Teoria da Transmissão de Energia

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CURSO: CST em Sistema Elétrico 
Linhas de Transmissão - 1/2017 Prof.: Elson Borges 
 
UNIDADE 2 
TEORIA DA TRANSMISSÃO DE ENERGIA 
Linhas de transmissão são todos os elementos que se 
destinam ao transporte de energia independente da 
quantidade de energia transportada e do 
comprimento dessas linhas. 
2.1 - ANALISE QUALITATIVA 
Linhas de transmissão são ligações físicas entre fonte 
de energia e um elemento consumidor dessa energia. 
Esta ligação pode se dar através de condutores, pelos 
quais circulam correntes elétricas e que são mantidos 
sob diferença de potencial. 
 
2.1.1 – Fenômeno da Energização das Linhas 
Consideremos uma linha de transmissão ideal 
constituída por dois condutores metálicos, retilíneos e 
completamente isolados, suficientemente distantes 
do solo, ou de estruturas, ou de outras linhas, para 
que não seja influenciado pela sua presença, e de 
comprimento qualquer. Tratando-se de linhas ideais, a 
resistência elétrica dos condutores é considerado 
nula, como também o dielétrico entre os condutores é 
considerado perfeito de forma que não há perdas de 
energia a considerar. Outrossim lembramos da física 
que, entre dois condutores separados por dielétricos, 
podemos definir uma capacitância e uma indutância. 
Consideremos ainda que junto ao receptor haja um 
dissipador de energia representável por uma 
resistência R. um circuito equivalente pode ser 
representado na figura abaixo, de forma grosseira. 
 
Consideremos um instante imediatamente anterior á 
ligação da chave S, t<0. Os terminais da fonte estão 
sob uma diferença de potencial U[V]. No instante em 
que a chave S for ligada (t=0) entre os terminais 1 e 1’, 
aparecera a mesma diferença de potencial U. Uma vez 
que diferenças de potencial somente são possíveis 
entre cargas elétricas, a colocação sob tensão dos 
terminais 1 e 1’ da linha foi provocada por um 
deslocamento de carga elétrica através de S, cargas 
originarias da fonte. 
Consideremos um elemento de comprimento 
infinitesimal Δx [km] da linha. Ele contem uma 
indutância ΔxL e uma capacitância ΔxC. A tensão u só 
poderá aparecer nos terminais da capacitância após a 
decorrência de um tempo Δt [segundos], pois a 
corrente através de ΔxL não pode atingir 
instantaneamente o seu valor Io [amperes]. Levara um 
outro intervalo de tempo Δt para que o capacitor do 
trecho Δx seguinte atinja o valor U, e assim 
sucessivamente. A corrente fornecida pela fonte, uma 
vez atingido o valor Io, se mantém constante. É a 
corrente de carga da linha. Decorre, portanto, um 
tempo finito entre o instante em que se aplica uma 
tensão ao transmissor de uma linha de transmissão e 
o instante em que esta tensão pode ser medida em 
seu receptor. 
 
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Cargas elétricas em movimento dão origem a campos 
magnéticos e a simples presença de cargas, dão 
origem a campos elétricos. Portanto ao se energizar 
uma linha de transmissão, ao longo da mesma se irão 
estabelecer, progressivamente, campos elétricos, e 
campos magnéticos, do transmissor ao receptor. 
Dizemos que esses campos se propagam do 
transmissor ao receptor. 
Podemos definir a velocidade de propagação ou 
celeridade para um linha de comprimento l [km]: 
� � ��	��� 	
⁄ 
Sendo T [s] o tempo necessário para que a tensão no 
receptor atinja o valor U[V]. 
Consideremos um trecho de linha de comprimento 
unitário de 1 km. Seja t[s] o tempo necessário para 
energizar esse trecho unitário. Então teremos: 
� � 1� 	�	
 
A carga elétrica acumulada nesse trecho será: 
� � �. �	��������
 
A corrente através de um secção do condutor será: 
�� � �. � � �. �. �	��
 
Essa corrente começa a fluir na linha em um tempo Δt 
após o instante em que a tensão é aplicada. Sua 
intensidade independe do comprimento da linha, se 
esta for de comprimento infinito, essa corrente de 
carga será suprida pela fonte, sem alteração de valor, 
enquanto o valor da tensão da fonte se mantiver 
inalterado, indefinidamente. 
Isso nos permite definir uma impedância de entrada 
da linha. 
�� � ��� � 1�. � 
Considerando agora um elemento de comprimento 
Δx. Δt é o período durante o qual, em Δx, a corrente 
crescerá de zero para Io. A FEM induzida será: 
��� � �∆�. . !��!� � � ��∆� ∆� 
Ou, lembrando que ∆� � ∆"# 	�	
, teremos: 
��� � � ��∆� ∆� � ���. . �	�$
 
Como essa FEM deve ser neutralizada pela tensão da 
fonte para que Io possa fluir, teremos: � � ��. . � 
�� � ��� � . � 
Vemos que Zo foi definido de duas formas diferentes. 
Em ambos os casos é função da celeridade e de uma 
grandeza, C ou L, que como sabemos, dependem 
apenas do meio em que a linha se encontra e de suas 
dimensões físicas. 
Se igualarmos as duas equações que definem Zo, 
encontraremos: 
� � 1√ � 
Que é a expressão da velocidade com a qual os 
campos elétricos e magnéticos se propagam ao longo 
de uma linha. 
Lembremos da física que para uma linha a dois 
condutores, no ar ou no vácuo, valem as seguintes 
expressões para o calculo da indutância e da 
capacitância, desprezando o efeito do fluxo magnético 
interno do condutor e da presença do solo: 
 � 2 ∗ 10)* ∗ 	 +,- 	�./��
 
� � 118 ∗ 101 ∗ +,- 	�� ��⁄ 
 
 
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Se introduzirmos essas equações na formula da 
velocidade, encontraremos: 
� � 1
22 ∗ 10)* ∗ 	 +,-18 ∗ 101 ∗ +,-
� 39 ∗ 1056 
� � 3 ∗ 108	���/	
 
Esta é a velocidade de propagação da luz no vácuo. 
Pela equação anterior podemos reconhecer que ela 
depende principalmente do meio em que se encontra 
a linha, por exemplo ela é muito mais baixa nos cabos 
subterrâneos. Nas linhas reais quem que o fluxo 
interno dos condutores também não é desprezível, ela 
é um pouco menor. As linhas também possuem 
perdas que são representadas em serie com a 
indutância e paralelo com a capacitância, que também 
reduzem a velocidade de propagação. 
Podemos definir também uma nova equação para Zo: 
�� � 9 � 
Nesta se substituirmos L e C pelas equações citadas 
acima, teremos: 
�� � 60 ∗ +,- 
Podemos observar que Zo não depende do 
comprimento da linha , somente do meio que esta se 
encontra e de suas dimensões físicas, distancias entre 
condutores e raio. 
Zo é constante para cada linha por isso mesmo é 
considerada uma grandeza característica, 
denominada impedância natural da linha ou ainda 
impedância de surto da linha. 
 
 
2.1.2 – Relação de Energia 
Em cada intervalo de tempo ∆�, necessário para 
energizar um trecho de comprimento ∆� de linha, a 
fonte fornece à mesma uma quantidade de energia 
igual a �. ��. ∆�. Essa energia, numa linha ideal, não é 
dissipada na linha, cabendo, portanto, uma indagação 
sobre o seu destino. 
Os campos elétricos e os campos magnéticos têm a 
capacidade de armazenar energia. No trecho de linha 
de comprimento ∆�poderá, então, ser armazenada a 
energia: 
A – No campo Magnético: ∆�; � <=>.?.∆"@ 	�A. 	
 
B – No campo Elétrico: ∆�B � C>.D.∆"@ 	�A. 	
 
Esse armazenamento se dá simultaneamente. 
Portanto: 
�. ��. ∆� � ��@. . ∆�2 E �@. �. ∆�2 	�A. 	
 
A expressão acima nos diz que a energia fornecida 
pela fonte foi armazenada pelos dois campos, sem, no 
entanto, nos esclarecer sobre sua divisão entre os 
mesmos. Veja como esta se faz. 
Sabemos que � � ��. �� � ��. F?D, substituindo na 
formula do campo elétrico: 
∆�B � G��. 9 �H
@ . �. ∆�2 � ��@. . ∆�2 
Ou seja a quantidade de energia armazenada pelo 
campo elétrico é exatamente igual a quantidade de 
energia armazenada pelo campo magnético.Ca um 
dos campos armazena, portanto, exatamente a 
metade da quantidade de energia que é fornecida 
pela fonte. 
Este processo durará indefinidamente, se a linha tiver 
um comprimento infinito. As linhas de transmissão 
 
