Aula 16 Escoamento de Fluidos Não viscosos

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GNE270 – Fenômenos de Transporte I
Profa. Isabele Cristina BicalhoProfa. Isabele Cristina Bicalho
DEG/UFLA
2018/1
GNE270 – Fenômenos de Transporte I
• Conteúdo
5. Escoamento de Fluidos Não Viscosos
5.1 A Equação de Euler5.1 A Equação de Euler
5.2 A Equação de Bernoulli – Integração da Equação de Euler ao
Longo de uma Linha de Corrente
5.3 Pressões Estática, de Estagnação e Dinâmica
5.3.1 Tubo de Pitot
5.4 A Equação de Bernoulli Interpretada como uma Equação de5.4 A Equação de Bernoulli Interpretada como uma Equação de
Energia
5.5 Linha de Energia e Linha Piezométrica
5.6 Medidores de Vazão
5 – Escoamento de Fluidos Não Viscosos
• Escoamento de fluidos não viscosos
No capítulo anterior trabalhamos com as equações diferenciais na
forma particular das equações de Navier-Stokes para um fluidoforma particular das equações de Navier-Stokes para um fluido
com ρρρρ e µµµµ cte.
Neste capítulo, iremos aprender uma outra forma simplificada das
equações diferenciais do movimento, que se aplica a um fluido sem
viscosidade, que é a Equação de Euler.
Não possuem solução analítica!
Muitos problemas podem ser analisados com sucesso pela
aproximação de µ = 0!
3
Escoamento não-viscoso 
ou sem atrito
Existem regiões do escoamento onde
as forças viscosas ou resultantes do
atrito são desprezíveis.
5.1 – A Equação de Euler
• A equação de Euler
A equação de Euler pode ser obtida a partir da equação da
quantidade de movimento após desconsiderar os termos viscosos
2DV g p V
Dt
ρ ρ µ= −∇ + ∇
�
�
�
quantidade de movimento após desconsiderar os termos viscosos
(τij = 0 ou µ = 0):
ij
DV g p
Dt
ρ ρ τ= −∇ +∇⋅
�
�
DV
�
�
ou
4
DV g p
Dt
ρ ρ= −∇
�
�
Equação de Euler
( )DV V V V
Dt t
∂
→ = + ⋅∇
∂
� �
� �
Aceleração da partícula
(1)
5.1 – A Equação de Euler
A Eq. de Euler, escrita em coordenadas retangulares, é:
x
u u u u p
u v w g
t x y z x
ρ ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  x
y
u v w g
t x y z x
v v v v p
u v w g
t x y z y
ρ ρ
ρ ρ
+ + + = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(2)
5
z
w w w w p
u v w g
t x y z z
ρ ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
5.1 – A Equação de Euler
A Eq. de Euler, escrita em coordenadas cilíndricas, é:
2
r r r r
r r z r
v vv v v v p
a v v g
t r r z r r
θ θρ ρ ρ
θ
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + − = −  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
1
r r z r
r
r z
a v v g
t r r z r r
v v v v v v v p
a v v g
t r r z r r
vv v v v p
θ θ θ θ θ θ
θ θ
ρ ρ ρ
θ
ρ ρ ρ
θ θ
= + + + − = −  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
= + + + − = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
6
z z z z
z r z z
vv v v v p
a v v g
t r r z z
θρ ρ ρ
θ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
= + + + = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  (3)
5.1 – A Equação de Euler
• As eqs. de Euler em coord. de linhas de correntes
Considere o escoamento no plano yz.
coordenada s: distância ao longo de uma linha de correnteEq. do coordenada s: distância ao longo de uma linha de corrente
coordenada n: distância normal à linha de corrente
Eq. do 
movimento
7
mg
5.1 – A Equação de Euler
• Equação de Euler na direção s
A eq. de Euler na direção da linha de corrente, com o eixo z dirigido
verticalmente para cima, é então
Para escoamento em 
verticalmente para cima, é então
1 p z V Vg V
s s t sρ
∂ ∂ ∂ ∂
− − = +
∂ ∂ ∂ ∂
1 p z Vg V
s s sρ
∂ ∂ ∂
− − =
∂ ∂ ∂
(4)
Para escoamento em 
regime permanente,
(5)
Desprezando forças de campo,
8
1 p VV
s sρ
∂ ∂
= −
∂ ∂
indica que uma diminuição na
velocidade é acompanhada de um
aumento na pressão, e vice-versa.
