Exercícios - Produto de Vetores

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Faculdade Metropolitana de Guaramirim – FAMEG
Cursos: Engenharias
Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear
Professora: Endi Pricila Alves
Lista de Exercícios Produto de Vetores
Sejam os vetores e . Calcular
	a)
	
	b)
	
	c)
	
Dados os vetores e e os pontos e , determinar o valor de tal que .
Dados os vetores e , calcular:
	a)
	
	b)
	
	c)
	
	d)
	
Dados os pontos , e e os vetores e , obter o vetor tal que
	a)
	
	b)
	
Determinar o vetor , ortogonal ao eixo , e , sendo e .
Sendo , e , calcular .
Sabendo que , e , calcular:
	a)
	
	b)
	
Sendo , e o ângulo entre e , calcule .
Mostrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais:
	a)
	 e 
	b)
	 e 
Provar que o triângulo de vértices , e é um triângulo retângulo.
Determinar um vetor ortogonal aos vetores e .
Calcular o ângulo entre os vetores e .
Sabendo que o vetor forma ângulo de com o vetor determinado pelos pontos e , calcular .
Determinar os ângulos internos ao triângulo , sendo , e .
Sabendo que o ângulo entre os vetores e é , determinar m.
Determinar o vetor , paralelo ao vetor , tal que .
Determinar o vetor projeção de sobre .
Dados os vetores e , decompor como sendo e .
Sejam os pontos , e .
Para que valor de o triângulo é retângulo em ?
Determinar o ponto , pé da altura relativa ao vértice .
Determinar o vetor projeção do vetor na direção de .
Qual o comprimento do vetor projeção de sobre o eixo dos x?
Calcular para e .
Se , e , determinar
	a)
	
	b)
	 
	c)
	
	d)
	
Determinar o vetor , tal que seja ortogonal ao eixo dos e , sendo e .
Sejam os vetores e , determinar um vetor que seja ortogonal a e .
Calcular a área de um triângulo eqüilátero de lado .
Dados os vetores e , calcular
a área do paralelogramo determinado por e ;
a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor .
Dados os vetores e , calcular o valor de para que a área do paralelogramo determinado por e seja igual a .
Dados os pontos , e , determinar
a área do triângulo ;
a altura do triângulo relativa ao vértice .
Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores e , sendo e .
Determinar , sabendo que , e é unitário.
Sabendo que , e o ângulo entre e , calcular
a área do triângulo determinado por e ;
a área do paralelogramo determinado por e ;
a área do paralelogramo determinado por e .
Determinar a distância do ponto à reta que passa por e .
Determinar o valor de para que o vetor seja simultaneamente ortogonal aos vetores e .
Calcular o produto misto dos vetores , e .
Verificar se são coplanares os vetores , e .
Verificar se são coplanares os vetores , e .
Qual deve ser o valor de para que os vetores , e sejam coplanares?
Verificar se os pontos , , e estão no mesmo plano.
Sejam os vetores , e . Calcular o valor de para que o volume do paralelepípedo determinado por , e seja u.v.
Calcular o valor de para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores , e seja igual a . Calcular a altura deste paralelepípedo relativa à base definida por e .
Qual é o volume do cubo determinado pelos vetores , e ?
Sejam , , e vértices de um tetraedro. Calcular
o volume deste tetraedro;
a altura do tetraedro relativa ao vértice D.
Respostas!
	1.
	a)
	
	b)
	
	c)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	2.
	
	
	
	3.
	a)
	
	b)
	
	c)
	
	d)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	4.
	a)
	
	b)
	 
	
	
	
	
	
	5.
	
	
	
	6.
	
	
	
	7.
	a)
	
	b)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	8.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	9.
	a)
	
	b)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	10.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	11.
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	12.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	13.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	14.
	, e 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	15.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	16.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	17.
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	18.
	 e 
	
	
	19.
	a)
	 
	b)
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	20.
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	21.
	 
	
	
	22.
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	23.
	a)
	 
	b)
	 
	c)
	 
	d)
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	24.
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	25. 
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	26.
	 u.a.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	27.
	a)
	 u.a.
	b)
	 u.c
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	28.
	 e 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	29.
	a)
	 u.a.
	b)
	 u.c.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	30.
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	31.
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	32.
	a)
	 
	b)
	 
	c)
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	33.
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	34.
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	35.
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	36.
	Não 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	37.
	Não 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	38.
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	39.
	Sim
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	40.
	 e 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	41.
	 e 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	42.
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	43.
	a)
	 u.v.
	b)
	 u.c