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CADERNOS EQUAÇÔES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS PROF MARCO A BRASIL
 
UNIDADE A: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM PÁGINA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROF MARCO A BRASIL 
 
 CADERNOS EQUAÇÔES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS PROF MARCO A BRASIL
 
UNIDADE A: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM PÁGINA 2 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE A 
 
 
 CADERNOS EQUAÇÔES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS PROF MARCO A BRASIL
 
UNIDADE A: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM PÁGINA 3 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 CONTEÚDOS PÁGINA 
CADERNO 1 REVENDO DERIVADAS E INTEGRAIS 5 
§ 1 Antidiferenciação: A Integral Indefinida 6 
§ 2 Notação para Antiderivadas 7 
§ 3 Integrais Imediatas e Propriedades 8 
§ 4 AULA 1 – ATIVIDADES DE ESTUDOS 1 9 
CADERNO 2 CONCEITOS BÁSICOS 14 
§ 1 Ordem e Grau 15 
§ 2 Forma Implícita ou Explícita de uma EDO 17 
§3 Solução de uma EDO 20 
§4 Resolução de uma EDO 21 
§5 Solução Geral e Solução Particular de uma EDO 23 
§6 AULAS 2 e 3 – CONCEITOS BÁSICOS 26 
§7 ATIVIDADES DE ESTUDOS 2 27 
CADERNO 3* PROBLEMA DE VALOR INICIAL E SOLUÇÔES SINGULARES 33 
§ 1 O Teorema da Existência e Unicidade de Cauchy 35 
§ 2 ATIVIDADES DE ESTUDOS 3 36 
CADERNO 4 EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS: EVS 37 
§1 Resolvendo EVS 38 
§ 2 Logaritmos: Definição e Propriedades I 39 𝑻 
§ 3 Logaritmos: Definição e Propriedades II 40 𝑻 
§4 Frações Parciais 43 𝑻 
§5 AULAS 4 e 5 – EQUAÇÕES SEPARÁVEIS 45 
§6 ATIVIDADES DE ESTUDOS 4 46 
CADERNO 5 MODELOS MATEMÁTICOS ASSOCIADOS ÀS EVS 49 
§1 O Modelo da Radioatividade I 50 
§2 O Modelo da Radioatividade II 51 
§3 O Modelo da Radioatividade III 52 
§4 A Lei do Resfriamento de Newton: LRN 54 
§5 AULA 6 – MODELOS MATEMÁTICOS 56 
§6 ATIVIDADES DE ESTUDOS 5 57 
CADERNO 6 EQUAÇÕES REDU|TÍVEIS 59 
§1 AULA 7 - ATIVIDADES DE ESTUDOS 6 62 
CADERNO 7 EQUAÇÕES EXATAS 63 
§1 Equações Não Exatas: Fatores Integrantes 65 
§2 AULA 8 - ATIVIDADES DE ESTUDOS 7 66 
 
 
 
 
𝑻: TÓPICO AUXILIAR DE ESTUDO 
( * ): Conteúdo Optativo 
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Equações cujas incógnitas são derivadas de funções foram denominadas 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS pelo matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz. 
 As primeiras motivações ao estudo das Equações Diferenciais vieram da 
Mecânica quando teorias como o Movimento dos Planetas ou as Oscilações de um 
Pêndulo ampliaram seus estudos a partir de duas importantes publicações. 
 A primeira, Pholosophiae Naturalis Principia Matematica ou Princípios 
Matemáticos da Filosofia Natural, do físico inglês Isaac Newton de 1687 e Nova 
methodus pro maximis et minimis, item que tangetibus, qua Nec fractas, nec 
irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus ou Um novo método 
para máximos e mínimos e também para tangentes, que não é obstruído por 
quantidades irracionais, de Leibniz em 1684. 
 Daí em diante foi possível descrever através de uma função incógnita y da 
variável independente 𝑥 e pelo menos uma derivada de 𝑦 em relação à 𝑥 os princípios 
associados aos processos de observação dos fenômenos naturais ou as propriedades 
de uma curva ou família de curvas. 
 Três questões, entretanto, se conservam com as equações diferenciais: 
Uma equação diferencial sempre tem solução? 
Ora, existem equações que simplesmente não tem solução, como y´² =  1 
para y real. Assim a questão é saber se uma dada equação tem solução. Esta 
questão diz respeito à EXISTÊNCIA DE SOLUÇÕES. 
A segunda questão trata da UNICIDADE, pois as equações diferenciais podem 
ter infinitas soluções. 
Para ver isto considere, por exemplo, que a solução de uma equação simples 
como 𝑦´ = 0 é 𝑦 = 𝐶, 𝐶 real. Cada valor atribuído à 𝐶 produz uma solução e, assim 
temos uma infinidade de soluções. 
Essa questão traz implicações práticas, pois se a solução é única, um dado 
problema pode estar completamente resolvido. 
A terceira questão, considerando que a equação diferencial tem solução, trata 
de DETERMINAR esta solução. 
No entanto, a determinação de soluções não se coloca simplesmente, pois 
mesmo sabendo que a solução existe, pode não ser possível expressá-la através das 
principais Funções Elementares. Neste caso pesquisamos aproximações de soluções 
através das Séries, dos Métodos Computacionais, ou estudando as propriedades das 
soluções sem necessariamente encontrá-las. 
Os procedimentos computacionais, diga-se, são importantes ferramentas 
quando nos familiarizamos com os fundamentos da teoria das equações diferenciais. 
Particularmente se o interesse computacional se orienta para obtenção de soluções 
numéricas ou soluções gráficas. 
INTRODUÇÃO 
 
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 REVENDO DERIVADAS E INTEGRAIS 
 
O Cálculo Diferencial sistematiza regras operacionais simples. 
 As REGRAS FUNDAMENTAIS DE DERIVAÇÃO são: 
 
CONSTANTE PELA FUNÇÃO: ( k u )´= k u´ SOMA: ( u + v )´ = u´ + v´ 
PRODUTO: (u v )´= u´v + v´u ( u v w )´ = u´v w + v´u w + w´u v 
QUOCIENTE: ( 
𝒖
𝒗
 ) ´ = 
𝒖 ´ 𝒗 − 𝒗´ 𝒖
𝒗²
 
Um importante princípio é a Regra da Cadeia ou Regra da Derivada da Função 
Composta. Ela diz: 
 
 
 
 
 
 
Considerando u, v funções deriváveis de x, k ∈ℝ e n ∈ ℚ, a DERIVADA DAS 
PINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES são: 
NOTAÇÃO LEIBNIZ NOTAÇÃO LAGRANGE NOTAÇÃO LEIBNIZ NOTAÇÃO LAGRANGE 
𝑑
𝑑𝑥
 𝑢𝑛 = 𝑛𝑢𝑛−1
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
(𝑢𝑛)´ = 𝑛𝑢𝑛−1 𝑢´ 𝑑
𝑑𝑥
 𝑘 = 0 ( K )´ = 0 
 
𝑑
𝑑𝑥
 𝑎𝑢 = 𝑎𝑢 . 𝑙𝑛 𝑎.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 ( 𝑎
𝑢 )´ = 𝑎𝑢. 𝑙𝑛 𝑎. u´. 
 
𝑑
𝑑𝑥
 𝑒𝑢 = 𝑒𝑢 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 ( 𝑒𝑢 )´ = 𝑒𝑢. u´ 
 
𝑑
𝑑𝑥
 log𝑎 𝑢 = 
1
𝑢 𝑙𝑛 𝑎
 . 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 ; 
𝑑
𝑑𝑥
 𝑙𝑛 𝑢 = 
1
𝑢
. 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
( log𝑎 𝑢)´ = 
1
𝑢 𝑙𝑛 𝑎
 . 𝑢´; ( 𝑙𝑛 𝑢 )´ = 
1
𝑢
. 𝑢´ 
 
𝑑
𝑑𝑥
 𝑠𝑒𝑛 𝑢 =cos u. 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 ( sen u )´= cos u. u´ 
𝑑
𝑑𝑥
 𝑐𝑜𝑠 𝑢 = − sen u. 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 ( cos u )´= − sen u. u´ 
 
𝑑
𝑑𝑥
 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑢 = 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
√1 + 𝑢2
 ; 
𝑑
𝑑𝑥
 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔𝑢 = −
𝑑𝑢
𝑑𝑥
1 + 𝑥²
 ; 
𝑑
𝑑𝑥
 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑢 = −
𝑑𝑢
𝑑𝑥
√1+𝑢2
 
( 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑢)´ = 
𝑢´
√1+𝑢2
 ( 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑢)´ = −
𝑢´
√1+𝑢2
 ( 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑢)´ = 
𝑢´
1+𝑢2
 
 CADERNO1 
 
1 
Se y é uma função diferenciável de u e u é uma função diferenciável de x, então 
 
 𝒅𝒚
𝒅𝒙
 = 
𝒅𝒚
𝒅𝒖
 . 
𝒅𝒖
𝒅𝒙
 ou y´= f´( u ) . u´ 
 
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 ANTIDIFERENCIAÇÃO: A INTEGRAL INDEFINIDA 
 
 
No Cálculo Diferencial, dado y = f ( x ), procuramosa derivada y´= f´ ( x ). 
 No Cálculo Integral, dado y´= f´( x ), queremos determinar y = f ( x ). 
 O processo que determina a função f cuja derivada é f´ ( x ) é denominado 
ANTIDERIVAÇÃO, ANTIDIFERENCIAÇÃO ou INTEGRAÇÃO 
Uma função 𝐹 tal que 𝑭´𝒙 ) = 𝒇 ( 𝒙 ) é uma primitiva ou antiderivada de 𝑓. 
Se F é uma antiderivada de 𝑓 e C  , então F( x ) = G ( x ) + C também é 
antiderivada de f, pois F´( x ) = [ G ( x ) + C ]´= G´( x ) + C´= G´( x ) + 0 = G´(x) = f(x). 
 Por exemplo, G( x ) = e F( x ) = + C são antiderivadas de 𝑓( 𝑥 ) = 𝑥, pois 
G´( x ) = = x e F´( x ) = [ + C ]´= ( )´ + C´= + 0 = 𝑥. 
 Para mais exemplos, na coluna ( 1 ) do quadro abaixo perguntamos 
 Qual é a função cuja derivada é... ? 
 A resposta está na coluna ( 2 ) e a justificativa, na coluna ( 3 ). 
 
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 
0 C ( C )´= 0 
1 𝑥 + C ( x+ C )´ = x´+ C´= x + 0 = x 
𝑥 
 + C [ 
𝑥²
2
 + 𝐶 ] ´ = ( )´ + C´ = + 0 = x. 
𝑥² 
 + C [ + C ]´= ( )´ + C´= + 0 = x². 
 + C [ + C ]´= ( )´ + C´= + 0 = 
 
 + C [ + C ]´= ( )´ + C´= + 0 = 
1 / 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶 ( ln x + C )´ = ( ln x )´+ C´= = 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 - 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 [ cos x + C]´= ( cos x )´ + C´=  ( cos x )´= sen x 
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 [ sen x + C ]´= ( sen x )´ + C´= cos x 
1
1 + 𝑥²
 
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 + 𝐶 
[ 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 + 𝐶 ]´ = 
1
1 + 𝑥²
 
 § 1 
 
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 NOTAÇÕES PARA ANTIDERIVADAS 
 
Antiderivadas são descritas através do símbolo especial ∫ criado pelo 
matemático alemão Gottfried Willeim Leibniz. 
Trata-se de um S estilizado como ∫. 
O simbolismo de Leibniz considera a diferencial dy como uma porção 
infinitesimal de y e imagina ∫ dy como somatório de todas essas porções infinitesimais 
de modo que ∫ dy = y + C 
O matemático Johann Bernoulli sugeriu que o processo de reunir infinitésimos 
para formar uma quantidade completa, expresso como 𝑦 = ∫ dy, se denominasse 
Integração ao invés de somatório. 
Assim nos referimos ao símbolo ∫ como o Sinal de Integral. 
 Segundo Leibniz, desde que f´( x ) exista, o símbolo 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 é visto como um 
quociente e = f ´( x ) como equação. Portanto dy = f ´( x ) dx é compreendida 
como uma Equação Diferencial. 
 Desde que y = ∫ dy e C é uma constante arbitrária, segue-se que 
 ∫ dy = ∫ f( x ) dx + C ou y = ∫ f( x ) dx + C. 
 De modo geral a notação ∫ f( x ) dx = F( x ) + C, onde C  ℝ, diz que F é uma 
antiderivada de f tal que F´( x ) = f ( x ) para todo valor de x no domínio de f: 
 
 
 
 
 
 
 A constante C é chamada Constante de Integração e a expressão sob o sinal 
de integração é chamado Integrando. 
O símbolo 𝑑𝑥 indica a variável de integração. 
Na Definição 1 a variável de integração é a letra x e qualquer outra letra é 
considerada constante. Por exemplo, na integral ∫𝑥² 𝑡³ 𝑑𝑡, a variável de integração é t 
e x² é um termo constante. 
O processo para calcular ∫ f( x ) dx é denominado Integração Indefinida. O 
termo Indefinida advém da constante C assumir qualquer valor real. 
 A ∫ f ( x ) dx é chamada Integral Indefinida da função f, pois C não é 
determinada pela função 𝑓. 
 § 2 
 
DEF 1: INTEGRAL INDEFINIDA 
∫𝒇 ( 𝒙 ) 𝒅𝒙 = F( x ) + C se, e só se, 
 F´( x ) = f ( x ), para todo x no domínio de f. 
 
