Lista de exercícios - GEOMETRIA ANALÍTICA - TURMAs 2 e 3

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UFERSA - Universidade Federal Rural do Semiárido
Departamento de Ciências Exatas e Naturais - Pau dos
Ferros
Curso: Bacharelado em Ciência e Tecnologia
Disciplina: Geometria Analítica Turmas: 02 e 03 Semestre: 2014.2
Professor: Msc. Bruno Fontes de Sousa
Aluno(a): Data: 10/11/2014 p
Lista 1 da segunda unidade
1. Efetue uma translação de eixos de modo que a nova origem seja o ponto (−2, 3). Em seguida,
a) determine as coordenadas dos pontos (3, 2) e (5, 7) com respeito ao novo sistema. Faça a
representação gráfica.
b) Escreva uma equação da reta y = 2x+ 7, com relação ao novo sistema.
2. Efetue uma translação de eixos tal que, em relação ao novo sistema, as equações das retas
y = 2x− 1 e x+ 3y = 11 não contenham o termo constante.
3. Seja x1O1y1 um sistema de coordenadas obtido de xOY por uma translação. Determine a nova
origem O1, sabendo que o ponto P tem coordenadas (3, 4) no sistema xOy e coordenadas (−2, 3)
no sistema x1O1y1.
4. Mostre que, quando se efetua uma translação de eixos, as coordenadas de um vetor ~AB (sendo
A e B dois pontos quaisquer do plano) não se alteram. Em seguida, dê um exemplo.
5. Efetua-se uma rotação de eixos de um ângulo θ no sistema xOy. Sabendo que em relação ao
sistema xOy o ponto P é dado por (5,
√
3) e que, em relação ao novo sistema, é dado por
(4,−2√3), determine o ângulo θ.
6. Determine as coordenadas do ponto P (2, 5) em relação ao sistema obtido pela rotação de um
ângulo θ tal que tg θ =
1
3
.
7. Seja x1Oy1 o sistema obtido de xOy pela rotação de 30o no sentido anti-horário, e x2Oy2 o
sistema obtido por uma translação em que a nova origem (no sistem ax1Oy1) é o ponto O2(3, 2).
a) Determine as coordenadas do ponto P nos sistemas xOy e x2O2y2 sabendo que no sistema
x1Oy1 ele é dado por (2, 1).
b) Determine as coordenadas do ponto Q no sistema xOy, sabendo que no sistema x2O2y2 ele
é dado por (1, 2).
8. Seja xOy e o sistema de coordemadas usual e x1O1y1 o sistema de coordenadas formado pela
retas x1 e y1 e o ponto O1, onde, no sistema xOy, tem-se x1 : y = x e y1 : y = −x + 2 e O1 é o
ponto de interseção entre x1 e y1. Encontre as equações de mudança de xOy para x1Oy1.
9. Dada a equação
ax2 + by2 + cxy + dx+ ey + f = 0
demonstre que se pode eliminar o termo em xy com uma rotação de um ângulo igual a
pi
4
radianos, se a = b, e igual a
1
2
arctg
pi
a− b, se a 6= b.
10. Esboce o gráfico das seguintes equações
a) 4(x− 1)2 + 9y2 = 36;
b) x2 − y2 − 22x = 0;
c) x2 − 16y2 − 32y − 32 = 0;
d) 16y = x2 + 8x+ 32;
e) xy = 1;
f) xy − 2y − 4x = 0;
g) x2 + y2 + xy = 3;
h) x2 + 4y2 + 4xy + 12x− 6y = 0;
i) 41x2 + 41y2 − 18xy − 384x− 384y + 1504 = 0.
11. Calcule a área do triângulo formado pelas retas x = 1, y = 2 e a tangente à cônica
x2 + 4y2 − 2x− 16y + 13 = 0
no ponto
(
2,
4 +
√
3
2
)
.
Bons estudos prova!