qual a quantidade de números crí-
ticos muda. Tente descobrir isso graficamente. Demonstre então
o que você descobriu.
39. (a) Investigue a família de funções polinomiais dada pela equa-
ção f (x) � cx4 � 2x2 � 1. Para quais valores de c a curva tem
pontos de mínimo?
(b) Mostre que os pontos de máximo e de mínimo para cada curva
da família estão sobre a parábola y � 1 � x2. Ilustre fazendo o
gráfico dessa parábola e de vários membros da família.
40. (a) Investigue a família de funções polinomiais dada pela equa-
ção f (x) � 2x3 � cx2 � 2x. Para que valores de c a curva tem
pontos de máximo e de mínimo?
(b) Mostre que os pontos de máximo e de mínimo de cada curva
da família estão sobre a curva y � x � x3. Ilustre fazendo o
gráfico dessa curva e de vários membros da família.
x l 
�
f �x� � xe�cx
f �t� � C�e�at � e�bt �
f �x� � cx � sen x
f �x� � x 2 � ce�xf �x� � cx
1 � c 2x 2
f �x� � ln�x 2 � c�f �x� � e x � ce�x
f �x� � xsc 2 � x 2f �x� � sx 4 � cx 2
f �x� � x 3 � cx
f �x� � �sen x�sen xf �x� � x 1�x
x l �x l 0�
f �x� � e x � ln� x � 4 �f �x� � 1 � cos�x
4�
x 8
f �x� � 1
1 � e tg x
f �x� � 1 � e
1�x
1 � e1�x
f �x� � �x 2 � 1�e arctg x
x � 20f �x� � sx � 5 sen x
f �x� � x
2�3
1 � x � x 4
f �x� � x
3 � 5x 2 � 1
x 4 � x 3 � x 2 � 2
f �x� � �2x � 3�
2�x � 2�5
x 3�x � 5�2f �x� �
�x � 4��x � 3�2
x 4�x � 1�
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 293
SCA
SCA
SCA
SCA
SCA
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:47 AM Page 293
Os métodos estudados neste capítulo para encontrar os valores extremos têm aplicações prá-
ticas em muitas situações do dia a dia. Um homem de negócios quer minimizar os custos e ma-
ximizar os lucros. Um viajante quer minimizar o tempo de transporte. O Princípio de Fermat
na óptica estabelece que a luz segue o caminho que leva o menor tempo. Nesta seção vamos
resolver problemas tais como maximizar áreas, volumes e lucros e minimizar distâncias, tempo
e custos.
Na solução destes problemas práticos, o maior desafio está frequentemente em converter
o problema em um problema de otimização matemática, determinando a função que deve ser
maximizada ou minimizada. Vamos nos lembrar dos princípios da resolução de problemas dis-
cutidos anteriormente e adaptá-los para estas situações:
1. Compreendendo o Problema A primeira etapa consiste em ler cuidadosamente o problema
até que ele seja entendido claramente. Pergunte-se: O que é desconhecido? Quais são
as quantidades dadas? Quais são as condições dadas?
2. Faça um Diagrama Na maioria dos problemas, é útil fazer um diagrama e marcar as quanti-dades dadas e pedidas no diagrama.
3. Introduzindo uma Notação Atribua um símbolo para a quantidade que deve ser maximizada ou
minimizada (por ora vamos chamá-la Q). Selecione também símbolos (a, b, c, . . . , x, y)
para outras quantidades desconhecidas e coloque esses símbolos no diagrama. O uso de
iniciais como símbolos poderá ajudá-lo – por exemplo, A para área, h para altura e t para
tempo.
4. Expresse Q em termos de alguns dos outros símbolos da Etapa 3.
5. Se Q for expresso como uma função de mais de uma variável na Etapa 4, use a informa-
ção dada para encontrar as relações (na forma de equações) entre essas variáveis. Use en-
tão essas equações para eliminar todas menos uma das variáveis na expressão de Q. As-
sim, Q será expresso como uma função de uma variável x, digamos, Q � f (x). Escreva o
domínio dessa função.
6. Use os métodos das Seções 4.1 e 4.3 para encontrar os valores máximo ou mínimo abso-
lutos de f. Em particular, se o domínio de f é um intervalo fechado, então o Método de In-
tervalo Fechado da Seção 1.4 pode ser usado. 
Um fazendeiro tem 1 200 m de cerca e quer cercar um campo retangular que
está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as di-
mensões do campo que tem maior área?
SOLUÇÃO A fim de percebermos o que está acontecendo neste problema, vamos fazer uma
experiência com alguns casos especiais. A Figura 1, fora de escala, mostra três maneiras pos-
síveis de estender os 1 200 m de cerca.
Vemos que, ao tentarmos os campos rasos e extensos ou profundos e estreitos, obtemos
áreas relativamente pequenas. Parece plausível que exista alguma configuração intermediária
que produza a maior área.
EXEMPLO 1
Passos na Resolução dos Problemas de Otimização
294 CÁLCULO
4.7 Problemas de Otimização
SP
Entendendo o problema
Analogia: tente casos especiais
Faça diagramasSP
SP
SP
FIGURA 1
100
1.000
100
Área=100 · 1 000=100 000 m@
400
400
400
Área=400 · 400=160 000 m@
500
200
500
Área=500 · 200=100 000 m@
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:47 AM Page 294
A Figura 2 ilustra o caso geral. Desejamos maximizar a área A do retângulo. Sejam x e y a
profundidade e a largura do retângulo (em metros). Então, expressamos A em termos de x e y:
Queremos expressar A como uma função de apenas uma variável; assim, eliminamos y ex-
pressando-o em termos de x. Para fazermos isso, usamos a informação dada de que o com-
primento total da cerca é de 1 200 m. Logo,
Dessa equação, temos y � 1.200 � 2x, resultando assim 
Observe que 0 e (de outra forma resultaria ). Logo, a função que deseja-
mos maximizar é 
, 
A derivada é ; logo, para encontrarmos os números críticos, resolvemos
a equação
que nos fornece x � 300. O valor máximo de A deve ocorrer ou nesse número crítico ou em
uma extremidade do intervalo. Uma vez que A(0) � 0, A(300) � 180 000 e A(600) � 0, o Mé-
todo do Intervalo Fechado nos fornece o valor máximo como A(300) � 180 000.
[Alternativamente poderíamos ter observado que para todo x; logo, A é
sempre côncava para baixo, e o máximo local em x � 300 deve ser um máximo absoluto.]
Assim, o campo retangular deve ter 300 m de profundidade e 600 m de extensão. 
Uma lata cilíndrica é feita para receber um 1 litro de óleo. Encontre as dimen-
sões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata.
SOLUÇÃO Fazemos o diagrama como na Figura 3, onde r é o raio e h é a altura (ambos em
centímetros). A fim de minimizar o custo do metal, minimizamos a área da superfície total
do cilindro (tampa, base e lado). Da Figura 4, vemos que o lado é feito de uma folha retan-
gular com dimensões 2pr e h. Logo a área da superfície é
Para eliminarmos h, usamos o fato de que o volume é dado como 1 L, que é igual a 
1 000 cm3. Logo,
que nos fornece . Substituindo na expressão para A, temos 
Portanto, a função que queremos minimizar é
Para acharmos os números críticos, derivamos:
Então quando ; logo, o número crítico é .A	�r� � 0 
r 3 � 500 r � s3 500�
A	�r� � 4pr �
2 000
r 2
�
4�pr 3 � 500�
r 2
r � 0A�r� � 2pr 2 �
2 000
r
A � 2pr 2 � 2pr�1 000
pr 2
� � 2pr 2 � 2 000
r
h � 1 000��pr 2 �
pr 2h � 1 000
A � 2
r 2 � 2
rh
EXEMPLO 2
A��x� � �4 � 0
A	�x� � 1 200 � 4x
1 200 � 4x � 0
0 � x � 600A�x� � 1 200x � 2x 2
A � 0x � 600x �
A � x �1 200 � 2x� � 1 200x � 2x 2
2x � y � 1 200
A � xy
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 295
x
y
A
FIGURA 2 
x
Introduza uma notação.SP
FIGURA 3
r
h
r
Área 2{πr@}
FIGURA 4
Área (2πr)h
2πr
h
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:49 AM Page 295
Uma vez que o domínio de é , não podemos usar o argumento do Exemplo 1 re-
lativo às extremidades. Mas podemos observar que para e
para , portanto, A está decrescendo para todo r à esquerda do número crítico e
crescendo para todo r à direita. Assim, deve originar um mínimo absoluto.
[Alternativamente, poderíamos argumentar que quando e
quando ; portanto, deve existir um valor mínimo de A(r), que deve ocorrer no número
crítico. Veja a Figura 5.]
O valor de h correspondente a é 
Dessa forma, para minimizar o custo da lata, o raio deve ser cm e a altura, igual a
duas vezes o raio, isto é, o diâmetro.
OBSERVAÇÃO 1 O argumento usado no Exemplo 2 para justificar o mínimo absoluto é uma
variação do Teste da Primeira Derivada (que se aplica somente para valores máximo e mí-
nimo locais) e será enunciado aqui para futuras referências.
Teste da Primeira Derivada para Valores Extremos Absolutos Suponha que c seja um número
crítico de uma função contínua f definida em um certo intervalo.
(a) Se para todo e para todo , então f (c) é o valor
máximo absoluto de f.
(b) Se para todo e para todo , então f (c) é o valor mí-
nimo absoluto de f.
OBSERVAÇÃO 2 Um método alternativo para resolver os problemas de otimização é usar a
derivação implícita. Para ilustrarmos esse método, examinaremos novamente o Exemplo 2.
Vamos nos utilizar das mesmas equações 
mas, em vez de eliminarmos h, derivamos implicitamente ambas as equações em relação a r:
O mínimo ocorre em um número crítico; assim, fazemos A	 � 0, simplificamos e chegamos
até as equações 
e uma subtração nos fornece 2r � h � 0 ou h � 2r.
Encontre o ponto sobre a parábola y2 � 2x mais próximo de (1, 4).
SOLUÇÃO A distância entre os pontos (1, 4) e (x, y) é 
(Veja a Figura 6.) Mas, como o ponto (x, y) está sobre a parábola, então ; logo, a ex-
pressão para d fica 
(Uma forma alternativa seria substituir para obter d em termos só de x.) Em vez de
d, minimizamos seu quadrado:
A �0, ��
d 2 � f �y� � ( 12 y 2 � 1)2 � �y � 4�2
y � s2x
d � s( 12 y 2 � 1)2 � �y � 4�2
x � 12 y 2
d � s�x � 1�2 � �y � 4�2
EXEMPLO 3
2h � rh	 � 02r � h � rh	 � 0
2
rh � 
r 2h	 � 0A	 � 4
r � 2
h � 2
rh	
pr 2h � 1 000A � 2
r 2 � 2
rh
x � cf 	�x� � 0x � cf 	�x� � 0
x � cf 	�x� � 0x � cf 	�x� � 0
s3 500�
h �
1000
r 2
�
1000
�500�
�2�3 � 2	3 500
 � 2r
r � s3 500�
rl �
A�r�l �rl 0�A�r�l �
r � s3 500�
r � s3 500�
A	�r� � 0r � s3 500�
A	�r� � 0
296 CÁLCULO
r
y
0 10
1.000 y=A(r)
FIGURA 5
Ainda neste capítulo, no Projeto Aplicado
da página 304, examinaremos a forma
mais econômica para uma lata levando em
conta outros custos de produção.
Module 4.7 leva você a seis
problemas adicionais de otimização,
incluindo animações de situações físicas. 
TEC
x
y
0 1
1
2 3 4
y2=2x
(1, 4)
(x, y)
FIGURA 6
1.000 1.000
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:50 AM Page 296
(Você deve se convencer de que o mínimo de d ocorre no mesmo ponto que o mínimo de ,
porém é mais fácil de se lidar com .). Derivando, obtemos
portanto, quando y � 2. Observe que quando e quando
; logo, pelo Teste da Primeira Derivada para os Valores Extremos Absolutos, o mínimo
absoluto ocorre quando y � 2. (Ou,ainda, poderíamos simplesmente dizer que, dada a natu-
reza geométrica do problema, é óbvio que existe um ponto mais próximo, mas não existe um
ponto mais distante.) O valor correspondente de x é . Assim, o ponto sobre
mais próximo de (1, 4) é (2, 2).
Um homem lança seu bote em um ponto A na margem de um rio reto, com uma
largura de 3 km, e deseja atingir tão rápido quanto possível um ponto B na outra margem, 8
km rio abaixo (veja a Figura 7). Ele pode dirigir seu barco diretamente para o ponto C e então
seguir andando para B, ou rumar diretamente para B, ou remar para algum ponto D entre C e
B e então andar até B. Se ele pode remar a 6 km/h e andar a 8 km/h, onde ele deveria aportar
para atingir B o mais rápido possível? (Estamos supondo que a velocidade da água seja des-
prezível comparada com a velocidade na qual o homem rema.)
SOLUÇÃO Se chamarmos de x a distância de C a D, então a distância a ser percorrida a pé será
, e o Teorema de Pitágoras dará a distância remada como .
Usamos a equação
Então o tempo gasto remando é , enquanto o tempo gasto andando é . As-
sim, o tempo total T como uma função de x é
O domínio dessa função T é [0, 8]. Observe que, se x � 0, ele rema para C, e se x � 8, ele
rema diretamente para B. A derivada de T é
Assim, usando o fato de que , temos
O único número crítico é . Para verificarmos se o mínimo ocorre nesse número crí-
tico ou nas extremidades do domínio [0, 8], calculamos T em todos os três pontos:
Uma vez que o menor desses valores T ocorre quando , o valor mínimo absoluto de
T deve ocorrer lá. A Figura 8 ilustra esse cálculo mostrando o gráfico de T.
Dessa forma, o homem deve aportar o bote no ponto km ( km) rio abaixo a par-
tir do ponto inicial.
d 2
d 2
�3,49�s7
x � 9�s7
T�8� � s73
6
� 1,42T� 9s7 � � 1 � s78 � 1,33T�0� � 1,5
x � 9�s7
x �
9
s7&?
7x 2 � 81&?16x 2 � 9�x 2 � 9�&?
4x � 3sx 2 � 9&?x
6sx 2 � 9 �
1
8
&?T	�x� � 0
x � 0
T	�x� �
x
6sx 2 � 9 �
1
8
T�x� �
sx 2 � 9
6
�
8 � x
8
�8 � x��8sx 2 � 9�6
tempo �
distância
taxa
�AD � � sx 2 � 9�DB � � 8 � x
EXEMPLO 4
y 2 � 2x
x � 12 y 2 � 2
y � 2
f 	�y� � 0y � 2f 	�y� � 0f 	�y� � 0
f 	�y� � 2(12 y 2 � 1)y � 2�y � 4� � y 3 � 8
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 297
8 km
C
D
B
A
3 km
FIGURA 7
x
FIGURA 8 
x
T
0
1
2 4 6
y=T(x)
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:52 AM Page 297
Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um semicírculo de
raio r.
