3 Vibracoes excitadas harmonicamente

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
VIBRAÇÕES MECÂNICAS
PROFESSOR VICTOR CESAR PANUCI 
VIBRAÇÕES EXCITADAS HARMÔNICAMENTE
2
TEMAS ABORDADOS
● Introdução;
● Resposta de um sistema não amortecido a força 
harmônica;
● Batimento;
● Resposta de um sistema amortecido a força harmônica;
● Resposta de um sistema amortecido a F(t)=F0eiωt;
● Resposta de um sistema amortecido ao movimento 
periódico de base;
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TEMAS ABORDADOS
● Resposta de um sistema amortecido ao 
desbalanceamento rotativo;
● Vibração forçada com amortecimento de Coulomb;
● Vibração forçada com amortecimento por 
histerese;
● Autoexcitação;
● Lista de exercícios.
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INTRODUÇÃO
● O sistema sofre vibração forçada sempre que é fornecida 
energia externa ao sistema durante a vibração.
● A natureza da força ou excitação aplicada no sistema pode 
ser:
– Harmônica;
– Não harmônica, mas periódica;
– Não periódica.
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INTRODUÇÃO
– Considerando o sistema abaixo,
a equação de movimento é dada por:
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INTRODUÇÃO
– A solução desta EDO não 
homogênea é a soma da 
solução homogênea xh(t) com 
a solução particular xp(t).
– Para um sistema amortecido, 
a vibração livre cessa após 
um determinado tempo, 
assim a componente da 
solução homogênea deixa de 
existir e somente a solução 
particular estará presente no 
regime permanente.
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RESPOSTA DE UM SISTEMA NÃO AMORTECIDO 
À FORÇA HARMÔNICA
– Seja a força harmônica atuante no sistema:
– A equação do movimento é dada por:
– Sendo sua solução homogênea:
e a solução particular:
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RESPOSTA DE UM SISTEMA NÃO AMORTECIDO 
À FORÇA HARMÔNICA
– Derivando a solução particular e substituindo na EDO 
conseguimos obter a constante X que denota a máxima 
amplitude de xp(t):
– O valor δst = F0/k é a deflexão da massa sob uma carga F0, 
denominada também, deflexão estática.
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RESPOSTA DE UM SISTEMA NÃO AMORTECIDO 
À FORÇA HARMÔNICA
– A solução geral fica:
– Aplicando as condições iniciais:
temos:
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RESPOSTA DE UM SISTEMA NÃO AMORTECIDO 
À FORÇA HARMÔNICA
– Substituindo na solução:
– Podemos definir a razão X/δst como sendo o fator de 
ampliação, amplificação ou coeficiente de amplitude do 
sistema.
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RESPOSTA DE UM SISTEMA NÃO AMORTECIDO 
À FORÇA HARMÔNICA
● A partir da solução verifica-se que existem 3 tipos de respostas 
possíveis para o sistema:
1) Quando 0 < ω/ωn < 1, a resposta particular do sistema está 
em fase com a força externa.
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RESPOSTA DE UM SISTEMA NÃO AMORTECIDO 
À FORÇA HARMÔNICA
2) Quando ω/ωn > 1, o denominador do coeficiente de 
amplitude é negativo e consequentemente a resposta está 
defasada 180º em relação à força. A resposta particular é 
dada por:
– A amplitude fica:
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RESPOSTA DE UM SISTEMA NÃO AMORTECIDO 
À FORÇA HARMÔNICA
3) Quando ω = ωn, X tende para o infinito, fenômeno 
conhecido como ressonância. A ressonância deve ser evitada.
– Reescrevendo a solução com a condição acima:
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RESPOSTA DE UM SISTEMA NÃO AMORTECIDO 
À FORÇA HARMÔNICA
– A resposta para o sistema em ressonância é:
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RESPOSTA DE UM SISTEMA NÃO AMORTECIDO 
À FORÇA HARMÔNICA
– Para os casos 1 e 2, podemos escrever a resposta total da 
seguinte forma:
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RESPOSTA DE UM SISTEMA NÃO AMORTECIDO 
À FORÇA HARMÔNICA
– Resposta Total:
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BATIMENTO
● Se a frequência forçante for próxima, mas não exatamente 
igual à frequência natural do sistema pode ocorrer um 
fenômeno conhecido como batimento;
● No batimento, a amplitude aumenta e diminui conforme um 
padrão.
