aula 3

Prévia do material em texto

Gláucia Amorim Faria
Departamento de Matemática - Universidade Estadual Paulista – UNESP
Campus de Ilha Solteira
glaucia@mat.feis.unesp.br
Disciplina: Estatística Aplicada
PARTE III
Probabilidade
Noções de Probabilidade
Distribuições de Probabilidade
A probabilidade expressa por meio de valores numéricos as
possibilidades de ocorrência dos resultados de um fenômeno
Definições:
Um experimento corresponde a um processo que, ao ser
realizado, resulta em uma e somente uma dentre muitas
observações.
Experimento
Resultados
Essas observações são conhecidas como resultados do
experimento.
Espaço Amostral (Ω) 
É o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento
(eventos simples)
Eventos Simples (w) 
São pontos do espaço amostral
Evento composto 
Corresponde a uma coleção de um ou mais dos resultados de 
um experimento
Evento aleatório (w) 
São conjuntos de eventos simples
Experimento Resultados Espaço Amostral
Lançar uma moeda uma 
única vez
Cara, Coroa S = (Cara, Coroa)
Jogar um dado uma 
única vez
1, 2, 3, 4, 5, 6 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6)
Lançar uma moeda duas 
vezes
CACA, CACO, COCA, 
COCO
S = {CACA, CACO, 
COCA, COCO}
Jogar na loteria Ganhar, Perder S = {Ganhar, Perder)
Fazer um teste Passar, Não Passar S = {Passar, Não 
Passar}
Selecionar um aluno Homem, Mulher S = {Homem, Mulher}
Tabela 1 - Exemplos de Experimentos, Resultados e Espaços
Amostrais.
Teoria de Probabilidade
Probabilidade (p):
0 1p 
0 0,5 1
Evento certamente 
não ocorrerá
Evento certamente 
ocorrerá
Máxima incerteza
)(
)(
)(
n
An
Ap 
Exemplo 1:
Experimento: identificação e contagem do número anual de 
dias Y com alturas diárias de chuva iguais ou superiores a 0,1 
mm, observados em uma certa estação pluviométrica.
O espaço amostral seria dado pelo conjunto finito:
S=SD {0,1,2, ... , 366}
Exemplo 2:
Experimento: monitoramento das vazões X, em uma certa
estação fluviométrica.
O espaço amostral seria dado pelo conjunto infinito:
S≡SC {x ϵ R+}
Diagramas de Venn e 
operações com eventos em 
um espaço amostral
Regras para cálculo das Probabilidades
 Eventos mutuamente exclusivos:
)()()()( BAPBPAPBAP 
BA
 Eventos não mutuamente exclusivos:
)()()( BPAPBAP 
BA
 Eventos complementares:
)(1)( APAP 
 Probabilidade Condicional:
)(
)(
)/(
BP
BAP
BAP


Figura – Diagrama de Venn com ilustração do conceito de 
probabilidade condicional
Regras para cálculo das Probabilidades
 Regra do Produto
)(
)(
)/(
BP
BAP
BAP

