Aula 5 - Operações I Bernoulli_rev2

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Professora: Viviane TavaresProfessora: Viviane Tavares
EE--mailmail: viviane.tavares@ifrj.edu.br: viviane.tavares@ifrj.edu.br
Conceitos Fundamentais de Operações Unitárias 
Equação de Bernoulli 
para fluidos ideais
Tópicos
• Equação da Continuidade para Regime Permanente
• Equação da Energia para Fluido Ideal para Regime 
Permanente
• Equação da Energia na Presença de uma Máquina 
para Regime Permanente
• Equação da Energia para Fluido Real para Regime 
Permanente- Estudo da Perda de Carga.
•• Por definiPor definiçção:ão:
““Escoamento ideal ou escoamento sem Escoamento ideal ou escoamento sem 
atritoatrito, , éé aquele no qual aquele no qual nãonão existem existem 
tensões de cisalhamento atuando no tensões de cisalhamento atuando no 
movimento do fluidomovimento do fluido””..
• De acordo com a lei de Newton, para um fluido 
em movimento esta condição é obtida
- Quando a viscosidade do fluido é nula (ou desprezível):
µµ = 0= 0
ou
-Quando os componentes da velocidade do escoamento
não mais exibem variações de grandeza na direção
perpendicular ao componente da velocidade considerada:
= 0= 0
dy
dvx
Um fluido (em escoamento) que 
satisfaz as condições descritas 
anteriormente, é chamado de fluido fluido 
idealideal.
Equação da continuidade
• É a equação que mostra a conservação da 
massa de líquido no conduto, ao longo de todo 
o escoamento;
• Pela condição de escoamento em regime 
permanente, podemos afirmar que entre as 
seções (1) e (2), não ocorre nem acúmulo, nem 
falta de massa:
m1 = m2 = m = m1 = m2 = m = ctecte
• A equação de Bernoulli é um caso 
particular da equação da energia 
aplicada ao escoamento, onde adotam-
se as seguintes hipóteses:
• Escoamento em regime permanente
• Escoamento incompressível
• Escoamento de um fluido considerado ideal, ou 
seja, aquele onde a viscosidade é considerada 
nula, ou aquele que não apresenta dissipação de 
energia ao longo do escoamento
• Escoamento apresentando distribuição uniforme 
das propriedades nas seções
• Escoamento sem presença de máquina hidráulica, 
ou seja, sem a presença de um dispositivo que 
forneça, ou retira energia do fluido
• Escoamento sem troca de calor
• A energia presente em um fluido em 
escoamento sem troca de calor pode ser 
separada em três parcelas:
–Energia de pressão (piezocarga);
–Energia cinética (taquicarga);
–Energia de posição (hipsocarga);
� Consideramos um trecho sem derivações, de uma 
instalação hidráulica:
PHR - plano horizontal de referência;
Zi - cota da seção i, tomando-se como 
base o eixo do conduto em relação ao 
PHR;
Vi - velocidade média do escoamento na 
seção i;
pi - pressão estática na seção i.
� Pela condição do escoamento em regime 
permamente, pode-se afirmar que entre as seções (1) 
e (2) não ocorre, nem acúmulo, nem falta de massa, 
ou seja:
A mesma massa m que atravessa a seção (1), 
atravessa a seção (2).
Relembrando os conceitos de energia:
� Energia Cinética: 
� Energia Potencial de posição:
� Energia Potencial de Pressão: 
2
2
1
mvEc =
mghEp =
PE p =
Equação de BERNOULLI
W1+Ec1+Ep1= W2+Ec2+Ep2
F1.∆x1 +mgh1 + 1/2 (mv1)2 = F2.∆x2 + mgh2 + 1/2 (mv1)2
p1.A1. ∆x1 +ρ.g.h1.V1+ 1/2 (ρ.V1.v1)2 = p2.A2. ∆x2 +ρ.g.h2.V2+ 1/2 (ρ.V2.v2)2
Força:
F = p.A
Massa:
m = ρ.V
V1 = V2
p1.V +ρ.g.h1.V+ 1/2 (ρ.V.v1)2 = p2.V +ρ.g.h2.V+ 1/2 (ρ.V.v2)2 ÷ V
2
222
2
111 2
1
2
1
vghpvghp ρρρρ 





