2 Estrutura de Solidos Cristalinos

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ESTRUTURA DE SÓLIDOS 
CRISTALINOS 
 
Janaina Queiroga 
 
janaina.queiroga@ifsudestemg.edu.br 
 
 
1 
ENGENHARIA METALÚRGICA 
 
 
 
 Os vários tipos de ligação atômica são determinados pela 
estrutura eletrônica dos átomos individuais. 
 
 Este capitulo se dedica ao um nível superior da estrutura 
dos materiais: os arranjos que podem ser assumidos 
pelos átomos no estado sólido. 
 
 Conceitos: 
 Materiais cristalinos (monocristalinos, policristalinos), 
 Materiais amorfos (não-cristalinos), 
 Célula unitária, Redes de Bravais, 
 Direções e planos cristalográficos 
2 
INTRODUÇÃO 
 Como os átomos se arranjam na estrutura de um sólido ? 
(foco em materiais metálicos) 
 
 Como calcular o fator de empacotamento dos átomos ? 
 
 Como a densidade de um material depende de sua 
estrutura ? 
 
 Como as propriedades de um material variam com a 
orientação cristalográfica da amostra ? 
3 
QUESTÕES PARA TRATAR… 
4 
ENERGIA E EMPACOTAMENTO 
• Baixa densidade, empacotamento aleatório: 
• Denso, empacotamento ordenado: 
Estruturas densas com empacotamento ordenado 
tendem a ter baixas energias. 
Energy 
r 
typical neighbor 
 bond length 
typical neighbor 
 bond energy 
Energy 
r 
typical neighbor 
 bond length 
typical neighbor 
 bond energy 
5 
MATERIAIS E EMPACOTAMENTO 
• arranjo de longo alcance dos átomos, 
estrutura 3D 
Materiais cristalinos: 
- metais 
- muitas cerâmicas 
- alguns polímeros 
• ordem atômica de longo alcance ausente 
Materiais não-cristalinos: 
- estruturas complexas 
- resfriamento rápido 
SiO2 cristalino 
SiO2 não-cristalino "Amorfo" = Não-cristalino 
Si O 
• típico em: 
• ocorre em: 
 A estrutura de um solido cristalino é constituída de 
pequenas entidades repetitivas de volume. 
 A célula unitária é uma pequena entidade repetida 
descrevendo a estrutura cristalina do solido. 
 → Padrão repetitivo de um grupo de átomos 
 
6 
CÉLULA UNITÁRIA 
→ Modelo da esfera rígida atômica 
Rede (reticulo): Célula unitária: 
7 
SISTEMAS CRISTALINOS 
Geometria da célula unitária: 
→ 6 parâmetros de rede: 
- a, b, e c (comprimentos das arestas) 
- α, β e γ (ângulos entre os eixos). 
→ 7 Sistemas cristalinos 
→ 14 Redes cristalinas 
 (Redes de Bravais) 
 Organizações dos átomos definidas pelos parâmetros de 
rede da célula unitária da rede cristalina. 
 7 sistemas cristalinos: 
 cúbico 
 hexagonal 
 tetragonal 
 romboédrico (trigonal) 
 ortorrômbico 
 monoclínico 
 triclínico 
 
 Redes de Bravais: 
 Através dos 7 sistemas 
 cristalinos temos no total 
 14 arranjos distintos. 
8 
REDES DE BRAVAIS 
 Como podemos empilhar átomos para minimizar o 
espaço vazio? 
 
 2-dimensões 
 
9 
EMPILHAMENTO DE ÁTOMOS 
vs. 
→ Empilhamento de camadas 2D gera estruturas 3D 
 Tendem a ter um empacotamento denso. 
 
 Razões para o empacotamento denso: 
 Tipicamente, somente um elemento está presente, assim 
todos os raios atômicos são os mesmos. 
 A ligação metálica é não-direcional. 
 Pequenas distâncias entre os vizinhos mais próximos 
tendem a ter uma baixa energia de ligação. 
 A nuvem de elétrons protegem os núcleos iônicos 
carregados positivamente uns dos outros. 
 
