física 1

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UNIVERSIDADE DE SA˜O PAULO
INSTITUTO DE FI´SICA
F´ısica Experimental 1
Bacharelado em F´ısica, Geof´ısica e Meteorologia
Paulo R. Pascholati
Organizador
2 011
NOME :
Conteu´do
I F´ısica Experimental 1 1
I.1 Proposta Dida´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.2 Medic¸o˜es e seu Papel na F´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.3 Objetivos da Disciplina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.4 Avaliac¸a˜o de Desempenho e Crite´rios . . . . . . . . . . . . . . 5
I.4.1 Folha de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.4.2 Pre´-S´ınteses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.4.3 S´ınteses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.4.4 Relato´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.4.5 Questo˜es/Reflexo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.4.6 Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.4.7 Entrevista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.4.8 Frequeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.4.9 Crite´rio de Aprovac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I.5 Tempo Dedicado a` Disciplina . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I.6 Outras Observac¸o˜es Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I.6.1 Requisitos para a Disciplina . . . . . . . . . . . . . . . 10
I.6.2 Caderno de Laborato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I.6.3 Material Necessa´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I.6.4 Seguranc¸a Pessoal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I.6.5 Planta˜o de Du´vidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I.6.6 Refereˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I.6.7 Informa´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
II Corpo Docente, Colaboradores ... 13
II.1 Professores e Responsa´veis por Turma . . . . . . . . . . . . . 13
II.2 Estagia´rios e Monitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
II.3 Te´cnicos do Laborato´rio Dida´tico . . . . . . . . . . . . . . . . 14
i
II.4 Apoio de Audio Visual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
II.5 Gra´fica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
IIICronograma 15
1 Introduc¸a˜o a`s Medic¸o˜es 20
1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Medic¸o˜es de Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1 Procedimento Experimental . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Ana´lise dos Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.3 Pre´-S´ıntese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Medic¸o˜es de Comprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.1 Procedimento Experimental . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.2 Ana´lise dos Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.3 Discussa˜o dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 S´ıntese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6 Reflexa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Dimenso˜es Euclidianas 25
2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Estimativas das Incertezas nas Medidas . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Ana´lise dos Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Geometria fractal 28
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Dimenso˜es Fractais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Ana´lise dos Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Caracterizac¸a˜o de So´lidos 31
4.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5 Peˆndulo Simples 33
5.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3 Pequenas Oscilac¸o˜es de um Peˆndulo . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.4 Situac¸a˜o Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.5 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
ii
6 Oscilac¸o˜es 37
6.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.1.1 Motivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.1.2 Ressonaˆncias em Cordas Vibrantes com Extremos Fixos 37
6.1.3 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2 Procedimento Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2.1 Descric¸a˜o do aparato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2.2 Explorando o Experimento . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.2.3 Realizando as Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.3 Ana´lise de Dados (Pre´-s´ıntese) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.4 Discussa˜o (S´ıntese) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
A Histograma 42
A.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
A.2 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
B Tabelas e Gra´ficos 46
B.1 Tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
B.2 Gra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
B.3 Equac¸a˜o da Reta num Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
B.4 Escala Logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
B.5 Gra´fico Monolog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
B.6 Gra´fico Dilog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
C Tratamento de Dados -
Introduc¸a˜o 57
C.1 Valor Me´dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
C.2 Variaˆncia Amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
C.3 Incerteza Instrumental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
C.4 Compatibilidade Entre Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
C.5 Me´dia Ponderada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
C.6 Propagac¸a˜o de Incertezas - Caso Particular . . . . . . . . . . . 61
D Distribuic¸a˜o Gaussiana 66
E Fenoˆmenos Oscilato´rios 70
F Dimenso˜es Fractais 72
iii
G Relato´rios 76
G.1 Objetivos do Relato´rio na Disciplina . . . . . . . . . . . . . . 76
G.2 Organizac¸a˜o do Relato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
G.2.1 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
G.2.2 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
G.2.3 Descric¸a˜o Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
G.2.4 Resultados de Medic¸ac¸o˜es, Ca´lculos e Ana´lise de Dados 79
G.2.5 Discussa˜o Final e Concluso˜es . . . . . . . . . . . . . . 80
G.2.6 Refereˆncias Bibliogra´ficas . . . . . . . . . . . . . . . . 80
G.2.7 Apeˆndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
G.3 Regras Gerais para o Relato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
G.4 Crite´rio de Correc¸a˜o e Nota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
H Alfabeto grego 84
iv
Prefa´cio
2011
A apostila de 2011 apresenta uma diferenc¸a em relac¸a˜o a`quela de 2010. Ela
refere-se a substituic¸a˜o da experieˆncia Me´todo dos Mı´nimos Quadrados pela
atividade Oscilac¸o˜es de Cordas Vibrantes. Esta atividade foi elaborada por
Cristiane Jahnke, Tatiane Sudbrack e Stefano Ivo Finazzo, enta˜o estagia´rios
do Programa PAE da disciplina de F´ısica Esperimental 2 - 4300114 no ano
de 2 010.
Fevereiro de 2011
Paulo Pascholati
v
Cap´ıtulo I
F´ısica Experimental 1
Os objetivos gerais da disciplina F´ısica Experimental 1, os crite´rios de avalia-
c¸a˜o e outras informac¸o˜es gerais sa˜o reunidas aqui. E´ responsabilidade do
aluno ler com atenc¸a˜o esta apresentac¸a˜o, procurando esclarecer quaisquer
du´vidas com o professor. Na˜o e´ aceita´vel alegac¸a˜o de desconhecimento dos
crite´rios e informac¸o˜es aqui apresentadas.I.1 Proposta Dida´tica
A disciplina de F´ısica Experimental 1 tem por proposta dida´tica a introduc¸a˜o
do aluno na arte da experimentac¸a˜o. Tal introduc¸a˜o e´ realizada de forma
gradual por meio de um programa de experimentos, com uma sequeˆncia arti-
culada de conteu´dos, em que sa˜o exercitadas as habilidades e conhecimentos
adquiridos. Em particular, tem-se o intuito de alertar o aluno para alguns
cuidados indispensa´veis na tomada de dados. De fato, e´ poss´ıvel, por meio
de uma ana´lise de dados inadequada, deixar de explorar informac¸o˜es impor-
tantes contidas nos dados experimentais brutos (prima´rios); por outro lado,
na˜o ha´ sofisticac¸a˜o na ana´lise de dados que resolva o problema de dados
mal tomados, ou seja, na˜o e´ poss´ıvel resgatar, pela manipulac¸a˜o dos dados,
informac¸o˜es na˜o registradas ou registradas de forma inadequada durante as
medic¸o˜es. Nessa proposta a disciplina F´ısica Experimental 1 visa proporcio-
nar ao aluno o instrumental teo´rico e pra´tico para analisar de forma adequada
os dados colhidos e torna´-lo consciente da necessidade de manter uma atitude
atenta e cr´ıtica durante o processo de obtenc¸a˜o dos dados, treinando-o para
a observac¸ao cient´ıfica. Por outro lado, a informac¸a˜o assim obtida precisa
1
ser comunicada de modo adequado para ser reconhecida pela comunidade
de interesse, passando, enta˜o, a estar dispon´ıvel como acre´scimo de conhe-
cimento. Neste contexto, e´ objetivo tambe´m desta atividade iniciar o aluno
nos fundamentos da correta comunicac¸a˜o cient´ıfica.
I.2 Medic¸o˜es e seu Papel na F´ısica
Medir significa quantificar uma grandeza com relac¸a˜o a algum padra˜o (me-
dida), tomado como unidade. Os padro˜es recomendados sa˜o do Sistema
Internacional de Unidades (SI)[1, 2]. O SI e´ baseado atualmente nas sete
unidades de base, veja Tabela I.2. No entanto, ainda encontram-se em uso
outros sistema mais antigos como, por exemplo, o CGS (cent´ımetro, grama
e segundo).
Tabela I.1: Sistema Internacional de Unidades - SI.
Grandeza Unidade SI
Nome S´ımbolo
Comprimento metro m
Massa quilograma kg
Tempo segundo s
Corrente Ele´trica ampe´re A
Temperatura Termodinaˆmica kelvin K
Quantidade de Mate´ria mol mol
Intensidade Luminosa candela cd
O processo de medir apoia-se em instrumentos de medic¸a˜o calibrados se-
gundo o padra˜o escolhido; em muitas situac¸o˜es, entretanto, a execuc¸a˜o da
medic¸a˜o na˜o e´ automatizada e o observador e´ uma parte essencial do pro-
cesso, contribuindo para a sua limitac¸a˜o. Este e´ o caso, em particular, desta
atividade experimental, assim como de va´rias outras a serem executadas du-
rante o semestre. No entanto, mesmo o instrumento mais moderno e sens´ıvel
tem um limite de confiabilidade; saber avaliar este limite e incluir esta in-
formac¸a˜o no resultado e´ uma das tarefas do treino a ser aqui iniciado.
Executar um experimento consiste em propor e aplicar um procedimento
experimental, que inclui a escolha e manipulac¸a˜o dos instrumentos necessa´rios
2
para a realizac¸a˜o das medic¸o˜es de todas as grandezas relevantes frente aos
objetivos propostos. Normalmente, sa˜o feitas algumasmedic¸o˜es explorato´rias
em um experimento preliminar, onde as caracter´ısticas do fenoˆmeno a ser es-
tudado sa˜o observadas atentamente. Em geral, como consequeˆncia da ana´lise
destes dados preliminares, de discusso˜es com colegas e reflexo˜es sobre a si-
tuac¸a˜o experimental, surgem propostas de procedimento que melhoram con-
sideravelmente a qualidade dos dados.
Finalmente, estes dados devem ser analisados segundo procedimentos
estat´ısticos universalmente aceitos na comunidade cient´ıfica, os quais sa˜o
tambe´m introduzidos, de forma gradual, na disciplina F´ısica Experimental
1. De fato, assim como a humanidade aprendeu a se comunicar na vida
cotidiana, por meio da linguagem falada e escrita, utilizando s´ımbolos inter-
cambia´veis (um la´pis e´ um conceito praticamente universal; um la´pis preto
e´ uma subcategoria plenamente identificada), existe tambe´m uma linguagem
cient´ıfica, que abrevia e facilita a comunicac¸a˜o dentro de cada comunidade
ou a´rea cient´ıfica, a qual esta´ se tornando rapidamente universal.
I.3 Objetivos da Disciplina
O objetivo mais geral das disciplinas sequenciais de F´ısica Experimental e´
tornar o aluno apto a fazer julgamentos criteriosos sobre o conteu´do de in-
formac¸a˜o num resultado experimental. Esta habilidade e´ constru´ıda a partir
de outras, mais espec´ıficas, que pode ser assim relacionadas:
a. Aprendizado de te´cnicas de sistematizac¸a˜o, tratamento e apresentac¸a˜o
de dados experimentais.
b. Introduc¸a˜o a` teoria de incertezas e sua aplicac¸a˜o no tratamento de
dados experimentais.
c. Desenvolvimento da capacidade de expressa˜o na forma de relato´rio
cient´ıfico.
d. Conhecimento de instrumentos e te´cnicas de medic¸a˜o e desenvolvi-
mento de habilidade experimental.
e. Demonstrac¸a˜o e utilizac¸a˜o pra´tica de conceitos e leis f´ısicas.
f. Assimilac¸a˜o do importante papel do modelo na ana´lise de experieˆncias.
3
g. Desenvolvimento de esp´ırito cr´ıtico e clareza de pensamento na
confrontac¸a˜o entre resultados de modelos e resultados experimentais.
h. Desenvolvimento de criatividade experimental que permita aplicar co-
nhecimentos adquiridos em novas situac¸o˜es.
