Exercicio 1

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– 1 –
O mecanismo ABCD é composto por três hastes retilíneas BA , CB e DC articuladas, 
conforme mostrado na Figura 1. A haste CB gira em torno do ponto B, descrevendo um 
movimento de rotação no plano horizontal, enquanto a haste DC gira em torno do ponto C, 
descrevendo um movimento circular no plano vertical. O início do movimento se dá com os 
segmentos ortogonais entre si. Sendo assim, para 0=t s, as coordenadas dos pontos A, B, C e 
D, expressas em metros, no sistema de referência fixo ) , ,( zyxF são: 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
==
0
0
0
)0( t
F A ; 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
==
1
0
0
)0( t
F B ; 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
==
1
0
1
)0( t
F C ; 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
==
1
1
1
)0( t
F D . 
 
 
1 
A ≡ 0 y (m)
x (m) 
z (m)
B
C D
1
1 t = 0 s
 
Figura 1 – Mecanismo com três barras articuladas ortogonais entre si no instante 0=t s. 
 
Este exemplo possui dois objetivos. O primeiro é fixar os conceitos apresentados no 
formulário, enquanto o segundo consiste em tornar a notação adotada familiar. Neste sentido, 
diversas questões são propostas com um grau crescente de dificuldade, de modo a encadear 
estes resultados, ou seja, o resultado de uma questão serve de ponto de partida para a próxima. 
Além disso, determinadas grandezas são obtidas através de mais de uma maneira e os 
resultados são verificados entre si, utilizando-se matrizes de transformação. Estes 
procedimentos atestam a riqueza de possibilidades desta abordagem. 
 
 
 
 – 2 –
Questão #1: Por inspeção, escreva o vetor posição do ponto D no SR ) , ,( zyxF nesta 
condição inicial. 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=−= ===
1
1
1
0
0
0
1
1
1
 )0( )0( )0( t
F
t
F
tD
F ODr 
 
Questão #2: Realize uma rotação α obtendo um novo SR )' ,' ,'( zyxR onde CRB r seja 
constante. E outra rotação sequencial β, tal que DSC r seja constante, resultando 
num SR )" ," ,"( zyxS . Qual o vetor posição do ponto D no SR )" ," ,"( zyxS ? 
 
Observação: Utilize a relação )()()( )( trtrtrtr D
S
CC
S
BB
S
D
S ++= . Escreva cada um dos 
termos e compatibilize a soma das componentes com as matrizes de 
transformação de coordenadas necessárias. 
 
Considere as mudanças no sistema de referência, conforme as Figuras 2a e 2b e as 
respectivas matrizes de transformação associadas a estas mudanças. 
 
 
x (m) x’ (m)
A ≡ 0’ ≡ 0 
z (m) ≡ z’ (m) 
y (m)
y’ (m)
B 
C
D
α α 
α 
1 
1 
x’ (m) ≡ x” (m)
A ≡ 0
y’ (m)
B
C ≡ 0’ ≡ 0” 
D 
β 
β 
z’ (m) y” (m) 
z” (m) 
β
 
 
Figura 2 – (a) Mudança no sistema de referência ) , ,( zyxF → )' ,' ,'( zyxR ; 
(b) Mudança no sistema de referência )' ,' ,'( zyxR → )" ," ,"( zyxS . 
 
 – 3 –
β (1)F 
( x, y, z ) 
Sistema Fixo 
(Solidário à barra AB) 
R
( x’, y’, z’ )
Sistema Móvel 
(Solidário à barra BC)
α (3) S 
( x”, y”, z” ) 
Sistema Móvel 
(Solidário à barra CD) 
 
Matrizes de transformação: 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
=
100
0)( cos)( sen
0)( sen)( cos
tt
tt
T RF αα
αα
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−=
)( cos)( sen0
)( sen)( cos0
001
tt
ttT SR
ββ
ββ 
 
Para simplificar as expressões, são feitas as seguintes considerações: αα =)( t , 
ββ =)( t e DSDS rtr =)( . 
 
Determinação do vetor posição do ponto B ( Br ): 
 
No SR ) , ,( zyxF : 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=−=
1
0
0
0
0
0
1
0
0
 OBr FFB
F 
 
Aplicando a matriz de transformação, obtém-se Br no SR )' ,' ,'( zyxR : 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−==
1
0
0
1
0
0
100
0cossen
0sencos
 αα
αα
B
FFR
B
R rTr 
 
Observando a Figura 2(a), note que este cálculo é dispensável, pois z ≡ z’. 
 
