Calculo Aplicado_Varias Variaveis_revisao de derivadas e integrais

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introdução
Introdução
Os primeiros conceitos do cálculo diferencial e do cálculo integral surgiram há séculos, a princípio,
sem ligação com os conceitos que temos atualmente. Depois de um período, matemáticos puderam
provar, por meio de resultados válidos até hoje, que os conceitos do cálculo diferencial e do cálculo
integral são o inverso um do outro.
CÁLCULO APLICADO - VÁRIAS VARIÁVEISCÁLCULO APLICADO - VÁRIAS VARIÁVEIS
REVISÃO DE DERIVADAS EREVISÃO DE DERIVADAS E
INTEGRAISINTEGRAIS
Autor: Me. Talita Druziani Marchiori
Revisor : Ra imundo A lmeida
IN IC IAR
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O cálculo diferencial surgiu com problemas relacionados a retas tangentes. Já o cálculo integral
originou-se em problemas de quadratura, que é uma operação que determina a área de um
quadrado equivalente a uma dada �gura geométrica. Porém, hoje, sabemos que as aplicabilidades
dessas teorias estendem-se a áreas variadas do conhecimento, como física, química, engenharias,
biologia, economia, dentre outras. Apesar de você, estudante, já ter estudado esses conceitos,
vamos revisar, nesta unidade, as principais de�nições e propriedades presentes no cálculo
diferencial e integral. Além disso, estudaremos o conceito de integração por frações parciais.
Salientamos que, como se trata da revisão de uma matéria extensa, não conseguiremos abordar
todos os conceitos presentes. Com isso, enriqueceria o seu estudo buscar exemplos e exercícios em
outras bibliogra�as para completar a sua revisão e aprofundar o seu conhecimento. Esperamos que
o seu aprendizado seja produtivo.
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Neste tópico, relembraremos as principais de�nições e propriedades das derivadas de funções reais
de uma variável real. No que segue, representaremos por f(x) uma função real de uma variável real,
de�nida sobre um subconjunto X dos números reais.
Considere uma função f(x) como uma função qualquer e sua derivada f ′ (x) é a nova função que, em
um determinado ponto x, o valor da derivada é de�nido por
f ′ (x) = limh→ 0
f(x + h) − f(x)
h
se o limite existir.
Assim, se o limite existe para x = a, a função f diz-se diferenciável em a. Consideramos a função f
derivável em um intervalo aberto, se esta for diferenciável para todos os números do intervalo.
Uma Breve Revisão SobreUma Breve Revisão Sobre
as Derivadas de Funçõesas Derivadas de Funções
Reais de uma VariávelReais de uma Variável
RealReal
Fonte: luckybusiness / 123RF.
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Exemplo 1.1: determine f ′ (x) se f(x) = x ² .
Solução: pela de�nição que acabamos de enunciar,
f ′ (x) = limh→ 0
f(x + h) − f(x)
h = limh→ 0
(x + h)2 − x2
h .
Como:
(x + h)2 − x2
h
= 2x + h, h ≠ 0,
segue que:
f ′ (x) = limh→ 0
f(x + h) − f(x)
h
= limh→ 0
(x + h)2 − x2
h
= 2x
Portanto, f ′ (x) = 2x.
Usando a notação tradicional y = f(x) para indicar que a variável independente é x, e y é a variável
dependente, então y ′ dy
dx e 
df
dx são consideradas notações alternativas quando consideramos a
derivada de f em relação a x.
reflita
Re�ita
Em muitos problemas de cálculo que envolvem
curvas, precisamos calcular a reta tangente em um
certo ponto da curva. Contudo, a reta tangente a
uma curva y = f(x) em um ponto P(a, f(a)) é a reta
que passa por P e tem a inclinação
m = limx→ a
f(x) − f(a)
x − a ,
desde que esse limite exista. Isto é, a inclinação da
reta tangente à curva y = f(x) no ponto P(a, f(a)) é o
mesmo que a derivada de f em a. Com isso, se
usarmos a forma ponto-inclinação da equação de
uma reta, podemos escrever uma equação da reta
tangente à curva y = f(x) no ponto P(a, f(a)), como:
y − f(a) = f ′ (a)(x − a)
Logo, re�ita sobre esse processo.