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 INTEGRAIS IMEDIATAS E PROPRIEDADES 
 
 
 Decorre da Definição 1 as principais INTEGRAIS IMEDIATAS: 
1 𝑑𝑥 = 
𝒙𝒏 + 𝟏
𝒏 + 𝟏
 + C, se n  1 
2 ∫
𝟏
𝒙
 𝒅𝒙 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶 
3 ∫𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 
1
𝑙𝑛 𝑎 
 𝑎𝑥 + 𝐶 4 ∫ 𝑒
𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 
5 ∫ sen x dx= − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 6 ∫ cos x dx = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 
 
7 ∫
𝟏
√𝟏 − 𝒙²
𝒅𝒙 = 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪 8 ∫
1
1 + 𝑥² 
 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 + 𝐶 
 
 
 São Propriedades das Integrais Indefinidas: 
PROPRIEDADE I: 
 
 
 
 
 
PROPRIEDADE II: 
 
 
 
 
Por exemplo, 
( 1 ) 𝑑𝑡 = ( 10 ) ∫ 𝑑𝑡 = + 𝐶 , pois a variável 
de integração é t e o termo10𝑥4 𝑦² 𝑤5 atua como constante. 
( 2 ) ∫ [ 5 t² − 8 t³ ] dx = ( 5 t² − 8 t³ ) ∫ dx = ( 5 t² − 8 t³ ) x + C 
( 3 ) ∫ [ 5 t² − 8 t³ ] dt = ∫ 5 t² dt − ∫ 8 t³ dt = 5 ∫ t² dt − 8 ∫ t³ dt = 5. 
𝑡³
3
+ 𝐶1− 8. 
𝑡4
4
+ 𝐶2 
= 5. 
𝑡³
3
 − 8. 
𝑡4
4
+ 𝐶1 + 𝐶2= 5. 
𝑡³
3
 − 8. 
𝑡4
4
+ 𝐶, onde fizemos 𝐶1 + 𝐶2= C. 
 ( 4 ) ∫( x + 2 )2 dx = ∫𝑥² 𝑑𝑥 + ∫ 4𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 4 𝑑𝑥 = 
𝑥³
3
 + 2 𝑥² + 4 𝑥 + 𝐶 
Se k ≠ 0, ∫ 𝑘 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓 (𝑥 ) 𝑑𝑥. 
 Se k = 0 podemos ter: 
∫0 .𝑓 (𝑥 ) 𝑑𝑥 = ∫ 0 𝑑𝑥 = 𝐶, 𝑜𝑢
0 . ∫ 𝑓 (𝑥 ) 𝑑𝑥 = 0 [ 𝐹 ( 𝑥 ) + 𝐶 ] = 0
 
 
A INTEGRAL DA SOMA É A SOMA DAS INTEGRAIS: 
 
 ∫ [ 𝑓 ( 𝑥 ) + 𝑔 ( 𝑥 ) 𝑑𝑥 ] = ∫ 𝑓 (𝑥 ) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔 (𝑥 ) 𝑑𝑥 
 
 § 3 
 
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 AULA 1 ATIVIDADES DE ESTUDOS 1 
 
 
 
 Respostas ou modelo de resolução estão em letras menores 
 
 CALCULE A DERIVADA: 
 
1. 𝑓( 𝑥 ) = 52 . 𝑠𝑒𝑛 𝜋 + 𝑙𝑛 3   3,14. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1 0 
2. 𝑓( 𝑥 ) = 5 + 12  3 + 2 0 
3. 𝑓( 𝑡 ) = 𝑠𝑒𝑛² 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠² 𝑥 – 5𝑡² − 5𝑥3 − 𝑥2 − 3𝑥 + 24 − 10 𝑡 
4. 𝑓( 𝑥 ) = 𝑠𝑒𝑛² 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠² 𝑥 – 5𝑡² − 5𝑥3 − 𝑥2 − 3𝑥 + 24 −15𝑥2 − 2𝑥 − 3 
5. 𝑓( 𝑥 ) = 12 − 3 + 2𝑥 2 
 
 
 
 
6. y = ( 5 − 4 ) ( 3 + 9 ) ( 15𝑥² − 8𝑥 ) ( 3 𝑥7 + 9 𝑥²) + ( 21𝑥6 + 18𝑥 ) ( 5 𝑥3 − 4 𝑥2) 
7. 𝑦 = 
5𝑥³ − 4𝑥²
3𝑥7 + 9𝑥²
 ( 15𝑥
2 − 8𝑥 )( 3 𝑥7+ 9 𝑥2) − ( 21𝑥6 + 18𝑥 ) ( 5 𝑥3 − 4𝑥2 ) 
( 3𝑥7 + 9𝑥² )²
 
8. y = 
3
9 𝑥5
 − 
3
 𝑥7
 + 12 𝑤5 − 3 𝑡4 + 2 y = − 5
3 𝑥6
 + 
21
 𝑥8
 
9. 𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥 y´ = (𝑠𝑒𝑛 𝑥 
cos𝑥
) ´= 
( 𝑠𝑒𝑛 𝑥 )´ cos𝑥 − (cos𝑥 )´ 𝑠𝑒𝑛 𝑥
(cos 𝑥 )²
 = 
𝑠𝑒𝑛² 𝑥 + cos²𝑥
(cos 𝑥 )²
= 
1
(cos 𝑥 )²
 = 𝑠𝑒𝑐² 𝑥 
10. 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑦 = − 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐² 𝑥 
11. 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑦´ = ( 1 
cos𝑥
) ´= 𝑡𝑔 𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 
12. 𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥2𝑥 𝑡𝑔 𝑥 + 𝑥² 𝑠𝑒𝑐² 𝑥 
13. 𝑦 = 
5𝑥³ − 4𝑥²
3𝑥7 + 9𝑥²
 . 𝑒𝑥 [ ( 15𝑥
2 − 8𝑥 )( 3 𝑥7+ 9 𝑥2) − ( 21𝑥6 + 18𝑥 )( 5 𝑥3 − 4𝑥2 ) ] 𝑒𝑥 + (5 𝑥3 − 4𝑥2 ) 𝑒𝑥 
( 3𝑥7 + 9𝑥² )²
 
14. A( r ) = π 
𝑑𝐴
𝑑𝑟
 = 2 r 17. V ( r ) = π 
𝑑𝑉
𝑑𝑟
 =  r² 
15. Seja 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 e 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥. 
 Mostre que 
𝑔´( 𝑥 ) + 𝑓´( 𝑥 )
𝑓( 𝑥 ) − 𝑔( 𝑥 )
 − 
𝑔( 𝑥 ) + 𝑓( 𝑥 )
𝑓´( 𝑥 ) − 𝑔´( 𝑥 )
 + 
𝑓´( 𝑥 ) + 𝑔´( 𝑥 )
𝑓( 𝑥 ) − 𝑔( 𝑥 )
 = − 3 
 
16. 𝑦 = 2x + 3x − 1
5𝑥
 − 𝑙𝑛 𝑥 + ex 2x𝑙𝑛 2 + 3x𝑙𝑛 3 − 1
5𝑥
 𝑙𝑛 5 + 𝑒𝑥 
17. Calcule f´´´( x ) se 𝑓( 𝑥 ) = 5 + 12 − 3 + 2 30 – 72 𝑥 
18. y = ( 5𝑥³ − 4𝑥2 + 7 )2792 2792( 5𝑥³ − 4𝑥2 + 7 )2791 ( 15𝑥² − 8𝑥 ) 
19. y = √(5𝑥³ − 4𝑥2 + 7)
3
² 
30 𝑥² − 16 𝑥
3 √ 5𝑥³ − 4𝑥2 + 7
 
ATIVIDADE 1: DERIVADAS 
 
SEQUÊNCIA 1 : 
A notação universal 𝑦 = 𝑓 ( 𝑥 ), que enfatiza ser 𝑦 uma função de 𝑥 ou, 
𝑦 é uma variável dependente da variável 𝑥, é muitas vezes descrita simplesmente 
como 𝑦 = 𝑦 ( 𝑥 ). 
 
 § 4 
 
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20. y = 𝑒− 5𝑥
3+ 3𝑥2 − 8𝑥 + 4 𝑒− 5𝑥3+ 3𝑥2 − 8𝑥 + 4 ( − 15𝑥2 + 6𝑥 − 8 ) 
21. y = 𝑙𝑛 ( − 5𝑥3 + 3𝑥2 − 8𝑥 + 4 ) 
− 15𝑥2+6𝑥 −8
− 5𝑥3+ 3𝑥2 − 8𝑥 + 4
 
22. 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥³ + 𝑠𝑒𝑛³ 𝑥 3𝑥² 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛² 𝑥 
23. y = 𝑙𝑛5 ( 3𝑥2 + 3𝑥 + 2 ) 5 [ 𝑙𝑛( 3𝑥2 + 3𝑥 + 2 )]4 .
1
3𝑥2 + 3𝑥 +2
 . ( 6𝑥 + 3 ) 
24. Dado 𝑦 = 5𝑥³ + 10, mostre que 𝑥𝑦´´  2𝑦´ = 0 
25. Seja 𝑦 = 𝐶 𝑥³, onde 𝐶 é uma constante real. Mostre que 𝑥𝑦´´ − 3𝑦 = 0. 
26. Seja 𝑥² + 𝑦² = 𝐶, onde 𝐶 é uma constante arbitrária. Mostre que 𝑦𝑦´ + 𝑥 = 0. 
27. Seja 𝑦 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝑥, onde 𝐴, 𝐵 reais. Mostre que 𝑦´´ + 𝑦 = 0. 
28. Seja y = A 𝑒𝑥 + B 𝑒− 𝑥, onde 𝐴, 𝐵 reais. Mostre que 𝑦´´ − 𝑦 = 0. 
29. Seja y = A 𝑒4𝑥 + B 𝑒− 4𝑥, onde 𝐴, 𝐵 reais. Mostre que 𝑦´´ 16 𝑦 = 0 
30. Seja 𝑦 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 + 𝐵 𝑠𝑒𝑛 3𝑥, 𝐴, 𝐵 reais. Mostre que 𝑦´´ + 9 𝑦 = 0 
31. Seja 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 5 𝑥² 1. Mostre que 𝑦´´ + 4 𝑦 = 20 𝑥² + 6 
 
 DERIVAÇÃO IMPLICITA 
 
Se as variáveis estão implicitamente relacionadas, ou G( x,y ) = 0, a derivada é 
determinada diferenciando ambos os membros da equação através da Regra da 
Cadeia num procedimento denominado Diferenciação Implícita. 
 
 32. 𝑥2𝑦2 − 𝑥2 𝑦3 + 2𝑥𝑦 − 3𝑦 + 4𝑥 = 5, onde 𝑦 = 𝑓 ( 𝑥 ). 
 
Resolução 
( 1 ) Aplique derivação em ambos membros: ( 𝑥2𝑦2 − 𝑥2 𝑦3 + 2𝑥𝑦 − 3𝑦 + 4𝑥)´ = 5´; 
( 2 ) Temos: (𝑥2𝑦2)´ − (𝑥2 𝑦3)´ + (2𝑥𝑦)´ − (3𝑦)´ + (4𝑥)´ = 0; 
( 3 ) Observe que (𝑥2𝑦2)´ = Pela Regra do Produto = (𝑥² )´𝑦² + ( 𝑦² )´ 𝑥² = 2 𝑥 𝑦² + 2𝑥² 𝑦 𝑦´ 
( 4 ) Portanto 2𝑥𝑦2 + 2𝑥2𝑦𝑦´ − 2𝑥𝑦3 − 3𝑥2𝑦2𝑦´ ) + 2𝑦´ + 2𝑥𝑦´ − 3𝑦´ + 4 = 0 
( 5 ) Evidenciando y´, segue-se 𝑦´ = − 
( 2 𝑥 𝑦2 + 2 𝑥 𝑦3 + 2 𝑦 + 4 )
2𝑥2𝑦 − 3𝑥2𝑦2 + 2x – 3
. 
33. 9𝑥2 + 4 𝑦2 = 36 𝑦´ = − 
9𝑥
4𝑦
 
34. 4𝑥2 𝑦2 + 3 𝑥2 y = 2 𝑦´ = − 
8 𝑥 𝑦² + 6 𝑥 𝑦 
8 𝑥² 𝑦 + 3 𝑥² 
 
35. 4x 𝑦2 + 𝑥2 y = 2 𝑦´ = − 
4 𝑦² + 2 𝑥 𝑦 
8 𝑥 𝑦 + 𝑥² 
 
36. 𝑥 𝑦2 + 𝑦3 + 𝑥3 = 15 37. 𝑥2 – 3𝑥𝑦 + 𝑦2 = 1 
38. 𝑥 𝑦3 + 2 𝑦3 + 4 𝑦3 = 𝑥2 39. 𝑥3 − 3𝑥2 𝑦4 + 4 𝑦3 = 6x 
40. 𝑥−2 3⁄ + 𝑦2 3⁄ = 1 𝑦´ = √ 
 𝑦
𝑥5
3 
 