Aplicando novamente a matriz de transformação, obtém-se Br no SR )" ," ,"( zyxS : 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
==
β
β
ββ
ββ
cos
sen
0
1
0
0
cossen0
sencos0
001
 B
RRS
B
S rTr 
 
 
 – 4 –
Determinação do vetor posição do ponto C relativa ao ponto B ( CB r ). Para isso, 
observe a Figura 2a e considere a origem do SR )' ,' ,'( zyxR no ponto B. 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=−=
0
0
1
0
0
0
0
0
1
 BCr RRC
R
B 
 
Aplicando a matriz de transformação, obtém-se CB r no SR )" ," ,"( zyxS : 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
==
0
0
1
0
0
1
cossen0
sencos0
001
 
ββ
ββCRBRSCSB rTr 
 
Observando a Figura 2(b), note que este cálculo é dispensável, pois x’ ≡ x”. 
 
Determinação do vetor posição do ponto D relativa ao ponto C ( DC r ). Para isso, 
observe a Figura 2b e considere a origem do SR )" ," ,"( zyxS no ponto C. 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=−=
0
1
0
0
0
0
0
1
0
 CDr SSD
S
C 
 
De posse de cada um dos termos, todos no mesmo sistema de referência )" ," ,"( zyxS , 
obtém-se: 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=++=
 cos 
sen1
1
0
1
0
0
0
1
 cos 
sen
0
 
β
β
β
βDSCCSBBSDS rrrr 
 
 
Questão #3: Qual o vetor posição do ponto D no SR )' ,' ,'( zyxR ? 
 
Observação: (a) Utilize primeiro a relação D
R
CC
R
BB
R
D
R rrrr ++= . 
(b) A seguir, verifique D
SSR
D
R rTr = . 
 
 – 5 –
Item (a): D
R
CC
R
BB
R
D
R rrrr ++= 
 
Determinação do vetor posição do ponto D relativa ao ponto C ( DC r ): 
 
Da Questão #2, obtém-se D
S
C r
 . Aplicando a matriz de transformação tem-se: 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−==
β
β
ββ
ββ
sen
cos
0
0
1
0
cossen0
sencos0
001
 D
S
C
SR
D
R
C rTr 
 
Da Questão #2, obtém-se B
R r e C
R
B r
 . Logo... 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=++=
β
β
β
β
sen1
 cos 
1
sen
 cos 
0
0
0
1
1
0
0
 
D
R
CC
R
BB
R
D
R rrrr 9
 
 
Item (b): D
SSR
D
R rTr = 
 
Obtendo D
R r a partir da matriz de transformação... 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
++
−+=
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−==
β
β
βββ
βββββ
β
β
ββ
ββ
sen1
cos
1
cossensen
cossensencos cos
1
 
 cos 
sen1
1
cossen0
sencos0
001
 
22
D
SSR
D
R rTr
 
9
 
 
 
Questão #4: (a) Qual o vetor posição do ponto D no SR ) , ,( zyxF ? Utilize a relação 
D
RRF
D
F rTr = ; 
(b) Verifique )0( =tD
F r com o resultado obtido na Questão #1 (neste caso, 
0)( )0( ==ttα e 0)( )0( ==ttβ ). 
 
 – 6 –
Item (a): D
RRF
D
F rTr = 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
==
β
βαα
βαα
β
βαα
αα
sen1
coscossen
cossencos
sen1
cos
1
100
0cossen
0sencos
 D
RRF
D
F rTrAlternativamente, pode-se obter D
F r através da relação D
F
CC
F
BB
F
D
F rrrr ++= , 
conforme a seguir. Para isso é necessário obter C
F
B r
 e D
F
C r
 aplicando a matriz de 
transformação a C
R
B r
 (obtido na Questão #2) e D
R
C r
 (obtido na Questão #3). Portanto... 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
==
0
sen
cos
0
0
1
100
0cossen
0sencos
 α
α
αα
αα
C
R
B
RF
C
F
B rTr 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
==
β
βα
βα
β
βαα
αα
sen
coscos
cossen
sen
cos
0
100
0cossen
0sencos
 D
R
C
RF
D
F
C rTr 
 
De posse de cada um dos termos, todos no mesmo sistema de referência ) , ,( zyxF , 
obtém-se: 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡−
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=++=
β
βαα
βαα
β
βα
βα
α
α
sen1
coscossen
cossencos
sen
coscos
cossen
0
sen
cos 
1
0
0
 
D
F
CC
F
BB
F
D
F rrrr 
 
Item (b): Da Questão #1, tem-se: 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
==
1
1
1
)0( tD
F r 9 
 
Fazendo 0)( )0( ==ttα e 0)( )0( ==ttβ , tem-se: 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
−
=
1
1
1
)0(sen1
)0(cos)0(cos)0(sen
)0(cos)0(sen)0(cos
sen1
coscossen
cossencos
β
βαα
βαα
D
F r 9
 
 
 – 7 –
Questão #5: Derive D
F r no tempo para obter D
F v . Como ele está descrito no SR ) , ,( zyxF 
fixo, sua derivada é a própria velocidade, ou seja, [ ]DFDF rdtdv = . 
 