(6)
5.1 – A Equação de Euler
Isso faz sentido: A única força experimentada pela partícula é a
força líquida de pressão, de forma que a partícula é acelerada
em direção das regiões de baixa pressão e desacelerada
quando se aproxima das regiões de alta pressão.quando se aproxima das regiões de alta pressão.
9
p s∂ ∂
V s∂ ∂
5.1 – A Equação de Euler
• Equação de Euler na direção n
A eq. de Euler normal à linha de corrente é escrita para escoamento
permanente como Para escoamento em um plano permanente como
21 p z Vg
n n Rρ
∂ ∂
+ =
∂ ∂ 21 p V
n Rρ
∂
=
∂
Para escoamento em um plano 
horizontal, gn = 0,
(7)
(8)
p∂ A eq. (8) indica que a pressão
aumenta para fora na direção
10
p
n
∂
∂
aumenta para fora na direção
normal às linhas de corrente a
partir do centro de curvatura
dessas linhas.
ac
5.1 – A Equação de Euler
Isso também faz sentido: Posto que a única força que age
sobre a partícula é a força líquida de pressão, é o campo de
pressão que cria a aceleração centrípeta.
Observe que
2
 p/p V pR
n R n
ρ∂ ∂
= ↑ → ↓
∂ ∂
No limite, 0
pR
n
∂
→∞ =
∂(linha reta)
11
não há variação de pressão
em uma direção normal às
linhas de corrente
Plano horizontal:
Linhas de corrente retas
R (raio de curvatura) = ∞
(linha reta)
5.1 – A Equação de Euler
OBS: No caso de linhas de corrente retilíneas em que há o efeito da
gravidade (Ex: plano vertical), a eq. de Euler normal à linha de
corrente será:
21 p z V∂ ∂ 1 p z∂ ∂21 p z Vg
n n Rρ
∂ ∂
+ =
∂ ∂
(7)
1 0p zg
n nρ
∂ ∂
+ =
∂ ∂
(9)
p g z cρ= − +
Expressão da variação da pressão
hidrostática com a altura para um
(10)
12
hidrostática com a altura para um
fluido em repouso!
Neste caso haverá variação de
pressão na direção normal às LC
retilíneas.
5.2 – A Equação de Bernoulli
• A Equação de Bernoulli
Pode ser deduzida integrando a eq. de Euler ao longo de uma
linha de corrente. coord. de linha de correntelinha de corrente.
Ela também pode ser deduzida a partir da eq. da energia (1ª Lei
da Termodinâmica).
• Dedução da eq. de Bernoulli usando coordenadas de linha de
corrente
coord. de linha de corrente
coord. retangulares
corrente
A eq. de Euler para escoamento em regime permanente ao longo de
uma linha de corrente, é dada pela Eq. (5):
13
1 p z Vg V
s s sρ
∂ ∂ ∂
− − =
∂ ∂ ∂
(5)
5.2 – A Equação de Bernoulli
Notando que , podemos escrever:
21
2
V VV
s s
∂ ∂
=
∂ ∂
21 1 0p V zg∂ ∂ ∂+ + =
Se assumirmos escoamento incompressível, ρ = cte, e podemos
escrever:
1 1 0
2
p V zg
s s sρ
∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂
2
0p V gz
 ∂
+ + =  
Isso é satisfeito se, ao longo
da linha de corrente,
Em geral, a constante na Eq. (11) tem valores diferentes ao longo de
linhas de corrente diferentes.
14
0
2
gz
s ρ
+ + =  ∂   2
2
p V gz cte
ρ
+ + =
da linha de corrente,
(11)
5.2 – A Equação de Bernoulli
Pode-se aplicar a Eq. (11) entre dois pontos quaisquer na mesma
linha de corrente, nos quais são conhecidos as pressões, as
velocidades e as alturas.
2 22 2
1 1 2 2
1 22 2
p V p Vgz gz
ρ ρ
+ + = + + Equação de Bernoulli
Restrições:
1. Escoamento sem atrito
(12)
15
matemático suíço
Daniel Bernoulli
1700-1782
2. Escoamento em regime permanente
3. Escoamento incompressível
4. Escoamento ao longo de uma linha de corrente
5.2 – A Equação de Bernoulli
• Comentários gerais:
A Eq. de Bernoulli é provavelmente a equação mais famosa e
usada em toda a MecFlu.usada em toda a MecFlu.