 )(
)(
)/(
AP
ABP
ABP


)/().()( BAPBPBAP 
)/().()( ABPAPABP 
 Eventos independentes:
)().()( BPAPBAP 
Exemplo 3: No lançamento de um dado,
sendo o espaço amostral Ω={1,2,3,4,5,6},
consideramos o evento A={1,2,5,6} e o
B={2,4,6}. Qual é a probabilidade de sair um
elemento do A ou do B ?
Os eventos não são mutuamente exclusivos, pois a intersecção de
A e B não é um conjunto vazio: A⋂B={2,6}.
P(A⋃B)=P(A)+P(B)−P(A⋂B)=
4
6
+
3
6
−
2
6
=
5
6
Exemplo 4: Num grupo de 300 turistas
cadastradas por uma agência de viagens, 100
viajam para Fortaleza e 80 para Manaus (os
turistas restantes viajam para outras cidades).
Esses dados incluem 30 turistas que viajam para
as duas cidades simultaneamente.
Qual a probabilidade de uma turistas
aleatoriamente escolhido estar de viagem:
a) para Fortaleza (F);
b) para Manaus (M);
c) para Fortaleza (F) e para Manaus (M);
d) para Fortaleza (F) ou para Manaus (M).
Soluções:
a) Fortaleza (F):
P(F)=
100
300
=
1
3
= 0,3333…
b) Manaus(M):
P(M)=
80
300
= 0,2666…
N: 300 turistas, 100 Fortaleza, 80 para Manaus, 30 viajam para as
duas cidades simultaneamente.
Soluções:
c)Fortaleza (F) e Manaus(M):
P(F⋂M)=
30
300
= 0,1
d) Fortaleza (F) ou Manaus(M):
P(F⋃M)=P(F)+P(M)−P(F⋂M)
P(F⋃M)=
100
300
+
80
300
−
30
300
=
1
2
= 0,5
N: 300 turistas, 100 Fortaleza, 80 para Manaus, 30 viajam para as
duas cidades simultaneamente.
Exemplo 5: Na Tabela abaixo, temos dados 
referentes a alunos matriculados em quatro 
cursos de uma universidade em dado ano.
Curso
Sexo
Homens (H) Mulheres (M) Total
Agronomia (A) 70 40 110
Biologia (B) 15 15 30
Engenharia (E) 10 20 30
Zootecnia (Z) 20 10 30
Total 115 85 200
a) Qual o probabilidade de ser Homem;
b) Probabilidade de ser Homem e fazer 
parte do curso Biologia;
c) Probabilidade de ser Homem ou fazer 
parte do curso Biologia;
d) Probabilidade de fazer parte do curso 
Biologia ou Engenharia;
e) Dado que o aluno selecionado da 
Engenharia, qual a probabilidade de ser 
Mulher ?
Curso
Sexo
Homens (H) Mulheres (M) Total
Agronomia (A) 70 40 110
Biologia (B) 15 15 30
Engenharia (E) 10 20 30
Zootecnia (Z) 20 10 30
Total 115 85 200
a) Qual o probabilidade de ser Homem;
b) Probabilidade de ser Homem e fazer parte do 
curso Biologia;
c) Probabilidade de ser Homem ou fazer parte do 
curso Biologia;
Curso
Sexo
Homens (H) Mulheres (M) Total
Agronomia (A) 70 40 110
Biologia (B) 15 15 30
Engenharia (E) 10 20 30
Zootecnia (Z) 20 10 30
Total 115 85 200
d) Probabilidade de fazer parte do curso Biologia 
ou Engenharia;
e) Dado que o aluno selecionado da Engenharia, 
qual a probabilidade de ser Mulher ?
a) Qual o probabilidade de ser Homem;
P(H)=
115
200
= 0,575
b) Probabilidade de ser Homem e fazer 
parte do curso Biologia;
P(H⋂B)=
15
200
= 0,075
c) Probabilidade de ser Homem ou fazer 
parte do curso Biologia;
P(H⋃B)=𝑃 𝐻 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐻⋂𝐵
P(H⋃B)=
115
200
+
30
200
−
15
200
=
130
200
= 0,65
P(𝑀|E)=
20
30
= 0,666…
d) Probabilidade de fazer parte do curso
Biologia ou Engenharia;
P(𝐵⋃E)=𝑃 𝐵 + 𝑃 𝐸
P(𝐵⋃E)=
30
200
+
30
200
=
60
200
= 0,30
e) Dado que o aluno selecionado da
Engenharia, qual a probabilidade de ser
Mulher ?
Exemplo 6: Suponha que uma cidade, localizada a
jusante da confluência de dois rios R1 e R2, sofre
inundações devidas à ocorrência de enchentes em R1
(evento A), ou em R2 (evento B) ou em ambos. Sendo
P(A)=3*P(B), a probabilidade de ocorrer enchente no
R1, sabendo que já teve enchente no R2 é de 0,6, ou
seja, P(A|B)=0,6 e a probabilidade da cidade sofrer
inundações é de 0,01, isto é, P(C)=0,01. Calcule:
a) a probabilidade de ocorrência de enchentes no rio
R2.
b) a probabilidade de ocorrência de enchentes apenas
no rio R1, dado que a cidade sofreu inundações.
Esboço do exemplo
a) a probabilidade de ocorrência de enchentes no rio R2.
Sabemos que 
P(A)=3P(B),
P(A⋂B)=P(B)P(A|B) e
P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B), então,
P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B)⇒P(A⋃B) = 3P(B)+P(B)- P(B)P(A|B).
Como P(A|B)=0,6 e P(A⋃B)=0,01, então,
0,01= 3P(B)+P(B)- 0,6P(B) ⇒ P(B)(3+1-0,6)=0,01 ⇒
P(B)= 
0,01
3,4
= 0,003
Como P(A)=3P(B)=3*0,003=0,009
b) a probabilidade de ocorrência de enchentes apenas no rio R1, dado que
a cidade sofreu inundações.
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵𝐶 𝐴 ∪ 𝐵 =
𝑃[ 𝐴 ∩ 𝐵𝐶 ∩ 𝐴 ∪ 𝐵 ]
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)
=
𝑃[ 𝐴 ∩ 𝐵𝐶 ]
0,01
=
𝑃 𝐴 [1 − 𝑃 𝐵 𝐴 ]
0,01
Nessa equação, apenas a quantidade P(B|A) é desconhecida, mas pode
ser deduzida das probabilidades dadas por meio das relações.
𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃 𝐵 𝑃 𝐴 𝐵 . 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑃 𝐴 = 3𝑃(𝐵), 𝑒𝑛𝑡ã𝑜
3𝑃 𝐵 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃 𝐵 𝑃 𝐴 𝐵 ⇒ 𝑃 𝐵 𝐴 =
𝑃 𝐴 𝐵
3
= 0,2
Com esse valor na equação anterior, tem-se que P(A)=0,009, P(B|A)=0,2.
Logo,
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵𝐶 𝐴 ∪ 𝐵 =
𝑃 𝐴 [1 − 𝑃 𝐵 𝐴 ]
0,01
= 0,72
Regras para cálculo das Probabilidades Probabilidade Total:
)/().(...)/().()( 11 nn BAPBPBAPBPBP 
 nBBB ...21
Figura – Diagrama de Venn para o Teorema da 
Probabilidade Total.
Exemplo 7: O sistema de abastecimento de água de uma cidade é
composto por dois reservatórios distintos e complementares: o de
número1 com volume de 150.000 l, cuja probabilidade de
funcionamento é 0,7, e o de número 2, com 187.500 l, cuja
probabilidade de ser usado é 0,3. A demanda diária de água para
abastecimento da cidade é uma variável aleatória cujas
probabilidades de igualar ou superar 150.000 l e 187.500 l são
respectivamente 0,3 e 0,1. Sabendo-se que quando um
reservatório é ativado, o outro encontra-se desativado, pergunta-
se:
(a) qual é a probabilidade de não atendimento da demanda em um
dia qualquer?
(b) supondo que as condições sejam tais que permitam a
consideração de independência estatística dos eventos entre dois
dias consecutivos, qual é a probabilidade de não atendimento da
demanda em uma semana qualquer?
O sistema de abastecimento de água de uma cidade é composto por dois
reservatórios distintos e complementares: o de número1 com volume de
150.000 l, cuja probabilidade de funcionamento é 0,7, e o de número 2, com
187.500 l, cuja probabilidade de ser usado é 0,3. A demanda diária de água para
abastecimento da cidade é uma variável aleatória cujas probabilidades de
igualar ou superar 150.000 l e 187.500 l são respectivamente 0,3 e 0,1.
Sabendo-se que quando um reservatório é ativado, o outro encontra-se
desativado, pergunta-se:
Evento A: não atendimento da demanda em um dia qualquer , 
Evento B: funcionamento dos reservatório 1 (0,7),
Evento Bc: funcionamento dos reservatório 2 (0,3). 
com k = 2,
 )/().()/().()( CC BAPBPBAPBPAP
a) qual é a probabilidade de não atendimento da demanda em um dia qualquer? 
24,03,0*1,07,0*3,0)( AP
O sistema de abastecimento de água de uma cidade é composto por dois reservatórios
distintos e complementares: o de número1 com volume de 150.000 l, cuja probabilidade
de funcionamento é 0,7, e o de número 2, com 187.500 l, cuja probabilidade de ser
usado é 0,3. A demanda diária de água para abastecimento da cidade é uma variável
aleatória cujas probabilidades de igualar ou superar 150.000 l e 187.500 l são
respectivamente 0,3 e 0,1. Sabendo-se que quando um reservatório é ativado, o outro
encontra-se desativado, pergunta-se:
b) supondo que as condições sejam tais que permitam a consideração de independência
estatística dos eventos entre dois dias consecutivos, qual é a probabilidade de não
Atendimento da demanda em uma semana qualquer?
não atendimento da demanda em uma semana qualquer = 
probabilidade de haver pelo menos uma falha em 7 dias
(probabilidade de haver pelo menos uma falha em um dia qualquer)
(probabilidade de não haver nenhuma falha em 1 dia)
(probabilidade de não haver nenhuma falha em 7 dia
P(A)= 0,24
1-P(A)= 0,76
(1-P(A))7 =0,146
C= 1- (1-P(A))7(probabilidade de haver pelo menos uma falha em 7 dias)
Evento C
C= 0,8535.
Regras para cálculo das Probabilidades
 Regra de Bayes:
)/().(...)/().(
)/().(
)/(
11 nn
ii
i
ABPAPABPAP
ABPAP
BAP


 nAAA ...21
Exemplo 8: Um baralho de 52 duas cartas foi separado em dois
montes, seguindo a distribuição abaixo. Escolhemos um monte ao
acaso e retiramos aleatoriamente uma carta. Tendo sido retirada
uma carta de ouro, qual a probabilidade de ela ter sido extraída do
segundo monte?
Naipes 1º monte
A1
2º monte
A2
Ouros 8 5
Copas 6 7
Espadas 4 9
Paus 9 4
27 25 )/().(...)/().(
)/().(
)/(
11 nn
ii
i
ABPAPABPAP
ABPAP
BAP


