Teorema do Valor Médio para Integral

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Teorema do Valor Me´dio para integrais
Gabriel Ferraz
1 Introduc¸a˜o
O leitor provavelmente esta´ familiarizado com o Teorema do Valor Me´dio(TVM) em derivadas. A fim de
recordac¸a˜o, vou enunciar esse Teorema:
Teorema 1 Seja f uma func¸a˜o cont´ınua em [a,b] e diferencia´vel em (a,b). Enta˜o, existe um nu´mero c
tal que:
f ′(c)(b− a) = f(b)− f(a)
Este teorema e´ bem forte(embora possa ser ainda mais generalizado) e consegue relacionar a inclinac¸a˜o
me´dia de uma func¸a˜o com a inclinac¸a˜o da reta tangente em algum ponto do intervalo (a,b). Note que
na˜o dizemos nada sobre qual ponto e´ c, apenas garante a existeˆncia.
2 TVM para integrais
2.1 TVM simples
Vamos, agora, estender o TVM para o campo integral.
Teorema 2 Seja f uma func¸a˜o cont´ınua em [a,b]. Enta˜o, para algum c ∈ [a, b], temos:
f(c)(b− a) =
∫ b
a
f(x)dx
Prova: f e´ cont´ınua em [a,b], logo, e´ limitada. Sejam m e M seus valores mı´nimo e ma´ximo. Assim, vem:
m ≤ f(x) ≤M ∀x ∈ [a, b]
Agora, integrando ambos os lados, de a a b, temos:
m(b− a) ≤
∫ b
a
f(x)dx ≤M(b− a) =⇒ m ≤
∫ b
a
f(x)dx
b− a ≤M
Veja que
∫ b
a
f(x)dx
b−a e f(x) variam entre os mesmos extremos. Enta˜o, pelo Teorema do Valor Intermedia´rio.
deve existir algum ponto c em [a,b] tal que
∫ b
a
f(x)dx
b−a = f(c). Logo:
∫ b
a
f(x)dx = f(c)(b− a) �
2.2 TVM ponderado
Agora, que ja´ temos o TVM para integrais, podemos dar mais um passo e apresentar sua versa˜o ponderada,
mais geral, similar ao TVM de derivadas generalizadas. Notaremos, aqui, que o Teorema 2 e´ apenas um
corola´rio do seguinte Teorema:
Teorema 3 Sejam f e g func¸o˜es cont´ınuas em [a,b]. Se g nunca troca de sinal em [a,b], enta˜o, para
algum c em [a,b], vale: ∫ b
a
f(x)g(x)dx = f(c)
∫ b
a
g(x)dx
1
Prova: f e´ limitada em [a,b]. Assim, de modo similar a` demonstrac¸a˜o do Teorema 2, temos m ≤ f(x) ≤
M . Sendo g na˜o negativa, vem: mg(x) ≤ f(x)g(x) ≤Mg(x). Integrando ambos os lados:
m
∫ b
a
g(x)dx ≤
∫ b
a
f(x)g(x)dx ≤M
∫ b
a
g(x)
Se
∫ b
a
g(x)dx = 0, a equac¸a˜o do Teorema 3 vale para qualquer escolha de c. Se for diferente de 0, sera´
positiva e teremos:
m ≤
∫ b
a
f(x)g(x)dx∫ b
a
g(x)dx
≤M
Donde, pelo Teorema do Valor Intermedia´rio, teremos, para algum c em [a,b], vale
∫ b
a
f(x)g(x)dx∫ b
a
g(x)dx
= f(c),
e enta˜o: ∫ b
a
f(x)g(x)dx = f(c)
∫ b
a
g(x)dx �
Esse Teorema e´ muito u´til para realizar aproximac¸o˜es nume´ricas de integrais dif´ıceis de se calcular, sim-
plificando o problema.