Ela é sempre atraente de ser usada, pois é uma simples equação
algébrica que relaciona as variações de pressão com aquelas de
velocidade e de elevação em um fluido.
A equação indica que, de modo geral, se uma partícula aumenta
sua elevação (z ↑) ou se move para uma região de maior pressãosua elevação (z ↑) ou se move para uma região de maior pressão
(p ↑), ela tende a desacelerar (V ↓).
Ela é muitas vezes usada erroneamente. É importante,portanto,
manter firmemente as suas restrições sempre que usar a
equação!
16
5.2 – A Equação de Bernoulli
A eq. de Bernoulli é bastante usada em aerodinâmica, onde pode
ser aplicada para explicar, por ex., a sustentação gerada por uma
asa.
17
5.2 – A Equação de Bernoulli
• Dedução da Eq. de Bernoulli usando coordenadas retangulares
A forma vetorial da equação de Euler, Eq. (1), também pode ser
integrada ao longo de uma linha de corrente.integrada ao longo de uma linha de corrente.
( ) ( ) pV V g p V V gρ ρ
ρ
∇
⋅∇ = −∇ → ⋅∇ = −
� � � �
� �
( )DV V V V
Dt t
∂
= + ⋅∇
∂
� �
� �
onde
DV g p
Dt
ρ ρ= −∇
�
�
(1)
Para regime permanente,
(13)
Se nós tomarmos o produto escalar dos termos da Eq. (13) pela
distância, , ao longo da linha de corrente, teremos:
18
( ) ( )V V g p V V gρ ρ
ρ
⋅∇ = −∇ → ⋅∇ = −
d s�
( ) d s d s d spV V g
ρ
∇
⋅∇ = ⋅ ⋅−⋅
� �
�� � �
(14)
(13)
5.2 – A Equação de Bernoulli
Em que
Agora, vamos avaliar cada um dos três termos na Eq. (14):
ˆˆ ˆd s dxi dy j dzk= + +� (ao longo de s)
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 0g d s i j g k dx i dy j dz k
g dz
   
⋅ = + − ⋅ + +   
= −
� �
1
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
p p p pd s i j k dx i dy j dz k ∇ ∂ ∂ ∂  − ⋅ = − + + ⋅ + +   
�
(ao longo de s)
19
1
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
1 1
p p p pd s i j k dx i dy j dz k
x y z
p p pdx dy dz dp
x y z
ρ ρ
ρ ρ
 ∇ ∂ ∂ ∂  
− ⋅ = − + + ⋅ + +   ∂ ∂ ∂ 
 ∂ ∂ ∂
= − + + = − ∂ ∂ ∂ 
�
(ao longo de s)
5.2 – A Equação de Bernoulli
O terceiro termo pode ser escrito usando a identidade vetorial :
21 1( ) ( )
2 2
V V V V V⋅∇ = ∇ ⋅ = ∇
� � � �
2
2 2 2
1 ( )
2
1
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
2
V V d s V d s
V V Vi j k dx i dy j dz k
x y z
⋅∇ ⋅ = ∇ ⋅
 ∂ ∂ ∂  = + + ⋅ + +   ∂ ∂ ∂  
� �
� �
20
(ao longo de s)
2 2 2
21 1 ( )
2 2
V V Vdx dy dz d V
x y z
  
 ∂ ∂ ∂
= + + = ∂ ∂ ∂  
5.2 – A Equação de Bernoulli
Substituindo esses três termos na Eq. (14), obtemos:
( ) pV V d s g d s d s
ρ
∇
⋅∇ ⋅ = ⋅ − ⋅
� �
� � � �
Integrando essa equação, obtemos
(ao longo de s)
2
cte
dp V g z+ + =
2 21 1 1( ) ( ) 0
2 2
dpd V gdz dp d V g dz
ρ ρ
= − − → + + =
(ao longo de s)
Para o caso de massa específica constante, obtemos a eq. Bernoulli:
21
(ao longo de s)cte
2
g z
ρ
+ + =
2
cte
2
p V gz
ρ
+ + = (11) (ao longo de s)