Exemplo 9: Um satélite meteorológico envia um conjunto de
códigos binários (‘0’ ou ‘1’) para descrever o desenvolvimento de
uma tempestade. Entretanto, interferências diversas no sinal emitido
pelo satélite podem provocar erros de transmissão. Suponha que uma
certa mensagem binária, contendo 80% de dígitos ‘0’, tenha sido
transmitida e que exista uma probabilidade de 85% de que um dado
‘0’ ou ‘1’ tenha sido recebido corretamente. Se houve a recepção de
um ‘1’, qual é a probabilidade de que um ‘0’ tenha sido transmitido?
T0 =dígito ‘0’ e T1= dígito ‘1’ e R0 = recepção ‘0’ e R1 = recepção ‘1’
Se houve a recepção de um ‘1’, qual é a probabilidade de que um ‘0’ tenha sido 
transmitido = P(T0|R1)
)|().(...)|().(
)|().(
)|(
11 nn
ii
i
ABPAPABPAP
ABPAP
BAP


)|().()|().(
)|().(
)|(
111010
010
10
TRPTPTRPTP
TRPTP
RTP


Um satélite meteorológico envia um conjunto de códigos binários (‘0’ ou ‘1’)
para descrever o desenvolvimento de uma tempestade. Entretanto,
interferências diversas no sinal emitido pelo satélite podem provocar erros de
transmissão. Suponha que uma certa mensagem binária, contendo 80% de
dígitos ‘0’, tenha sido transmitida e que exista uma probabilidade de 85% de
que um dado ‘0’ ou ‘1’ tenha sido recebido corretamente. Se houve a recepção
de um ‘1’, qual é a probabilidade de que um ‘0’ tenha sido transmitido?
P(T0) = ?; P(T1) = ?; P(R0|T0) = ?; P(R1|T1) = ?; P(R0|T1) = ? e P(R1|T0) 
= ?.
P(T0) = 0,8; P(T1) = 0,2; P(R0|T0) = 0,85; P(R1|T1) = 0,85; P(R0|T1) = 0,15 e 
P(R1|T0) = 0,15.
)|().()|().(
)|().(
)|(
111010
010
10
TRPTPTRPTP
TRPTP
RTP


4138,0
)]85,0).(2,0()15,0).(8,0[(
)15,0).(8,0(
)|( 10 

RTP
 Bussab e Moretin pag 105:
Os resultados possíveis desse torneio de tênis constituem o
espaço amostral de um experimento que consiste em verificá-los.
Desse modo, podemos representar esse conjunto da seguinte
forma:
},,,,,,,{ BCABBCAABCCBBACBAACBBACCAA
3. Três jogadores A, B e C disputam um torneio de tênis.
Inicialmente, A joga com B e o vencedor joga com C, e assim por
diante. O torneio termina quando um jogador ganha duas vezes
em seguida ou quando são disputadas, ao todos, quatro partidas.
Quais são os resultados possíveis do torneio ?
 Bussab e Moretin pag 110:
1
16
1
4
8
1
2
4
1
2)()
8
1



















i
iPa  16
5
16
1
4
1
)() vencer() 











 BCAAAAPAPb
16
5
16
1
4
1
 vencer) 











 )(( ACBBBBPBP



















8
1
16
1
16
1
) ( decisão)haver não() BCABACBAPPc
},,,,,,,{ BCABBCAABCCBBACBAACBBACCAA
a) Mostre que a soma das probabilidades dos pontos do espaços amostral é 1.
9. No espaço amostral do problema 3, atribua a cada ponto contendo k letras a
probabilidade
1
2𝑘
(assim, AA tem probabilidade ¼ ).
c) Qual a probabilidade de que não haja decisão?
b) Calcule a probabilidade de que A vença (um jogador vence quando ganha 
duas partidas seguidas). Em seguida, calcule a probabilidade de que B vença.
 Bussab e Moretin pag 115:
a) Seja P a ocorrência de bola preta, e V a ocorrência de bola vermelha. Então,
Resultado Probabilidade 
PP 
107,028/3)7/2)(8/3( 
 
PV 
26805615 ,/ 
 
VP 
26805615 ,/ 
 
VV 
1070283 ,/ 
 
 
15. Considere uma urna contendo três bolas pretas e cinco bolas
vermelhas. Retire duas bolas da urna, sem reposição.
a) Obtenha os resultados possíveis e as respectivas probabilidades.
b) Mesmo problema, para extrações com reposição.
 Bussab e Moretin pag 115:
b) Usando a mesma notação,
Resultado Probabilidade 
PP 
141,064/9)8/3)(8/3( 
 
PV 
23406415 ,/ 
 
VP 
23406415 ,/ 
 
VV 
39106425 ,/ 
 
 
15. Considere uma urna contendo três bolas pretas e cinco bolas
vermelhas.Retire duas bolas da urna, sem reposição.
a) Obtenha os resultados possíveis e as respectivas probabilidades.
b) Mesmo problema, para extrações com reposição.
 Bussab e Moretin pag 115:
107,0)extrações segunda na e primeira na preta bola( P
1410extrações segunda na e primeira na preta bola ,)( P
a) Sem reposição
Com reposição
b) Sem reposição
Com reposição
3750
56
21
56
15
28
3
extração segunda na preta bola ,)( 











P
3750
64
15
64
9
extração segunda na preta bola ,)( 











P
16. No problema anterior, calcule as probabilidades dos eventos:
a) Bola preta na primeira e segunda extrações.
b) Bola preta na segunda extração.
c) Bola vermelha na primeira extração.
 Bussab e Moretin pag 115:
c) Sem reposição
Com reposição
6250
14
5
56
15
extração primeira na vermelhabola ,)( 











P
6250
64
25
64
15
extração primeira na vermelhabola ,)( 











P
16. No problema anterior, calcule as probabilidades dos eventos:
a) Bola preta na primeira e segunda extrações.
b) Bola preta na segunda extração.
c) Bola vermelha na primeira extração.
 Bussab e Moretin pag 115:
Como a probabilidade de sair um certo ponto é proporcional ao seu valor, digamos que a 
constante de proporcionalidade é k, e então vamos encontrar o valor de k:
a) Utilizando o conceito de probabilidade condicional,
 