++=





++
� Energia Mecânica Total em uma Seção do 
Escoamento Unidirecional, Incompressível em 
Regime Permanente:
� A energia total representa a somatória da energia 
cinética , energia potencial de posição e energia 
potencial de pressão:
2
222
2
111 2
1
2
1
vghpvghp ρρρρ 




++=




++
• 0,14m³/s de água escoam sem atrito através da 
expansão indicada na figura ao lado. A pressão na 
seção 1 é igual a 82,74 kPa. Suponha escoamento 
unidimensional e encontre a pressão no ponto 2.
Para ρ constante: Vazão Volumétrica =AA11vv11= A= A22vv22
2
222
2
111 2
1
2
1
vghpvghp ρρρρ 




++=




++
Equação de Bernoulli 
para fluidos reais
• Na engenharia trabalhamos com energia dos fluidos 
por unidade de peso, denominada de carga;
• Sabe-se que no escoamento de fluidos reais, parte de 
sua energia dissipa-se em forma de calor e nos 
turbilhões que se formam na corrente fluida;
• Essa energia é dissipada para o fluido vencer a 
resistência causada pela sua viscosidade e a 
resistência provocada pelo contato do fluido com a 
parede interna do conduto, e também para vencer as 
resistências causadas por peças de adaptação ou 
conexões (curvas, válvulas, ....).
� Carga Mecânica Total em uma Seção do Escoamento 
Unidirecional, Incompressível em Regime Permanente (Hi):
� Pela condição do escoamento se dar em regime permanente 
podemos afirmar que tanto a massa (m), como o peso (mg) 
do fluido, que atravessa uma dada seção do escoamento, é
constante ao longo do mesmo;
� Por este motivo, é comum considerar a energia, ou por 
unidade de massa, ou por unidade de peso do fluido, além 
disto, esta consideração origina uma unidade facilmente 
visualizada: a carga.
� Carga Mecânica Total em uma Seção do Escoamento 
Unidirecional, Incompressível em Regime 
Permanente (Hi):
� Define-se carga (p/ρg) como sendo a relação da energia pelo 
peso do fluido, portanto a carga total em uma seção (H), 
pode ser definida como mostramos a seguir:
g
v
g
gh
g
p
g
v
g
gh
g
p
2
2
2
1
2
2
1
1 2
1
2
1 ρρρρ 