SOLUÇÃO 1 Vamos considerar o semicírculo como a metade superior do círculo
com o centro na origem. Então a palavra inscrito significa que o retângulo tem dois vértices
sobre o semicírculo e dois vértices sobre o eixo x, conforme mostra a Figura 9.
Seja (x, y) o vértice que está no primeiro quadrante. E então o retângulo tem lados de com-
primento 2x e y, e sua área é 
Para eliminarmos y, usamos o fato de que (x, y) está sobre o círculo e, portanto,
. Logo,
O domínio dessa função é . Sua derivada é
que é zero quando , isto é, (uma vez que ). Esse valor de x dá um
valor máximo de A, visto que A(0) � 0 e A(r) � 0. Portanto, a área do maior retângulo ins-
crito é
SOLUÇÃO 2 Uma solução mais simples é possível quando usamos um ângulo como uma variá-
vel. Seja u o ângulo mostrado na Figura 10. Então, a variação na área do retângulo é
Sabemos que sen 2u tem um valor máximo de 1 e ele ocorre quando . Logo,
tem um valor máximo de r2 e ele ocorre quando .
Observe que essa solução trigonométrica não envolve derivação. De fato, não necessita-
mos usar nada do cálculo aqui.
Aplicações à Administração e à Economia
Na Seção 3.7 introduzimos a ideia de custo marginal. Lembre que se C(x), a função custo, for
o custo da produção de x unidades de certo produto, então o custo marginal é a taxa de varia-
ção de C em relação a x. Em outras palavras, a função de custo marginal é a derivada, , da
função custo. 
Vamos considerar agora o marketing. Seja p(x) o preço por unidade que a companhia pode
cobrar se ela vender x unidades. Então, p é chamada função demanda (ou função preço) e
esperaríamos que ela fosse uma função decrescente de x. Se x unidades forem vendidas e o
preço por unidade for p(x), então a receita total será
e é chamada função receita. A derivada da função receita é chamada função receita mar-
ginal e é a taxa de variação da receita com relação ao número de unidades vendidas.
Se x unidades forem vendidas, então o lucro total será 
e P é chamada função lucro. A função lucro marginal é , a derivada da função lucro. Nos
Exercícios 57–62, lhe será pedido para usar as funções custo, receita e lucro marginais para
minimizar custos e maximizar receitas e lucros.
P	
R	R
P�x� � R�x� � C�x�
R�x� � xp�x�
C	�x�
� � 
�4
A���2� � 
�2
A�u� � �2r cos u��r sen u� � r 2�2 sen u cos u� � r 2 sen 2 u
A� rs2 � � 2 rs2	r 2 � r 22 � r 2
x � 0x � r�s22x 2 � r 2
A	 � 2sr 2 � x 2 � 2x
2
sr 2 � x 2 �
2�r 2 � 2x 2 �
sr 2 � x 2
0 � x � r
A � 2xsr 2 � x 2
y � sr 2 � x 2
x 2 � y 2 � r 2
A � 2xy
x 2 � y 2 � r 2
EXEMPLO 5
298 CÁLCULO
x
y
0
2x
(x, y) 
y
_r r
FIGURA 9
r
¨
r cos ¨
r sen ¨
FIGURA 10
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:53 AM Page 298
Uma loja tem vendido 200 aparelhos reprodutores de Blu-ray por semana a $
350 cada. Uma pesquisa de mercado indicou que para cada $ 10 de desconto oferecido aos
compradores, o número de unidades vendidas aumenta 20 por semana. Encontre a função de-
manda e a função receita. Qual o desconto que a loja deveria oferecer para maximizar sua
receita?
SOLUÇÃO Se x for o número de reprodutores de Blu-ray vendidos por semana, então o aumento
semanal nas vendas será x � 200. Para cada aumento de 20 unidades vendidas, o preço cai em
$ 10. Portanto, para cada unidade adicional vendida, o decréscimo no preço será e a
função demanda será 
A função receita é
Como , vemos que quando x � 450. Este valor de x dá um má-
ximo absoluto pelo Teste da Primeira Derivada (ou simplesmente observando que o gráfico de
R é uma parábola que abre para baixo). O preço correspondente é 
e o desconto é 350 � 225 � 125. Portanto, para maximizar a receita, a loja deveria oferecer
um desconto de $ 125.
p�450� � 450 � 12 �450� � 225
R��x� � 0R��x� � 450 � x
R�x� � xp�x� � 450x � 12 x 2
p�x� � 350 � 1020 �x � 200� � 450 � 12 x
1
20 � 10
EXEMPLO 6
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 299
1. Considere o seguinte problema: encontre dois números cuja soma
seja 23 e cujo produto seja máximo.
(a) Faça uma tabela de valores, como a mostrada a seguir, tal que
a soma dos números nas duas primeiras colunas seja sempre
23. Com base na evidência mostrada em sua tabela, estime a
resposta para o problema. 
(b) Use o cálculo para resolver o problema e compare com sua
resposta da parte (a).
2. Encontre dois números cuja diferença seja 100 e cujo produto seja
mínimo.
3. Encontre dois números positivos cujo produto seja 100 e cuja
soma seja mínima.
4. A soma de dois números positivos é 16. Qual é o menor valor pos-
sível para a soma de seus quadrados?
5. Qual é a distância vertical máxima entre a reta e a pa-
rábola para ?
6. Qual é a distância vertical mínima entre as parábolas
e ?
7. Encontre as dimensões de um retângulo com perímetro de 100 m
cuja área seja a maior possível.
8. Encontre as dimensões de um retângulo com área de 1.000 m2
cujo perímetro seja o menor possível.
9. Um modelo usado para a produção Y de uma colheita agrícola
como função do nível de nitrogênio N no solo (medido em uni-
dades apropriadas) é
onde k é uma constante positiva. Que nível de nitrogênio dá a me-
lhor produção?
10. A taxa (em mg de carbono/m3/h) na qual a fotossíntese ocorre para
uma espécie de fitoplâncton é modelada pela função 
em que I é a intensidade da luz (medida em milhares de velas).
Para qual intensidadede luz P é máximo?
11. Considere o seguinte problema: um fazendeiro com 300 m de
cerca quer cercar uma área retangular e então dividi-la em qua-
tro partes com cercas paralelas a um lado do retângulo. Qual é a
maior área total possível das quatro partes?
P � 100 II 2 � I � 4
Y � kN
1 � N 2
y � x � x 2
y � x 2 � 1
�1 � x � 2y � x 2
y � x � 2
Primeiro número Segundo número Produto
1 22 22
2 21 42
3 20 60
. . .
. . .
. . .
4.7 Exercícios
; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador É necessário usar um sistema de computação algébrica 
1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
SCA
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:56 AM Page 299
(a) Faça vários diagramas ilustrando a situação, alguns com divi-
sões rasas e largas e alguns com divisões profundas e estreitas.
Encontre as áreas totais dessas configurações. Parece que existe
uma área máxima? Se a resposta for sim, estime-a.
(b) Faça um diagrama ilustrando a situação geral. Introduza uma
notação e marque no diagrama seus símbolos.
(c) Escreva uma expressão para a área total.
(d) Use a informação dada para escrever uma equação que rela-
cione as variáveis.
(e) Use a parte (d) para escrever a área total como uma função de
uma variável.
(f) Acabe de resolver o problema e compare sua resposta com sua
estimativa da parte (a).
12. Considere o seguinte problema: uma caixa sem tampa deve ser
construída a partir de um pedaço quadrado de papelão, com 3 me-
tros de largura, cortando fora um quadrado de cada um dos qua-
tro cantos e dobrando para cima os lados. Encontre o maior vo-
lume que essa caixa poderá ter.
(a) Faça vários diagramas para ilustrar a situação, algumas caixas
baixas com bases grandes e outras altas com base pequena.
Encontre os volumes de várias dessas caixas. Parece existir um
volume máximo? Se a resposta for sim, estime-o.
(b) Faça um diagrama ilustrando a situação geral. Introduza uma
notação e marque no diagrama seus símbolos.
(c) Escreva uma expressão para o volume.
(d) Use a informação dada para escrever uma equação que rela-
cione as variáveis.
(e) Use a parte (d) para escrever o volume como uma função de
uma só variável.
(f) Acabe de resolver o problema e compare sua resposta com sua
estimativa da parte (a).
13. Um fazendeiro quer cercar uma área de 15 000 m2 em um campo
retangular e então dividi-lo ao meio com uma cerca paralela a um
dos lados do retângulo. Como fazer isso de forma que minimize
o custo da cerca?
14. Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa tem volume de
32 000 cm3. Encontre as dimensões da caixa que minimizam a
quantidade de material usado.
15. Se 1 200 cm2 de material estiverem disponíveis para fazer uma
caixa com uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior vo-
lume possível da caixa.
16. Um contêiner para estocagem retangular com uma tampa aberta
deve ter um volume de 10 m3. O comprimento de sua base é o do-
bro da largura. O material para a base custa $ 10 por metro qua-
drado. O material para os lados custa $ 6 por metro quadrado. En-
contre o custo dos materiais para o mais barato desses contêineres.
17. Faça o Exercício 16 supondo que o contêiner tenha uma tampa
feita do mesmo material usado nos lados.
18. (a) Mostre que, de todos os retângulos com uma dada área, aquele
com a menor área é um quadrado.
(b) Mostre que, de todos os retângulos com um dado perímetro,
aquele com a maior área é um quadrado.
19. Encontre o ponto sobre a reta que está mais próximo
da origem.
20. Encontre o ponto sobre a curva que está mais próximo
do ponto (3, 0).
21. Encontre os pontos sobre a elipse que estão mais
distantes do ponto (1, 0).
22. Encontre, com precisão de duas casas decimais, as coordenadas do
ponto na curva y � sen x que está mais próximo do ponto (4, 2).
23. Encontre as dimensões do retângulo com a maior área que pode
ser inscrito em um círculo de raio r.
24. Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito na
elipse .
25. Encontre as dimensões do retângulo com a maior área que pode
ser inscrito em um triângulo equilátero com lado L se um dos la-
dos do retângulo estiver sobre a base do triângulo.
26. Encontre a área do maior trapézio que pode ser inscrito num cír-
culo com raio 1 e cuja base é o diâmetro do círculo.
27. Encontre as dimensões do triângulo isósceles de maior área que
pode ser inscrito em um círculo de raio r.
28. Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um
triângulo retângulo com catetos de comprimentos 3 e 4 cm, se dois
lados do retângulo estiverem sobre os catetos.
29. Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio r. En-
contre o maior volume possível para este cilindro.
30. Um cilindro circular reto é inscrito em um cone com altura h e raio
da base r. Encontre o maior volume possível para este cilindro.
31. Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio r. En-
contre o maior superfície possível para este cilindro.
32. Uma janela normanda tem a forma de um retângulo tendo em
cima um semicírculo. (O diâmetro do semicírculo é igual à lar-
gura do retângulo. Veja o Exercício 62.) Se o perímetro da janela
for 10 m, encontre as dimensões da janela que deixam passar a
maior quantidade possível de luz.
33. As margens superiores e inferiores de um pôster têm 6 cm e cada
margem lateral tem 4 cm. Se a área do material impresso no pôs-
ter é de 384 cm2, encontre as dimensões do pôster com a menor
área. 
34. Um pôster deve ter uma área de 900 cm2 com uma margem de 3
cm na base e nos lados, e uma margem de 5 cm em cima. Que di-
mensões darão a maior área impressa?
35. Um pedaço de fio com 10 m de comprimento é cortado em duas
partes. Uma parte é dobrada no formato de um quadrado, ao passo
que a outra é dobrada na forma de um triângulo equilátero. Como
deve ser cortado o fio de forma que a área total englobada seja:
(a) máxima? (b) mínima?
36. Responda o Exercício 35 se um pedaço estiver dobrado no for-
mato de um quadrado e o outro no formato de um círculo.
37. Uma lata cilíndrica sem o topo é feita para receber V cm3 de lí-
quido. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal
para fazer a lata.
38. Uma cerca de 2 m de altura corre paralela a um edifício alto, a
uma distância de 1 m do edifício. Qual o comprimento da menor
escada que se apoie no chão e na parede do prédio, por cima da
cerca?
39. Um copo com formato cônico é feito de um pedaço circular de pa-
pel de raio R cortando fora um setor e juntando os lados CA e CB.
Encontre a capacidade máxima de tal copo.
x 2�a2 � y 2�b 2 � 1
4x 2 � y 2 � 4
y � sx
y � 2x � 3
300 CÁLCULO
;
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:57 AM Page 300
40. Um copo de papel em forma de cone é feito de maneira a conter
27 cm3 de água. Ache a altura e o raio do copo que usa a menor
quantidade possível de papel.
41. Um cone com altura h está inscrito em outro cone maior com al-
tura H, de forma que seu vértice esteja no centro da base do cone
maior. Mostre que o cone interno tem seu volume máximo quando
.
42. Um objeto de massa m é arrastado ao longo de um plano hori-
zontal por uma força agindo ao longo de uma corda atada ao ob-
jeto. Se a corda faz um ângulo u com o plano, então a intensidade
da força é 
onde m é uma constante chamada coeficiente de atrito. Para qual
valor de u é F menor?
43. Se um resistor de R ohms estiver ligado a uma pilha de E volts
com resistência interna de r ohms, então a potência (em watts) no
resistor externo é 
Se E e r forem fixados, mas R variar, qual é o valor mínimo da po-
tência?
44. Para um peixe nadando a uma velocidade v em relação à água, a
energia gasta por unidade de tempo é proporcional a . Acredita-
-se que os peixes migratórios tentam minimizar a energia total ne-
cessária para nadar uma distância fixa. Se o peixe estiver nadando
contra uma corrente, então o tempo necessário para na-
dar a uma distância L é e a energia total E requerida
para nadar a distância é dada por 
onde a é uma constante de proporcionalidade.
(a) Determine o valor de que minimiza E.
(b) Esboce o gráfico de E.
Observação: Esse resultado foi verificado experimentalmente;
peixes migratórios nadam contra a corrente a uma velocidade 50%
maior que a velocidade da corrente.
45. Em uma colmeia, cada alvéolo é um prisma hexagonal regular,
aberto em uma extremidade com um ângulo triédrico na outra ex-
tremidade. Acredita-se que as abelhas formam esses alvéolos de
modo a minimizar a área da superfície, usando assim uma quan-
tidade mínima de cera na construção. O exame desses alvéolos
mostrou que a medida do ângulo do ápice u é surpreendentemente
consistente. Baseado na geometria do alvéolo, pode ser mos-
trado que a área da superfície S é dada por 
,
onde s, o comprimento dos lados do hexágono, e h, a altura, são
constantes.