 


6
1
6
1 21
1
11
61
j j
kjkjP
jjkjP
.)(
.,,,.)( 





)()()(
)/.(
)(
)(
)(
)(
)|(
531
2115
ímpar
5
ímpar
ímpar5
ímpar5
PPPP
P
P
P
P
560
9
5
215213211
215
,
)/()/()/(
/



18. Um dado é viciado, de tal forma que a probabilidade de sair um certo ponto é
proporcional ao seu valor (por exemplo, o ponto 6 é três vezes mais provável de sair do
que o ponto 2). Calcular:
a) A probabilidade de sair 5, sabendo-se que o ponto que saiu é ímpar;
b) A probabilidade de tirar um número par, sabendo-se que saiu um número maior que 3.
 Bussab e Moretin pag 115:
Como a probabilidade de sair um certo ponto é proporcional ao seu valor, digamos que a 
constante de proporcionalidade é k, e então vamos encontrar o valor de k:
b) Utilizando o conceito de probabilidade condicional,
 
 


6
1
6
1 21
1
11
61
j j
kjkjP
jjkjP
.)(
.,,,.)( 
670
15
10
211654
21146
65(4
64
3
3par
3par ,
)/).((
)/).((
)()()
)()(
)(
)(
)|( 









PPP
PP
P
P
P
18. Um dado é viciado, de tal forma que a probabilidade de sair um certo ponto é
proporcional ao seu valor (por exemplo, o ponto 6 é três vezes mais provável de sair do
que o ponto 2). Calcular:
a) A probabilidade de sair 5, sabendo-se que o ponto que saiu é ímpar;
b) A probabilidade de tirar um número par, sabendo-se que saiu um número maior que 3.
 Bussab e Moretin pag 120:
Sejam os eventos:
D o circuito escolhido não funciona;
I: o circuito escolhido é feito na fábrica I;
II: o circuito escolhido é feito na fábrica II;
III: o circuito escolhido é feito na fábrica III.
São dados do problema: 
300e300400030040010 ,)(,)(,,)(,,)|(,,)|(,,)|(  IIIPIIPIPIIIDPIIDPIDP  )()|()()|()()|()( IIIPIIIDPIIPIIDPIPIDPDP
0250300030300040400010 ,),(),(),(),(),(),( 
23. Uma companhia produz circuitos em três fábrica, I, II, III. A fábrica I produz
40% dos circuitos, enquanto II e a III produzem 30% cada uma. As probabilidades de
que um circuito integrado produzido por essas fábricas não funcione são 0,01, 0,04 e
0,03, respectivamente. Escolhido um circuito da produção conjunta das três fábricas,
qual a probabilidade de o mesmo não funcionar?
 Bussab e Moretin pag 120:
Utilizando a mesma notação, temos
160
0250
010400
,
,
),)(,(
)(
)|()(
)|( 
DP
DIPIP
DIP
24. Considere a situação do problema anterior, mas suponha
agora que um circuito escolhido ao acaso seja defeituoso.
Determine qual a probabilidade de ele ter sido fabricado por I.
 Bussab e Moretin pag 120:
Sejam os eventos:
A: o motorista A sofre acidente;
B: o motorista B sofre acidente;
C: o motorista C sofre acidente.
Suponha que esses eventos sejam independentes. Tem-se que “todos os três motoristas 
sofrem acidentes” pode ser escrito como 
e “pelo menos um dos motoristas guiar até em casa a salvo” equivale a
Assim,
CBA 
ccc CBA 
400
5
2
5
4
4
3
3
2
,)()()()( 

















 CPBPAPCBAP
600
5
3
1 ,)())]([)(  CBAPCBAPCBAP cccc
28. As probabilidades de três motoristas serem capazes de guiar até em casa com segurança,
depois de beber, são de 1/3, 1/4 e 1/5, respectivamente. Se decidirem guiar até em casa,
depois de beber numa festa, qual a probabilidade de todos os três motoristas sofrerem
acidentes? Qual a probabilidade de pelo menos um dos motoristas guiar até em casa a
salvo?
Distribuição de Probabilidade
É uma relação dos distintos valores xi da variável aleatória X junto às 
suas respectivas probabilidades p(xi):
em que: p(xi) é chamada função de massa de probabilidade(f.m.p.),
que a cada valor de xi associa sua probabilidade de ocorrência.
 
i
ixp 1)(
Função Distribuição de Probabilidade
Sendo X uma variável aleatória, dá-se o nome de função de
distribuição (ou função de distribuição de probabilidade) da variável
X à função,
que representa a probabilidade de a variável aleatória X assumir um
valor inferior ou igual a x .
)()( xXPxF 
Facilmente se verifica que a função de distribuição satisfaz as seguintes 
propriedades:
Função de distribuição acumulada, ou função de distribuição (f.d.)
A soma das ordenadas de uma fmp relativas aos sucessivos valores de 
x, conduz à designada função acumulada de probabilidades
em que: p(xi) é chamada função de massa de probabilidade(f.m.p.),
que a cada valor de xi associa sua probabilidade de ocorrência.
,...2,1__,1)()()(   icomxpxXPxF
i
i
Esperança Matemática
Qual o número médio:
 

k
i
ii xfx
1
n
n
n
n
n
n
n
n 3221 2110 
  


k
i
ii
k
i
ii xpxxfx
11
)(
Definição. A média de uma v.a. X ou de sua distribuição de
probabilidade, também chamada valor esperado ou esperança
matemática ou simplesmente esperança de X, E(X), é definida
como:
)(XE



k
i
ii xpxXE
1
)()(
Exemplo:
Seja uma população finita de n indivíduos, e o evento E denotado pelo
número de alelos dominantes A, temos a tabela abaixo. Calcule a
frequência relativa para cada categoria.
Genétipos 𝑿 = 𝒙𝒊 𝒏𝒊 𝒇𝒊 𝒑(𝒙𝒊)
AA 2 𝑛1 𝑛1 𝑛 1 4
Aa 1 𝑛2 𝑛2 𝑛 1 2
aa 0 𝑛3 𝑛3 𝑛 1 4
Σ - 𝐧 1 1
n → ∞
Lembrando que a média é: 
𝑥 = 
𝑖=1
𝑘
𝑓𝑖(𝑥𝑖)
Exemplo:
Qual o número médio de genes A?
𝑥 = 
𝑖=1
𝑘
𝑓𝑖( 𝑥𝑖) = 2 ×
𝑛1
𝑛
+ 1 ×
𝑛2
𝑛
+ 0 ×
𝑛3
𝑛
Definição. A média de uma v.a. X ou de sua distribuição de
probabilidade, também chamada valor esperado ou esperança
matemática ou simplesmente esperança de X, E(X), é definida
como:
)(XE
Propriedades da Esperança, a e b são constantes e X a v.a.
)()()()
)()()
)()()
)()()
)()
22 XcEXbEacXbXaEv
XbEabXaEiv
aXEaXEiii
XaEaXEii
aaEi