++=






++ 1
ρ ρ ρ ρ ρ ρ
+++=++
g
vPZ
g
vPZ
22
2
22
2
2
11
1 γγ
h h
p1 p2
•• ChamaChama--se se PERDA DE CARGA (PERDA DE CARGA (hhpp),), a a 
energia dissipada pelo fluido e representa energia dissipada pelo fluido e representa 
a a energia perdida pelo lenergia perdida pelo lííquido por quido por 
unidade de pesounidade de peso, entre dois pontos do , entre dois pontos do 
escoamento.escoamento.
• A perda de carga é uma função complexa de 
diversos elementos tais como:
–Rugosidade do conduto (ε);
–Viscosidade e massa específica do líquido (μ e 
ρ);
–Velocidade de escoamento (v);
–Grau de turbulência do movimento (Re);
–Comprimento percorrido (L).
• Com o objetivo de possibilitar a obtenção de 
expressões matemáticas que permitam prever 
as perdas de carga nos condutos, elas são 
classificadas em:
–Contínuas ou distribuídas
–Localizadas
• Ocorrem em trechos retilíneos dos condutos;
• A pressão total imposta pela parede dos dutos diminui 
gradativamente ao longo do comprimento;
• Essa perda é considerável se tivermos trechos
relativamente compridos dos dutos.
• A fórmula de Darcy-Weissbach, permite calcular a 
perda de carga ao longo de um determinado 
comprimento do conduto, quando é conhecido o 
parâmetro f, denominado “coeficiente de atrito”:
g
v
D
Lfhp 2..
2
=
• O coeficiente de atrito (f), pode ser determinado utilizando-
se o Diagrama de Moody, partindo-se da relação entre:
– Rugosidade e Diâmetro do tubo (ε/D)
– Número de Reynolds (Re)
• O número de Reynolds é um parâmetro adimensional que 
relaciona forças viscosas com as forças de inércia, e é
dado por:
ρ = massa específica;
v = velocidade;
D = diâmetro;
µ = viscosidade dinâmicaµ
ρdv
=Re
f
e/D
Equações –fator de atrito (coeficiente 
de resistência de Darcy-Weisbach )
• Para a região de números de Reynolds inferiores a 2000 (regime 
laminar) o comportamento do fator de atrito pode ser obtido 
analiticamente por intermédio das equações. O fator de 
atritoou coeficiente de resistência de Darcy-Weisbach, algumas 
vezes citado como fator de fricção (f) é um parâmetro adimensional que 
é utilizado para calcular a perda de carga em uma tubulação devida 
ao atrito. 
f= 64/Re
• Ou pelo fator de atrito de fanning (Este fator de atrito é um quarto 
do fator de atrito de Darcy, por isso atenção deve ser dada ao notar-se 
qual deles está representado no gráfico "fator de atrito" ou equação 
consultada. Dos dois, o fator de atrito Fanning é o mais comumente 
utilizado por engenheiros químicos. O fator de atrito para fluxo laminar 
em tubos redondos é muitas vezes considerado como sendo :
f = 16/Re
• Ocorrem em trechos singulares dos condutos tais 
como: junções, derivações, curvas, válvulas, 
entradas, saídas, etc;
• As diversas peças necessárias para a montagem da 
tubulação e para o controle do fluxo do escoamento, 
provocam uma variação brusca da velocidade (em 
módulo ou direção), intensificando a perda de energia;
CCÁÁLCULO DAS PERDAS DE LCULO DAS PERDAS DE CARGA ACIDENTAISCARGA ACIDENTAIS OUOU LOCALIZADALOCALIZADA
É a parcela da perda de carga que se verifica nos acessórios 
(válvulas, conexões, saídas de reservatórios, etc.) devido a 
distúrbios locais do fluxo. A perda de carga localizada pode ser 
determinada através de um dos métodos descritos a seguir:
1 – Método direto:
Neste método a perda localizada é determinada através da 
seguinte fórmula:
Perda de carga local = (K . VPerda de carga local = (K . V22) / 2g) / 2g
É expressa em m.c.l. (metros de coluna de líquido).
Onde: K = Coeficiente experimentalmente tabelado para cada tipo 
de acessório, em função do diâmetro da tubulação e encontrado 
em tabelas; v = Velocidade média de escoamento do líquido (m/s); 
g = Aceleração da gravidade local (m/s2 )
CCÁÁLCULO DAS PERDAS DE LCULO DAS PERDAS DE CARGA ACIDENTAISCARGA ACIDENTAIS OUOU LOCALIZADALOCALIZADA
1 – Método direto:
CCÁÁLCULO DAS PERDAS DE LCULO DAS PERDAS DE CARGA ACIDENTAISCARGA ACIDENTAIS OU OU 
LOCALIZADALOCALIZADA
2 – Método do Comprimento equivalente (Leq):
Consiste este método em determinar-se um comprimento reto de 
tubulação que causaria a mesma perda de carga do acessório 
considerado. Este comprimento equivalente (Leq) se encontra em 
gráficos e tabelas práticas em função do diâmetro da tubulação.
Encontrando-se o comprimento equivalente do acessório, o cálculo 
da perda de carga localizada é feito através da seguinte fórmula:
Perda de carga local = Perda de carga local = LLeqeq x Jx J
Onde: Leq = Comprimento equivalente (m ou ft); J = Perda de carga 
unitária, expressa em coluna por unidade de peso escoado e por 
unidade de comprimento do encanamento (é função do diâmetro 
da tubulação, da velocidade de escoamento, do coeficiente de 
atrito e da rugosidade relativa). 
CCÁÁLCULO DAS PERDAS DE LCULO DAS PERDAS DE CARGA ACIDENTAISCARGA ACIDENTAIS OU OU 
LOCALIZADALOCALIZADA
2 – Método do Comprimento equivalente (Leq):
CCÁÁLCULO DAS PERDAS DE LCULO DAS PERDAS DE CARGA ACIDENTAISCARGA ACIDENTAIS OU OU 
LOCALIZADALOCALIZADA
2 – Método do Comprimento equivalente (Leq):
� Para fluidos reais tem-se:
� Quando a equação de Bernoulli é aplicada a dois 
pontos de um conduto com velocidade constante e 
mesma cota, tem-se a perda de carga dada por:
phvghpvghp +





