AP2 PreCalculoEng 2018 1 gabarito

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AP2 – Pre´-Ca´lculo para Engenharia – GABARITO
Questa˜o 1 [1,5 pontos]
Considere as func¸o˜es f : R → R, g : R → R, tais que f(x) = 2x + a e g(x) = 3x − 2, e a ∈ R.
Determine a a fim de que, para todo x ∈ R, (f ◦ g)(x) = (g ◦ f)(x).
Soluc¸a˜o: Note que (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(3x− 2) = 2(3x− 2) + a = 6x− 4 + a. Por outro
lado, (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(2x+ a) = 3(2x+ a)− 2 = 6x+ 3a− 2.
Assim, (f ◦ g)(x) = (g ◦ f)(x), se e somente se, 6x− 4 + a = 6x+ 3a− 2. Logo, a = −1.
Questa˜o 2 [1,0 ponto] Determine o dom´ınio da func¸a˜o f(x) =
√
2− x2
x3 − 2x2 + x .
Soluc¸a˜o:
Como o denominador de uma frac¸a˜o na˜o pode ser nulo, enta˜o x3 − 2x2 + x 6= 0. Enta˜o precisamos
encontrar os valores onde o polinoˆmio se anula. Temos x3− 2x2+ x = x(x2− 2x+1) = x(x− 1)2.
Logo, o denominador na˜o se anula se x 6= 0e x 6= 1.
Ale´m disso, no numerador temos uma raiz quadrada. Assim, 2 − x2 ≥ 0. Analisando a para´bola
correspondente e suas ra´ızes, temos que isto ocorre somente se −√2 ≤ x ≤ √2.
Intersectando os conjuntos encontrados, temos o dom´ınio [−√2, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1,√2].
Questa˜o 3 [1,0 ponto] Considere a func¸a˜o f(x) = tan(x/2+ pi/3). Determine seu dom´ınio, e se
cos(x0) = −1, encontre o valor de f(x0).
Soluc¸a˜o:
O dom´ınio de tan u e´ u 6= pi/2 + kpi, k ∈. Assim, a func¸a˜o acima deve satisfazer
x/2 + pi/3 6= pi/2 + kpi, k ∈ Z,
ou seja,
x/2 6= pi/6 + kpi, k ∈ Z,
e assim,
x 6= pi/3 + 2kpi, k ∈ Z.
Agora, se cos(x0) = −1, enta˜o basta tomar x0 = pi. Substituindo pi em x/2 + pi/3, temos
pi/2 + pi/3 = 5pi/6,
e portanto f(pi) = tan(5pi/6) = − tan(pi/6) = −√3/3.
Questa˜o 4 [1,5 ponto] A quantidade, em miligramas, de uma certa droga no organismo de uma
pessoa apo´s t horas e´ dada por
D = D0e−0,5t.
Pre´-Ca´lculo para Engenharia AP2 2
Sabendo que a dose inicial aplicada e´ de 20 miligramas, determine apo´s quanto tempo ela estara´
reduzida a` metade.
(Considere ln 2 = 0.7).
Soluc¸a˜o: A dose inicial e´ medida em t = 0: 20 = D0e0 = D0. Logo, D0 = 20. Vamos enta˜o
encontrar t tal que D = 10:
10 = 20e−0,5t ⇒ e−0,5t = 1/2.
Considerando o logaritmo em ambos os termos da segunda equac¸a˜o acima, temos
−0, 5t = ln(1/2) = − ln 2 = −0, 7,
donde t = 7/5 = 1, 4, ou seja, a quantidade da droga e´ reduzida a 10 miligramas em 1, 4 h, ou
ainda, 1 hora e 24 minutos.
Considere a func¸a˜o f(x) = ln(1− 3|x|)ln(|4x− 1|) , e fac¸a o que se pede nas questo˜es 5 e 6:
Questa˜o 5 [1,0 ponto]
Determine o dom´ınio da func¸a˜o f .
Soluc¸a˜o:
No numerador, devemos ter 1− 3|x| > 0, e assim |x| < 13 , ou seja, −13 < x < 13 .
No denominador, precisamos de duas condic¸o˜es: |4x− 1| 6= 0 (ja´ que o mo´dulo e´ sempre maior ou
igual a zero) e ln(|4x − 1|) 6= 0. Para a primeira condic¸a˜o, precisamos que x 6= 14 . Para a segunda
condic¸a˜o, |4x− 1| 6= 1, ja´ que ln 1 = 0. Portanto, 4x− 1 6= 1, ou seja, x 6= 12 , ou −4x + 1 6= 1, o
que nos da´ x 6= 0.