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O processo de determinar a derivada de uma função por meio do cálculo de um limite, na maioria
das vezes, é um processo demorado. Porém, há regras de derivação que auxiliam em uma solução
mais simples para o cálculo. Quando utilizamos tais soluções, conseguimos determinar a derivada
de uma função sem necessitar recorrer à sua de�nição. A seguir, enunciamos algumas dessas
regras.
REGRA DA POTÊNCIA: considerando que n é um número real qualquer, então:
xn
′
= nxn− 1.
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR CONSTANTE: considerando que c é uma constante e f é uma
função derivável, podemos dizer que:
[cf(x)] ′ = cf ′ (x).
REGRA DA SOMA: considerando que f e g são funções deriváveis, então:
f(x) + g(x)] ′ = f ′ (x) + g ′ (x).
REGRA DO PRODUTO: considerando que f e g são funções diferenciáveis com g(x) ≠ 0, então:
[f(x)g(x)] ′ = f ′ (x)g(x) + f(x)g ′ (x).
REGRA DO QUOCIENTE: considerando que f e g forem deriváveis, então:
[
f(x)
g(x) ], =
f ′ (x)g(x) − f(x)g ′ (x)
g(x)2 .
REGRA DA CADEIA: se g for derivável em x, e f for derivável em g(x), então, a função composta
h = f ∘ g, de�nida por h(x) = f(g(x)), será derivável em x, e h ′ será dada pelo produto:
h ′ (x) = f ′ (g(x))g ′ (x).
Em muitas situações, deparamo-nos com problemas de funções exponenciais, logarítmicas e
trigonométricas, por isso, resumimos as fórmulas de derivação para estas funções:
d
dx sen x = cos x;
d
dx (cosec x) = − cosec x cotg x;
d
dxcos x = − sen x;
d
dx (cotg x) = − cosec2 x;
d
dx tg x = sec2x;
d
dx (ex) = ex;
d
dx sec x = sec x tg x;
d
dx (ln x) =
1
x .
Exemplos 1. 2: derive:
a) h(x) = 5
1
x2 .
b) f(x) = ex x.
c) F(x) =
2x+ 3
x2 + 1
.
[ ]
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d) h(x) = sen(x2 + 1).
Solução: a) Pelas regras da constante e da potência:
h ′ (x) = 5(
1
t2
) ′ = −
10
t3
.
b) Pela regra do produto, temos:
f ′ (x) = (ex) ′ x + ex(x) ′ = ex x + ex.
c) Pela regra do quociente:
F ′ (x) =
(2x + 3) ′x2 + 1 − 2x + 3(x2 + 1) ′
(x2 + 1)2 =
−2x2 − 6x + 2
(x2 + 1)2 .
d) Pela regra da cadeia, considerando f(x) = sen x e g(x) = x2 + 1, temos que:
h ′ (x) = f ′ (g(x))g ′ (x) = 2x cos (x2 + 1).
Como f’ também é uma função chamada derivada primeira de f, podemos derivá-la. Se a derivada de
f’ existir, esta será chamada derivada segunda de f e será denotada por f’’. Seguindo esse raciocínio,
a derivada enésima da função f, onde n é um número inteiro positivo maior do que 1, é a derivada
primeira da derivada (n-1) ésima de f. Denotamos a derivada enésima de f por fn. Por exemplo,
temos que f ″ (x) = 96x2 + 30x − 2, se f(x) = 8x4 + 5x3 − x2 + 7, pois f ′ (x) = 32x3 + 15x2 − 2x.
praticar
Vamos Praticar
Sabemos que o cálculo diferencial possui aplicabilidade em diversas áreas do conhecimento. Logo, dominar
seus conceitos e propriedades é relevante em nossa formação acadêmica. Com base na teoria que
acabamos de revisar neste tópico, assinale a alternativa correta.
a) Com a de�nição de derivada de uma função, concluímos que f ′ (x) = 3x − 1, se f(x) = x3 − x.
b) Se g(x) = 3x2 + 1 3, temos que g(x) = 3 3x2 + 1 2
c) A derivada de t(x) = 0, 5 é dada pela função t(x) = 0, 5.
d) Temos que g(4) = − 1, uma vez que g(x) = h(x) 1 /x, onde h(4) = 32 e h(4) = 4.
e) Se f(x) = 2x3 + ex e g(x) = x2 − 4x + 1, [
f ( x )
g ( x ) ] ′ = 
2x4 − 32x3 + 6x2 + ex x2 + 2x+ 5
2x3 + ex 2
.