++=





++ 2222
2
111 2
1
2
1 ρρρρ
g
pphp ρ
21 −
=
Bombas
BombasBombas
Como Como éé posspossíível fazer a vel fazer a áágua fluir para gua fluir para 
uma condiuma condiçção de energia maior, como por ão de energia maior, como por 
exemplo de um poexemplo de um poçço para uma caixa o para uma caixa 
d'd'áágua elevada?gua elevada?
Quanto de energia a bomba deve Quanto de energia a bomba deve 
fornecer?fornecer?
BombasBombas
A A áágua sempre fluirgua sempre fluiráá naturalmente de uma condinaturalmente de uma condiçção de energia ão de energia 
maior para outra de energia menor.maior para outra de energia menor.
Exemplo: Um reservatório elevado (altura geométrica maior).
Como Como éé posspossíível fazer a vel fazer a áágua fluir para uma condigua fluir para uma condiçção de ão de 
energia maior, como por exemplo de um poenergia maior, como por exemplo de um poçço para uma caixa o para uma caixa 
d'd'áágua elevada?gua elevada?
Obviamente fornecendo energia à água. É isso que uma 
bomba hidráulica faz, ou seja, converte a energia mecânica que 
recebe do motor de acionamento em energia hidráulica.
Quanto de energia a bomba deve fornecer?Quanto de energia a bomba deve fornecer?
Deve fornecer uma quantidade de energia total específica (por 
unidade de peso), ou seja, uma altura manomaltura manoméétrica totaltrica total, igual 
à variação de altura geomaltura geoméétricatrica somada às perdas de cargaperdas de carga na 
tubulação. 
BombasBombas
DefiniDefiniçção: ão: São máquinas geratrizes ou operatrizes 
hidráulicas, ou seja, que recebem trabalho mecânico, 
geralmente de outra máquina, que o converte em energia 
cedida para os fluidos, causando aumento na energia do 
fluido sob a forma de energia potencial, de pressão e 
cinética. O modo pelo qual é feita a transformação do 
trabalho em energia hidráulica e o recurso para cedê-lo ao 
líquido aumentando sua pressão e/ou sua velocidade 
permite a classificação em bombas de deslocamento 
positivo e turbomáquinas.
FunFunçção:ão: Fornecer energia ao fluido para que possa ser 
deslocado.
Energia elEnergia eléétrica trica →→ Energia mecânica Energia mecânica →→ Energia hidrEnergia hidrááulicaulica
BombasBombas
Para o Fluido Real IncompressPara o Fluido Real Incompressíívelvel SEMSEM MMááquinaquina
Para o Fluido Real IncompressPara o Fluido Real Incompressíívelvel COMCOM MMááquina quina 
+++=++
g
vPZ
g
vPZ
22
2
22
2
2
11
1 γγ
+++=+++
g
vPZ
g
vPZ
22
2
22
2
2
11
1 γγ
mm
ΩB hp
hp
h1
h1 h2
h2
p1
p1 p2
p2
BombasBombas
Depende de vários fatores como:
oCaracterísticas do líquido de processo, isto é, 
massa específica, viscosidade, etc. 
oTamanho da bomba e de suas seções de entrada e 
de saída 
oTamanho do impulsor 
oVelocidade de rotação do impulsor RPM 
oTamanho e forma das cavidades entre as palhetas 
oCondições de temperatura e pressão da sucção e 
descarga 
A pressão em um ponto qualquer de um 
líquido pode ser imaginada como sendo 
causada pelo peso de uma coluna vertical do 
líquido. A altura desta coluna é chamada de 
carga estática e é expressa em termos de pés 
de líquido. 
Potência absorvida (BHP = brake horse power): é a 
energia que a bomba consome para transportar o 
fluido à vazão desejada, na carga de pressão (altura 
manométrica total) estabelecida, com rendimento 