(a) Calcule .
(b) Que ângulo as abelhas deveriam preferir?
(c) Determine a área da superfície mínima do alvéolo (em termos
de s e h).
Observação: Medidas reais do ângulo u em colmeias foram fei-
tas, e as medidas desses ângulos raramente diferem do valor cal-
culado em mais que 2º.
46. Um barco deixa as docas às 14 h e viaja para o sul com veloci-
dade de 20 km/h. Outro barco estava rumando leste a 15 km/h e
alcança a mesma doca às 15 h. Em que momento os dois botes es-
tavam mais próximos um do outro?
47. Resolva o problema no Exemplo 4 se o rio tiver 5 km de largura
e o ponto B estiver somente a 5 km de A rio abaixo.
48. Uma mulher em um ponto A na praia de um lago circular com raio
de 3 km quer chegar no ponto C diametralmente oposto a A do ou-
tro lado do lago no menor tempo possível. Ela pode andar a uma
taxa de 6 km/h e remar um bote a 3 km/h. Como ela deve proce-
der?
49. Uma refinaria de petróleo está localizada na margem norte de um
rio reto que tem 2 km de largura. Um oleoduto deve ser construído
da refinaria até um tanque de armazenamento localizado na mar-
gem sul do rio, 6 km a leste da refinaria. O custo de construção
do oleoduto é $ 400.000/km sobre a terra, até um ponto P na mar-
gem norte e $ 800.000/km sob o rio até o tanque. Onde P deve-
ria estar localizado para minimizar o custo do oleoduto?
50. Suponha que a refinaria do Exercício 49 esteja localizada 1 km
ao norte do rio. Onde P deveria estar situado?
51. A iluminação de um objeto por uma fonte de luz é diretamente
proporcional à potência da fonte e inversamente proporcional ao
quadrado da distância da fonte. Se duas fontes de luz, uma três ve-
zes mais forte que a outra, são colocadas a 4 m de distância, onde
deve ser colocado o objeto sobre a reta entre as fontes de forma
a receber o mínimo de iluminação?
52. Encontre uma equação da reta que passa pelo ponto (3, 5) e que
delimita a menor área do primeiro quadrante.
53. Sejam a e b números positivos. Ache o comprimento do menor
segmento de reta que é cortado pelo primeiro quadrante e passa
pelo ponto (a, b).
¨
B
A C
33
s
ângulo
triedral ¨parte posteriordo alvéolo
parte anterior
do alvéolo
h
b
dS�d�
S � 6sh � 32 s2 cotg u � (3s 2s3�2) cossec u
v
E�v� � av 3 � L
v � u
L��v � u�
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v 3
P � E
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m sen u � cos u
h � 13 H
R
C
A B
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 301
;
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:57 AM Page 301
54. Em quais pontos da curva y � 1 � 40x3 � 3x5 a reta tangente tem
a sua maior inclinação?
55. Qual é o menor comprimento de um segmento de reta que é cor-
tado pelo primeiro quadrante e é tangente à curva y � 3/x em al-
gum ponto?
56. Qual é a menor área de um triângulo que é cortado pelo primeiro
quadrante e cuja hipotenusa é tangente à parábola y � 4 � x2 em
algum ponto?
57. (a) Se C(x) for o custo para produzir x unidades de uma merca-
doria, então o custo médio por unidade é c(x) � C(x)/x. Mos-
tre que se o custo médio for mínimo, então o custo marginal
é igual ao custo médio.
(b) Se C(x) � 16 000 � 200x � 4x3/2, em dólares, encontre (i) o
custo, o custo médio e o custo marginal no nível de produção
de 1 000 unidades; (ii) o nível de produção que minimizará o
custo médio; e (iii) o custo médio mínimo.
58. (a) Mostre que se o lucro P(x) for máximo, então a receita mar-
ginal é igual ao custo marginal.
(b) Se C(x) � 16 000 � 500x � 1,6x2 � 0,004x3 for a função
custo e p(x) � 1 700 � 7x a função demanda, encontre o ní-
vel de produção que maximiza o lucro.
59. Um time de beisebol joga em um estádio com capacidade para
55 000 espectadores. Com o preço do ingresso a $ 10, a média
de público tem sido de 27 000. Quando os ingressos abaixaram
para $ 8, a média de público subiu para 33 000. 
(a) Encontre a função demanda, supondo que ela seja linear.
(b) Qual deveria ser o preço dos ingressos para maximizar a re-
ceita?
60. Durante os meses de verão, Terry faz e vende colares na praia. No
verão passado, ele vendeu os colares por $ 10 cada e suas vendas
eram em média de 20 por dia. Quando ele aumentou o preço $ 1,
descobriu que a média diminuiu em duas vendas por dia.
(a) Encontre a função de demanda, supondo que ela seja linear.
(b) Se o material de cada colar custa a Terry $ 6, qual deveria ser
o preço de venda para maximizar seu lucro?
61. Um fabricante tem vendido 1 000 aparelhos de televisão de tela
plana por semana, a $ 450 cada. Uma pesquisa de mercado indica
que para cada $ 10 de desconto oferecido ao comprador, o número
de aparelhos vendidos aumenta 100 por semana.
(a) Encontre a função demanda.
(b) Que desconto a companhia deveria oferecer ao comprador
para maximizar sua receita?
(c) Se sua função custo semanal for C(x) � 68 000 � 150x,
como o fabricante deveria escolher o tamanho do desconto
para maximizar seu lucro?
62. O gerente de um complexo de apartamentos com 100 unidades
sabe, a partir da experiência, que todas as unidades estarão ocu-
padas se o aluguel for $ 800 por mês. Uma pesquisa de mercado
sugere que, em média, uma unidade adicional permanecerá vazia
para cada $ 10 de aumento no aluguel. Qual o aluguel que o ge-
rente deveria cobrar para maximizar a receita?
63. Mostre que, de todos os triângulos isósceles com um dado perí-
metro, aquele que tem a maior área é o equilátero.
64. A moldura para uma pipa é feita com seis pedaços de madeira. Os
quatro pedaços externos foram cortados com os comprimentos in-
dicados na figura. Para maximizar a área da pipa, de que tamanho
devem ser os pedaços diagonais?
65. Um ponto P precisa ser localizado em algum ponto sobre a reta
AD de forma que o comprimento total L de fios ligando P aos pon-
tos A, B e C seja minimizado (veja a figura). Expresse L como
uma função de e use os gráficos de L e para es-
timar o valor mínimo de L.
66. O gráfico mostra o consumo de combustível c de um carro (medido
em litros/hora) como uma função da velocidade v do carro. Em ve-
locidade muito baixa, o motor não rende bem; assim, inicialmente
c decresce à medida que a velocidade cresce. Mas em alta veloci-
dade o consumo cresce. Você pode ver que é minimizado para
esse carro quando km/h. Porém, para a eficiência do com-
bustível, o que deve ser minimizado não é o consumo em li-
tros/hora, mas, em vez disso, o consumo de combustível em litros
por quilômetro. Vamos chamar esse consumo de G. Usando o grá-
fico, estime a velocidade na qual G tem seu valor mínimo.
67. Seja a velocidade da luz no ar e a velocidade da luz na água.
De acordo com o Princípio de Fermat, um raio de luz viajará de
um ponto A no ar para um ponto B na água por um caminho ACB
que minimiza o tempo gasto. Mostre que
onde (o ângulo de incidência) e (o ângulo de refração) são
conforme mostrados. Essa equação é conhecida como a Lei de
Snell.
68. Dois postes verticais PQ e ST são amarrados por uma corda PRS que
vai do topo do primeiroposte para um ponto R no chão entre os pos-
tes e então até o topo do segundo poste, como na figura. Mostre que
o menor comprimento de tal corda ocorre quando .�1 � � 2
C
A
B
¨¡
¨™
�2�1
senu1
senu2
�
v1
v2
v2v1
√
c
0 8040
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B
P
A
2 m 3 m
D
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C
dL�dxx � � AP �
a
a b
b
302 CÁLCULO
;
SCA
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:57 AM Page 302
69. O canto superior direito de um pedaço de papel com 30 cm de lar-
gura por 20 cm de comprimento é dobrado sobre o lado direito,
como na figura. Como você dobraria de forma a minimizar o com-
primento da dobra? Em outras palavras, como você escolheria x
para minimizar y?
70. Um cano de metal está sendo carregado através de um corredor
com 3 m de largura. No fim do corredor há uma curva em ângulo
reto, passando-se para um corredor com 2 m de largura. Qual é o
comprimento do cano mais longo que pode ser carregado hori-
zontalmente em torno do canto?
71. Um observador permanece em um ponto P, distante uma unidade
de uma pista. Dois corredores iniciam no ponto S da figura e cor-
rem ao longo da pista. Um corredor corre três vezes mais rápido
que o outro. Encontre o valor máximo do ângulo de visão do ob-
servador entre os corredores. [Dica: Maximize tg .]
72. Uma calha deve ser construída com uma folha de metal de largura
30 cm dobrando-se para cima 1/3 da folha de cada lado, fazendo
um ângulo u com a horizontal. Como u deve ser escolhido para
que a calha carregue a maior quantidade de água possível?
73. Como deve ser escolhido o ponto P sobre o segmento AB de
forma a maximizar o ângulo u?
74. Uma pintura em uma galeria de arte tem altura h e está pendurada
de forma que o lado de baixo está a uma distância d acima do olho
de um observador (como na figura). A que distância da parede
deve ficar o observador para obter a melhor visão? (Em outras pa-
lavras, onde deve ficar o observador de forma a maximizar o ân-
gulo u subentendido em seu olho pela pintura?)
75. Encontre a área máxima do retângulo que pode ser circunscrito
em torno de um dado retângulo com comprimento L e largura W.
[Dica: Expresse a área como uma função do ângulo u.]
76. O sistema vascular sanguíneo consiste em vasos sanguíneos (ar-
térias, arteríolas, capilares e veias) que transportam o sangue do
coração para os órgãos e de volta para o coração. Esse sistema
deve trabalhar de forma a minimizar a energia despendida pelo co-
ração no bombeamento do sangue. Em particular, essa energia é
reduzida quando a resistência do sangue diminui. Uma das Leis
de Poiseuille dá a resistência R do sangue como 
onde L é o comprimento do vaso sanguíneo; r, o raio; e C é uma
constante positiva determinada pela viscosidade do sangue. (Poi-
seuille estabeleceu essa lei experimentalmente, mas também seguiu
a Equação 8.4.2.) A figura mostra um vaso sanguíneo principal de
raio r1 ramificado em um ângulo u em um vaso menor de raio r2.
(a) Use a Lei de Poiseuille para mostrar que a resistência total do
sangue ao longo do caminho ABC é 
onde a e b são as distâncias mostradas na figura.
(b) Demonstre que essa resistência é minimizada quando 
R � C�a � b cotg ur14 � b cossec ur24 �
b
A
B
r¡
r™
¨
C
a
ramificação
vascular
R � C Lr 4
¨
h
d
5
2
A
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3
10 cm 10 cm 10 cm
¨ ¨
S
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P
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�
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2
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20
30
Q R T
P
S
¨¡ ¨™
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 303
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:58 AM Page 303
(c) Encontre o ângulo ótimo de ramificação (com precisão de um
grau) quando o raio do vaso sanguíneo menor é 2/3 do raio do
vaso maior.
77. Os ornitologistas determinaram que algumas espécies de pássa-
ros tendem a evitar voos sobre largas extensões de água durante
o dia. Acredita-se que é necessária mais energia para voar sobre
a água que a terra, pois o ar em geral sobe sobre a terra e desce
sobre a água durante o dia. Um pássaro com essas tendências é
solto de uma ilha que está a 5 km do ponto mais próximo B so-
bre uma praia reta, voa para um ponto C na praia e então voa 
ao longo da praia para a área D, seu ninho. Suponha que o pás-
saro instintivamente escolha um caminho que vai minimizar seu
gasto de energia. Os pontos B e D distam 13 km um do outro.
(a) Em geral, se é preciso 1,4 vezes mais energia para voar so-
bre a água do que sobre a terra, para que ponto C o pássaro
precisa voar para minimizar a energia total gasta no retorno
ao ninho?
(b) Sejam W e L a energia (em joules) por quilômetro voado so-
bre a água e sobre a terra, respectivamente. Qual o significado,
em termos do voo do pássaro, de grandes valores da razão
W/L? O que significaria um valor pequeno? Determine a ra-
zão W/L correspondente ao mínimo dispêndio de energia.
(c) Qual deveria ser o valor de W/L a fim de que o pássaro voasse
diretamente para seu ninho D? Qual deveria ser o valor de W/L
para o pássaro voar para B e então seguir ao longo da praia
para D?
(d) Se os ornitologistas observarem que pássaros de certa espécie
atingem a praia em um ponto a 4 km de B, quantas vezes mais
energia será despendida pelo pássaro para voar sobre a água
que sobre a terra?
78. Duas fontes de luz de igual potência estão colocadas a 10 m uma
da outra. Um objeto deve ser colocado em um ponto P sobre uma
reta L paralela à reta que une as fontes de luz a uma distância d
metros dela (veja a figura). Queremos localizar P em L de forma
que a intensidade de iluminação seja minimizada. Precisamos usar
o fato de que a intensidade de iluminação para uma única fonte
é diretamente proporcional à potência da fonte e inversamente
proporcional ao quadrado da distância da fonte.
(a) Encontre uma expressão para a intensidade I(x) em um ponto P.
(b) Se d � 5 m, use os gráficos de I(x) e I�(x) para mostrar que a
intensidade é minimizada quando x � 5 m, isto é, quando P
está no ponto médio de L.
(c) Se d � 10 m, mostre que a intensidade (talvez surpreenden-
temente) não é minimizada no ponto médio.
(d) Em algum ponto entre d � 5 m e d � 10 m existe um valor
de d no qual o ponto de iluminação mínima muda abrupta-
mente. Estime esse valor de d por métodos gráficos. Encon-
tre então o valor exato de d.
�
P
d
10 m
x
13 km
B
C
ilha
5 km
ninho
D
cos � �
r 42
r 41
304 CÁLCULO
PROJETO APLICADO A FORMA DE UMA LATA
Neste projeto examinaremos a forma mais econômica para uma lata. Primeiro interpretamos isso
como se o volume V de uma lata cilíndrica fosse dado e precisássemos achar a altura h e o raio r
que minimizasse no custo do metal para fazer a lata (veja a figura). Se desprezarmos qualquer perda
de metal no processo de manufatura, então o problema seria minimizar a área da superfície do ci-
lindro. Resolvendo esse problema no Exemplo 2 da Seção 4.7, descobrimos que h � 2r, isto é, a
altura deve ser igual ao diâmetro. Porém, se você olhar seu armário ou um supermercado com uma
régua, descobrirá que a altura é geralmente maior que o diâmetro, e a razão h/r varia de 2 até cerca
3,8. Vamos ver se conseguimos explicar este fenômeno.