 Tem geralmente uma estrutura cristalina simples: 
→ Vamos examinar essas três estruturas 
 
10 
ESTRUTURAS CRISTALINAS DE METAIS 
 Raras devido a baixa densidade de empacotamento (única 
exceção é a estrutura do Po) 
 Direções de maior empacotamento são as arestas do cubo 
 
11 
ESTRUTURA CÚBICA SIMPLES (CS) 
• nº coordenação = 6 
 (vizinhos mais próximos) 
• Parâmetro de rede: 
a = 2r 
12 
FATOR DE EMPACOTAMENTO ATÔMICO (FEA) 
• FEA para uma estrutura CS = 0,52 
Volume de átomos em uma cél.unit. 
FEA = 
Volume total da célula unitária 
*assume modelo de esferas rígidas 
• contém 8 x 1/8 = 1 átomo/célula unitária 
 1 átomo na estrutura CS 
FEA = 
a 3 
4 
3 
p r 3 1 
nº átomos 
cél.unit. 
átomo 
(esfera) 
volume 
cél.unit. 
(cubo) 
volume 
= 0,52 
(a=2r) 
13 
ESTRUTURA CÚBICA DE CORPO CENTRADO (CCC) 
2 átomos/cél.unit.: 1 centro + 8 vértices x 1/8 
 2 átomos na estrutura CCC 
Célula unitária com 
esferas reduzidas 
Célula unitária com 
esferas rígidas Agregado de átomos 
 Átomos localizados em todos os 8 vértices e um único 
átomo localizado no centro do cubo. 
 ex: Cr, W, Fe(), Ta, Mo 
 
Nota:Todos os átomos são idênticos; o átomo central tem forma diferente apenas 
para facilitar a visualização. 
 
14 
FATOR DE EMPACOTAMENTO ATÔMICO (CCC) 
comprimento = 4R = 
Direção de maior empacotamento: 
3 a 
• FEA para uma estrutura cúbica de corpo centrado = 0,68 
a 
R 
a 
a 2 
a 3 
FEA = 
4 
3 
p r 
3 
2 
átomos 
cél.unit. átomo 
volume 
a 3 
unit cell 
volume 
a=4r/ 3 
 Átomos localizados em cada um dos vértices e nos centros 
de todas as faces do cubo. 
 ex: Al, Cu, Au, Pb, Ni, Pt, Ag 
 
15 
ESTRUTURA CÚBICA DE FACE CENTRADA (CFC) 
• Coordenação = 12 
4 átomos/cél.unit.: 6 faces x 1/2 + 8 vértices x 1/8 
 4 átomos na estrutura CFC 
16 
FATOR DE EMPACOTAMENTO ATÔMICO (CFC) 
• FEA de uma estrutura cúbica de face centrada = 0,74 
FEA máximo alcançado 
Direção de maior empacotamento: 
comprimento = 4R = 2 a 
Contém em uma célula unitária: 
 6 x 1/2 + 8 x 1/8 
 = 4 átomos/cél.unit. (estrutura CFC) a 
2 a 
FEA = 
4 
3 
p r 3 4 
átomos 
cél.unit. átomo 
volume 
a 3 
cél.unit. 
volume 
a=2r 2 
17 
SEQUÊNCIA DE EMPILHAMENTO CFC 
• Sequência de empilhamento ABCABC... 
 → Projeção 2D: 
• Célula unitária CFC 
A sítios 
B B 
B 
B B 
B B 
C sítios 
C C 
C 
A 
B 
B sítios B B 
B 
B B 
B B 
B 
C C 
C 
A 
C C 
C 
A 
A 
B 
C 
 Sequência de empilhamento ABAB... (ex: Cd, Mg, Ti, Zn) 
 → Projeção 3D: → Projeção 2D: 
 
 
 
 
 
 
18 
ESTRUTURA HEXAGONAL COMPACTA (HC) 
c 
a 
sítios A 
 sítios B 
sítios A Camada inferior 
Camada mediana 
 Camada superior 
Nota: Nem todos os metais possuem células unitárias com simetria cúbica. 
• Coordenação = 12 
• FEA = 0,74 
1/6 x 12 + ½ x 2 + 3 = 6 átomos/cél.unit. 
• c/a = 1,633 
FEA = 
4 
3 
p r 3 6 
24r3 2 
19 
EXEMPLOS DE ESTRUTURAS METÁLICAS 
20 
CÁLCULO DE DENSIDADE TEÓRICA (ρ) 
n = número de átomos/célula unitária 
A = peso atômico 
VC = Volume de célula unitária = a
3 para cubo 
NA = Número de Avogadro = 6,023 x 10
23 átomos/mol 
Densidade =  = 
VC NA 
n A 
 Volume total da célula unitária 
 Massa de átomos por cél. unit. 
= 
21 
EXEMPLO DE CÁLCULO DE DENSIDADE TEÓRICA (ρ) 
 