( ) ( )
( )
( )
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Os problemasde otimização consistem em determinar a melhor maneira de fazer algo, ou seja,
requerem minimizar ou maximizar uma situação. Como é de nosso conhecimento, as derivadas nos
ajudam localizar os valores de máximo e mínimo de funções. Logo, os problemas de otimização são
uma das aplicações mais importantes do cálculo diferencial.
Antes de resolver um problema de otimização, vamos enunciar os principais resultados e de�nições
já estudados por nós, que envolvem a derivada primeira e segunda e fornecem-nos técnicas para
determinar os valores extremos de uma função.
Teorema 1.1: se f tiver um máximo ou mínimo local em c e se f ′ (c) existir, então, f ′ (c) = 0.
O Teorema 1.1 apresenta que devemos procurar por valores máximos e mínimos de f nos números c
, em que f ′ (c) = 0 ou onde f ′ (c) não existe. Chamamos os valores c tais que f ′ (c) = 0 ou f ′ (c) não
existe de número crítico de f.
Quando uma função f é contínua, considerando um intervalo fechado [a, b], temos um método para
determinar seus valores extremos (valor de máximo e valor de mínimo) em [a, b]. Primeiramente,
Problemas de OtimizaçãoProblemas de Otimização
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encontramos os valores de f nos números críticos de f em (a, b). Depois, encontramos os valores de f
nas extremidades a e b. Então, o maior valor é o valor de máximo e o menor valor é o valor de
mínimo.
Exemplo 1.3: o valor máximo de f(x) = x3 + x2 − x + 1 em −2, 1/2 é f(−1) = 2.
Solução: observe que f é contínua no intervalo −2, 1/2 e f(x) = 3x2 + 2x − 1. Como f ′ (x) existe para
todos os números reais, os únicos números críticos de f serão os valores x para os quais f(x) = 0. Mas
f(x) = 0 ⇔ 3x2 + 2x − 1 = 0,
em que concluímos que os números críticos de f são x = e x = − 1. Ainda
f(−2) = − 1, f(−1) = 2, f( ) = 
22
27
, f 1/2 = 
7
8
.
Portanto, o valor máximo f em −2, 1/2 é f(−1) = 2.
O próximo resultado diz se f tem ou não um máximo ou mínimo local em um número crítico.
Chamamos-o de Teste da Primeira Derivada.
Teorema 1.2: considere que c seja um número crítico de uma função contínua f. Dessa forma,
podemos a�rmar que:
a)  caso o sinal de f ′ mude de positivo para negativo em c, dizemos que f tem um máximo local em c.
b)  caso o sinal de f ′ mude de negativo para positivo em c, dizemos que f tem um mínimo local em c.
c)  se f ′ não mudar de sinal em c, então, f não tem máximo ou mínimo locais em c.
Exemplo 1.4: encontre os valores máximos e mínimos da função f(x) = x3 − 6x2 + 9x + 1.
Solução: note que f(x) = 3x2 − 12x + 9 e f(x) = 0 ⇔ x = 3, x = 1. Ademais, se x⟨1, f(x)⟩0; se
1 < x < 3, f ′ (x) < 0; e se x > 3, f(x) > 0. Então, pelo Teste da Primeira Derivada, f ′ = 5 é um valor de
máximo local de f, e f(3) = 1 é um valor de mínimo local de f.
O próximo resultado é conhecido como Teste da Segunda Derivada.
Teorema 1.3: suponha que f ″ seja contínua nas proximidades dos valores de c:
a)  se f ′ (c) = 0 e f ″ (c) > 0, então, f tem um mínimo local em c.
b)  se f ′ (c) = 0 e f ″ (c) < 0, então, f tem um máximo local em c.
Exemplo 1.5: sendo f(x) = x4 +
4
3x
3 − 4x2, utilize o Teste da Segunda Derivada para encontrar os
máximos e mínimos locais de f.