esperado.
É um parâmetro para a ESCOLHA do motor.
η
)(37,0 QHBHP =
Q – vazão desejada em m3/h;
H – carga de pressão, mcl;
η – rendimento esperado da 
bomba, fornecido pelo 
fabricante 
A capacidade e a pressão 
necessária de qualquer sistema, 
podem ser definidas com a 
ajuda de um gráfico chamado 
Curva do Sistema. 
Semelhantemente o gráfico de 
variação da capacidade com a 
pressão para uma bomba 
particular, define a Curva 
característica de desempenho 
da bomba.
A curva de resistência do sistema ou curva de carga do 
sistema, é a variação no fluxo relacionada a carga do 
sistema. 
Ela deve ser desenvolvida pelo usuário com base nas 
condições de serviço. 
Estas condições incluem o layout físico, as condições de 
processo, e as características do fluido. 
Representa a relação entre a vazão e as perdas hidráulicas 
em um sistema, na forma gráfica e, como as perdas por 
fricção variam com o quadrado da taxa de fluxo. 
O desempenho de uma bomba é mostrado pela sua curva 
característicade desempenho, onde sua capacidade, e a 
vazão volumétrica, é plotada contra a carga desenvolvida. 
A curva de desempenho da bomba também mostra sua 
eficiência (PME), a potência de entrada requerida (em HP), 
NPSHr, a velocidade (em rpm), e outras informações como 
o tamanho da bomba e o tipo, tamanho do impulsor, etc. 
Esta curva é construída para uma velocidade constante 
(rpm) e um determinado diâmetro de impulsor (ou série de 
diâmetros).
Razões técnicas : quando um desnível elevado 
acarretar um rotor de grande diâmetro e alta 
rotação, e com isso altas acelerações centrífugas e 
dificuldades na especificação de materiais.
·Razões econômicas : quando o custo de duas 
bombas menores é inferior ao de uma bomba de 
maiores dimensões para fazer o mesmo serviço.
As bombas são associadas em série e paralelo.
Já a associação em paralelo é
fundamentalmente utilizada quando a 
vazão desejada excede os limites de 
capacidade das bombas adaptáveis a 
um determinado sistema.
A associação de bombas em série é
uma opção quando, para dada vazão 
desejada, a altura manométrica do 
sistema é muito elevada, acima dos 
limites alcançados por uma única 
bomba. 
É considerada quando é necessário um aumento de vazão. 
O acréscimo na vazão não é linear com o aumento do 
número de bombas.
A curva característica de uma associação em 
paralelo é obtida das curvas originais de cada 
bomba pela soma das vazões unitárias para uma 
mesma pressão.
Ocorre quando a pressão de 
sucção está abaixo da 
requerida pela bomba, 
formando bolhas de vapor nas 
cavidades do rotor e são 
transportados para a região 
de alta pressão ocorre 
vibração do equipamento e 
destruição.
Sempre que num dado ponto de um escoamento de um líquido a pressão 
absoluta1 (endender como a pressão do sistema na entrada da bomba) cai 
abaixo da pressão de vapor2 local de um líquido surgem bolhas de vapor que 
serão arrastadas pelo fluxo. Ao atingirem um determinado ponto no escoamento, 
no qual a pressão atuante é superior ao valor da pressão de vapor desse líquido, 
as bolhas de vapor implodem rapidamente. As bolhas ao implodirem nas 
paredes internas da tubulação de sucção causam erosão destruidora danificando 
o rotor da bomba, fenômeno conhecido por cavitação.