𝜇 = 𝐸 𝑋 = 0 ×
1
4
+ 1 ×
2
4
+ 2 ×
1
4
= 1
Variância de uma variávelaleatória
A variância de uma v.a. X ou a medida de dispersão de sua distribuição
de probabilidade, representada por s 2X , é definida por:
𝜎𝑋
2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸[ 𝑋 − 𝜇 2]
Podendo ser calculada de dois modos:
;)()(])[( 22  
i
ii xpxXE  22222 )]([)()(])[( XExpxXEXE ii  
Calcular a variância do exemplo anterior: Lembre-se que a média é 1.
Var(X)
Genétipos 𝑿 = 𝒙𝒊 𝒏𝒊 𝒇𝒊 𝒑(𝒙𝒊)
AA 2 𝑛1 𝑛1 𝑛 1 4
Aa 1 𝑛2 𝑛2 𝑛 1 2
aa 0 𝑛3 𝑛3 𝑛 1 4
Σ - 𝐧 1 1
𝐸[ 𝑋 − 𝜇 2] = (2 − 1)2
1
4
+ (1 − 1)2
2
4
+ (0 − 1)2
1
4
=
1
2
𝐸 𝑋 − 𝜇 2 = 22
1
4
+ 12
2
4
+ 02
1
4
− 12 =
1
2
Variância de uma variável aleatória
Propriedades da Variância, a e b são constantes e X a v.a.
)()()
)()()
)()()
)()
2
2
XVarbbXaVariv
XVarbbXVariii
XVaraXVarii
negativaserpodenãoXVari



Se der tempo aula distribuicoes unesp civil.ppt se não tiver tempo 
continua os slides....
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS DE
PROBABILIDADES DE VARIÁVEIS
ALEATÓRIAS
 Introdução
 Distribuições teóricas discretas
 Distribuições teóricas contínuas
IV – Modelos de Distribuições
 Introdução
 Distribuições teóricas discretas
 Distribuições teóricas contínuas
IV – Modelos de Distribuições
4.1 Introdução
 Existem variáveis aleatórias que têm uma função de
distribuição pertencente a uma classe de
distribuições teóricas.
 As distribuições teóricas, como o próprio nome
indica, foram submetidas a estudos prévios e têm
propriedades conhecidas; portanto, podem servir
como modelo em determinadas situações em que a
distribuição esteja identificada, poupando tempo na
análise do problema estudado.
Definição
O modelo probabilístico da variável aleatória X, é a forma
específica de função de distribuição de probabilidade que
reflete o comportamento de X.
 As distribuições teóricas que aqui serão estudadas são:
• Caso discreto
- Distribuição binomial
- Distribuição geométrica
- Distribuição hipergeométrica
- Distribuição de Poisson
• Caso contínuo
- Distribuição uniforme
- Distribuição exponencial
- Distribuição normal
- Distribuição qui-quadrado
- Distribuição t de Student
- Distribuição F
Definição
O modelo probabilístico da variável aleatória X, é a forma específica de
função de distribuição de probabilidade que reflete o comportamento
de X.
 Introdução
 Distribuições teóricas discretas
 Distribuições teóricas contínuas
IV – Modelos de Distribuições
Distribuição discreta
Função que associa a cada possível valor de uma 
variável aleatória discreta a sua probabilidade de 
ocorrência.
Distribuições de Probabilidade
- Distribuição binomial
- Distribuição geométrica
- Distribuição hipergeométrica
- Distribuição de Poisson
1. DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI
Os principais modelos de variáveis aleatórias discretas que
encontram aplicações em hidrologia estão relacionados com
repetições independentes dos chamados processos de
Bernoulli. Estes modelos são as distribuições geométrica e
binomial.
Distribuições Teóricas Discretas
 Prova de Bernoulli
• A prova de Bernoulli é uma experiência aleatória que serve
de base a várias distribuições teóricas (distribuição
binomial, distribuição binomial negativa e distribuição
geométrica).
• Consideremos uma experiência aleatória na qual existem
apenas dois acontecimentos em que estamos interessados: o
acontecimento A que será designado por sucesso e o
acontecimento contrário, , que será designado por falha.
O sucesso ocorre com probabilidade p, e o insucesso com
probabilidade q = 1− p .
A
Definição
Consideremos uma única realização de um experimento aleatório, onde
há somente dois resultados possíveis, designados por: Sucesso (S) e
Fracasso (F).
 Distribuição de Bernoulli
Assim, para cada experimento, podemos definir uma variável
aleatória X: o número de sucessos, que assume apenas dois
valores, o valor 1 se ocorre sucesso (S) e o valor 0 (zero) se ocorre
fracasso (F), sendo P(S) = p,
0 < p <1. Ou seja:
qpXPepXPcom
S
F
X 



 1)0()1(
)(1
)(0
p1q)A(PfalhaA
p)A(PsucessoA


Distribuições Teóricas Discretas
 Prova de Bernoulli
• O espaço de resultados está assim particionado
em dois acontecimentos em que:
}A,A{S 
• A uma experiência aleatória com estas
características dá-se o nome de prova de
Bernoulli.
Definição
xx qpxXP  1)(
Nestas condições, a variável aleatória X com a função de probabilidade:
X P(X)
0 q = (1-p)
1 p
 
1
0
ii pp1q0)x(fx
:Média
Esperança
Variância
p=)X(E
p×1+q×0=)X(E
)x(p×x=)X(E ∑
n
=i
ii
pq=)X(Var
)q+p(pq=)X(Var
pq+qp=)X(Var
p×)p1(+q×)p0(=)X(Var
)x(p×)μx(=)X(Var
22
22
i
2
n
1=i
i∑ 
pq
pppp
ppq
xfx
XExE
ii
i