Solução: temos que f(x) = 4x3 + 4x2 − 8x e f(x) = 12x2 + 8x − 8. Então, os pontos críticos de f (valores
onde f(x) = 0) são −2, 0e1. Contudo, f(−2) > 0, f(0)⟨0, f(1)⟩0. Logo, f possui um valor de mínimo local
em f(−2) = −
32
2 , um valor de máximo local em f(0) = 0 e um mínimo local em f(1) = −
5
3 .
Agora, veremos dos exemplos de problemas de otimização.
[ ]
[ ]
( )
[ ]
( )
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Exemplo 1.6: uma empresa possui seu lucro descrito pela função L(x) = − 0, 02x2 + 300x − 200000,
em que x representa o número de unidades produzidas. Quantas unidades a empresa precisa
produzir para que seu lucro seja máximo?
Solução: observe que, como a L(x) = − 0, 04x + 300, teremos a , ou seja, x = 7500 é o número crítico
de L. Contudo, L(x)⟨0, x⟩7500 e L(x) > 0, x < 7500. Portanto, pelo Teste da Primeira Derivada, a
empresa precisa produzir 7500 unidades para que seu lucro seja máximo.
Exemplo 1.7: construa uma caixa fechada, de base quadrada e com 200 cm³ de volume. O material
utilizado para a tampa e para a base deve custar R$ 3,00 para cada centímetro quadrado e o
material utilizado para os lados custa R$ 1,50 para cada centímetro quadrado. Com quais dimensões
esta caixa possui custo total mínimo?
Solução: adotando como x o comprimento (em centímetros) de um lado da base quadrada e C(x) o
custo total do material, a área da base será x2 cm2. Adotando y como a profundidade (em
centímetros), o volume da caixa será x2y = 200 cm3, onde y = 
200
x2 .
Dessa forma, podemos escrever que a área da tampa e da base juntas é 2x2 e, para os lados, é 4xy.
Com isso, C(x) = 3 2x2 + 1, 5 (4xy) ou, equivalentemente,
C(x) = 6x2 + 
12000
x ,
em que:
C(x) = 12x − 
12000
x2 , C(x) = 12x + 
12000
x3 .
Assim, C’(x) não existe x = 0, mas como 0 não pertence ao domínio de C, os únicos números críticos
serão os valores de x, tais que C(x) = 0, ou seja, x = 10. Por outro lado, C(10) > 0 então, pelo Teste da
Derivada Segunda, x = 10 é um mínimo local de C. Com isso, o custo total do material será mínimo,
quando o lado da base quadrada for 10 cm, a profundidade for 20 cm e a área da base for 100 cm².
praticar
Vamos Praticar
Na economia, se x unidades forem vendidas e o preço por unidade for p(x), então, a receita total será
R(x) = xp(x), sendo R chamada função receita. Representado por C(x), a função custo é o valor gasto para a
produção de x unidades. Se x unidades forem vendidas, então, o lucro total será L(x) = R(x) − C(x), então, L
será chamada função lucro. Certa empresa possui as funções de custo e receita dadas por
R(x) = − 0, 5x2 + 2000x e C(x) = 800x + 500000, respectivamente. Analise as alternativas abaixo e assinale a
correta.
a) O lucro desta empresa será máximo para x = 1200.
( )
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b) O lucro desta empresa será máximo para x = 800.
c) O lucro desta empresa será máximo para x = 36√5.
d) O lucro desta empresa será máximo para x = 60.
e) O lucro desta empresa será máximo para x = 20√3.
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Uma função F(x) é chamada antiderivada da função f(x) se F(x) = f(x), seja qualquer x pertencente ao
domínio de f. Como a derivada de uma constante é zero, a antiderivada de uma função não é única.
Por exemplo, F(x) = x2 e H(x) = x2 + 10 são antiderivadas da função f(x) = 2x, uma vez que
F(x) = H(x) = 2x = f(x).
Representamos o conjunto de todas as antiderivadas de f(x) utilizando o símbolo:
∫ f(x) dx = F(x) + C,
que é chamado integral inde�nida de f(x), em que F é uma antiderivada de f. Para qualquer função
derivável F, ∫F ′ (x) dx = F(x) + C . Da ligação entre o cálculo diferencial e o cálculo integral por meio
das antiderivadas, podemos listar propriedades para integração inde�nida resultante de
propriedades existentes para as derivadas.
