Treliças: Análise e Classificação

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Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) 
Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com 
 
 
Centro de Educação Superior de Brasília 
Centro Universitário Instituto de Educação Superior de Brasília 
Curso: Engenharia Civil 
Professor: Douglas Esteves 
 Disciplina: Mecânica 
Análise Estrutural 
Treliças 
 
São estruturas lineares constituídas por barras retas, dispostas de modo a formar painéis 
triangulares. São usadas para vários fins, entre os quais, vencer pequenos, médios e grandes vãos. 
Pelo fato de usar barras articuladas e de se considerar pesos suportados colocados nos nós essas 
barras funcionam principalmente à tração e compressão. 
Os principais elementos que compõem as treliças são: 
 
- Corda ou banzo: conjunto de barras que limitam superiormente ou inferiormente a treliça; 
- Montante: barra vertical das treliças; 
- Diagonal: barra com o eixo coincidente com a diagonal de um painel; 
- Painel: trecho compreendido entre dois alinhamentos consecutivos de montantes. 
- Nó: ponto de encontro e junção das extremidades das barras; 
- Tesoura: treliça de banzos não paralelos, destinada ao suporte de uma cobertura. 
 
 
 
Estruturas do século passado e do início deste século – como pontes metálicas, ferrovias usaram 
muito este tipo de estrutura. As treliças são usadas hoje também como estrutura de cobertura, torres de 
transmissão elétrica e também em equipamentos da construção civil como lanças de guindastes. 
 
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Classificação das Treliças 
 
1. Quanto à Estaticidade 
 
Quanto à estaticidade uma treliça, como qualquer outra estrutura, pode ser: 
- Isostática; 
- hiperestática; 
- hipostática. 
As incógnitas do problema são em número de (r + b), sendo “r”o número de reações de apoio e 
“b”o número de barras e portanto, o número de forças normais internas a determinar. 
Por outro lado, as equações de equilíbrio são em número de duas por nó. Somatório de forças 
horizontais (ΣFh= 0) e somatório de forças verticais (ΣFv= 0) , logo, o número total de equações de 
equilíbrio será igual a “2n”.Como vimos três casos podem ocorrer: 
 Desta forma, podemos classificá-las da seguinte maneira: 
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Condições para obtenção de uma treliça isostática: 
 
1. equilíbrio Estável (Restringida, nós indeslocáveis); 
2. número de incógnitas (*) igual ao número de equações de equilíbrio da estática (**). 
 
* O número de incógnitas é dados por: 
- número de reações (r) + número de barras (b). 
(Incógnitas Externas) (Incógnitas Internas) 
 
** Número de equações de equilíbrio é o resultado do: 
- número de nós (n) x 2 (o valor é multiplicado devido a existência de uma equação no eixo x e outra no 
y). 
 
Treliça Hiperistática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒕𝒆𝒎𝒐𝒔: 𝒓 + 𝒃 > 𝟐𝒏 
 
 
Treliça isostática 
 
 
𝑟 + 𝑏 = 3 + 9 = 12 
2𝑛 = 2 . 6 = 12 
𝒕𝒆𝒎𝒐𝒔: 𝒓 + 𝒃 = 𝟐𝒏 
 
 
 
 
 
 
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Treliças Hipostáticas 
 
 
 
𝑟 + 𝑏 = 3 + 9 = 12 
2𝑛 = 2 . 7 = 14 
𝒕𝒆𝒎𝒐𝒔: 𝒓 + 𝒃 < 𝟐𝒏 
 
 
 
 
As treliças podem ser planas ou espaciais de acordo com a distribuição de seus elementos 
segundo um mesmo plano ou em planos distintos, respectivamente. 
 
Treliças Planas 
Denomina-se treliça plana, o conjunto de elementos de construção (barras redondas, chatas, 
cantoneira) que são interligados entre si, sob forma geométrica triangular, através de pinos, soldas, 
rebites ou parafusos e que visam formar uma estrutura rígida, com a finalidade de resistir a esforços 
somente a normais. 
 O nome treliça plana deve-se ao fato de todos os elementos do conjunto pertencerem a um único 
plano e esse sistema estrutural é muito aplicado em pontes, viadutos, coberturas, guindastes, torres, 
etc. 
 