Lembrando que 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
−
=
β
βαα
βαα
sen1
coscossen
cossencos
D
F r , tem-se: 
 
[ ]
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
+−−
===
 cos
sencoscossencos
sensencoscossen
 
ββ
βαββαααα
βαββαααα
&
&&&
&&&
&DFDFDF rrdt
dv 
 
 
Questão #6: Qual a velocidade angular do referencial )' ,' ,'( zyxR descrita no SR ) , ,( zyxF ? 
 
A barra CB gira em torno do eixo z com velocidade angular α& . Logo: 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
α
ω
&
0
0
R
F 
 
Observação: Note que R
F
R
R ωω = , pois z ≡ z’: 
 
 
Questão #7: Qual a velocidade angular do referencial )" ," ,"( zyxS relativa à barra CB 
associada ao referencial )' ,' ,'( zyxR descrita em )' ,' ,'( zyxR ? 
 
A barra DC gira em torno do eixo x’ com velocidade angular β& . Como x’ ≡ x”: 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
==
0
0 
β
ωω
&
S
S
RS
R
R 
 
 
 – 8 –
Questão #8: Qual a velocidade angular de )" ," ,"( zyxS descrita em )' ,' ,'( zyxR ? 
 
A velocidade angular de )" ," ,"( zyxS descrita em )' ,' ,'( zyxR pode ser decomposta em 
S
R
RR
R
S
R ωωω += . O termo SRRω foi calculado na Questão #7 mas o termo RRω precisa ser 
determinado aplicando a matriz de transformação a R
Fω (obtido na Questão #6). 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−==
αα
αα
αα
ωω
&&
0
0
0
0
100
0cossen
0sencos
 R
FFR
R
R T 
 
Observando a Figura 2(a), note que este cálculo é dispensável, pois z ≡ z’. 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=+=
α
ββ
α
ωωω
&
&&
&
0
0
00
0
 S
R
RR
R
S
R 
 
 
Questão #9: Qual a velocidade angular de )" ," ,"( zyxS descrita em )" ," ,"( zyxS ? 
 
Aplicando a matriz de transformação a S
Rω , obtido na questão anterior. 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
==
βα
βα
β
α
β
ββ
ββωω
cos
sen0
cossen0
sencos0
001
 
&
&
&
&
&
S
RRS
S
S T 
 
 
Questão #10: Por observação, escreva as velocidades Av , Bv e Cv . 
 
Observações: (a) Escolha um SR onde a representação de Cv seja a mais simples possível; 
(b) Qual a trajetória do ponto C ? 
 
 
 
 
 – 9 –
Item (a): Av 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=−=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
OAr FFA
F 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
==
0
0
0
 A
F
A
F r
dt
dv 
 
Item (b): Bv 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=−=
1
0
0
0
0
0
1
0
0
OBr FFB
F 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
==
0
0
0
 B
F
B
F r
dt
dv 
 
Item (c): Cv 
 
De acordo com a Figura 3, observa-se que o ponto C descreve uma trajetória circular 
num plano paralelo ao plano (x’,y’) com centro no ponto B. Note que a barra CB é colinear 
ao eixo x’. Portanto, o SR )' ,' ,'( zyxR é o mais indicado para representar Cv . Lembrando que 
CB = 1m, a velocidade do ponto C é tangente a trajetória respeitando o sentido do 
movimento e sua magnitude é dada por ααω && ==×= CBrv . Portanto... 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
0
0
α&CR v 
 
 
 – 10 –
 
x’ (m)
A ≡ 0
y’ (m) 
B
D
z’ (m)
C ≡ 0’α 
x (m) 
y (m)
z (m)
C
R v
 
Figura 3 – Velocidade absoluta do ponto C descrita no SR )' ,' ,'( zyxR . 
 