REGRA DA CONSTANTE: considerando qualquer constante k, ∫ k dx = kx + C.
REGRA DA POTÊNCIA: considerando qualquer n ≠ − 1,∫ xn dx =
xn+ 1
n+ 1 + C.
REGRA DO LOGARÍTMO: considerando qualquer x ≠ 0,∫
1
x dx = ln |x| + C.
REGRA DA EXPONENCIAL: considerando qualquer constante k ≠ 0 , ∫ ekx dx =
1
k e
kx + C.
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE: considerando qualquer constante f,
∫ k f(x) dx = k∫ f(x) dx.
REGRA DA SOMA/DIFERENÇA: ∫ f(x) ± g(x) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx.
Exemplo 1.8: calcule:
UmaBreve Revisão SobreUma Breve Revisão Sobre
as Integrais de Funçõesas Integrais de Funções
Reais de uma VariávelReais de uma Variável
RealReal
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a) ∫
3
x dx.
b) ∫
x3 − 8x2 + 2x
x dx.
Solução: a) Pelas regras do logaritmo e da multiplicação por uma constante,
∫
3
x
 dx = 3∫
1
x
 dx = 3 ln |x| + C.
b) Usando a regra da soma, da diferença, da multiplicação por uma constante, da constante e da
potência, temos:
∫
x3 − 8x2 + 2x
x
 dx = ∫x2 dx − 8∫x dx + ∫2 dx =
x3
3
− 4x2 + 2x + C.
Muitas integrais exigem, além das regras enunciadas acima, métodos especiais para resolvê-las. Um
destes é o método da substituição. Tal método consiste em escolhermos uma substituição u = u(x)),
para simpli�car o integrando f(x) e expressar toda a integral em termos de u e du = udx. Com isso, a
integral deve estar ∫ f(x) dx = ∫ g(u) du na forma. Se possível, calcule essa integral, determinando uma
antiderivada G(u) de g(u). Para �nalizar, substituímos u por u(x), obtendo uma antiderivada G(u(x))
para f(x), de modo que ∫ f(x) dx = G(u(x)) + C.
Por exemplo, podemos calcular a integral inde�nida ∫ (5x + 3)6 dx pelo método da substituição.
Denotando u = 5x + 3, temos du = 5dx ou dx = 1/5. Assim:
∫ (5x + 3)6 dx = ∫u6 1
5
 du =
1
5 ∫u6 du =
1
35
(5x + 3)7 + C.
Agora, considere f(x) uma função contínua no intervalo a ≤ x ≤ b. Julgue que este intervalo tenha sido
dividido em n partes iguais de largura Δx =
b− a
n e seja x ∗ i um número qualquer pertencente ao
intervalo de ordem i, para qualquer i=1, 2, …, n. A soma:
[f(x ∗ 1)Δx + f x ∗ 2 Δx + . . . . + f(x ∗ nΔx)]
é conhecida como soma de Riemann.
Dessa forma, a integral de�nida de f(x) no intervalo a ≤ x ≤ b, representada pelo símbolo
b
∫
a
f(x) dx
é dada pelo limite da soma de Riemann, sempre que n → ∞, caso o limite exista.
A integral de�nida ∫ baf(x) dx é um número. Se a > b, temos que ∫ baf(x) dx = − ∫ abf(x) dx; se a = b, temos
que ∫ baf(x) dx = 0. Como, para as integrais inde�nidas, existem regras de integração que nos auxiliam
a determinar as integrais de�nidas, suponha que f e g são funções contínuas, sendo válida a:
REGRA DA CONSTANTE: para qualquer constante k, ∫ bak dx = k(b − a).
( )
( )
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REGRA DA SOMA/DIFERENÇA: ∫ baf(x) ± g(x) dx = ∫ baf(x) dx + ∫ bag(x) dx.
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE: para qualquer constante k,
b
∫
a
k f(x) dx = k 
b
∫
a
f(x) dx.
REGRA DO INTERVALO: para qualquer c ∈ [a, b], ∫ baf(x) dx = ∫ caf(x) dx + ∫ bcf(x) dx.
Exemplo 1.9: sendo ∫ 10
0 f(x) dx = 17 e ∫ 8
0f(x) dx = 12, temos que ∫ 10
8 f(x) dx = 5.