1. O material para fazer as latas é cortado de folhas de metal. Os lados cilíndricos são formados
dobrando-se retângulos; esses retângulos são cortados da folha com uma pequena ou nenhuma
; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador
;
M
an
fre
d 
Ka
ge
/P
et
er
 A
rn
ol
d 
Im
ag
es
/P
ho
to
lib
ra
ry
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:58 AM Page 304
Suponha que um vendedor de carro ponha um carro à venda por $ 18.000, ou em pagamentos
de $ 375 mensais durante cinco anos. Você gostaria de saber qual a taxa de juros mensal que o
vendedor de fato está cobrando. Para encontrar a resposta você deve resolver a equação 
(Os detalhes são explicados no Exercício 41.) Como você deve resolver a equação?
Para uma equaçãoquadrática existe uma fórmula bem conhecida para
as raízes. Para as equações de terceiro e quarto grau também existem fórmulas para as raízes, mas
elas são extremamente complicadas. Se f for um polinômio de grau 5 ou maior, não existe ne-
nhuma fórmula. Da mesma forma, não existe uma fórmula que nos possibilite encontrar as raí-
zes exatas de uma equação transcendental como cos x � x.
Podemos encontrar uma solução aproximada para a Equação 1 traçando o lado esquerdo
da equação. Usando uma ferramenta gráfica, e após experimentar com janela retangular, ob-
temos o gráfico na Figura 1.
ax 2 � bx � c � 0
48x�1 � x�60 � �1 � x�60 � 1 � 01
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 305
perda. Mas se os discos do topo e da base forem cortados de quadrados de lado 2r (como na fi-
gura), isso leva a uma considerável perda de metal, que pode ser reciclado, mas que tem um pe-
queno ou nenhum valor para quem fabrica as latas. Se for esse o caso, mostre que a quantidade
de metal usada é minimizada quando 
2. Uma maneira mais eficiente de obter os discos é dividir a folha de metal em hexágonos e cor-
tar as tampas e bases circulares dos hexágonos (veja a figura). Mostre que se for adotada essa
estratégia, então 
3. Os valores de h/r que encontramos nos Problemas 1 e 2 estão muito próximos daqueles que real-
mente ocorrem nas prateleiras do supermercado, mas eles ainda não levam em conta tudo. Se
examinarmos mais de perto uma lata, veremos que a tampa e a base são formadas de discos com
raio maior que aqueles que são dobrados sobre as extremidades da lata. Se permitíssemos isso,
aumentaríamos h/r. Mais significativamente, além do custo do metal, devemos incorporar o custo
de manufatura da lata. Vamos supor que a maior parte da despesa esteja em ligar os lados às bor-
das para formar as latas. Se cortássemos os discos dos hexágonos como no Problema 2, então
o custo total seria proporcional a
onde k é o inverso do comprimento que pode ser ligado ao custo por uma unidade de área de
metal. Mostre que essa expressão é minimizada quando 
4. Desenhe como uma função de x � h/r e use seu gráfico para argumentar que quando
uma lata é grande ou a junção é barata, deveríamos fazer h/r aproximadamente 2,21 (como no
Problema 2). Mas quando a lata é pequena ou a junção é cara, h/r deve ser substancialmente
maior.
5. Nossa análise mostra que as latas grandes devem ser quase quadradas, mas as latas pequenas
devem ser altas e estreitas. Examine as formas relativas das latas em um supermercado. Nossa
conclusão é de forma geral verdadeira na prática? Há exceções? Você pode apontar as razões
de latas pequenas não serem sempre altas e estreitas?
s3 V �k
s3 V
k �	
hr � 2
 � h�r
h�r � 4s3
4s3 r 2 � 2
rh � k�4
r � h�
h
r �
4s3
p
� 2,21
h
r �
8
p
� 2,55r
h
Discos cortados a 
partir de quadrados
Discos cortados a partir de hexágonos
4.8 Método de Newton
0,15
_0,05
0 0,012
FIGURA 1
;
3
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:58 AM Page 305
Vemos também que além da solução x � 0, que não nos interessa, há uma solução entre
0,007 e 0,008. Aproximando, vemos que a raiz é de aproximadamente 0,0076. Se precisásse-
mos de maior precisão, poderíamos aproximar repetidamente, mas isso se tornaria cansativo.
Uma alternativa mais rápida é usar um método numérico de encontrar raízes em uma calcu-
ladora ou um SCA. Se fizermos isso, encontraremos que a raiz correta até a nona casa deci-
mal é 0,007628603.
Como funcionam esses métodos numéricos de encontrar raízes? É usada uma variedade
de métodos, mas a maior parte usa o método de Newton, também denominado método de
Newton-Raphson. Vamos explicar agora como funciona esse método, parcialmente para
mostrar o que acontece dentro de uma calculadora ou computador, e parcialmente como uma
aplicação da ideia de aproximação linear.
A geometria por trás do método de Newton é mostrada na Figura 2, onde a raiz que esta-
mos tentando achar é chamada r. Começamos com uma primeira aproximação x1, que é ob-
tida por conjectura, ou de um esboço rápido do gráfico de f, ou de um gráfico gerado por com-
putador de f. Considere a reta tangente L à curva y � f (x) no ponto e veja a
intersecção de L com o eixo x, denominada x2. A ideia por trás do método de Newton é que a
reta tangente fica próxima da curva; assim, a intersecção com o eixo x, x2, está próxima da in-
tersecção com o eixo x da curva (isto é, a raiz r que estamos procurando). Como a tangente é
uma reta, podemos facilmente encontrar sua intersecção com o eixo x.
Para encontrarmos uma fórmula para x2 em termos de x1, usamos o fato de que a inclina-
ção de L é ; assim, sua equação é 
Uma vez que a intersecção com o eixo x de L é x2, fazemos y � 0 e obtemos 
Se , podemos isolar x2 nessa equação:
Usamos x2 como uma segunda aproximação a r.
A seguir repetimos o procedimento com x1 substituído por x2, usando a reta tangente em
(x2, f (x2)). Isso dá uma terceira aproximação:
Se ficarmos repetindo esse processo, obteremos uma sequência de aproximações
, conforme mostra a Figura 3. Em geral, se a n-ésima aproximação é e
, então a aproximação seguinte é dada por 
Se os números ficarem cada vez mais próximos de r à medida que n cresce, dizemos que
a sequência converge para r e escrevemos 
| Embora a sequência de aproximações sucessivas convirja para a raiz desejada no caso
das funções do tipo ilustrado na Figura 3, em certas circunstâncias a sequência pode não
convergir. Por exemplo, considere a situação mostrada na Figura 4. Você pode ver que x2
lim
nl�
xn � r
xn
xn�1 � xn �
f �xn �
f ��xn �2
f ��xn � � 0
xnx1, x2, x3, x4, . . .
x3 � x2 �
f �x2 �
f ��x2 �
x2 � x1 �
f �x1�
f ��x1�
f ��x1� � 0
0 � f �x1� � f ��x1��x2 � x1�
y � f �x1� � f ��x1��x � x1�
f ��x1�
�x1, f �x1��
306 CÁLCULO
Tente resolver a Equação 1 usando o
método numérico de encontrar raízes em
sua calculadora ou computador. Algumas
máquinas não são capazes de resolvê-la.
Outras têm sucesso, mas requerem que
você especifique um ponto inicial para a
busca.
Sequências foram introduzidas brevemente
em Uma Apresentação do Cálculo. 
Veremos mais sobre sequências na 
Seção 11.1, no segundo volume desta obra.
y
0 xx2 x1x3
x4
r
FIGURA 3
{x2, f(x2)}
{x1, f(x1)}
FIGURA 2
y
0 x
{x1, f(x1)}
x2 x1
L
r
y=ƒ
Calculo04:calculo7 6/10/13 6:59 AM Page 306
é uma aproximação pior que x1. Esse é provavelmente o caso quando está próximo
de 0. Pode até acontecer de uma aproximação (tal como x3 na Figura 4) cair fora do do-
mínio de f. Então o método de Newton falha e uma melhor aproximação inicial x1 deve
ser escolhida. Veja os Exercícios 31–34 para exemplos específicos nos quais o método de
Newton funciona muito lentamente ou não funciona.
Começando com x1 � 2, encontre a terceira aproximação x3 para a raiz da
equação x3 � 2x � 5 � 0.
SOLUÇÃO Vamos aplicar o método de Newton com 
e 
O próprio Newton usou essa equação para ilustrar seu método, e escolheu x1 � 2 após algu-
mas experiências, pois , e � 16. A Equação 2 fica 
Com n � 1, temos
Então com n � 2, obtemos 
Resulta que essa terceira aproximação é precisa até quatro casas decimais.
Suponha que queiramos obter uma dada precisão, digamos de oito casas decimais, em-
pregando o método de Newton. Como saber quando devemos parar? O procedimento experi-
mental geralmente usado é que devemos parar quando duas aproximações sucessivas e
são iguais até a oitava casa decimal. (Um enunciado preciso a respeito da precisão do método
de Newton será dado no Exercício 39 da Seção 11.11, no Volume II.)
Observe que o procedimento para ir de n para é o mesmo para todos os valores de
n. (Isso é chamado processo iterativo.) Isso significa que o método de Newton é particular-
mente adequado ao uso de calculadoras programáveis ou de um computador.
Use o método de Newton para encontrarcom precisão de oito casas deci-
mais.
SOLUÇÃO Observamos primeiro que encontrar equivale a determinar a raiz positiva da
equação 
dessa forma, tomamos . Então , e a Fórmula 2 (método de Newton)
fica
Se escolhermos x1 � 1 como a aproximação inicial, obtemos
,
,
,
,
.x6 � 1,12246205
f ��x1�
x5 � 1,12246205
x4 � 1,12249707
x3 � 1,12644368
x2 � 1,16666667
xn�1 � xn �
xn6 � 2
6xn5
f ��x� � 6x 5f �x� � x 6 � 2
x 6 � 2 � 0
s6 2
s6 2EXEMPLO 2
n � 1
xn�1xn
x3 � 2,0946
� 2,1 �
�2,1�3 � 2�2,1� � 5
3�2,1�2 � 2
� 2,0946x3 � x2 �
x23 � 2x2 � 5
3x22 � 2
� 2 �
23 � 2�2� � 5
3�2�2 � 2
� 2,1
x2 � x1 �
x13 � 2x1 � 5
3x12 � 2
xn�1 � xn �
xn3 � 2xn � 5
3xn2 � 2
f �3� � 16f �2� � �1f �1� � �6
f ��x� � 3x 2 � 2f �x� � x 3 � 2x � 5
EXEMPLO 1
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 307
x
y
0
r
x2
x3 x1
FIGURA 4
No Module 4.8, você pode
investigar como o método de Newton
funciona para várias funções e o que
acontece quando você muda .
TEC
x1
FIGURA 5
1
1,8 2,2
_2
y=10x-21
x2
y=x3-2x-5
A Figura 5 mostra a geometria atrás do
primeiro passo do método de Newton para
o Exemplo 1. Como , a reta
tangente em 
tem equação igual cujo
zero está em .x 2 � 2,1
y � 10x � 21
�2, �1�y � x3 � 2x � 5
f ��2� � 10
Calculo04:calculo7 6/10/13 7:01 AM Page 307
Uma vez que x5 e x6 são iguais até a oitava casa decimal, concluímos 
até a oitava casa decimal.
Encontre a raiz da equação cos x � x, com precisão de seis casas decimais.
SOLUÇÃO Primeiro reescrevemos a equação na forma padrão:
Portanto, fazemos . Então , e assim a Fórmula 2 fica
A fim de determinarmos um valor adequado para x1, esboçamos o gráfico de e
na Figura 6. É evidente que elas se interceptam em um ponto cuja coordenada x é um pouco
menor que 1; dessa forma, vamos tomar como uma primeira aproximação conveniente.
Logo, lembrando de colocar nossa calculadora no modo radiano, obtemos 
,
,
,
.
Como x4 e x5 são iguais até a sexta casa decimal (na realidade, oitava), concluímos que a raiz
da equação, correta até a sexta casa decimal, é 0,739085.
Em vez de usarmos o esboço da Figura 6 para obter a aproximação inicial para o método
de Newton no Exemplo 3, poderíamos ter usado um gráfico mais apurado fornecido por cal-
culadora ou computador. A Figura 7 sugere o uso de x1 � 0,75 como a aproximação inicial.
Então o método de Newton dá 
e assim obtemos a mesma resposta anterior, mas com um número menor de passos.
Você deve estar se perguntando por que nos preocupamos com o método de Newton se uma
ferramenta gráfica está disponível. Não é mais fácil dar repetidos zooms para encontrar as raí-
zes, como fizemos na Seção 1.4? Se somente for pedida uma precisão de uma ou duas casas
decimais, então realmente o método de Newton é inadequado, e basta uma ferramenta gráfica.
Mas se forem exigidas seis ou oito casas decimais, então repetidos zooms tornam-se entediantes.
Em geral é mais rápido e mais eficiente usar o computador e o método de Newton em con-
junto – a ferramenta gráfica para começar e o método de Newton para acabar.
x4 � 0,73908513x3 � 0,73908513x2 � 0,73911114
x5 � 0,73908513
x4 � 0,73908513
x3 � 0,73911289
x2 � 0,75036387
x1 � 1
y � xy � cos x
xn�1 � xn �
cos xn � xn
�sen xn � 1
� xn �
cos xn � xn
sen xn � 1
f ��x� � �sen x � 1f �x� � cos x � x
cos x � x � 0
EXEMPLO 3
s6 2 � 1,12246205
308 CÁLCULO
FIGURA 6
1
y
xπ
y=cos x
y=x
π
2
FIGURA 7
1
0 1
y=x
y=cos x
4.8 Exercícios
1. A figura mostra o gráfico da função f. Suponha que seja usado o mé-
todo de Newton para aproximar a raiz r da equação f (x) � 0 com
x1 � 1 como aproximação inicial.
(a) Desenhe as tangentes que são usadas para encontrar x2 e x3, e
estime os valores numéricos de x2 e x3.
(b) Uma melhor aproximação seria x1 � 5? Explique.
x
y
0 r
1
1 s
; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador 1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
Calculo04:calculo7 6/10/13 7:03 AM Page 308
2. Siga as instruções do Exercício 1(a), mas use x1 � 9 como a apro-
ximação inicial para encontrar a raiz s.
3. Suponha que a reta tangente à curva y � f (x) no ponto (2, 5) te-
nha a equação y � 9 � 2x. Se for usado o método de Newton para
localizar uma raiz da equação f (x) � 0 com a aproximação ini-
cial x1 � 2, encontre a segunda aproximação x2.