41. 𝑥2 − √𝑥𝑦 = 5 𝑦´ = 
4 𝑥 √ 𝑥 𝑦 − 𝑦
𝑥
 
SEQUÊNCIA 2 : 
 CADERNOS EQUAÇÔES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS PROF MARCO A BRASIL
 
UNIDADE A: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM PÁGINA 11 
 
 FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 
 
Em algumas aplicações, como a descrição da forma de fios suspensos da 
rede elétrica ou o movimento de ondas em sólidos elásticos, certas combinações das 
funções exponenciais 𝑒𝑥 e 𝑒−𝑥 recebem nomes especiais. 
Por exemplo, o modelo que descreve a equação de um fio suspenso tem a 
forma 
𝑒𝑎𝑥 + 𝑒−𝑎𝑥
2
 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑎𝑥 e a equação da velocidade de propagação de ondas na 
superfície de líquidos é descrita 𝑣 = √
 𝑔 𝜆
2𝜋
 𝑡𝑔ℎ 
 2 𝜋 𝑑 
𝜆
 , onde 𝑑 é o comprimento da 
lâmina de liquido, 𝜆 é o comprimento da onda e 𝑔 é a aceleração da gravidade. 
Devido ao relacionamento que as funções 𝑒𝑥 e 𝑒−𝑥 possuem com uma 
hipérbole serem semelhantes às relações que as funções trigonométricas têm com o 
circulo, as combinações de 𝑒𝑥 e 𝑒−𝑥 são chamadas FUNÇÕES HIPERBÓLICAS. 
Cada combinação recebe a denominação seno hiperbólico de 𝑥, cosseno 
hiperbólico de 𝑥, tangente hiperbólica de 𝑥, cotangente hiperbólica de 𝑥, secante 
hiperbólica de 𝑥 e cossecante hiperbólica de 𝑥. 
 Respectivamente são simbolizadas e definidas: 
 
𝑠𝑒𝑛 ℎ 𝑥 = 
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
2
 𝑐𝑜𝑠 ℎ 𝑥 = 
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
2
 𝑡𝑔 ℎ 𝑥 = 
𝑠𝑒𝑛 ℎ 𝑥
𝑐𝑜𝑠 ℎ 𝑥
 
 
𝑐𝑜𝑡𝑔 ℎ 𝑥 = 
𝑐𝑜𝑠 ℎ 𝑥
𝑠𝑒𝑛ℎ ℎ 𝑥
 𝑠𝑒𝑐 ℎ 𝑥 = 
1
𝑐𝑜𝑠 ℎ 𝑥
 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 ℎ 𝑥 = 
1
𝑠𝑒𝑛 ℎ 𝑥
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Gráfico de y = senh x Gráfico de y = cosh x Gráfico de y = tg h x 
𝐷( 𝑠𝑒𝑛 ℎ𝑥 ) = 𝐼𝑚( 𝑠𝑒𝑛 ℎ𝑥 ) = ℝ 𝐷( 𝑐𝑜𝑠 ℎ𝑥 ) = 𝐼𝑚( 𝑐𝑜𝑠 ℎ𝑥 ) = ℝ 𝐷(𝑡𝑔 ℎ𝑥) = ℝ, 𝐼𝑚( 𝑡𝑔 ℎ𝑥) = ( 0, 1 ) 
 
42. Mostre que 𝑐𝑜𝑠ℎ² 𝑥 – 𝑠𝑒𝑛ℎ² 𝑥 = 1 
43. Mostre que 1 – 𝑡𝑔ℎ² 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐ℎ² 𝑥 
44. Mostre que ( 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 )´ = cosh 𝑥 
45. Mostre que ( 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 )´ = senh 𝑥 
46. Mostre que ( 𝑡𝑔ℎ 𝑥 )´ = sech² 𝑥 
47. Mostre que ( 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ 𝑥 )´ = − cosech 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ 𝑥 
48. Mostre que ( 𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 )´ = − sech 𝑥 𝑡𝑔ℎ 𝑥 
49. Mostre que ( 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 )´ = − cotgh² 𝑥 
SEQUÊNCIA 3 
 CADERNOS EQUAÇÔES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS PROF MARCO A BRASIL
 
UNIDADE A: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM PÁGINA 12 
 
 DERIVADAS PARCIAIS 
 
 
DETERMINE AS DERIVADAS PARCIAIS DE 1ª ORDEM E 2ª ORDEM DA FUNÇÃO 
DE DUAS VARIÁVEIS 𝒛 = 𝒇 ( 𝒙, 𝒚 ): 
 
50. 𝑓 ( 𝑥, 𝑦 ) = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑦 𝑒𝑥 
Resolução 
 
DERIVADAS DE 1ª ORDEM 
( 1 ) 𝑓 𝑥 ( 𝑥, 𝑦 ) = 
𝜕
𝜕𝑥 
 f ( x, y ) = (𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑦 𝑒𝑥)𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑦𝑒𝑥 
( 2 ) 𝑓 𝑦 ( 𝑥, 𝑦 ) = 
𝜕
𝜕𝑦 
 f ( x, y ) = (𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑦 𝑒𝑥)𝑦 =  𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑒𝑥 
DERIVADAS DE 2ª ORDEM 
( 3 ) 𝑓𝑥𝑥 ( 𝑥, 𝑦 ) = 
𝜕²
𝜕𝑥² 
 f ( x, y ) = (𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑦𝑒𝑥 )𝑥 = 𝑦 𝑒𝑥 
( 4 ) 𝑓 𝑦𝑦 ( 𝑥, 𝑦 ) = 
𝜕²
𝜕𝑦² 
 f ( x, y ) = (  𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑒𝑥 )𝑦 =  𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 
( 5 ) 𝑓 𝑥𝑦 = ( 𝑓𝑥 )𝑦 
𝜕² 𝑓
𝜕𝑥 𝜕𝑦
= 
𝜕
𝜕𝑥
 (
𝜕 𝑓
𝜕 𝑦
) = (𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑦𝑒𝑥 )𝑦 =  𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑒𝑥 
( 6 ) 𝑓 𝑦𝑥 = ( 𝑓𝑦 )𝑥 
𝜕² 𝑓
𝜕𝑦 𝜕𝑥
= 
𝜕
𝜕𝑥
 (
𝜕 𝑓
𝜕 𝑦
) = (  𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑒𝑥 )𝑥 =  𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑒𝑥 
( 7 ) Observe-se que 𝑓 𝑥𝑦 e 𝑓 𝑦𝑥 são sempre iguais. 
( 8 ) O símbolo 𝜕, chamado del ou d round, é um símbolo especial para a letra d introduzido 
no Cálculo pelo matemático italiano Joseph Louis Lagrange. 
 
51. 𝑓 ( 𝑥, 𝑦 ) = 𝑥² + 𝑦³ + 𝑥𝑦 
𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 𝑦 , 𝑓 𝑦 = 3𝑦² + 𝑥, 𝑓 𝑥𝑥 = 2, 𝑓 𝑦𝑦 = 6y, 𝑓 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑦 𝑥 = 1 
52. 𝑓 ( 𝑥, 𝑦 ) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 
𝑓 𝑥 = − 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 , 𝑓 𝑦 = − 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 , 𝑓 𝑥𝑥 = − 𝑦² 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 , 𝑓 𝑦𝑦 = − 𝑥² 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 , 𝑓 𝑥 𝑦 = − 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 
53. 𝑓 ( 𝑥, 𝑦 ) = 𝑒𝑥² 𝑦 
𝑓 𝑥 = 2 𝑥𝑦 𝑒
𝑥² 𝑦 , 𝑓 𝑦 = 𝑥² 𝑒
𝑥² 𝑦, 𝑓 𝑥𝑥 = 2𝑦 𝑒
𝑥² 𝑦 + 4 𝑥²𝑦² 𝑒𝑥² 𝑦, 𝑓 𝑦𝑦 = 𝑥
4 𝑒𝑥² 𝑦 , 𝑓 𝑥 𝑦 = 2 𝑥 𝑒
𝑥² 𝑦 + 2 𝑥³𝑦 𝑒𝑥² 𝑦 
54. 𝑓 ( 𝑥, 𝑦 ) = 𝑥2𝑦 + 𝑦3𝑥 + 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 𝑦³ + cos 𝑦 + 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ,𝑓 𝑦 =𝑥² + 3𝑥𝑦² − 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥,𝑓 𝑥𝑥 = 2𝑦 − 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 , 𝑓 𝑦𝑦 = 6𝑥𝑦 −
 𝑐𝑜𝑠 𝑦 , 𝑓 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑦 𝑥 = 2𝑥 + 3𝑦² − 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
 
55. 𝑧 = 5 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 + 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦² 
𝑧 𝑥 = 5𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 −2𝑦² 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦² , 𝑧 𝑦 = 5𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 −4𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦² , 𝑧 𝑥𝑥 = −5𝑦
2𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 − 2𝑦4 cos 𝑥 𝑦² , 𝑧 𝑦𝑦 =
−5𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 − 4𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦2 − 8𝑥²𝑦² cos 𝑥 𝑦² , 𝑧 𝑥 𝑦 = 5 cos 𝑥𝑦 − 5𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 − 4𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦
2 − 4𝑥𝑦3 cos 𝑥 𝑦² 
 56. 𝑧 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 
𝑦
𝑥
 
𝑧 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
𝑦
𝑥 
−
𝑥𝑦
𝑥² + 𝑦²
, 𝑧 𝑦 =
𝑥²
𝑥² + 𝑦²
, 𝑧 𝑥𝑥 =
2𝑥²𝑦
( 𝑥² + 𝑦2 )²
 = 𝑧 𝑦𝑦 , 𝑧 𝑥𝑦 =
2𝑥𝑦²
( 𝑥² + 𝑦2 )²
 
57. = 𝑙𝑛 √ 𝒙² − 𝒚²) 
 𝑧 𝑥 = 
𝑥
𝑥² − 𝑦²
, 𝑧 𝑦 = −
𝑦
𝑥² − 𝑦²
, 𝑧 𝑥𝑥 = − 
𝑥² + 𝑦²
( 𝑥² − 𝑦2 )²
, 𝑧 𝑦𝑦 = 
3𝑦² − 𝑥² 
( 𝑥² − 𝑦2 )²
 , 𝑧 𝑥𝑦 =
2𝑥𝑦
( 𝑥² − 𝑦2 )²
 
SEQUÊNCIA 4 
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 CALCULE A INTEGRAL E VERIFIQUE SE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA 
 
58. I = ∫( x + 2 )2 dx 
RESOLUÇÂO 
( 1 ) I = ∫( 𝑥2 + 4𝑥 + 4 ) 𝑑𝑥 = ∫𝑥² 𝑑𝑥 + ∫ 4𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 4 𝑑𝑥  
( 2 ) I = ∫𝑥² 𝑑𝑥 + 4 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 4 ∫ 𝑑𝑥 = 
𝑥³
3
 + 𝐶1 + 4 
𝑥²
2
 + 𝐶2 + 4 x + 𝐶3  
( 3 ) I = 
𝑥³
3
 + 4 
𝑥²
2
 + 4 𝑥 + 𝐶 = 
𝑥³
3
 + 2 𝑥² + 4 𝑥 + 𝐶, onde C = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 
VERIFICAÇÃO: 
𝑑
𝑑 𝑥
 ( 
𝑥³
3
 + 2 𝑥² + 4 𝑥 + 𝐶 ) = 𝑥² + 4𝑥 + 4 = ( 𝑥 + 2 )². 
59. I = ∫𝑥4 𝑑 𝑤 60. I = ∫10𝑥4 𝑦² 𝑤³ 𝑡9 𝑑 𝑤 
61. I = ∫ [ +  ] 𝑑𝑥 62. I = ∫( 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐𝑜𝑠²𝑥 ) 𝑑𝑥 
 63. I = ∫( 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 3 𝑒𝑥 − 5 𝑙𝑛 2 ) 𝑑𝑡 64. I = ∫( 2x - 3 )
2
 dx 
65. I = ∫ 
( 𝒙 + 𝟏 )²
𝒙²
 𝑑𝑥 66. I = ∫ 
 𝒙² + 𝟓𝒙 −𝟒 
√𝒙
 𝑑𝑥 
VERIFIQUE SE AS FÓRMULAS DADAS ABAIXO ESTÃO CORRETAS 
 67. ∫𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 
VERIFICAÇÃO: 
( 1 ) 
𝑑
𝑑 𝑥
 ( 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 ) = ( 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 )´ = ( 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 )´ + C´ = ( 𝑥 )´ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑥 ( 𝑠𝑒𝑛 𝑥 )´  
( 2 ) 
𝑑
𝑑 𝑥
 ( 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 ) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ¹ 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥. 
( 3 ) O resultado acima está errado: ∫𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 ¹ 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 
 
68. ∫𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥 +𝐶 Resultado Correto 
69. ∫𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + sen 𝑥 +𝐶 Resultado Correto 
70. ∫ 𝑒𝑘𝑥 𝑑𝑥 = 
1 
𝑘
 𝑒𝑘𝑥 + 𝐶, onde k  ℝ Resultado Correto 
71. ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = 
1 
𝑘
 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 + 𝐶, onde k  ℝ Resultado Correto 
72. ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = −
1 
𝑘
 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 + 𝐶, onde k  ℝ Resultado Correto 
73. ∫ 
1
𝑎² + 𝑥²
 𝑑𝑥 =
1 
𝑎
 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 
𝑥
𝑎
+ 𝐶 Resultado Correto 
ATIVIDADE 2: INTEGRAIS 
SEQUÊNCIA 5 
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 CONCEITOS BÁSICOS 
 
Equações cujas incógnitas são derivadas de funções foram denominadas 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS pelo matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz. 
Decorre que as equações diferenciais organizam-se em duas grandes classes. 
Quando as funções incógnitas 𝑦´, 𝑦´´, 𝑦´´´, ..., 𝑦(𝑛), n ∈ ℕ*, dependem apenas da 
variável independente 𝑥 de uma função 𝑦 em relação a 𝑥, 𝒚 = 𝒚 ( 𝒙 ) , a equação 
se diz uma Equação de Derivadas Ordinárias, Equação Diferencial Ordinária ou EDO. 
Se as incógnitas são derivadas parciais, a equação é uma Equação Diferencial 
Parcial ou EDP. Para ilustrar, observe os exemplos de Equações Diferenciais: 
( 1 ) y´ + 2 y = cos x ( 2 ) y´ = 5x + 2y 
( 3 ) y´´  3 y´+ 2 y = 0 ( 4 ) 𝑑𝑠
𝑑𝑡
 = 
𝑠 − 𝑡
𝑠 + 𝑡
 