Solução: primeiramente, devemos escrever:
10
∫
0
f(x) dx =
8
∫
0
f(x) dx +
10
∫
8
f(x) dx.
Então:
10
∫
8
f(x) dx = 17 − 12 = 5.
Para �nalizar este tópico, vamos enunciar a primeira e a segunda parte do Teorema Fundamental do
Cálculo. Este é um dos mais importantes resultados do cálculo, pois relaciona o conceito de integral
de�nida ao conceito de antiderivação, ou seja, o Teorema Fundamental do Cálculo relaciona o
cálculo diferencial e o cálculo integral.
Teorema 1.4 (Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1): se f for contínua em [a,b], então, a função g
de�nida por g(x) = ∫ xaf(t) dt (a ≤ x ≤ b) é contínua em [a,b] e derivável em (a,b) e g(x) = f(x).
saiba mais
Saiba mais
Sabemos, por meio de historiadores, que o Cálculo Integral
teve origem a vários séculos com problemas de quadratura.
Com o passar dos anos, muitos matemáticos contribuíram
para o crescimento e aperfeiçoamento desta teoria. Com
esses avanços, hoje, existem aplicabilidades do Cálculo
Integral em diversas áreas, como física, engenharias,
biologia, dentre outras. Uma das aplicações do cálculo
integral mais conhecida é o cálculo de áreas. Clique para
conhecer um pouco da história do cálculo diferencial.
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Teorema 1.5 (Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 2): se f for contínua em [a,b], então:
b
∫
a
f(x) dx = F(b) − F(a)
em que F é qualquer primitiva de f, isto é, uma função tal que F = f.
Exemplo 1.10: calcule:
a)  ∫ 3
1e
x dx.
b) ∫ 8
52x + 1 dx.
Solução: a) Note que F(x) = ex é uma antiderivada de f(x) = ex, então, pela Parte 2 do Teorema
Fundamental do Cálculo,
∫ 3
1e
x dx = F(3) − F(1) = e3 − e.
b) Com o raciocínio do item anterior e com o auxílio das regras de integração, temos:
∫ 8
52x + 1 dx = 82 − 52 + (8 − 5) = 42.
praticar
Vamos Praticar
Podemos utilizar as integrais para solucionar muitas situações problemas do nosso cotidiano e do nosso
meio pro�ssional. Com base na teoria sobre integrais inde�nidas e de�nidas revisadas neste tópico, assinale
a alternativa correta.
a) ∫ x2 − 2x dx = x3 − 2x2 + C.
b) ∫ − cos x dx = sen x + C.
c) ∫ t3 cos t4 + 2 dt =
1
4 cos t4 + 2 + C.
d) ∫ 1
0 x3 + 1 dx =
5
4 .
e) ∫ 1
− 1x
2 dx = 1
( )
( ) ( )
( )
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Uma função f(x) é denominada função racional, se f(x) =
R ( x )
Q ( x ) , em que R(x) e Q(x) são polinômios. Se
o grau de R é menor que o grau de R, f é chamada de função racional própria; f(x) é denominada
função racional imprópria, se o grau de R é maior ou igual que o grau de Q.
Se uma função f(x) =
P ( x )
Q ( x ) é racional imprópria, podemos dividir os polinômios P por Q até o resto
R(x) ser obtido, em que o grau de R é menor que o grau de Q. Com isso, podemos reescrever f(x)
como a soma de um polinômio S(x) e uma função racional própria 
R ( x )
Q ( x ) , ou seja, f(x) = S(x) +
R ( x )
Q ( x ) .
Quando não conseguimos resolver a integral de uma função racional própria, podemos decompô-la
em frações parciais, usando a seguinte estratégia: primeiramente, fatoramos o denominador Q
como produto de fatores lineares e quadráticos, em que os fatores quadráticos não possuem raízes
reais, isto é, são irredutíveis.
Na resolução dos exemplos a seguir, veremos três casos desta técnica.
Integração de FunçõesIntegração de Funções
Racionais por FraçõesRacionais por Frações
ParciaisParciais
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Exemplo 1.12: determine:
a) ∫
x2 + 2x− 1
2x3 + 3x2 − 2x
 dx.
b) ∫
x3 − 1
x2 ( x− 2 ) 3 dx.
c) ∫
x2 + 1
x3 + 3x
 dx.