A velocidade do ponto C pode ser verificada obtendo-se Cv a partir da velocidade do 
ponto B através da expressão: 
 
Cl
R
RC
R
BR
R
B
R
C
R vrvv Re 
~ ++= ω 
 
Mais uma vez, o SR )' ,' ,'( zyxR é mais indicado para representar a velocidade do ponto 
C. Note que Bv é nula (representada em qualquer SR), conforme obtida no item anterior. 
Além disso, a escolha do referencial )' ,' ,'( zyxR é conveniente, pois o ponto C pertence à 
barra CB , portanto 0 Re =ClRR v . Desta forma, a expressão para a obtenção de Cv resume-se a: 
 
C
R
BR
R
C
R rv ~ω= 
 
Da Questão #8, obtém-se: 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
α
ω
&
0
0
R
R para determinação da matriz RRω~ . 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
=
000
00
00
~ α
α
ω &
&
R
R 
 
 
 
 – 11 –
Da Questão #2, obtém-se: 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
0
0
1
C
R
B r . Assim, 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
==
0
0
0
0
1
000
00
00
 ~ αα
α
ω &&
&
C
R
BR
R
C
R rv 
 
 
Questão #11: Embarque em )" ," ,"( zyxS . Obtenha a velocidade do ponto D a partir da 
velocidade do ponto C. Represente esta velocidade em )' ,' ,'( zyxR . 
 
Embarcar em )" ," ,"( zyxS , significa considerar Sω e DlS v Re . Enquanto representar em 
)' ,' ,'( zyxR corresponde a escrever toda a equação neste sistema (índices superiores de cada 
termo), conforme abaixo. 
 
Dl
R
SD
R
CS
R
C
R
D
R vrvv Re 
~ ++= ω 
 
Como o ponto D pertence à barra DC associada ao SR )" ," ,"( zyxS , tem-se 
0 Re =DlRS v . Assim, a velocidade do ponto D no SR )' ,' ,'( zyxR é dada por: 
 
D
R
CS
R
C
R
D
R rvv ~ω+= 
 
O vetor velocidade de C no SR )' ,' ,'( zyxR foi obtido na Questão 10 – Item “c” e é 
dado por 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
0
0
α&CR v . 
 
Da Questão #8, obtém-se 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
α
β
ω
&
&
0S
R para determinação da matriz SRω~ . 
 
 
 – 12 –
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
00
0
00
~
β
βα
α
ω
&
&&
&
S
R 
 
Da Questão#3 – Item a, obtém-se 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
β
β
sen
cos
0
 
D
R
C r . 
 
Efetuando o cálculo parcial D
R
CS
R r ~ω 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
ββ
ββ
βα
β
β
β
βα
α
ω
cos
sen
cos
sen
cos
0
00
0
00
 ~ 
&
&
&
&
&&
&
D
R
CS
R r 
 
De posse de cada um dos termos, todos no mesmo sistema de referência )' ,' ,'( zyxR , 
obtém-se: 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=+=
ββ
ββα
βα
ββ
ββ
βα
αω
cos
sen
cos
cos
sen
cos
0
0
 ~
&
&&
&
&
&
&
&DRCSRCRDR rvv 
 
 
Questão #12: Embarque em )' ,' ,'( zyxR e calcule a velocidade do ponto D. 
 
Observação: Neste caso, é necessário saber a velocidade do ponto D relativa à barra CB 
associada ao SR )' ,' ,'( zyxR . 
 
Embarcar em )' ,' ,'( zyxR , significa considerar Rω e DlR v Re . O enunciado não diz nada 
a respeito do sistema a ser adotado para representar a equação completa. Neste caso, o sistema 
)' ,' ,'( zyxR é adotado. Isto corresponde a escrever toda a equação neste sistema (índices 
superiores de cada termo), conforme abaixo. 
 
Dl
R
RD
R
CR
R
C
R
D
R vrvv Re 
~ ++= ω 
 
 – 13 –
Da Questão #10 – Item (c), obtém-se 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
0
0
α&CR v e 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
=
000
00
00
~ α
α
ω &
&
R
R . 
 
Da Questão #3, obtém-se 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
β
β
sen
cos
0
 
D
R
C r . 
 
Efetuando o cálculo parcial D
R
CR
R r ~ω ... 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
=
0
0
cos
sen
cos
0
000
00
00
 ~ 
βα
β
βα
α
ω
&
&
&
D
R
CR
R r 
 
Para a obtenção de DlR v Re , note que é mais fácil identificar esta grandeza no SR 
)" ," ,"( zyxS para então obtê-la no SR ),,( zyxR ′′′′′′ , aplicando a matriz de transformação. 
De acordo com a Figura 4, observa-se que o ponto D descreve uma trajetória circular no 
plano (y”, z”) com centro no ponto C. Lembrando que DC = 1m, a velocidade do ponto D é 
tangente a trajetória respeitando o sentido do movimento e sua magnitude é dada por 
ββ && ==×= DCrwv . 
 