( 5 ) 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
  2 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 + 3 y = 5 sen x 
( 6 ) y´´´ 3y´´+ 2y´  4y = 2 𝑒3𝑥 
( 7 ) ( 𝑦´´ )3 + 2 y y´  1 = 0 ( 8 ) 𝑒𝑦´´  x y ´+ y = 0 
( 9 ) y´´ = 1 + ( 𝑦 ´ ) 2 ( 10 ) y´ = 𝑦2 + cos x 
( 11 ) 𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
 + 
𝑔
𝑙
 sen 𝜃 = 0 
( 12 ) 𝜕2𝑢( 𝑥, 𝑡 )
𝜕𝑡2
= 𝑐2 
𝜕2𝑢( 𝑥, 𝑡 )
𝜕𝑥2
 
 
Uma orientação fundamental ao estudo das EDO advém de uma constatação: 
as EDO podem ser colocadas na forma de um polinômio cujas incógnitas são as 
derivadas da função y = y ( x ). 
O que permite classificar as EDO quanto à ordem e ao grau da derivada. 
Quanto ao grau ressalte-se que as EDO constituem dois grandes grupos: as 
Equações Diferenciais Ordinárias Lineares, EDOL, e as Equações Não - Lineares. 
E mais ainda. 
As EDOL contam com métodos de resolução próprios, suscitam interesse, são 
mais simples e aplicam-se aos modelos matemáticos da Física, Engenharia, Química, 
Tecnologia, Ciências Humanas, Biológicas ou Economia. 
As Equações Não Lineares detém procedimentos intrínsecos, algumas vezes 
aceitando aproximações por uma equação linear. 
Por exemplo, 
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
 + 
𝑔
𝑙
 𝜃 = 0 é uma aproximação para 
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
 + 
𝑔
𝑙
 sen 𝜃 = 0 se o 
ângulo  é pequeno, pois sen  ≅ . 
CADERNO 2 2 
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 ORDEM E GRAU 
 Toda EDO é uma relação entre as variáveis 𝑥 e 𝑦 e pelo menos uma função 
incógnita 𝑦´, 𝑦´´, 𝑦´´´, . . . , 𝑦(𝑛), n ℕ*, das derivadas de 𝑦 em relação a 𝑥. 
Organizadas na forma polinomial, 
𝒚( 𝒏 ) + 𝒇𝒏−𝟏( x ) 𝒚
( 𝒏−𝟏 ) + . . . + 𝒇𝟐( x ) 𝒚
´´ + 𝒇𝟏( x ) y´ + 𝒇𝟎( x ) y = r( x ), 
as EDO se classificam quanto à ordem e quanto ao grau da derivada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por exemplo, y´´ − 3y´ + 2y = 0 é Ordem 2 e Grau 1. 
As EDO de Grau 1 são chamadas LINEARES. 
Uma EDO de Grau 1 é Linear se a função incógnita y e suas derivadas são de 
grau 1 e não ocorre produto ou composição destas variáveis. Senão, a equação é 
chamada Não - Linear. 
Toda equação linear tem grau 1, mas nem toda equação de grau 1 é linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As funções 𝑓0, 𝑓1, 𝑓2, ... , 𝑓𝑛−1, chamadas COEFICIENTES, e r = r ( x ) são 
funções reais contínuas de x num dado intervalo aberto I. 
Cada termo diferencial 𝑦(𝑛), 𝑦(𝑛−1), ... , 𝑦´´, 𝑦´ é também uma função de x. 
Por exemplo, 𝒚´ + 𝒇 ( 𝒙 ) 𝒚 = 𝟎 ou 𝒚´´ + 𝒇( 𝒙 ) 𝒚´ + 𝒈( 𝒙 ) 𝒚 = 𝟎 são Equações 
Homogêneas associadas, respectivamente, às equações lineares de ordem 1 e 2. 
 § 1 
 
DEF 2: ORDEM 
DEF 3: GRAU 
 A Ordem de uma EDO é dada pela ordem do termo diferencial de mais 
alta ordem da equação. 
 
O Grau de uma EDO é dado peloc expoente inteiro não negativo a que está 
elevado o termo diferencial de mais alta ordem da equação. 
 
DEF 4: EQUAÇÕES LINEARES 
 Uma Equação Diferencial Ordinária Linear de Ordem n, designada EDOL ( n ), 
n ∈ ℕ*, é toda equação na forma polinomial de grau 1 e ordem n 
 
𝑦( 𝑛 ) + 𝑓𝑛−1( x ) 𝑦
( 𝑛−1 ) + . . . + 𝑓2( x ) 𝑦
´´ + 𝑓1( x ) y´ + 𝑓0( x ) y = r( x ). 
 
 Se r ≡ 0, isto é,  𝒙  ℝ, 𝒓( 𝒙 ) = 𝟎, a equação se denomina Equação 
Diferencial Ordinária Linear Homogênea de Ordem n, EDOLH( n ) ou Equação 
Homogênea Associada à EDOL( n ). 
 
 
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 CLASSIFICANDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
E1 A EQUAÇÃO ORDEM GRAU LINEAR ? 
( 1 ) y´ + 2xy = sen x 1 1 Sim 
( 2 ) y´´  3y´+ 2y = 0 2 1 Sim 
( 3 ) 𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 
𝑦 − 𝑥
𝑥 + 𝑦
 1 1 Sim 
( 4 ) 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
  2 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 + 3y = 5 sen x 
2 1 Sim 
( 5 ) y´´´ 3y´´+ 2y´  4y = 2 𝑒3𝑥 3 1 Sim 
( 6 ) 𝑦(5) – 6 𝑦(4) + 10y´´´ 11y´ + 6 y = 0 5 1 Sim 
 
E 1 B EQUAÇÃO ORDEM GRAU LINEAR? 
( 8 ) ( 𝑦´´ )
3
 + 2 y y´ 1 = 0 2 3 Não 
( 9 ) 𝑒𝑦´´  xy´+ y = 0 2 --- Não 
( 10 ) y´´ = 1 + ( 𝑦´ )
2
 2 1 Não 
( 11 ) y´= 𝑦2 + cos x 1 1 Não 
( 12 ) y´ + 2xy = cos y 1 1 Não 
( 13 ) 𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
 + 
𝑔
𝐿
 sen θ = 0 
2 1 Não 
 
( 14 ) 
L 
𝑑²
𝑑𝑡²
 q( t ) + R
𝑑
𝑑𝑡
 q( t ) + 
1
𝐶
 q( t ) = v( t ) 
2 1 Sim 
( 15 ) 𝜕
2
𝑢( 𝑥,𝑡 )
𝜕𝑡
2
= 𝑐2 
𝜕
2
𝑢( 𝑥,𝑡 )
𝜕𝑥
2
 
2 1 Sim 
 
A equação ( 8 ) não é linear, pois é de grau 3. 
A equação ( 9 ) não se classifica quanto ao grau. 
As equações ( 10 ) e ( 11) não são lineares, pois envolvem produtos entre 
incógnitas: em ( 10 ) temos ( 𝑦´ )2 = y´. y´ e na equação ( 11 ) ocorre 𝑦2 = y.y. 
A equação ( 12 ) não é linear devido a composição cos y = cos y ( x ). 
A equação ( 13 ), que representa a equação de um pêndulo, onde θ é função 
de t , não é linear devido a composição sen θ = sen θ (t). 
EXEMPLO 1 
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 FORMA IMPLÍCITA OU EXPLÍCITA DE UMA EDO( 1 ) 
 
 As EDO de Ordem n e Grau 1 se descrevem numa das formas: 
 
 
 
 
 Na forma IMPLICITA as EDO ( 1 ) são escritas F ( x, y, y´ ) = 0. 
 Na forma EXPLÍCITA AS EDO ( 1 ) se descrevem como 𝒚´ = f ( x, y ). 
Por exemplo, ao derivar x² + y² = C em relação à x obtemos: 
 ( x² + y² )´= C´ ( x² )´+ ( y² )´= 0  2x + 2yy´= 0. 
Na FORMA IMPLÍCITA temos a EDO ( 1 ) 𝑦𝑦´ + 𝑥 = 0. 
Na FORMA EXPLÍCITA temos a EDO ( 1 ) 𝑦´ =  𝑥 𝑦⁄ . 
E mais ainda. 
Considere a expressão 
 Segundo Leibniz o símbolo 𝑦´ = 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 deve ser entendido como um quociente e 
a expressão 𝑦𝑦´ + 𝑥 = 0 deve ser vista como uma equação. 
Assim, operando 𝑑𝑦 𝑑𝑥⁄ como um quociente, podemos reescrever a equação 
implícita 𝑦𝑦´ + 𝑥 = 0 do seguinte modo: 
 𝑦𝑦´ + 𝑥 = 0  𝑦 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 + x = 0  𝑦 𝑑𝑦 + 𝑥 𝑑𝑥 = 0. 
A forma 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒚 𝒅𝒚 = 0 é denominada Forma Diferencial da EDO dada. 
 
Ou seja, em geral, reconhecemos 3 modos de descrição de uma EDO( 1 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 § 2 
 
FORMA IMPLÍCITA: F ( x, y, y´, y´´, y´´´, 𝒚(𝟒), … , 𝒚(𝒏) ) = 0, 
ou, 
FORMA EXPLÍCITA: 𝒚(𝒏) = f ( x, y, y´, y´´, y´´´, . . . , 𝒚(𝒏−𝟏) ). 
 
DEF 5: FORMA GERAL, NORMAL OU DIFERENCIAL DE UMA EDO ( 1 ) 
A FORMA IMPLÍCITA F ( x, y, y´ ) = 0 é chamada FORMA GERAL da EDO (1) 
A FORMA EXPLICITA y´= f ( x, y ) é chamada FORMA NORMAL da EDO (1). 
 
 Se y´= f ( y ) a EDO ( 1 ) é chamada EQUAÇÃO AUTÔNOMA. 
 A forma M( x, y ) dx + N( x, y ) dy = 0 é chamada FORMA DIFERENCIAL. 
 
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 EQUAÇÕES NA FORMA NORMAL y´= f( x, y ): 
 
EDO ( 1 ) Termo f ( x, y ) Observação 
y´= y f ( x, y ) = y Equação Autônoma, pois f( x, y ) = f( y ) = y. 
y´= 3x² f ( x, y ) = 3x² f depende só de x: f( x, y ) = f( x ) = 3x² 
y´=  𝑥 𝑦⁄ f ( x, y ) =  𝑥 𝑦⁄ , f não é definida para y = 0. 
y´= 3𝑥 + 5𝑦 f ( x, y ) = 3𝑥 + 5𝑦 
𝑦´= 
𝑥 + 𝑦
𝑦 − 𝑥
 f ( x, y ) = 
𝑥 + 𝑦
𝑦 − 𝑥
 f não é definida para y = x. 
 
 EQUAÇÕES NA FORMA DIFERENCIAL M dx + N dy = 0: 
 
 NORMAL FORMA DIFERENCIAL 
y´= y 𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = y  y dx = dy  y dx − dy = 0 y dx + ( − 1 ) dy = 0, 
M = M ( x, y ) = y , 
N = N (x, y ) =  1. 
y´= 3x² 𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 3x²  3x² dx = dy  
3x² dx – dy = 0 
3x² dx + ( − 1 ) dy = 0, 
M = 3x² e N =  1 
y´=− 
 𝑥 
𝑦
 𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = −
𝑥
𝑦
  − x dx − y dy = 0 − x dx + ( − 1 ) y dy = 0 
M = N =  1. 
y´=3x + 5y 𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 3x + 5y  ( 3x + 5y ) dx = dy ( 3x + 5y ) dx + ( − 1 ) dy = 0 
M = 3x + 5y e N =  1 
𝑦´= 𝑥 + 𝑦𝑦 − 𝑥 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 
𝑥 + 𝑦
𝑦 − 𝑥
 ( x + y ) dx − ( y – x ) dy = 0 ( x + y )dx + [( y – x ) ] dy = 0, 
M = x + y e N =  ( y – x ). 
 
 EQUIVALÊNCIA DAS FORMAS NORMAL E DIFERENCIAL. 
 
( 1 ) De 𝑦´ = 𝑓 ( 𝑥, 𝑦 ) temos 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 𝑓( 𝑥, 𝑦 )  𝑑𝑦 = 𝑓 ( 𝑥, 𝑦 ) 𝑑𝑥  𝑓 ( 𝑥, 𝑦 ) 𝑑𝑥 – 𝑑𝑦 = 0; 
( 2 ) 𝑀 ( 𝑥, 𝑦 ) 𝑑𝑥 + 𝑁 ( 𝑥, 𝑦 ) 𝑑𝑦 = 0  𝑀 ( 𝑥, 𝑦 ) 𝑑𝑥 =  𝑁 ( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦  
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 =  
𝑀 ( 𝑥, 𝑦 )
𝑁 ( 𝑥, 𝑦) 
 
3 ) Assim, as formas Normal e Diferencial são Equivalentes, pois 𝑓 ( 𝑥, 𝑦 ) =  
𝑀 ( 𝑥, 𝑦 )
𝑁 ( 𝑥, 𝑦 ) 
. 
EXEMPLO 3 
EXEMPLO 4 
EXEMPLO 2 
 CADERNOS EQUAÇÔES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS PROF MARCO A BRASILUNIDADE A: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM PÁGINA 19 
 
 COMO OBTER UMA EDO ( 1 ) NA FORMA NORMAL OU NA 
FORMA DIFERENCIAL A PARTIR DE UMA DADA EQUAÇÃO. 
 
