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P E S – C R I S T I A N A V I D A L A C C I O L Y
Variável Aleatória e Função 
Probabilidade
Variável aleatória
Seja um experimento aleatório com um espaço 
amostral S associado, uma variável aleatória ( VA ) é uma função que 
associa a cada elemento amostral (que geralmente são elementos não 
numéricos) a um número real.
Ou seja, estaremos traduzindo os resultados do espaço 
amostral, em valores numéricos. Denotaremos as variáveis aleatórias 
( VA's. ) por X, Y, Z, etc.
S
o
s
R
o
X(s)
X
Variável 
aleatória
Exemplo:
No experimento “lançar duas moedas”, temos o espaço 
amostral:
S = {(co, co), (co, ca), (ca, co), (ca, ca)}
Seja X o evento “ número de caras que aparece”
Temos que X = {0, 1, 2} .
E graficamente podemos visualizar a transformação deste 
espaço amostral:
S
(co, co)
(co, ca)
(ca, co)
(ca, ca)
R
0
1
2
Nos podemos encontrar a 
probabilidade de x. Se x é um número real, 
a probabilidade P(X=x).
Observações
1. Nas aplicações é conveniente trabalhar com números e não 
com eventos daí, o uso da variável aleatória;
2. Uma variável aleatória X será discreta se o número de 
valores possíveis de X (contra – domínio da função) for 
numerável.
Ex.: X: O número de filhos nascidos em uma família. X= 
{0, 1, 2, 3, ...}
3. Uma variável é dita contínua, se seu domínio é um 
intervalo ou uma coleção de intervalos.
Ex.: X: é o volume de uma caixa d´água. X={0; 0,01; 0,54; 
2,8; etc.}
Distribuição de probabilidade discreta 
Seja uma variável aleatória discreta X que assumiu os 
valores X1, X2, ..., Xn, correspondentes a pontos amostrais 
do experimento, associados cada um a uma probabilidade 
de ocorrência. Dizemos que os valores X1, X2, ..., Xn e sua 
respectivas probabilidades p1, p2, ..., pn definem uma 
distribuição de probabilidade discreta.
Função de probabilidade discreta
Quando construímos uma distribuição de probabilidade, 
estabelecemos uma correspondência entre os valores da variável 
aleatória discreta X e os valores de uma nova variável dada pela 
probabilidade de X, P. Esta correspondência é uma função, 
chamada de função de probabilidade e representada por P(X=x) ou 
P(X). Esta função determina a distribuição de probabilidade da 
variável aleatória.
S
o
s
R
o
X(s)
X
Variável 
aleatória
R
o
P(x)
P
Função 
probabilidade
Exemplo
Numa sala temos 5 rapazes e 4 moças. São 
retiradas, aleatoriamente 3 pessoas. Sendo X a 
variável aleatória número de rapazes. Qual a 
função probabilidade?
X = 0, 1, 2, 
3
A função probabilidade será:
1/21 ; se x = 0
P(x) = 15/42; se x = 1
20/42; se x = 2
5/42; se x = 3
Função de distribuição (acumulativa).
Seja X uma variável aleatória. Define-se a função 
repartição da variável X, no ponto t, como sendo a 
probabilidade de que X assuma um valor menor ou 
igual a t.
F(t) = P(X ≤ t).
Exemplo
Suponha que a variável aleatória X, tenha a 
seguinte distribuição de probabilidade:
então:
F(1) = P(X≤1) = 0,1
F(2) = P(X≤2) = [P(X=1)+P(X=2)] = F(1) + P(X=2) = 0,1 + 0,2 = 0,3
F(3) = P(X≤3) = [P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)] = F(2) + P(X=3) = 0,3 + 0,4 = 0,7
F(4) = P(X≤4) = [P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)] = F(3) + P(X=4) = 0,7 + 0,2 = 0,9
F(5) = P(X≤5) = [P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)] = F(4) + P(X=5) = 0,9 + 0,1 = 1
Exemplo
0 1 2 3 4 5 X
F(X)
1
0,9
0,7
0,3
0,1
0
x > 5 F(X) = 1
Exemplo
A função distribuição é feita pela 
determinação do valor F(X) para cada intervalo 
definido:
F(X) =
0; se x< 1
0,1; se 1 ≤ x < 2
0,3; se 2 ≤ x < 3
0,7; se 3 ≤ x < 4
0,9; se 4 ≤ x < 5
1; se x ≥ 5
Exemplo
1. 0 ≤ F(t) ≤ 1
2. P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)
3. F(a) ≤ F(b)
4. P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a) + P(X=a)
5. P(a < X < b) = F(b)-F(a)-P(X=b)
6. P(a ≤ X < b) = F(b)-F(a)+P(X=a)-P(X=b)
7. lim F(t) = 0 se t - ∞
8. lim F(t) = 1 se t + ∞
As funções de distribuição, quanto à faixa de variação da variável 
aleatória, podem ser limitadas (exemplo: de 0 a + ∞) ou ilimitadas
(- ∞ a + ∞). E, quanto aos valores que a variável aleatória pode 
assumir, podem ser discretas ou contínuas.
Exercício
Considere o evento Soma dos pontos no experimento do 
lançamento de 2 dados. Determine:
A) O espaço Amostral;
B) Determinar a variável aleatória;
C) A distribuição de Probabilidade;
D) A função probabilidade;
E) O gráfico da função probabilidade;
F) O gráfico da função repartição;
G) A função repartição;
H) Calcule P(3≤ X < 8) ; P(X < 10); P(X > 5);
P(3≤ X ≤ 8).
Fim