 Cr (CCC): 
 A = 52,00 g/mol 
 R = 0.125 nm 
 n = 2 
teórica
 
a = 4R/ 3 = 0.2887 nm 
(1cm=107nm) 
real 
a 
R 
 = 
a 3 
52,00 2 
átomos 
cél.unit. 
mol 
g 
cél.unit. 
volume átomos 
mol 
6,023 x 1023 
= 7,18 g/cm3 
= 7,19 g/cm3 
22 
DENSIDADE DAS CLASSES DE MATERIAIS 
 metais >  cerâmicas >  polímeros 
Porque? 
 Metais tem... 
 • empacotamento fechado 
 (ligação metálica) 
 • grandes massas atômicas 
 Cerâmicas tem... 
 • empac. menos denso 
 • elementos mais leves 
 Polímeros tem... 
 • baixa densidade de empac.(normalmente amorfo) 
 • elementos leves(C,H,O) 
 Compósitos tem... 
 • valores intermediários 
Em geral 

 (g
/c
m
 
) 3 
Graphite/ 
Ceramics/ 
Semicond 
Metals/ 
Alloys 
Composites/ 
fibers 
Polymers 
1 
2 
2 0 
30 
 
 
 
 
 10 
3 
4 
5 
0.3 
0.4 
0.5 
Magnesium 
Aluminum 
Steels 
Titanium 
Cu,Ni 
Tin, Zinc 
Silver, Mo 
Tantalum 
Gold, W 
Platinum 
G raphite 
Silicon 
Glass - soda 
Concrete 
Si nitride 
Diamond 
Al oxide 
Zirconia 
H DPE, PS 
PP, LDPE 
PC 
PTFE 
PET 
PVC 
Silicone 
Wood 
AFRE * 
CFRE * 
GFRE* 
Glass fibers 
Carbon fibers 
A ramid fibers 
 A maioria dos materiais são policristalinos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cada "grão" é um monocristal. 
 Se os grãos estão orientados aleatoriamente, as 
propriedades do material não são direcionais. 
 Tamanho de grão na faixa de 1 nm a 2 cm 
 
23 
POLICRISTAIS 
1 mm 
Isotrópico 
Anisotrópico 
Placa de Nb-Hf-W com uma solda de feixe eletrônico 
 Umas aplicações precisam de materiais monocristalinos: 
 
 
 
 
 
 
 As propriedades dos materiais cristalinos dependem 
geralmente da sua estrutura cristalina: 
 
 Ex: O Quartzo fratura mais facilmente seguindo 
 certos planos cristalinos. 
 
24 
MONOCRISTAIS E FRATURAS 
• Pás de turbina: •Diamante monocristalino 
para materiais abrasivos: 
 Monocristais: 
 
 
 
 
 
 Policristais: 
25 
MONOCRISTAIS VS. POLICRISTAIS 
- As propriedades variam de 
acordo com as direções: 
 → anisotropia 
- Exemplo: o módulo de 
 elasticidade (E) no ferro CCC 
E (diagonal) = 273 GPa 
E (edge) = 125 GPa 
-As propriedades podem ou não variar com 
as direções. 
-Se os grãos são aleatoriamente orientados 
 → isotropia 
 (E ferro poli. = 210 GPa) 
- Se os grãos são texturados → anisotropia 
200 mm 
 Alguns metais pode ter duas ou mais estruturas cristalinas. 
 → Em sólidos elementares é conhecida por alotropia. 
26 
POLIMORFISMO 
CCC 
CFC 
CCC 
1538ºC 
1394ºC 
 912ºC 
-Fe 
-Fe 
-Fe 
líquido 
Sistema do ferro 
Titanio: -Ti, -Ti 
 
Carbono: diamante, grafita 
27 
PONTO DE COORDENADAS 
 Os pontos de coordenadas para o 
centro da célula unitária são: 
 
