Momento de inércia de uma distribuição de massas pontuais

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Momento de inércia de uma distribuição de massas pontuais
Temos que calcular a quantidade
Onde xi é à distância da partícula de massa mi ao eixo de rotação.
Uma varinha delgada de 1 m de comprimento tem uma massa desprezível. São colocados 5 massas de 1 kg cada uma, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, e 1.0 m de um dos extremos. Calcular o momento de inércia do sistema relativo a um eixo perpendicular a varinha que passa através de
Um extremo
 Da segunda massa
Do centro de massa
	
	O momento de inércia relativo a um eixo perpendicular a varinha e que passa pela primeira partícula é
IA=1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752+1·12=1.875 kgm2
	
	O momento de inércia relativo a um eixo perpendicular a varinha e que passa pela segunda partícula é
IB=1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752=0.9375 kgm2
	
	O momento de inércia relativo a um eixo perpendicular a varinha e que passa pela terceira partícula (centro de massas) é
IC=1·0.52+1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52=0.625 kgm2 
 
Em vez de calcular de forma direta os momentos de inércia, podemos calcular de forma indireta empregando o teorema de Steiner. Conhecido IC podemos calcular IA e IB, sabendo as distâncias entre os eixos paralelos AC=0.5 m e BC=0.25 m.
A fórmula que temos que aplicar é
I=IC+Md2
IC é o momento de inércia do sistema relativo a um eixo que passa pelo centro de massa
I é o momento de inércia relativo a um eixo paralelo ao anterior
M é a massa total do sistema
d é a distância entre os dois eixos paralelos.
 IA=IC+5·0.52=0.625+1.25=1.875 kgm2.
IB=IC+5·0.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm2.
Momento de inércia de uma distribuição contínua de massa
Passamos de uma distribuição de massas pontuais a uma distribuição contínua de massa. A fórmula que temos que aplicar é
dm é um elemento de massa situado a uma distância x do eixo de rotação
Resolveremos vários exemplos divididos em duas categorias
Aplicação direta do conceito de momento de inércia
Partindo do momento de inércia de um corpo conhecido
 
Momento de inércia de uma varinha  
	
	Vamos calcular o momento de inércia de uma varinha de massa Me comprimento L relativo a um eixo perpendicular a varinha que passa pelo centro de massas.
A massa dm do elemento de comprimento da varinha compreendido entre x e x+dx é
O momento de inércia da varinha é
	
	Aplicando o teorema de Steiner, podemos calcular o momento de inércia da varinha relativo a um eixo perpendicular a mesma que passa por um de seus extremos.
 
Momento de inércia de um disco
Vamos calcular o momento de inércia de um disco de massa M e raio R relativo a um eixo perpendicular ao plano do disco e que passa por seu centro.
 Tomamos um elemento de massa que dista x do eixo de rotação. O elemento é um anel de raio x e de largura dx. Se recortamos o anel e o estendemos, é convertido em um retângulo de comprimento 2x e largura dx, cuja massa é
O momento de inércia do disco é  
 
Momento de inércia de um cilindro
Vamos calcular o momento de inércia de um cilindro de massa M, raio R e comprimento L relativo a seu eixo.
 Tomamos um elemento de massa que dista x do eixo de rotação. O elemento é uma camada cilíndrica cujo raio interno é x, externo x+dx, e de comprimento L, tal como é mostrada na figura. A massa dm que contém esta camada é
O momento de inércia do cilindro é 
 
Momento de inércia de uma placa retangular
	
	Vamos calcular o momento de inércia de uma placa retangular delgada de massa M de lados a e b relativo ao eixo que passa pela placa.
Tomamos um elemento de massa que dista x do eixo de rotação. O elemento é um retângulo de comprimento a de largura dx. A massa deste retângulo é
O momento de inércia da placa retangular é 
Momento de inércia de um disco
	
	Vamos calcular o momento de inércia de um disco de massa M e raio R, relativo a um de seus diâmetros.
Tomamos um elemento de massa que dista x do eixo de rotação. O elemento é um retângulo de comprimento 2y de largura dx. A massa deste retângulo é
O momento de inércia do disco é
Fazendo a mudança de variável
x=R·cosθ
y=R·senθ
Chegamos a integral
 
Momento de inércia de uma esfera
Vamos calcular o momento de inércia de uma esfera de massa M e raio R relativo a um de seus diâmetros
 
Dividimos a esfera em discos de raio x e de espessura dz. O momento de inércia de cada um dos discos elementares é
A massa de cada um dos discos é
O momento de inércia da esfera, é a soma dos momentos de inércia de todos os discos elementares.
Para resolver a integral temos que relacionar a variável x com a z. Como vemos na figura x2+z2=R2
Momento de inércia de um cilindro
Vamos calcular o momento de inércia de um cilindro de massa M, raio R e comprimento L, relativo a um eixo perpendicular a sua geratriz e que passa por seu centro.
 
Dividimos o cilindro em discos de raio R e espessura dx. O momento de inércia de cada um dos discos relativo a um de seus diâmetros é
Aplicando o teorema de Steiner, calculamos o momento de inércia deste disco, relativo a um eixo paralelo situado a uma distância x.
O momento de inércia do cilindro é
 
Momento de inércia de um paralelepípedo
Vamos calcular o momento de inércia de um paralelepípedo de massa M e de lados a, b e c relativo a um eixo perpendicular a uma de suas faces.
Dividimos o paralelepípedo em placas retangulares de lados a e b e de espessura dx.
O momento de inércia de cada uma das placas relativo seu eixo de simetria é 
Aplicando o teorema de Steiner, calculamos o momento de inércia desta placa relativo a um eixo paralelo situado a uma distância x é
O momento de inércia do sólido em forma de paralelepípedo é