Treliça plana de aço. 
 
 
 
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Treliças planas no prédio da Economia na Unicamp. 
 
Tratando-se de uma treliça que cobre um grande vão ela deve ser apoiada por grandes pilares de 
concreto para garantir sua segurança estrutural. A junção entre a treliça e o pilar pode ser observada 
com detalhes na figura abaixo. 
 
União entre treliças e pilar. 
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Treliças Espaciais 
 
- Definição 
 
Por sua vez, a treliça espacial (ou estrutura reticulada tridimensional) consegue responder 
muito bem a uma ação localizada e também distribuir de forma bastante eficaz os esforços entre os seus 
elementos (barras e nós) em conseqüência da interconexão entre os mesmos. 
Uma treliça espacial é uma estrutura metálica de aço ou alumínio que utiliza a forma básica de 
um triângulo, única forma indeformável, para criar um conjunto tridimensional de alta eficiência 
estrutural. Suas barras e nós suportam cargas axiais e têm a capacidade de distribuí-las no espaço, 
criando um sistema eficiente quando calculado de maneira apropriada. 
 Esse sistema funciona de modo que quando um membro atinge sua capacidade máxima, os 
demais suportam cargas adicionais, fazendo com que o sistema funcione de maneira integrada. As 
treliças geradas a partir do módulo piramidal podem ter bases retangulares ou quadradas, enquanto as 
tetraédricas podem ser de base triangular eqüilátera ou isósceles. 
 
As principais vantagens de se usar treliças espaciais são: 
 
- Possibilita a implantação de grandes vãos livres e apresenta beleza arquitetônica. O que explica 
o fato da maioria das vezes, optar-se por deixar a estrutura aparente (sem forro); 
- Possui relação entre peso próprio e vão livre bastante vantajosa; 
- São de fácil montagem, transporte e fabricação; 
 - Possibilita ampliação e desmontagem relativamente fácil da estrutura; 
 - Permite a reposição de elementos sem comprometer a estabilidade da estrutura; 
- São estruturas de elevado grau de hiperestaticidade (redundância estrutural). Desta forma um 
eventual dano em qualquer um dos elementos não significará, necessariamente, o colapso de toda a 
estrutura; 
- Grande repetição de elementos e nós para grandes vãos, diminuindo o custo da estrutura em 
comparação com as demais; 
- Beleza arquitetônica e flexibilidade quanto à disposição dos pilares; 
 
Entre os segmentos que utilizam as estruturas treliçadas, destacam-se: 
- Centros de Convenção; 
- Terminais Aeroportuários; 
- Terminais de Metrô; 
- Terminais Rodoviários; 
- Ginásios de Esportes; 
- Shopping Centers; 
- Hipermercados;- Centro de Distribuição; 
- Indústrias; 
- Galpões de lojas de revendas de Automóveis. 
 
 
 
 
 
 
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Treliça Espacial Plana para cobertura de grandes vãos. 
 
 
 
 
Treliça Espacial Plana para estruturas de cobertura e fechamento lateral. 
 
 
 
 
 
 
Treliça Espacial em Arco para cobertura de grandes vãos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Estrutura do telhado do Senac em Santos-SP 
 
 
 Clube dos Diários – Fortaleza - CE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Fabrica da GRENDENE - Sobral - CE - Malha espacial em alumínio 
 
Ligação entre barras: Nós 
 
Um fator importante a ser levado em consideração no estudo das treliças são os nós utilizados na 
união das barras. Os mesmos devem apresentar estabilidade sem, contudo, falhar no quesito estético. 
Ao longo dos anos vários tipos de nós vem sendo utilizados na fabricação de treliças, mas alguns foram 
eliminados por apresentarem falhas no comportamento estrutural ou por serem esteticamente 
desfavoráveis. 
Atualmente, os principais tipos de nós utilizados nas treliças são: os nós cruzados, onde os eixos 
de todas as barras convergem para o centro da esfera de maneira direta, o que os tornam perfeitos 
tanto estrutural quanto esteticamente; os nós “cruzetas”, que são formados por chapas metálicas planas 
que são interligadas e montadas em planos diferentes, pertencentes aos planos de trabalho referentes a 
cada barra. Estes não são tão favoráveis estruturalmente, porém são mais econômicos, de fácil 
fabricação e estética razoável. 
 