a/2, b/2, c/2 ½ ½ ½ 
 
 Os pontos de coordenadas no vértice 
da célula unitária são 111 
 
 
z 
x 
y 
a b 
c 
000 
111 
Exercício: Especifique os pontos 
das coordenadas para todos os 
átomos de uma estrutura CCC. 
28 
Exercício: Especifique os pontos das coordenadas para todos os 
átomos de uma estrutura CCC. 
29 
DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 
1. Vetor reposicionado (se necessário) para passar 
através da origem. 
2. Leia as projeções em termos das dimensões da 
célula unitária a, b, e c. 
3. Ajuste os valores nos menores números inteiros. 
4. Coloque entre colchetes, sem vírgula [uvw]. 
z 
x 
y 
Ex: 1, 0, ½ => 2, 0, 1 => [ 201 ] 
-1, 1, 1 quando o vetor representa um nº negativo [ 111 ] => 
Famílias de direções (direções equivalentes) [uvw]: 
Direções em cristais cúbicos que possuam os mesmos índices, independendo 
da ordem ou do sinal, como [123] e [213], são equivalentes. 
São equivalentes: [100], [100], [010], [010], [001] e [001]. 
Método: 
30 
DENSIDADE ATÔMICA LINEAR 
a 
[110] 
 átomos 
comprimento 
3,5 at./nm 
a 2 
2 
DAL = = 
 
 Densidade atômica linear  DAL = 
 
 
 
Unidade de comp. da 
direção do vetor 
Número de átomos 
Ex: Densidade linear do metal Al na 
direção [110] 
 → a = 0,405 nm 
31 
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS 
 Planos cristalográficos equivalentes tem mesmos índices de Miller 
 
32 
ÍNDICES DE MILLER (HKL) 
 Índices de Miller: Recíprocos dos valores dos três 
eixos interceptos por um plano, limpados da frações e 
dos múltiplos. 
→ Todos planos paralelos tem os mesmos índices de 
Miller. 
 
 Método: 
1. Anotar os valores dos eixos a, b e c interceptos pelo plano 
2. Pegar o recíproco dos interceptos 
3. Reduzir para os menores valores inteiros 
4. Escrever em parênteses os índices de Miller (hkl) 
 
 Os planos (hkl) podem ser analisados por Difração de 
Raios X (DRX) a fim de identificar a rede cristalina do 
material. 
 
 
33 
ÍNDICES DE MILLER: EXEMPLOS 
a b c 
z 
x 
y 
a b 
c 
4. Índices de Miller (100) 
1. Interceptos 1/2   
2. Recíprocos 1/½ 1/ 1/ 
2 0 0 
3. Redução 1 0 0 
z 
x 
y 
a b 
c 
4. Índices de Miller (110) 
1. Interceptos 1 1  
2. Recíprocos 1/1 1/1 1/ 
1 1 0 
3. Redução 1 1 0 
a b c 
34 
ÍNDICES DE MILLER: EXEMPLOS 
z 
x 
y 
a b 
c 



4. Índices de Miller (634) 
1. Interceptos 1/2 1 3/4 
a b c 
2. Recíprocos 1/½ 1/1 1/¾ 
2 1 4/3 
3. Redução 6 3 4 
(001) (010), 
Família de Planos {hkl}: 
(100), (010), (001), Ex: {100} = (100), 
 Qual é a densidade atômica planar do ferro (100) ? 
 → A T < 912C o ferro tem uma estrutura CCC 
35 
DENSIDADE ATÔMICA PLANAR 
Raio do ferro R = 0,1241 nm 
(100) R 
3 
3 4 
a = 
2D unidade repetitiva 
 Densidade Planar = 
a 2 
1 
átomos 
2D repeat unit 
= 
m2 
átomos 
= 1,2 x 1019 
1 
2 
R 
3 
3 4 área 
2D repeat unit 
 Qual é a densidade atômica planar do ferro (111) ? 
 
36 
DENSIDADE PLANAR: EXERCÍCIO 
3 3 
3 
2 
2 
R 
3 
16 
R 
3 
4 
 
2 
a 3 ah 2 area =  
 
 
 
 
 
 
 
= = = 
atoms in plane 
atoms above plane 
atoms below plane 
a h 
2 
3 
= 
a 2 
1 
= = 
nm2 
atoms 
7,0 
m2 
atoms 
0,70 x 1019 
3 
2 R 
3 
16 
Planar Density = 
atoms 
2D repeat unit 
area 
2D repeat unit 
 Os átomos podem organizar-se em estruturas amorfas 
ou cristalinas (Redes de Bravais). Uns materiais 
podem ter mais que uma estrutura cristalina 
(polimorfismo ou alotropia). 
 → Metais: CCC, CFC, HC 
 
 Podemos prever a densidade a partir do peso atômico, 
do raio atômico e da geometria cristalina. 
 
 Pontos, direções e planos cristalográficos são 
especificados por esquema de indexação. 
 
 Os materiais podem ser monocristalinos ou 
policristalinos, influenciando suas propriedades 
mecânicas. Monocristais são anisotrópicos, enquanto 
os policristais são geralmente isotrópicos. 
 
 
37 
CONCLUSÃO