Cavitação é um fenômeno semelhante à ebulição, que pode ocorrer na água 
durante um processo de bombeamento, provocando estragos, principalmente no 
rotor e palhetas e é identificado por ruídos e vibrações. Para evitar tal fenômeno, 
devem-se analisar o NPSHdisponível e o NPSHrequerido.
CavitaCavitaççãoão
1 P absoluta = P atmosférica + P manométrica
2 É uma medida da tendência da vaporização de 
um líquido, quanto maior, mais volátil será o líquido.
A cavitação é situação que pode ocorrer em 
qualquer tipo de bomba!
As operações de bombeamento, a pressão em qualquer 
ponto da linha de sucção nunca deve ser menor que a 
pressão de vapor Pv do líquido bombeado na 
temperatura de trabalho, caso contrário haveria 
vaporização do líquido, com conseqüente redução da 
eficiência de bombeio. 
Para evitar estes efeitos negativos, a energia disponível 
para levar o fluido do reservatório até o bocal de sucção 
da bomba deverá ser a pressão na superfície do líquido 
menos a pressão de vapor do líquido na temperatura de 
bombeio. Esta energia disponível é chamada Saldo de Carga de Sucção (em inglês, Net Positive 
Suction Head - NPSH). 
NPSH disponível (NPSHd): é a energia cedida 
(carga) medida em pressão absoluta disponível 
na entrada da sucção de uma bomba hidráulica, 
mostrando a diferença entre a pressão atual de 
um líquido em uma tubulação (sucção) e a 
pressão de vapor do líquido.
sucção
v l
g
PPZNPSHd −−+∆±=
ρ
1
As unidades de todos os termos da equação estão 
em comprimento de coluna de líquido (por 
exemplo(metros de coluna de líquido, mcl)
Geralmente a carga de 
velocidade na entrada da 
bomba é muito menor do 
que os outros termos, para 
fins práticos usa-se a forma 
simplificada.
sucção
vsucção l
g
PPZ
g
v
NPSHd −−+∆±
∆
=
ρ
1
2
2 p
p
∆h
∆h
O NPSH requerido (NPSHr) é a pressão 
mínima para que não ocorra cavitação, 
determinada pelo fabricante da bomba. 
Então para o funcionamento correto da 
bomba (para evitar cavitação, deve-se 
ter a seguinte relação):
NPSHrNPSHd >
• Óleo de soja é bombeado através de uma tubulação de 
diâmetro constante uniforme. A energia adicionada pela 
bomba a massa de fluido é de 209,2 J/kg. A pressão na 
entrada da tubulação é de 103,4 kN/m². A seção de saída 
está a 3,05 m acima da entrada e a sua pressão é de 
172,4 kN/m². Calcule a perda de carga do sistema 
sabendo que a massa específica do óleo é de 919 kg/m³.
BernoullideEquação
Bplvghpvghp Ω++





++=





++ 2222
2
111 2
1
2
1 ρρρρ -
• Água com massa específica de 998 kg/m3 é
transportada através de um tubo de diâmetro constante. 
A pressão de entrada no sistema é de 68,9 103 Pa (abs). 
O tubo é conectado a uma bomba que adiciona uma 
energia ao sistema de 300,0 J/kg. A saída do sistema 
está a 6,0 m acima da entrada e com uma pressão de 
137,8 103 Pa. O escoamento do sistema é laminar. 
Calcule a perda de carga por fricção na tubulação do 
sistema.
BernoullideEquação
Bplvghpvghp Ω++





++=





++ 2222
2
111 2
1
2
1 ρρρρ
BernoullideEquação
- Bplvghpvghp Ω++





++=





++ 2222
2
111 2
1
2
1 ρρρρ -
222111
2
;;
;81,9
,
carga;
;;;
AvmAvmA
FPghp
s
mg
BombadaPotênciaQPot
PPP
bombadaenergiadeperdah
velocidadevgravidadegpressãop
e
Bomba
aManométricaAtmosféricAbsoluta
ep
⋅⋅=⋅⋅==
=
Ω
=
+=
−Ω−
−−−
•
ρ
η
ρ