Evidentemente, os objetivos acima relacionados apresentam uma grande
superposic¸a˜o e interdependeˆncia entre si; sa˜o, tambe´m, objetivos amplos e
irrestritos, sendo muita pretensa˜o ating´ı-los em n´ıvel plenamente satisfato´rio,
mesmo em todo o Curso de Graduac¸a˜o. Por outro lado, num mundo em que
as tarefas rotineiras sa˜o aceleradamente assumidas por ma´quinas e roboˆs, sa-
ber extrair e apresentar informac¸o˜es relevantes, frente a um problema, prova-
velmente sera´ a caracter´ıstica mais procurada num profissional, em qualquer
a´rea. Devido a`s especificidades dos Cursos de F´ısica, estes podem ajudar
neste tipo de capacitac¸a˜o profissional, tambe´m para a´reas interdisciplinares.
Nesta disciplina, pretende-se colocar especial eˆnfase aos objetivos a, b e c
acima mencionados, mas sem perder de vista os demais objetivos. Para isto,
e´ feito um escalonamento de experieˆncias e to´picos de forma que, no final
do semestre, o aluno tenha um bom domı´nio de te´cnicas de tratamento de
dados e apresentac¸a˜o de resultados experimentais. Mais especificamente, no
final da disciplina, o aluno devera´ ter um bom domı´nio dos seguintes to´picos:
• conceitos e leis f´ısicas envolvidas nas experieˆncias realizadas;
• instrumentos e te´cnicas experimentais utilizadas;
• elaborac¸a˜o de relato´rio formalmente correto, com resumo, introduc¸a˜o
ao assunto, conceitos f´ısicos envolvidos, descric¸a˜o da experieˆncia, resul-
tados, discusso˜es finais e concluso˜es;
• estimativa de incertezas instrumentais, ca´lculo de desvio-padra˜o e pro-
pagac¸a˜o de incertezas em casos simples;
• sistematizac¸a˜o de resultados por meio de tabelas, com unidades, incer-
tezas e legendas;
• elaborac¸a˜o de gra´ficos com barras de incerteza e legenda, observando
tamanho, escalas e unidades adequados;
• utilizac¸a˜o de gra´ficos, linear e dilog, na ana´lise de dados experimentais;
4
• obtenc¸a˜o de coeficientes linear e angular de reta a partir de gra´ficos,
relacionando-os com os paraˆmetros do modelo utilizado para represen-
tar o fenoˆmeno estudado.
Os itens acima constituem um guia de estudo para a disciplina e servem
como refereˆncia para a entrevista ou prova finais.
I.4 Avaliac¸a˜o de Desempenho e Crite´rios
O acompanhamento dos alunos pelo professor sera´ feito por meio de:
• Folha de Dados;
• S´ınteses;
• Pre´-S´ınteses;
• Relato´rios Bimestrais (com notas R1 e R2);
• Frequeˆncia;
• Entrevista (com notas E);
• Prova (nota P ).
I.4.1 Folha de Dados
Ao final de cada aula, em que foram realizadas medic¸o˜es, deve
serentregue ao professor uma folha com os dados experimentais
obtidos tabulados de forma adequada1. Esta folha e´ denominada Folha
de Dados.
Se poss´ıvel, o professor deve verificar imediatamente se os dados sa˜o sa-
tisfato´rios, apontando eventuais falhas graves nas medic¸o˜es. Uma co´pia dos
dados prima´rios digitados devem ser enviada por correio eletroˆnico ao pro-
fessor. O na˜o envio desta co´pia acarreta a na˜o correc¸a˜o, pelo professor, da
pre´-s´ıntese e da s´ıntese, se esta for entregue.
1Os dados obtidos na atividade da disciplina sa˜o de propriedade intelectual dos alunos
que o obtiveram e tambe´m do Instituto de F´ısica, representando pelos membros da equipe
que ministra a disciplina. Sempre que estes dados forem usados fora do ambiente da
disciplina deve-se registrar o cre´dito de autoria dos mesmos.
5
O registro organizado da tomada de dados reduz o tempo dispendido na
preparac¸a˜o da s´ıntese e do relato´rio. A Folha de Dados entregue ao professor
deve ser a co´pia (podem ser usados papel carbono ou ma´quina fotocopiadora)
do registro de dados da equipe de alunos. Na˜o ha´ necessidade de passar a
limpo ou melhorar a este´tica das anotac¸o˜es. Esta folha pode ser co´pia das
pa´ginas do CADERNO DE LABORATO´RIO (veja subsec¸a˜o I.6.2).
Uma co´pia dos dados prima´rios, tambe´m chamados de dados brutos, di-
gitados devem ser enviada por correio eletroˆnico ao professor. O na˜o envio
desta co´pia acarreta a na˜o correc¸a˜o da pre´-s´ıntese e da s´ıntese, se entregue,
pelo professor. O conteu´do, valores, devem na forma de tabela em formato
“txt” separados por um espac¸o.
I.4.2 Pre´-S´ınteses
A pre´-s´ıntese e´ uma tarefa a ser realizada entre a primeira e a segunda aula de
cada experieˆncia. A tarefa da refere-se a` preparac¸a˜o dos dados colhidos para
a sua ana´lise, por meio de tabelas, gra´ficos e ca´lculos. A sua apresentac¸a˜o
e´ condic¸a˜o indispensa´vel para o bom rendimento da segunda aula. A cada
experieˆncia deve ser entregue uma pre´-s´ıntese por grupo de alunos, conforme
prazo combinado com o professor, desde que os componentes da equipe te-
nham participado de todas as atividades correspondentes a` experieˆncia. Caso
isto na˜o tenha ocorrido, os alunos devem entregar pre´-s´ınteses individuais.
Na situac¸a˜o em que haja dificuldades para que os alunos da equipe realizem
a pre´-s´ıntese em conjunto, podem ser entregues pre´-s´ınteses individuais. A
entrega da pre´-s´ıntese e´ obrigato´ria. As pre´-s´ınteses sera˜o corrigidas2
e devolvidas, elas devem ser anexadas ao relato´rio. Na˜o ha´ atribuic¸a˜o de
nota a` pre´-s´ıntese. No caso de na˜o entrega de pre´-s´ıntese(s) no dia
combinado, o aluno perde 1,0 ponto na nota do relato´rio para cada
pre´-s´ıntese na˜o entregue e ela(s) na˜o e´ (sa˜o) mais recebida(s). Se
a pre´-s´ıntese na˜o entregue corresponder ao relato´rio sorteado, o
relato´rio devera´ ser baseado num conjunto de dados fornecido pelo
professor.
2Se os dados prima´rios tiverem sido enviados ao professor conforme estabelecido na
sec¸a˜o I.4.1.
6
I.4.3 S´ınteses
A s´ıntese e´ um relato´rio simplificado, resumindo os resultados de medic¸o˜es e
ca´lculos. A simplificac¸a˜o se refere mais a` forma que ao conteu´do, ja´ que todos
os resultados de medic¸o˜es e ca´lculos devem ser apresentados. O trabalho
de elaborac¸a˜o da s´ıntese deve ser dividido entre o tempo das aulas e mais
algumas horas extra-classe. A s´ıntese deve conter :
• tabelas com resultados obtidos nas medic¸o˜es e ca´lculos;
• ana´lise dos resultados, explicitando as fo´rmulas utilizadas;
• gra´ficos;
• concluso˜es fundamentadas, indispensa´vel!
Para cada experieˆncia pode ser apresentada uma s´ıntese elaborada da
mesma forma que a pre´-s´ıntese.
A s´ıntese, caso entregue, sera´ corrigida e devolvida, devendo ser anexada
ao relato´rio.
I.4.4 Relato´rios
Cada aluno devera´ entregar um relato´rio3 sorteado entre as treˆs primeiras
experieˆncias e um sorteado entre as duas seguintes 4. O relato´rio sera´ sobre
um tema sorteado entre os temas correspondentes a`s experieˆncias realizadas,
devendo ser observado o seguinte:
• o prazo de entrega do relato´rio e´ de uma semana, a na˜o entrega do
relato´rio na data combinada acarreta a perda na nota do relato´rio de
1 ponto para o primeiro dia de atraso e depois 0,25 ponto por dia u´til
de atraso;
• alunos de mesmo grupo fazem relato´rio sobre temas diferentes;
• a s´ıntese, se entregue, deve ser anexada ao relato´rio.
A forma, conteu´do e crite´rio de correc¸a˜o do relato´rio sera˜o discutidos
separadamente (ver Sec¸a˜o II).
3No cap´ıtulo G ha´ um roteiro de como fazer relato´rio.
4Isto e´, 2 relato´rios no semestre (R1 e R2).
7
I.4.5 Questo˜es/Reflexo˜es
Diversas questo˜es/reflexo˜es sa˜o formuladas na apostila, ficando a crite´rio do
aluno resolveˆ-las ou na˜o. A maioria delas e´ bastante simples e o aluno deve
procurar resolver as mesmas se na˜o se sentir seguro a respeito do assunto.
I.4.6 Prova
Havera´ uma prova (P ) como parte da avaliac¸a˜o da disciplina versando sobre
os temas abordados nas aulas de laborato´rio. Durante a prova o aluno podera´
consultar qualquer material escrito que dispuser (apostila, livros, caderno de
laborato´rio, pre´-s´ınteses, s´ınteses, etc.).
I.4.7 Entrevista
A entrevista, realizada por um ou dois professores, e´ um instrumento adi-
cional de avaliac¸a˜o da aprendizagem do aluno. A entrevista, E, tem por
objetivo verificar a apropriac¸a˜o pelos alunos dos temas tratados no primeiro
relato´rio5.
I.4.8 Frequeˆncia
Na˜o ha´ reposic¸a˜o de aulas de laborato´rio. Em casos excepcionais, podera´ ser
feita reposic¸a˜o em hora´rio normal de aula, mas em turma diferente daquela
do aluno. Entretanto, isto somente podera´ ser feito com a anueˆncia
pre´via do professor do aluno e do professor da outra turma, por
meio de comunicac¸a˜o eletroˆnica entre os professores.
A toleraˆncia para chegada na aula e´ de 20 minutos. Apo´s este tempo de
toleraˆncia, o aluno podera´ participar da aula normalmente, mas sera´ anotada
falta na aula. O professor tambe´m podera´ anotar falta no caso de abuso do
tempo de toleraˆncia.
Mesmo no caso em que houver reposic¸a˜o de experieˆncia por motivo de
falta, sera´ anotada falta correspondente ao dia da aula.
5Veja Subsec¸a˜o I.4.9.
8
I.4.9 Crite´rio de Aprovac¸a˜o
Para aprovac¸a˜o na disciplina, a frequeˆncia deve ser 70 % ou maior e a
me´dia final, MF , para aqueles que obtiveram na Prova nota maior ou igual
a 3,0 e´ calculada pela expressa˜o
MF =
0, 7 · R1 + 0, 3 · E +R2 + 1, 5 · P
3, 5
≥ 5, 0 .
O aluno que tenha obtido nota menor que 3,0 na Prova e´ reprovado com
me´dia final
MF = P
independente da frequeˆncia.
A crite´rio do professor, a nota de entrevista E pode ser substitu´ıda pela
nota do primeiro relato´rio R1.