Solução: a) Note que o grau do denominador é maior do que o grau do numerador, logo, a função
f(x) =
x2 + 2x− 1
2x3 + 3x2 − 2x
 é racional própria, e não precisamos dividir o numerador pelo denominador.
Observe que
2x3 + 3x2 − 2x = x(2x − 1)(x + 2)
ou seja, o polinômio Q(x) = a1x + b1 a2 + b2 . . . an + bn pode ser decomposto em fatores lineares
e nenhum fator é repetido. Neste caso, escrevemos:
R(x)
Q(x) = 
A1
a1 x + b1
+
A2
a2 + b2
+ . . .
An
an + bn
Então,
x2 + 2x − 1
2x3 + 3x2 − 2x
=
x2 + 2x − 1
x(2x − 1)(x + 2)
=
A1
x
+
A2
2x − 1
+
A3
x + 2
.
Com isso, temos que:
x2 + 2x − 1 = 2A1 + A2 + 2A3 x2 + 3A1 + 2A2 − A3 x − 2A1
em que a igualdade de polinômios é:
A1 = 1/2 , A2 = 1/5 e A3 = − 1/10.
Portanto,
∫
x2 + 2x − 1
2x3 + 3x2 − 2x
 dx =
1
2 ∫
1
x dx +
1
5 ∫ 
1
2x − 1dx − 
1
10 ∫ 
1
x + 2dx.
=
1
2
ln |x| +
1
10
ln |2x − 1| −
1
10
ln |x + 2| + C.
b)Temos que:
x2 = x . x . (x − 2). (x − 2). (x − 2)
ou seja, o polinômio Q(x) decompõe-se em fatores lineares com termos repetidos. Se o fator aix + bi
repete p vezes, teremos, correspondente a esse fator, uma soma de p frações parciais da forma:
 
A1
ai x + bi
+
A2
ai x +bi 2
+ . . .
Ap
(ai x + bi)
p .
( )( ) ( )
( ) ( )
( )
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Então,
x3 − 1
x2(x − 2)3 =
A1
x +
A2
x2 +
B1
(x − 2) +
B2
(x − 2)2 +
B3
(x − 2)3
em que:
x3 − 1 = A1 x(x − 2)3 + A2(x − 2)3 + B1 x2(x − 2)2 + B2 x2(x − 2) + B3x2
Se x = 0, A2 = 1/8; se x = 2, B3 = 7/4. Para determinar A1, B1 e B2, substituímos os valores já
encontramos na equação acima e resolvemos o sistema de polinômios obtendo
A1 = 3/16, B1 = − 3/16 e B2 = 5/4.
Com isso,
∫
x3 − 1
x2 ( x− 2 ) 3 =
3
16 ∫
1
xdx +
1
8 ∫
1
x2dx −
3
16 ∫
1
( x− 2 ) dx +
5
4 ∫
1
( x− 2 ) 2dx +
7
4 ∫
1
( x− 2 ) 3dx =
3
16 ln |x| −
1
8x −
3
16 ln |x − 2| −
5
4 ( x− 2 ) +
7
8 ( x− 2 )
c) Neste caso,
x3 + 3x = x x2 + 3
em que o fator x2 + 3 é irredutível, pois não possui raízes reais, isto é, o polinômio Q(x) é decomposto
por fatores lineares e quadráticos, porém nenhum fator quadrático é repetido. Todo fator
quadrático irredutível ax2 + bx + c terá uma fração parcial da forma:
Ax + B
ax2 + bx + c
.
Então,
x2 + 1
x3 + 3x
==
A
x
+
Bx + C
x2 + 3
.
Procedendo como nos itens anteriores, obtemos que A =
1
3 , B =
2
3 e C = 0. Então,
∫
x2 + 1
x3 + 3x
 dx =
1
3 ∫ 
1
x dx +
2
3 ∫
x
x2 + 3
dx =
1
3 ln |x| +
1
3 ln x2 + 3 + C.