C x” (m) 
A ≡ 0 
B 
D ≡ 0” 
β 
y” (m)
z” (m) 
S v D 
 
Figura 4 – Velocidade do ponto D em relação ao referencial )' ,' ,'( zyxR 
descrita no SR )" ," ,"( zyxS . 
 
 – 14 –
Portanto: 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
β&
0
0
 Re Dl
S
R v . 
 
Aplicando a matriz de transformação a Dl
S
R v Re . 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−==
ββ
ββ
βββ
ββ
cos
sen
0
0
0
cossen0
sencos0
001
 Re Re 
&
&
&
Dl
S
R
SR
Dl
R
R vTv 
 
De posse de cada um dos termos, todos no mesmo sistema de referência )' ,' ,'( zyxR , 
obtém-se: 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡−
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=++=
ββ
ββα
βα
ββ
ββ
βα
αω
cos
sen
cos
cos
sen
0
0
0
cos
0
0
 ~ Re 
&
&&
&
&
&
&
&DlRRDRCRRCRDR vrvv 
 
 
Questão #13: Constate que o resultado das Questões #11 e #12 confere com o resultado da 
Questão #5, calculando D
RRF
D
F vTv = . 
 
Da Questão #5, tem-se: 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
+−−
=
 cos
sencoscossencos
sensencoscossen
ββ
βαββαααα
βαββαααα
&
&&&
&&&
D
F v 9 
 
Aplicando a matriz de transformação a D
R v , tem-se: 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−+−
+−−
=
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
==
 cos
sencoscoscossen
sensensencoscos
 
 cos
sen
cos
100
0cossen
0sencos
 
ββ
βαβααβαα
βαβααβαα
ββ
ββα
βα
αα
αα
&
&&&
&&&
&
&&
&
D
RRF
D
F vTv
 
9 
 
 
 
 – 15 –
Questão #14: (a) Qual a velocidade angular do referencial )" ," ,"( zyxS descrita no SR 
) , ,( zyxF ? 
(b) Derive o vetor S
Fω para obter a aceleração angular do referencial 
)" ," ,"( zyxS descrita no SR ) , ,( zyxF . 
(c) Use a matriz de transformação para passar a aceleração angular para o SR 
)' ,' ,'( zyxR . 
 
Item (a): S
Fω 
 
Aplicando a matriz de transformação a S
Rω , obtido na Questão #8, tem-se: 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
==
α
αβ
αβ
α
β
αα
αα
ωω
&
&
&
&
&
sen
cos
0
100
0cossen
0sencos
 S
RRF
S
F T 
 
Item (b): [ ]SFSF dtd ωα = 
 
Derivando S
Fω em relação ao tempo, tem-se: 
 
 [ ] SFFFSFSFSF dtd ωωωωα ~ +== &
0
 
 
Observação: Como o vetor S
Fω está no SR fixo, basta derivar cada componente do vetor 
S
Fω . Não é necessário se preocupar com o produto SFFF ωω ~ , pois o 
referencial ) , ,( zyxF não possui velocidade angular, ou seja: 0=Fω . 
 
Lembrando que 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
α
αβ
αβ
ω
&
&
&
sen
cos
S
F , tem-se: 
 
 – 16 –
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
==
α
αβααβ
αβααβ
ωα
&&
&&&&
&&&&
& cossen
sencos
S
F
S
F 
 
Item (c): S
FFR
S
R T ωα = 
 
Aplicando a matriz de transformação a S
Fα (obtido no item anterior)... 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+++−
++−
=
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−==
α
βα
β
α
αβαααβαβαααβ
ααβααβααβααβ
α
αβααβ
αβααβ
αα
αα
αα
&&
&&
&&
&&
&&&&&&&&
&&&&&&&&
&&
&&&&
&&&&
22
22
coscos sensencos sen
cossensencossencos
 
cossen
sencos
100
0cossen
0sencos
 S
FFR
S
R T
 
 
 
Questão #15: Compare a resposta acima com o resultado obtido derivando-se o resultado da 
velocidade angular encontrada na Questão #8 (ou seja, derive o resultado da 
Questão #8 e verifique que é igual ao resultado encontrado na Questão 14 – 
Item c). 
 
