EXERCÍCIO RESOLVIDO DE ISOSTÁTICA (01)

Prévia do material em texto

AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
 
 
 
 
AULA 
ATIVIDADE 
TUTOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
Professor(a): Gabriel Trindade Caviglione 
Semestre: 5º/6º 
Disciplina: Estruturas Isostáticas 
Unidade de Ensino: 2 
Competência(s): Conhecer os fundamentos da estrutura isostática tipo treliça, 
capacitando o aluno para a avaliação da estaticidade dessas estruturas e solução de 
problemas envolvendo treliças isostáticas biapoiadas (cálculo das reações de apoio e das 
forças axiais nas barras). 
Conteúdos: Treliças isostáticas. Estaticidade de treliças. Método de Ritter. Treliças 
complexas. Treliças espaciais. 
Teleaula: 2 
 
Título: Estruturas Isostáticas – Treliças Isostáticas. 
 
 
Prezado(a) Tutor(a), 
 
Segue a Aula Atividade proposta: 
A aula atividade tem a finalidade de promover o autoestudo das competências e conteúdos 
relacionados à Unidade de Ensino “Treliças Isostáticas”. Ela terá a duração de 2 horas e 40 
min e está organizada em atividades a serem desenvolvidas pelo aluno individualmente, 
envolvendo exercícios, pesquisas e discussões. 
 
Avaliação de resultados de aprendizagem 
 
Questão 1. As treliças são estruturas leves, altamente resistentes e bastante versáteis, 
sendo extensivamente utilizadas em diversos projetos estruturais. A respeito dessa 
estrutura, assinale a alternativa INCORRETA: 
a) Consiste em um sistema reticulado cujas barras possuem todas as suas extremidades 
rotuladas. 
b) Em uma treliça ideal, as cargas devem ser comente concentradas e aplicadas nos 
nós. 
c) As barras de uma treliça são responsáveis por suportar os efeitos internos da 
estrutura (momento fletor e torsor). 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
d) Podem ser divididas em simples, compostas e espaciais. 
e) As treliças compostas são aquelas formadas por duas ou mais treliças simples. 
Gabarito 
a) Alternativa correta. 
b) Alternativa correta. 
c) Alternativa incorreta. As barras de uma treliça são responsáveis por suportar os 
efeitos internos da estrutura (tração e compressão). 
d) Alternativa correta. 
e) Alternativa correta. 
 
Questão 2. Os esforços axiais das barras de uma treliça podem ser determinados através 
do Método de Ritter. A respeito desse método, avalie as proposições abaixo. 
I – O Método de Ritter também é conhecido como Método dos Nós. 
II – É utilizado quando se deseja conhecer os esforços internos de algumas barras de 
interesse da treliça, e não todas. 
III – Consiste em seccionar a treliça em duas partes, passando pela barra de interesse 
e, no máximo, mais duas (não concorrentes nem paralelas). 
IV – Nesse método, as barras seccionadas são vetores de força cujos valores são 
determinados pelas equações de equilíbrio. 
Assinale a alternativa correta: 
a) Somente a proposição I está correta. 
b) Somente as proposições I e II estão corretas. 
c) Somente as proposições II e III estão corretas. 
d) Somente as proposições II, III e IV estão corretas. 
e) Todas as proposições estão corretas. 
Gabarito 
A alternativa correta é a (D) Somente as proposições II, III e IV estão corretas. 
Correção da proposição incorreta: 
I – O Método de Ritter também é conhecido como Método das Secções. 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
Questão 3. Descreva o conceito básico da formação de treliças ideais. Explique quais 
esforços surgem nestas barras. Discorra sobre quais estruturas são mais eficientes, 
comparando treliças e vigas. 
GABARITO 
As treliças são formas por barras conectadas em um único nó, de tal forma que esta 
conexão é considera articulada, não transmite momentos fletores entre as barras. Nas 
treliças estas barras precisam ser organizadas numa geometria tal qual seja possível 
estabilizar as ações. Via de regra essa geometria é o triangulo, pois forma uma estrutura 
autoportante, que se trava automaticamente. As treliças são estruturas mais eficientes por 
trabalharem à compressão/tração, então costumam ter um comportamento superior, 
quando comparadas à vigas. 
 
