1ListadeExerccios_20170905090242

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1ª Lista de Exercícios – Cálculo de Várias Variáveis
1. Descreva o domínio de f(x, y) e calcule os valores nos pontos indicados.
a) f(x, y) = (x – 1)2 + 2xy3 f(2, –1) e f(1, 2)
3x + 2y
b) f(x, y) =
c) f(x, y) =
2x + 3y
3x
x2 − y
f(1, 2) e f(−4, 6)
f(1, 0) e f(0, 1)
2. Determine as derivadas parciais fx(x, y) e fy(x, y) para as funções f(x, y) de duas variáveis e fx(x, y, z), fy(x, y, z) e fz(x, y, z) para as f(x, y, z) de três variáveis.
a) f(x, y) = 6x + 3y − 7 b) f(x, y) = 4x2 − 3xy
c) f(x, y) = 3xy + 6x − y2
d) f(x, y) = xy2 − 5y + 6
e) f(x, y) = √x2 + y2
x + 2y
f) f(x, y) =
x2 − y
g) f(x, y, z) = x2y − 3xy2 + 2yz h) f(x, y, z) = 4xyz + ln(2xyz)
 1 
i) f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2 )−2
3. Determine a derivada total
du
usando a regra de cadeia.
dt
a) u = yex + xey ; x = cos(t) y = sen(t)
b) u = ln(xy) + y2 ; x = et y = e−t
π
c) u = √x2 + y2 + z2 ; x = tan(t) y = cos(t) z = sen(t) , 0 < t <
2
d) u = xy + xz + yz ; x = t cos(t) y = tsen(t) z = t
4. Determine as derivadas parciais
∂u , ∂u
∂r ∂s
usando a regra da cadeia.
a) u = x2 − y2 x = 3r − s y = r + 2s
b) u = 3x − 4y2 x = 5rs y = 3r2 − 2s
c) u = 3x2 + xy − 2y2 + 3x − y x = 2r − 3s y = r + s
d) u = xy = xz + yz x = rs y = r2 − s2 z = (r − s)2
5. Determine as derivadas parciais até segunda ordem de f(x, y) = sen(2x + 3y).
6. Usando o Teorema da Função Implícita calcule
a) ∂z/∂x e ∂z/∂y para yz = ln(x+ z)
b) Fx, Fy e Fz para x2 + xy2 + xyz3 – 3 =0
dy
c) para (x + y)2 – (x – y)2 = x4 + y4
dx
7. O comprimento do menor cateto de um triângulo retângulo é 10 cm e cresce à razão de 1 cm/s; o maior cateto tem comprimento de 12 cm e decresce a razão de 2 cm/s. Calcule a taxa de variação do ângulo oposto ao maior lado, no instante dado.
[DICA: use a regra da cadeia e
d
(arc tan θ) =
dθ
1
1 + θ2 ]
8. Considere a função f(x, y) = ye–xy. Com relação ao ponto (0, 2), determine a taxa de variação máxima de f.
1
9. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto (0,0) e a direção e sentido que isso ocorre. f(p, q) = qe–p + pe–q
10. Determine e classifique os pontos críticos de a) f(x, y) = x2/2 + 3y3 + 9y2 – 3xy +9y – 9x
b) f(x, y) = 3x2y + y3 – 3x2 – 3y2 +2
c) f(x, y) = 15xy2 – 4x3 +15y3 + 48x – 6.
GABARITO
1. a) R b) y ≠ (–2/3)x c) y ≠ x2
2. a) fx = 6 ; fy = 3 b) fx = 8x – 3y ; fy = -3x c) fx = 3y + 6 ; fy = 3x – 2y
d) fx = y2 ; fy = 2xy – 5 e) fx = � ; fy = � 
√�2 +�2
2 2
√�2 +�2
f) fx = − � − 4�� − � ; fy = 2 � − � 
g) fx = 2xy – 3y2 ; fy = x2-6xy +z ; fz = 2y
(�2 −�)2
(�2 −�)2
h) fx = 4yz + 1/x ; fy = 4xz + 1/y ; fz = 4xy + 1/z
i) fx = − � ; fy = − � ; fz = − � 
√(�2 +�2+�2 )3
√(�2 +�2+�2 )3
√(�2 +�2 +�2 )3
sen t
3. a) –sen(t)∙(yex + ey) + cos(t)∙(ex +xey) b) –2e–2t c)
cos2 t
d) 2t∙[cos(t) + sen(t)cos(t) + sen(t)] + t2∙[cos(t) – sen(t) + cos2(t) – sen2 (t)]
4. a) 𝜕𝑢 
𝜕�
b) 𝜕𝑢 
𝜕�
c) 𝜕𝑢 
𝜕�
d) 𝜕𝑢 
𝜕�
= 16r – 10s 𝜕𝑢 
𝜕�
= 15s – 144 r3 + 96rs 𝜕𝑢 
𝜕�
= 24r – 41s + 5 𝜕𝑢 
𝜕�
= 4r3 – 4rs2 + 2s3 𝜕𝑢 
𝜕�
= – 10r – 6s
= 15r + 48r2 – 32s
= –41r + 44s - 10
= 6rs2 – 4r2s – 4s3
5. fx = 2cos(2x + 3y)fy = 3cos(2x + 3y) fxy = fyx = –6sen(2x + 3y)
fxx = –4sen(2x + 3y) fyy = –9sen(2x + 3y)
−1
6. a) ∂z/∂x =
⁄(x+z)
y−1⁄(x+z)
∂z/∂y =
−z
y−1⁄(x+z)
b) Fx = 2x + y2 + yz3 Fy = 2xy + xz3 Fz = 3xyz2
c) dy =
dx
−x3 + y
y3− x
7. 8/61 rad/s
8. 4
9. √2
10. a) (6, –1) sela (15, 2) mínimo
b) (0, 0) e (1, –1) máximo (0, 2) mínimo (1, 1) sela
c) (–2, 0) e (2, 0) sela (–3, 2) mínimo (3, –2) máximo
2