Considerando a intersec¸a˜o das condic¸o˜es para o numerador e o denominador, o dom´ınio da func¸a˜o e´(
−13 , 0
)
∪
(
0, 14
)
∪
(
1
4 ,
1
3
)
.
Questa˜o 6 [1,0 ponto]
Encontre, se existir, x ∈ R tal que f(x) = 1.
Soluc¸a˜o:
Temos que resolver a equac¸a˜o
f(x) = ln(1− 3|x|)ln(|4x− 1|) = 1,
isto e´, ln(1− 3|x|) = ln(|4x− 1|), que e´ equivalente a 1− 3|x| = |4x− 1|, o que nos da´ dois casos
para avaliar:
(i) 4x − 1 > 0, ou x > 14 : a equac¸a˜o 1 − 3|x| = |4x − 1| fica 1 − 3x = 4x − 1, cuja soluc¸a˜o e´
x = 27 . Como
2
7 >
1
4 e
2
7 ∈ Dom(f), temos que x = 27 e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Pre´-Ca´lculo para Engenharia AP2 3
(ii) 4x− 1 < 0, ou x < 14 : a equac¸a˜o 1− 3|x| = |4x− 1| fica 1− 3|x| = −4x+ 1, o que nos da´
ainda dois subcasos:7
• 0 ≤ x < 14 : a equac¸a˜o 1− 3|x| = −4x+ 1 fica 1− 3x = −4x+ 1, e assim x = 0. Pela
soluc¸a˜o do item (a), 0 na˜o pertence ao dom´ınio e assim na˜o e´ uma soluc¸a˜o aceita´vel.
• x < 0: a equac¸a˜o 1− 3|x| = −4x+1 fica 1+ 3x = −4x+1, e portanto x = 0, que na˜o
pertence ao dom´ınio da func¸a˜o.
Logo, a soluc¸a˜o da equac¸a˜o f(x) = 1 e´ x = 27 .
Questa˜o 7 [2,0 pontos] Considere a func¸a˜o f : [−3; 2]→ R definida da seguinte maneira:
(i) uma semi-reta no intervalo [-3, 0) tal que −1 e´ zero da func¸a˜o f neste intervalo,
|f(−3)| = 2 e a func¸a˜o f e´ crescente neste intervalo.
(ii) uma semi-reta no intervalo [0,2] tal que f(1) = 3, f(2) = 5 e f seja crescente para todo x neste
intervalo.
Determine a lei da func¸a˜o f .
Soluc¸a˜o:
Por (i), f e´ uma func¸a˜o crescente , f(−1) = 0 e |f(−3)| = 2. Como −3 < −1, temos que
f(−3) < 0: logo, f(−3) = −2. Logo, f(−4) = 3. Dessa forma, temos que determinar a equac¸a˜o
da reta que passa pelos pontos (−1, 0) e (−3,−2). O coeficiente angular da reta que passa por
estes pontos e´ mr =
−2− 0
−3− (−1) = 1. Logo, y − 0 = (x− (−1)) = x+ 1 e´ a equac¸a˜o da semi-reta
no intervalo [-3,0).
Por (ii), f e´ ainda crescente em [0,2] tal que f(1) = 3, f(2) = 5. Novamente, vamos calcular
o coeficiente angular da reta que passa por (1, 3) e (2, 5): ms =
5− 3
2− 1 = 2. Portanto, y − 3 =
2(x− 1) = 2x+ 1 e´ a equac¸a˜o da semi-reta no intervalo [0, 2].
Assim, a lei da func¸a˜o f e´ dada por
f(x) =
{
x+ 1, −3 ≤ x < 0
2x+ 1, 0 ≤ x ≤ 2
Questa˜o 8 [1,0 ponto] Considere a func¸a˜o g definida por g(x) = −2 f(x + 2) + 3, definida no
maior dom´ınio poss´ıvel. Sabendo que o dom´ınio da func¸a˜o f e´ [−1, 3], determine o dom´ınio da
func¸a˜o g.
Soluc¸a˜o:
Como x+2 ∈ [−1, 3], temos que −1 ≤ x+2 ≤ 3. Logo, −3 ≤ x ≤ 1. Portanto, Dom(g) = [−3, 1].
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
RASCUNHO
Nome: Matr´ıcula:
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