I.5 Tempo Dedicado a` Disciplina
O tempo de dedicac¸a˜o a` disciplina deveria ser aproximadamente igual ao
tempo de aula6. Esta dedicac¸a˜o extra-classe se distribui nos seguintes traba-
lhos:
• leitura de to´picos especiais apresentados nesta apostila;
• leitura pre´via da apostila sobre a experieˆncia a ser realizada;
• resoluc¸a˜o das questo˜es indicadas;
• elaborac¸a˜o das pre´-s´ınteses e s´ınteses das experieˆncias;
• confecc¸a˜o dos relato´rios;
• pesquisa bibliogra´fica e leitura do material referente a to´picos relacio-
nados com as aulas.
6Em me´dia 4 horas por semana.
9
I.6 Outras Observac¸o˜es Gerais
I.6.1 Requisitos para a Disciplina
Esta disciplina foi estruturada de forma que seu pre´-requisito e´ um curso
colegial bem feito. Entretanto, e´ aconselha´vel que o aluno fac¸a as disciplinas
de Ca´lculo 1 e Introduc¸a˜o a` F´ısica, simultaneamente. Por outro lado, deve
ser observado que para a disciplina de F´ısica Experimental 2 sera´ necessa´rio
que o aluno tenha sido aprovado na disciplina de F´ısica Experimental 1.I.6.2 Caderno de Laborato´rio
O aluno devera´ ter um Caderno de Laborato´rio7, no qual sa˜o anotados todos
os resultados de medic¸o˜es e ca´lculos, gra´ficos preliminares e outras observa-
c¸o˜es tais como data, hora, refereˆncias, etc. Na˜o se justifica a frequente
alegac¸a˜o de na˜o poder fazer s´ıntese ou relato´rio porque os dados ficaram
com o colega. Cada aluno deve ter todos os dados em seu pro´prio caderno.
Na entrevista, o aluno deve ter em ma˜os o caderno de anotac¸o˜es,
ale´m do primeiro relato´rio. Na Prova sera´ permitida a consulta
a: Caderno de Laborato´rio, apostila, livros, pre´-s´ınteses, s´ınteses e
relato´rios.
I.6.3 Material Necessa´rio
Ale´m, do material usual para aula (la´pis, borracha, re´gua, etc.), o aluno deve
trazer pape´is milimetrado e di-log para gra´ficos (tamanho A4) e calculadora
com func¸o˜es estat´ısticas.
I.6.4 Seguranc¸a Pessoal e Cuidado com os Equipamen-
tos
Experieˆncias num laborato´rio de f´ısica sempre envolvem riscos de danos pes-
soais e tambe´m de danos aos equipamentos utilizados. O aluno deve seguir
as normas de seguranc¸a para evitar danos a si pro´prio, aos colegas e aos
equipamentos do laborato´rio. Em particular,
7Caderno comum de cerca de 100 folhas.
10
O aluno e´ responsa´vel pelo equipamento colocado a` sua dis-
posic¸a˜o durante a aula e devera´ reparar o dano que tenha provo-
cado devido a negligeˆncia.
I.6.5 Planta˜o de Du´vidas
Havera´ um hora´rio semanal em que o professor estara´ a disposic¸a˜o dos alunos
de sua turma para resolver du´vidas. O hora´rio sera´ combinado de comum
acordo entre o professor e o aluno. Havera´, tambe´m, monitores com mesmo
objetivo em alguns dias da semana de 12:00 a`s 13:00 horas e de 18:00 a`s
19:00 horas.
I.6.6 Refereˆncias
As refereˆncias a livros na apostila tem o objetivo de servir como um indicativo
do assunto tratado. Sugere-se ao aluno que visite a estante na Biblioteca do
IFUSP onde ficam as refereˆncias citadas. Nela podem ser encontrados outros
livros que tratam do mesmo assunto e que algum/alguns deles possa/possam
ser mais de seu agrado. De modo geral, todos os livros citados podem ser
encontrados no acervo da Biblioteca, aqueles que, porventura, na˜o existirem
na acervo podem ser encontrados em outra biblioteca da Universidade e po-
dem ser retirados utilizando o Carta˜o de Identificac¸a˜o de aluno da USP ou o
empre´stimo inter bibliotecas. As refereˆncias a artigos de revista podem ser
encontradas tanto na Biblioteca do IFUSP como na pasta da disciplina de
F´ısica Experimental 1 na fotocopiadora do CEFISMA. Nessa pasta tambe´m
podem ser encontrados textos sobre determinados assuntos elaborados pelos
professores.
I.6.7 Informa´tica
E´ muito u´til para os alunos saber usar microcomputadores e conhecer progra-
mas de edic¸a˜o de texto, de planilha e de confecc¸a˜o de gra´ficos.8 Na disciplina
de F´ısica Experimental 2, do segundo semestre, o conhecimento de um pro-
grama de planilha e´ imprescind´ıvel para o acompanhamento das atividades.
As unidades da USP teˆm uma sala, denominada de Sala Pro´-Aluno, com
computadores a disposic¸a˜o dos alunos. Ha´, ainda, duas salas para aulas,
8Os monitores da disciplina esta˜o capacitados para ensinar o ba´sico desses programas.
11
com microcomputadores e projetor, e outras do Laborato´rio Dida´tico com
computadores que podem ser utilizadas durante as aulas de F´ısica Experi-
mental 1, pore´m de prioridade de outras disciplinas.
12
Cap´ıtulo II
Corpo Docente, Estagia´rios,
Monitores e Funciona´rios
II.1 Professores e Responsa´veis por Turma
Alexandre L. Correia Edwin Hobi Ju´nior
Felix G.G. Hernandez Jose´ Fernando Chubaci
Paulo R. Pascholati (Coord) Philippe Gouffon
Rafael Oliveira Suigh Wayne A. Seale
II.2 Estagia´rios e Monitores
Cristiane Jahnke Fabiana Rodrigues Arantes
Fla´via M.R. Hirata Henrique J.C. Zanoli
Jessica E.C. Niide Paula Feijo´ de Medeiros
Stefano I. Finazzo Tatiane de Paula Sudbrack
Thales B. dos Santos
13
II.3 Te´cnicos do Laborato´rio Dida´tico
Ade´lio P. Dias (Canela) Alvimar F. Souza
Carlos A. Lourenc¸o Carlos Eduardo Freitas
Cla´udio H. Furukawa (Coord.) Dion´ısio M. Lima
Edelberto J. Santos Josiane V. Martins
Manoel M. Silva Maria Cristina S. Rosa
Ricardo Ichiwaky Rodrigo S. Viana
II.4 Apoio de Audio Visual
Agostinho D. Bicalho Luiz Ce´sar Galizio
II.5 Gra´fica
Edson A. S. Moraes Pedro Rocha
Waldemir S. Lima Wanderley Alves(Supervisor)
14
Cap´ıtulo III
Cronograma
A seguir e´ apresentado o cronograma para a disciplina F´ısica Experimental
1 - 4300113 e os responsa´veis turmas para o ano de 2 011.
As aulas para a Turma 1, com duas subturmas, sera˜o a`s segundas-feiras
no diurno; para a Turma 2, com treˆs subturmas, sera˜o a`s quartas-feiras no
noturno; para a Turma 3, com quatro subturmas, sera˜o a`s quintas-feiras no
diurno; e para a Turma 4, com duas subturmas, sera˜o a`s sextas-feiras no
noturno.
• Turma 1 Paulo R. Pascholati e Philippe Gouffon
• Turma 2 Felix G.G. Hernandez, Jose´ Fernando Chubaci e Rafael de
Oliveria Suigh
• Turma 3 Alexandre L. Correia, Edwin Hobi Ju´nior, Philippe Gouffon
e Wayne A. Seale
• Turma 4 Alexandre L. Correia e Jose´ Fernando Chubaci
15
DATA ATIVIDADE
Turma 1 Segunda-Feira Diurno
Fevereiro
21 - 25 Semana dos Ingressantes
28 Experieˆncia 1A - Introduc¸a˜o a`s Medic¸o˜es
Marc¸o
7 - 11 Carnaval - Na˜o ha´ aula
14 Experieˆncia 1B - Introduc¸a˜o a`s Medic¸o˜es
21 Experieˆncia 2 - Dimenso˜es Euclidianas
28 S´ıntese (Exp. 2)
Abril
04 Experieˆncia 3 - Dimenso˜es Fractais
11 S´ıntese (Exp. 3)
Sorteio Relato´rio 1
18 - 23 Semana Santa - Na˜o ha´ aula
25 Experieˆncia 4 - Caracterizac¸a˜o de So´lidos
Entrega do Relato´rio 1 ate´ a`s 9:00 horas
Maio
02 S´ıntese (Exp. 4)
09 Experieˆncia 5 - Peˆndulo
16 S´ıntese (Exp. 5)
23 Experieˆncia 6 - Oscilac¸o˜es
30 S´ıntese (Exp. 6)
Sorteio do Relato´rio 2
Junho
06 Na˜o ha´ aula
13 Entrega do Relato´rio 2 ate´ a`s 9:00 horas
15 Prova Noturno - 19:10 horas
16 Prova Diurno - 09:00 horas
16
DATA ATIVIDADE
Turma 2 Quarta-Feira Noturno
Fevereiro
21 - 25 Semana dos Ingressantes
Marc¸o
02 Experieˆncia 1A - Introduc¸a˜o a`s Medic¸o˜es
7 - 11 Carnaval - Na˜o ha´ aula
16 Experieˆncia 1B - Introduc¸a˜o a`s Medic¸o˜es
23 Experieˆncia 2 - Dimenso˜es Euclidianas
30 S´ıntese (Exp. 2)
Abril
06 Experieˆncia 3 - Dimenso˜es Fractais
13 S´ıntese (Exp. 3)
Sorteio Relato´rio 1
18 - 23 Semana Santa - Na˜o ha´ aula
27 Experieˆncia 4 - Caracterizac¸a˜o de So´lidos
Entrega do Relato´rio 1 ate´ a`s 19:20 horas
Maio
04 S´ıntese (Exp. 4)
11 Experieˆncia 5 - Peˆndulo
18 S´ıntese (Exp. 5)
25 Experieˆncia 6 - Oscilac¸o˜es
Junho
01 S´ıntese (Exp. 6)
Sorteio do Relato´rio 2
08 Na˜o ha´ aula
15 Prova Noturno - 19:20 horas
Entrega do Relato´rio 2 ate´ a`s 19:20 horas
16 Prova Diurno - 09:00 horas
17
DATA ATIVIDADE
Turma 3 Quinta-Feira Diurno
Fevereiro
21 - 25 Semana dos Ingressantes
Marc¸o
03 Experieˆncia 1A - Introduc¸a˜o a`s Medic¸o˜es
7 - 11 Carnaval - Na˜o ha´ aula
17 Experieˆncia 1B - Introduc¸a˜o a`s Medic¸o˜es
24 Experieˆncia 2 - Dimenso˜es Euclidianas
31 S´ıntese (Exp. 2)
Abril
07 Experieˆncia 3 - Dimenso˜es Fractais
14 S´ıntese (Exp. 3)
Sorteio Relato´rio 1
18 - 23 Semana Santa - Na˜o ha´ aula
28 Experieˆncia 4 - Caracterizac¸a˜o de So´lidos
Entrega do Relato´rio 1 ate´ a`s 9:00 horas
Maio
05 S´ıntese (Exp. 4)
12 Experieˆncia 5 - Peˆndulo
19 S´ıntese (Exp. 5)
26 Experieˆncia 6 - Oscilac¸o˜es
Junho
02 S´ıntese (Exp. 6)
Sorteio do Relato´rio 2
09 Na˜o ha´ aula
15 Prova Noturno - 19:10 horas
16 Prova Diurno - 09:00 horas
Entrega do Relato´rio 2 ate´ a`s 9:00 horas
18
DATA ATIVIDADE
Turma 4 Sexta-Feira Noturno
Fevereiro
21 - 25 Semana dos Ingressantes
Marc¸o
04 Experieˆncia 1A - Introduc¸a˜o a`s Medic¸o˜es
7 - 11 Carnaval- Na˜o ha´ aula
18 Experieˆncia 1B - Introduc¸a˜o a`s Medic¸o˜es
25 Experieˆncia 2 - Dimenso˜es Euclideanas
Abril
01 S´ıntese (Exp. 2)
08 Experieˆncia 3 - Dimenso˜es Fractais
15 S´ıntese (Exp. 3)
Sorteio Relato´rio 1
18 - 23 Semana Santa - Na˜o ha´ aula
29 Experieˆncia 4 - Caracterizac¸a˜o de So´lidos
Entrega do Relato´rio 1 ate´ a`s 19:20 horas
Maio
06 S´ıntese (Exp. 4)
13 Experieˆncia 5 - Peˆndulo
20 S´ıntese (Exp. 5)
27 Experieˆncia 6 - Oscilac¸o˜es
Junho
03 S´ıntese (Exp. 6)
Sorteio do Relato´rio 2
10 Na˜o ha´ aula
15 Prova Noturno - 19:20 horas
Entrega do Relato´rio 2 ate´ a`s 19:20 horas
16 Prova Diurno - 09:00 horas
19
Experieˆncia 1
Introduc¸a˜o a`s Medic¸o˜es
1.1 Objetivos
Nesta experieˆncia sera´ explorado o efeito da repetic¸a˜o de medic¸o˜es no va-
lor da grandeza (tempo e comprimento) observada, mantidas inalteradas as
condic¸o˜es experimentais. Sera˜o introduzidos crite´rios para a obtenc¸a˜o dos
dados experimentais e da ana´lise dos mesmos com a finalidade de obter o
valor da grandeza com confianc¸a.