Questão 4. O proprietário de uma loja o procurou para auxiliá-lo na construção de uma marquise 
em sua fachada, a fim de propiciar abrigo da chuva e promover seu comércio. Na hora de escolher 
e pensar nestas coberturas, deve-se ter em mente a interferência de vários sistemas com a 
volumetria escolhida. Por exemplo, é importante que se avalie como se dará a drenagem das águas 
pluviais, como é o comportamento estrutural e qual a região de maior solicitação, como será o 
acabamento e aspecto estético da marquise. A seguir temos algumas opções de soluções estruturais 
em 
 
Com base em seus conhecimentos escolha a treliça que: 
a. É a mais econômica, mais eficiente do ponto de vista estrutural. Justifique sua resposta. 
A opção 04 é a mais eficiente. Considera-se que a opção 03 também é muito eficiente. Isso ocorre 
por causa de ambas imitarem o diagrama de momento fletor, de tal maneira que a treliça tem maior 
altura na região de maior solicitação. 
b. Não pode ser executada, é hipostática, pode cair. Justifique sua resposta. 
A opção 01 é instável pois forma um quadro. 
 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
 
Questão 5. Verifique a estabilidade e a estaticidade global da treliça esquematizada abaixo. 
 
Gabarito 
 
Estabilidade 
Número de barras: b = 13 
Número de nós: n = 8 
2𝑛 − 3 = (2 ∙ 8) − 3 = 16 − 3 = 13 
Logo, 𝑏 ≥ 2𝑛 − 3 ➔ treliça é estável. 
 
Estaticidade Global: 
Número de reações: r = 3 
𝐸𝑔 = 𝑟 + 𝑏 − 2𝑛 = 3 + 13 − (2 ∙ 8) = 0 
Logo, 𝐸𝑔 = 0 ➔ treliça é isostática. 
 
Questão 6. Calcule as reações de apoio da treliça do exercício anterior com o seguinte 
carregamento: 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
 
 
Gabarito 
Não há reação horizontal em B pois não há força horizontal aplicada. 
 
Reação vertical em B: 
Ʃ𝑀𝐴 = (𝑉𝐵 ∙ 8) − (10 ∙ 6) − (7 ∙ 4) − (5 ∙ 2) = 0 
(𝑉𝐵 ∙ 8) = 60 + 28 + 10 
𝑉𝐵 =
98
8
= 𝟏𝟐, 𝟐𝟓 𝒌𝑵 
 
Reação vertical em A: 
Ʃ𝐹𝑣 = 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 − 10 − 7 − 5 = 0 
𝑉𝐴 + 12,25 − 10 − 7 − 5 = 0 
𝑉𝐴 = 𝟗, 𝟕𝟓 𝒌𝑵 
Questão 7. Em um porto, para fazer o transporte de containers de carga usa-se de 
guindastes portuários construídos à margem da doca, justamente com este objetivo. Os 
guindastes são construídos geralmente com perfis metálicos formando estruturas em 
formatos treliçados, permitindo a otimização das seções. Nestas estruturas, geralmente o 
trecho IH é composto por um cabo que permita ser içado de tal forma que o trecho GH possa 
5
 k
N
7
kN
1
0
kN
2 m 2 m 2 m 2 m
2 
m
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
ser removido. Além disso, é comum nestas estruturas a presença de um contrapeso, que 
permita aliviar os esforços de tração e tombamento (ponto F). A pior situação de análise, 
ocorre quando o contêiner está na posição H, mais longe da torre. 
 