3 Exerc´ıcios Resolvidos:
1. Estabelec¸a a seguinte desigualdade:
1
10
√
2
≤
∫ 1
0
x9√
1 + x
dx ≤ 1
10
Soluc¸a˜o: Veja que o integrando na˜o e´ simples de ser calculado, enta˜o vamos realizar uma aproximac¸a˜o
usando o TVM. Note que em [0,1], x9 na˜o troca de sinal. Assim, podemos dizer que:∫ 1
0
x9√
1 + x
dx =
1√
1 + c
∫ 1
0
x9dx =
1√
1 + c
· 1
10
Mas vale lembrar que c esta´ entre 0 e 1. Assim, como a raiz quadrada e´ uma func¸a˜o crescente, 1√
1+c
tera´ mı´nimo em 1 e ma´ximo em 0. Assim, segue:
1
10
√
1 + 1
≤
∫ 1
0
x9√
1 + x
dx ≤ 1
10
√
1 + 0
1
10
√
2
≤
∫ 1
0
x9√
1 + x
dx ≤ 1
10
2. Se n e´ um inteiro positivo, use o Teorema 3 para mostrar que:∫ √(n+1)pi
√
npi
sen(t2)dt =
(−1)n
c
, onde
√
npi ≤ c ≤
√
(n+ 1)pi
Soluc¸a˜o:Vamos multiplicar e dividir por t o integrando(veja que t nunca e´ nulo). Assim, a integral pode
ser reescrita como: ∫ √(n+1)pi
√
npi
t · sen(t2)
t
dt
Para qualquer n positivo, veja que t · sen(t2) nunca muda de sinal em [√npi,√(n+ 1)pi] (Verifique!).
Assim, pelo teorema do valor me´dio, temos:∫ √(n+1)pi
√
npi
t · sen(t2)
t
dt =
1
c
∫ √(n+1)pi
√
npi
t · sen(t2)dt
2
Onde
√
npi ≤ c ≤√(n+ 1)pi.
Vamos, enta˜o, resolver a integral que restou. Fac¸amos a mudanc¸a de varia´vel u = t2 ⇒ du = 2tdt. Os
limites de integrac¸a˜o sa˜o trocados:
t =
√
npi
u=t2−→ u = npi
t =
√
(n+ 1)pi
u=t2−→ u = (n+ 1)pi
Teremos: ∫ √(n+1)pi
√
npi
t · sen(t2)dt = 1
2
∫ (n+1)pi
npi
sen(u)du =
1
2
[−cos((n+ 1)pi) + cos(npi)]
Se n for par, cos((n+ 1)pi) = −1 e cos(npi) = 1
Se n for ı´mpar, cos((n+ 1)pi) = 1 e cos(npi) = −1
Assim, a expressa˜o que chegamos acima vale 1 para n par e -1 para n ı´mpar, isto e´,∫ √(n+1)pi
√
npi
t · sen(t2)dt = (−1)n, n ∈ N
Assim, juntando o que obtemos anteriormente, conclu´ımos que:∫ √(n+1)pi
√
npi
sen(t2)dt =
(−1)n
c
,
√
npi ≤ c ≤
√
(n+ 1)pi
4 Exerc´ıcios Propostos:
1. Note que
√
1− x2 = (1− x2)/√1− x2 e obtenha a seguinte desigualdade:
11
24
≤
∫ 1
2
0
√
1− x2dx ≤ 11
24
√
4
3
2. Assuma que f seja uma func¸a˜o cont´ınua em [a,b]. Se
∫ b
a
f(x)dx = 0, prove que f(c) = 0 para ao menos
um c em [a,b]
3. Uma das afirmac¸o˜es a seguir esta´ incorreta. Explique o motivo:
(a) A integral
∫ 4pi
2pi
sen t
t dt > 0 porque
∫ 3pi
2pi
sen t
t dt >
∫ 4pi
3pi
|sen t|
t dt
(b) A integral
∫ 4pi
2pi
sen t
t dt = 0 porque, pelo teorema 3, para algum c entre 2pi e 4pi, temos∫ 4pi
2pi
sen t
t
dt =
1
c
∫ 4pi
2pi
sen tdt =
cos(2pi)− cos(4pi)
c
= 0
Resp.: 3-b e´ incorreta
3