4. Para cada aproximação inicial, determine graficamente o que
acontecerá se for usado o método de Newton para a função cujo
gráfico é dado.
(a) (b) (c)
(d) (e)
5. Para cada aproximação inicial x1� a, b, c e d, você acha que o mé-
todo de Newton funcionará e levará à raiz da equação f (x) � 0?
6–8 Use o método de Newton com o valor inicial especificado x1 para
encontrar x3, a terceira aproximação da raiz da equação dada. (Dê sua
resposta com quatro casas decimais.)
6. , 
7. , 8. , 
9. Use o método de Newton com a aproximação inicial x1��1 para
achar x2, a segunda aproximação da raiz da equação x3 � x � 3 �
0. Faça o gráfico da função e da reta tangente no ponto (�1, 1).
Usando este gráfico, explique como o método funciona neste caso.
10. Use o método de Newton com a aproximação inicial x1 � 1 para
achar x2, a segunda aproximação da raiz da equação x4 � x � 1 �
0. Faça o gráfico da função e da reta tangente no ponto (1, �1).
Usando este gráfico, explique como o método funciona neste caso.
11–12 Use o método de Newton para aproximar o número dado com
precisão de oito casas decimais.
11. 12.
13–16 Use o método de Newton para aproximar a raiz indicada da
equação com precisão de seis casas decimais.
13. A raiz de no intervalo .
14. A raiz de no inter-
valo .
15. A raiz positiva de .
16. A raiz positiva de .
17–22 Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equa-
ção com precisão de seis casas decimais.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23-28 Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equa-
ção com precisão de oito casas decimais. Comece fazendo um gráfico
para encontrar a aproximação inicial.
23.
24.
25. 26.
27. 28.
29. (a) Aplique o método de Newton à equação x2 � a � 0 para de-
duzir o seguinte algoritmo para a raiz quadrada usada pelos
antigos babilônios para calcular :
(b) Use a parte (a) para calcular com precisão de seis ca-
sas decimais.
30. (a) Aplique o método de Newton à equação para de-
duzir o seguinte algoritmo para os inversos:
(Esse algoritmo possibilita a um computador achar os inver-
sos sem realmente dividir.)
(b) Use a parte (a) para calcular 1/1,6984 com precisão de seis ca-
sas decimais.
31. Explique por que o método de Newton não funciona para en-
contrar as raízes da equação x3 � 3x � 6 � 0 se o valor inicial
escolhido for x1 � 1.
32. (a) Use o método de Newton com x1 � 1 para encontrar a raiz da
equação x3 � x � 1 com precisão de seis casas decimais.
(b) Resolva a equação da parte (a) usando como aproximação ini-
cial x1 � 0,6.
(c) Resolva a equação da parte (a) utilizando x1 � 0,57. (Você de-
finitivamente precisa de uma calculadora programável para
esta parte.)
(d) Faça o gráfico de f (x) � x3 � x � 1 e suas retas tangentes em
x1 � 1, 0,6 e 0,57 para explicar por que o método de Newton
é tão sensível ao valor da aproximação inicial.
33. Explique por que o método de Newton falha quando aplicado à
equação com qualquer valor inicial . Ilustre sua
explicação com um esboço.
34. Se
então a raiz da equação f (x) � 0 é x � 0. Explique por que o mé-
todo de Newton falha para encontrar a raiz, não importando que
aproximação inicial é usada. Ilustre sua explicação com
um esboço.
35. (a) Use o método de Newton para encontrar os números críticos
da função com precisão de três
casas decimais.
f �x� � x 6 � x 4 � 3x 3 � 2x
x1 � 0
f �x� � 
sx
�s�xse x � 0
se x 	 0
x1 � 0s3 x � 0
xn�1 � 2xn � axn2
1�x � a � 0
s1.000
xn�1 �
1
2 �xn � axn�
(
sa )
e arctg x � sx 3 � 14e�x 2 sin x � x 2 � x � 1
cos�x 2 � x� � x 4xx 2 � 1 � s1 � x
x 5 � 3x 4 � x 3 � x 2 � x � 6 � 0
x 6 � x 5 � 6x 4 � x 2 � x � 10 � 0
tg x � s1 � x 2cos x � sx
1
x � 1 � x
3�x � 2�2 � ln x
sx � 1 � x 2 � x3 cos x � x � 1
2 cos x � x 4
sen x � x 2
��2, �1�
2,2x 5 � 4,4x 3 � 1,3x 2 � 0,9x � 4,0 � 0
�1, 2�x 4 � 2x 3 � 5x 2 � 6 � 0
100s100s5 20
x1 � �1x 7 � 4 � 0x1 � 1x 5 � x � 1 � 0
x1 � �313 x 3 � 12 x 2 � 3 � 0
y
0 b c da x
3
y
0 51 x
x1 � 5x1 � 4
x1 � 3x1 � 1x1 � 0
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 309
;
;
;
;
Calculo04:calculo7 6/10/13 7:05 AM Page 309
Um físico que conhece a velocidade de uma partícula pode desejar saber sua posição em um
dado instante. Um engenheiro que pode medir a taxa de variação segundo a qual a água está
escoando de um tanque quer saber a quantidade escoada durante certo período. Um biólogo
que conhece a taxa segundo a qual uma população de bactérias está crescendo pode querer de-
duzir qual o tamanho da população em certo momento futuro. Em cada caso, o problema é en-
contrar uma função F cuja derivada é uma função conhecida f. Se a função F existir, ela é cha-
mada primitiva de f.
Definição Uma função F é denominada uma primitiva de f num intervalo I se
para todo x em I.
Por exemplo, seja f (x) � x2. Não é difícil descobrir uma primitiva de f se tivermos em mente
a Regra da Potência. De fato, se , logo . Mas a função
também satisfaz . Portanto, F e G são primitivas de f. De fato,
qualquer função da forma , onde C é uma constante, é uma primitiva de f. A
questão surge: há outras? 
Para responder a essa questão, lembre-se de que na Seção 4.2 usamos o Teorema do Va-
lor Médio para demonstrar que se duas funções têm derivadas idênticas em um intervalo, en-
H�x� � 13 x 3 � C
G��x� � x 2G�x� � 13 x 3 � 100
F��x� � x 2 � f �x�F�x� � 13 x 3
F��x� � f �x�
310 CÁLCULO
(b) Encontre o valor mínimo absoluto de f com precisão de qua-
tro casas decimais.
36. Use o método de Newton para encontrar o valor máximo absoluto
da função , com precisão de seis ca-
sas decimais.
37. Use o método de Newton para encontrar as coordenadas do ponto
de inflexão da curva y � x2 sen x, , com precisão de
seis casas decimais.
38. Dentre as infinitas retas tangentes à curva y � �sen x que pas-
sam pela origem, existe uma que tem a maior inclinação. Use o
método de Newton para encontrar a inclinação desta reta com pre-
cisão de seis casas decimais.
39. Use o método de Newton para encontrar as coordenadas, com pre-
cisão de seis casas decimais, do ponto na parábola y � (x � 1)2
que esteja mais próximo da origem.
40. Nesta figura, o comprimento da corda AB é 4 cm e o comprimento
do arco AB é 5 cm. Encontre o ângulo central u, em radianos, cor-
reto até a quarta casa decimal. Dê então a resposta com precisão
de um grau.
41. Um agente vende um carro novo por $18.000. Ele também oferece
para vender o mesmo carro em pagamentos de $ 375 por mês du-
rante 5 anos. Qual a taxa de juro mensal cobrada pelo vendedor?
Para resolver esse problema você necessitará da fórmula para
o valor presente A de uma anuidade formada por n pagamentos
iguais de tamanho R com uma taxa de juros i por período de
tempo:
Substituindo i por x, mostre que
Use o método de Newton para resolver essa equação.
42. A figura mostra o Sol na origem e a Terra no ponto (1,0). (A uni-
dade aqui é a distância entre os centros da Terra e do Sol, chamada
unidade astronômica: 1 AU km.) Existem cinco
localizações L1, L2, L3, L4 e L5 nesse plano de rotação da Terra em
torno do Sol onde um satélite permanece imóvel em relação à Terra,
em razão de as forças que agem no satélite (inclusive a atração gra-
vitacional da Terra e do Sol) se contrabalancearem. Essas locali-
zações são denominadas pontos de libração. (Um satélite de pes-
quisa solar foi colocado em um desses pontos de libração.) Se m1
é a massa do Sol, m2 é a massa da Terra, e , en-
tão a coordenada x de L1 é a única raiz da equação de quinto grau
e a coordenada x de L2 é a raiz da equação 
Usando o valor , encontre a localização dos
pontos de libração (a) L1 e (b) L2.
L¡ L™L∞
L¢
L£
Sol Terra
x
y
r � 3,04042 � 10�6
p�x� � 2rx 2 � 0
� � 2�1 � r�x � r � 1 � 0
p�x� � x 5 � �2 � r�x 4 � �1 � 2r�x 3 � �1 � r�x 2
r � m2��m1 � m2 �
� 1,496 � 108
48x�1 � x�60 � �1 � x�60 � 1 � 0
A � Ri �1 � �1 � i �
�n �
5 cm
4 cm
¨
BA
0 � x � 
f �x� � x cos x, 0 � x � 
4.9 Primitivas
Calculo04:calculo7 6/10/13 7:07 AM Page 310
tão elas devem diferir por uma constante (Corolário 4.2.7). Assim, se F e G são duas primiti-
vas quaisquer de f, então 
logo, , em que C é uma constante. Podemos escrever isso como
. Temos então o seguinte resultado.
Teorema Se F é uma primitiva de f em um intervalo I, então a primitiva mais ge-
ral de f em I é
onde C é uma constante arbitrária.
Voltando à função , vemos que a primitiva geral de f é . Atribuindo va-
lores específicos para a constante C, obtemos uma família de funções cujos gráficos são trans-
lações verticais uns dos outros (veja a Figura 1). Isso faz sentido, pois cada curva deve ter a
mesma inclinação em qualquer valor dado de x.
Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções.
(a) (b) (c) ,
SOLUÇÃO
(a) Se , então , logo uma primitiva de sen x é �cos x. Pelo Teo-
rema 1, a primitiva mais geral é G(x) ��cos x � C.
(b) Lembre-se, da Seção 3.6, de que 
Logo, no intervalo , a primitiva geral de é . Também sabemos que 
para todo . O Teorema 1 então nos diz que a primitiva geral de é
em qualquer intervalo que não contenha 0. Em particular, isso é verdadeiro em cada um dos
intervalos e . Logo, a primitiva geral de f é 
(c) Usamos a Regra da Potência para descobrir uma primitiva de . De fato, se , então 
Logo, a primitiva geral de f (x) � xn é
Isso é válido para todo , uma vez que f (x) � xn está definida em um intervalo. Se n for
negativo (mas ), é válido em qualquer intervalo que não contenha 0.
Como no Exemplo 1, toda fórmula de derivação, quando lida da direita para a esquerda,
dá origem a uma fórmula de primitivação. Na Tabela 2 listamos algumas primitivas particu-
lares. Cada fórmula na tabela é verdadeira, pois a derivada da função na coluna direita apa-
rece na coluna esquerda. Em particular, a primeira fórmula diz que a primitiva de uma cons-
tante vezes uma função é a constante vezes a primitiva da função. A segunda fórmula afirma
que a primitiva de uma soma é a soma das primitivas. (Usamos a notação , .)F�� f G� � t
n � �1
n � 0
F�x� � x
n�1
n � 1 � C
d
dx � xn�1n � 1� � �n � 1�xnn � 1 � xn
n � �1xn
F�x� � 
ln x � C1ln��x� � C2 se x 
 0se x 	 0
�0, �����, 0�
x � 0 ln � x � � Cf �x� � 1�x
ln x � C1�x
d
dx �ln � x �� �
1
x
�0, ��
d
dx �ln x� �
1
x
F��x� � sen xF�x� � �cos x
n � �1f �x� � xnf �x� � 1�xf �x� � sen x
EXEMPLO 1
f �x� � x 2 13 x 3 � C
F�x� � C
1
G�x� � F�x� � C
G�x� � F�x� � C
F��x� � f �x� � G��x�
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 311
x
y
0
y=
x
3
3
y= -2
x
3
3
y= -1
x
3
3
y= +1
x
3
3
y= +2
x
3
3
y= +3
x
3
3
FIGURA 1
Membros da família de
primitivas de ƒ=x2
Calculo04:calculo7 6/10/13 7:08 AM Page 311
Encontre todas as funções t tais que
SOLUÇÃO Queremos achar uma primitiva de:
Assim, queremos descobrir a primitiva de
Usando as fórmulas da Tabela 2 junto com o Teorema 1, obtemos 
Nas aplicações do cálculo são muito comuns situações como a do Exemplo 2, em que é
pedido para encontrar uma função sendo fornecidos dados sobre suas derivadas. Uma equa-
ção que envolva as derivadas de uma função é chamada equação diferencial. As equações di-ferenciais serão estudadas com mais detalhes no Capítulo 9, no Volume II, mas no momento
podemos resolver algumas equações diferenciais elementares. A solução geral de uma equa-
ção diferencial envolve uma constante arbitrária (ou constantes), como no Exemplo 2. Con-
tudo, podem ser dadas condições extras que vão determinar as constantes e assim especificar
univocamente a solução.
Encontre se .
SOLUÇÃO A primitiva geral de
é
Para determinarmos , usamos o fato de que : 
Assim, temos ; logo, a solução particular é
f �x� � ex � 20 tg�1x � 3
C � �2 � 1 � �3
f �0� � e 0 � 20 tg�1 0 � C � �2
f �0� � �2C
f �x� � ex � 20 tg�1x � C
f ��x� � ex � 20
1 � x 2
f f ��x� � ex � 20�1 � x 2 ��1 e f �0� � �2EXEMPLO 3
� �4 cos x � 25 x 5 � 2sx � C
t�x� � 4��cos x� � 2 x
5
5 �
x1�2
1
2
� C
t��x� � 4 sen x � 2x 4 � x�1�2
t��x� � 4 sen x � 2x
5
x �
sx
x � 4 sen x � 2x
4 �
1
sx
t��x� � 4 sen x � 2x
5 � sx
x
EXEMPLO 2
312 CÁLCULO
Tabela de Fórmulas de
Primitivação
2 Função Primitiva particular Função Primitiva particular
cos x sen x
sen x �cos x
F�x� � G�x�
e xe x
ln � x �1x
x n �n � �1�
f �x� � t�x�
cF�x�c f �x�
x n�1
n � 1
tg x
sec x tg x sec x
cosh xsenh x
senh xcosh x
tg�1x1
1 � x 2
sen�1x1s1 � x 2
sec2x
Para obtermos a primitiva mais geral (em
um intervalo) a partir daquelas da Tabela 2,
devemos adicionar uma constante (ou
constantes), como no Exemplo 1.