1.2 Introduc¸a˜o
Na primeira parte da experieˆncia, (experieˆncia 1.A), a grandeza medida sera´ o
tempo de durac¸a˜o de um fenoˆmeno oscilato´rio (veja o Apeˆndice E) , tal como
o per´ıodo de um peˆndulo simples. Um cronoˆmetro digital sera´ o instrumento
utilizado para essas medidas, cuja menor divisa˜o e´ 0,01s. Na experieˆncia
1.B, o comprimento da aresta de um cubo pequeno sera´ a grandeza medida
utilizando-se instrumentos de diferentes preciso˜es, tais como: re´gua (menor
divisa˜o 1mm), paqu´ımetro (0,02mm ou 0,05mm) e microˆmetro (0,01mm). Ao
final desta experieˆncia o aluno tera´ aprendido como o valor de uma grandeza
deve ser apresentado, segundo as normas cient´ıficas, para possibilitar o seu
uso pela comunidade, como organizar tabelas para apresentar os valores das
medidas e como se faz o planejamento da realizac¸a˜o de um experimento
simples.
O paqu´ımetro e o microˆmetro sa˜o instrumentos para medic¸a˜o de pequeno
comprimento com precisa˜o maior que aquela da re´gua. O professor explicara´,
20
durante a aula, como os mesmos sa˜o utilizados.
1.3 Medic¸o˜es de Tempo
A experieˆncia consiste basicamente em obter o valor para o per´ıodo de um
peˆndulo. Havera´ necessidade de realizar medidas preliminares para decidir
a melhor metodologia experimental para realizar, com o instrumental dis-
pon´ıvel, a medida do tempo de durac¸a˜o do per´ıodo de oscilac¸a˜o do peˆndulo
utilizado. Nesta experieˆncia e´ aconselha´vel que o aˆngulo de oscilac¸a˜o do
peˆndulo na˜o ultrapasse 10◦1 .
1.3.1 Procedimento Experimental
A atividade experimental usualmente se compo˜e de duas fases: uma de ob-
servac¸a˜o e tomada de dados preliminares e, outra, apo´s a decisa˜o sobre a
proposta de metodologia, da tomada e ana´lise dos dados definitivos. Nesta
experieˆncia, em particular, passaremos pelas duas fases, valendo-nos, para
a tomada de decisa˜o, da discussa˜o conjunta das informac¸o˜es colhidas pela
classe toda.
Assim, formados os grupos de dois alunos, cada grupo obtera´, inicial-
mente, o valor do per´ıodo do peˆndulo colocado a` sua disposic¸a˜o. Estes va-
lores devem ser colocados em uma tabela no quadro negro, para possibilitar
a discussa˜o dos resultados obtidos pela classe. Em particular, para verificar,
com a ajuda do professor, se e´ poss´ıvel distinguir alguma tendeˆncia nesses
dados.
Mesmo, se ambos os alunos do grupo cronometrarem simultaneamente a
mesma oscilac¸a˜o para obter o per´ıodo, ha´ grande possibilidade de obterem
valores diferentes. A partir desta discussa˜o sera´ estabelecido o procedimento
para as pro´ximas etapas de medic¸o˜es. E´ importante que cada aluno sempre
anote todos valores referentes aos dados experimentais no seu caderno de la-
borato´rio2. A organizac¸a˜o dos dados e´ de fundamental importaˆncia em f´ısica
experimental, pois possibilita ao experimentador acessar os dados obtidos ate´
anos depois de realizada a experieˆncia. A ma´ organizac¸a˜o da documentac¸a˜o
da atividade realizada torna os valores obtidos, em questa˜o de poucos dias,
incompreens´ıveis mesmo para a pessoa que os anotou, obrigando, as vezes,
1Veja o motivo disso na sec¸a˜o 5.1.
2Veja a subsec¸a˜o I.6.2.
21
o aluno a refazer toda a experieˆncia. Por organizac¸a˜o entende-se tambe´m
anotac¸o˜es com letra leg´ıvel e armazenagem em meio adequado, como um
caderno de laborato´rio, por exemplo.
A tomada de dados definitiva pelo grupo deve ocorrer, apo´s decisa˜o sobre
a melhor metodologia, repetindo o processo de medic¸a˜o, nas condic¸o˜es es-
colhidas, por pelo menos N vezes3. Os valores obtidos pelas medidas muito
provavelmente, flutuara˜o ao redor de um valor denominado valor me´dio4, isto
e´, alguns sera˜o maiores e outros menores que o valor me´dio, aleatoriamente.
Em qualquer experimento e´ de suma importaˆncia anotar detalhadamente
quais equipamentos foram utilizado na medic¸a˜o e o procedimento de rea-
lizac¸a˜o das medidas de modo que, se necessa´rio, o experimento possa ser
repetido utilizando os mesmos equipamentos.
Inicialmente, cada dupla devera´ medir o per´ıodo de um peˆndulo colocado
a` sua disposic¸a˜o. Apo´s a medic¸a˜o do per´ıodo do peˆndulo individual, todos
os grupos devera˜o medir o per´ıodo de um u´nico peˆndulo, colocado a` frente
da sala.
1.3.2 Ana´lise dos Dados
Cada componente do grupo fara´ o histograma (ver Apeˆndice A) dos res-
pectivos dados e indicara´, por meio de flecha vertical, neste histograma o
valor me´dio que julgar representativo das medic¸o˜es feitas para o per´ıodo do
sistema.
1.3.3 Pre´-S´ıntese
Na Experieˆncia 1.A, a Pre´-S´ıntese, uma por grupo, consiste de tabelas dos
dados obtidos (dados prima´rios)5, de histogramas feitos (com a indicac¸a˜o
dos valores me´dios dos per´ıodos e das larguras dos histogramas), da tabela
dos valores me´dios e larguras de todos os grupos da classe, e das concluso˜es
obtidas.
3O valor de N sera´ estabelido pelo professor durante a aula.
4Veja, por exemplo, o apeˆndice C.1.
5Dados prima´rios ou dados brutos sa˜o aqueles que foram obtidos pelo instrumento de
medida sem que tenha havido qualquer manipulac¸a˜o matema´tica dos mesmos.
22
1.4 Medic¸o˜es de Comprimento
A atividade consiste em determinar a distaˆncia entre um par de faces opos-
tas de um cubo pequeno com diferentes instrumentos com o objetivo de
responder a seguinte pergunta: a flutuac¸a˜o de medic¸o˜es repetidas depende
do instrumento utilizado?
1.4.1 Procedimento Experimental
Utilizando sucessivamente uma re´gua, um paqu´ımetro e um microˆmetro mec¸a
a distaˆncia entre um par de faces opostas (1-6 ou 2-5 ou 3-4) de um cubo pe-
queno. Cada aluno do grupo deve repetir va´rias6 vezes as medic¸o˜es com cada
instrumento, variando a posic¸a˜o da medic¸a˜o mantendo sempre mantendo o
mesmo par de faces (1-6 ou 2-5 ou 3-4). Em seguida, cada aluno deve medir
algumas7 vezes a distaˆncia entre um dos outros dois pares de faces com um
instrumento a ser escolhido apo´s discussa˜o em classe.
1.4.2 Ana´lise dos Dados
Para os treˆs conjuntos (correspondentes aos treˆs instrumentos) de medic¸o˜es,
construa o respectivo histograma indicando o valor me´dio e a largura (ver
Apeˆndice A) do histograma.
Obter a incerteza final (ver Apeˆndice C) para cada conjunto de dados e
determinar se o dado pode ou na˜o ser considerado um cubo (ver sec¸a˜o C.4
do mesmo Apeˆndice).
1.4.3 Discussa˜o dos Resultados
Cada grupo devera´ apresentar no quadro-negro o valor me´dio (x), desvio
padra˜o amostral (s), a largura do histograma, ℓ, e o desvio padra˜o do valor
me´dio (sm) obtidos para a distaˆncia entre as faces do cubo correspondente a
cada instrumento.
Analisando os histogramas e os resultados apresentados na tabela colo-
cada no quadro negro o que se pode afirmar sobre o uso de diferentes instru-
mentos nas medidas? E quando comparado ao peˆndulo, o quepode ser dito
sobre a influeˆncia da incerteza instrumental?
6O nu´mero de medidas devera´ ser determinado em sala pelo professor.
7Novamente o nu´mero de medidas devera´ ser determinado em sala pelo professor.
23
Comparando os resultados obtidos para a distaˆncia entre os treˆs pares
de faces, pode-se afirmar que o objeto tem forma cu´bica? Justifique a sua
resposta utilizando os conceitos apresentados nesta experieˆncia.
1.5 S´ıntese
Anexar na S´ıntese, a Pre´-S´ıntese corrigida pelo professor. Apresente uma
tabela com os valores me´dios e os correspondentes desvios padra˜o amostral
e incertezas da me´dia da Experieˆncia 1.A. Fac¸a o mesmo para a Experieˆncia
1.B e anexe os histogramas correspondentes a mesma.
Que concluso˜es podem ser obtidas destas duas experieˆncias?
1.6 Reflexa˜o
Os valores me´dios do per´ıodo necessariamente seriam os mesmos se voceˆs
fizessem um nu´mero maior de determinac¸o˜es para os per´ıodos? E as larguras
dos histogramas? O que voceˆ imagina que aconteceria com a flutuac¸a˜o dos
dados colhidos para o per´ıodo de oscilac¸a˜o se, em vez de ser feita uma crono-
metragem manual, esta fosse feita por um dispositivo eletroˆnico especial? O
que voceˆ acha que aconteceria com o per´ıodo se a amplitude de oscilac¸a˜o fosse
aumentada? Voceˆ teve possibilidade de verificar isto experimentalmente? No
caso do peˆndulo (veja diagrama esquema´tico de peˆndulo simples na Figura
5.1), quais sa˜o, na sua opinia˜o, as grandezas f´ısicas que poderiam aumentar
a forc¸a restauradora ou diminuir a ine´rcia e qual o efeito isto teria sobre o
respectivo per´ıodo?