 Seja y = C 𝑒𝑥, C ∈ ℝ . 
( 1 ) Derivando a y = C 𝑒𝑥 temos y´ = C 𝑒𝑥; 
( 2 ) A EDO( 1 ) não deve conter a constante arbitrária C. 
( 3 ) Substituindo C = 
𝑦´
𝑒𝑥
 em y = C 𝑒𝑥 temos y = 
𝑦´
𝑒𝑥
 . 𝑒𝑥  𝑦 = 𝑦´. 
( 4 ) A Forma Normal é 𝒚´ = 𝒚. 
( 3 ) Para obter a Forma Diferencial, substituímos y´=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 em 𝑦´ = 𝑦. 
( 4 ) Ou seja, 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 𝑦  𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦  𝒚 𝒅𝒙  𝒅𝒚 = 0. 
 
 
 Seja y = C x³, C ∈ ℝ . 
( 1 ) 𝑦 = 𝐶 𝑥³  𝑦´ = 3 𝑥² 𝐶  𝐶 = 
𝑦´
3 𝑥²
 ; 
( 2 ) Substituindo 𝐶 em 𝑦 = 𝐶 𝑥³ temos 𝑦 = 
𝑦´
3 𝑥²
 𝑥³  𝑦 =
𝑥 𝑦´
3 
  𝑥𝑦´ = 3𝑦 
( 3 ) A Forma Normal é y´= 
3 𝑦
𝑥
. 
( 4 ) Substituindo 𝑦´ = 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 em 𝑥 𝑦´  3𝑦 = 0 temos 𝑥 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 3𝑦  3 𝑑𝑥  
𝑥
𝑦
 𝑑𝑦 = 0. 
 
 
 Seja 𝑦 = 𝐶 ( 𝑥 – 1 ), C ∈ ℝ . 
( 1 ) 𝑦 = 𝐶 ( 𝑥 – 1 )  𝑦´ = 𝐶 ; 
( 2 ) De 𝑦 = 𝐶 ( 𝑥 – 1 ) temos C = 
𝑦
𝑥 − 1
. 
( 3 ) segue-se a Forma Normal y´ = 
𝑦
𝑥 − 1
. 
( 4 ) Substituindo y´ = 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 em y´ = 
𝑦
𝑥 − 1
 temos 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 
𝑦
𝑥 − 1
  
1
𝑥 − 1
 𝑑𝑥  
1
𝑦
 𝑑𝑦 = 0 
 
 Seja y = C 𝑒𝑥², C ∈ ℝ . 
 ( 1 ) 𝑦 = 𝐶 𝑒𝑥²  𝑦´ = 2𝐶 𝑥 𝑒𝑥²; 
( 2 ) Como 𝐶 = 
𝑦
𝑒𝑥²
 e y´ = 2C x 𝑒𝑥², então y´ = 2 
𝑦
𝑒𝑥²
 𝑥 𝑒𝑥²  𝑦´ = 2𝑥 𝑦. 
( 3 ) De y´ − 2x y = 0, decorre a Forma Diferencial  − 2𝑥 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 0. 
EXEMPLO 5 
E 5 A 
E 5 B 
E 5 C 
E 5 D 
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UNIDADE A: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM PÁGINA 20 
 
 SOLUÇÃO DE UMA EDO 
 
Enquanto resolver uma equação algébrica é procurar todos os números 
que a satisfazem, resolver uma EDO é procurar todas as funções que a satisfazem. 
Para ver como as coisas acontecem, considere a equação 𝑦´ = 𝑓 ( 𝑥 ), que 
constitui a EDO mais elementar e é o Problema Fundamental do Cálculo: 
 
 
 
Segundo Leibniz, desde que f é derivável num intervalo I = ( a, b ), 𝑦´ = 𝑓( 𝑥 ) 
se escreve 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = f ( x ), de onde decorre 𝑑𝑦 = 𝑓( 𝑥 ) 𝑑𝑥. 
Integrando ambos os membros da equação dy = f( x ) dx em relação à x: 
 ∫𝑑𝑦 = ∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + C  𝑦( 𝑥 ) =∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + C, 
 A ∫𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 é uma primitiva de f ou, uma função cuja derivada é igual a f e a 
constante C  ℝ é uma constante arbitrária. 
Assim, resolver a EDO ( 1 ) y´= f( x ) significa efetuar uma integração que 
produz uma constante arbitrária, resolver uma EDO ( 2 ) produz duas constantes 
arbitrárias, pois depende de duas integrações 
Uma equação de 3ª ordem terá 3 constantes arbitrárias, e assim por diante. 
 Exemplificando, considere a equação de ordem n, 𝑦( 𝑛 ) = 1. 
 A primeira integração diz que 𝑦( 𝑛−1 ) = 𝑥 + 𝐶1. 
Na segunda integração obtemos 𝑦( 𝑛 − 2 ) = 
𝑥2
2
 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2. 
 Na 3ª integração, temos 𝑦( 𝑛 − 3 ) = 
𝑥3
2. 3
 + 𝐶1 
𝑥2
2
 + 𝐶2 𝑥 + 𝐶3. 
Mais algumas integrações: 
 𝑦( 𝑛 − 4 ) = 𝑥
4
2. 3. 4
 + 𝐶1 
𝑥3
2. 3
 + 𝐶2 
𝑥2
2
 + 𝐶3 𝑥 + 𝐶4, 
 𝑦( 𝑛 − 5 ) = 
𝑥5
2. 3. 4. 5
 + 𝐶1 
𝑥4
2. 3. 4
 + 𝐶2 
𝑥3
2. 3
 + 𝐶3 
𝑥2
2
 + 𝐶4 𝑥 + 𝐶5, 
 𝑦( 𝑛 − 6 ) = 
𝑥6
2. 3. 4. 5. 6
 + 𝐶1 
𝑥5
2 . 3. 4. 5
 + 𝐶2 
𝑥4
2. 3. 4
 + 𝐶3 
𝑥3
2. 3
 + 𝐶4
𝑥2
2
 + 𝐶5 𝑥 + 𝐶6. 
Após n integrações sucessivas, obtemos uma solução 𝑦 = 𝑦( 𝑥 ) contendo 𝑛 
constantes arbitrárias² 𝐶1 , 𝐶2, 𝐶3, . . . , 𝐶𝑛 , 
 y = 
𝑥𝑛
𝑛!
 + 𝐶1 
𝑥𝑛 −1
( 𝑛 −1 )!
 + 𝐶2 
𝑥𝑛−2
( 𝑛 −2 )!
 + 𝐶3 
𝑥𝑛−3
( 𝑛 − 3 )!
 + . . . + 𝐶𝑛 − 1𝑥 + 𝐶𝑛, 
onde 1. 2. 3. . . . n = n! é o fatorial de n ∈ ℕ*: 
 Obter todas as funções deriváveis 𝒚 = 𝒚 ( 𝒙 ) tais que 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
 = 𝒇 ( 𝒙 ). 
 
 
§ 3 
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UNIDADE A: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM PÁGINA 21 
 
 RESOLUÇÃO DE UMA EDO 
 
 
 
 
Resolver uma EDO é determinar a primitiva 𝑦 = 𝑦 ( 𝑥 ) que originou a EDO. 
O Intervalo I da solução da EDO é chamado Intervalo da Solução, Intervalo de 
Definição, Intervalo de Existência, Intervalo de Validade ou Domínio da Solução. 
O Intervalo da solução pode ser um Intervalo Aberto ( a, b ), o Intervalo [ a, b ], 
o intervalo ( a, b ], [ a, b ) ou algum intervalo infinito ( − , +  ), ( − , a ), ( a,  ). 
Como toda função diferenciável é contínua, desde que a solução de uma EDO 
é uma função diferenciável, ela é contínua no Intervalo de Solução I. 
O gráfico de uma solução 𝑠 = 𝑠( 𝑥 ) de uma EDO é chamado Curva Integral. 
O intervalo de solução pode ser qualquer subintervalo do domínio de s = s( x ). 
 Por exemplo, a função y = 1 / x é uma solução da EDO xy´+ y = 0. 
O domínio de y = 1 / x é constituído pelo intervalo I = ( − , 0 )  ( 0, +  ). 
 Entretanto, podemos tomar como intervalo de solução da equação xy´+ y = 0 
qualquer intervalo que não contenha x = 0, como, por exemplo, ( − 10, − 2 ), ( − 1, 0 ), 
( 0, ½ ), ( 2, 3 ), ( − , 0 ), ( 0,  ) ou, o próprio I = ( − , 0 )  ( 0, +  ). 
Agora veja porque y = 1 / x é uma solução de xy´+ y = 0 em ( − , 0 )  ( 0,  ) 
seguindo os passos abaixo. 
Devemos substituir a função 𝑦 = 1 / 𝑥 e sua derivada na EDO xy´+ y = 0 : 
( 1 ) y = 1 / x ⇒ y´= − 1 / x² ; 
( 2 ) Substituindo y´ = − 1 / x² e y = 1 / x na equação xy´ + y = 0 segue-se: 
( 3 ) xy´ + y = 0  x ( − 1 / x² ) + y = 0  − 1 / x + 1 / x² = 0  0 = 0. 
( 4 ) As substituições produziram a identidade 0 = 0, ∀ x ∈ ℝ∗. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 § 4 
 
 y = 1 / x em I = ( − , 0 )  ( 0, +  ) y = 1 / x em I = ( 1, +  ) 
RESOLVER uma EDO é procurar uma função 𝒚 = 𝒚( 𝒙 ), definida e 
diferenciável num dado intervalo I, tal que, quando substituímos, respectivamente, 
𝒚 e suas derivadas na EDO, ela se transforma numa IDENTIDADE. 
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 VERIFICANDO SOLUÇÕES DE EDO´s I 
 
 
 y = 3 x é uma solução da EDO 𝑦 𝑑𝑥 – 𝑥 𝑑𝑦 = 0 em ( − ,  ). 
VERIFICAÇÃO: 
 ( 1 ) De 𝑦 𝑑𝑥 – 𝑥 𝑑𝑦 = 0 escrevemos 𝑥 𝑑𝑦 = 𝑦 𝑑𝑥 ou 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 
𝑦
𝑥
 ⇒ y´ = 
𝑦
𝑥
 . 
( 2 ) 𝑦 = 3 𝑥 ⇒ 𝑦´ = 3; 
( 3 ) Substituindo 𝑦´ = 3 e 𝑦 = 3 𝑥 na equação 𝑦´ = 𝑦
𝑥
 temos: 
( 4 ) 𝑦´ = 𝑦
𝑥
 ⇒ 3 = 3 𝑥
𝑥
 ⇒ 3 = 3  0 = 0, que é uma identidade para todo x ≠ 0. 
 
 A equação 𝑦 = 5 𝑥² é uma solução de 2𝑦 𝑑𝑥 – 𝑥 𝑑𝑦 = 0. 
VERIFICAÇAO: 
( 1 ) De 2𝑦 𝑑𝑥 – 𝑥 𝑑𝑦 = 0 escrevemos 𝑥 𝑑𝑦 = 2𝑦 𝑑𝑥 ou 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 
2 𝑦
𝑥
 ⇒ y´= 
2𝑦
𝑥
 . 
( 2 ) 𝑦 = 5 𝑥2 ⇒ 𝑦´ = 10 𝑥; 
( 3 ) Substituindo 𝑦´ = 10 𝑥 e 𝑦 = 5 𝑥² na equação 𝑥𝑦´ =2𝑦 segue-se: 
( 4 ) 𝑥𝑦´ = 2𝑦  𝑥 ( 10 𝑥 ) = 2𝑦 ⇒ 10 𝑥² = 2𝑦 ⇒ 10 𝑥² = 2 . 5𝑥²  0 = 0. 
 
 A equação 𝑦 = 
3
4
 𝑒2𝑥  5
2
 𝑥 − 5
4
 é uma solução de 𝑦´ = 5 𝑥 + 2 𝑦. 
VERIFICAÇAO: 
( 1 ) 𝑦 = 
3
4
 𝑒2𝑥  5
2
 𝑥 − 5
4
  𝑦´ = 
3
2
 𝑒2𝑥  5
2
 ; 
( 2 ) Substituindo y e y´ na equação 𝑦´ = 5 𝑥 + 2 𝑦 segue-se: 
( 3 ) 𝑦´ = 5 𝑥 + 2 𝑦  
3
2
 𝑒2𝑥  5
2
 = 5 𝑥 + 2 ( 3
4
 𝑒2𝑥  5
2
 𝑥 − 5
4
 ) ⟹ 
 
3
2
 𝑒2𝑥 5
2
 = 5 𝑥 + 3
2
 𝑒2𝑥  5𝑥  5
2
 ⟹ 0 = 0, 
( 4 ) que é uma identidade ∀ x∈ ℝ. 
 
 A equação 𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 é uma solução de 𝑦´´ + 𝑦 = 0. 
 