)1(
10
)(
)()(
2
222
1
0
22
2222

s
Distribuições Teóricas Discretas
Prova de Bernoulli
• Sucessão de provas de Bernoulli: Defini-se como o
processo caracterizado por repetidas provas que têm lugar
nas seguintes condições:
1. Cada prova resultem em somente dois resultados
possíveis, designados como “sucesso” e “falha”.
2. A probabilidade de um sucesso em cada prova, designada
por p, permaneça constante. A probabilidade de falha
designa-se por q = 1− p.
3. As provas sejam independentes, isto é, os resultados
obtidos numa sequência de provas não influenciam os
resultados da(s) provas(s) subsequente(s).
Figura – Cheias máximas anuais como ilustração de um 
processo de Bernoulli
Aos processos de Bernoulli associam-se três diferentes tipos de
variáveis aleatórias
Discretas Y:
i. a variável é dita binomial, quando Y refere-se ao número de
‘sucessos’ em N repetições independentes;
ii. a variável é denominada geométrica, quando Y refere-se ao
número de repetições independentes necessárias para que um
único ‘sucesso’ ocorra; e
iii. a variável é denominada binomial negativa, quando Y refere-se
ao número de repetições independentes necessárias para que um
certo número r de ‘sucessos’ ocorram.
Observação: a distribuição de Bernoulli é um caso particular da
distribuição binomial com parâmetros N= 1 e p.
 Distribuição Binomial
Definição
Quando um número fixo n de ensaios de Bernoulli são repetidos, supondo que as
repetições sejam independentes com P(S) = p em cada ensaio, a variável
aleatória X representa a contagem do número de sucessos em n ensaios.
Os possíveis valores de X são os inteiros 0, 1, 2,..., n. A distribuição de
probabilidade de X é chamada DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL com n ensaios e
probabilidade de sucesso p.
Para deduzir uma fórmula para P(X = x), consideremos o lançamento de 3
moedas (n = 3 ensaios), cada um dos quais podendo resultar em S (cara) ou F
(coroa).
Há 2 × 2 × 2 = 8 resultados possíveis, os quais estão relacionados nas colunas de
acordo com o número de sucessos (S):
 pSP )(
 qFP )(
Distribuição Binomial
Baseia-se no processo de amostragem de Bernoulli 
(“sucesso” ou “fracasso”)
  knknk qpKxPxf  )()(
distribuicoes.pptx
distribuicao2.pptx
Valor de X
(número de S)
Evento Prob. de cada 
sequência
Número de 
sequências
0
1
2
3
3q
2pq
qp2
3p
1
0
3






3
1
3






3
2
3






1
3
3






Obtenção das sequências
Como os ensaios são independentes, com P(S) =p e P(F) = q, os fatores:
1, 3, 3, 1 são obtidos por meio do "teorema da expansão binomial“nxnxnnnn bab
x
n
ab
n
ba
n
aba 

















  ......
21
)( 221
Denotação
xnx qp
x
n
xXP 





 .)(
Função de Distribuição Binomial é:
Assim, a função de distribuição binomial é:
xnx qp
x
n
xXP 





 .)(
1),;(,),;(
0


n
i
pnxbondepnxb
Função de distribuição acumulada, ou função de distribuição (f.d.)
A sua função de massa de probabilidade(f.m.p.)
A sua função acumulada de probabilidades
𝑃 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 𝑥 =
𝑛!
𝑥! 𝑛 − 𝑥 !
𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥 ,
com 𝑥 = 0,1, … , 𝑛
𝐹 𝑥 = 
𝑥𝑖≤𝑥
𝑛!
𝑥𝑖! 𝑛 − 𝑥𝑖 !
𝑝𝑥𝑖(1 − 𝑝)𝑛−𝑥𝑖
O valor central e a forma da função massa de probabilidades da
variável aleatória binomial sofrem profundas alterações quando o
valor do parâmetro p é modificado, mantendo-se N constante. As
funções massa da distribuição binomial com parâmetros N = 8, p
= 0,3, p = 0,5 e p = 0,7 estão ilustradas na Figura:
Figura – Exemplos de funções massa de probabilidades da
distribuição binomial
Distribuição Binomial
Seguindo a linha do exercício anterior... E se, ao invés de 3
moedas, tivéssemos 4 moedas?
Qual a probabilidade do número de caras ser igual ao número de
coroas?
375,0)2(
.
2
4
)2(
.)(
42
2
1
242


















P
qpP
qp
x
n
xXP
nxp
xnx
Valor de X (número de S) 0 1 2 3 4
Prob. de cada sequência 𝑝4 𝑝𝑞3 𝑝2𝑞2 𝑝3𝑞 𝑝4
Número de sequências
1 =
4
0
4 =
4
1
6 =
4
2
4 =
4
3
1 =
4
4
Distribuição Binomial
0 1 2 3 4
X: b (4, 0.5)
xi
P
(x
i)
0
.0
0
.1
0
.2
0
.3
0
.4
4q
34 pq
226 qp
qp34
4p
Ilustração da maneira pela qual os valores de p influenciam a forma
da distribuição binomial:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
X: b (15, 0.5)
xi
P
(x
i)
0
.0
0
0
.0
5
0
.1
0
0
.1
5
0
.2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
X: b (15, 0.8)
xi
P
(x
i)
0
.0
0
0
.0
5
0
.1
0
0
.1
5
0
.2
0
0
.2
5
0
.3
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
X: b (15, 0.2)
xi
P
(x
i)
0
.0
0
0
.0
5
0
.1
0
0
.1
5
0
.2
0
0
.2
5
0
.3
0
A distribuição binomial é 
simétrica; se o valor de p em 
um histograma tem o mesmo 
valor de q em outro, as 
probabilidades são exatamente 
as mesmas, mas dispostas de 
forma invertida. 
A propriedade geral da 
distribuição binomial: quando 
p e q são alternados, a 
distribuição de probabilidades 
é invertida. Então:
)1,;(),;( pnxnbpnxb 
5,0
5,0


q
p
2,08,0  qp
8,02,0  qp
Distribuição Binomial
)1,;(),;( pnxnbpnxb 
b(2; 6, 0,7) = b(4; 6, 0,3) = 0,0595
0,0595
0,0595
Distribuição Binomial
)1,;(),;( pnxnbpnxb 
b(6; 15, 0,6) = b(9; 15, 0,4) = 0,0612
0,0612
0,0612
Considerando que em determinado rio ocorre uma cheia por ano e
que a probabilidade desta cheia ser catastrófica é 10%, qual é a
probabilidade de ocorrência de 3 destas cheias nos próximos 15
anos?
n = 15 anos
x = 3
p = 0,1
Isto é, nos próximos 15 anos a probabilidade de ocorrência de 3
cheias catastróficas neste rio é de 12,85%.
# BINOMIAL
binomial<-function(x,n,p){
q<-1-p
xi<-0:n
pxi<-(factorial(n)/(factorial(xi)*factorial(n-xi)))*p^xi*q^(n-xi)
barplot(pxi,names.ar=xi,ylim=c(0,max(pxi)+.05),xlab=expression(x[i]),
ylab=expression(paste("P(",x[i],")")),cex.lab=1.5,
main=paste("b ( ",x,", ",n,", ",p,") = ",round(pxi[x+1],5),sep=""))
#text(x,pxi[x+1.5],"oi",pos=1)
box()
}
par(mfrow=c(1,1),mar=c(5, 5, 4, 2) + 0.1)
binomial(2,4,.5)
par(mfrow=c(3,1),mar=c(5, 5, 4, 2) + 0.1)
binomial(6,15,.5)
binomial(6,15,.8)
binomial(9,15,.2)
)1,;(),;( pnxnbpnxb 
b(2; 6, 0,7) = b(4; 6, 0,3) = 0,0595
> dbinom(2, 6, 0.7) # probabilidade
[1] 0.059535 > dbinom(4, 6, 0.3)
[1] 0.059535
b(6; 15, 0,6) = b(9; 15, 0,4) = 0,0612
> dbinom(6, 15, 0.6)
[1] 0.06121411 > dbinom(9, 15, 0.4)
[1] 0.06121411
Distribuição Binomial – Uso da Tabela
(a) n = 6, p = 0,5, x = 4
0,2344.
4
6
)4( 24 