A Figura 2 ilustra os gráficos da função 
do Exemplo 3 e sua primitiva . Note que
, então é sempre crescente.
Observe também que quando tem um
máximo ou mínimo, parece ter um ponto
de inflexão. Logo, o gráfico serve como
verificação de nossos cálculos.
f
f �
ff ��x� 
 0
f
f �
40
_2 3
f
fª
_25
FIGURA 2
Calculo04:calculo7 6/10/13 7:11 AM Page 312
Encontre f se , e .
SOLUÇÃO A primitiva geral de é 
Usando as regras de primitivação mais uma vez, encontramos que 
Para determinarmos C e D, usamos as condições dadas e . Visto que
, temos . Uma vez que
temos . Consequentemente, a função pedida é
Se nos for dado o gráfico de uma função f, parece razoável que possamos esboçar o grá-
fico de uma primitiva F. Suponha, por exemplo, que nos seja dado que F(0) � 1. Então temos
um ponto de partida (0, 1), e a direção segundo a qual movemos nosso lápis é dada em cada
estágio pela derivada . No próximo exemplo, usamos os princípios deste capítulo
para mostrar como fazer o gráfico de F mesmo quando não temos uma fórmula para f. Esse
seria o caso, por exemplo, quando f(x) é determinada por dados experimentais.
O gráfico de uma função f é dado na Figura 3. Faça um esboço de uma primi-
tiva F, dado que F(0) � 2.
SOLUÇÃO Estamos orientados pelo fato de que a inclinação de é . Vamos come-
çar no ponto , traçando F como uma função inicialmente decrescente, uma vez que
, é negativa quando . Observe que , logo, F tem tangentes
horizontais quando e . Para , é positiva e F é crescente. Vemos
que F tem mínimo local quando e máximo local quando . Para , é
negativa e F é decrescente em . Uma vez que quando , o gráfico de
F torna-se mais achatado quando . Observe também que muda de posi-
tiva para negativa em x � 2 e de negativa para positiva em x � 4, logo F tem pontos de infle-
xão quando x � 2 e x � 4. Usamos essa informação para esboçar o gráfico para a primitiva
na Figura 4.
Movimento Retilíneo
A primitivação é particularmente útil na análise do movimento de um objeto que se move em
uma reta. Lembre-se de que se o objeto tem função posição , então a função veloci-
dade é . Isso significa que a função posição é uma primitiva da função velocidade.
Da mesma maneira, a função aceleração é ; logo, a função velocidade é uma pri-
mitiva da aceleração. Se a aceleração e os valores iniciais e forem conhecidos, en-
tão a função posição pode ser determinada encontrando primitivas duas vezes.
Uma partícula move-se em uma reta e tem aceleração dada por . Sua
velocidade inicial é , e seu deslocamento inicial é cm. Encontre sua
função posição .
SOLUÇÃO Como , a primitivação dá 
Observe que . Mas nos é dado que , assim e
v�t� � 3t 2 � 4t � 6
C � �6v�0� � �6v�0� � C
v�t� � 6 t
2
2
� 4t � C � 3t 2 � 4t � C
v��t� � a�t� � 6t � 4
s�t�
s�0� � 9cm�sv�0� � �6
a�t� � 6t � 4EXEMPLO 6
v�0�s�0�
a�t� � v��t�
v�t� � s��t�
s � f �t�
F ��x� � f ��x�xl �
xl �f �x�l 0�3, ��
f �x�x 
 3x � 3x � 1
f �x�1 	 x 	 3x � 3x � 1
f �1� � f �3� � 00 	 x 	 1f �x�
�0, 2�
f �x�y � F�x�
EXEMPLO 5
F��x� � f �x�
f �x� � x 4 � x 3 � 2x 2 � 3x � 4
C � �3
f �1� � 1 � 1 � 2 � C � 4 � 1
D � 4f �0� � 0 � D � 4
f �1� � 1f �0� � 4
f �x� � 4 x
4
4
� 3
x 3
3
� 4
x 2
2
� Cx � D � x 4 � x 3 � 2x 2 � Cx � D
f ��x� � 12 x
3
3
� 6
x 2
2
� 4x � C � 4x 3 � 3x 2 � 4x � C
f ��x� � 12x 2 � 6x � 4
f �1� � 1f �0� � 4f ��x� � 12x 2 � 6x � 4EXEMPLO 4
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 313
1 3
0
4 x
y
y=f(x)
FIGURA 3 
2
FIGURA 4
x
y
1
2
0
y=F(x)
1
Calculo04:calculo7 6/10/13 7:13 AM Page 313
Uma vez que , s é a primitiva de :
Isso dá s(0) � D. Temos s(0) � 9, logo D� 9 e a função posição pedida é
Um objeto próximo da superfície da Terra é sujeito à força gravitacional, que produz uma
aceleração para baixo denotada por t. Para movimentos próximos ao solo, podemos assumir
que t é uma constante, e seu valor é cerca de 9,8 m/s2 (ou 32 pés/s2).
Uma bola é arremessada para cima com uma velocidade de 15 m/s a partir da
borda de um penhasco 140 m acima do solo. Encontre sua altura acima do solo t segundos mais
tarde. Quando ela atinge sua altura máxima? Quando atinge o solo?
SOLUÇÃO O movimento é vertical, e escolhemos o sentido positivo para cima. No instante t,
a distância acima do solo é s(t) e a velocidade está decrescendo. Portanto, a aceleração
deve ser negativa, e temos
Procurando a primitiva, temos
Para determinarmos C, usamos a informação dada que . Isso dá , logo
A altura máxima é atingida quando , isto é, depois de s. Uma vez que
, determinamos a primitiva outra vez e obtemos 
Usando o fato de que s(0) � 140, temos 140 � 0 � D e então 
A expressão para s(t) é válida até que a bola atinja o solo. Isso acontece quando s(t) � 0, isto
é, quando
Usando a fórmula quadrática para resolver essa equação, obtemos 
Rejeitamos a solução com o sinal de menos, uma vez que ela fornece um valor negativo para
t. Portanto, a bola atinge o solo após 
15 � s2 969
9,8
� 7,1 s
t � 15 � s2 969
9,8
�4,9t 2 � 15t � 140 � 0
s�t� � �4,9t 2 � 15t � 140
s�t� � �4,9t 2 � 15t � D
s��t� � v�t�
15�9,8 � 1,53v�t� � 0
v�t� � �9,8t � 15
15 � 0 � Cv�0� � 15
v�t� � �9,8t � C
a�t� � dvdt � �9,8
v�t�
EXEMPLO 7
s�t� � t 3 � 2t 2 � 6t � 9
s�t� � 3 t
3
3
� 4
t 2
2
� 6t � D � t 3 � 2t 2 � 6t � D
vv�t� � s��t�
314 CÁLCULO
A Figura 5 mostra a função posição. O
gráfico confirma nossas conclusões: a bola
atinge a altura máxima depois e
atinge o solo depois de .
1,5 s
7,1 s
200
0 8
FIGURA 5
Calculo04:calculo7 6/10/13 7:15 AM Page 314
1–22 Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes fun-
ções. (Verifique sua resposta derivando.)
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8. f (x) � x3,4 � 2x√2– � 1
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23–24 Encontre a primitiva F de f que satisfaça a condição dada. Ve-
rifique sua resposta comparando os gráficos de f e F.
23.
24.
25–48 Encontre f.
25.
26.
27. 28.
29. 30.
31. , 
32. , 
33. , 
34. , , 
35. , , 
36. , , 
37. , , 
38.
39.
40.
41. , , 
42. , , 
43. , , 
44. , , 
45. , , 
46. , , 
47. , , , 
48. , , , 
49. Dado que o gráfico de f passa pelo ponto (1, 6) e que a inclina-
ção de sua reta tangente em (x, f (x))é 2x � 1, encontre f (2).
50. Encontre uma função f tal que f �(x) � x3 e tal que a reta x � y �
0 seja tangente ao gráfico de f.
51–52 O gráfico de uma função f está mostrado. Qual gráfico é uma
primitiva de f e por quê?
51. 52.
53. O gráfico de uma função está mostrado na figura. Faça um esboço
de uma primitiva de F, dado que F(0) � 1.
54. O gráfico da função velocidade de um carro está mostrado na fi-
gura. Esboce o gráfico da função posição.
55. O gráfico de uma função f � está mostrado na figura. Esboce um
gráfico de f se f for contínua e f (0) ��1.
56. (a) Use uma ferramenta gráfica para construir o gráfico de
.
(b) Começando com o gráfico da parte (a), esboce um gráfico da
primitiva F que satisfaça F (0) � 1.
(c) Use as regras desta seção para achar uma expressão para
F(x).
(d) Faça o gráfico de F usando a expressão da parte (c). Compare
com seu esboço da parte (b).
57–58 Trace um gráfico de f e use-o para fazer um esboço da primi-
tiva que passe pela origem.
57. , f �x� � sen x
1 � x 2 �2
 � x � 2
f �x� � 2x � 3sx
_1
x
y
0 1
1
2
y=fª(x)
2
√
0 t
y
y=ƒ
0 x1
x
y
f
b
c
a
y
x
f
b
c
a
f ��1� � �1
f ��0� � 3f ��0� � 2f �0� � 1f ��x� � cos x
f �2� � 0f �1� � 0x 
 0f ��x� � x�2
f �
� � 0f �0� � 0f ��t� � 2e t � 3 sen t
f �
�2� � 0f �0� � �1f ��x� � 2 � cos x
f �2� � 2,6f �0� � 1f ��x� � x 3 � senh x
f �1� � 10f �0� � 3f ��x� � 4 � 6x � 24x 2
f ��4� � 7f �4� � 20f ��t� � 3�st
f ��0� � 4f �0� � 3f ��u� � senu � cosu
f ��x� � 8x 3 � 5, f �1� � 0, f ��1� � 8
f ��x� � �2 � 12x � 12x 2, f �0� � 4, f ��0� � 12
f ��x� � 4�s1 � x 2 , f ( 12 ) � 1
f �1� � 1f ��x� � x�1�3
f ��1� � 0f �1� � 12f ��x� � �x 2 � 1��x
f �
�3� � 4�
�2 	 t 	 
�2f ��t� � 2 cos t � sec2t
f �1� � 6t 
 0f ��t� � t � 1�t 3
f �1� � 0f ��t� � 4��1 � t 2�
f ��1� � 2f ��x� � 5x 4 � 3x 2 � 4
f �4� � 25f ��x� � 1 � 3sx
f ��t� � e t � t�4f ��t� � cos t
f ��x� � 6x � sen xf ��x� � 23 x 2�3
f ��x� � x 6 � 4x 4 � x � 1
f ��x� � 20x 3 � 12x 2 � 6x
f �x� � 4 � 3�1 � x 2 ��1, F�1� � 0
f �x� � 5x 4 � 2x 5, F�0� � 4
f �x� � 2 � x
2
1 � x 2f �x� �
x 5 � x 3 � 2x
x 4
f �x� � 2sx � 6 cos xf �x� � 5e x � 3 cosh x
f �t� � sen t � 2 senh th�u� � 2 senu � sec2u
r�u� � secu tgu � 2eut�t� � 1 � t � t
2
st
f �t� � 3t
4 � t 3 � 6t 2
t 4f �x� �
1
5 �
2
x
f �x� � s3 x 2 � xsxf �x� � 3sx � 2s3 x
f �x� � e 2f �x� � s2
f �x� � 7x 2�5 � 8x�4�5
f �x� � x �2 � x�2f �x� � �x � 1��2x � 1�
f �x� � 8x 9 � 3x 6 � 12x 3f �x� � 12 � 34 x 2 � 45 x 3
f �x� � 12 x 2 � 2x � 6f �x� � x � 3
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 315
4.9 Exercícios
;
;
;
; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador 1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
Calculo04:calculo7 6/10/13 7:21 AM Page 315
58. , 
59–64 Uma partícula move-se de acordo com os dados a seguir. En-
contre a posição da partícula.
59. , 
60.
61. , , 
62. , , 
63. , , 
64. , , 
65. Uma pedra é largada de um posto de observação da Torre CN,
450 m acima do solo.
(a) Determine a distância da pedra acima do nível do solo no ins-
tante t.
(b) Quanto tempo leva para a pedra atingir o solo?
(c) Com que velocidade ela atinge o solo?
(d) Se a pedra for atirada para baixo com uma velocidade de 
5 m/s, quanto tempo levará para que atinja o solo?
66. Mostre que, para um movimento em uma reta com aceleração
constante a, velocidade inicial e deslocamento inicial s0, o des-
locamento depois de um tempo t é 
67. Um objeto é lançado para cima com velocidade inicial metros
por segundo a partir de um ponto s0 metros acima do solo. Mos-
tre que
68. Duas bolas são arremessadas para cima à margem do penhasco no
Exemplo 7. A primeira é arremessada com uma velocidade de 
15 m/s, e a outra é arremessada 1 segundo depois, com uma ve-
locidade de 8 m/s. As bolas passam uma pela outra alguma vez?
69. Uma pedra é largada de um penhasco e atinge o solo com uma ve-
locidade de 40 m/s. Qual a altura do penhasco?
70. Se um mergulhador de massa m permanece na ponta de um tram-
polim de comprimento L e densidade linear r, o trampolim toma
a forma da curva y � f (x), em que
E e I são constantes positivas que dependem do material do tram-
polim e t (	 0) é a aceleração da gravidade.
(a) Encontre uma expressão para a forma da curva.
(b) Use f (L) para estimar a distância da horizontal à ponta do
trampolim.
71. Uma companhia estima que o custo marginal (em dólares por
item) de produzir x itens é 1,92 � 0,002x. Se o custo de produ-
zir um item for $ 562, encontre o custo de produzir 100 itens.
72. A densidade linear de um cabo de comprimento de 1 m é dado por
, em gramas por centímetro, onde x é medido em
centímetros a partir da extremidade do cabo. Encontre a massa do
cabo.
73. Uma vez que pingos de chuva crescem à medida que caem, sua
área superficial cresce e, portanto, a resistência à sua queda au-
menta. Um pingo de chuva tem uma velocidade inicial para baixo
de 10 m/s e sua aceleração para baixo é 
Se o pingo de chuva estiver inicialmente a 500 m acima do solo,
quanto tempo ele levará para cair?
74. Um carro está viajando a 80 km/h quando seu condutor freia com-
pletamente, produzindo uma desaceleração constante de 7 m/s2.
Qual a distância percorrida antes de o carro parar?
75. Qual a aceleração necessária para aumentar a velocidade de um
carro a 50 km/h para 80 km/h em 5 s?