VERIFICAÇÃO 
( 1 ) 𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥  𝑦´ = 2 𝑐𝑜𝑠 – 3 𝑠𝑒𝑛𝑥 e 𝑦´´ = − 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 – 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
( 2 ) 𝑦´´ + 𝑦 = 0  − 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 – 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0  0 = 0 
( 3 ) As substituições produziram uma identidade ∀ x ∈ ( − ,  ). 
EXEMPLO 6 
E 6 B 
E 6 A 
E 6 C 
E 6 D 
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 Uma EDO pode ter infinitas soluções. 
O conjunto das soluções de uma EDO de Ordem n que podem ser descritas 
por uma fórmula contendo n CONSTANTES ARBITRÁRIAS e INDEPENDENTES é 
chamado FAMÍLIA DE SOLUÇÕES ou SOLUÇÃO GERAL, SG, da EDO ( n ). 
O termo CONSTANTE ARBITRÁRIA, também denominado PARÂMETRO, 
significa um valor numérico genérico, um valor ainda não estabelecido. 
O termo INDEPENDENTE significa que o número de constantes arbitrárias não 
pode ser reduzido. 
Ou seja, a fórmula da SG não pode ser reduzida a uma expressão contendo 
menos constantes arbitrárias do que a ordem da EDO, pois resolver uma EDO é 
efetuar tantas integrações quanto for a ordem da EDO. 
Assim a SG de uma EDO ( 1 ) tem apenas 1 constante arbitrária, a SG de uma 
EDO ( 2 ) tem 2 constantes arbitrárias, a SG de uma EDO ( 3 ) tem 3 constantes 
arbitrárias, e assim em diante. 
O gráfico de cada solução de uma EDO é chamado Curva Integral. 
 
 
 
 
A Solução Geral SG de uma EDO pode ser colocada na Forma 
 - EXPLICITA s = s ( x, 𝐶1, 𝐶2, . . . , 𝐶𝑛 ), abreviadamente SGE, ou na Forma 
 - IMPLICITA S ( x, y, 𝐶1, 𝐶2, . . . , 𝐶𝑛 ) = 0, SGI, onde 𝐶1, 𝐶2, . . . , 𝐶𝑛, são as n 
constantes arbitrárias e independentes da SG, 
Por exemplo, y = sen x + C, C ∈ ℝ, representa a SGE da equação y´= cos x. 
A SGI da equação yy´+ x = 0 é x² + y² = C, onde – √𝐶 < x < √𝐶. 
Explicitando a SGI x² + y² = C, a SGE é y = + √𝐶 − 𝑥² ou y =  √𝐶 − 𝑥² . 
Entretanto, deve-se observar, nem sempre é possível explicitar a SG de uma 
EDO, sendo preferível manter a forma SGI. 
 E mais ainda. 
Enquanto 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶, 𝐶 ∈ ℝ, representa a SGE da equação y´= cos x, as 
funções y = sen x, y = sen x + 2 ou y = sen x +  são soluções, respectivamente, para 
𝐶 = 0, 𝐶 = 2 𝑜𝑢 𝐶 = , chamadas Soluções Particulares. 
 Semelhantemente, as equações x² + y² = 1, x² + y² = 4 ou x² + y² = 9 são 
Soluções Particulares de yy´+ x = 0. 
 
 
 
 A SOLUÇÃO GERAL SG de uma EDO é toda FÓRMULA contendo tantas 
constantes arbitrárias e independentes quanto for à ordem da equação. 
 SOLUÇÃO GERAL E SOLUÇÃO PARTICULAR DE UMA E D O § 5 
 
A SOLUÇÃO PARTICULAR SP de uma EDO ( n ) é toda solução obtida 
da SG por atribuição de valores numéricos às constantes arbitrárias. 
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 VERIFICANDO SOLUÇÕES DE EDO´s II, 𝐶, 𝐶1, 𝐶2  ℝ: 
 
 Cada função 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2 ou 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋 é uma 
 Solução Particular da EDO 𝑦´ = 𝑐𝑜𝑠 𝑥. A totalidade dessas soluções 
é dada pela fórmula 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶, no intervalo I = ( − ,  ); 
DE FATO. 
( 1 ) y = sen x + C  y´= cosx; 
( 2 ) y´= cos x  cos x = cos x  0 = 0, que é uma Identidade para todo x. 
 Cada função 𝑦 = 1 / 𝑥, 𝑦 = − 2 / 𝑥 ou 𝑦 = 3 / 𝑥 é uma SP da EDO 
 𝑥𝑦´ + 𝑦 = 0. A totalidade das soluções é y = C / x , em I = ( − , 0 )  ( 0,  ). 
DE FATO. 
( 1 ) y = 
𝐶
𝑥
 = C𝑥− 1  y´= − C 𝑥−2= 
− 𝐶
 𝑥²
 
( 2 ) xy´+ y = 0  x. 
− 𝐶
𝑥²
 + 
𝐶
𝑥
 = 0  
− 𝐶
𝑥
 + 
𝐶
𝑥
 = 0  0 = 0: Identidade  x  ℝ∗. 
 Cada função 𝑦 = 𝑒−𝑥
2
, 𝑦 = 5 𝑒−𝑥
2
 ou 𝑦 =  4 𝑒−𝑥
2
 é uma SP de 
 𝑦´ + 2𝑥𝑦 = 0. A totalidade das soluções é 𝑦 = 𝐶 𝑒−𝑥
2
 em I = ( − ,  ). 
DE FATO. 
( 1 ) y = C 𝑒−𝑥
2
  y´= − 2Cx 𝑒−𝑥
2
; 
( 2 ) y´+ 2xy = 0  − 2Cx 𝑒−𝑥
2
+ 2x. C 𝑒−𝑥
2
  0 = 0, que é uma Identidade  x  ℝ. 
 
 Cada função 𝑦= 𝑒2𝑥 +𝑥 𝑒2𝑥, 𝑦 = 2 𝑒2𝑥 + 𝑥 𝑒2𝑥, 𝑦 = −𝑒2𝑥 + 𝑥 𝑒2𝑥 
 é uma Solução Particular da EDO 𝑦´´ − 4𝑦´ + 4𝑦 = 0. 
A totalidade das soluções é dada pela fórmula 𝑦 = 𝐶1 𝑒
2𝑥 + 𝐶2 𝑥 𝑒
2𝑥. 
 
DE FATO. 
( 1 ) y = 𝐶1 𝑒
2𝑥 + 𝐶2 𝑥 𝑒
2𝑥  y´= 2 𝐶1 𝑒
2𝑥 + 𝐶2 𝑒
2𝑥 + 2𝐶2 𝑥 𝑒
2𝑥 e, 
y´´ = 4 𝐶1 𝑒
2𝑥 + 2𝐶2 𝑒
2𝑥 + 2𝐶2 𝑒
2𝑥 + 4𝐶2 𝑥 𝑒
2𝑥 = 4 𝐶1 𝑒
2𝑥 + 4𝐶2 𝑒
2𝑥 + 4𝐶2 𝑥 𝑒
2𝑥 
( 2 ) y´´− 4y´ + 4y = 0  
 4 𝐶1 𝑒
2𝑥+ 4𝐶2 𝑒
2𝑥+ 4𝐶2 𝑥 𝑒
2𝑥 − 8𝐶1 𝑒
2𝑥− 4𝐶2 𝑒
2𝑥 − 8 𝐶2 𝑥 𝑒
2𝑥+ 4 𝐶1 𝑒
2𝑥+ 4 𝐶2 𝑥 𝑒
2𝑥 = 0 
 8 𝐶1 𝑒
2𝑥+ 8𝐶2 𝑥 𝑒
2𝑥− 8𝐶1 𝑒
2𝑥− 8 𝐶2 𝑥 𝑒
2𝑥 = 0  0 = 0: 
( 3 ) Identidade  x  ℝ. 
E 7 B 
EXEMPLO 7 
E 7 A 
E 7 C 
E 7 D 
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UNIDADE A: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM PÁGINA 25 
 
 VERIFICANDO SOLUÇÕES DE EDO´s III, 𝐶, 𝐶1, 𝐶2  ℝ: 
 
 As soluções de x y´  y + 𝑥2 = 0 têm a forma y = Cx  𝑥2. 
 
 ( 1 ) y = Cx – x²  y´= C – 2x; 
( 2 ) x y´  y + 𝑥2 = 0  x ( C – 2x )  ( Cx  x² ) + x² = 0  
 Cx – 2 x² + x² – Cx + x² + x² = 0  0 = 0 
 
 As soluções de y´´  3 y´ + 2 y = 0 tem a forma y = 𝐶1 𝑒
𝑥 + 𝐶2 𝑒
2𝑥. 
( 1 ) 𝑦 = 𝐶1 𝑒
𝑥 + 𝐶2 𝑒
2𝑥  𝑦´ = 𝐶1 𝑒
𝑥 + 2 𝐶2 𝑒
2𝑥 e 𝑦´´ = 𝐶1 𝑒
𝑥 + 4 𝐶2 𝑒
2𝑥; 
( 2 ) y´´  3 y´ + 2 y = 0  𝐶1 𝑒
𝑥 + 4 𝐶2 𝑒
2𝑥−3( 𝐶1 𝑒
𝑥 + 2 𝐶2 𝑒
2𝑥 ) + 2( 𝐶1 𝑒
𝑥+ 𝐶2 𝑒
2𝑥 ) = 0 
⟹ 𝐶1 𝑒
𝑥+ 4 𝐶2 𝑒
2𝑥−3𝐶1 𝑒
𝑥 - 6𝐶2 𝑒
2𝑥 + 2𝐶1 𝑒
𝑥 + 2𝐶2 𝑒
2𝑥= 0 ⟹ 
⟹ 𝐶1 𝑒
𝑥−3𝐶1 𝑒
𝑥 + 2𝐶1 𝑒
𝑥 + 4 𝐶2 𝑒
2𝑥 - 6𝐶2 𝑒
2𝑥 + 2𝐶2 𝑒
2𝑥= 0 ⟹ 
( 3 ) 0 = 0. 
 
 As soluções de 𝑦´´ + 𝑦 = 0 são 𝑦 = 𝐶1 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶2 𝑐𝑜𝑠 𝑥; 
( 1 ) 𝑦 = 𝐶1 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶2 𝑐𝑜𝑠 𝑥  𝑦´ = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝐶2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑦´´ = − 𝐶1 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝐶2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ; 
( 2 ) y´´ + y = 0 ⟹ − 𝐶1 sen x − 𝐶2 cos x + 𝐶1 sen x + 𝐶2 cos x = 0 ⟹ 
( 3 ) 0 = 0. 
 
 As soluções de 𝑦´´ 2 𝑦´ + 10 𝑦 = 0 são 𝑦 = 𝑒𝑥( 𝐴 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 + 𝐵 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 ), 
onde A e B são constantes arbitrárias; 
( 1 ) Temos y = 𝑒𝑥 ( A cos 3x + B sen 3x )  
 y´= 𝑒𝑥 ( A cos 3x + B sen 3x 3 A sen 3x + 3 B cos 3x ) e 
 y´´ = 𝑒𝑥 ( 8 A cos 3x  8 B sen 3x  6 A sen 3x + 6 B cos 3x ). 
( 2 ) y´´ 2 y´ + 10 y = 0  
𝑒𝑥 (  8 A cos 3x  8 B sen 3x  6 A sen 3x + 6 B cos 3x ) – 2𝑒𝑥( A cos 3x +B sen 3x 
 3 A sen 3x + 3 B cos 3x ) +10 𝑒𝑥 (A cos 3x + B sen 3x ) ⟹ 
 𝑒𝑥[ cos 3x ( 8A + 6B – 2A – 6B + 10A ) + sen 3x (8B – 6A – 2B + 6A +10B ) ] = 0 
⟹ 𝑒𝑥(cos 3x . 0+ sen 3x . 0) = 0 ⟹ 𝑒𝑥 . 0 = 0 ⟹ 0 = 0. 
EXEMPLO 8 
E 8 B 
E 8 D 
E 8 C 
E 8 A 
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UNIDADE A: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM PÁGINA 26 
 
 AULAS 2 e 3 – CONCEITOS BÁSICOS 
 
 
Equações Diferenciais são equações cujas incógnitas são derivadas de funções. 
( 1 ) Se as funções incógnitas 𝑦´, 𝑦´´, 𝑦´´´, . . . , 𝑦( 𝑛 ), n ∈ ℕ*, dependem apenas da 
variável independente 𝑥 de uma função 𝒚 = 𝒚 ( 𝒙 ) a equação se diz uma Equação 
de Derivadas Ordinárias, Equação Diferencial Ordinária ou EDO. 
( 2 ) Se as incógnitas são derivadas parciais, a equação é uma Equação Diferencial 
Parcial, EDP. 
( 3 ) Uma EDO é uma relação entre as variáveis 𝑥 e 𝑦 e pelo menos uma função 
incógnita 𝑦´, 𝑦´´, 𝑦´´´, . . . , 𝑦( 𝑛 ) 
( 4 ) Organizadas na forma polinomial 
 𝑦( 𝑛 ) + 𝑓𝑛−1( 𝑥 )𝑦
𝑛 − 1+ . . . +𝑓2( 𝑥 )𝑦
´´+ 𝑓1( 𝑥 )𝑦
´ + 𝑓0( 𝑥 )𝑦 = 𝑟 ( 𝑥 ), 
as EDO classificam-se quanto à ordem e quanto ao grau. 
( 5 ) A Ordem é dada pela ordem do termo diferencial de maior ordem e o Grau é 
dado pela potência a qual está elevado o termo diferencial de maior ordem. 
( 6 ) Uma EDO de grau 1 é Linear se a função incógnita y e suas derivadas são de 
grau 1 e não ocorre produto ou composição das incógnitas. Assim, toda equação 
linear tem grau 1, mas nem toda equação de grau 1 é linear. 
( 7 ) As EDO de ordem 1, EDO( 1 ), são descritas na Forma Normal 𝑦´ = 𝑓( 𝑥, 𝑦 ) ou 
na Forma Diferencial 𝑀( 𝑥, 𝑦 ) 𝑑𝑥 + 𝑁( 𝑥, 𝑦 ) 𝑑𝑦 = 0. 
( 8 ) Ao resolver uma equação algébrica, digamos 𝑥² − 3𝑥 + 2 = 0, procuramos os 
números que a satisfazem. Os números 𝑥 = 1 ou 𝑥 = 2 tem essa propriedade, pois 
𝑥² − 3𝑥 + 2 = 0  2² − 3. 2 + 2 = 0  4 − 6 + 2 = 0  −2 + 2 = 0  0 = 0, ou 
𝑥² − 3𝑥 + 2 = 0  1² − 3. 1 + 2 = 0  1 − 3 + 2 = 0  −2 + 2 = 0  0 = 0. 
 Analogamente, resolver uma EDO é procurar todas as funções que a satisfazem. 
( 9 ) Resolver uma EDO é determinar a primitiva 𝑦 = 𝑦 ( 𝑥 ) que originou a EDO. 
( 1 0 ) Resolver uma EDO é procurar uma função 𝒚 = 𝒚( 𝒙 ), definida e diferenciável 
num dado intervalo, tal que, quando substituímos, respectivamente, 𝒚 e suas 
derivadas na EDO, ela se transforma numa IDENTIDADE. 
( 11 ) Uma EDO pode ter infinitas soluções. 
( 12 ) O conjunto das soluções de uma EDO de Ordem n que podem ser descritas 
por uma fórmula contendo n constantes arbitrárias e independentes é chamado 
FAMÍLIA DE SOLUÇÕES ou SOLUÇÃO GERAL, SG, da EDO ( n ). 
( 13 ) A SOLUÇÃO GERAL, SG, de uma EDO é toda FÓRMULA contendo tantas 
constantes arbitrárias e independentes quanto for à ordem da equação. 
 ( 1 4 ) A SOLUÇÃO PARTICULAR, SP, de uma EDO ( n ) é toda solução obtida da 
SG por atribuição de valores numéricos às constantes arbitrárias. 
 § 6 
 