24
Experieˆncia 2
Dimenso˜es Euclidianas
2.1 Introduc¸a˜o
Para materiais so´lidos homogeˆneos, a massa m possui uma relac¸a˜o linear com
o volume v, isto e´:
m = d3v, (2.1)
onde d3 e´ uma constante de proporcionalidade definida como a densidade
volume´trica do objeto. O volume v e´ func¸a˜o de grandezas caracter´ısticas
L1, L2, L3 (v = f(L1, L2, L3)). E´ interessante observar a dependeˆncia da
massa com as dimenso˜es do objeto para objetos com forma geome´trica mais
simples em que as grandezas caracter´ısticas podem ser comprimento, altura e
largura, como para um paralelep´ıpedo. Nesse caso podemos escrever a massa
e sua proporcionalidade com Li da seguinte maneira:
m = K3L1L2L3, (2.2)
onde K3 e´ a densidade volume´trica.
Em um caso particular de um determinado objeto para o qual as treˆs
grandezas caracter´ısticas sa˜o iguais, como um cubo ou uma esfera, tem-se
que L1 = L2 = L3 = L, a equac¸a˜o 2.2 pode ser escrita como
m = K3L
3. (2.3)
No caso do cubo K3 e´ a densidade volume´trica, enquanto que no caso da
esfera K3 e´ igual a densidade volume´trica multiplicada por
4
3
π.
25
Para o caso em que uma das grandezas na˜o varia, pode-se considerar
apenas as duas dimenso˜es que correspondera˜o a` a´rea A do objeto, enta˜o
m = d2A, (2.4)
onde d2 e´ definido como a densidade superficial do objeto. Novamente a
a´rea A do objeto esta´ relacionada a`s suas grandezas caracter´ısticas, logo no
caso de um paralelogramo podemos relacionar a massa com estas grandezas
(comprimento e altura):
m = K2L1L2, (2.5)
K2 e´ a densidade superficial. Se L1 = L2 = L, que e´ o caso de um quadrado
ou c´ırculo
m = K2L
2, (2.6)
K2 e´ a densidade superficial, d2, para o quadrado e proporcional a ela no caso
do c´ırculo.
Finalmente, se somente uma destas grandezas varia e as outras duas sa˜o
mantidas constantes, como e´ o caso de um fio de espessura uniforme, temos
a relac¸a˜o
m = K1L, (2.7)
sendo K1, neste caso, a pro´pria densidade linear do objeto (K1 = d1).
Medidas de densidade sa˜o de extrema importaˆncia e podem trazer in-
formac¸o˜es interessantes e surpreendentes, como por exemplo, no caso do sis-
tema solar. A comparac¸a˜o entre massa e volume da Terra e dos planetas
Veˆnus e Mercu´rio mostra uma densidade volume´trica destes da ordem de
5,4g/cm3 enquanto que o Sol, que tem uma massa 400 mil vezes maior que a
da Terra, possui uma densidade bem menor (1,4g/cm3). Esta desigualdade
entre as densidades pode indicar uma composic¸a˜o do Sol muito diferente
daquela dos planetas citados.
26
2.2 Estimativas das Incertezas nas Medidas e
Propagac¸a˜o de Incertezas
Como pode ser visto no Apeˆndice C, o procedimento ba´sico para estimar a
incerteza estat´ıstica consiste em repetir medic¸o˜es. A partir de N resultados
y1, y2, y3, ....., yN de medic¸o˜es, executadas de forma similar, pode-se obter os
valores me´dios, y , o desvio padra˜o, s, e o desvio padra˜o da me´dia, sm.
A incerteza final sf em cada resultado pode ser obtida como combinac¸a˜o
da incerteza estat´ıstica sm com a incerteza instrumental si que pode ser
avaliada pela escala do instrumento.
As incertezas correspondentes ao eixo das abcissas devera˜o ser transferi-
das para o eixo das ordenadas para serem colocadas nos gra´ficos.
2.3 Ana´lise dos Dados
A partir das medidas de massa e dimenso˜es dos objetos e´ poss´ıvel determinar
as densidades volume´trica, superficial e linear dos objetos estudados que se
relacionam por
m = KnL
n, (2.8)
onde n = 3 para esfera (cubo), n = 2 para disco (quadrado) e n = 1 para
basta˜o.
A partir desta equac¸a˜o podemos determinar o valor da densidade em cada
caso por meio de ana´lise gra´fica. Para isto, e´ feita a linearizac¸a˜o da equac¸a˜o
2.8 por substituic¸a˜o de varia´veis, como por exemplo, adotando-se m = y e
Ln = x, o que possibilita a representac¸a˜o dos dados por uma reta1 do tipo
y = ax+ b, onde se espera que o termo linear b seja compat´ıvel com zero.
1Veja a Sec¸a˜o B.3 Equac¸a˜o da Reta num Plano no Apeˆndice B.
27
Experieˆncia 3
Geometria fractal
3.1 Introduc¸a˜o
A relac¸a˜o entre a massa M de um objeto e seu comprimento caracter´ıstico L
para os casos de um fio, uma placa e uma esfera foram vistos na Experieˆncia
2 e eram matematicamente descritos por
Linear (fio): M = K1L ,
Superficial (placa): M = K2L
2 ,
Volume´trico (esferas): M = K3L
3 .
ondeK1, K2 eK3 sa˜o constantes relacionadas a`s densidades linear, superficial
e volume´trica, respectivamente. Todas as expresso˜es acima correspondem a
relac¸o˜es entre M e L que podem ser escritas de modo geral como
M = KLD , (3.1)
onde D e´ a dimensa˜o do objeto e K uma constante. Se a dimensa˜o D for des-
conhecida, e´ poss´ıvel obteˆ-la a partir de dados experimentais para a relac¸a˜o
entre a massa M e o comprimento caracter´ıstico L, usando a equac¸a˜o 3.1.
3.2 Dimenso˜es Fractais
A natureza parece gostar de produzir formas com muitos graus de frag-
mentac¸a˜o, tanto no n´ıvel macrosco´pico quanto no microsco´pico. Quantificar
28
comprimentos, a´reas e volumes de formas fragmentadas apresenta muitos
problemas quando se utiliza a geometria euclideana. Verifica-se que medi-
das de distaˆncias em formas fragmentadas dependem da escala que se usa.
Pode-se, por exemplo, medir a costa litoraˆnea brasileira por treˆs me´todos:
por meio de uma foto de sate´lite, por meio de fotos ae´reas ou simplesmente
caminhando-se pelas praias. Os resultados das treˆs medic¸o˜es sera˜o bem di-
ferentes, pois quanto menor a escala, mais sens´ıvel a medida e´ aos contornos
e, portanto, fornecera´ um valor maior.
Na de´cada de 60 encontravam-se enciclope´dias com valores muito discre-
pantes de distaˆncias de fronteiras entre pa´ıses. Um livro portugueˆs apresen-
tava que sua fronteira com a Espanha tinha 1 214 km, enquanto um livro
espanhol citava 987 km para a mesma fronteira. O mesmo ocorria entre Ho-
landa e Be´lgica (380 km contra 449 km). Essas diferenc¸as, da ordem de 20%,
sa˜o justificadas quando se supo˜e que os pa´ıses utilizaram escalas distintas
nas medidas de suas fronteiras.
Fatos como estes chamaram a atenc¸a˜o de matema´ticos que verificaram
a inadequac¸a˜o da geometria euclideana quando aplicada a certos casos. Foi
desenvolvida, enta˜o,a geometria de fractais, que se aplica a grandezas frag-
mentadas e envolve o conceito de dimenso˜es na˜o-inteiras. A dimensa˜o fractal
D quantifica o grau de fragmentac¸a˜o.
No experimento que propomos, e´ verificada a aplicabilidade da geometria
fractal para o caso em que uma folha de papel (um objeto plano) e´ trans-
formada numa bola de papel (um objeto espacial), depois de ser amassada.
O ato de amassar o papel implica na fragmentac¸a˜o de uma a´rea em a´reas
menores. O experimento envolve a medic¸a˜o de uma grandeza (diaˆmetro φ
das esferas de papel) e a verificac¸a˜o da dependeˆncia deste com a massa M
da bola.
Verificar-se-a´ se a massa varia ou na˜o com o cubo da dimensa˜o linear,
como ocorre com esferas macic¸as; ou se o expoente da relac¸a˜o M = KφD
apresenta dimensa˜o na˜o-inteira.
3.3 Ana´lise dos Dados
De acordo com a geometria fractal, a dependeˆncia da massa da bola de papel
com o diaˆmetro obedece equac¸a˜o 3.1. Esta relac¸a˜o pode ser linearizada por
uma transformac¸a˜o logaritmica. Extraindo o logaritmo da equac¸a˜o 3.1, se
obte´m:
29
log(M) = log(KφD) = log(K) + log(φD) = log(K) +Dlog(φ) . (3.2)
Um tipo de papel especial, em que as dimenso˜es lineares sa˜o proporcionais
aos logaritmos dos nu´meros marcados em ambos os eixos (papel log-log ou di-
log) 1. No papel log− log a dependeˆncia da massa com o diaˆmetro deve, pois
produzir uma reta. A equac¸a˜o (3.2) e´ da forma y = a+ bx, onde a = log(K)
e b = D sa˜o as constantes a serem determinadas.
1Veja a sec¸a˜o B.6 do apeˆndice B.
30
Experieˆncia 4
Caracterizac¸a˜o de So´lidos
4.1 Objetivos
O objetivo desta experieˆncia consiste em diferenciar o tipo de pla´stico que
compo˜e objetos so´lidos pela determinac¸a˜o de sua densidade. Ao mesmo
tempo, discutiremos a importaˆncia em se adotar um determinado modelo e
que sua inadequac¸a˜o ou mesmo problemas na execuc¸a˜o das medic¸o˜es podem
induzir erros sistema´ticos no resultado final.
4.2 Introduc¸a˜o
A densidade de um so´lido homogeˆneo1 e´ definida por
d =
m
v
(4.1)
onde m e´ a massa do so´lido e v e´ o seu volume. Para identificac¸a˜o de
um pla´stico, a incerteza na densidade e´ ta˜o importante quanto o pro´prio
valor obtido, pois a grande maioria dos pla´sticos teˆm densidades[3] entre
0, 9 g/cm3 e 1, 4 g/cm3 2. Portanto, se por exemplo, a densidade obtida
1Corpo homogeˆneo e´ aquele que tem as mesmas propriedades em todos os seus pontos ou
seja, densidade constante. Para um corpo na˜o homogeˆneo, a densidade pode ser diferente
em pontos diferentes e a definic¸a˜o acima se aplica a` densidade me´dia do corpo.
2Entre os pla´sticos comuns, uma excec¸a˜o e´ o teflon que tem densidade bem maior, de
aproximadamente 2, 2 g/cm3 .
31
para um pla´stico X e´ dX = 1, 15 g/cm
3 e a incerteza corresponden-
te e´ sX = 0, 20 g/cm
3 , o resultado e´ praticamente inu´til para identifica-
c¸a˜o do pla´stico. Se a incerteza e´ sX = 0, 05 g/cm
3 , enta˜o o nu´mero de
possibilidades e´ bem menor e o pla´stico pode ser identificado com outros
crite´rios mais simples, tais como transpareˆncia, consisteˆncia ou colorac¸a˜o.