 
 
PEDE-SE: 
a. Calcular as reações de apoio do pórtico treliçado 
b. Calcular a força atuante no tirante IH e barra HG, usando método de RITTER. 
c. Calcular a força atuante no tirante IH e barra HG, usando equilíbrio do nó H. 
 
EQUILÍBRIO E REAÇÕES DE APOIO 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
 
 
0
250.6,0 100.4 4. 0
275,0
BM
VA
VA kN
 =
− + − =
= −
 (0.1) 
 
0
250 100 275 0
625
0
0
V
H
F
VB
VB kN
F
HB
 =
− − − + =
=
 =
=
 (0.2) 
APLICANDO MÉTODO DE RITTER 
Seguindo, o cálculo das forças normais atuantes no tirante pode ser feito por ambos os 
métodos, vamos começar pelo equilíbrio do no H, conforme a Erro! Fonte de referência 
não encontrada.. Do triangulo IGH, podemos obter o valor do ângulo 33,69º = [
arctan(4,0 / 6,0) 33,69º= ], faz-se então o equilíbrio na horizontal e vertical do nó H conforme 
as projeções das forças normais ali atuantes. 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
 
0;
. 250 0
250 / ( 33,69º ) 450,7
0;
.cos 0
450,7.(cos33,69º ) 0 375,0
HI
HI HI
HI GH
GH GH
Fv
N sen
N sen N kN
Fh
N N
N N kN


 =
− =
= −  = +
 =
− − =
− − = −  = −
 (0.3) 
Usando o métodode Ritter, o processo de cálculo dos esforços é um pouco diferente, 
imaginamos um corte fictício na seção Aplicando então o equilíbrio na vertical temos: 
 
0
100 275 625 . 0
250 / ( 33,69º ) 450,7
IH
IH IH
Fv
N sen
N sen N kN

 =
− − + − =
= −  = +
 (0.4) 
Aplicando então o equilíbrio dos momentos em relação ao ponto B, considerando sentido 
anti-horário como positivo, temos: 
 
0
275.4 100.4 .6 .cos .10 0 375,0
B
GH IH IH
M
N N N kN
 =
+ + − − = −  = −
 (0.5) 
Os valores coincidem com os obtidos pelo método de equilíbrio dos pontos, como era de se 
esperar. 
Questão 8. O cálculo de estruturas pode ser muito moroso o que pode induzir a erros na aritmética 
básica por desatenção. Uma ferramenta muito interessante para se estudar estruturas é o software 
ftool. Faça download do software e modele a treliça do exercício anterior no mesmo procurando 
avaliar e entender o comportamento da treliça mediante o carregamento. 
 < https://www.ftool.com.br/Ftool/> 
O ARQUIVO EXEMPLO PODE SER FEITO DOWNLOAD NA PASTA DE MATERIAIS. OS 
MATERIAIS E SEÇÕES DAS BARRAS SÃO APENAS ILUSTRATIVOS, PODEM SER 
ATRIBUIDOS OUTROS VALORES. 
 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
 
Questão 9. Considere a treliça isostática usada para a cobertura de uma edificação comercial, com 
12m de vão e 2,0m de balanço de cada lado apoiada sobre pilares de concreto. Resolva-a 
determinando os esforços internos atuantes nas barras. 
a) Calcule as reações de apoio da treliça em cada pilar. 
Vk= Vq (estrutura é simétrica) 
Fv=0 -> Vk+Vq-10.9=0 
2Vk=90 
Vk= Vq= 45kN (viga é simétrica) 
Se não conseguir perceber a simetria, aplique normalmente as equações de equilíbrio. 
Mk=0 
-10.2+10.0+10.2+10.4+10.6+10.8+10.10+10.12+10.14-12Vq=0 
Vq=540/12=45 kN 
Fv=0 -> Vk+Vq-10.9=0 
Vk+ 45 -90 =0 -> Vk= 45 kN 
Fh=0 -> Kh=0 
b) Calcule e esboce os esforços internos solicitantes – Esforços Normais. 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
 