– Utilizando as seguintes condições iniciais na solução geral: 
temos:
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BATIMENTO
– Supondo que a frequência forçante (ω) seja ligeiramente 
menor que a frequência natural (ωn):
– Na qual ε é uma quantida pequena positiva, então ω ≈ ωn :
– Multiplicando as duas equações anteriores:
– Substituindo os resultados anteriores e simplificando:
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BATIMENTO
– A amplitude variável:
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BATIMENTO
– O tempo entre os pontos de amplitude máxima ou 
amplitude variável é denominado período do batimento 
e dado por: 
– Sendo a frequência do batimento:
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EXERCÍCIO 1
Uma bomba alternativa com 150 lb de peso está montada no meio de uma placa 
de aço de 0,5 in de espessura, 20 in de largura e 100 in de comprimento, presa 
por braçadeiras ao longo de duas bordas como mostra a figura. Durante a 
operação da bomba, a placa é sujeita a uma força harmônica, 
F(t)=50cos(62,832t) lb. Determine a amplitude de vibração da placa. 
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EXERCÍCIO 2
Um sistema massa mola consiste em uma massa que pesa 100 
N e uma mola cuja rigidez é 2000 N/m. A massa está sujeita a 
ressonância por uma força harmônica F(t)=25cos(ωt) N. 
Determine a amplitude do movimento forçado no final de 
(a) ¼ ciclo;
(b) 2 ½ ciclos;
(c) 5 ¾ ciclos.
 
23
RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO À 
FORÇA HARMÔNICA
– Se a função forçante for dada por
a equação do movimento será:
– A solução particular desta EDO é:
– Sendo X e φ a amplitude e o ângulo de fase respectivamente:
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO À 
FORÇA HARMÔNICA
– Conseguimos definir algumas variáveis:
a) frequência natural não amortecida
b) fator de amortecimento
c) deflexão sob força estática F0
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO À 
FORÇA HARMÔNICA
d) razão de frequências
– Simplificando as relações para X e φ: 
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO À 
FORÇA HARMÔNICA
– A resposta total do sistema é dada por:
– Tomando como exemplo um sistema subamortecido 
temos:
onde a frequência amortecida (ωd) é dada por:
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO À 
FORÇA HARMÔNICA
– Com X0 e φ0 encontrados pelas condições iniciais.
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO À 
FORÇA HARMÔNICA
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO À 
FORÇA HARMÔNICA
● Observações para a razão de frequências:
a) Para amortecimento nulo, M tende a infinito quando r tende a 1;
b) A presença de qualquer amortecimento reduz M;
c) Para qualquer valor de r, um valor mais alto de amortecimento 
reduz M;
d) Quando a força de excitação é constante, r=0 e M=1;
e) A redução de M na ressonância é significativo na presença de 
amortecimento;
f) Com valores maiores de r, M tende a zero;
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO À 
FORÇA HARMÔNICA
g) Para , o valor máximo de M ocorre quando: 
h) O valor máximo de X é dado quando , send dado 
por:
e o valor de X quando ω = ωn é: 
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO À 
FORÇA HARMÔNICA
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO À 
FORÇA HARMÔNICA
● Observações para o ângulo de fase:
a) Para o sistema não amortecido, o ângulo de fase é nulo para 0 < r 
< 1 e 180º para r > 1;
b) Para ζ > 0 e 0 < r < 1, o ângulo de fase é 0 < Φ < 90º em relação à 
excitação;
c) Para ζ > 0 e r > 1, o ângulo de fase é dado por 90º < Φ < 180º, o 
que implica na resposta adiantada em relação à excitação;
d) Para ζ > 0 e r = 1, o ângulo de fase é Φ = 90º;
e) Para ζ > 0 e valores grandes de r, o ãngulo de fase se aproxima de 
Φ = 180º. 