Assim, podemos perceber a necessidade de uma teoria para a propagac¸a˜o das
incertezas das medidas prima´rias (geome´tricas e de massa) para se obter a
densidade. Veja por exemplo a sec¸a˜o C.6 do apeˆndice C e em particular o
ca´lculo da incerteza no resultado final. Um tratamento mais completo do
assunto pode ser encontrado na refereˆncia [4].
32
Experieˆncia 5
Peˆndulo Simples
5.1 Objetivos
Nesta experieˆncia sera´ estudada a relac¸a˜o entre per´ıodo T de um peˆndulo e
seu comprimento L e verificar se ele pode ser representado pelo modelo do
peˆndulo simples1 para pequenas oscilac¸o˜es1.
5.2 Introduc¸a˜o
Toda haste, fio ou outro objeto qualquer, inextens´ıvel, suspenso por um de
seus pontos e sujeito a ac¸a˜o da gravidade executara´ um movimento osci-
lato´rio, se for momentaneamente afastado do seu ponto de equil´ıbrio. O
per´ıodo deste movimento e´ uma grandeza f´ısica caracter´ıstica do sistema.
A exemplo mais simples desse sistema e´ o um peˆndulo, que consiste de um
objeto de massa pequena suspenso por um fio inextens´ıvel e de massa des-
prez´ıvel.
5.3 Modelo para Pequenas Oscilac¸o˜es
Um modelo bastante comum, utilizado para relacionar o per´ıodo T de um
peˆndulo com seu comprimento L e´ chamado de modelo do peˆndulo simples e
baseia-se nas seguintes hipo´teses:
1Uma descric¸a˜o mais ampla do peˆndulo pode ser encontrada na refereˆncia [5].
33
m x
x
θ
L
F
0
Figura 5.1: Desenho esquema´tico de um peˆ ndulo simples.
• o peˆndulo e´ constitu´ıdo por um ponto material suspenso por um fio
inextens´ıvel e sem massa;
• apenas as forc¸as peso e trac¸a˜o agem sobre o ponto material;
• e´ va´lida a aproximac¸a˜o de seno(θ) ≈ θ.
Baseado nestas hipo´teses, pode-se deduzir a seguinte relac¸a˜o funcional2
entre T e L:
T = 2π
√
L
g
(5.1)
onde g e´ a acelerac¸a˜o da gravidade local.
2Veja Cap´ıtulo 15 da Refereˆncia [6].
34
5.4 Situac¸a˜o Experimental
Para que a Equac¸a˜o 5.1 seja aplica´vel, e´ necessa´rio que as condic¸o˜es expe-
rimentais possam ser aproximadas pelas hipo´teses e limitac¸o˜es do modelo.
Assim, utiliza-se como ponto material uma bolinha de chumbo, e o fio de um
material de baixa densidade e pouca elasticidade. Adota-se ainda, pequenos
aˆngulos de oscilac¸a˜o ma´xima (no caso de seno(θ) ≪ θ, o erro percentual da
aproximac¸a˜o da hipo´tese c e´ menor que 1%, veja a Questa˜o 1). e´ necessa´rio
ter em mente que, estritamente, o peˆndulo simples na˜o existe na natureza,
pore´m as incertezas experimentais sa˜o muito maiores do que as envolvidas
nas aproximac¸o˜es adotadas para o modelo do peˆndulo simples, esta portanto
na˜o tendo influeˆncia na incerteza final.
5.5 Questo˜es
1. Na aproximac¸a˜o sen θ ∼= θ (radianos), o erro porcentual e´
ε = 100 (sen θ − θ)/(sen θ) .
Fazer um gra´fico ε × θ para valores de θ de 0 a 900 e comentar os
resultados.
2. O per´ıodo do peˆndulo e´ dado commelhor aproximac¸a˜o por (ver Refereˆncias
1 e 3)
T (θmax) = T0 ( 1 +
1
16
θ2max ) onde T0 = 2 π
√
L
g
(5.2)
sendo θmax o valor ma´ximo do aˆngulo θ (ver Figura 5.1). Percebe-se
que T (θmax) ≡ T0 apenas para θmax = 0. Calcular o erro cometido ao se
considerar T0 como per´ıodo em lugar do valor mais exato T (θmax) , quando
a amplitude ma´xima xmax das oscilac¸o˜es e´ igual a L/10 .
(O resultado permite concluir que para xmax = L/10 a aproximac¸a˜o de
pequenas oscilac¸o˜es e´ muito boa.)
3. No caso de pequenas oscilac¸o˜es, valem as aproximac¸o˜es
sen θ ∼= θ e cos θ ∼= 1 (θ << 1) .
35
Considerando o peˆndulo da Figura 5.1, mostrar que a forc¸a restauradora
e´ dada por
F = − k x onde k = mg
L
.
4. A soluc¸a˜o x(t) para o peˆndulo e´ obtida da Lei de Newton, para pequenas
oscilac¸o˜es,
F = − k x = m d
2x
dt2
.
Mostrar, derivando duas vezes e substituindo, que x(t) = xmax cos ω t e´
soluc¸a˜o desta equac¸a˜o e
T =
2 π
ω
= 2 π
√
m
k
= 2 π
√
L
g
.
O aluno interessado pode consultar as refereˆncias [5, 7, 8] e as refereˆncias
la´ citadas para se quiser avaliar poss´ıveis limitac¸o˜esdo modelo de peˆndulo
simples na presente situac¸a˜o experimental.
36
Experieˆncia 6
Oscilac¸o˜es
6.1 Introduc¸a˜o
6.1.1 Motivac¸a˜o
Um dos aspectos mais importantes de um experimento e´ a preparac¸a˜o e o
planejamento adequados de um experimento. Se o papel de um experimento
e´ o de realizar uma pergunta a` natureza, o planejamento do experimento pode
ser pensado como uma tentativa de formular a pergunta o mais claramente
poss´ıvel.
Esta experieˆncia consiste em estudar as frequeˆncias de ressonaˆncia de
uma corda vibrante com os extremos fixos, em func¸a˜o dos va´rios paraˆmetros
f´ısicos que caracterizam o sistema. Para realizar este objetivo,a preparac¸a˜o e
planejamento pre´vios de como estudar experimentalmente este sistema sera˜o
cruciais.
6.1.2 Ressonaˆncias em Cordas Vibrantes com Extre-
mos Fixos
Consideremos uma corda fixa nas suas extremidades e sujeita a uma certa
tensa˜o. Se esta corda receber uma excitac¸a˜o senoidal com frequeˆncia bem
definida, ela entrara´ em vibrac¸a˜o em toda sua extensa˜o. Existem certas
frequeˆncias de excitac¸a˜o para as quais a amplitude e´ ma´xima. Este fenoˆmeno
e´ conhecido como ressonaˆncia. As frequeˆncias nas quais ocorrem este fenoˆmeno
sa˜o chamadas de frequeˆncias de ressonaˆncia ou modos normais de vibrac¸a˜o.
37
O conjunto de frequeˆncias de ressonaˆncia e´ caracter´ıstico de cada sistema
f´ısico.
Num modo normal, o movimento da corda e´ o de uma onda estaciona´ria.
As ondas estaciona´rias numa corda sa˜o produzidas pela superposic¸a˜o de duas
ondas harmoˆnicas de mesma amplitude, mas se propagando em sentidos opos-
tos. O resultado dessa superposic¸a˜o e´ uma configurac¸a˜o que na˜o se propaga,
com a formac¸a˜o de ventres e no´s, como pode ser visto na Fig. 6.1. O mo-
vimento correspondente ao modo normal e´ uma oscilac¸a˜o harmoˆnica do fio
como um todo na frequeˆncia fn, onde n e´ o nu´mero de ventres. Isto e´, com
excec¸a˜o dos no´s, os demais pontos realizam movimento harmoˆnico simples na
frequeˆncia fn, sendo que o fio mante´m a forma senoidal durante a oscilac¸a˜o.
A importaˆncia dos modos normais de vibrac¸a˜o e´ que uma vibrac¸a˜o complexa
na corda pode ser reduzida a uma soma de vibrac¸o˜es nos modos normais -
este e´ um dos resultados mais importantes da teoria de Fourier.
Figura 6.1: Modos normais de vibrac¸a˜o de uma corda de comprimento L,
com as extremidades fixas. Cada modo normal e´ caracterizado pelo nu´mero
de ventres n
No caso, estudaremos o sistema ilustrado pela Figura 6.2. Um dos extre-
mos fixos e´ tensionado por meio de uma massa suspensa e no outro extremo
38
faz-se vibrar a corda. Um modelo poss´ıvel para caracterizar as frequeˆncias de
ressonaˆncia fn de uma corda sob tensa˜o em func¸a˜o do nu´mero de ventres (n),
do comprimento do fio (L), da tensa˜o aplicada a` corda (T ) e da densidade
linear da corda (µ) pode ser dado pela seguinte relac¸a˜o funcional
fn = Cn
αLβT γµλ (6.1)
onde α, β, γ e λ sa˜o expoentes a serem determinados e C e´ uma constante.
Este sera´ o modelo estudado neste experimento.
6.1.3 Objetivo
O objetivo do experimento consiste em estudar as frequeˆncias de ressonaˆncia
fn em func¸a˜o dos va´rios paraˆmetros que caracterizam o fio e assim verifi-
car experimentalmente a validade da equac¸a˜o 6.1 e determinar os expoentes
caracter´ısticos α, β, γ e λ.
6.2 Procedimento Experimental
6.2.1 Descric¸a˜o do aparato
O arranjo experimental que sera´ utilizado nesta experieˆncia e´ ilustrado na
Figura 6.2. Uma das extremidades de uma corda de nylon e´ presa a uma
haste no centro de um alto-falante, enquanto a outra extremidade passa por
uma roldana e sustenta uma massa M , fornece a tensa˜o a` corda. O gerador
de a´udio, que e´ responsa´vel por produzir uma tensa˜o senoidal de frequeˆncia
ajusta´vel, e´ ligado ao alto-falante. Como o gerador de a´udio e´ usado para
alimentar o alto-falante, o cone do alto-falante oscila na mesma frequeˆncia
que o gerador de a´udio e, consequentemente, a corda tambe´m oscila nesta
frequeˆncia.
Dependendo do valor de frequeˆncia aplicado ao alto-falante, pode-se ob-
servar a formac¸a˜o de cristas e nodos na corda. A frequeˆncia de ressonaˆncia
e´ determinada quando a corda oscila com ma´xima amplitude. A frequeˆncia
correspondente e´ lida no gerador de a´udio. A tensa˜o aplicada a` corda e´ dada
por T = Mg, onde g e´ a acelerac¸a˜o da gravidade e M e´ a massa sustentada
pela corda. O alto-falante fica numa plataforma mo´vel em relac¸a˜o ao res-
tante dos objetos utilizados no experimento. Assim, torna-se poss´ıvel variar
o comprimento da corda L.
39
Figura 6.2: Arranjo experimental utilizado para estudar a ressonaˆncia de um
fio sob tensa˜o.
6.2.2 Explorando o Experimento
• Familiarize-se com o arranjo experimental. Em particular, explore o
gerador de func¸o˜es - lembre-se de utilizar ondas senoidais e a maior
amplitude de sa´ıda poss´ıvel. Procure os intervalos de frequeˆncia em
que ocorrem as ressonaˆncias. Note as ordens de grandeza das varia´veis
envolvidas (comprimento da corda, massa do suporte, ...).