Também podemos decompor Q(x) por fatores lineares e quadráticos irredutíveis, mas com alguns
fatores quadráticos repetidos. Nesse caso, se ax2 + bx + c for um fator quadrático irredutível que se
repete p vezes, o fator (ax2 + bx + c)p possui p frações parciais da forma
A1x + B1
ax2 + bx + c
+
A2x + B2
ax2 + bx + c 2
+ . . . +
Apx + Bp
(ax2 + bx + c)p
.
Por exemplo, para x2 + 3x + 5 3, temos:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
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A1x + B1
x2 + 3x + 5
+
A2x + B2
x2 + 3x + 5 2
+
A3x + B3
x2 + 3x + 5 3
.
Note que, na letra a) do exemplo 1.12, foi possível fatorar o denominador como multiplicação de
fatores lineares distintos. No item b), decompomos o denominador como multiplicação de fatores
lineares repetidos. Já no item c) do exemplo 1.12, a fatoração do denominador continha fatores
quadráticos irredutíveis, sem repetição. Acabamos de observar, acima, outra forma de fatorar um
polinômio, como multiplicação de fatores lineares e quadráticos irredutíveis, com alguns termos
quadráticos repetidos. Um resultado da Álgebra garante que é sempre possível fatorar um
polinômio de uma dessas quatro maneiras. A forma de decompor a fatoração de cada caso em
frações parciais, exposta nos exemplos acima, vem do teorema de frações parciais.
praticar
Vamos Praticar
Sabemos que algumas integrais de funções racionais próprias precisam ser decompostas em frações
parciais para serem resolvidas. Observe a integral a seguir:
∫
x4 − 2x2 + 4x + 1
x3 − x2 − x + 1
 dx
Agora, assinale a alternativa correta.
a) A função f(x) =
x4 − 2x2 + 4x+ 1
x3 − x2 − x+ 1
 é uma função racional própria.
b) A função f(x) =
x4 − 2x2 + 4x+ 1
x3 − x2 − x+ 1
 é uma função racional imprópria e 
x4 − 2x2 + 4x+ 1
x3 − x2 − x+ 1
=
1
x− 1 +
2
( x− 1 ) 2 −
1
x+ 1 . 
c) Temos que ∫
x4 − 2x2 + 4x+ 1
x3 − x2 − x+ 1
 dx =
x2
2 + x + ln |x − 1| −
2
x− 1 − ln |x + 1| + C.
d) Temos que ∫
x4 − 2x2 + 4x+ 1
x3 − x2 − x+ 1
 dx =
x2
2 + ln |x − 1| −
2
x− 1 + C.
e) Temos que ∫
x4 − 2x2 + 4x+ 1
x3 − x2 − x+ 1
 dx =
x2
2 + x −
2
x− 1 + C.
( ) ( ) ( )
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indicações
Material
Complementar
FILME
Uma mente brilhante
Ano: 2001
Comentário: o �lme conta a história de um matemático que, mesmo
doente, com esquizofrenia, venceu o Nobel de Economia, por sua Teoria
dos Jogos.
TRA ILER
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LIVRO
Cálculo
James Stewart
Editora: Cengage Learning
ISBN: 8522112584
Comentário: este livro aborda toda a teoria do cálculo diferencial e
integral que relembramos nesta unidade. Você poderá conferir muitos
exemplos resolvidos, o que contribuirá com seus estudos.
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conclusão
Conclusão
Nesta unidade, pudemos revisar as de�nições e propriedades do cálculo diferencial e do cálculo
integral, que já havíamos aprendido em outro momento do curso. Também aprendemos um novo
método de integração, a integração por frações parciais. Por meio do Teorema Fundamental do
Cálculo, relembramos que o cálculo diferencial e integral estão interligados, pois um desfaz o que o
outro faz. Como perceberam, não foi possível explorar toda a teoria presente na disciplina do cálculo
diferencial e integral, pois esta é vasta.
Esperamos que tenham recordado o conteúdo e praticado os tópicos por meio dos exemplos e
exercícios, tornando essa revisão produtiva ao seu conhecimento e formação. Sugerimos que
pesquise sobre outras aplicações do cálculo diferencial e integral, que não comentamos na unidade,
pois isso motivará os seus estudos. Agradecemos toda a dedicação e até uma próxima
oportunidade!
referências
Referências
Bibliográ�cas
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de Cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2001.
LEITHOULD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra Ltda., 1994.
STEWART, J. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2006.
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