Da Questão 14 – Item c, tem-se: 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
α
βα
β
α
&&
&&
&&
S
R 9 
 
Da Questão #8, obtém-se 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
α
β
ω
&
&
0S
R . Derivando S
Rω em relação ao tempo, tem-se: 
 
[ ] 
 0 
0
00
000
00
00
0 ~ 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=+==
α
βα
β
βα
α
β
α
β
α
α
α
β
ωωωωα
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&
&
&
&
&&
&&
& SRRRSRSRSR dt
d 9
 
 
 
 – 17 –
Alternativamente, pode-se obter S
Rα derivando-se os termos da seguinte decomposição 
R
R
RR
R
S
R ωωω += , conforme a seguir. 
 
 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
=+++=+=+=
 0 
0
000
00
00
 0 
0
 
0
0
 
~~
α
βα
ββ
α
αβ
α
ωωωωωωωωωωω
&&
&&
&&&
&
&&&
&&
&& SRRRRSRRRRRRRRSRRRRSRRRRSR dt
d
dt
d
dt
d
0
 
 
Observe que o produto R
R
R
R ωω ~ é desprezado, pois o produto vetorial entre dois 
vetores colineares é nulo.Questão #16: Embarque em )' ,' ,'( zyxR . Determine a aceleração do ponto D no SR 
)' ,' ,'( zyxR a partir da aceleração de C ( C
R a ). 
 
Lembrando que embarcar em )' ,' ,'( zyxR , significa considerar Rω , Rα , DlR v Re e 
DlR a Re . Enquanto representar em )' ,' ,'( zyxR corresponde a escrever toda a equação neste 
sistema (índices superiores de cada termo), conforme abaixo. 
 
Dl
R
RDl
R
RR
R
D
R
CR
R
R
R
C
R
D
R avraa Re Re 
2
 ~2 ~~ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++= ωαω 
 
A aceleração do ponto C ( Ca ) pode ser obtida a partir da aceleração do ponto B ( Ba ). 
Para isso, considere a seguinte expressão: 
 
Cl
R
RCl
R
RR
R
C
R
BR
R
R
R
B
R
C
R avraa Re Re 
2
 ~2 ~~ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++= ωαω 
 
Note que o referencial )' ,' ,'( zyxR é mais indicado para representar a aceleração do 
ponto C, pois o ponto C pertence à barra CB , portanto: 0 Re =ClRR v e 0 Re =ClRR a . Além 
 
 – 18 –
disso, Ba é nula (representada em qualquer SR). Desta forma, a expressão para a obtenção de 
C
R a resume-se a: 
 
C
R
BR
R
R
R
C
R ra ~~
2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += αω 
 
Da Questão #8, obtém-se 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
α
ω
&
0
0
R
R , para obtenção da matriz 
2~
R
Rω . 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
000
00
00
~ 2
2
2 α
α
ω &
&
R
R 
 
Para a obtenção da aceleração angular do referencial )' ,' ,'( zyxR , considere a derivada 
temporal de seu vetor velocidade angular. Conforme destacado anteriormente, o produto 
vetorial entre dois vetores colineares é nulo. Portanto, lembrando que 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
α
ω
&
0
0
R
R , tem-se: 
 
[ ]
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=+==
α
ωωωωα
&&
& 0
0
 ~ R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
dt
d
 
0 
 
 
De posse de R
Rα , determina-se a matriz RRα~ . 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
=
000
00
00
 ~ α
α
α &&
&&
R
R 
 
Da Questão #2, obtém-se: 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
0
0
1
 C
R
B r . Assim, retornando à expressão para a aceleração 
do ponto C, tem-se: 
 
 – 19 –
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
0
 
0
0
1
 
000
00
00
000
00
00
 ~~
2
2
2
2 α
α
α
α
α
α
αω &&
&
&&
&&
&
&
C
R
BR
R
R
R
C
R ra 
 
Alternativamente, é possível obter Ca intuitivamente. De acordo com a Figura 5, 
observa-se que o ponto C descreve uma trajetória circular num plano paralelo ao plano (x,y) 
com centro no ponto B. Lembrando que CB = 1m, a aceleração do ponto C no SR 
)' ,' ,'( zyxR é dada por: 
 
aceleração normal do ponto C: 22 αω &=×= raN (no sentido negativo de x’); 
aceleração tangencial do ponto C: αω &&& =×= raT (no sentido positivo de y’). 
 
 
x’ (m)
A ≡ 0
y’ (m) 
B
D
z’ (m)
C ≡ 0’α 
a T 
x (m) 
y (m)
z (m)
a N 
 
Figura 5 – Aceleração absoluta do ponto C descrita no SR )' ,' ,'( zyxR . 
 
Desta forma, tem-se: 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡−
=
0
 
2
α
α
&&
&
C
R a 
 
Da Questão #3, obtém-se 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
β
β
sen
cos
0
 D
R
C r . 
 