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO À 
F(t)=F0eiωt
– A equação do movimento é dada por:
sendo sua solução particular:
e
– Multiplicando o numerador e o denominador da equação 
anterior por: 
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO À 
F(t)=F0eiωt
temos:
– A expressão acima pode ser simplificada com auxílio das 
relações:
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO À 
F(t)=F0eiωt
chegando em:
– A solução em regime permanente é dada por:
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO À 
F(t)=F0eiωt● Resposta em frequência
– Podemos reescrever a equação que define X como:
na qual H(iω) é a resposta em frequência complexa do 
sistema. 
– O valor absoluto é:
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO À 
F(t)=F0eiωt
– Assim:
com
– Podemos escrever a solução da seguinte forma:
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO À 
F(t)=F0eiωt
– Se a força externa for uma cosenóide
a solução pode ser escrita como sendo:
onde Re denota a parte real da função.
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO À 
F(t)=F0eiωt
– Se a força externa for uma senóide
a solução pode ser escrita como sendo:
onde Im denota a parte imaginária da função.
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EXERCÍCIO 3
Considere um sistema massa-mola-amortecedor 
com k = 4000 N/m, m = 10 kg e c = 40 N.s/m. 
Determine a resposta em regime permanente e as 
respostas totais do sistema sob a força harmônica 
F(t)=200 cos(10t) N e as condições iniciais x0 = 0,1 m e 
velocidade inicial nula.
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EXERCÍCIO 4
Considere um sistema massa-mola-amortecedor 
com k = 4000 N/m, m = 10 kg e c = 40 N.s/m. 
Determine a resposta em regime permanente e as 
respostas totais do sistema sob a força harmônica 
F(t)=200 cos(10t) N e as condições iniciais x0 = 0 m e 
velocidade inicial de 10 m/s.
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO AO 
MOVIMENTO PERIÓDICO DE BASE 
– Considerando o sistema abaixo,
– Seja y (t) o deslocamento de base e x(t) o deslocamento da massa em 
relação a sua condição de equilÍbrio estático, então a elongação líquida 
da mola será (x - y) e a velocidade entre as duas extremidades do 
amortecedor (x’ – y’). 
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO AO 
MOVIMENTO PERIÓDICO DE BASE 
– A equação do sistema é:
– Considerando:
então:
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO AO 
MOVIMENTO PERIÓDICO DE BASE 
– A solução particular é dada por:
com
– Utilizando identidades trigonométricas:
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO AO 
MOVIMENTO PERIÓDICO DE BASE 
na qual X e φ saõ dados por: 
● A razão entre a amplitude da resposta (X) e do movimento 
de base (Y): (X/Y) é denominada trasmissibilidade de 
deslocamento. 
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO AO 
MOVIMENTO PERIÓDICO DE BASE 
– Se a excitação harmônica da base for dada na forma 
compléxica, como:
então:
e
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO AO 
MOVIMENTO PERIÓDICO DE BASE 
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO AO 
MOVIMENTO PERIÓDICO DE BASE
● Observações para a razão de frequências:
a) A transmissibilidade Td é unitária para r = 0;
b) Para um sistema não amortecido Td tende ao infinito na 
ressonância (r = 1);
c) O valor de Td é menor que a unidade para ;
d) O valor de Td = 1 para qualquer amortecimento ;
e) Para fatores de amortecimento menores levam a 
maiores Td e para valores menores de amortecimento 
levam a valores menores de Td; 
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO AO 
MOVIMENTO PERIÓDICO DE BASE
f) A transmissibilidade de deslocamento (Td) atinge valor máximo 
para 0 < ζ < 1 na razão de frequências r = rm dada por:
● Força Transmitida
– A força é transmitida para a base ou suporte devido as reações da 
mola ou amortecedor. Essa força pode ser determinada por:
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO AO 
MOVIMENTO PERIÓDICO DE BASE
– A força pode ser escrita, de acordo com segunda lei de 
Newton, como:
sendo FT/ky a transmissibilidade de força dada por:
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO AO 
MOVIMENTO PERIÓDICO DE BASE
● Movimento relativo
– Se z = x – y for o movimento da massa em relação a base, 
a equação do movimento é dada por:
– A solução em regime permanente da equação anterior é:
onde Z é a amplitude de z (t).
