Notas de aula - Equação do 1º Grau

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Curso de Licenciatura em Matemática
Notações de aula
Dados de Identificação
Professor: Leandro Suguitani
Disciplina: Matemática para o Ensino Fundamental II
Tema: Equação do 1
o
grau e Sistemas de Equações do 1
o
grau.
Data: 24 de outubro de 2017
Duração da aula: 50-60 minutos
Discente: Raquel Magalhães de Almeida Cruz
1 Revisão
O que é um elemento neutro?
O elemento neutro de uma operação pode ser definido como �um número que não altera
o resultado da operação� ou �o resultado da operação de um elemento com o seu oposto (ou
inverso)�. A partir disso, podemos afirmar que o elemento neutro da adição é 0 e o da multipli-
cação é 1. Já vimos também que operações como a subtração e a divisão, na verdade, podem
ser vistas como adição e multiplicação envolvendo elementos oposto e inverso, respectivamente.
O que sabemos sobre expressões algébricas?
Vamos revisar um pouco do que aprendemos anteriormente por meio de um exemplo.
Exemplo: Calcular a quarta parte do suplemento do ângulo de medida 20 ◦.
Ângulo: 20 ◦
Suplemento do ângulo: 180 ◦ − 20 ◦ = 160 ◦
Quarta parte:
160 ◦
4
= 40 ◦
2 Motivação
Utilizar o modelo �Balança de Equilíbrio� para explorar, visualmente, conceitos como: igual-
dade, desigualdade e incógnita; e intuir o procedimento de determinar o valor de uma incógnita.
3 Desenvolvimento
3.1 Balança de Equilíbrio
Situação-problema: Julieta foi ao supermercado e achou uma balança de equilíbrio. Como a
menina curiosa que é, ela remexeu no seu carrinho e começou a colocar alguns itens na balança
até que esta estivesse em equilíbrio. Dos 3 tipos de item que ela colocou no carrinho, ela só
sabia a massa de dois. Como descobrir a massa do terceiro item?
Após simular a situação no modelo concreto, escreveremos no quadro, em símbolos, o que
podemos observar na balança. Sinalizar que a igualdade representa o equilíbrio da balança e o
símbolo da adição representa a massa total em prato da balança.
Para resolver o problema, chamaremos o item que desconhecemos a massa de uma letra e
substituiremos os valores já conhecidos. Observar que ainda não formalizamos a definição da
sentença obtida, mas é fácil ver que ela expressa igualdade e contém uma letra que representa
uma incógnita. Nomear essa sentença de equação.
3.2 Definição de Equação
Definição: Equação é uma sentença matemática que contém uma ou mais incógnitas e é
expressa por uma igualdade.
Exemplos:
1) b+ b+ b = 160 + 160 + 140 + 140
2) 2x+ 10 = 5
3) x+ 2y = 100
Observação: Ressaltar que, nesta aula, daremos atenção às equações de primeiro grau, ou
seja, o maior grau das partes literais é 1.
4) �Quantas balas eu tenho na mão? A soma do triplo dessa quantidade com 5 é igual a
11.�
Deparando-nos com uma equação do tipo acima, como proceder?
3.3 Resolução de Equações
Resolver uma equação significa achar suas raízes, ou seja, os números que satisfazem a igualdade
inicial.
Podemos utilizar dois métodos:
1) Testar valores numérios coerentes com o problema.
2) Realizar operações elementares.
Lembrar que as operações elementares têm como objetivo isolar a incógnita. Ilustrar, utili-
zando a balança, que realizar essas operações é o mesmo que mexer nos objetos em cada prato
sem alterar o seu equilíbrio. As operações elementares são as seguintes:
• Adicionar um número (positivo ou negativo) aos dois lados da equação.
• Multiplicar por um número (inteiro ou fracionário), diferente de zero, os dois membros
da equação.
Relembrar o motivo pelo qual iniciamos a aula falando sobre �elemento neutro�.
Exemplos:
a) Qual o valor de a?
b) 3b+ 5 = 11
c) Qual o valor de x e y?
Já sabemos resolver equações, falta agora aprender a montá-las. Propor atividade em dupla.
Sinalizar que nem todos os problemas envolvendo equações terão apenas uma incógnita, por
exemplo, o último exempo realizado na atividade em dupla.
3.4 Sistema de Equações
Exemplo: Quais valores x e y podem assumir?
x+ y = 5
Pergunta 1: A qual conjunto numérico x e y pertencem?
Pergunta 2: Quantas valores obtemos para y se atribuirmos valores a x?
Sinalizar que existem infinitas soluções para o problema dado.
Nem sempre podemoremos realizar esse procedimento, pois algumas vezes as incógnitas
estarão relacionadas por mais de uma equação, como é o caso do seguinte problema.
Situação-problema: Um tomate e um pepino, juntos, têm massa 140g. Para equilibrar a
balança, é preciso colocar 5 tomates de um lado e 2 pepinos do outro. Qual a massa de cada
um?
Observação 1: Colocamos a chave para indicar que as duas igualdades ocorrem ao mesmo
tempo.
Observação 2: Com as duas equações, formamos um sistema de equações.
Definição: Um sistema de equações do primeiro grau com duas incógnitas é o conjunto
formado por duas equações do primeiro grau com duas incógnitas.
Exemplos:
a)
{
t+ p = 140
5t = 2p
b)
{
a+ b = 20
2a+ b = 10
Surge a mesma pergunta anterior: como resolvê-los?
3.5 Resolução de Sistema de Equações
Vamos estudar dois métodos:
(1) Método da Substituição
(2) Método da Comparação
Considere o sistema do exemplo a):
{
t+ p = 140
5t = 2p
(1) Método da Substituição
A) Nesse método, escolhemos uma das equações e isolamos uma das incógnitas.
B) Na outra equação, substituímos a incógnita isolada no passo anterior e resolvemos a
equação resultante.
C) Por meio da relação obtida em A), substituimos o valor encontrado no passo B).
(2) Método da Comparação
A) Escolhemos uma das incógnitas e a isolamos em cada uma das equações.
B) Igualamos as duas expressões obtidas para a mesma incógnita e resolvemos a equação
resultante.
C) Calculamos a outra incógnita numa das exressões obtidas no passo A).
Salientar que chegaremos no mesmo resultado independente do método escolhido.
Propor dinâmica em dupla.
4 Revisão/Conclusão
Equações são frequentes no nosso cotidiano e são utilizadas tanto em situações complexas,
como na Economia, quanto em situações simples, como determinar o melhor plano de celular a
adotar. Nem sempre nos depararemos com equações com apenas uma incógnita, por isso, faz-se
necessário o estudo dos métodos de resolução de sistemas com duas equações e duas incógnitas.
Posteriormente, veremos que esse mecanismo é útil para desenvolver outros que nos permitem
resolver problemas interessantes. Com o estudo das equações, podemos descobrir dados não
explícitos.
	Revisão
	Motivação
	Desenvolvimento
	Balança de Equilíbrio
	Definição de Equação
	Resolução de Equações
	Sistema de Equações
	Resolução de Sistema de Equações
	Revisão/Conclusão