 Nó esférico tipo Mero 
 
 
 
 
 
 
 
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Nó em cruzeta de chapas. 
 
 
Detalhe de um dos nós da treliça espacial do ginásio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Método dos nós 
 
Para analisar ou projetar, é necessário determinar a força em cada um de seus membros. Uma 
maneira de fazer isso é usar o método dos nós. Esse método se baseia no fato de que a treliça inteira 
está em equilíbrio, então cada um de seus nós também estão em equilíbrio. Portanto, se o diagrama de 
corpo livre de cada nó é desenhado, as equações de equilíbrio de força podem ser usadas para obter as 
forças do membro agindo sobre cada nó. 
Como os membros de uma treliça plana são membros retos de duas forças situadas em um único 
plano, cada nó está sujeito a um sistema que é coplanar e concorrente. Como resultado, apenas 
∑ 𝐹𝑥 = 0 𝑒 ∑ 𝐹𝑦 = 0 precisam ser satisfeitos para o equilíbrio. 
 
Procedimento para análise 
 
- desenhe o DCL de um nó tendo pelo menos uma força conhecida e no máximo duas forças 
incógnitas. 
- Se esse nó estiver em um dos apoios, então pode ser necessário primeiro calcular as reações 
externas no apoio. 
- Desse modo, a aplicação de _Fx = 0 e _Fy = 0 produz duas equações algébricas que podem ser 
resolvidas para as duas incógnitas. Ao aplicar essas equações, o sentido correto de uma força de 
membro desconhecida pode ser determinado. 
- O sentido correto da direção de uma força do membro incógnito pode, em muitos casos, ser 
determinado ‘por observação’. 
- Em casos mais complexos, o sentido de uma força do membro incógnito pode ser assumido. 
- Uma vez que uma força de membro incógnito é encontrada, use sua intensidade e sentido 
corretos no diagrama de corpo livre do nó subsequente. 
- considere que as forças do membro incógnito que atuam no diagrama estão sempre sob tração, 
ou seja, as forças puxam o pino. Dessa forma a solução produzirá escalares positivos, se o resultado for 
negativo indica que o membro está sendo comprimido. 
 
Exemplo: 
 
Determine a força em cada membro da treliça mostrada na figura abaixo e identifique os membros que 
estão sob tração ou compressão. 
 
 
 
1º) desenhamos o DCL e observamos as forças que agem no 
nó B. 
 
 
 
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Os efeitos são claramente demonstrados isolando-se o nó com pequenos segmentos do membro 
conectados ao pino. 
 
Aplicando as equações de equilíbrio temos: 
 
∑ 𝐹𝑥 = 0 ; 500𝑁 − 𝐹𝐵𝐶 . 𝑠𝑒𝑛 45º = 0 → 𝐹𝐵𝐶 = 
500
𝑠𝑒𝑛 45º
 = 707,1 𝑁 ( 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜) 
 
∑ 𝐹𝑌 = 0 ; 𝐹𝐵𝐶 . cos 45º − 𝐹𝐵𝐴 = 0 → 𝐹𝐵𝐴 = 707,1 . cos 45 → 𝐹𝐵𝐴 = 500𝑁 ( 𝑡𝑟𝑎çã𝑜) 
 
Neste caso temos que FBC empurra o pino B pois sua componente horizontal deve equilibrar com a força 
de 500N e sua componente vertical tem que equilibrar com a força FBA. 
 