76. Um carro é freado com uma desaceleração constante de 5m/s2,
produzindo marcas de frenagem medindo 60 m antes de parar
completamente. Quão rápido estava o carro viajando quando o
freio foi acionado pela primeira vez?
77. Um carro está viajando a 100 km/h quando o motorista vê um aci-
dente 80 m adiante e pisa no freio. Qual desaceleração constante
é necessária para parar o carro em tempo de evitar a batida?
78. Um modelo de foguete é lançado para cima a partir do repouso.
Sua aceleração para os três primeiros segundos é a(t) � 18t, e
nesse ínterim o combustível acaba, e ele se transforma em um
corpo em queda livre. Após 14 s o paraquedas do foguete se abre,
e a velocidade (para baixo) diminui linearmente para �5,5 m/s em
5 segundos. O foguete então cai até o solo naquela taxa.
(a) Determine a função posição s e a função velocidade (para
todo instante t). Esboce os gráficos de s e .
(b) Em que instante o foguete atingiu sua altura máxima e qual é
essa altura?
(c) Em que instante o foguete atinge a terra?
79. Um trem-bala de alta velocidade acelera e desacelera a uma taxa
de 1,2 m/s2. Sua velocidade máxima é de 145 km/h.
(a) Qual será a distância máxima percorrida pelo trem se ele ace-
lerar a partir do repouso até atingir a velocidade de cruzeiro
e permanecer nessa velocidade por 15 minutos?
(b) Suponha que o trem comece a partir do repouso e então pare
completamente em 15 minutos. Que distância máxima ele po-
derá percorrer nessas condições?
(c) Encontre o tempo mínimo para o trem viajar entre duas esta-
ções consecutivas, distantes 72 km uma da outra.
(d) A viagem de uma estação para outra leva 37,5 minutos. Qual
a distância entre as estações?
v
v
a � 
9 � 0,9t0 se 0 � t � 10se t 
 10
��x� � 1�sx
y
x0
EIy � � mt�L � x� � 12 �t�L � x�2
v0
�v�t��2 � v02 � 19,6�s�t� � s0 �
v0
s � 12 at 2 � v0 t � s0
s�1� � 20s�0� � 0a�t� � t 2 � 4t � 6
s�2
� � 12s�0� � 0a�t� � 10 sen t � 3 cos t
v�0� � 4s�0� � 0a�t� � 3 cos t � 2 sen t
v�0� � �2s�0� � 3a�t� � 2t � 1
v�t� � 1,5st , s�4� � 10
s�0� � 0v�t� � sen t � cos t
�3 � x � 3f �x� � sx 4 � 2x 2 � 2 � 2
316 CÁLCULO
Calculo04:calculo7 6/10/13 7:23 AM Page 316
1. Explique a diferença entre um máximo absoluto e um máximo lo-
cal. Ilustre com um esboço.
2. (a) O que diz o Teorema do Valores Extremos?
(b) Explique o funcionamento do Método do Intervalo Fechado.3. (a) Enuncie o Teorema de Fermat.
(b) Defina um número crítico de f.
4. (a) Enuncie o Teorema de Rolle.
(b) Enuncie o Teorema do Valor Médio e dê uma interpretação
geométrica.
5. (a) Enuncie o Teste Crescente/Decrescente.
(b) O que significa dizer que f é côncava para cima em I?
(c) Enuncie o Teste da Concavidade.
(d) O que são pontos de inflexão? Como são encontrados?
6. (a) Enuncie o Teste da Primeira Derivada.
(b) Enuncie o Teste da Segunda Derivada.
(c) Quais as vantagens e desvantagens relativas desses testes?
7. (a) O que nos diz a Regra de l’Hôspital?
(b) Como você pode usar a Regra de l’Hôspital se tiver um pro-
duto onde e quando ?
(c) Como você pode usar a Regra de l’Hôspital se tiver uma di-
ferença onde e quando
?
(d) Como você pode usar a Regra de l’Hôspital se tiver uma po-
tência onde e quando ?
8. Se você pode usar uma calculadora gráfica ou computador, para
que precisa do cálculo para fazer o gráfico da função?
9. (a) Dada uma aproximação inicial x1 para uma raiz da equação
, explique geometricamente, com um diagrama,
como a segunda aproximação x2 no método de Newton é ob-
tida.
(b) Escreva uma expressão para x2 em termos de , 
e .
(c) Escreva uma expressão para em termos de 
e .
(d) Sob quais circunstâncias o método de Newton provavelmente
falhará ou funcionará muito vagarosamente?
10. (a) O que é uma primitiva de uma função f?
(b) Suponha que F1 e F2 sejam ambas primitivas de f em um in-
tervalo I. Como estão relacionadas F1 e F2? 
f ��xn�
xn, f �xn �xn�1
f ��x1�
f �x1�x1
f �x� � 0
x l at�x� l 0f �x� l 0� f �x��t�x�
x l a
t�x� l �f �x� l �f �x� � t�x�
x l at�x� l �f �x� l 0f �x� t�x�
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 317
4 Revisão
Verificação de Conceitos
Teste – Verdadeiro ou Falso
Exercícios
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique
por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que
é falsa.
1. Se , então f tem um máximo ou um mínimo local em c.
2. Se f tiver um valor mínimo absoluto em c, então .
3. Se f for contínua em (a, b), então f atinge um valor máximo ab-
soluto f (c) e um valor mínimo absoluto f (d) em algum número
c e d em (a, b).
4. Se f for derivável e , então há um número c como
e .
5. Se para , então f é decrescente em (1, 6).
6. Se , então (2, f (2)) é um ponto de inflexão da curva
.
7. Se para , então para
8. Existe uma função f tal que e
para todo x.
9. Existe uma função f tal que , e para
todo x.
10. Existe uma função f tal que , e
para todo x.
11. Se e forem crescentes em um intervalo I, então é cres-
cente em I.
12. Se e forem crescentes em um intervalo I, então é cres-
cente em I.
13. Se e forem crescentes em um intervalo I, então é crescente
em I.
14. Se e forem positivas em um intervalo I, então é crescente
em I.
15. Se for crescente e em , então é de-
crescente em .
16. Se f é par, então é par.
17. Se f for periódica, então será periódica.
18. A primitiva mais geral de é
19. Se existe e não é nula para nenhum x, então .
20. .lim
xl0
x
e x � 1
f ��x� f �1� � f �0�
F�x� � � 1x � C
f �x� � x�2
f �
f �
I
f f �x� 
 0 I t�x� � 1�f �x�
f t ft
f t ft
f t f � t
f t f � t
f �x� 	 0 f ��x� 	 0 f � �x� 
 0
f � �x� 
 0f ��x� 	 0f �x� 
 0
f ��x� 
 1f �1� � �2, f �3� � 0
0 	 x 	 1.
f �x� � t�x�0 	 x 	 1f ��x� � t��x�
y � f �x�
f ��2� � 0
1 	 x 	 6f ��x� 	 0
f ��c� � 0� c � 	 1
f ��1� � f �1�
f ��c� � 0
f ��c� � 0
1–6 Encontre os valores extremos absolutos e locais da função no in-
tervalo dado.
1. , 
2. , 
3. , 
4. , 
5. , 
6. , f �x� � x2e�x ��1, 3�
f �x� � x � 2 cos x ��
, 
�
f �x� � sx 2 � x � 1 ��2, 1�
f �x� � 3x � 4x 2 � 1 ��2, 2�
f �x� � xs1 � x ��1, 1�
f �x� � x 3 � 6x 2 � 9x � 1 �2, 4�
; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador É necessário usar um sistema de computação algébrica SCA
Calculo04:calculo7 6/10/13 7:27 AM Page 317
7–14 Calcule o limite.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15–17. Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as con-
dições dadas.
15. ,
em e 
em e 
em e 
em e 
16. , é contínua e par, 
se se ,
se 
17. é ímpar, para , 
para , para ,
para , 
18. A figura mostra o gráfico da derivada de uma função f.
(a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente?
(b) Para que valores de x a função f tem um máximo ou mínimo
local?
(c) Esboce o gráfico de f �.
(d) Esboce um possível gráfico de f.
19–34 Use o roteiro da Seção 4.5 para esboçar a curva.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. , 
30.
31. 32.
33. 34.
35–38 Faça os gráficos de f que revelem todos os aspectos da curva.
Use os gráficos de f� e f � para estimar os intervalos de crescimento e
de decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e
pontos de inflexão. No Exercício 35, use o cálculo para achar exata-
mente essas quantidades.
35. 36.
37.
38.
39. Faça o gráfico de em uma janela retangular que
mostre todos os principais aspectos dessa função. Estime os pon-
tos de inflexão. A seguir, use o cálculo para achá-los exatamente.
40. (a) Faça o gráfico de função .
(b) Explique o formato do gráfico calculando os limites f (x)
quando x tende a , , e .
(c) Use o gráfico de f para estimar as coordenadas dos pontos de
inflexão.
(d) Use seu SCA para calcular e formar o gráfico de .
(e) Use o gráfico (d) para estimar os pontos de inflexão de forma
mais precisa.
41–42 Use os gráficos de para estimar a coordenada x dos
pontos de máximo, de mínimo e de inflexão de f.
41. , 
42.
43. Investigue a família de funções . Que as-
pectos os membros dessa família têm em comum? Como eles di-
ferem? Para quais valores de C a função f é contínua em ?
Para quais valores de C a função f não tem gráfico? O que acontece
se ?
44. Investigue a família de funções . O que acontece
com os pontos de máximo e mínimo e os pontos de inflexão
quando c varia? Ilustre suas conclusões fazendo o gráfico de vá-
rios membros da família.
45. Mostre que a equação 3x � 2 cos x � 5 � 0 tem exatamente uma
raiz real.
46. Suponha que f seja contínua em e
para todo x em (0, 4). Mostre que .
47. Aplicando o Teorema do Valor Médio para a função
no intervalo [32, 33], mostre que 
48. Para que valores das constantes a e b, (1, 3) é um ponto de infle-
xão da curva y � ax3 � bx2?
49. Seja , onde f é duas vezes derivável para todo x,
para todo e f é côncava para baixo em
e côncava para cima em .
(a) Em que números tem um valor extremo?
(b) Discuta a concavidade de .
50. Encontre dois inteiros positivos tal que a soma do primeiro nú-
mero com quatro vezes o segundo número é 1.000, e o produto
dos números é o maior possível.
51. Mostre que a menor distância do ponto (x1, y1) a uma reta 
Ax � By � C � 0 é 
� Ax1 � By1 � C �
sA2 � B2
t
t
�0, ��
f ��x� 
 0 x � 0 ���, 0�
t�x� � f �x 2 �
2 	 s5 33 	 2,0125
f �x� � x 1�5
9 � f �4� � 21
�0, 4�, f �0� � 1 2 � f ��x� � 5
f �x� � cxe�cx 2
C l �
���, ��
f �x� � ln�sen x � C �
f �x� � e�0,1x ln�x 2 � 1�
f �x� � cos
2x
sx 2 � x � 1
�
 � x � 
f, f � e f �
f �
� �� 0� 0�
f �x� � 1��1 � e 1�x �
f �x� � e�1�x 2
f �x� � x 2 � 6,5 sen x, �5 � x � 5
f �x� � 3x 6 � 5x 5 � x 4 � 5x 3 � 2x 2 � 2
f �x� � x
2 � 1
x 3 f �x� �
x 3 � x
x 2 � x � 3
y � �x � 2�e�x y � x � ln�x 2 � 1�
y � sen�1�1�x� y � e2x�x 2
y � 4x � tg x, �p�2 	 x 	 p�2
y � e x sen x �
 � x � 
y � s3 x 2 � 1y � xs2 � x
y � s1 � x � s1 � xy � x 2��x � 8�
y � 1x 2 �
1
�x � 2�2y �
1
x�x � 3�2
y � x
1 � x 2y � x
4 � 3x 3 � 3x 2 � x
y � x 3 � 6x 2 � 15x � 4y � 2 � 2x � x 3
0 x
y
1 2 3 4 5 6 7_1
_2
y=fª(x)
f �
lim
xl�
f �x� � �2x 
 3f ��x� 	 0
0 	 x 	 3f ��x� 
 0x 
 2f ��x� 
 0
0x 	 2f ��x� 	 0f
x 
 3f ��x� � 1
1 	 x 	 30 	 x 	 1, f ��x� � �1f ��x� � 2x
ff �0� � 0
�6, 12��0, 6�f ��x� 	 0
�12, ��,���, 0�f ��x� 
 0
�6, 9�,��2, 1�f ��x� 
 0
�9, ��,���, �2�, �1, 6�f ��x� 	 0
lim
xl�
f �x� � 0, lim
xl6
f �x� � ��,
f �0� � 0, f ���2� � f ��1� � f ��9� � 0
lim
xl�p�2���tg x�
cos xlim
xl1�� xx � 1 � 1ln x�
lim
xlp�
�x � p� cossec xlim
xl��
�x 2 � x 3�e 2x
lim
xl�
e4x � 1 � 4x
x2limxl 0
e4x � 1 � 4x
x2
lim
xl 0
tg 4x
x � sen 2xlimxl 0
e x � 1
tg x
318 CÁLCULO
SCA
SCA
;
;
;
;
Calculo04:calculo7 6/10/13 7:33 AM Page 318
52. Encontre o ponto sobre a hipérbole xy � 8 que está mais próximo
ao ponto (3, 0).
53. Encontre a menor área possível de um triângulo isósceles que está
circunscrito em um círculo de raio r.
54. Encontre o volume do maior cone circular que pode ser inscrito
em uma esfera de raio r.
55. Em , D está em , , cm e
cm. Onde estaria o ponto P escolhido em CD para a
soma ser mínima?
56. Faça o Exercício 55 quando cm.
57. A velocidade de uma onda de comprimento L em água profunda é 
onde K e C são constantes positivas conhecidas. Qual é o com-
primento da onda que dá a velocidade mínima?
58. Um tanque de armazenamento de metal com volume V deve ser
construído com a forma de um cilindro circular reto com um he-
misfério em cima. Quais as dimensões que vão exigir a menor
quantidade de metal?
59. Uma arena de esportes tem capacidade para 15 mil espectadores
sentados. Com o preço do ingresso a $ 12, a média de público tem
sido de 11 mil espectadores. Uma pesquisa de mercado indica
que, para cada dólar que o preço do ingresso é diminuído, a mé-
dia de público aumenta em 1.000. Como os donos do time devem
definir o preço do bilhete para maximizar seus lucros com as ven-
das de ingressos?
60. Um fabricante determinou que o custo de fazer x unidades de uma
mercadoria é C(x) � 1.800 � 25x � 0,2x2 � 0,001x3 e a função
demanda é p(x) � 48,2 � 0,03x.
(a) Faça o gráfico das funções custo e receita e use os gráficos
para estimar o nível de produção para o lucro máximo.