 
 – 20 –
Efetuando o cálculo parcial D
R
CR
R
R
R r ~~
2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + αω ... 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
0
cos
cos
 
sen
cos
0
 
000
00
00
 
000
00
00
 ~~ 22
2
2 βα
βα
β
βα
α
α
α
αω &
&&
&&
&&
&
&
D
R
CR
R
R
R r 
 
Da Questão #12, obtém-se 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−=
ββ
ββ
cos
sen
0
 Re 
&
&
Dl
R
R v . 
 
Efetuando o cálculo parcial Dl
R
RR
R v Re 
~ 2 ω ... 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
=
0
0
sen2
 
cos 
sen 
0
 
000
00
00
 2 ~ 2 Re 
ββα
ββ
ββα
α
ω
&&
&
&&
&
Dl
R
RR
R v 
 
Para obtenção de Dl
R
R a Re , considere o sistema de referência )" ," ,"( zyxS com origem no 
ponto D, conforme a Figura 6. 
Mais uma vez, é importante notar que o ponto D descreve uma trajetória circular no 
plano (y”,z”) com centro no ponto C. Portanto, é mais fácil identificar esta grandeza no SR 
)",","( zyxS para então obtê-la no SR ),,( zyxR ′′′′′′ , aplicando a matriz de transformação. 
 
C x” (m) 
A ≡ 0 
B 
D ≡ 0” 
β 
y” (m) 
z” (m) 
a T 
a N 
 
Figura 6 – Aceleração do ponto D em relação ao referencial )' ,' ,'( zyxR 
descrita no SR )",","( zyxS . 
 
 – 21 –
Lembrando que DC = 1m, a aceleração do ponto D no SR )",","( zyxS é dada por: 
 
aceleração normal do ponto D: 22 βω &=×= raN (no sentido negativo de y”); 
aceleração tangencial do ponto D: βω &&& =×= raT (no sentido positivo de z”). 
 
Portanto: 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−=
β
β
&&
& 2
 Re 
0
 Dl
S
R a 
 
Aplicando a matriz de transformação a Dl
S
R a Re , tem-se: 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+−
−−=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−==
ββββ
ββββ
β
β
ββ
ββ
cossen
sencos
0
 
 
0
 
cossen0
sencos0
001
 
2
22
 Re Re 
&&&
&&&
&&
&
Dl
S
R
SR
Dl
R
R aTa 
 
De posse de cada um dos termos, no mesmo sistema de referência )' ,' ,'( zyxR , obtém-
se: 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+−
−−−
+−−
=
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+−
−−+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡−
=
=++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++=
ββββ
βββββαα
ββαβαα
ββββ
ββββ
ββα
βα
βα
α
α
ωαω
cossen
sencoscos
sen2cos
 
 
cossen
sencos
0
 
0
0
sen2
 
0
cos
cos
 
0
 
 ~ 2 ~~ 
2
22
2
2
22
2
 Re Re 
2
&&&
&&&&&&
&&&&&
&&&
&&&
&&
&
&&
&&
&
Dl
R
RDl
R
RR
R
D
R
CR
R
R
R
C
R
D
R avraa
 
 
 
Questão #17: (a) Embarque em )",","( zyxS . Obtenha a aceleração do ponto D a partir da 
aceleração do ponto C, descrita no SR )",","( zyxS ( DS a ); 
(b) Verifique o resultado encontrado com D
R a encontrado na Questão #16, 
utilizando a seguinte relação D
SSR
D
R aTa = . 
 
 
 – 22 –
Item (a): 
 
Observação: Lembrando que embarcar em )" ," ,"( zyxS , significa considerar Sω , Sα , DlS v Re 
e DlS a Re . Enquanto representar em )" ," ,"( zyxS corresponde a escrever toda a 
equação neste sistema (índices superiores de cada termo), conforme abaixo. 
 
Dl
S
SDl
S
SS
S
D
S
CS
S
S
S
C
S
D
S avraa Re Re 
2
 ~ 2 ~~ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++= ωαω 
 
Como o ponto D pertence à barra DC , tem-se 0 Re =DlSS v e 0 Re =DlSS a . Assim, a 
aceleração de D no SR )",","( zyxS é dada por: 
 
D
S
CS
S
S
S
C
S
D
S raa ~~ 
2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++= αω 
 
