Cálculo do Volume em um cilindro deitado (2)

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Cálculo do Volume em um cilindro deitado 
Vamos apresentar aqui a solução de um problema comum nas áreas operacionais da exploração de petróleo no município de São Mateus. Em áreas isoladas, onde não existe rede de energia, os poços são colocados em operação através de motor à combustão, cuja combustível é o diesel. O diesel é armazenado em tanque cilíndrico horizontal e o técnico responsável pelo poço verifica periodicamente a variação da altura h, para evitar a parada do poço por falta de combustível. 
O problema visa calcular o volume do líquido contido no cilindro horizontal com comprimento igual a L e altura do líquido h. 
Nossa solução visa atender objetivos didáticos relacionados com o Cálculo Diferencial e Integral. Este problema será reduzido ao cálculo da área da região sombreada no círculo, uma vez que para este cilindro a área da seção transversal é sempre a mesma.
Para o cálculo da área, usaremos o conceito de Integral de uma função real.
Primeiramente iremos construir a circunferência de raio r com centro no ponto (0,r) e identificaremos esta região sombreada como a região localizada dentro do círculo, acima da reta y=0 e abaixo da reta y=h, onde h é a altura do líquido. A equação da circunferência será dada por:
A área da região sombreada será obtida pela integral definida:
onde a função que está sob o sinal de integração, definida por
tem por domínio o intervalo [0,2r]. A área será obtida pela integral:
Calcularemos a integral indefinida, sem usar a constante de integração, pois no trabalho com a integral definida esta constante é dispensável.
Com a substituição y=r+rsen(u), obtemos uma forma mais fácil para a integral. Tal substituição provém do triângulo retângulo tendo a hipotenusa com medida igual a r e o cateto oposto ao argumento u, com medida igual a y-r.
Dessa forma, fica fácil obter o cosseno do argumento u com a relação fundamental da Trigonometria:
cos2(u) + sen2(u) = 1
e com esta relação, obtemos:
Como y=r+r.sen(u) e dy=r.cos(u).du, poderemos substituir estas informações na integral indefinida abaixo, para obter:
ou seja
e voltando às variáveis originais, temos:
Temos então a "fórmula" que fornece a área em função da altura h e do raio r do cilindro, obtida em função desta última integral.
O volume de líquido é obtido pela multiplicação de A(h) por L, isto é:
Volume = A(h) × L
Este problema envolve uma situação prática que para a sua resolução necessita de uma série de assuntos da Matemática, alguns dos quais não ensinados nos dois primeiros níveis iniciais de Ensino, o que valoriza o curso superior e em especial o Cálculo Diferencial e Integral em contextos da vida, mostrando para muitas pessoas porque a Matemática deve também ser estimulada em função de sua utilidade.
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	Cálculos On-line em um cilindro deitado
	Entre com a altura h do líquido, o raio r e o comprimento L nas caixas próprias para obter a área sombreada e o volume. Clique no botão Calcular. A área estará em cm² e o volume em dm³. 1 dm³ de água corresponde à capacidade aproximada de 1 litro.
	  
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