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO AO 
MOVIMENTO PERIÓDICO DE BASE
– Z é dada por:
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EXERCÍCIO 5
Uma máquina pesada com 3000 N de peso está 
apoiada sobre uma fundação resiliente. A deflexão 
estática da fundação devido ao peso da máquina foi 
determinada como 7,5 cm. Observa-se que a máquina 
vibra com amplitude de 1 cm quando a base é sujeita 
a vibração natural não amortecida do sistema com 
uma amplitude de 0,25 cm. Determine (a) a constante 
de amortecimento da fundação, (b) a amplitude da 
força dinâmica da base e (c) a amplitude do 
deslocamento da máquina em relação à base. 
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EXERCÍCIO 6
A hélice de um navio, com 105 N de peso e momento de inércia de massa 
polar de 10000 kgm² está ligada ao motor por meio de um eixo de hélice de 
aço oco escalonado, como é mostrado na figura. Supondo que a água provê 
um fator de amortecimento viscoso de 0,1, determine a resposta da hélice à 
vibração por torção quando o motor induzir um deslocamento angular 
harmônico de 0,05sen(314,16t) rad na base (ponto A) do eixo da hélice.
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO AO 
DESBALANCEMAENTO ROTATIVO
– O desbalanceamento em máquinas rotativas é um dos 
maiores causadores de vibrações.
– Um modelo é representado abaixo.
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO AO 
DESBALANCEMAENTO ROTATIVO
– A força de excitação tem como origem a força centrípeta das 
massas excêntricas (m) e é dada por:
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO AO 
DESBALANCEMAENTO ROTATIVO
– A equação que modela o movimento:
onde M é a massa da máquina.
– A solução em regime permanente é dada por:
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO AO 
DESBALANCEMAENTO ROTATIVO
– Nestas equações o fator de amortecimento e o 
amortecimento crítico são dados por:
– Além disso, podemos definir:
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO AO 
DESBALANCEMAENTO ROTATIVO
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO AO 
MOVIMENTO PERIÓDICO DE BASE
● Observações para a razão de frequências – movimento de base 
desbalancemaento rotativo:
a) O amortecimento tem grande influência na ocorrência da 
ressonância;
b) Para frequências muito alta da excitação, MX/me é próxima a 
unidade;
c) Para o máximo ocorre quando
e o valor é dado por 
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RESPOSTA DE UM SISTEMA AMORTECIDO AO 
MOVIMENTO PERIÓDICO DE BASE
d) Para , MX/me não atinge um valor máximo. O 
valor cresce de 0 quando r = 0 até a unidade quando r tende 
ao infinito. 
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EXERCÍCIO 7
O diagrama esquemático de uma turbina hidráulica Francis 
é mostrado na figura, no qual a água escoa de A, passa 
pelas pás B e desce até a pista de descarga C. O rotor tem 
massa de 250 kg e um desbalanceamento (me) de 5 kgmm. 
A folga radial entre o rotor e o estator é 5 mm. A turbina 
funciona na faixa de velocidade de 600 a 6000 rpm. 
Podemos admitir que o eixo de aço suporta o rotor. 
Determine o diâmetro do eixo de modo que rotor fique 
sempre afastado do estator em todas as velocidades de 
operação da turbina. Suponha que o amortecimento seja 
desprezível.
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EXERCÍCIO 7
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EXERCÍCIO 8
Um compressor de ar de um cilindro com 
100 kg de massa está montado sobre 
suportes de borracha. As constantes de 
rigidez e amortecimento dos suportes de 
borrachas são dadas por 106 N/m e 2000 
Ns/m, respectivamente. Se o 
desequilíbrio do compressor for 
equivalente à massa de 0,1 kg localizada 
na extremidade da manivela (ponto A), 
determine a resposta do compressor à 
velocidade da manivela de 3000 rpm . 
Suponha que r = 10 cm e l = 40 cm. 