Aplicando a matriz de transformação a C
R a , obtida na Questão #16, tem-se: 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡−
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
==
βα
βα
α
α
α
ββ
ββ
sen
cos 
0
 
cossen0
sencos0
001
 
22
&&
&&
&
&&
&
C
RRS
C
S aTaDa Questão #9, obtém-se 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
 cos 
 sen 
βα
βα
β
ω
&
&
&
S
S para a determinação da matriz 
2~
S
Sω , do 
vetor aceleração angular S
Sα e da matriz SSα~ . 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
=
βαβββαββα
ββαβαβββα
ββαββαα
ω
2222
2222
2
2
sencossencos
cossencossen
cossen
 ~
&&&&&
&&&&&
&&&&&
S
S 
 
 
 
 
 
 – 23 –
Para a obtenção da aceleração angular do referencial )" ," ,"( zyxS , considere a derivada 
temporal de seu vetor velocidade angular. Deve-se ressaltar novamente que o produto vetorial 
entre dois vetores colineares é nulo. Portanto, lembrando que 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
 cos 
 sen 
βα
βα
β
ω
&
&
&
S
S , tem-se: 
 
 [ ]
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
+=+==
ββαβα
ββαβα
β
ωωωωα
sencos
cossen ~ 
&&&&
&&&&
&&
& SSSSSSSSSS dt
d
0 
 
 
De posse de S
Sα , determina-se a matriz SSα~ . 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
++−
=
0cossen
0sencos
cossensencos0
 ~
βββαβα
βββαβα
ββαβαββαβα
α
&&&&&&
&&&&&&
&&&&&&&&
S
S 
 
Efetuando o cálculo parcial ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + RRRR αω ~~ 2 ... 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−+−
+−−−
++−−
=
=
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
++−
+
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
βαβββαββα
ββαββαββα
ββαβαββαβαα
βββαβα
βββαβα
ββαβαββαβα
βαβββαββα
ββαβαβββα
ββαββαα
αω
2222
2222
2
2222
2222
2
2
sencossensen
cossencoscos
cos2sensen2cos
 
 
0cossen
0sencos
cossensencos0
 
 
sencossencos
cossencossen
cossen
 ~ ~
&&&&&&&
&&&&&&&
&&&&&&&&&
&&&&&&
&&&&&&
&&&&&&&&
&&&&&
&&&&&
&&&&&
R
R
R
R
 
 
Da Questão #2, obtém-se 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
0
1
0
 D
S
C r . 
 
 
 – 24 –
Efetuando o cálculo parcial D
S
CS
S
S
S r ~~
2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + αω ... 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
−−
+−
=
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−+−
+−−−
++−−
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
ββαβ
βαβ
ββαβα
βαβββαββα
ββαββαββα
ββαβαββαβαα
αω
cossen
cos
sen2cos
 
 
0
1
0
 
sencossensen
cossencoscos
cos2sensen2cos
 ~~
2
222
2222
2222
2
2
&&&
&&
&&&&
&&&&&&&
&&&&&&&
&&&&&&&&&
D
S
CS
S
S
S r
 
 
De posse de cada um dos termos, todos no mesmo sistema de referência )" ," ,"( zyxS , 
obtém-se: 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
++−
−−
+−−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
−−
+−
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++=
ββαββα
βαββα
ββαβαα
ββαβ
βαβ
ββαβα
βα
βα
α
αω
cossensen
coscos
sen2cos
 
cossen
cos
sen2cos
 
sen
cos 
 ~~ 
2
222
2
2
222
2
2
&&&&&
&&&&
&&&&&
&&&
&&
&&&&
&&
&&
&
D
S
CS
S
S
S
C
S
D
S raa
 
 
Item (b): D
SSR
D
R aTa = 
 
Aplicando a matriz de transformação a D
S a encontrada no item anterior, obtém-se o 
mesmo resultado encontrado para D
R a na Questão #16. 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+−
−−−
+−−
=
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
++−−−
−−+−−
+−−
=
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
++−
−−
+−−
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−==
ββββ
βββββαα
ββαβαα
ββαββββαββαββββα
ββαβββαβαβββα
ββαβαα
ββαββα
βαββα
ββαβαα
ββ
ββ
cossen
sencoscos
sen2cos
 
 
cossencoscossencossensencossen
cossensensencoscoscos
sen2cos
 
 
cossensen
coscos
sen2cos
 
cossen0
sencos0
001
 
2
22
2
22222
2223222
2
2
222
2
&&&
&&&&&&
&&&&&
&&&&&&&&&
&&&&&&&&&
&&&&&
&&&&&
&&&&
&&&&&
D
SSR
D
R aTa
9 
 
 
 
 – 25 –
Da Questão #16, tem-se: 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+−
−−−
+−−
=
ββββ
βββββαα
ββαβαα
cossen
sencoscos
sen2cos
 
2
22
2
&&&
&&&&&&
&&&&&
D
R a 9