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I SEMESTRE 2018
INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE TECNOLOGIAS E 
CIÊNCIAS
CAPÍTULO – 2
Aula nº 8 e 9 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 
TRANSFERÊNCIA DE MASSA
DET- Departamento de Engenharia 
e Tecnologia
Fenómenos de Transporte III 
Luanda, 04 e 08 de Maio de 2018
I SEMESTRE 2018
INTRODUÇÃO
• Até agora, as situações analisadas
apresentam problemas de difusão
resolvidas sem aplicação de balanços de
massa na envoltura ou globalidade do
sistema, mas sobre uma ou mais espécies
em difusão.
Fig1-
EVAPORAÇÃO DA 
ACETONA
• Neste capítulo realizaremos o balanço de
massa sobre um elemento diferencial
arbitrário do fluido com objectivo de
estabelecer a equação de continuidade para
as diversas espécies numa mistura de vários
componentes.
• Para ajudar, vamos introduzir expressões de
densidade de fluxo de massa o que
proporcionará equações de difusão numa
variedade de formas, que poderão ser
utilizadas para a resolução de problemas nos
capítulos posteriores.
E como faremos isso??
• As equações da continuidade permitem
analisar pontualmente o fenómeno de
transferência de massa por intermédio do
conhecimento da distribuição de concentração
de um determinado soluto no tempo e no
espaço, sujeito ou não as transformações.
• A equação da continuidade mássica de um
certo soluto A, nasce do balanço de taxa de
matéria, a qual flui através das fronteiras de
um elemento de volume eleito no meio
contínuo e daquela taxa que varia no interior
do elemento de volume.
Exemplo: suponha que o elemento de volume foi
seleccionado dentro de uma chávena de chá,
através do qual o açúcar se encontra difundindo.
• Deste modo se considerar-mos um elemento de
volume de controle �( ΔxΔyΔz) através do qual uma
mistura, incluindo o componente A, está escoando.
Fig. 2 – Elemento de volume de Controle Diferencial
Na figura, 
estão 
indicados 
fluxos 
molares, mas 
as deduções 
aqui 
apresentadas 
serão 
inicialmente 
com fluxos 
mássicos.
Efectuando um balanço de massa a espécie A para este
elemento de volume, a expressão do volume de controle
para conservação da massa de uma dada espécie A,
considerando a produção ou o desaparecimento de A por
reacção química dentro do volume de controle pode ser
dado por:
Sabendo que o fluxo mássico absoluto de A é dado pela equação: 
A massa de A transferida através da superfície de controle (área) 
∆y∆z em relação a x é dada por: 
ou em termos do vector fluxo da equação acima, 
esta será: 
Deste modo, a taxa líquida mássica do 
componente A será:
Estas taxas líquidas mássicas do componente A
representam os fluxos mássicos de entrada e
saída do elemento de volume seleccionado nas 3
direcções do espaço.
Taxa de acúmulo ou variação de massa de A no interior do 
elemento de volume por unidade de tempo: 
Se A é produzido dentro do volume de controlo por uma 
reacção química para uma taxa rA, a taxa de produção de A é:
rA é a taxa de produção de massa de A por unidade de tempo e de
volume devido à reacção química no interior do elemento de
volume, sendo que ela ocorre em todos os pontos no interior do
volume de controle.
Substituindo cada termo na equação (1), tem-se:
Dividindo pelo volume ∆x∆y∆z e cancelando termos, tem-
se:
Aplicando o conceito de limites a equação (3) para Δx, 
Δy e Δz tendendo a zero, obtém-se:
Equação de continuidade para o componente A
Desde que nA,x, nA,y e nA,z sejam componentes regulares do
vector fluxo mássico, a equação (4) pode ser escrita :
Uma equação similar da continuidade pode ser
desenvolvida para um desejado componente B da
mesma forma. As equações diferenciais são:
Vectorialmente teremos: rA - Taxa 
para o qual B 
será 
produzido 
dentro do V.C.
por reacção 
química
As equações (5) e (7) representam a variação de
concentração mássica de A e B, fruto do
movimento deles e de sua produção ou consumo.
Para uma mistura binária (A + B), somamos as equações (5) e (7), 
resultando na equação abaixo:
Para uma mistura de A e B, cumpre-se:
Pela lei da conservação da massa, temos rA + rB = 0, pois
para cada massa de A produzido, desaparece o mesmo de
B, isto é, uma reacção estequiométrica.
Substituindo as equações (8.1), (8.2) e (8.3) na equação
(8), tem-se:
(9) É a equação da continuidade para misturas, sendo
idêntica a equação da continuidade para fluido
homogéneo.
Pode-se seguir o mesmo desenvolvimento em termos de
unidades molares. Deste modo, se RA representa a taxa
de produção molar de A e RB representa a taxa da
produção molar de B, ambas por unidade de volume, as
equações na unidade equivalente-molar são :
Portanto…
Ou em base mássica
Em base Molar
Falta o sinal negativo
Substituindo a equação (1.21) na equação de
continuidade do soluto A (11), tem-se a
equação (15):
E substituindo a equação (1.22) na equação (5), 
obtém-se a equação (16), onde:
As Equações (15) e (16), que são também equações de
continuidade para os perfis de concentração da espécie
A dentro de um sistema de difusão, aplicam-se com
hipóteses restritas. As formas importantes incluem 4
considerações, relatadas à seguir :
1 - Se a densidade, ρ, e o coeficiente de difusão, DAB, 
são constantes, a equação (16) torna-se:
Restrições….