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 ATIVIDADES DE ESTUDOS 2 
 
 Respostas ou modelo de resolução estão em letras menores 
Uma EDO de Grau 1 é Linear se a função incógnita y e suas derivadas são 
grau 1 e não ocorre produto ou composição destas variáveis. Senão, ela é Não 
Linear. Justifique quais das equações abaixo não são Lineares. 
 
74 ) y´ + 2 y = cos x 75 ) y´ = 5x + 2y 
76 ) y´´  3 y´+ 2 y = 0 77 ) 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
  2 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 + 3 y = 5 sen x 
78 ) y´´´ 3y´´+ 2y´  4y = 2 𝑒3𝑥 79 ) ( 𝑦´´ )3 + 2 y y´  1 = 0 Não Linear 
80 ) x² y y´  2 x y² = 0 Não Linear 81 ) 𝑒𝑦´´  x y ´+ y = 0 Não Linear 
82 ) y´´ = 1 + ( 𝑦 ´ ) 2 Não Linear 83 ) y´ = 𝑦2 + cos x Não Linear 
84 ) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 
𝑦 − 𝑥
𝑥 + 𝑦
 85 ) 
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
 + 
𝑔
𝐿
 sen θ = 0 Não Linear 
86 ) 𝑦(5) – 6 𝑦(4) + 10y´´´ + 6 y = 0 87 ) ( 𝑦´´ )3 + 2 y y´ 1 = 0 Não Linear 
88 ) 𝑒𝑦´´  xy´+ y = 0 Não Linear 89 ) y´´ = 1 + ( 𝑦´ )2 Não Linear 
90 ) y´= 𝑦2 + cos x Não Linear 91 ) y´ + 2xy = cos y Não Linear 
92 ) L 
𝑑²
𝑑𝑡²
 q( t ) + R 
𝑑
𝑑𝑡
 q( t ) + 
1
𝐶
 q( t ) = v( t ) 
 
 A partir de uma dada equação, onde c ∈ ℝ, obter uma EDO ( 1 ) na forma 
Normal ou na forma Diferencial. 
93 ) y = C 𝑒𝑥, y´ = y ; y dx  dy = 0 
94 ) y = C x³, y´= 3 𝑦
𝑥
; 3 dx  
𝑥
𝑦
 dy = 0 
95 ) y = C ( x – 1 ), y´ = 𝑦
𝑥 − 1
 ; 
1
𝑥 − 1
 𝑑𝑥  
1
𝑦
 𝑑𝑦 = 0 
96 ) y = C 𝑒𝑥², y´ = 2x y; 2x dx  1
𝑦
 dy = 0 
97 ) x² − 1,5 x + 7y = C, ( 2x – 1 ) dx + ( 3y + 7 ) dy = 0 
98 ) 2,5x² + 4xy – 2𝑦4 = C, ( 5x + 4 ) dx + ( 4x – 8y³ ) dy = 0 
99 ) x²y² − 3x + 4y = C, ( 2xy² − 3 ) dx + ( 2x²y + 4 ) dy = 0 
100 ) xy³ + y² cos x – 0,5x² = C ( x – y³ + y²sen x ) dx – ( 3xy² + 2ycos x ) dy = 0 
101 ) – ln cos x + cos x sen y = C ( tgx – senx sen y ) dx + cos x cos y ) dy = 0 
 § 7 
 
ATIVIDADE 3: EQUAÇÔES LINEARES 
 
ATIVIDADE 4: FORMA NORMAL OU DIFERENCIAL 
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Uma EDO ( 1 ) na forma diferencial 𝑴( 𝒙, 𝒚 ) 𝒅𝒙 + 𝑵( 𝒙, 𝒚 ) 𝒅𝒚 = 0 
é denominada EXATA se 
𝝏 𝑴
𝝏 𝒚
 = 
𝝏 𝑵
𝝏 𝒙
 ou 𝑴𝒚 = 𝑵𝒙. 
Verifique quais das equações abaixo são Exatas: 
102 ) 𝒙𝒚´ + 𝒚 − 𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝟎 
( 1 ) A equação não está na forma diferencial. ( 2 ) Fazemos 𝒙 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
 + 𝒚 − 𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝟎. 
( 3 ) Daí (𝒚 − 𝒔𝒆𝒏 𝒙 )𝒅𝒙 + 𝒙 𝒅𝒚 = 𝟎 ( 4 ) Assim M = 𝒚 − 𝒔𝒆𝒏 𝒙 e N = 𝒙; 
( 5 ) Como 𝑀𝑦 = 1 e 𝑁𝑥 = 1, então 𝑀𝑦 = 𝑁𝑥.( 6 ) Portanto, a equação é exata. 
103 ) 𝒙 𝒅𝒚 − 𝒚 𝒅𝒙 = 𝟎 
( 1 ) Na forma diferencial a equação se escreve − 𝒚 𝒅𝒙 + 𝒙 𝒅𝒚 = 𝟎 
( 2 ) Assim, de M = − 𝒚 e N = 𝒙 temos 𝑀𝑦 = − 1 e 𝑁𝑥 = 1. 
( 3 ) Logo 𝑀𝑦 ¹ 𝑁𝑥 e a equação não é exata 
104 ) 𝒙 𝒚´ + 𝒚 + 𝟒 = 𝟎 EXATA 
105 ) ( 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) 𝒅𝒙 + 𝟐𝒙𝒚 = 𝟎 EXATA 
106 ) ( 𝒙 − 𝒚𝟐 + 𝟑 )𝒚´ + 𝒙 + 𝒚 + 𝟏 = 𝟎 EXATA 
107 ) 𝒔𝒆𝒏 𝒚 𝒅𝒙 − 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎 NÃO EXATA 
108 ) 𝑒𝑥+𝟑𝒚+ ( 𝟑𝒙+𝒄𝒐𝒔 𝒚 )𝒚´ = 𝟎 EXATA 
109 ) 𝑎 𝑑𝑥 + 𝑏 𝑑𝑦 = 0, 𝑎 e 𝑏 números reais EXATA 
 
 
 
Uma EDO( 1 ) na Forma Normal 𝒚´ = 𝒇( 𝒙, 𝒚 ) se denomina Homogênea se 
 𝒇( 𝒕𝒙, 𝒕𝒚 ) = 𝒇( 𝒙, 𝒚 ), 𝑡  ℝ. 
 Verifique quais equações são homogêneas 
 
110 ) 𝒚´ = 
𝟑𝒙 + 𝟐𝒚
𝟓𝒙
 
( 1 ) Temos f( x, y ) = 
𝟑𝒙 + 𝟐𝒚
𝟓𝒙
 ( 2 ) Então f( tx, ty ) = 
𝟑𝒕𝒙 + 𝟐𝒕𝒚
𝟓𝒕𝒙
 = 
𝒕 ( 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 )
𝟓 𝒕 𝒙
 = 
𝟑𝒙 + 𝟐𝒚
𝟓𝒙
 = f( x, y ) 
( 3 ) A equação é homogênea. 
111 ) 𝒚´ = 
𝟐𝒚²
𝟑𝒙
 
( 1 ) Temos f( x, y ) = 
 𝟐𝒚²
𝟑𝒙
 ( 2 ) f( tx, ty ) = 𝟐( 𝒕𝒚 )²
𝟑𝒕𝒙
 = 
𝟐 𝒕² 𝒚 ²
 𝟑 𝒕 𝒙
 = 
𝟐 𝒕𝒚²
𝟑 𝒙
 ¹ f( x, y ) ( 3 ) A equação não é homogênea. 
 
112 ) 𝒚´ =
𝟑𝒙 + 𝟐𝒚
𝟓𝒙
 A equação é homogênea. 
113 ) 𝒚´ =
𝒙 ² 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 ( 𝒚 𝒙 )⁄
𝒙𝟐+𝒚𝟐 𝒆𝒚 𝒙⁄ 
 A equação é homogênea. 
ATIVIDADE 6: EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS DE ORDEM 1 
ATIVIDADE 5: EQUAÇÕES EXATAS 
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 Função Dada Equação Diferencial Dada 
 
114 𝑦 = 𝑥²  𝑥 + 6 𝑦´ = 2𝑥 – 1 
 
115 
 
𝑦 = 5𝑥³ + 12; 𝑦´ = 15𝑥² 
116 𝑦 = 5𝑒−3𝑥; 𝑦´ + 3𝑦 = 0 
117 𝑦 = 𝐶𝑥² 𝑥𝑦´ 2𝑦 = 0 
118 𝑦 = 3𝑥² + 4𝑥  5 𝑦´´´ = 0 
119 𝑦 = 1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑦´´ + 𝑦 = 1 
120 𝑥² + 𝑦² + 𝐶 𝑥𝑑𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 = 0 
121 𝑦 = 𝐶𝑥 𝑦𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦 = 0 
122 𝑦 = 𝐶 ( 𝑥 + 3 ) ( 𝑥 + 3 ) 𝑦´ = 𝑦 
123 ( 1 − 𝐶𝑒2𝑥 ) 𝑦 = ( 1 − 𝐶𝑒2𝑥 ) 𝑦´ = 1 + 𝑦² 
124 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 + 𝐶 𝑦´ = 
𝑒−𝑥 − 𝑒− 𝑥 
2
 
125 y = C𝑒2𝑥– 2,5 x – 1,25 𝑦´ = 5𝑥 + 2𝑦 
126 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 𝑦´´ + 16 𝑦 = 0 
127 𝑦 = 𝑥−1 ln( 𝑥 + 1 ) 𝑥𝑦´ − 𝑒− 𝑥𝑦 + 𝑦 = 0 
128 𝑥𝑦 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝐶 𝑥𝑦´ + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
129 𝑥³ + 3𝑥𝑦² = 𝐶 ( 𝑥² + 𝑦² ) 𝑑𝑥 + 2𝑦𝑑𝑦 = 0 
 
130 
 
3𝑥²𝑦² + 6𝑥𝑦² + 2𝑥³ + 6𝑥² + 6𝑥 + 3𝑦² = 𝐶 
 
 
( 𝑥 + 𝑦2 + 1)𝑑𝑥 + (𝑥𝑦 + 𝑦 )𝑑𝑦 = 0 
 
 
131 
 
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 – 1 + 𝐶 𝑒− 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 
 
( 1 + 𝑥² ) 𝑦´ + 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 
 
132 
 
𝑦 = 𝑒−2𝑥 ( 𝐴 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 𝐵 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 ) 
 
 
𝑦´´ + 2𝑦´ + 5𝑦 = 0 
 
133 
 
y = 𝐴 𝑒𝑥 + 𝐵 𝑒−2𝑥 + ( 1/ 7 ) 𝑒4𝑥 
 
𝑦´´ + 𝑦´ − 2𝑦 = 3 𝑒4𝑥 
 
ATIVIDADE 7: VERIFIQUE SE A FUNÇÂO DADA É SOLUÇÃO DA EDO DADA. 
 
