Cinematica e Dinamica dos Fluidos 20180530 1439

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MECÂNICA DOS 
FLUIDOS I
Curso: Engenharia Mecânica
Tema: Cinemática
Professor: Alex Luz Salgado, MSc (alex.salgado@uvv.br)
Sumário
 Regime Permanente
 Escoamentos Laminar e Turbulento
 Trajetória e Linha de Corrente
 Escoamento Unidimensional ou Uniforme na Seção
 Vazão – Velocidade Média na Seção
 Equação da Continuidade para Regime Permanente
 Velocidade e Aceleração nos Escoamentos de 
Fluidos
 Alguns Conceitos
Sumário
 Regime Permanente
 Escoamentos Laminar e Turbulento
 Trajetória e Linha de Corrente
 Escoamento Unidimensional ou Uniforme na Seção
 Vazão – Velocidade Média na Seção
 Equação da Continuidade para Regime Permanente
 Velocidade e Aceleração nos Escoamentos de 
Fluidos
 Alguns Conceitos
REGIME PERMANENTE
 O que é?
• É aquele onde as propriedades do fluido são
invariáveis com o tempo.
• Ou seja, apesar de estar em movimento, a
configurações de suas propriedades permanecem a
mesma.
• Podem variar de ponto a ponto.
REGIME PERMANENTE
 A quantidade de água que entra em 1 é idêntica à
quantidade que sai em 2
 Nessas condições, a configuração de todas as
propriedades do fluido, como velocidade, massa
específica, pressão etc, será, em cada ponto a
mesma em qualquer instante.
 Note-se que em cada ponto a velocidade, por
exemplo é diferente, assim como a pressão.
 Se não houver fornecimento de água em 1, o regime
não será permanente
REGIME PERMANENTE
 Reservatório de grandes dimensões e de pequenas
dimensões
 Em (a), a vazão em dois não varia sensivelmente com
o passar do tempo. (b) o mesmo é pequeno em face
à descarga do fluido
Sumário
 Regime Permanente
 Escoamentos Laminar e Turbulento
 Trajetória e Linha de Corrente
 Escoamento Unidimensional ou Uniforme na Seção
 Vazão – Velocidade Média na Seção
 Equação da Continuidade para Regime Permanente
 Velocidade e Aceleração nos Escoamentos de 
Fluidos
 Alguns Conceitos
ESCOAMENTOS LAMINAR E 
TURBULENTO
 Escoamento Laminar e Turbulento
ESCOAMENTOS LAMINAR E 
TURBULENTO
 Escoamento Laminar e Turbulento
ESCOAMENTOS LAMINAR E 
TURBULENTO
 Escoamento Laminar e Turbulento
 Análise de escoamento turbulento é extremamente
difícil. No escoamento laminar e unidimensional:
𝜏𝑦𝑥 = 𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑦
ESCOAMENTOS LAMINAR E 
TURBULENTO
 Experimento de Reynolds:
https://www.youtube.com/watch?v=nc87jwdBtFY
 Denotam dois tipos de escoamentos separados.
𝑅𝑒 =
𝜌𝑉𝐷
𝜇
ESCOAMENTOS LAMINAR E 
TURBULENTO
 Para pequenas velocidades de descarga, forma-se
um filete reto e contínuo de fluido colorido no eixo do
tubo.
 Ao abrir mais a válvula o filete começa a apresentar
ondulações e finalmente desaparece a uma
pequena distância do ponto de injeção.
 Neste caso, como o nível do tanque continua a
descer, conclui-se que o fluido ainda é injetado, mas
devido a movimentos transversais do escoamento, é
totalmente diluído na água do tubo.
Sumário
 Regime Permanente
 Escoamentos Laminar e Turbulento
 Trajetória e Linha de Corrente
 Escoamento Unidimensional ou Uniforme na Seção
 Vazão – Velocidade Média na Seção
 Equação da Continuidade para Regime Permanente
 Velocidade e Aceleração nos Escoamentos de 
Fluidos
 Alguns Conceitos
CAMPO DE VELOCIDADE
 Linhas de Tempo, Trajetórias, Linha de Emissão e
Linhas de Corrente
CAMPO DE VELOCIDADE
 Linhas de Tempo (timeline):
Se, num campo de escoamento, várias partículas fluidas
adjacentes forem marcadas num dado instante, elas
formarão uma linha no fluido naquele instante.
 Trajetórias (pathline):
Caminho traçado por uma partícula fluida em
movimento. Para isso, emprega-se o uso de um corante
ou fumaça para determinar a linha traçada pela
partícula (trajetória)
CAMPO DE VELOCIDADE
 Linhas de Corrente (streamline)
São aquelas desenhadas no campo de escoamento de
forma que, num dado instante, são tangentes à direção
do escoamento em cada ponto do campo.
São tangentes ao vetor velocidade em cada campo do
escoamento.
 Linha de Emissão (streakline):
Quando identificamos com corante todas as partículas
que passam em um local fixo no espaço. Após um certo
tempo teremos uma quantidade de partículas
identificáveis no escoamento. A linha que une essas
partículas é a Linha de Emissão.
CAMPO DE VELOCIDADE
 Em regime permanente, a Trajetória, a Linha de
Emissão e a Linha de Corrente são linhas idênticas no
campo de escoamento
Vídeo: (Flow Visualization part 1)
https://www.youtube.com/watch?v=DOUfyDHxkYQ&list=
PLF467935CA1CB8BC8&index=12
Fonte: National Committee for Fluid Mechanics Films
(NCFMF)
CAMPO DE VELOCIDADE
 Se um comprimento de arco elementar dr de uma
linha de corrente deve ser paralelo a V, seus
respectivos componentes devem ser proporcionais:
𝑑𝑥
𝑢
=
𝑑𝑦
𝑣
=
𝑑𝑧
𝑤
=
𝑑𝑟
𝑉
CAMPO DE VELOCIDADE
 Em regime transiente as linhas de emissão, linhas de
corrente e trajetórias terão geralmente formas
diferentes.
𝑥 = 𝑥𝑃 𝑡 → 𝑦 = 𝑦𝑃 𝑡
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝑣 𝑥, 𝑦
𝑢 𝑥, 𝑦
Linha de corrente em 
um instante de tempo
Para trajetórias:
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑃𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎
= 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑡 → 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑃𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎
= 𝑣 𝑥, 𝑦, 𝑡
Coordenadas instantâneas 
de uma partícula específica
Sumário
 Regime Permanente
 Escoamentos Laminar e Turbulento
 Trajetória e Linha de Corrente
 Escoamento Unidimensional ou Uniforme na Seção
 Vazão – Velocidade Média na Seção
 Equação da Continuidade para Regime Permanente
 Velocidade e Aceleração nos Escoamentos de 
Fluidos
 Alguns Conceitos
CAMPO DE VELOCIDADE
 Um escoamento é classificado como uni, bi ou
tridimensional de acordo com o número de
coordenadas espaciais necessárias para especificar
seu campo de velocidade.
CAMPO DE VELOCIDADE
 Apesar da maioria dos escoamentos serem
tridimensionais, a análise em uma quantidade menor
de dimensões é significativa
 Em muitos casos é conveniente fazer uma
aproximação para escoamento uniforme
(unidimensional).
 Em um escoamento uniforme, a velocidade é
constante através de qualquer seção normal ao
escoamento.
CAMPO DE VELOCIDADE
Sumário
 Regime Permanente
 Escoamentos Laminar e Turbulento
 Trajetória e Linha de Corrente
 Escoamento Unidimensional ou Uniforme na Seção
 Vazão – Velocidade Média na Seção
 Equação da Continuidade para Regime Permanente
 Velocidade e Aceleração nos Escoamentos de 
Fluidos
 Alguns Conceitos
VAZÃO – VELOCIDADE 
MÉDIA NA SEÇÃO
 Suponha que, estando a torneira aberta, seja
empurrado o recipiente da figura e simultaneamente
disparado o cronômetro. Admita que o recipiente
encha 20 litros em 10 segundos. Pode-se dizer que a
vazão em volume é: 20 L/10 segundos=2 L/s
VAZÃO – VELOCIDADE 
MÉDIA NA SEÇÃO
 O que é vazão?
• Volume do fluido que atravessa uma certa seção do
escoamento por unidade de tempo
𝑄 = 𝑉 𝑡
 O que é vazão?
• Volume do fluido que atravessa uma certa seção do
escoamento por unidade de tempo (m³/s, L/s, L/min
ou qualquer outra que de volume por tempo)
VAZÃO – VELOCIDADE 
MÉDIA NA SEÇÃO
 Relação importante entre volume e a velocidade do
fluido
 O volume de fluido que atravessa a seção de área A
no intervalo de tempo t é: V=sA.
𝑄 = 𝑉𝑜𝑙 𝑡 = 
𝑠𝐴
𝑡 → 𝑣𝑒𝑙 = 
𝑠
𝑡 → 𝑄 = 𝑣𝑒𝑙. 𝐴 = 𝑣. 𝐴
VAZÃO – VELOCIDADE 
MÉDIA NA SEÇÃO
 Somente se a velocidade for uniforme na seção. Mas
como na maioria dos casos práticos o escoamento
não é unidimensional,
𝑑𝑄 = 𝑣. 𝑑𝐴 → 𝑄 = 
𝐴𝑣𝑑𝐴 = 𝑣𝑚é𝑑𝑖𝑎 . 𝐴 → 𝑣𝑚 =
1
𝐴
 
𝐴
𝑣𝑑𝐴
VAZÃO – VELOCIDADE 
MÉDIA NA SEÇÃO
 Exemplo
Determinar a velocidade média correspondente ao
diagrama de velocidades a seguir. Supor que não haja
variação de velocidade segundo a direção normal ao
plano da figura (escoamento bidimensional)
VAZÃO – VELOCIDADE 
MÉDIA NA SEÇÃO
 Vazão em Peso
𝑄𝑚 = 
𝑚
𝑡 = 
𝜌𝑉
𝑡 = 𝜌𝑄 = 𝜌𝑣𝑚𝐴
 Vazão em Massa
𝑄𝐺 = 
𝐺
𝑡 = 
𝛾𝑉
𝑡 = 𝛾𝑄 = 𝛾𝑣𝑚𝐴
𝑄𝐺 = 𝜌𝑔𝑄 = 𝑔𝑄𝑚
Sumário
 Regime Permanente
 Escoamentos Laminar e Turbulento
 Trajetória e Linha de Corrente
 Escoamento Unidimensional ou Uniforme na Seção
 Vazão – Velocidade Média na Seção
 Equação da Continuidade para Regime Permanente
 Velocidade e Aceleração nos Escoamentos de 
Fluidos
 Alguns Conceitos
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 
PARA REGIME PERMANENTE
 Escoamento de um fluido por um tubo de corrente:
 Não pode haver fluxo lateral de massa
𝑄𝑚1 → 𝑣𝑎𝑧ã𝑜 𝑛𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
𝑄𝑚2 → 𝑣𝑎𝑧ã𝑜 𝑛𝑎 𝑠𝑎í𝑑𝑎
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 
PARA REGIME PERMANENTE
 Imagine se houvesse variação do acúmulo de massa:
𝑄𝑚1 ≠ 𝑄𝑚2. Dessa forma a massa específica iria variar
com o tempo, contrariando a hipótese de regime
permanente
𝑄𝑚1 = 𝑄𝑚2 → 𝜌1𝑄1 = 𝜌2𝑄2 → 𝜌1𝑣1𝐴1 = 𝜌2𝑣2𝐴2
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 
PARA REGIME PERMANENTE
 Exemplo
 Um gás escoa em regime permanente no trecho de
tubulação da figura. Na seção (1), tem-se 𝐴1 =
20𝑐𝑚², 𝜌1 =
4𝑘𝑔
𝑚3
𝑒 𝑣1 =
30𝑚
𝑠
. Na seção (2), 𝐴2 =
10𝑐𝑚², 𝜌2 =
12𝑘𝑔
𝑚3
. Qual a velocidade na seção (2)?
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 
PARA REGIME PERMANENTE
 Se o fluido for incompressível:
𝜌1 = 𝜌2 = 𝐶𝑇𝐸
𝑄1 = 𝑄2 → 𝑣1𝐴1 = 𝑣2𝐴2
 Portanto, a vazão em volume de um fluido
incompressível é a mesma em qualquer seção do
escoamento
 Velocidades médias e áreas são inversamente
proporcionais
Área Velocidade
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 
PARA REGIME PERMANENTE
 Exemplo:
 O venturi é um tubo convergente/divergente, como
mostrado. Determinar a velocidade na seção mínima
(garganta) de área 5cm², se na seção de entrada
(área 20 cm²) a velocidade é 2m/s. O fluido é
incompressível.
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 
PARA REGIME PERMANENTE
 Para o caso de diversas entradas:
 Se o fluido for incompressível:
 
𝑒
𝑄𝑚 = 
𝑠
𝑄𝑚
 
𝑒
𝑄 = 
𝑠
𝑄
Sumário
 Regime Permanente
 Escoamentos Laminar e Turbulento
 Trajetória e Linha de Corrente
 Escoamento Unidimensional ou Uniforme na Seção
 Vazão – Velocidade Média na Seção
 Equação da Continuidade para Regime Permanente
 Velocidade e Aceleração nos Escoamentos de 
Fluidos
 Alguns Conceitos
VELOCIDADE E ACELERAÇÃO 
NOS ESCOAMENTOS DE FLUIDOS
 Convém ressaltar alguma coisa sobre sistemas de
referência.
 Observe que os sistemas que podem ser utilizados são
inerciais ou em movimento, dependendo da
conveniência do problema estudado.
 O que realmente interessa é o movimento relativo
entre o fluido e o objeto. Assim, no movimento de um
barco dentro da água, é interessante fixar o sistema
ao barco e pensar no fluido em movimento em torno
dele.
 Esse é o ponto de vista utilizado quando se testa um
modelo de navio num tanque de provas. Note-se que
a noção de regime permanente é função do
observador ou do sistema de referência.
VELOCIDADE E ACELERAÇÃO 
NOS ESCOAMENTOS DE FLUIDOS
 Seja, por exemplo, o movimento de um barco em
água parada. Para um observador fixado à margem
do lago, por exemplo, o movimento é não
permanente, pois os pontos da água que em um
certo instante estavam parados irão adquirir um certo
movimento quando o barco passar num instante
sucessivo.
 Se, porém, o observador for fixado ao barco, a
configuração do movimento do fluido em torno do
barco será sempre a mesma, sendo o regime
permanente.
 A simples observação deste fato permitirá simplificar
muitos problemas às vezes complicados para um
sistema de referência inercial.
CAMPO DE ACELERAÇÃO 
DE UM FLUIDO
 Como já apresentado anteriormente, a forma de um
campo de velocidades é dado por:
𝑉 = 𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
𝑉 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝑖 + 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝑗 + 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝑘
 Essa é a mais importante variável em mecânica dos
fluidos. Sabendo o vetor velocidade, é quase que o
equivalente à “resolver” um problema de
escoamento de fluido.
CAMPO DE ACELERAÇÃO 
DE UM FLUIDO
 Considerando um sistema referencial Euleriano, que
considera as coordenadas fixas no espaço (e a gente
observa o fluido passando por este ponto), temos que
o campo vetorial de aceleração “a” do escoamento:
 𝑎 =
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
𝑑𝑢
𝑑𝑡
 𝑖 +
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 𝑗 +
𝑑𝑤
𝑑𝑡
 𝑘
 Como cada componente escalar de velocidade (u,
v, w) é um função de 4 variáveis (x, y, z, t), podemos
usar a regra da cadeia para encontrar as derivadas
parciais.
CAMPO DE ACELERAÇÃO 
DE UM FLUIDO
 Por definição:
𝑎
𝑥𝑝 =
𝐷𝑢
𝐷𝑡 = 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑢
𝜕𝑡
𝑎
𝑧𝑝 =
𝐷𝑤
𝐷𝑡 = 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑡
𝑎
𝑦𝑝 =
𝐷𝑣
𝐷𝑡 = 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑣
𝜕𝑡
CAMPO DE ACELERAÇÃO 
DE UM FLUIDO
 Fazendo exatamente a mesma coisa para v e w
(para
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑒
𝑑𝑤
𝑑𝑡
), chegamos ao seguinte vetor:
 𝑎 =
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧
=
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ 𝑉. 𝛻 𝑉
“Aceleração local” (se o escoamento 
for em regime permanente, sabemos 
que a mesma será zero)
“Aceleração convectiva”. Aparece 
quando a partícula se desloca por regiões 
com velocidade variável no espaço como 
em um bocal ou difusor
𝛻 = 𝑖
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝑗
𝜕
𝜕𝑦
+ 𝑘
𝜕
𝜕𝑧
CAMPO DE ACELERAÇÃO 
DE UM FLUIDO
 As partículas do fluido podem apresentar aceleração
mesmo quando a velocidade é constante em cada
ponto com o tempo, pois pode-se ter variações de
ponto para ponto.
 Somente se a velocidade for a mesma em todos os
pontos, em qualquer instante, a aceleração será nula.
CAMPO DE ACELERAÇÃO 
DE UM FLUIDO
 Observe que:
𝑉. 𝛻 = 𝑢
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕
𝜕𝑧
𝛻. 𝑉 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
CAMPO DE ACELERAÇÃO 
DE UM FLUIDO
 Em coordenadas cilíndricas
CAMPO DE ACELERAÇÃO 
DE UM FLUIDO
 Escoamento Bidimensional
 Escoamento Unidimensional
 Escoamento Permanente em três dimensões
EXERCÍCIOS
 Exemplo
 Em um escoamento no plano xy, o campo de
velocidades é dado por: 𝑢 = 2𝑥𝑡 𝑒 𝑣 = 𝑦2𝑡. Determinar
a aceleração na origem e no ponto P (1, 2) no
instante t = 5s (medidas em cm).
EXERCÍCIOS
 Exemplo
 Um tubo admite água (ρ=1000 kg/m³) em um
reservatório com uma vazão de 20L/s. No mesmo
reservatório é trazido óleo (ρ=800 kg/m³) por outro tubo
com uma vazão de 10L/s. A mistura homogênea
formada é descarregada por um tubo cuja seção tem
uma área de 30cm². Determinar a massa específica da
mistura no tubo de descarga e sua velocidade.
EXERCÍCIOS
 Exemplo
 O tanque maior da figura abaixo permanece em nível
constante. O escoamento da calha tem uma seção
transversal quadrada e é bidimensional, obedecendo a
equação v=3y². Sabendo que o tanque (B) tem 1m³ e é
totalmente preenchido em 5 segundos e que o conduto
circular tem 30 cm de diâmetro, determinar:
a) Velocidade média na calha quadrada
b) A vazão no conduto circular de 30 cm de diâmetro
c) A velocidade máxima na seção do conduto circular de
30 cm de diâmetro
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS Exemplo
 O esquema a seguir corresponde à seção longitudinal
de um canal de 25 cm de largura. Admitindo
escoamento bidimensional e sendo o diagrama de
velocidades dado por v=30y—y² (y em cm; v em
cm/s), bem como o fluido de peso específico: 0,9 N/L
e viscosidade cinemática: 70 cSt e g=10m/s,
determinar:
a) O gradiente de velocidade para y=2 cm;
b) A máxima tensão de cisalhamento na seção (N/m²)
c) A velocidade média na seção em cm/s
d) A vazão em massa na seção
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
 Exemplo
No sistema da figura, 𝐴3 = 0,5𝑚
2, 𝜌3 = 0,4
𝑘𝑔
𝑚3
, e os fluidos
são gases. Dados:
Seção (1): 𝑣 = 4. 1 −
𝑟
𝑅
2
; 𝑄1 =
2𝑚3
𝑠
; 𝜌1 = 0,6 𝑘𝑔/𝑚
3
Seção (2): 𝑣 = 9. 1 −
𝑟
0,4
; 𝜌2 = 1,2
𝑘𝑔
𝑚3
Determinar:
a) Velocidade do pistão
b) raio da seção (1)
c) A mínima viscosidade dinâmica do fluido na seção (1)
EXERCÍCIOS
Sumário
 Relações Integrais para um Volume de Controle
 Introdução
 Sistema e Volume de Controle
 Volume e Controle
 Vazão Volumétrica e Vazão em Massa
 Teorema de Transporte de Reynolds
Sumário
 Relações Integrais para um Volume de Controle
 Introdução
 Sistema e Volume de Controle
 Volume e Controle
 Vazão Volumétrica e Vazão em Massa
 Teorema de Transporte de Reynolds
Introdução
 Para analisar os problemas de escoamento podemos
utilizar:
1. Abordagem Diferencial: Procurar descrever os
detalhes para cada ponto (x,y,z).
Introdução
2. Análise de Volume de Controle ou de Larga Escala:
Trabalhar com uma região finita, fazendo um balanço
dos escoamentos que entram e saem, e determinando
os efeitos globais, tais como a força ou o torque sobre
um corpo, ou a troca total de energia.
3. Análise Dimensional ou Experimental.
Introdução
 No método do Volume de Controle encontraremos a
taxa de variação de uma propriedade global do
fluido aplicando o teorema de transporte de
Reynolds.
Aplicaremos este teorema à:
 Massa
 Quantidade de Movimento Linear
 Quantidade de Movimento Angular
 Energia
Introdução
1. Conservação de Massa: Para um sistema (por
definição uma quantidade fixa de matéria, M), temos o
resultado simples:
𝑀𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝐶𝑇𝐸 → 
𝑑𝑀
𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
= 0
𝑀𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 
𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
𝑑𝑚 = 
∀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
𝜌𝑑∀
Introdução
2. Relação de Quantidade de Movimento Linear: Se as
vizinhanças exercem uma força resultante F sobre o
sistema, pela segunda lei de Newton, a massa do
sistema começará a se acelerar.
 𝐹 = 𝑚. 𝑎 = 𝑚.
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑚. 𝑉
Como é uma relação vetorial:
𝐹𝑥 = 𝑚. 𝑎𝑥
𝐹𝑦 = 𝑚. 𝑎𝑦
𝐹𝑧 = 𝑚. 𝑎𝑧
Introdução
3. Relação de Quantidade de Movimento Angular
(momento da quantidade de movimento): estabelece
que a taxa de variação da quantidade de movimento
angular é igual à soma de todos os torques atuando
sobre o sistema.
𝑇 = 
𝑑𝐻
𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
Onde a quantidade de movimento angular do sistema é
dada por:
𝐻𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 
𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
 𝑟 × 𝑉𝑑𝑚 = 
∀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
 𝑟 × 𝑉𝜌𝑑∀
O torque pode ser composto por forças de superfície, de
campo e por eixos que cruzam as fronteiras do sistema:
𝑇 = 𝑟 × 𝐹𝑠 + 
𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
 𝑟 × 𝑔𝑑𝑚 + 𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜
Introdução
4.1. Primeira Lei da Termodinâmica: enunciado da
conservação de energia para um sistema.
𝑑𝐸 = 𝛿𝑄 − 𝛿𝑊
Na forma de taxa:
 𝑄 − 𝑊 = 
𝑑𝐸
𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
Onde a energia total do sistema é dada por:
𝐸𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 
𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
𝑒. 𝑑𝑚 = 
∀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
𝑒. 𝜌𝑑∀
𝑒 = 𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧
Introdução
Onde:
 𝑄 = 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟
 𝑊 = 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜
𝑢 = 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑎
𝑉 = 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑧 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 (𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎)
Quando 𝑄 é positivo, calor está sendo adicionado ao
sistema pela sua vizinhança. Quando 𝑊 é positivo,
trabalho é realizado pelo sistema sobre sua vizinhança.
Introdução
4.2. Segunda Lei da Termodinâmica: Se uma quantidade de
calor, 𝛿𝑄, for transferida para u m sistema à temperatura T, a
segunda Lei da Termodinâmica estabelece que a variação
de entropia, dS, do sistema satisfaz a seguinte relação:
𝑑𝑆 ≥
𝛿𝑄
𝑇
Na forma de taxa:
 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
≥
1
𝑇
 𝑄
Onde a entropia total do sistema é dada por:
𝑆𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 
𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
𝑠. 𝑑𝑚 = 
∀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
𝑠. 𝜌𝑑∀
Introdução
 As relações anteriores são as quatro relações básicas
da Mecânica dos Fluidos para um Volume de
Controle.
 As leis da mecânica estabelecem o que ocorre
quando houver uma interação entre o sistema e suas
vizinhanças.
Sumário
 Relações Integrais para um Volume de Controle
 Introdução
 Sistema e Volume de Controle
 Volume e Controle
 Vazão Volumétrica e Vazão em Massa
 Teorema de Transporte de Reynolds
Sistema e Volume de 
Controle
 Em Mecânica dos Fluidos consideraremos um sistema
como uma quantidade fixa de massa identificável,
capaz de interagir com o meio de vários modos,
podendo apresentar variação de forma e tamanho
mas contendo sempre a mesma massa.
 Um volume de controle é um volume no espaço (uma
entidade geométrica e independente da massa)
através do qual o fluido pode escoar.
Sumário
 Relações Integrais para um Volume de Controle
 Introdução
 Sistema e Volume de Controle
 Volume e Controle
 Vazão Volumétrica e Vazão em Massa
 Teorema de Transporte de Reynolds
Volume de Controle
 Normalmente, na mecânica dos fluidos, é difícil
identificar e acompanhar uma quantidade fixa de
matéria.
Volume de Controle
 Podemos estar mais interessados em determinar as
forças que atuam num ventilador avião ou automóvel
(exercida pelo fluido que escoa sobre o objeto) do
que as informações que podem ser obtidas pelo
acompanhamento de uma dada quantidade de
fluido (um sistema).
Volume de Controle
 O volume de controle pode ser móvel e deformável.
A matéria contida nele pode variar ao longo do
tempo e, consequentemente, a quantidade de
massa no VC também pode variar com o tempo.
 O volume de controle é uma entidade geométrica e
independe do fluido.
 Superfície de controle: a superfície do volume de
controle
Volume de Controle
Sumário
 Relações Integrais para um Volume de Controle
 Introdução
 Sistema e Volume de Controle
 Volume e Controle
 Vazão Volumétrica e Vazão em Massa
 Teorema de Transporte de Reynolds
Volume de Controle
 A integral de 𝑑𝑉/𝑑𝑡 é a vazão volumétrica total Q
através da superfície S:
𝑄 = 
𝑠
𝑉. 𝑛 𝑑𝐴 = 
𝑠
𝑉𝑛 𝑑𝐴 → 𝑛: 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑎
 Vazão em massa:
 𝑚 = 
𝑠
𝜌 𝑉. 𝑛 𝑑𝐴 = 
𝑠
𝜌𝑉𝑛 𝑑𝐴
 Se a massa específica for constante, ela pode sair do
sinal de integração, resultando uma
proporcionalidade direta:
 𝑚 = 𝜌𝑄 = 𝜌𝐴𝑉 → 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎çã𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
Vazão Volumétrica e Vazão 
em Massa
Vazão volumétrica
do escoamento
através de uma
superfície
arbitrária:
b) o volume 
incremental de
fluido 
deslocado 
através de dA
é igual a 
V.dt.dA cosθ
a) uma área
elementar dA
sobre a
superfície;
Sumário
 Relações Integrais para um Volume de Controle
 Introdução
 Sistema e Volume de Controle
 Volume e Controle
 Vazão Volumétrica e Vazão em Massa
 Teorema de Transporte de Reynolds
Teorema de Transporte de 
Reynolds
 Muitas vezes nós estamos interessados no que
acontece numa região particulardo escoamento e,
em outras vezes, estamos interessados no efeito do
escoamento num objeto que interage com o
escoamento.
 Precisamos descrever as leis que modelam os
movimentos dos fluidos utilizando tanto a abordagem
dos sistemas (considerando uma massa fixa de fluido)
quanto a dos volumes de controle (considerando um
dado volume).
Teorema de Transporte de 
Reynolds
 É interessante contarmos com uma ferramenta
analítica que transforme uma representação na
outra.
Teorema de Transporte de 
Reynolds
 O Teorema de Transporte de Reynolds estabelece
uma relação entre as taxas de variação do sistema e
as integrais de volume e de superfície do volume de
controle. Serve para transformar nossa matemática
de forma a aplicá-la a uma região fixa, em vez de a
massa individual.
Teorema de Transporte de 
Reynolds
 Vamos substituir as taxas de variação de M, P, H, E e S
por um símbolo genérico N que represente a todas
elas.
 Correspondendo a essa propriedade extensiva, a
propriedade intensiva Ƞ é N por unidade de massa.
𝑁𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 
𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
𝜂𝑑𝑚 = 
∀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
𝜂𝜌𝑑∀
Teorema de Transporte de 
Reynolds
 Todas as leis da física são formuladas em função de
vários parâmetros físicos.
𝑁 = 𝑀 → 𝜂 = 1
𝑁 = 𝑃 → 𝜂 = 𝑉
𝑁 = 𝐻 → 𝜂 = 𝑟 × 𝑉
𝑁 = 𝐸 → 𝜂 = 𝑒
𝑁 = 𝑆 → 𝜂 = s
Teorema de Transporte de 
Reynolds
 A maioria das leis que descrevem o movimento dos
fluidos envolve a taxa de variação temporal de uma
propriedade extensiva (por exemplo, a taxa de
variação da quantidade de movimento do sistema,
etc.).
 Na abordagem do volume de controle, precisamos
obter uma expressão para a taxa de variação de
uma propriedade extensiva no volume de controle e
não num sistema.
Teorema de Transporte de 
Reynolds
Queremos relacionar a taxa de variação de
qualquer propriedade extensiva arbitrária, N, do
sistema com quantidades associadas com o
volume de controle. Da definição de uma
derivada:
Índice “s” 
para 
sistema
Teorema de Transporte de 
Reynolds
Três regiões podem ser identificadas:
Região I
Região II
Região III
Volume de Controle
Delimita o sistema 
em t = t0 + ∆t
Teorema de Transporte de 
Reynolds
Da geometria da figura:
Teorema de Transporte de 
Reynolds
 Substituindo na definição da derivada do sistema:
 Como o limite da soma é igual à soma dos limites:
Teorema de Transporte de 
Reynolds
 Termo 1 – Simplificado para:
 Termo 2 – Para essa sub região:
Teorema de Transporte de 
Reynolds
 Para achar o volume do elemento cilíndrico:
Vetor comprimento do cilindro
Volume de um
cilindro prismático
 Portanto, para a sub-região III:
 Integrando sobre toda a região III:Portanto, para a
sub-região III:
Teorema de Transporte de 
Reynolds
 Termo 3 – na sub-região I:
Teorema de Transporte de 
Reynolds
 Finalmente, juntamos todas as equações:
 Combinando as duas últimas integrais:
 Relação fundamental entre a taxa de variação de
uma propriedade extensiva arbitrária, N, de um
sistema e as variações dessa propriedade associadas
com um volume de controle. Chamada de TEOREMA
DE TRANSPORTE DE REYNOLDS.
Teorema de Transporte de 
Reynolds
 Interpretação física:
Taxa de variação da propriedade 
extensiva do sistema N.
Taxa de variação da quantidade da 
propriedade N dentro do volume de
controle. O termo dentro da integral 
calcula o valor instantâneo de N 
dentro do volume de controle.
Taxa na qual a propriedade N está 
saindo da superfície do volume de 
controle. 𝜌𝑉𝑑 𝐴 calcula a taxa de 
transferência de calor saindo através 
do elemento de área 𝑑 𝐴
Teorema de Transporte de 
Reynolds
 Dois comentários:
1. No produto escalar, como 𝐴 está sempre direcionado
para fora, o produto escalar será positivo quando 𝑉
está para fora e negativo quando 𝑉 está para dentro.
2. 𝑉 é medido com relação ao volume de controle:
quando as coordenadas do volume de controle xyz
estão estacionárias ou movendo-se com uma
velocidade linear constante, o volume de controle
constituirá um sistema inercial e as leis físicas
(especificamente a Segunda Lei de Newton) que
descrevemos serão aplicadas.
A Conservação da Massa
 Será o primeiro princípio ao qual iremos aplicar a
relação entre as formulações de sistema e de volume
de controle.
 O que diz ela?
A MASSA DO SISTEMA PERMANECE CONSTANTE
𝑀𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 
𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
𝑑𝑚 = 
∀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
𝜂𝜌𝑑∀
 Substituindo na equação de transporte (N = M; ƞ=1)
A Conservação da Massa
Taxa de aumento de
massa no VC
Taxa líquida de massa
para dentro do VC
=
A Conservação da Massa
 Casos Especiais:
1) Fluidos incompressíveis (com massa específica
constante)
 Para um volume de controle não deformável, de
forma e tamanho fixos, Volume = constante. Então a
conservação de massa para escoamento
incompressível através de um volume de controle fixo
é:
A Conservação da Massa
 Quando podemos aproximar uma velocidade
uniforme em cada entrada e saída:
 As duas expressões anteriores são válidas tanto para
regime permanente como para regime transiente.
A Conservação da Massa
2. Quando temos ou podemos aproximar uma
velocidade uniforme em cada entrada e saída:
 Taxa de fluxo de volume, vazão em volume ou
volumétrica através de uma seção de uma superfície
de controle de área:
 O módulo da velocidade média, em uma seção é
definido por:
A Conservação da Massa
 No caso geral de escoamento permanente,
compressível, através de um volume de controle fixo:
 Quando temos ou podemos aproximar uma
velocidade uniforme em cada entrada e saída
Exercícios
 Considere o escoamento permanente de água em
uma junção de tubos, conforme mostrado no
diagrama. As áreas das seções são: A1 = 0,2 m², A2 =
0,2 m² e A3 = 0,15 m². O fluido também vaza para fora
do tubo através de um orifício em (4) com uma vazão
volumétrica estimada em 0,1 m³/s. As velocidades
médias nas seções (1) e (3) são V1 = 5 m/s e V3 = 12
m/s, respectivamente. Determine a velocidade do
escoamento na seção (2).
Exercícios
Exercícios
 O fluido em contato direto com uma fronteira sólida
estacionária tem velocidade zero; não há deslizamento
na fronteira. Então, o escoamento sobre uma placa
plana adere-se à superfície da placa e forma uma
camada-limite, como esquematizado a seguir. O
escoamento a montante da placa é uniforme com
velocidade 𝑉 = 𝑈 𝑖 ; U = 30 m/s. A distribuição de
velocidade dentro da camada-limite ( 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝛿 ) ao
longo de cd é aproximada por
𝑢
𝑈
= 2
𝑦
𝛿
−
𝑦
𝛿
2
. A
espessura da camada-limite na posição d é 𝛿 = 5𝑚𝑚.O
fluido é ar com massa específica = 1,24 kg/m³. Supondo
que a largura da placa perpendicular ao papel seja w =
0,6 m, calcule a vazão em massa través da superfície bc
do volume de controle abcd.
Exercícios
Exercícios
 Variação de Massa Específica em Regime Transiente
Um tanque, com volume de 0,05 m³, contém ar a 800
kPa (absoluta) e 15°c. Em t = 0, o ar começa a escapar
do tanque através de uma válvula com área de
escoamento de 65 mm². O ar passando através da
válvula tem velocidade de 300 m/s e massa específica
de 6 kg/m³. Determine a taxa instantânea de variação
da massa específica do ar no tanque em t = 0.
Exercícios
O tanque abaixo (circular) está sendo completado com
água por duas entradas. Ar está preso no topo do
tanque. O nível de água é indicado por “h”.
(a) Encontre uma expressão para a mudança de altura
em relação ao tempo
𝑑ℎ
𝑑𝑡
(b) Calcule
𝑑ℎ
𝑑𝑡
se 𝐷1 = 1,D2=3", 𝑉1 = 3 
𝑝é𝑠
𝑠 , 𝑉2 = 2 
𝑝é𝑠
𝑠 𝑒 𝐴𝑡 = 2 𝑝é𝑠
2 (assuma água
a 20°C).
Equação da Quantidade de 
Movimento para um Volume de
Controle Inercial
 Vamos obter a aplicação da segunda lei de Newton
para um VC.
 As coordenadas do volume de controle xyz estão em
repouso ou movendo-se a velocidade constante em
relação a um conjunto de coordenadas “absolutas”
XYZ.
 Segunda lei de Newton para um sistema movendo-se
em relação a um sistema de coordenadas inerciais:
 Onde P é a quantidade de movimento linear do
sistema
Equação da Quantidade de 
Movimento para um Volume de
Controle Inercial
 A força resultante F inclui todas as forças de campo e
de superfície atuando sobre o sistema:
 Relação para sistema e volume de controle
 Para 𝑁 = 𝑃 e 𝜂 = 𝑉
Equação da Quantidade de 
Movimento para um Volume de
Controle Inercial
 Dado que:
 Como em 𝑡0 o sistema e o volume de controle
coincidiam:
 Desta maneira, as equações podem ser combinadas 
para formular a segunda lei de Newton para um VC 
não acelerado:
Equação da Quantidade de 
Movimento para um Volume de
Controle Inercial
 Para os casos em que temos escoamento uniforme
em cada entrada e saída:
 Assim sendo:
Força total, devido às forças de superfície
e de campo, atuando sobre o volume de
controle.
Taxa de variação da quantidade de
movimento dentro do volume de controle
(integral de volume).
Taxa líquida na qual a quantidade de
movimento está saindo do volume de
controle através da superfície de controle.
Equação da Quantidade de 
Movimento para um Volume de
Controle Inercial
 Para os casos em que temos escoamento uniforme
em cada entrada e saída:
 Assim sendo:
Força total, devido às forças de superfície
e de campo, atuando sobre o volume de
controle.
Taxa de variação da quantidade de
movimento dentro do volume de controle
(integral de volume).
Taxa líquida na qual a quantidade de
movimento está saindo do volume de
controle através da superfície de controle.
Equação da Quantidade de 
Movimento para um Volume de
Controle Inercial
 Em Mecânica dos Fluidos, a força de campo é
normalmente a gravidade:
 Em muitas aplicações, a força de superfície deve-se à
pressão:
 𝑔 → 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑊𝑉𝐶 → 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡â𝑛𝑒𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑉𝐶
O sinal negativo assegura que sempre calculamos 
a força de pressão atuando sobre a superfície de 
controle
 Vale ressaltar que mesmo em pontos sobre a
superfície que possui um escoamento para fora, a
força de pressão atua sobre o volume de controle.
Equação da Quantidade de 
Movimento para um Volume de
Controle Inercial
 Como a equação da quantidade de movimento é
uma equação vetorial:
 Para escoamento uniforme em cada entrada e saída:
Exercício
A água sai de um bocal estacionário e atinge uma
placa plana, conforme mostrado. A água deixa o bocal
a 15 m/s; a área do bocal é 0,01 m2. Considerando que
a água é dirigida normal à placa e que escoa
totalmente ao longo da placa, determine a força
horizontal sobre o suporte.
Exercício
Possibilidades de VC:
Exercício
Diagrama de Corpo Livre sobre a Placa:
Exercício
A água escoa em regime permanente através do
cotovelo redutor de 90º mostrado no diagrama. Na
entrada do cotovelo, a pressão absoluta é 220 kPa e a
área da seção transversal é 0,01 m². Na saída, a área da
seção transversal é 0,0025 m² e a velocidade média é 16
m/s. O cotovelo descarrega para atmosfera. Determine
a força necessária para manter o cotovelo estático.
Exercício
Exercício
Água de um canal aberto escoa sob uma comporta.
Compare a força horizontal da água sobre a comporta
(a) quando a comporta está fechada e (b) quando a
comporta está aberta (considerando escoamento
permanente, conforme mostrado). Considere que o
escoamento nas seções (1) e (2) seja incompressível e
uniforme e que (visto que as linhas de correntes ali são
retilíneas) as distribuições de pressão são hidrostáticas.
Exercício
Exercício
Uma correia transportadora horizontal, movendo-se a 3
ft/s, recebe areia de uma carregador. A areia cai
verticalmente sobre a correia com velocidade de 5 ft/s e
vazão de 500 lbm/s (a massa específica da areia é de
aproximadamente 2.700 libras-massa por jarda cúbica).
A correia transportadora está inicialmente vazia e vai se
enchendo gradativamente com areia. Se o atrito no
sistema de acionamento e nos roletes for desprezível,
determine a força de tração necessária para puxar a
correia enquanto é carregada.
MECÂNICA DOS 
FLUIDOS I
Curso: Engenharia Mecânica
Tema: Cinemática
Professor: Alex Luz Salgado, MSc (alex.salgado@uvv.br)