Dividindo cada termo pela massa molecular de A e
rearranjando, tem-se:
2 - Se o termo de produção, RA=0, e se a densidade e o
coeficiente de difusão são assumidos constantes, a equação
(17) reduz-se a:
3-Numa situação de inexistência de movimento do
fluido,
, e não há o termo de produção (RA=0) e
nenhuma variação na difusividade ou densidade, a
equação (18) reduz-se para:
2ª Lei de Fick da Difusão, que será vista no capítulo 4
Atenção a aquilo que se entende como 
no mar…
Atenção a aquilo que se entende como 
movimento do fluido…ex. situação da difusão 
de perfume na sala…ou de contaminantes 
no mar…
4 - Nas equações (17), (18) e (19) considerando a
densidade e coeficiente de difusão constantes, podem
ser simplificadas quando o processo está em estado
estacionário, ou seja,
Além disso, considerando a situação de não produção
química, ou seja, RA=0:
Visto que…
De forma simplificada as equações da Difusão de Massa e 
suas respectivas hipóteses podem ser resumidas abaixo:
As equações da continuidade do soluto “A” em termos
da lei ordinária da difusão ou 1ª lei de Fick, podem
ser obtida das relações a seguir:
Seja a equação da continuidade mássica de um soluto 
A: 
Seja o fluxo global ou fluxo total da espécie A como sendo:
Sendo:
Portanto, obtém-se a seguinte equação de continuidade: 
E dividindo pela massa molecular de A, resulta em:
É de notar que cada uma das equações aqui
desenvolvidas foram escritas na forma vectorial, e
são aplicadas à sistemas de coordenadas ortogonais.
Porém, as suas aplicações serão modificadas em
função dos sistemas de coordenados a usar após a
selecção do elemento de volume. De forma resumida,
temos:
COORDENADAS RECTANGULARES
COORDENADAS CILÍNDRICAS
COORDENADAS ESFÉRICAS
Equações gerais para a T.M. ou Equação da continuidade 
do componente A em diferentes sistemas de coordenadas
Se ρ e DAB forem constantes, a equação da
continuidade do componente A será:
CONDIÇÕES LIMITES COMUMMENTE 
ENCONTRADAS 
O processo de T.M. pode ser descrito resolvendo uma ou
mais equações diferenciais resultantes do balanço, usando
as condições limites ou iniciais apropriadas ou ambas
para determinação das constantes de integração.
(Condições limites e iniciais usadas na T.M. são similares as
da T.C.)
1-Condição inicial:
Implica o conhecimento da propriedade concentração
ou fracção (mássica ou molar) do soluto no inicio do
processo de transferência de massa num determinado
espaço.…ou mais complexa se a distribuição da concentração
é função da variável espaço no início da medida de
tempo.
A concentração pode ser simplesmente uma constante.. 
2-Condições de contorno:
Refere-se ao valor ou informação da concentração ou
fracção (mássica ou molar) do soluto em posições
específicas no volume de controle ou nas fronteiras
desse volume.
Algumas condições limites típicas, para a
especificação da concentração sobre uma
superfície, podem ser expressa em termos da:
Para sistema gasoso a concentração pode ser dada em
termos da pressão parcial (Lei de Dalton), quer dizer, a
fracção molar de A para fase gasosa ideal está
relacionada com a sua pressão parcial:
No caso dessa fase ser líquida, a condição numa dada
fronteira, para uma solução líquida ideal, advém da lei
de Raoult:
onde PA é a pressão de vapor
Sendo a pressão de vapor obtida pela equação de
Antoine:
A tabela a seguir mostra alguns valores para as
constantes E, F e G para algumas espécies químicas.
Na equação de Antoine utiliza-se a temperatura em
Kelvin. O resultado oriundo da pressão de vapor é
expresso em mmHg.
Tabela das Constantes da equação de Antoine 
Na hipótese de equilíbrio termodinâmico na fronteira
“S” ou interface entre as fases líquida e gasosa,
considerando-as ideais, são igualadas as equações de
Raoult e de Dalton, resultando na equação Raoult-
Dalton:
Supondo a fase líquida constituída somente da espécie 
química A (XA,S = 1), a equação anterior fica como: 
No caso de solução diluída (XA,S = 0), a lei de Raoult é
retornada na forma na fronteira da lei de Henry de
acordo com:
As constantes de Henry para alguns gases
dissolvidos em água estão presentes
na tabela a seguir:
Tabela dos Valores de H para gases em água: (Hx10-4), 
(pressão em atm) 
A especificação do fluxo também pode ser feita sobre
uma superfície, isto é:
Desta especificação, surgem alguns casos de interesse:
Informação válida no 
estudo da catálise 
heterogênea
Se esta ocorrendo difusão num sólido imerso num
fluido em movimento, pode acontecer que, na superfície
do sólido, a substancia A esteja sendo transferida para
o fluido, isto é, se ocorre difusão através de um sólido, a
massa pode ser perdida da superfície do corpo para o
fluido circundante de acordo com a relação:
e NAS corresponde ao fluxo molar na superfície do
sólido.
A especificação da velocidade de reacção química
também faz parte das condições de contorno geralmente
encontradas nos processos de transferência de massa.
Sabendo-se que uma espécie A pode aparecer (ou
desaparecer) numa superfície de acordo com uma
reacção química de primeira ordem, o fluxo molar na
superfície do sólido será:
Quando a espécie difundida desaparece no limite de uma
reacção instantânea, a concentração dessa espécie é
normalmente assumido ser a zero.
Sendo K1 a constante da taxa da reacção de 1º ordem
Agradeço a atenção 
dispensada.