Agora precisamos saber o valor de AC, para isso fazemos um DCL para o nó C. 
 
 
Aplicamos as equações de equilíbrio e temos: 
 
∑ 𝐹𝑥 = 0 ; − 𝐹𝐶𝐴 + 707,1 . cos 45º = 0 → 𝐹𝐶𝐴 = 500 𝑁 ( 𝑡𝑟𝑎çã𝑜 ) 
 
∑ 𝐹 𝑉 = 0 → 𝐶𝑦 − 707,1 . 𝑠𝑒𝑛 45 = 0 → 𝐶𝑦 = 500𝑁 =0 ; 
 
Assim temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2) Determine a força em cada membro da treliça na figura abaixo e indique se os membros estão sob 
tração ou compressão. 
 
Solução: 
 
1º)Começamos pelo nó C pois ele tem uma força conhecida e 
duas desconhecidas. Observando verificamos que os membros 
em C estão sob compressão. 
 
Nó C. 
Fazemos um DCL para este nó. 
 
 
 
 
 
 
 
2º) Usamos as equações de equilíbrio para o nó C 
 
∑ 𝐹𝑉 = 0 → 𝐹𝐵𝐶 . 𝑠𝑒𝑛 45 − 400 = 0 → 𝐹𝐵𝐶 = 
400
𝑠𝑒𝑛 45
 → 𝑭𝑩𝑪 = 𝟓𝟔𝟓, 𝟕 𝑵 ( 𝐶 ) 
 
∑ 𝐹𝑥 = 0 → 𝐹𝐶𝐷 − 𝐹𝐵𝐶 . cos 45º = 0 → 𝐹𝐶𝐷 = 𝐹𝐵𝐶 . cos 45 → 𝑭𝑪𝑫 = 𝟒𝟎𝟎𝑵 ( 𝐶) 
 
3º) Agora analisamos o nó D 
 
 
 Consideramos as força no DCL e colocamos um sistema de coordenadas 
x-y de modo que o eixo x esteja direcionado ao longo de FAD. Assim temos: 
 
 
 ∑ 𝐹𝑉 = 0 → −𝐹𝐶𝐷 . 𝑠𝑒𝑛 30º − 𝐹𝐴𝐷 . 𝑠𝑒𝑛 15º = 0 → 
 
 
→ −400 . 0,5 = 𝐹𝐴𝐷 . 𝑠𝑒𝑛 15º → 𝐹𝐴𝐷 = 
−200
𝑠𝑒𝑛 15º
 → 𝑭𝑨𝑫 = −𝟕𝟕𝟐, 𝟕 𝑵(𝑪) 
 
 ∑ 𝐹𝑥 = 0 → −𝐹𝐶𝐷. cos 30º + 𝐹𝐵𝐷 + 𝐹𝐴𝐷 . cos 15º = 0 → 
 
→ −400 . 0,87 + 𝐹𝐵𝐷 + (−772,7). 0,966 = 0 → −348 + 𝐹𝐵𝐷 − 746,43 = 0 → 𝑭𝑩𝑫 = −𝟏𝟎𝟗𝟒, 𝟒𝟑 𝑵 
 
OBS: O sinal negativo em FAD indica que é uma força de compressão. 
 
 
 
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Analisando o nó A 
 
 
 ∑ 𝐹𝑋 = 0 → 𝐹𝐴𝐵 = 772,74 . cos 45º → 𝑭𝑨𝑩 = 𝟓𝟒𝟔, 𝟒𝟏 𝑵 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Membros de força zero 
Os membros de força zero são usados para aumentar a estabilidade da treliça durante a 
construção e para fornecer um apoio adicional se o carregamento for alterado. 
Em geral, os membros de força zero de uma treliça podem ser determinados por observação de 
cada um dos nós. 
Temos duas regras para identificar os membros de força zero em uma treliça. 
1º) Se não tem nenhuma força atuando diretamente sobre o nó e o nó apresenta três barras 
concorrentes e onde duas barras são colineares ( mesma linha), essas apresentam forças internas , 
porém a terceira barra que é perpendicular as outras duas não tem esforço interno logo ela é uma barra 
de força zero. 
 