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 A partir de uma dada equação obtenha uma EDO de menor ordem que não 
contenha constantes arbitrárias. 
134 ) Seja 𝑦 = 𝐴 𝑥³ + 𝐵, onde 𝐴, 𝐵 são constantes arbitrárias. 
( 1 ) Afim de obter a EDO de menor ordem que não contenha constantes arbitrárias derivamos a 
equação dada tantas vezes quanto for o número de constantes arbitrárias, pois a SG de uma EDO tem 
número de constantes arbitrárias igual a ordem da equação; 
( 2 ) Temos y´= 3 A x² e y´´ = 6 A x. 
( 3 ) A equação y´´ = 6Ax ainda contém uma constante arbitrária; 
( 4 ) Como 𝐴 = 
𝑦´
3 𝐴 𝑥²
 segue-se que 𝑦´´ = 6. 
𝑦´
3 𝐴 𝑥²
 𝑥 = 
2 𝑦´
 𝑥
  𝑥𝑦´´  2𝑦´ = 0 
135 ) Seja 𝑦 = 𝐴 𝑥² + 𝐵, onde 𝐴, 𝐵 são constantes arbitrárias. 𝑥𝑦´´  𝑦´ = 0 
136 ) Seja 𝑦 = 𝐶 𝑥³, onde 𝐶 é uma constante arbitrária. 𝑥𝑦´´ 3𝑦 = 0 
137 ) Seja 𝑥² + 𝑦² = 𝐶, onde 𝐶 é uma constante arbitrária. 𝑦𝑦´ + 𝑥 = 0 
138 ) Seja 𝑦 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝑥, onde 𝐴, 𝐵 são constantes arbitrárias. 
 ( 1 ) Temos y´=  A sen x + B cos x e y´´ =  A cos x  B sen x . 
 ( 2 ) y´´ =  ( A cos x + B sen x)  y´´=  y  y´´+ y = 0. 
139 ) Seja y = A 𝑒𝑥 + B 𝑒− 𝑥, onde 𝐴, 𝐵 são constantes arbitrárias. y´´  16 y = 0 
( 1 ) Temos y´= A 𝑒𝑥 − B 𝑒− 𝑥, e y´´ = A 𝑒𝑥 + B 𝑒− 𝑥,. 
( 2 ) y´´ = y  y´´− y = 0. 
140 ) Seja y = A 𝑒4𝑥 + B 𝑒− 4𝑥, onde 𝐴, 𝐵 são constantes arbitrárias. y´´  16 y = 0 
141 ) Seja 𝑦 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 + 𝐵 𝑠𝑒𝑛 3𝑥, 𝐴, 𝐵 constantes arbitrárias. y´´ + 9 y = 0 
142 ) Seja y = A cos 2x + B sen 2x + 5 x²  1, 𝐴, 𝐵 são constantes arbitrárias 
SOLUÇÃO 1 
( 1 ) Temos y´=  2 A sen 2x + 2 B cos 2x + 10 x e, 
( 2 ) y´´ =  4 A cos 2x  4 B sen 2x + 10 
( 3 ) y´´ =  4 A cos 2x  4 B sen 2x + 10  y´´ =  4 ( A cos 2x  B sen 2x  
10
4
 ) 
( 4 ) Somando e subtraindo 5x²  1 em ambos os membros de ( 3 ), segue-se: 
y´´ =  4 ( A cos 2x  B sen 2x + 5x²  1 5x² + 1  
10
4
 )  
 y´´ =  4 ( A cos 2x  B sen 2x + 5x²  1)  4 ( 5x² + 1  
10
4
 )  
 y´´ =  4 y + 20 x²  4 + 10  y´´ =  4 y + 20 x² + 6  
 y´´ + 4 y = 20 x² + 6 
SOLUÇÃO 2 
( 5 ) y = A cos 2x + B sen 2x + 5 x²  1  A cos 2x + B sen 2x = y − ( 5 x²  1 ) 
( 6 ) De y´´ =  4 A cos 2x  4 B sen 2x + 10  y´´ =  4 ( A cos 2x + 4 B sen 2x ) + 10  
 y´´ =  4 [ y − ( 5 x²  1 ) ] + 10  y´´ =  4 y + 20 x² − 4 + 10  y´´ + 4 y = 20 x² + 6. 
ATIVIDADE 8 - FORMANDO EDO´s 
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A equação F ( x, y, C ) = 0 representa uma infinidade de curvas no plano xy 
denominada FAMILIA DE CURVAS, onde C  ℝ é chamado parâmetro da família. 
 Se F( x, y, c ) = 0 é representada como y´= f( x, y ), a equação y´= −
𝟏
𝒇( 𝒙, 𝒚 )
 é 
chamada Equação Diferencial das Trajetórias Ortogonais da família F. 
 Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas F dada abaixo: 
143 ) x² + y² = C². 
( 1 ) Diferenciando x² + y² = C² em relação a x, obtemos y´ = − x / y; 
( 2 ) Como f( x, y ) = − x / y, as trajetórias ortogonais são y´=−
𝟏
𝒇( 𝒙, 𝒚 )
 = − [ −1 / ( x / y ) ] = y / x144 ) x² + y² = Cx y´= −x / 2y 145 ) x² + ( y – C )² = C² y´= − ( x² − y² ) / 2xy 
146 ) y = Cx² y´= −x / 2y 147 ) x² − y² = C² y´= −y / x 
148 ) y = C𝑒𝑥 y´= − 1/ y 149 ) x² − y² = Cx y´= − ( x² y – y³ ) / x 
150 ) xy = C y´= x / y 151 ) y = Cx³ y´= −x / 3y 
152 ) y² = 4Cx y´= − 2x / y 153 ) x² + y² = Cy y´= ( y² − x² ) / 2x 
 
 
A EDO( 1 ) 𝒚´ + 𝒇( 𝒙 )𝒚 = 𝒓( 𝒙 )𝒚𝒌 , k  ℝ, é denominada Equação de Bernoulli. 
Se k = 0 ou k = 1, a equação de Bernoulli se reduz a uma EDOL ( 1 ). 
Verifique quais das equações abaixo são de Bernoulli: 
 
154 ) 𝒚´ = 𝒚 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒆𝒙 
Devemos verificar se 𝒚´ = 𝒚 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒆𝒙 se escreve na forma 𝒚´ + 𝒇( 𝒙 )𝒚 = 𝒓( 𝒙 )𝒚𝒌 . Para tanto: 
( 1 ) Escrevemos 𝒚´ = 𝒚 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒆𝒙 como 𝒚´ + 𝒚 (− 𝒔𝒆𝒏 𝒙 ) = 𝒆𝒙 𝒚𝟎 ; 
( 2 ) Assim, f( x ) = − senx , r( x ) = 𝑒𝑥 e k = 0 
 ( 3 ) A equação é de Bernoulli 
155 ) 𝒙 𝒚´ = 𝒚 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒆𝒙 
 ( 1 ) Dividimos ambos os termos de 𝒙𝒚´ = 𝒚 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒆𝒙 por x ¹ 0, pois na forma padrão o coeficiente de 
y´ é igual a 1, para obter 𝒚´ = 
𝒚
𝒙
 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 
𝟏
𝒙
 𝒆𝒙; 
( 2 ) Escrevemos 𝒚´ = 
𝒚
𝒙
 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 
𝟏
𝒙
 𝒆𝒙 como 𝒚´ + 𝒚 (− 
𝟏
𝒙
 𝒔𝒆𝒏 𝒙 ) = 
𝟏
𝒙
 𝒆𝒙 𝒚𝟎 , onde f( x ) = − 
𝟏
𝒙
 𝒔𝒆𝒏 𝒙 , 
 r( x ) = 
𝟏
𝒙
 𝑒𝑥 e k = 0, para concluir que a equação é de Bernoulli. 
156 ) 𝒚´ = 𝟓 Equação de Bernoulli 157 ) 𝒚´ = 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒚 + 𝒆𝒙 Não é Equação de Bernoulli 
158 ) 𝒚´ + 𝒙𝒚 = 𝒚 𝒆𝒙 Equação de Bernoulli 159 ) 𝒚´ = 𝒚² + 𝒙 Não é Equação de Bernoulli 
160 ) 𝒚´ + 𝒙𝒚−𝟏 = 𝟎 Equação de Bernoulli 161 ) 𝒚´ + 𝒚 = √𝒚 Não é Equação de Bernoulli 
 
ATIVIDADE 9: TRAJETÓRIAS ORTOGONAIS 
ATIVIDADE 10: A EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
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162 ) Descreva a EDO da curva cuja inclinação é igual à soma das coordenadas 
Resp.: A equação que satisfaz a condição solicitada é 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = x + y ou y´= x + y. 
163 ) Descreva a EDO da curva tal que o produto das ordenadas pela inclinação mais 
as abscissas é nulo. 
Resp.: A equação que satisfaz a condição solicitada é y 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 + x = 0 ou y´y + x = 0 
164 ) Numa cultura de bactérias a taxa de crescimento da população é proporcional à 
população inicialmente presente. 
 
( 1 ) A população P de bactérias é uma função do tempo t: P = P( t ). 
( 2 ) A taxa de variação da população de bactérias é representada 
𝑑𝑃
 𝑑𝑡
 e a informação dada é simbolizada 𝑑𝑃
 𝑑𝑡
∝ P, 
onde o símbolo ∝ é lido . . . é proporcional a . . . 
( 3 ) Assim, existe uma constante de proporcionalidade k > 0, pois a população aumenta, tal que 𝑑𝑃
 𝑑𝑡
= 𝑘𝑃. 
 
165 ) A taxa de variação do capital é proporcional ao capital em cada instante. 𝑑𝐶
 𝑑𝑡
= 𝑘𝐶 
 
166 ) A queda de tensão 𝑉𝑅 através do resistor é proporcional à corrente instantânea i. 
 𝑉𝑅 ∝ i diz que existe uma constante R, chamada Resistência do Resistor, tal que 𝑉𝑅 = 𝑅 i. 
 
167 ) A queda de tensão 𝑉𝐿 num indutor é proporcional à taxa de variação da corrente 
 𝑉𝐿 ∝ 
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 diz que existe uma constante L, chamada Indutância do Indutor, tal que 𝑉𝐿 = 𝐿 
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 . 
 
168 ) A queda de tensão 𝑉𝐶 num capacitor é proporcional ao valor 
1
𝐶
 da carga elétrica 
instantânea q armazenada no capacitor. 
 𝑉𝐶 = 
1
𝐶
 q, onde C é a capacitância do Capacitor. 
 
169 ) A corrente elétrica i é igual a taxa de variação da carga elétrica. 𝑖 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
 
170 ) A 2ª Lei de Newton: Força é igual a massa vezes a aceleração. 
( 1 ) Isto é, a força resultante que atua num corpo é proporcional à aceleração do corpo; 
( 2 ) F = ma = m 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 = m 
𝑑²𝑥
𝑑𝑡²
, onde x = x ( t ) é a função deslocamento do corpo. 
171 ) Radioatividade: A experiência mostra que toda substância radioativa se 
decompõe a uma taxa proporcional à quantidade inicialmente presente. 
( 1 ) A massa m é uma função do tempo t: m = m ( t ); ( 2 ) 
𝑑𝑚
 𝑑𝑡
 é a variação da massa e a observação é 
simbolizada 𝑑𝑚
 𝑑𝑡
∝ m;; ( 3 ) Assim, existe uma constante de proporcionalidade k < 0, tal que 𝑑𝑚
 𝑑𝑡
= 𝑘𝑚. 
 
172 ) Lei do Resfriamento de Newton: A experiência mostra que a taxa de variação 
da Temperatura T de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do 
corpo e a temperatura 𝑇𝑎 do meio ambiente. 
𝑑𝑇
 𝑑𝑡
= 𝑘( 𝑇 − 𝑇𝑎 ) . 
ATIVIDADE 11: DESCRIÇÃO DE UMA OBSERVAÇÃO 
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 PROBLEMA DE VALOR INICIAL E 
 SOLUÇÔES SINGULARES 
 
As EDO estão sujeitas a dadas condições, chamadas Condições Iniciais, que 
definem o valor de cada constante 𝐶1, 𝐶2, . . . , 𝐶𝑛 da SG. 
No caso das EDO ( 1 ) interessa determinar a Solução Particular que satisfaz a 
Condição Inicial y ( 𝑥0 ) = 𝑦0. 
 Geometricamente, a SP é aquela que passa pelo ponto P( 𝑥0, 𝑦0 ). 
Por exemplo, a SG da EDO( 1 ) 𝑦´ = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 é 𝑦( 𝑥 ) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶, onde C ∈ ℝ. 
A SP que satisfaz a condição inicial y ( 0 ) = , é obtida substituindo x por 0 e y por  
na SG. Como y ( 0 ) =   sen 0 + C =   C = , a SP é 𝑦 ( 𝑥 ) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + . 
A SG da EDO 𝑦´ − 2𝑦 = 0 é 𝑦 = 𝐶𝑒𝑥 em −  < x <  e a SP que satisfaz a 
condição 𝑦 ( 0 ) = 0 é y = 0, pois y( 0 ) = 0  C = 0. 
Uma solução identicamente nula no intervalo de solução de uma equação 
diferencial é chamada Solução Trivial. 
 
DEF. 6 – PROBLEMA DE VALOR INICIAL: P V I 
 
 
 
 
 
 
 
 Entretanto, nem todas as soluções de uma EDO ( 1 ) podem ser obtidas da SG 
por atribuição de valores numéricos às constantes arbitrárias. 
Existem EDO( 1 ) que aceitam como solução funções constantes y = k, k  ℝ, 
que anulam a Forma Normal, chamadas SOLUÇÕES SINGULARES. 
 
DEF. 7 – SOLUÇÕES SINGULARES 
 
 
 
 
 
Observe que a função s ( x ) = k é uma solução da EDO ( 1 ) na forma normal 
y´= f ( x, y ), pois substituindo y por s ( x ) temos 
 s´( x ) = f [ x, s( x ) ]  ( k )´= f ( x, k )  0 = f ( x, k ) . 
O Problema y´= g ( x, y ), com a < x < b 
 
 sujeito à condição 
 
 y ( xₒ ) = yₒ, a < xₒ < b 
 
é chamado PROBLEMA DE VALOR INICIAL ou PROBLEMA DE CAUCHY. 
 Uma função s ( x ) = k tal que f ( x, k ) = 0, k ∈ ℝ, é denominada SOLUÇÃO 
SINGULAR da equação y´= f ( x, y ). 
 CADERNO 3 3 
 CADERNOS EQUAÇÔES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS PROF MARCO A BRASIL
 
UNIDADE A: