Aula 8. ZAB0262

Prévia do material em texto

1 
1 
•Discretas 
•Bernoulli 
•Uniforme 
•Binomial 
•Poisson 
•Geométrica 
•Hipergeométrica 
•Contínuas 
•Uniforme 
•Normal 
•Exponencial 
•t-student 
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
1 2 3 4 5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
1 2 3 4 5
Distribuições de Probabilidade 
Variáveis aleatórias 
2 
Principais Modelos Discretos 
Os exemplos vistos até agora ajudam a esclarecer a relação 
entre a variável e a realização do experimento aleatório que a 
origina; 
Algumas variáveis aleatórias aparecem com bastante 
frequência em situações práticas e justificam um estudo mais 
aprofundado; 
Nesses casos, a distribuição de probabilidade pode ser escrita 
de maneira mais compacta, ou seja: 
“existe uma lei para atribuir as probabilidades”. 
3 
Definição: 
 Se uma variável aleatória X assumir apenas 2 valores 
 ex: sucesso ou fracasso, 0 ou 1, … 
 com distribuição de probabilidade: p(1)=p e p(0)=1-p 
Essa é chamada variável aleatória de Bernoulli. 
Assim:  = {A,Ā} X(w) = 
0, w= Ā (se o resultado for fracasso) 
1, w= A (se o resultado for sucesso) 
Distribuição de Probabilidade 
Bernoulli [X~Ber(p)] 
4 
1-p , para x=0 
p , para x=1 
0 , caso contrário 
f(x) = 
0 , se x < 0 
1-p , se 0  x < 1 
1 , se x  1 
F(x) = 
Distribuição de Probabilidade Bernoulli 
[X~Ber(p)] 
 
)1()]([)( )(
1)1(0)( )(
2
1
0
22
1
0
ppppXExpxXVar
pppxpxXE
x
x






5 
 Determinado produto é vendido em caixas com 1000 peças. É 
uma característica da fabricação produzir 10% defeituosos. 
 Normalmente, cada caixa é vendida por 13,50 unidades 
monetárias (u.m.). 
 Um comprador faz a seguinte proposta: de cada caixa, ele 
escolhe uma amostra de 20 peças: 
(a) se tiver 0 defeituoso, ele paga 20,00 u.m.; 
(b) 1 ou 2 defeituosos, ele paga 10,00 u.m.; 
(c) 3 ou mais defeituosos ele paga 8,00 u.m. 
 Qual alternativa é a mais vantajosa para o fabricante? 
Modelo Binomial 
6 
• Consiste em n replicações, independentes de experimento de 
Bernoulli. 
(a) Experimento consiste numa sequência de n replicações 
idênticas; 
(b) os resultados possíveis em cada replicação são sucesso ou 
fracasso; 
(c) probabilidade de sucesso, denotada por p, não muda de 
replicação para replicação; 
(d) as replicações são independentes. 
Experimento Binomial 
2 
7 
 Experimento consiste em escolher uma peça na caixa 
contendo 1000 peças. 
 Amostra de 20 peças foram escolhidas – 20 replicações 
idênticas. 
 Peça pode ser boa (sucesso) ou defeituosa (fracasso). 
 Prob (boa) = 90% e não muda. 
 As retiradas são independentes. 
Características 
8 
nxpp
x
n
xXP
xnx
,...,1,0 para )1()( 





 
)!(!
!
xnx
n
x
n






em que, 
Modelo Binomial 
Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e 
todos com mesma probabilidade de sucesso p. 
A variável aleatória que conta o número de sucessos é 
denominada Binomial, com parâmetros n e p e sua Função 
Discreta de Probabilidade é dada por: 
9 
Se Xi representa a i-ésima replicação, Xi ~ Bern(p). 
 
Seja Y a v.a. Binomial então, . 
 
A Função Discreta de Probabilidade é dada por: 



n
i
iXY
1
},...,1,0{: nY 
nxpp
x
n
xXP
xnx
,...,1,0 para )1()( 





 
Modelo Binomial 
10 
npYE
npp
XEXEYE
n
i
i
n
i
i







)(
 
)()()(
n
1i
11
Y ~ Bin(n, p) 
)1()(
)1()1( 
)()()(
n
1i
11
pnpYVar
pnppp
XVarXVarYVar
n
i
i
n
i
i







Esperança e variância da v. a. Binomial 
Exercício – Distribuição Binomial 
• Num estudo de germinação de sementes são observados os 
números de sementes germinadas por recipiente contendo, 
cada um, 10 sementes. Supondo que a probabilidade de cada 
semente germinar seja igual a 0,95, 
– calcular a probabilidade de geminarem: 
(a) exatamente 9 sementes e (b) 9 ou mais sementes; 
– calcular o número médio esperado de sementes 
germinadas; 
– calcular a variância esperada do número de sementes 
germinadas por recipiente. 
 
11 
Exercício – Distribuição Binomial 
• Sabe-se que numa cultura, a taxa de mortalidade é de 3%. Um 
profissional realizou uma amostragem aleatória simples de 10 
plantas. Calcular: 
– a probabilidade de não haver planta morta na amostra; 
– a probabilidade de haver exatamente 2 plantas mortas na 
amostra; 
– a probabilidade de haver ao menos uma planta morta na 
amostra; 
– a probabilidade de haver no máximo 2 plantas mortas na 
amostra; 
 
12 
3 
13 
 Os modelos Bernoulli e Binomial assumiram apenas um 
número finito de valores distintos. 
 Outros modelos discretos que podem assumir um número 
infinito de valores dentre os inteiros possíveis. 
 Poisson; 
Poisson 
14 
Distribuição de Poisson 
 Na prática muitos experimentos consistem em observar a 
ocorrência de eventos discretos em um intervalo; 
 Intervalo contínuo: unidade de tempo, de área, de volume, ... 
 Amostras 
 n>50 e, p<0,10 
 Associada a eventos raros 
Quando n tende ao infinito, a probabilidade tende a zero 
 Exemplos: 
 Número de refeições fornecidas diariamente no refeitório da USP 
 Número de amostras contaminadas num determinado lote de alimentos 
15 
 Características de um experimento de Poisson: 
 Probabilidade de uma ocorrência é a mesma para 
intervalos de tempo (ou espaço) de igual duração; 
 Ocorrência ou não num dado intervalo (ou espaço) é 
independente de ocorrência ou não em outro intervalo. 
Modelo de Poisson 
16 
 
 
 
,...2,1,
!
 
)( 

k
k
e
kXP
k
em que, 
 = usualmente referido como taxa de ocorrência (ou número 
médio de ocorrências); 
e = 2,71828 
Função de Probabilidade 
para o Modelo de Poisson 
Uma variável aleatória X segue a Distribuição de Poisson, com 
parâmetro  > 0 se sua Função de Probabilidade ou Função 
Discreta de Probabilidade é dada por: 
17 
 Uma central telefônica recebe uma média de 5 chamadas por 
minuto. 
 Probabilidade de uma chamada é a mesma para dois intervalos 
de tempo de igual tamanho e a chegada ou não de uma chamada 
num dado instante de tempo é independente da chegada ou não 
de uma chamada em outro intervalo de tempo. 
 X – número de chamadas por minuto tem distribuição de Poisson 
com . 
5
Modelo de Poisson 
 
Exemplo 1 – Intervalo de Tempo 
18 
 Qual a probabilidade de não chegar nenhuma chamada? 
 
 
 Qual a probabilidade de chegar no máximo 2 chamadas? 
70,00673794
!0
5.
)0(
05


e
XP
)2()1()0()2(  XPXPXPXP
0,1247)2( XP
!2
5
!1
5
!0
5
 )2(
525150 

eee
XP
0,08420,03370,0067)2( XP
Exemplo 1 
4 
19 
 Qual a probabilidade de chegar 10 chamadas num período 
de 3 minutos ? 
 Observe que chegam, em média, 5 chamadas por minuto, 
então num período de 3 minutos chegam em média 15 
chamadas. 
 Logo a “nova variável” é uma Poisson com parâmetro  = 15. 
 Então: 
0,0486
!10
15
)10(
1015


e
XP
Exemplo 1 
20 
 Quando n é grande e p é pequeno, podemos usar a 
distribuição de Poisson com . 
 
 Em geral, . 
np
05,0 e 20  pn
Aproximação Poisson para a Distribuição Binomial 
21 
 Suponha que a probabilidade de que um item produzido por 
uma máquina seja defeituoso é de 0,02. 
 Se 50 itens produzidospor esta máquina são selecionados ao 
acaso, qual é a probabilidade de que mais do que um 
defeituoso seja encontrado? 
 X = número de defeituosos ~ Bin(50; 0,02) 
 1 - (P(X=0) + P(X=1)) = 
 1 - (0,36417 + 0,37160) = 1 - 0,73577 
Exemplo 2 
22 
 Agora como n é grande e p é pequeno podemos usar a 
aproximação Poisson. 
 Observe que 
 X ~ Poisson( ) 
 1 - (P(X=0) + P(X=1)) 
 1 - (0,36788 + 0,36788) = 1 - 0,73576 
 Diferença muito pequena. 
102,050  np
1
Exemplo 2 
23 




)(
)(
XVar
XE
 
,...2,1,
!
 
)( 

k
k
e
kXP
kFunção de Probabilidade 
X ~ Pois() 
Valor Esperado e variância para o Modelo Poisson 
24 
 
Variável 
Discreta 
Valor 
Esperado 
 
Variância 
 
Notação 
 
Bernoulli p p(1-p) X ~ Bern(p) 
Binomial np np(1-p) X ~ Bin(n, p) 
Poisson   X ~ Pois() 
 
Resumo dos Modelos Discretos 
5 
Aplicação do modelo de Poisson 
Exemplo. Uma região foi dividida em 20 quadrantes de 100m2. Em cada 
quadrante foi contado o número de plantas de uma determinada 
espécie, resultando em: 
 
 
 
 
onde a frequência indica o número de quadrantes onde foram 
encontradas 0, 1, 2, ... plantas. 
 
X = "número de plantas por quadrante", devemos estimar o valor de  
(média), que é o parâmetro desta distribuição. 
 = 1,9 plantas/quadrante 
Número de plantas 0 1 2 3 4 5 6 
Frequência 3 6 5 4 1 0 1 
 
!
9,1
9,1
k
e
kXP
k

 
 para k = 0, 1, 2, ... 
 
A distribuição de probabilidades do número de plantas/quadrante é: 
 
 
 
Usando esta distribuição de probabilidades, poderemos estimar o número 
de quadrantes que contêm 0, 1, ..., 6 ou mais plantas e verificar 
numericamente se o modelo de Poisson é adequado a este estudo. 
 
 
 
k 0 1 2 3 4 5 6 + de 6 
P(X=k) 0,1496 0,2842 0,2700 0,1710 0,0812 0,0309 0,0098 0,0033 
Aplicação do modelo de Poisson 
Os valores das frequências estimadas pelo modelo de Poisson são ótimas 
aproximações das frequências observadas no experimento, o que mostra 
a boa adequação do modelo. 
 
Plantas/quadrante 0 1 2 3 4 5 6 + de 6 
Freq. Observada 3 6 5 4 1 0 1 0 
Freq. esperada 2,99 5,68 5,4 3,42 1,62 0,62 0,20 0,07 
Aplicação do modelo de Poisson