 
Neste caso a barra FGC é uma barra de esforço zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º) Se não tem nenhuma força atuando diretamente sobre o nó e o nó apresenta duas barras 
concorrentes , independente do ângulo formado entre elas as duas barras não apresentam esforços 
internos logo são consideradas membros de força zero.Por exemplo: No nó A teremos 
 
 
 
 
 
 
 
 
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De modo semelhante, considere o 
diagrama de corpo livre do nó D: 
 
 
 
A partir dessas observações, podemos concluir que, se apenas dois membros formam um nó de 
treliça e nenhum peso externo ou reação de suporte é aplicado ao nó, os dois membros só podem ser 
membros de força zero. 
O peso sobre a treliça na figura é, portanto, sustentado por apenas cinco membros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo: 
 
Usando o método dos nós, determine todos os membros de força zero da treliça de telhado 
mostrado na figura. Considere que todos os nós são conectados por pinos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
Para determinar os membros de força zero devemos procurar nós que tenham três membros 
para os quais dois sejam colineares. Assim temos: 
 
Nó G 
 
 
 
∑ 𝐹𝑉 = 0 ; 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑭𝑮𝑪 = 𝟎 
 
 
 
 
 
Nó D 
 
 
 
 
 
∑ 𝐹𝑥 = 0 ; 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑭𝑫𝑭 = 𝟎 
 
 
 
 
 
 
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Nó F 
 
 
 
∑ 𝐹𝑣 = 0 → 𝐹𝐹𝐶 . cos 𝜃 = 0 , 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝜃 ≠ 90º , 𝐹𝐹𝐶 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1) Determine a força em cada membro da treliça e indique se os membros estão sob tração ou 
compressão. 
 
 𝑭𝑫𝑪 = −𝟏𝟑𝟑𝟔, 𝟕𝑵 ( 𝑪 ) 
 𝑭𝑫𝑬 = 𝟏𝟏𝟗𝟒, 𝟓 𝑵 ( 𝑻) 
𝑭𝑪𝑬 = 𝟎 
𝑭𝑪𝑩 = −𝟏𝟑𝟑𝟔, 𝟕 𝑵 (𝑪) 
𝑭𝑬𝑨 = 𝟐𝟏𝟎𝟎𝑵(𝑻) 
𝑭𝑬𝑩 = −𝟏𝟐𝟕𝟐, 𝟖 𝑵 ( 𝑪 ) 
 
 
 
 
 
 
 
2) A treliça é usada para sustentar um balcão está sujeita às cargas mostradas. Considere cada nó como 
um pino e determine a força em cada membro. Indique se os membros estão sob tração ou 
compressão. (Considere P1 = 3 KN e P2 = 2 KN). 
 
𝑭𝑨𝑫 = −𝟒, 𝟐𝟒 𝑲𝑵(𝑪) 
𝑭𝑨𝑩 = 𝟑𝑲𝑵 ( 𝑻) 
𝑭𝑩𝑪 = 𝟑 𝑲𝑵 ( 𝑻 ) 
𝑭𝑩𝑫 = −𝟐𝑲𝑵 (𝑪 ) 
𝑭𝑫𝑬 = −𝟖𝑲𝑵 (𝑪) 
𝑭𝑪𝑫 = 𝟕, 𝟎𝟕 𝑲𝑵 (𝑻) 
 
 
 
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3) Determine as forças que atuam em todos os elementos da treliça mostrada na figura e indique se os 
elementos estão sob tração ou compressão. 
 