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possuem, porem comprimentos finitos. Neste caso 
ocorrerão fenômenos complexos, que procuraremos 
analisar. Esses fenômenos, como veremos, dependem 
exclusivamente da forma como que a linha é 
terminada, ou seja das condições em sua extremidade 
receptora. Imaginemos que a linha tenha um 
comprimento l e que na extremidade receptora 
coloquemos um dissipador de energia I@, com a 
condição de que: 
|I@| � |��| 
2.1.2 – Relação de Energia 
Em cada intervalo de tempo Δt, necessário para 
energizar um trecho de comprimento Δx de linha, a 
fonte fornece uma energia igual a: 
�. ��. K� � ��. ��@. K� 
Numa linha ideal essa energia não é dissipada na 
linha, essa energia é armazenada nos campos elétricos 
e magnéticos. 
A – Campo magnético. 
K�; � ��@. . K�2 		�L. 	
 
B – Campo elétrico. 
K�B � �@. �. K�2 		�L. 	
 
O armazenamento de energia se dá simultaneamente 
nos dois campos. Portanto: 
�. ��. K� � ��@. . K�2 E �@. �. K�2 
Sabemos que � � ��. ��. � ��. F?D, substituindo essa 
expressão na equação do campo elétrico: 
K�B � G��. 9 �H
@ . �. K�2 � ��@. . K�2 		�L. 	
 
Observa-se que a energia armazenada no campo 
elétrico é igual a energia armazenada no campo 
magnético. 
K�B � K�; 
Se a linha tivesse comprimento infinito, este processo 
duraria infinitamente. No entanto, as linhas de 
transmissão possuem comprimento finito, neste caso, 
ocorrerão fenômenos que dependem exclusivamente 
de como a linha é terminada e ou seja, das condições 
em sua extremidade receptora. 
Supomos que a linha tenha um comprimento l(m) e 
que na extremidade receptora coloquemos um 
dissipador de energia I@	��M�
, como a condição de 
que: 
|I@| � |��| 
Teremos então: � � ��. �� � ��. I@ ou �� � CN= � CO> 
 
Uma vez que na terminação da linha não há campos 
magnéticos e elétricos a armazenar energia, toda a 
energia fornecida pela fonte será dissipada na 
resistência I@. Logo: �. ��. K� � I@. ��@. K� 
 
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A corrente �� continuara com a mesma intensidade 
inicial, como se a linha fosse de comprimento infinito, 
independente do valor de L(m). Uma linha assim 
terminada é denominada linha de comprimento 
infinito. 
Quando o valor de I@ for diferente do valor de Zo, o 
equilíbrio estabelecido por � � ��. I@, será alterado 
pois o segundo membro dessa equação poderá ser 
maior ou menor do que o primeiro, dependendo da 
capacidade de dissipação de I@. 
Podemos considerar outros dois casos: 
Linha com resistência terminal maior que Zo – 
|I@| P |��| 
Neste caso, a corrente �@Q , através da resistência I@, 
será menor que a corrente ��, e a potencia dissipável R�′@T@. I′@ será igualmente menor do que a potencia ��@. ��. Junto ao terminal da linha haverá um excesso 
de energia. Um novo estado de equilíbrio deverá 
ocorrer, pois esse excesso de energia não poderá ser 
destruído. 
Uma redução da corrente na linha leva também a uma 
redução da energia armazenada no campo magnético. 
Este, por conseguinte, além de não poder armazenar 
o excesso de energia devido à redução de �@, deve 
ainda ceder parte da energia que possui armazenada. 
Essas duas parcelas só podem ter um destino: o 
campo elétrico. Portanto, a partir do momento em 
que I′@ começa a fluir através de R′@, o campo elétrico 
recebe a energia, excedente, que se manifesta na 
forma de uma elevação da tensão U@ e que se irá 
propagar ao longo da linha, acompanhada da redução 
de IX, com a mesma velocidade v [km/h]. 
 
O caso extremo seria quando I@ � ∞, isto é, na linha 
de comprimento finito, aberto junto ao receptor. 
Neste caso observamos: 
• A corrente se reduz a zero, progressivamente, 
do receptor ao transmissor; 
• O campo elétrico tem que armazenar toda a 
energia, isto é, aquela que chega pela linha e aquela 
que é cedida pelo campo magnético; 
Seja �@ o valor da tensão que a linha atingirá junto ao 
receptor. A energia armazenada em um Δx de linha 
será: 
�@@. �. K�2 
A linha possuía �@. �. K� de energia e a fonte, em Δt, 
enviou mais �@. �. K�. Logo, o campo elétrico deverá 
armazenar energia equivalente a: 
2.�@. �. K� 
Igualando as duas equações acima: 
�@@. �. K�2 � 2. �@. �. K� �@@2 � 2. �@ �@ � 2.� 
Portanto, em uma linha ideal aberta a tensão no 
receptor cresce ao dobro do valor da tensão aplicada. 
Essa tensão se propaga do receptor ao transmissor. 
 
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Linha com resistência terminal menor que Zo – 
|I@| Z |��| 
A corrente �@QQ, através da resistência maior que �� e, 
consequentemente, a potência dissipável em I@QQ, R�′′@T@. I′@, será maior do que a potência ��@. ��. 
Junto ao terminal da linha ocorrerá um déficit de 
energia que não poderá ser suprido de imediato pela 
fonte que alimenta o sistema. O novo estado de 
equilíbrio somente poderá ser atingido se essa 
deficiência for suprida pela própria linha, às expensas 
da energia armazenada por ela durante o processo de 
energização. 
Uma vez que há um aumento no valor da corrente 
que passa de �@ � �� para �@QQ, o campo magnético não 
somente não pode ceder energia, como também deve 
armazenar maior quantidade da mesma, o que faz às 
custas do campo elétrico, que a cede. Haverá, 
portanto, uma redução na tensão �@ junto ao 
receptor, que caminha progressivamente em direção 
à fonte. 
 
Um outro caso extrema de operação da linha bastante 
interessante, é o caso de uma linha terminada em 
curto-circuito, ou seja I@ � 0. Observa-se neste caso: 
• A tensão junto ao receptor somente pode ser 
nula, propagando-se esse valor do receptor ao 
transmissor; 
• Há um aumento no valor da corrente junto ao 
receptor que se propaga para o transmissor. O valor 
da corrente poderá ser determinado com base nas 
considerações que se seguem. 
Uma vez que toda, a energia que estava armazenada 
no campo elétrico não pode ser retido pelo mesmo, 
ela é cedida ao campo magnético, que também 
deverá receber toda a energia que a fonte continuará 
fornecendo. 
A energia no campo magnético será agora em Δx de 
linha: 
�@QQ. . K�2 
Nos dois campos da linha havia ��@. . K� armazenados 
e a fonte em Δt fornecerá mais ��@. . K�; logo, o 
campo magnético terá que armazenar: 
2. ��@. . K� 
Quantia essa que deverá ser igual àquela definida por <>[[.?.\"@ . Logo, 
�@QQ@. . K�2 � 2. ��@. . K�			��			�@QQ � 2. �� 
Portanto, numa linha em curto-circuito a corrente 
crescerá, no receptor, ao dobro de seu valor. 
 
2.2 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DAS LINHAS DE 
TRANSMISSÃO 
Seja uma linha de transmissão real, incluindo em seu 
circuito equivalente os elementos que representam as 
perdas nos condutores dada pelo resistor “r” e 
também as perdas nos dielétricos “g” [S/km]. O 
circuito real para um comprimento Δx [km] da linha 
fica da forma: 
 
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A equação diferencial no elemento será: 
Entre o inicio e o fim do elemento de linha há uma 
diferença de potencial que podemos definir por: ]�]� . K� 
A equação diferencial no elemento será: 
�]�]� . K� � R-. K�T. ^ E R . K�T. ]^]� 	R1T 
Dividindo (1) por Δx, veremos como U varia ao longo 
da linha: 
�]�]� � -. ^ E . ]^]� 	R2T 
A equação diferencial das correntes é: 
� ]^]�. K� � RK�. _T. � E RK�. �T. ]�]� 	R3T 
Dividida por Δx: 
� ]^]� � _. � E �. ]�]� 	R4T _. � – corrente no dielétrico no capacitor; 
�. abac – corrente no capacitor; 
As equações (2) e (4) são expressões da lei de OHM, 
onde as variáveis U e i são dependentes da distancia x 
e do tempo t. 
Diferenciando a equação (2) com relação a x e a 
equação (4) com relação a t, teremos: 
�]@�]�@ � -. ]^]� E . ]@^]�. ]� 	R5T 
� ]@^]�. ]� � _. ]�]� E �. ]@�]�@ 	R6T 
De forma análoga, diferenciando-se a equação (2) em 
relação a t e a equação (4) em relação a x, teremos: 
� ]@�]�. ]� � -. ]^]� E . ]@^]�@ 	R7T 
� ]@^]�@ � _. ]�]� E �. ]@�]�. ]� 	R8T 
Substituindo (6) e (4) em (5) temos: 
a>ba"> � -. _. � E R-. �. E . _T. abac E . �. a>bac>(9) 
Substituindo (7) e (2) em (8) temos: 
a>fa"> � -. _. ^ E R-. �. E . _T. afac E . �. a>fac>(10) 
Estas são as equações diferenciais da linha de 
transmissão, também conhecidas como Equações da 
Onda. 
 
2.2.1 – Solução das Equações Diferenciais no 
Domínio da Frequência. 
Para o estudo de L.T. excitadas por tensões senoidais, 
teremos o uso de equações no domínio da frequência. 
Seja uma L.T. excitadas por tensões e correntes 
alternadas de frequência constante, teremos: 
� � �" . sinRL. �T � �j" (11) ^ � �" . sinRL. �T � �j" (12) 
Estas são as funções senoidais representadas pelos 
fasores �j" e �j", onde a dependência com x e t já se 
encontra implícita. 
]@�j"]�@ � -. _. �j" E R-. �. E . _T. ]�j"]� E . �. ]@�j"]�@ 
]@	�j�]�@ � -. _. �j� E R-. �. E . _T. ]	�j�]� E . �. ]@	�j�]�@ 
 
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Substituindo o operador 
aac � k � l.L, tem-se: ]@�j"]�@ � -. _. �j" E R-. �. E . _T. l. L. �j" E . �. Rl. LT@. �j" ]@	�j"]�@ � -. _. �j" E R-. �. E . _T. l. L. �j" . E . �. Rl. LT@. �j" 
Agrupando os termos, teremos: 
]@�j"]�@ � R- E l. L. T. R_ E l. L. �T. �j" ]@	� j"]�@ � R- E l. L. T. R_ E l. L. �T. �j" 
Sabendo que: 
mj � R- E l. L. T 
nj � R_ E l. L. �T 
a>Cjoa"> � mj. nj . �j" (13) 
a><joa"> � mj. nj . � j" (14) 
Essas equações poderiam ter sido deduzidas 
diretamente de um circuito equivalente. 
Temos agora as equações (13) onde as únicas 
variáveis são U e x, e a equação (14) onde as únicas 
variáveis são I e x. as soluções dessa equação para U e 
I, respectivamente, serão expressões cujas derivadas 
segunda em relação x são iguais as expressões 
originais multiplicadas pela constante y.z. Por 
exemplo, a solução de U quando derivada duas vezes 
em relação a x terá que ser igual a m. n. �. Isso sugere 
uma solução de tipo exponencial. Suponhamos que a 
solução da equação (13) seja: 
�j" � �j5. p"3qj.rj E �j@. p)"3qj .rj (15) 
Achando a segunda derivada de �j" 	p�	-p�sçã�	�	�p-p��	: 
a>Cjoa"> � mj . nj . w�j 1. p�3mj .nj E�j 2. p��3mj .nj x � mj . nj .�j � (16) 
Com o mesmo raciocínio para as correntes, temos: 
�j" � 13mj .nj w�j 1. p�3mj .nj ��j 2. p��3mj .nj x (17) 
Achando a segunda derivada de �j" 	p�	-p�sçã�	�	�p-p��	: 
Os valores de �j5	p	�j@ podem ser determinados 
levando-se em conta as condições na extremidade da 
linha referente a carga, isto é x=0 e �j" � �j@ e �j" � �j@. 
Substituindo estes valores nas equações (15) e (17), 
obtemos: 
�j@ � �j5 E �j@ (18) 
�j@ � 53qj.rj . y�j5 � �j@z (19) 
A partir das equações (18) e (19) podemos encontrar o 
valor de �j5	p	�j@: 
�j5 � Cj>{<j>F|j}j@ (20) 
�j@ � Cj>)<j>F|j}j@ (21) 
Agora substituindo nas equações de (15) e (17): 
�j" � �j@ E �j@Fmjnj2 . p"3qj.rj E �j@ � �j@F
mjnj2 . p)"3qj.rj 
�j" � 13mj . nj ~
€�j 2 E �j29mjnj2 . p�3mj .nj ��
j 2 � �j29mjnj2 . p��3mj .nj
‚
‚ƒ 
Onde �„ � Fqjrj é chamado de impedância característica da 
linha e γ � 3mj. nj é chamada de constante de 
propagação, e podemos reescreve as equações acima: 
�j" � Cj>{<j>.N†@ . p".γ E Cj>)<j>.N†@ . p)".γ (22) 
�j" � 1γ w�j 2E�j2.��2 . p�.γ � �j 2��j2.��2 . p��.γx (23) 
2.2.2 – Interpretação das Equações da Linha. 
 
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Lembremos que funções exponenciais quando 
aplicadas a fasores mudam suas características ou seja 
modulam as funções senoidais que as representam. 
γj � 3mj. nj � 3R- E l. L. T. R_ E l. L. �T 
γj � ‡ E l. ˆ 
γj – Constante de propagação; 
O valor de γj é quem governa a forma pela qual as 
tensões e correntes se propagam ao longo da linha. 
Dai o nome de função de propagação. 
O parâmetro α tem o nome de função de atenuação. 
Dele depende os módulos das tensões e correntes e, 
portanto seu valor esta intimamente relacionada com 
as peradas da linha. 
‡ � 1� . + ‰�5�@Š � – comprimento total da linha em km. 
O parâmetro β recebe o nome de função de fase, que 
indica a forma como as fases da tensão e da corrente 
variam ao longo da linha. 
A impedância característica da linha é definida por: 
�„j � 9mjnj � 9- E l. L. _ E l. L. � 
L � 2. ‹. Œ 
ZŽj assim com ZXj independe do comprimento da linha. 
��j � �^+Ms	-ps���j � �^+Ms	^!ps�					!^Œp-p+çs		��^��	p��p+s	 
Uma vez que r e y são muito pequenos comparados 
com L e C. 
O comprimento de onda (λ – lambda) de uma linha é 
definido como a distancia entre dois pontos mais 
próximos da onda senoidal, na direção de sua 
propagação, cuja fase de oscilação estejam separadas 
de 2‹. 
λ � 2πˆ 
� � ’ˆ � 2. ‹. Œˆ 
� � λ. f 
λ � #” [km] 
2.2.3 – Calculo Pratico da L.T. 
Relação ente Tensão e Corrente. 
As equações das L.T. mostradas anteriormente (22) e 
(23) podem ser remanejadas, de forma que: 
�j5 � �j@. wB•.γ{B–•.γ@ x E �j@. �„ . wB•.γ)B–•.γ@ x (24) 
�j5 � �j2. ‰p�.γEp��.γ2 ŠE �j 2�� . ‰p�.γ�p��.γ2 Š (25) 
Conhecendo as tensões e correntes no receptor, 
podemos determinar no transmissor. Da mesma 
forma é possível calcular as tensões e correntes no 
receptor quando estipuladas aquelas no transmissor. 
Sabendo que: 
��	MR�. γj T � p�.— E p��.—2 
	^+MR�. γj T � p�.— � p��.—2 
As equações anteriores podem ser representadas por: 
�j5 � �j@. ��	MRγj . �T E �j@. �„ . 	^+MRγj . �T (26) 
�j5 � �j2��	MRγj . �T. E �j 2�� . 	^+MRγj . �T (27) 
As equações (26) e (27) são conhecidas como 
“Equações Exatas” das linhas de transmissão. 
Vimos que 
γj � 3mj. nj 				γ. �j � �. 3mj. nj � Fm. �j . n. �j 
 
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γj . � � 3�j. ˜j 
Sendo: 
�j � mj. � 
˜j � nj . � 
�j – impedância total da linha. 
˜j – admitância total da linha. 
Portanto: 
��	MR�. γj T � ��	M w3�j . ˜j x 
	^+MR�. γj T � 	^+M w3�j . ˜j x 
Podemos representar as funções hiperbólicas na 
expansão em serie das funções hiperbólicas da forma: 
��	MR�. γj T � 1 E w3�j. ˜j x@2! E w3�j . ˜j x
*
4! E w3�j . ˜j x
1
6! E ⋯ 
	^+MR�. γj T � 3�j . ˜j E w3�j . ˜j x›3! E w3�j . ˜j x
8
5! E w3�j . ˜j x
œ
7! E ⋯ 
 
• Para linhas curtas, considera-se somente o ° 
termo da serie. 
• Para linhas medias considerasse os 2 
primeiros termos da serie. 
• Para linhas longas considera-se 3 ou mais 
termos da serie. 
LINHAS CURTAS 
São consideradas linhas curtas as L.T.s que atendem 
as seguintes requisitos: 
�  150�$					� Z 80�� 
150�$  � Z 400�$			�  40�� 
� ž 400�$			�  20�� 
Para linhas curtas: 
��	MR�. γj T � 1 
	^+MR�. γj T � 3�j . ˜j 
Substituindo estes termos nas equações exatas das 
L.T.s (26) e (27), teremos: 
�j5 � �j@ E �j@. �„. 3�j . ˜j � �j@ E �j@. 9mjnj . 3�j . ˜j 
�j5 � �j@ E �j@. �j 
�j5 � �j2 E�j 2�� .3�j . ˜j � �j2 E�j 29njmj .3�j. ˜j 
�j5 � �j2 E�j 2. ˜j 
Como o termo �j@. ˜j é muito pequeno comparado 
com �j@, podemos considerar apenas �j@ e 
desprezar �j@. ˜j . 
Circuito Equivalente 
 �j5 � �j2 
 
 
CURSO: CST emSistema Elétrico 
Linhas de Transmissão - 1/2017 Prof.: Elson Borges 
LINHAS MÉDIAS 
Quando o comprimento ultrapassar o das linhas 
medias 2 ou mais termos da serie devem ser 
utilizados. 
� ž 150�$					�  200�� 
� ž 400�$					� Z 100�� 
Para linhas medias: 
��	MR�. γj T � 1 E w3�j. ˜j x@2! 
	^+MR�. γj T � 3�j . ˜j E w3�j . ˜j x›3! 
Substituindo estes termos nas equações exatas das 
L.T.s (26) e (27), teremos: 
�j5 � �j@. Ÿ1 E �j . ˜j2   E �j@. �j . Ÿ1 E �j . ˜j6   
�j5 � �j2.Ÿ1 E �j . ˜j2  E�j 2. ˜j .Ÿ1 E �j . ˜j6   
Dois circuitos equivalentes podem ser utilizados para 
representar uma linha media. 
CIRCUITO PI NOMINAL 
 
�j5 � �j@. Ÿ1 E �j . ˜j2   E �j@. �j 
�j5 � �j2.Ÿ1 E �j . ˜j2  E�j 2. ˜j .Ÿ1 E �j . ˜j4   
BC – Suceptância capacitiva. 
ˆ„¡¢.D 
CIRCUITO TEE NOMINAL 
 
�j5 � �j@. Ÿ1 E �j . ˜j2   E �j@. �j . Ÿ1 E �j . ˜j4   
�j5 � �j2. Ÿ1 E �j . ˜j2  E�j 2. ˜j 
 
LINHAS LONGAS 
Quando o comprimento ultrapassar aos das linhas 
curtas e medias devemos usar as equações exatas da 
linha que são: 
�j5 � �j@. ��	MRγj . �T E �j@. �„ . 	^+MRγj . �T (26) 
�j5 � �j2��	MRγj . �T. E �j 2�� . 	^+MRγj . �T (27) 
O circuito PI pode ser utilizado para representar as 
linhas longas. Entretanto para isso seus parâmetros 
elétricos necessitam de correções. 
Seja �′j e ˜′j as impedâncias e admitâncias totais da 
linha corrigidas. Sabemos que as equações do circuito 
PI após correções, torna-se: 
�j5 � �j@. Ÿ1 E �j . ˜j2   E �j@. �j 
�j5 � �j2.Ÿ1 E �j . ˜j2  E�j 2. ˜j .Ÿ1 E �j . ˜j4   
Sendo: 
˜′j2 � ˜j2 . �_M w
γj . �2 xγj . �2 			�	^p�p+	
 
�′j � �j . 	^+MRγj . �Tγj . � 			��M�
 
 
CURSO: CST em Sistema Elétrico 
Linhas de Transmissão - 1/2017 Prof.: Elson Borges 
As equações acima nos permitem concluir que o 
circuito PI é adequado para a representação das linhas 
longas, em regime permanente, desde que os valores 
de �j e £j@ sejam adequadamente corrigidos, para 
retratar a condição de parâmetro distribuídos. Os 
circuitos com parâmetros corrigidos recebem o nome 
de circuito PI equivalente.