 qpP
> dbinom(4, 6, 
0.5)
[1] 0.234375
Distribuição Binomial – Uso da Tabela
(b) n = 4, p = 0,3, x = 2
0,2646.
2
4
)2( 22 





 qpP
> dbinom(2, 4, 
0.3)
[1] 0.2646
Distribuição Binomial – Uso da Tabela
(c) n = 5, p = 0,7, x = 3
0.3087qpP 





 32.
2
5
)2(
)3,0,5;2()7,0,5;3( bb 
0.3087qpP 





 23.
3
5
)3(
> dbinom(3, 5, 0.7)
[1] 0.3087
> dbinom(2, 5, 0.3)
[1] 0.3087
Definição
Distribuição de Binomial
Esperança Variância
npXE )(
npqXVar )(
Nestas condições, a variável aleatória X com distribuição 
Binomial apresenta:
1- Seis moedas são jogadas uma vez (ou, o que representa a mesma
coisa), uma moeda é jogada 6 vezes. Achar a probabilidade de obter
cara:
a) exatamente 3 vezes;
b) no máximo 3 vezes;
c) pelo menos 3 vezes;
d) pelo menos 1 vez.
3125,0
3
6
)3(
)
33 





 qpP
a
6562,0
3
6
2
6
1
6
0
6
)3()2()1()0(
)
334256 
























qpqppqq
PPPP
b
6562,0
6
6
5
6
4
6
3
6
)6()5()4()3(
)
652433 
























pqpqpqp
PPPP
c
9844,0
0
6
1
)0(1)6()5()4()3()2()1(
1),,(
:
)6()5()4()3()2()1(
)
6
1












q
PPPPPPP
pnxb
Lembrando
PPPPPP
d
n
i
2 - urna contém bolas brancas e pretas na proporção 2 para 3.
Chamemos sucesso a probabilidade de tirar uma bola branca. Três
bolas são tiradas separadamente e depois de cada tirada a bola é
retornada a urna e completamente misturada com as outras, de tal
modo que a probabilidade fundamental do sucesso permanece
constante durante as tentativas. Achar a probabilidade de 0, 1, 2 e 3
sucessos. Calcule a esperança e a variância
064,0
3
3
72,0
5
3
5
2
3)(288,0
2
3
2,1
5
2
3)(432,0
1
3
216,0
0
3
3
2
2
3
























p
npqXVarqp
npXEpq
q
3 - Uma urna contém 52 bolas sendo 13 brancas e 39 pretas.
a) Qual a probabilidade de se tirarem 6 bolas brancas, uma a uma,
retornando a bola à urna após cada retirada? Calcule a esperança
e a variância.
b) Nas mesmas condições da questão anterior, qual a probabilidade
de se terem 5 brancas e 1 preta?
xnx qp
x
n
xXP 





 .)(
0002441,0
6
6
)6(
)
6 





 pP
a
125,175,025,06)(
5,125,06)(


npqXVar
npXE
0043945,0
5
6
)5(
)
5 





 qpP
b
Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson (que deve o seu nome ao físico francês
Simon Poisson) está associada a um grande conjunto de situações
práticas cujos alguns exemplos são os seguintes:
Número de mensagens que chegam em um servidor no
intervalo de uma hora.
Número de partículas defeituosas em um cm3 de volume
de um certo líquido.
Número de defeitos em um metro de comprimento, de um
fio produzido por uma máquina têxtil.
Distribuições Teóricas Discretas
 Distribuição de Poisson• Todos os exemplos apresentados têm uma
característica comum: a variável aleatória em
estudo representa o número de ocorrências de um
certo evento ao longo de um intervalo (tempo,
comprimento, área ou volume).
• Os valores que a variável aleatória pode assumir
são valores inteiros não negativos: 0, 1, ..., n,... .
Distribuições Teóricas Discretas
 Distribuição de Poisson
• Outras características que identicam uma distribuição de
Poisson são:
- O número de ocorrências em intervalos não sobrepostos
são variáveis independentes.
- A probabilidade de um certo número de ocorrências se
verificar é a mesma para intervalos da mesma dimensão;
isto é, a probabilidade depende apenas da amplitude do
intervalo e não da posição em que se situa nesse intervalo.
- As ocorrências do fenômeno descrito verificam-se uma a
uma e nunca em grupos.
...,2,1,0=x,
!x
λe
=)x=X(P=)x(f
xλ
Distribuições Teóricas Discretas
 Distribuição de Poisson
Se o número médio de ocorrências no intervalo em estudo for λ > 0, a variável
aleatória X, que é igual ao número de ocorrências no intervalo, terá uma
distribuição de Poisson, com parâmetro λ, sendo a função de distribuição de X
dada por
Função de Distribuição Poisson é:
Denotação
1)(,)(~
0


x
PoondePoX 
Onde e = 2,71828 e  é o parâmetro da distribuição que representa o número médio de
ocorrências do evento por unidade de tempo ou espaço.
t)X(Var:Variância
t)X(E:Média




...,2,1,0x,
!x
e
)x(f
x

 
Distribuições Teóricas Discretas
 Distribuição de Poisson
• Se o número médio de ocorrências no intervalo em estudo
for λ > 0, a variável aleatória X, que é igual ao número de
ocorrências no intervalo, terá uma distribuição de Poisson,
com parâmetro λ, sendo a função de distribuição de X dada
por
• Características:
Distribuição Poisson
Esperança Variância
)(XE
)(XVar
Nestas condições, a variável aleatória X com distribuição de
Poisson apresenta:
Ou seja, o número médio e a variância de ocorrências de
eventos por unidade de tempo (ou espaço) são iguais () e
constantes ao longo do tempo (ou espaço).
Distribuições Teóricas Discretas
 Distribuição de Poisson
• Exemplo: Mensagens chegam a um servidor de
computadores de acordo com a distribuição de Poisson,
com uma taxa média de 10 por hora.
a) Qual a probabilidade de 3 mensagens chegarem em 1
hora?
b) Qual a probabilidade de 6 mensagens chegarem em 30
minutos?
1462,0
!6
5e
)6X(P
65