 
 
 
 
 
4) Utilizando o método dos nós determine a força atuante em cada barra da treliça. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5) Determinar as forças normais nas barras da treliça dada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Determinar as forças normais nas barras da treliça dada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8) Determine a força em cada membro da treliça e diga se os membros estão sob tração ou 
compressão. Faça P1 = 2KN e P2 = 1,5 KN. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O método das seções 
Quando precisamos encontrar a força em apenas alguns membros de uma treliça, podemos 
analisar a treliça usando o método das seções. 
Este método se baseia no princípio de que se uma treliça está em equilíbrio, então qualquer 
segmento dela também está em equilíbrio. Por exemplo, considere os dois membros de treliça 
mostrados no lado esquerdo dessa Figura: 
 
Claramente pode-se ver que membros sob tração 
estão sujeitos a forças de tração internas e que membros 
sob compressão estão sujeitos a forças de compressão 
internas (ao cortar e manter o equilibrio). 
 
Portanto, o método das seções também pode ser 
usado para ‘cortar’ ou seccionar os membros de uma 
treliça inteira. 
 
Como apenas três equações de equilíbrio 
independentes podem ser aplicadas ao diagrama de 
corpo livre de qualquer segmento (∑Fx = 0, ∑Fy = 0, 
∑MO = 0), então, tentaríamos escolher uma seção que 
passe por não mais que três membros em que as forças 
são desconhecidas. 
 
 
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considere a treliça na figura abaixo onde queremos determinar as forças em BC, CG e FG, Cortamos 
segundo a-a. 
 
 
Os diagramas decorpo livre dos dois segmentos são mostrados nas Figuras a seguir: 
 
O sentido correto de uma força de membro desconhecida pode, em muitos casos, ser 
determinado ‘por observação’. Em casos mais complicados, o sentido de uma força de membro 
desconhecida pode ser assumido. 
 
Procedimentos para análise 
 
- Diagrama de corpo livre 
 
- Decida sobre como ‘cortar’ ou seccionar a treliça através dos membros onde as forças devem ser 
determinadas. 
 
- Antes de isolar a seção apropriada, pode ser necessário primeiro determinar as reações de apoio da 
treliça. 
 
- Desenhe o diagrama de corpo livre do segmento da treliça seccionada que possui o menor número de 
forças agindo. 
 
 - Use um dos dois métodos descritos anteriormente para estabelecer o sentido das forças de membro 
desconhecidas. 
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Exemplo de aplicação: 
 
1) Determine a força nos membros GE, GC e BC da treliça e indique se os membros estão sob 
compressão ou tração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A seção a-a na figura foi escolhida porque ela atravessa os três membros cujas forças devem ser 
determinadas. 
 Para usar o método das seções, no entanto é necessário primeiro determinar as reações de apoio 
A e D. 
 
Fazendo um DCL da treliça temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aplicando as equações de equilíbrio temos: 
 
 
 ∑ 𝐹𝑥 = 0 → −𝐴𝑥 + 400 = 0 → 𝑨𝒙 = 𝟒𝟎𝟎𝑵 
 
 
 ∑ 𝑀𝑨 = 𝟎 → −1200. (8) − 400. (3) + 𝐷𝑦. (12) = 0 → 𝐷𝑦 = 
9600+1200
12
 → 𝐷𝑦 = 
10800
12
 → 𝑫𝒚 = 𝟗𝟎𝟎 𝑵 
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∑ 𝐹𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 − 1200 + 𝐷𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 = 1200 − 900 → 𝑨𝒚 = 𝟑𝟎𝟎 𝑵 
 
 
 
Cortando a treliça e analisando o lado esquerdo do corte temos: 
 
 
 
Aplicando o somatório dos momentos para o ponto G eliminamos FGE e FCG e encontramos o valor de 
FBC. 
 
∑ 𝑀𝐺 = 0 → −300. (4) − 400. (3) + 𝐹𝐵𝐶 . (3) = 0 → 𝑭𝑩𝑪 = 𝟖𝟎𝟎 𝑵 (𝑻) 
 
 
 
Da mesma forma, somando os momentos em relação ao ponto C, obtemos uma solução direta para FGE . 
 
∑ 𝑀𝐶 = 0 → −300. (8) + 𝐹𝐺𝐸 . (3) = 0 → 𝑭𝑮𝑬 = 𝟖𝟎𝟎𝑵 (𝑪) 
 
,𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑟 𝑜 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑑𝑒 300 𝑁 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎 𝐶. 
 