Da geometria podemos concluir que o ângulo BAC=AKJ e que: 
sen a= 0,60 
cos a= 0,80 
Lembre-se sempre de começar pelo nó que se tenha apenas duas incógnitas -> J ou R 
NÓ J 
Fx=0 
Njk=0 
Fy=0 
Njk=0 
NÓ A 
Fy=0 
-Naj -10,0 - Nak sen  =0 
0 -10,0 - Nak 0,60 =0 
Nak=-10/0,60 =-16,67 kN 
(compressão) 
Fx=0 
Nak cos  +Nab=0 
Nak 0,80 +Nab=0 
Nak=-16,67 kN 
-16,67*0,80 +Nab=0 
Nab=13,33 kN (tração) 
NÓ K 
Fy=0 
+Vk +Nak sen  + Nbk =0 
+45 + (-16,67).0,60+ Nbk=0 
Nbk= -35,0 kN (compressão) 
Fx=0 
+Kh -Njk -Nak. cos  + Nkl=0 
+0 - 0 –(-16,67)*0,80 +Nkl=0 
Nkl= -13,33 kN (compressão) 
NÓ B 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
Fy=0 
-10 – Nbk - Nbl sen  = 
-10-(-35,0)- Nbl. 0,60=0 
Nbl= +25/0,60= +41,67 kN (tração) 
Fx=0 
-Nab +Nbc +Nbl cos  =0 
-13,33+Nbc+41,67.,80=0 
Nbc= -20,00 kN (compressão) 
NÓ L 
Fy=0 
+Nbl sen  + Nlc =0 
 (+41,67).0,60+ Nlc=0 
Nlc= -25,0 kN (compressão) 
Fx=0 
 -Nlk -Nbl. cos  + Nlm=0 
-(-13,33) –(+41,67)*0,80 +Nlm=0 
Nlm= +20,0 kN (tração) 
NÓ C 
Fy=0 
-10 – Ncl - Ncm sen  = 
-10-(-25,0)- Ncm. 0,60=0 
Ncm= +15/0,60= +25,0 (tração) 
Fx=0 
-Nbc +Ncd +Ncm cos  =0 
-(-20,0)+Ncd+25*0,80=0 
Ncd= -40,00 kN (compressão) 
NÓ M 
Fy=0 
+Ncm sen  + Nmd =0 
 (+25,0).0,60+ Nmd=0 
Nmd= -15,0 kN (compressão) 
Fx=0 
 -Nlm -Ncm. cos  + Nmn=0 
-(+20,0) –(+25,0)*0,80 +Nmn=0 
Nmn= +40,0 kN (tração) 
NÓ D 
Fy=0 
-10 – Nmd - Ndn sen  = 
-10-(-15,0)- Ndm. 0,60=0 
Ndn= +5,0/0,60= +8,33 (tração) 
Fx=0 
-Ncd +Nde +Ndn cos  =0 
-(-40,0)+Nde+8,33*0,80=0 
Nde= -46,67 kN (compressão) 
NÓ N 
Fy=0 
+Ndn sen  +Nnf sen  + Nne =0 
Fx=0 
 -Nmn -Nnd. cos +-Nnf. cos  + Nno=0 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
Ndn=Nnf=+8,33 (simetria) 
 2.(+8,33).0,60+ Nne=0 
Nne= -10,0kN (compressão) 
Nmn=Nno=?; Nnd=Nnf=+8,33 kN (simetria) 
 0=0 -> ok! 
 
NÓ E 
Fy=0 
-10-Nne=0 
Nne= -10,0 kN (compressão) 
Fx=0 
 -Ned+Nef=0 
Ned=Nef (simetria) 
0=0 -> ok! 
 
 
Bom trabalho a todos!! 
Prof. Msc. Gabriel Trindade Caviglione.