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VIBRAÇÃO FORÇADA COM AMORTECIMENTO DE COULOMB
– Podemos escrever a equação abaixo para o modelo 
representado na figura.
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VIBRAÇÃO FORÇADA COM AMORTECIMENTO DE COULOMB
– Se a força de atrito atuante no sistema for grande 
comparada com com F0, a solução da equação se torna 
extremamente trabalhosa.
– Mas se a força de atrito forpequena em relação a F0, 
podemos considerar que o sistema em regime 
permanente seja, aproximadamente, harmônico. Então, 
podemos encontrar um coeficiente de armotecimento 
viscoso equivalente para determinar a solução da 
equação.
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VIBRAÇÃO FORÇADA COM AMORTECIMENTO DE COULOMB
– Para determinar o coeficiente de amortecimento equivalente (ceq), 
primeiramente, encontramos a energia dissipada por ciclo:
– Sabendo que a energia dissipada em um ciclo de amortecimento 
viscoso é dada por:
– Igualando as duas equações anteriores, temos:
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VIBRAÇÃO FORÇADA COM AMORTECIMENTO DE COULOMB
– A solução particular da equação do movimento é:
na qual X e Φ são dados por:
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VIBRAÇÃO FORÇADA COM AMORTECIMENTO DE COULOMB
– Podemos determinar ζeq:
– Substituindo nas equações anteriores:
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VIBRAÇÃO FORÇADA COM AMORTECIMENTO DE COULOMB
– Para que esta solução seja válida, a seguinte condição deve ser 
satisfeita:
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EXERCÍCIO 9
Um sistema massa mola com 10 kg de massa e uma 
rigidez de 4000 N/m vibra sobre uma superfície 
horizontal. O coeficiente de atrito é 0,12. Quando 
sujeito a uma força harmônica de frequência 2 Hz, 
constata-se que a massa vibra com amplitude de 40 
mm. Determine a amplitude da força harmônica 
aplicada à massa.
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EXERCÍCIO 10
Um sistema com amortecimento de Coulomb 
apresenta um fator de amortecimento equivalente 
de 0,3, uma massa de 20 kg e rigidez de 2000 N/m. O 
sistema é excitado por uma força harmônica de 
500sen(120t) N. Encontre o coeficiente de atrito e a 
resposta do sistema. 
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VIBRAÇÃO FORÇADA COM AMORTECIMENTO POR 
HISTERESE
– A equação do movimento é dada por:
– Sendo sua solução particular:
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VIBRAÇÃO FORÇADA COM AMORTECIMENTO POR 
HISTERESE
– As constantes X e Φ são: 
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EXERCÍCIO 11
Uma carga de 5000 N provocou um deslocamento estático de 
0,05 m em uma estrutura composta. Constata-se que uma 
força harmônica de amplitude de 1000 N causa uma 
amplitude de ressonância de 0,1 m. Determine:
a) a constante de amortecimento por histerese da estrutura;
b) a energia dissipada por ciclo de ressonância;
c) a amplitude em regime permanente a um quarto da 
frequência de ressonância;
d) a amplitude em regime permanente a três vezes a 
frequência de ressonância.
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AUTOEXCITAÇÃO
– A autoexcitação ocorre quando o próprio movimento 
provoca a força excitadora.
– Exemplos disso são o escoamento em tubos, vibrações 
em pneus de automóveis, vibrações em pontos por 
fenômenos aerodinâmicos, tremulação de pás de 
trubinas e hélices, entre outros. (Vídeo do vortex de Von Karman)
– Quando um sistema é autoexcitado ele se torna 
dinamicamente instável, ou seja, a amplitude do 
movimento aumenta ao longo do tempo.
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LISTA DE EXERCÍCIOS
● Exercícios (RAO)
3_2; 3_5; 3_7; 3_17; 3_21; 3_25; 3_26; 3_32; 3_35; 3_38; 3_43; 
3_53; 3_64; 3_76; 3_77.
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BIBLIOGRAFIA
● RAO, Singiresu. Vibrações mecânicas. 4ª ed. 
Pearson, 2009. SP.
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