0076,0
!3
10e
)3X(P
!x
e
)x(f
310x

 
Distribuições Teóricas Discretas
 Distribuição de Poisson
• Exemplo:
b) Seja X a representação do número de mensagens em 30
minutos (0,5 hora). Então E(X) = 10.0,5 = 5 mensagens
e
a) Seja X a representação do número de mensagens em 1
hora. Então E(X) = 10.1 = 10 mensagens e
 Introdução
 Distribuições teóricas discretas
 Distribuições teóricas contínuas
IV – Modelos de Distribuições
Distribuição Contínua
Função que procura descrever freqüências relativas 
de variáveis aleatórias em populações infinitas. 
Principais:
- Distribuição uniforme
- Distribuição exponencial
- Distribuição normal
- Distribuição qui-quadrado
- Distribuição t de Student
- Distribuição F
  )2(
2
)t(tVar
0]t[E
2 





s 

 Distribuição t de Student
Distribuições Teóricas Contínuas
Trata-se de um modelo de distribuição contínua que se assemelha à
distribuição normal padrão, N(0,1). É utilizada para inferências estatísticas,
particularmente, quando se tem amostras com tamanhos inferiores a 30
elementos (Fonseca & Matins, 1996).
A distribuição t também possui um parâmetro denominado grau de
liberdade (φ), e é simétrica em relação à sua média.
A média dessa distribuição é zero, e sua variância é dada por:
 Distribuição t de Student
Distribuições Teóricas Contínuas
• Gráfico da distribuição t de Student (para φ = 4):
• Observa-se que para valores de φ < 30 a distribuição t apresenta maior
dispersão do que a normal padrão N(0,1), já que o desvio padrão, nesses
casos, é maior do que 1, que é o desvio padrão da distribuição normal
padrão.
03,1
235
35
)t( 35 

s
41,1
24
4
)t( 4 

s
 Distribuição t de Student
Distribuições Teóricas Contínuas
02,1
260
60
)t( 60 

s
• Exemplo:
- Para φ = 4 tem-se:
- Para φ = 35 tem-se:
- Para φ = 60 tem-se:
 Distribuição t de Student
Distribuições Teóricas Contínuas
- Trata-se de uma tabela bicaudal. Assim:
• Uso da tabela de distribuição t de Student
 Distribuição t de Student
Distribuições Teóricas Contínuas
- Procedimento de uso da tabela:
• Uso da tabela de distribuição t de Student
06,113,1)t(:padrãoDesvio
13,1
218
18
)t(:Variância
0)t(:Média
18
18
2
18





s
s

 Distribuição t de Student
a) A média, a variância e o desvio padrão.
• Exemplo: Considere uma distribuição t com parâmetro igual a 18.
Encontre: (a) a média, a variância e o desvio padrão; (b) a mediana;
(c) o 1º quartil e (d) o 95º percentil.
Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição t de Student
b) A mediana – Md(t18) :
• Exemplo:
Distribuições Teóricas Contínuas
c) O 1º quatil – Q1:
d) O 95º percentil – P95:
p
q
q
p
)q,p(F
2
q
2
p
2
q
2
p





 Distribuição F
• Trata-se de um modelo de distribuição contínua também útil para
inferências estatísticas.
• A distribuição F é a razão entre duas variáveis aleatórias independentes
com distribuições qui-quadrado. Assim, uma distribuição F com p graus
de liberdade no numerador e q graus de liberdade no denominador é
expressa por:
Distribuições Teóricas Contínuas
 
  












 





2
2
:Moda
24
22
:Variância
2
:Média
2
2
1
1
2
221
21
2
22
2
2






s



 Distribuição F
• A função F possui dois parâmetros: o grau de liberdade do numerador e
o grau de liberdade do denominador, que são denominados, comumente,
por φ1 e φ2 .
• A média, a variância e a moda dessa distribuição são dadas por:
Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição F
• Formas de gráficos da distribuição F :
Distribuições Teóricas Contínuas
 Distribuição F
Distribuições Teóricas Contínuas
• Uso da tabela de distribuição F
- A tabela fornece as abscissas que deixam α na cauda à
direita, dados os parâmetros φ1 e φ2.
u,v,
v,u,1
F
1
F

 
 Distribuição F
Distribuições Teóricas Contínuas
• Uso da tabela de distribuição F
- Para se encontrar o valor da abscissa F1-α(u,v) utiliza-se a fórmula:
Exemplo: Admita uma distribuição F com u = 9, v = 5 e α = 5,
determine as abscissas.
Distribuição Normal
Corresponde a mais importante distribuição de variáveis
aleatórias contínuas, em razão da sua enorme aplicação nos mais
variados campos do conhecimento.
 
 
2
22
1
exp , 
22
x
f x x

ss
  
      
  
Se X for uma variável aleatória cuja função densidade de
probabilidade seja normal com média µ e variância σ2,
escrevemos X ~ N(µ, σ2.
Distribuições Teóricas Contínuas
Gráfico da densidade de probabilidade normal com média 
µ e desvio padrão σ.
 É simétrica em relação a µ;
 O ponto máximo de f(x) ocorre em x= µ. Neste ponto as três medidas de
posição (média, moda e mediana) se confundem;
 A área total sob a curva e igual a 1.
 
2
221
exp
22
b
a
x
dx

ss
  
 
  

Distribuição Normal Padrão
Qualquer variável aleatória X que siga distribuição Normal poderá ser
transformada em uma variável normal padrão Z, por meio dessa expressão.
x
z

s


• Distribuição normal cuja média é igual a zero e o desvio padrão é igual a 1.
•A operação para se calcular uma probabilidade normal passa a ser a conversão 
da normal qualquer, da qual desejamos calcular a probabilidade, em uma normal 
padrão, seguida de uma consulta à tabela da normal padrão.
•A transformação de uma normal qualquer de média m e desvio padrão s é 
realizada com o auxílio de uma variável aleatória auxiliar “Z”, assim calculada:
entra-se com a 
parte inteira e o 
1º decimal de 
“Z”
entra-se com o 
2º decimal de 
“Z”.
Níveis de significância mais usados e valores 
de z correspondentes:
Área central em torno da 
média
Valores de Z
0,90 1,65
0,95 1,96
0,99 2,58
Exemplo 
 As resistências em uma população de
condutores tem distribuição normal com
média 20 mΩ e desvio padrão 3 mΩ. A
resistência de dois condutores escolhidos
aleatoriamente são 23 mΩ e 16 mΩ.
Converta esses valores para unidades
padrão.
Revisão