• Como para verificar a validade da equac¸a˜o e determinar os expoentes da
equac¸a˜o 6.1 devemos manter todos paˆrametros fixos menos um, temos
de decidir quais valores dos paraˆmetros fixos utilizar - e para tanto e´
necessa´rio um crite´rio de escolha. Um procedimento para determinar
este crite´rio e´ pensar em qual e´ a varia´vel que determina quando a
corda esta na condic¸a˜o de ressonaˆncia.
• Neste experimento a corda utilizada sera´ mantida fixa. Dentre as va´rias
cordas dispon´ıveis, com suas respectivas densidades, qual deve ser uti-
lizada?
• Explore o comportamento da ressonaˆncia para cada uma das varia´veis
e determine quais valores atendem melhor o crite´rio de escolha. Estes
sera˜o os valores fixos a serem utilizados.
• Estime as incertezas de cada uma das grandezas. Qual e´ a incerteza
nas medidas de L e n? Qual e´ a incerteza instrumental nas medidas de
f? E´ necessa´rio realizar va´rias medidas de cada uma das grandezas?
40
6.2.3 Realizando as Medidas
• Para cada uma das varia´veis independentes na equac¸a˜o 6.1, fixe to-
das outras varia´veis nos valores determinados e realize um conjunto
de medidas das frequeˆncias de ressonaˆncia fn em func¸a˜o da varia´vel
escolhida.
• No caso de a varia´vel independente ser L ouM , quantos pontos medir?
6.3 Ana´lise de Dados (Pre´-s´ıntese)
• Justifique o procedimento adotado para escolher os valores fixos das
varia´veis.
• Para cada um dos conjuntos de dados de fn por uma varia´vel indepen-
dente, grafique os resultados num papel dilog. Discuta se o compor-
tamento esperado pela equac¸a˜o 6.1 e´ razoa´vel (note que o papel dilog
e´ especialmente adequado para este fim). Estime o valor do expoente
correspodente, com sua incerteza.
6.4 Discussa˜o (S´ıntese)
• Se supormos que a frequeˆncia de ressonaˆncia na˜o depende de mais ne-
nhuma grandeza, e´ razoa´vel supor que a constante C na equac¸a˜o 6.1)
e´ adimensional. Se fizermos estas hipo´teses, utilize apenas ana´lise di-
mensional para fixar os expoentes da equac¸a˜o 6.1. Qual dos expoentes
na˜o pode ser determinado por este me´todo?
• Os expoentes obtidos experimentalmente sa˜o compat´ıveis com os ex-
poentes esperados pela discussa˜o do item anterior?
• Discuta a possibilidade de estudar o comportamento de fn em func¸a˜o
da densidade linear µ da corda.
• µ e´ uma varia´vel independente das demais?
41
Apeˆndice A
Histograma
Quando uma varia´vel qualquer e´ estudada, o maior interesse e´ conhecer o
comportamento desta varia´vel. O histograma e´ o gra´fico de distribuic¸a˜o
de frequ¨eˆncia, onde os dados sa˜o dispostos em intervalos chamados canais
ou bins, de largura conveniente, sendo representados ao longo da abscissa,
enquanto nas ordenadas esta´ representada a frequ¨eˆncia ou frequ¨eˆncia relativa
de ocorreˆncia dos valores correspondente a cada canal.
Para se construir um histograma e´ necessa´rio obter a frequ¨eˆncia com que
o valor medido pode ser encontrado dentro de um certo intervalo.
Para se obter este valor deve-se determinar qual o intervalo desejado
(xi ≤ x < xi+1) - intervalo fechado a` esquerda - ou (xi < x ≤ xi+1)- in-
tervalo fechado a` direita -. Uma vez determinado o intervalo deve-se obter
o valor ni que, dentro do conjunto de valores experimentais, e´ o nu´mero de
ocorreˆncias de dados que estejam dentro do intervalo escolhido. Este valor ni
e´ chamado de frequ¨eˆncia absoluta ou simplesmente frequ¨eˆncia. Neste caso,
o valor da ordenada sera´ a frequ¨eˆnciados dados. Entretanto, para a maioria
das aplicac¸o˜es pra´ticas e´ mais interessante trabalhar com a frequ¨eˆncia rela-
tiva1, que nada mais e´ do que raza˜o entre a frequ¨eˆncia e o nu´mero total de
dados, N .
O histograma permite a visualizac¸a˜o do comportamento dos dados, onde
podem ser avaliadas o valor me´dio, a simetria da distribuic¸a˜o deles em relac¸a˜o
ao valor me´dio, o valor me´dio, o valor da moda, o valor da mediana, a largura
da distribuic¸a˜o (isto e´, qua˜o dispersos esta˜o os resultados ao redor do valor
me´dio) e distribuic¸a˜o ou flutuac¸a˜o dos valores medidos.
1Histograma com frequ¨eˆncia relativa e´ importante quando se quer comparar conjunto
de dados com diferentes N .
42
O tipo de distribuic¸a˜o dos dados e´ de suma importaˆncia em qualquer
experimento, pois ela determinara´ toda a estat´ıstica a ser utilizada.
A.1 Exemplo 1
A tabela A.1 apresenta as notas de 105 provas de alunos cujo pontuac¸a˜o
ma´xima da prova e´ 11. O intervalo ou bin ou canal foi tomado como de
largura 1,0, fechado a esquerda e iniciando no valor 0,0. A frequ¨eˆncia de
notas referente a tabela A.1 e´ apresentada na tabela A.1, onde na primeira
linha e´ apresentado o in´ıcio e o final do intervalo e na segunda os valores das
frequ¨eˆncias correspondentes. O intervalo e´ fechado a` esquerda, por exemplo
4,0 e´ contado no intervalo de 4,0 a` 5,0.
Tabela A.1: Notas de prova de 105 alunos. O valor ma´ximo da nota da prova
e´ de 11 pontos.
9,5 8,8 3,3 9,8 6,4 7,3 7,1 5,8 7 7,6
5,0 7,5 6,65 7,6 10,3 4,5 2,5 6,25 6,55 1,5
10,3 8,5 5,1 2,7 4,4 7,05 8,1 5,95 5,5 6,0
4,6 3,1 7,9 7,5 8,2 9,5 9,8 2,3 2,2 5,35
8,0 5,2 2,5 3,8 8,3 9,0 7,6 4,0 7,35 7,6
3,55 6,85 5,7 3,3 5,4 3,65 4,75 5,6 5,6 3,5
4,65 3,7 4,15 5,95 3,65 3,05 3,4 4,0 8,7 4,85
6,1 8,6 4,8 0,5 3,3 5,55 3,7 4,3 5 3,45
5,95 5,85 6,8 6,15 0,0 1,9 4,35 4,5 5,1 4,85
5,05 5,2 5,6 6,1 6,5 7,2 7,3 7,4 8,65 9,2
8,8 9,5 10,1 10,5 7,7
Tabela A.2: Frequ¨eˆncia de notas de prova de 105 alunos. O valor ma´ximo
da nota da prova e´ de 11 pontos.
intervalo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
frequ¨eˆncia 2 2 5 14 14 20 11 16 10 7 4
43
0 2 4 6 8 10
0
5
10
15
20
F
r
e
q
ü
ê
n
c
i
a
Nota da Prova
Figura A.1: Frequ¨eˆncia das notas de prova de 105 alunos. O valor ma´ximo
da nota da prova e´ de 11 pontos.
No histograma da figura A.1 e´ poss´ıvel afirmar que a distribuic¸a˜o dos
valores da notas da prova pode ser sime´trica. Isso poderia ser melhor ava-
liado se houvesse um nu´mero maior de provas. pore´m notas de prova na˜o
apresentam necessariamente uma distribuic¸a˜o sime´trica.
A.2 Exemplo 2
Considere o experimento em que 8 dados com duas faces marcadas sa˜o
lanc¸ados simultanemente n vezes. Os resultados sa˜o o nu´mero de faces mar-
cadas, i (sucesso), que aparecem voltadas para cima, i pode ter os valores
de 0, 1, ..., 7, 8. Terminado os lanc¸amentos obtem-se o valor ni de quantas
vezes ocorreu o resultado i. A tabela A.2 apresentada os resultados obtidos
para o experimento para 500 e 4500 lanc¸amentos.
Pode-se perceber dos histogramas das figura A.2 e que a distribuic¸a˜o
na˜o e´ sime´trica. Isso se deve ao fato que os resultados obtidos seguem uma
distribuic¸a˜o binomial.
44
Tabela A.3: Frequ¨eˆncia de sucessos no lanc¸amento de 8 dados com duas faces
marcadas para 500 e 450 lanc¸amentos.
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 total
ni 21 78 129 151 80 34 7 0 0 500
ni 191 675 1218 12577 7427 32277 837 12 0 4500
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
20
40
60
80
100
120
140
160
F
r
e
q
ü
ê
n
c
i
a
Sucesso
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
200
400
600
800
1000
1200
F
r
e
q
ü
ê
n
c
i
a
Sucesso
Figura A.2: Frequ¨eˆncia de sucessos no lanc¸amento de 8 dados com duas faces
marcadas para 500 lanc¸amentos, histograma da esquerda, e 4500 lanc¸amentos
histograma da direita.
45
Apeˆndice B
Tabelas e Gra´ficos
B.1 Tabelas
Tabelas devem sempre ser utilizadas para apresentar conjuntos de dados
experimentais e resultados de ca´lculos repetitivos.
Uma tabela deve conter todas as informac¸o˜es necessa´rias para se enten-
der o que significam as quantidades tabeladas, de maneira razoavelmente
independente do texto principal.
No exemplo apresentado (Tabela B.1) o conteu´do da tabela e´ razoavel-
mente bem definido pela legenda e cabec¸alhos, ale´m de unidade e fator mul-
tiplicativo (10−11). Isto e´, pode-se ter uma compreensa˜o razoa´vel da tabela,
independentemente do texto principal.
Algumas regras gerais para se elaborar uma tabela sa˜o apresentadas a
seguir. Os detalhes sa˜o exemplificados na tabela B.1.
• Identificac¸a˜o
As tabelas devem ser numeradas, pois isto permite identifica´-las facil-
mente. Ale´m da numerac¸a˜o, pode existir um t´ıtulo.
• Legenda
A legenda e´ o texto explicativo acima ou abaixo da tabela. Ale´m da
identificac¸a˜o e eventual t´ıtulo, a legenda pode ter informac¸o˜es adicionais que
ajudem a entender o conteu´do da tabela.
46
Tabela B.1: Alguns valores experimentais para a constante de gravitac¸a˜o ao
longo dos anos.2 A incerteza relativa ( σ/G ) e a incerteza relativa percen-
tual ( 100σ/G ) sa˜o tambe´m indicadas. As colunas 2 e 3 representam as
mesmas grandezas em notac¸o˜es diferentes. A incerteza no valor da grandeza
na coluna 3 e´ igual ao nu´mero decimal em que os d´ıgitos indicados entre
pareˆnteses aparecem no final das casas decimais do valor da grandeza. Os
valores devem ser apresentados com um espac¸o a cada treˆs d´ıgitos contados
tanto a direita como a esquerda da v´ırgula decimal.
ano (G± σ) G(σ) ε = σ
G
ε%
10−11m3s−2kg−1 10−11m3s−2kg−1 %
1 798 6, 75 ± 0, 05 6,75(5) 0,007 4 0, 74
1 896 6, 657 ± 0, 013 6,657(13) 0, 002 0 0, 20
1 930 6, 670 ± 0, 005 6,670(5) 0, 000 75 0, 075
1 973 6, 672 0± 0, 004 1 6,672 0(41) 0, 000 62 0, 062
1 988 6, 672 59± 0, 000 85 6,672 5(85) 0, 000 13 0, 013
• Cabec¸alhos
O conteu´do de cada coluna (ou linha) deve ser perfeitamente identificado
por meio de cabec¸alhos convenientes. Em geral, as unidades e eventuais
fatores multiplicativos sa˜o indicados no cabec¸alho.