Agora para encontrar o valor de FGC usamos o somatório das forças verticais. 
 
∑ 𝐹𝑉 = 0 → 300𝑁 − 
3
5
𝐹𝐺𝐶 = 0 → 𝑭𝑮𝑪 = 𝟓𝟎𝟎 𝑵 ( 𝑻) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios: 
9) Determine a força nos membros JK, CJ e CD da treliça e indique se os membros estão sob 
compressão ou tração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) A treliça de ponte está sujeita ao carregamento mostrado. Determine as forças nos membros HD, CD 
e GD e indique se os membros estão sob tração ou compressão. 
 
 
11)A treliça de ponte está sujeita ao carregamento mostrado. Determine as forças nos membros HI, HB 
e BC e indique se os membros estão sob tração ou compressão. 
 
 
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12)Determine a força nos membros BC, CG e GF da treliça. Indique se os membros estão sob tração ou 
compressão. 
 
 
 
 
 
 
13)Determine a força nos membros CD, CF e FG da treliça. Indique se os membros estão sob tração ou 
compressão. 
 
 
 
 
 
 
Estudo de Máquinas e Estruturas 
 
Estruturas e máquinas são dois tipos de montagens frequentemente compostas por elementos de 
múltiplas forças e conectadas por pinos. 
_ A análise de estruturas e máquinas é realizada com a aplicação das equações de equilíbrio de forças e 
momentos. 
 
Equações de Equilíbrio 
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Exemplos de Máquinas e Estruturas 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos de Aplicação: 
 
1) Determine os componentes horizontal e vertical da força que o pino 
em C exerce no elemento 
CB da estrutura mostrada. 
Solução: 
 
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Traçamos o DCL da figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) A viga mostrada na figura é conectada por um pino em B. Determine as reações em seus apoios. 
Despreze o peso e a espessura da viga. 
 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Polias ou Roldanas 
 
São dispositivos que têm por função mudar a direção e o sentido (mas mantendo a intensidade) da 
força que traciona ou tensiona um fio ou uma corda ou podem ser usadas para aumentar ou diminuir a 
intensidade de uma força. Podem ser fixas ou móveis: 
1 – Polia fixa 
Muda a direção e sentido de uma força, mantendo sua intensidade. Está presa a um suporte rígido, fixo 
e executa apenas movimento de rotação, não de translação. 
Exemplos: 
- Na figura 1, a força aplicada pelo homem que tem direção vertical e sentido para baixo passa a agir sobre o 
bloco na direção horizontal e sentido para a direita, mas com a mesma 
intensidade. 
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 Na figura 2, passa de vertical e para baixo (aplicada pelo homem) para vertical e para cima (agindo sobre o 
bloco). 
 Figura 2 Figura 3 
 
 
 
 
 
 
Nas figuras 2 e 3, se os blocos estiverem em equilíbrio, a intensidade da força aplicada é sempre igual 
ao peso do bloco. Observe que, se o homem puxar a corda de 1 metro, cada bloco também se deslocará de 1 
metro. 
Polia móvel 
Observe a figura abaixo. Se a intensidade do peso do bloco é P, você consegue equilibrá-lo aplicando 
na extremidade direita da corda uma força de apenasP/2 porque os outros P/2 que estão faltando estão 
aplicados no teto, onde está presa a extremidade esquerda da corda. 
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Assim, uma polia móvel consegue aumentar ou diminuir a intensidade de forças, mas tem a 
inconveniência de diminuir o deslocamento do corpo, ou seja, se sua mão subir de 2 metros, o bloco subirá 
metade, apenas 1 metro. 
 Associação de polias 
a) Uma polia fixa e outra móvel 
A polia de cima, fixa, não interfere no valor da força aplicada pela pessoa, serve apenas para sua 
comodidade, levantando o bloco ao puxar o fio para baixo. 
 