(b) Use o cálculo para achar o nível de produção para o lucro má-
ximo.
(c) Estime o nível de produção que minimize o custo médio.
61. Use o método de Newton para achar a raiz da equação 
x5 � x4 � 3x2 � 3x � 2 � 0 no intervalo [1, 2] com precisão de
seis casas decimais.
62. Use o método de Newton para achar todas as raízes da equação
sen x � x2 � 3x � 1 com precisão de seis casas decimais.
63. Use o método de Newton para achar o máximo absoluto da fun-
ção f (t) � cos t � t � t2 com precisão de oito casas decimais.
64. Use o roteiro na Seção 4.5 para esboçar o gráfico da curva
, . Use o método de Newton quando for
necessário.
65–72 Encontre f.
65.
66.
67.
68. , 
69. , 
70. , 
71. , , 
72. , , 
73–74 Uma partícula move-se de acordo com os dados a seguir. En-
contre a posição da partícula.
73. , 
74. , , 
75. (a) Se , use um gráfico de f
para esboçar um gráfico da primitiva F de f que satisfaça
F(0) � 0.
(b) Encontre uma expressão para F(x).
(c) Faça o gráfico de F usando a expressão da parte (b). Compare
com seu esboço da parte (a).
76. Investigue a família de curvas dada por 
Em particular, você deve determinar o valor de transição de c no
qual a quantidade de números críticos varia e o valor de transição
no qual o número de pontos de inflexão varia. Ilustre as várias pos-
síveis formas com gráficos.
77. Uma caixa é lançada de um helicóptero a 500 m acima do chão. Seu
paraquedas não abre, mas ela foi planejada para suportar uma ve-
locidade de impacto de 100 m/s. Ela suportará o impacto ou não? 
78. Em uma corrida automobilística ao longo de uma estrada reta, o
carro A passou o carro B duas vezes. Demonstre que em algum
instante durante a corrida suas acelerações eram iguais. Diga
quais são as suas hipóteses.
79. Uma viga retangular será cortada de uma tora de madeira com raio
de 30 cm.
(a) Mostre que a viga com área da seção transversal máxima é
quadrada.
(b) Quatro pranchas retangulares serão cortadas de cada uma das
quatro seções da tora que restarão após o corte da viga qua-
drada. Determine as dimensões das pranchas que terão área da
seção transversal máxima.
(c) Suponha que a resistência de uma viga retangular seja pro-
porcional ao produto de sua largura e o quadrado de sua pro-
fundidade. Encontre as dimensões da viga mais resistente
que pode ser cortada de uma tora cilíndrica.
80. Se um projétil for disparado com uma velocidade inicial v em um
ângulo de inclinação u a partir da horizontal, então sua trajetória,
desprezando a resistência do ar, é uma parábola 
(a) Suponha que o projétil seja disparado da base de um plano que
está inclinado em um ângulo , , a partir da horizontal,
como mostrado na figura. Mostre que o alcance do projétil,
medido no plano inclinado, é dado por 
(b) Determine u tal que R seja máximo.
R�u� � 2v
2 cosu sen�u � a�
t cos2a
� � 
 0
y � �tgu�x � t
2v2 cos2u
x 2 0 	 � 	 
2
profun-
didade
comprimento
30
f �x� � x 4 � x 3 � cx 2
f �x� � 0,1e x � sen x, �4 � x � 4
a�t� � sen t � 3 cos t s�0� � 0 v�0� � 2
v�t� � 2t � 1��1 � t 2� s�0� � 1
f ��x� � 2x 3 � 3x 2 � 4x � 5 f �0� � 2 f �1� � 0
f ��x� � 1 � 6x � 48x 2 f �0� � 1 f ��0� � 2
f ��u� � u
2 � su
u f �1� � 3
f ��t� � 2t � 3 sen t f �0� � 5
f ��x� � senh x � 2 cosh x f �0� � 2
f ��x� � sx 3 � s3 x 2
f ��x� � 2e x � sec x tg x
f ��x� � cos x � �1 � x 2��1�2
y � x sen x 0 � x � 2
v � K	 LC � CL
� CD � � 2
� PA � � � PB � � � PC �
� CD � � 5
�ABC AB CD � AB � AD � � � BD � � 4
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 319
;
;
;
Calculo04:calculo7 6/10/13 7:37 AM Page 319
(c) Suponha que o plano esteja em um ângulo abaixo da hori-
zontal. Determine o alcance R e o ângulo segundo o qual o
projétil deve ser disparado para maximizar R.
81. Mostre que para x 
 0, temos
82. Esboce o gráfico de uma função f tal que para 
todo para para e
.
83. Uma lâmpada será colocada no topo de um poste de altura h me-
tros para iluminar um círculo de tráfego intenso com raio de 
20 m. A intensidade de iluminação I para qualquer ponto P no cír-
culo é diretamente proporcional ao cosseno do ângulo u (veja a
figura) e inversamente proporcional ao quadrado da distância d da
fonte.
(a) Qual a altura do poste para maximizar I?
(b) Suponha que o poste de luz tenha h metros e que uma mulher
esteja se afastando da base do poste com velocidade de 1 m/s.
A que taxa a intensidade da luz no ponto nas costas dela a 
1 m acima do solo diminui quando ela alcança a borda externa
do círculo?
84. Água está fluindo a uma taxa constante num tanque esférico. Se-
jam V(t) o volume de água no tanque e H(t) a altura da água no
tanque num dado momento t.
(a) Quais são os valores de e ? Essas derivadas são po-
sitivas, negativas ou nulas?
(b) é positiva, negativa ou nula? Explique.
(c) Seja t1, t2, e t3 o número de vezes que o tanque ficou um quarto
cheio, metade cheio e três quartos cheio respectivamente. Os
valores , e são positivos, negativos ou nu-
los? Por quê?
H ��t2� H ��t3�H ��t1�
V ��t�
V��t� H��t�
h
¨
d
20
P 
lim xl�� � f �x� � x� � 0
� x � 	 1f ��x� 	 0� x � 
 1,x, f ��x� 
 0
f ��x� 	 0
x
1 � x 2 	 tg
�1x 	 x
¨
å
x
y
0
R
�
320 CÁLCULO
Problemas Quentes
Um dos mais importantes princípios de resolução de problemas é a analogia. Se você está tendo
dificuldades em começar a lidar com um problema, é algumas vezes útil começar resolvendo
um similar, porém mais simples. O problema a seguir ilustra o princípio. Cubra completamente
a solução e tente resolvê-lo primeiro, você mesmo.
Se x, y e z são número positivos, prove que 
SOLUÇÃO O começo deste problema pode ser difícil. (Muitos estudantes o atacaram efe-
tuandoa multiplicação no numerador, mas isso somente cria uma confusão.) Vamos tentar
pensar em problema similar que seja mais simples. Quando diversas variáveis estão envolvi-
das, é frequentemente útil pensar em um problema análogo com menos variáveis. No caso
presente podemos reduzir o número de variáveis de três para um e demonstrar a desigualdade
análoga 
De fato, se formos capazes de demonstrar , então segue a desigualdade desejada, pois 
�x 2 � 1��y 2 � 1��z2 � 1�
xyz � � x 2 � 1x �� y 2 � 1y �� z 2 � 1z � � 2 � 2 � 2 � 8
1
1
x 2 � 1
x � 2, para todo x 
 0
�x 2 � 1��y 2 � 1��z 2 � 1�
xyz � 8
EXEMPLO 1
Calculo04:calculo7 6/10/13 7:38 AM Page 320
A chave para demonstrar está em reconhecer que é uma versão disfarçada de um problema
de mínimo. Se agora considerarmos
então , de modo que quando x � 1. Também, para
e para . Consequentemente, o valor mínimo absoluto de f é
. Isso significa que
para todo valor positivo de x
e, como anteriormente mencionado, a desigualdade dada segue pela multiplicação.
A desigualdade em pode também ser demonstrada sem cálculo. De fato, se x 
 1, temos 
Como a última desigualdade é obviamente verdadeira, a primeira também o é.
1. Se um retângulo tiver sua base no eixo x e dois vértices sobre a curva , mostre que o retân-
gulo tem a maior área possível quando os dois vértices estiverem nos pontos de inflexão da curva.
2. Mostre que para todo x.
3. A função tem um máximo absoluto? Se sim, encontre-o. E um mínimo absoluto?
4. Mostre que para todos os valores positivos de x e y tais que e
.
5. Mostre que os pontos de inflexão da curva estão sobre a curva .
6. Encontre o ponto sobre a parábola no qual a reta tangente corta do primeiro quadrante
o triângulo com a menor área.
7. Se a, b, c e d são constantes, tais que 
encontre o valor da soma a � b � c � d.
8. Esboce o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que .
9. Encontre o ponto mais alto e o mais baixo sobre a curva .
10. Para quais valores de c a curva tem pontos de inflexão?
11. Se for qualquer ponto na parábola , exceto a origem, seja Q o ponto em que a reta
normal intercepta a parábola novamente (veja a figura). Mostre que o segmento de reta PQ tem o com-
primento mais curto possível quando .
12. Esboce a região do plano que consiste em todos os pontos (x, y) tais que
13. A reta y � mx � b intercepta a parábola y � x2 nos pontos A e B (veja a figura). Encontre o ponto
P sobre o arco AOB da parábola que maximize a área do triângulo PAB.
2xy � � x � y � � x 2 � y 2
a � 1�s2
P�a, a 2� y � x 2
y � cx 3 � e x
x 2 � xy � y 2 � 12
� x � y � � e x
lim
xl 0
ax 2 � sen bx � sen cx � sen dx
3x 2 � 5x 4 � 7x 6 � 8
y � 1 � x 2
y � �sen x��x y 2�x 4 � 4� � 4
� y � � 2
x 2y 2�4 � x 2 ��4 � y 2 � � 16 � x � � 2
f �x� � e10 � x�2 ��x 2
� sen x � cos x � � s2
y � e�x 2
Problemas
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1
x
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 321
REVENDO
O que você aprendeu da solução desse
exemplo?
■ Para resolver um problema envolvendo
diversas variáveis, pode ser útil resolver
um problema análogo com somente uma
variável.
■ Quando tentar demonstrar uma
desigualdade, pode ajudar pensá-la
como um problema de máximo ou de
mínimo.
SP
FIGURA PARA O PROBLEMA 11
0 x
y
P
Q
Calculo04:calculo7 6/10/13 7:41 AM Page 321
14. ABCD é um pedaço de papel quadrado de lado 1 m. Um quarto de círculo é traçado de B a D com
centro em A. O papel é dobrado ao longo de EF, com E em AB e F em AD, de modo que A caia so-
bre a quarto de círculo. Determine a área máxima e a mínima que o triângulo AEF pode ter.
15. Para quais números positivos a a curva y � ax intercepta a reta y � x?
16. Para quais valores de a a equação a seguir é válida?
17. Seja , onde , , . . . , são números reais e n é
um inteiro positivo. Se for dado que para todo x, mostre que 
18. Um arco de círculo PQ subtende um ângulo central u como na figura. Seja A(u) a área entre a corda
PQ e o arco PQ. Seja B(u) a área entre as retas tangentes PR, QR e o arco. Encontre
19. As velocidades do som c1 em uma camada superior e c2 em uma camada inferior de rocha e a es-
pessura h da camada superior podem ser determinadas pela exploração sísmica se a velocidade do
som na camada inferior for maior que a velocidade do som na camada superior. Uma carga de di-
namite é detonada em um ponto P e os sinais transmitidos são registrados em um ponto Q, o qual
está a uma distância D de P. O primeiro sinal a chegar a Q viaja ao longo da superfície e leva T1 se-
gundos. O próximo sinal viaja do ponto P ao ponto R, do ponto R para o ponto S na camada inferior
e daí para o ponto Q e leva T2 segundos para fazer este percurso todo. O terceiro sinal é refletido na
camada inferior no ponto médio O de RS e leva T3 segundos para chegar em Q.
(a) Expresse T1, T2 e T3 em termos de D, h, c1, c2 e u.
(b) Mostre que T2 assume o seu valor mínimo em sen u� c1/c2.
(c) Suponha que D � 1 km, T1 � 0,26 s, T2 � 0,32 s e T3 � 0,34 s. Encontre c1, c2 e h.
P
Q
B(¨)A(¨)¨ R
lim
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A���
B���
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lim
xl� � x � ax � a�x � e
O
y
x
y=≈
y=mx+b
P
B
A
322 CÁLCULO
Calculo04:calculo7 6/10/13 7:41 AM Page 322
Observação: Os geofísicos usam essa técnica para estudar a estrutura da crosta terrestre, quando fa-
zem prospecção de petróleo ou examinam falhas na estrutura do terreno.
20. Para quais valores de c existe uma reta que intercepta a curva 
em quatro pontos distintos?
21. Um dos problemas propostos pelo marquês de l’Hôspital em seu livro de cálculo Analyse des infi-
niment petits está relacionado a uma polia presa ao teto de um quarto no ponto C por uma corda de
comprimento r. Em outro ponto B no teto, a uma distância d de C (onde d 
 r), a corda de compri-
mento � é amarrada passando pela polia em um ponto F e tendo preso a si um peso W. O peso é solto
e encontra sua posição de equilíbrio em D. Como l’Hôspital argumentou, isso ocorre quando a dis-
tância é maximizada. Mostre que, quando o sistema alcança o equilíbrio, o valor de x é
Observe que essa expressão independe de W e �.
22. Dada uma esfera de raio r, encontre a altura da pirâmide de menor volume cuja base é quadrada e
cuja base e faces triangulares são todas tangentes à esfera. E se a base da pirâmide fosse um polí-
gono com n lados e ângulos iguais? Use o fato que o volume da pirâmide é , onde A é a área na
sua base.)
23. Suponha que uma bola de neve derreta de maneira que seu volume decresce a uma taxa proporcio-
nal a área de sua superfície. Se levar três horas para a bola de neve derreter para a metade de seu vo-
lume original, quanto demorará para a bola de neve derreter completamente?
24. Uma bolha hemisférica é colocada sobre uma bolha esférica de raio 1. Uma bolha hemisférica me-
nor é então colocada sobre a primeira bolha. O processo continua até que sejam formados n com-
partimentos, incluindo a esfera. (A figura mostra o caso para n � 4.) Use a indução matemática para
demonstrar que a altura máxima de qualquer torre de bolhas com n compartimentos é dada pela ex-
pressão .1 � sn
1
3 Ah
r
4d (r � sr 2 � 8d 2 )
� ED �
y � x 4 � cx 3 � 12x 2 � 5x � 2
D
h
R
¨
velocidade do som=c™
Q
O S
¨
velocidade do som=c¡
P
APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 323
B
r
C
F
D
d
x
FIGURA PARA O PROBLEMA 21
E
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