• Unidades
As unidades e eventuais fatores multiplicativos devem ser explicitamente
indicados. Evidentemente, as quantidades devem ser escritas incluindo so-
mente os algarismos significativos, e zeros a` esquerda devem ser evitados por
meio de mudanc¸a de unidades ou usando fatores multiplicativos convenientes.
• Incertezas
As incertezas devem ser sempre explicitamente indicadas nas mesmas
47
colunas que as quantidades ou em colunas separadas. Ale´m disso, as incer-
tezas devem ser dadas com as mesmas unidades e fatores multiplicativos das
quantidades. Quando a incerteza e´ a mesma para todos os dados de uma
coluna, deve-se indica´-la no cabec¸alho da tabela.
B.2 Gra´ficos
O gra´fico e´ um recurso que simplifica bastante a compreensa˜o do compor-
tamento de dados experimentais, devido a` interpretac¸a˜o geome´trica. Um
gra´fico permite interpretar mais facilmente o comportamento de pontos ex-
perimentais e observar tendeˆncias ou detalhes no conjunto de dados.
O exemplo simples considerado a seguir, permite verificar a simplicidade
de interpretac¸a˜o de dados da tabela B.1, usando um gra´fico.
Figura B.1: Alguns valores experimentais para a constante de gravidade
apresentados na abela B.1.
Regras gerais para construc¸a˜o de gra´ficos sa˜o resumidas a seguir.
48
0 106
3,33...
6
x
0 106
2,5
6
x
Figura B.2: Subdiviso˜es inadequadas da escala.
• Identificac¸a˜o e legenda
Gra´ficos devem ser numerados para simplificar a identificac¸a˜o e podem
ter t´ıtulos. A legenda e´ um texto explicativo que sempre deve acompanhar
o gra´fico. A legenda inclui a identificac¸a˜o, eventual t´ıtulo e informac¸o˜es
adicionais que sejam importantes para se entender o gra´fico.
• Eixos coordenados
As varia´veis doseixos de abcissas e ordenadas devem ser explicitamente
indicadas, bem como unidades e eventuais fatores multiplicativos.
• Escalas
As escalas devem ser definidas identificando somente as marcac¸o˜es prin-
cipais das escalas (1750, 1800, 1850, . . . , na figura B.1). As coordenadas dos
pontos graficados na˜o devem ser indicadas nos eixos.
Ale´m disso, as escalas devem ser escolhidas de forma que os pontos gra-
ficados sejam razoavelmente bem distribu´ıdos por toda a´rea u´til do gra´fico.
Note que nem sempre e´ necessa´rio mostrar a origem dos eixos coordenados
no gra´fico: se os pontos sa˜o relativamente pro´ximos entre si e distantes da
origem, e´ melhor na˜o incluir a origem dos eixos do gra´fico.
• Subdivisa˜o da escala
A escala deve permitir leitura fa´cil, no sistema decimal. Isto ocorre se a
menor divisa˜o da escala e´ 1, 2 ou 5, ou estes nu´meros multiplicados por
uma poteˆncia de 10 (por exemplo: 0,02 ou 0,005).
Na˜o sa˜o adequadas subdiviso˜es de escala tais como as apresentadas na
Figura B.2. No primeiro exemplo dessa figura, a menor divisa˜o da escala e´
0,333. . . e a escala e´ muito dif´ıcil de ser lida. Para ver isto, basta tentar ler
o valor de x assinalado. O segundo exemplo na˜o e´ ta˜o ruim, mas a leitura
da escala tambe´m e´ inconveniente.
• Barras de incerteza
Num gra´fico, as incertezas sa˜o indicadas por meio de barras de incerteza,
tambe´m chamadas barras de erro. Barras de incerteza horizontais devem ser
geralmente evitadas, transferindo-se a incerteza das mesmas para a varia´vel
49
das ordenadas3. Assim, as barras de incertezas geralmente sa˜o verticais.
Em resumo, um gra´fico com a respectiva legenda deve ser intelig´ıvel,
mesmo quando isolado do texto principal e as escalas devem ser de fa´cil
leitura.
Ale´m das regras acima, deve ser observado que a a´rea u´til do gra´fico na˜o
e´ lugar para se realizar ca´lculos, resolver equac¸o˜es ou escrever.
A figura B.2 e´ um exemplo de gra´fico que mostra os va´rios detalhes.
A menor divisa˜o no eixo das abcissas e´ 2m e no eixo das ordenadas e´
0, 05 · 103 (Nm−2) .
-
6
x (m )
y (103N/m2)
f
f
f
f
f
f
f
f
vff
p
p
p
p
p
p
vff
p
p
6
?
σi
0 40 80 120 160
0
1,0
2,0
3,0
4,0
pf - experimental
v - calculado
Figura B.3: Medic¸o˜es de y em func¸a˜o de x . Dois pontos calculados tambe´m
sa˜o indicados no gra´fico.
3Veja pa´gina 125 da refereˆncia [4].
50
B.3 Equac¸a˜o da Reta num Plano
A figura B.3 mostra uma reta no plano x − y , que passa pelos pontos P0
de coordenadas (x0, y0) e P de coordenadas ( x , y ). Qualquer ponto que
pertenc¸a a reta deve obedecer a relac¸a˜o:
y = a x + b (B.1)
onde a e´ chamado de coeficiente angular da reta e b e´ o seu coeficiente li-
near. Para obtenc¸a˜o dos dois coeficientes basta conhecer dois pontos da reta.
Assim,
a =
y − y0
x− x0
(B.2)
e
b = y0 − a x0 . (B.3)
-
6
x
y
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
u
u
x0 x
y0
y
(y − y0)
(x− x0)
b a =
y−y0
x−x0
θ
P0
P
-ffux
6
?
uy
Figura B.4: Reta no plano x− y.
51
O coeficiente linear b pode (nos casos em que a escala escolhida permita)
tambe´m ser lido diretamente do gra´fico (veja figura B.3), na intersecc¸a˜o da
reta com o eixo y.
O uso das equac¸o˜es B.2 e B.3 para o ca´lculo de a e b requer o uso de dois
pontos quais sobre a reta e, na pra´tica, deve-se escolheˆ-los o mais distantes
poss´ıveis para se obter melhor precisa˜o.
B.4 Escala Logar´ıtmica
A escala logar´ıtmica e´ constru´ıda de tal forma que se uma quantidade x e´
marcada na escala, o comprimento real e´ proporcional a log x . Um trecho
de uma escala log e´ mostrado na figura B.4.
-
log x
-
x0,9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14
1,2
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
6
log x
?
x
Figura B.5: Escala logar´ıtmica.
A escala log e´ u´til para fazer gra´fico usando log x como varia´vel, pois
dispensa o ca´lculo do logaritmo. Entretanto, deve ser observado que pode-se
calcular log x e assinalar o valor em uma escala linear4. No exemplo da
figura B.4, x = 1, 85 pode ser marcado diretamente na escala log, ou o valor
log 1, 85 = 0, 267 pode ser marcado diretamente em escala linear.
Para obter o logaritmo de um nu´mero a partir da escala log, deve ser
lembrado que a unidade u da escala e´ a distaˆncia entre 1 e 10 (ver
figura B.4).
4Escalas logar´ıtmicas eram muito importantes no passado, pois na˜o existiam calcula-
doras eletroˆnicas. O ca´lculo de logaritmo era feito usando tabelas. Atualmente, e´ mais
simples calcular o logaritmo e marcar os valores em uma escala linear comum.
52
log x
-
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14
?
x
-ff u = 90, 0mm
-ff ux = 38, 0mm
Figura B.6: Escala logar´ıtmica.
Por exemplo, o logaritmo de x = 2, 65 e´ dado por5
log x =
ux (mm)
u (mm)
∼= 38, 0mm
90, 0mm
∼= 0, 422
Um valor mais exato e´ log 2, 65 = 0, 423 2 .
B.5 Gra´fico Monolog
Um gra´fico monolog e´ um gra´fico com escala linear no eixo-x das abcissas
e escala log no eixo-y das ordenadas, como mostrado na figura B.5. Este
tipo de gra´fico e´ bastante u´til para uma func¸a˜o exponencial geral da forma
w = d cmx (B.4)
onde c, m e d sa˜o constantes. Calculando o logaritmo da expressa˜o,
obte´m-se
logw = a x + b (B.5)
onde
a = m log c e b = log d .
Assim, a equac¸a˜o B.5 pode ser escrita como uma equac¸a˜o de reta
y = a x + b onde y = logw . (B.6)
Portanto, se a dependeˆncia entre w e x e´ da forma exponencial (III.5),
e´ mais conveniente fazer um gra´fico monolog de w em func¸a˜o de x . Isto
significa um gra´fico logw × x .
5As distaˆncias acima podem eventualmente ser distorcidas no processo de impressa˜o
da apostila.
53
A figura B.5 mostra um exemplo de gra´fico monolog para atenuac¸a˜o ra-
diativa.
Se um atenuador de espessura x e´ colocado entre uma fonte radiativa
e um contador Geiger-Mu¨ller, o nu´mero de contagens em um determinado
intervalo de tempo ∆t e´ dado por
N = N0 e
−αx (B.7)
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0,0 1,2
1
2
4
6
8
10
20
40
60
80
100
200
400
600
 logN
X
1
X
2
N
1
N
2
P
2
(X
2
;N
2
)
X
2
-X
1
P
1
(X
1
;N
1
)
N
Espessura do atenuador (x)
Figura B.7: Nu´mero de contagens N em func¸a˜o da espessura x do atenuador
em gra´fico monolog.
onde α e´ uma constante. Calculando o logaritmo, obte´m-se
logN = −α log e︸ ︷︷ ︸
a
x + logN0︸ ︷︷ ︸
b
. (B.8)
Assim, o gra´fico de logN × x deve ser uma reta com coeficiente angular
a = −α log e · (B.9)
54
O valor do coeficiente a pode ser obtido do gra´fico, a partir de dois
pontos quaisquer P1 e P2 :
a =
logN2 − logN1
x2 − x1
=
v/u
x2 − x1
(B.10)
onde u e´ o comprimento (em mil´ımetros) da unidade na escala log e v
e´ a distaˆncia(em mil´ımetros) entre as coordenadas dos pontos na escala log,
com sinal adequado.
B.6 Gra´fico Dilog
O gra´fico dilog e´ um gra´fico com escalas log em abcissas e em ordenadas,
como mostrado na figura B.6. Este gra´fico e´ u´til para func¸a˜o da forma
w = c za (B.11)
onde a e c sa˜o constantes. Calculando o logaritmo da expressa˜o, obte´m-se
logw = a log z + log c (B.12)
ou
y = a x + b (B.13)
onde
y = logw , x = log z e b = log c ·
Assim, o gra´fico de logw × log z deve ser uma reta com coeficiente
angular a .
O valor de a pode ser obtido do gra´fico, a partir de dois pontos quaisquer
P1 e P2 :
a =
logw2 − logw1
log z2 − log z1
=
v/uy
h/ux
(B.14)
onde ux e uy sa˜o as unidades (em mil´ımetros) das escalas log horizontal e
vertical, e h e v sa˜o as distaˆncias (em mil´ımetros) entre as coordenadas dos
pontos nas escalas log horizontal