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A polia de baixo, móvel, reduz à metade a força aplicada pela pessoa (metade do peso do bloco). 
Lembre-se de que, se a pessoa puxar o fio de uma distancia d, o bloco subirá d/2. 
 b) Uma polia fixa e várias polias móveis (talha exponencial) 
Na figura abaixo, onde temos 3 polias móveis e uma fixa, o bloco 
de peso P é mantido em equilíbrio pela pessoa. Observe que a força que a 
pessoas aplica tem intensidade 8 vezes menor que o peso do bloco e que 
cada polia móvel reduz pela metade a força aplicada nela. Esse tipo de 
associação é chamado de talha exponencial e a força exercida pela pessoa, 
se tivermos n polias móveis, corresponde a 2
n
 do peso do bloco com 
n=1,2,3... . 
 
Assim, se o bloco da figura acima tiver peso de 80N, a pessoa deve fazer 
uma força de apenas 10N para mantê-lo em equilíbrio, mas, se ele puxar a 
corda de 1m, o bloco subirá apenas 0,125m (8 vezes menor). 
 
 Exercícios: 
 
14) Determine a força P necessária para manter o peso de 100 Kg em equilíbrio. 
 
 
 
𝑻𝑷 = 𝟏𝟐𝟐, 𝟔𝟐𝟓 𝑵 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) Determine a força P necessária para manter o peso de 150 Kg em equilíbrio. 
 
 
𝑻𝑷 ≅ 𝟑𝟔𝟖 𝑵 
 
 
 
 
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16) Determine a força P necessária para manter o bloco de 10 Kg em equilíbrio. 
 
 𝑷 = 
𝟗𝟖, 𝟏
𝟒
= 𝟐𝟒, 𝟓𝟐 𝑵 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17) Se o pino em B é liso, determine as componentes da reação no pino A e no apoio fixo C. 
 
 
 
 
𝑵𝑩 = 𝟏𝟏𝟐𝟓𝑵 
𝐴𝑥 = 𝟕𝟗𝟓, 𝟓 𝑵 
𝐴𝑦 = 𝟕𝟗𝟓, 𝟓 𝑵 
𝐶𝑥 = 𝟕𝟗𝟓, 𝟓 𝑵 
𝐶𝑦 ≅ 𝟏𝟑𝟎𝟎𝑵 
 𝑪𝒙 = 𝟏𝟐𝟓𝟒, 𝟔𝑵 
 
 
 
18) a viga composta é sustentada por pinos em C e por roletes em A e B. Existe uma dobradiça (pino) em D. 
Determine as componentes da reação nos apoios. Despreze a espessura da viga. 
 
 
 
𝑨𝒚 ≅ 𝟒𝟖 𝑲𝑵 
 
𝑫𝒚 = 𝟗, 𝟑𝟐 𝑲𝑵 
 
 𝑫𝒙 = 𝟏𝟎𝑵 
 
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 𝑩𝒚 = 𝟒𝟏, 𝟏 𝑲𝑵 
 𝑪𝒙 = 𝟒𝟔 𝑲𝑵 
 
 𝑪𝒚 = 𝟏𝟔, 𝟐 𝑲𝑵 
 
 
19) a viga composta é sustentada por um apoio oscilante em B e está fixada na parede em A. Se ela está 
conectada em C através de dobradiça ( pino), determine as componentes de reação nos apoios. Despreze a 
espessura da viga. 
 
 
 𝑪𝑿 = 𝟎, 𝟓 𝑲𝑵 
 𝑩𝒚 = 𝟐, 𝟓𝟕 𝑲𝑵 
𝑪𝒚 = −𝟏, 𝟕𝟏 𝑲𝑵 
𝑨𝒙 = 𝟎, 𝟒𝟔𝟐 𝑲𝑵 
𝑨𝒚 = 𝟎, 𝟓𝟗𝟕 𝑲𝑵 
 𝑴𝑨 = 𝟏, 𝟏𝟏𝟒 𝑲𝑵 . 𝒎