ApostEstat_Aula04

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ESTATÍSTICA
CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA 
DE SISTEMAS AERONÁUTICOS
-NOTURNO –
- Aula 04 -
1° Semestre 2011 1Prof. Renato Mussi
COMPARAÇÃO DE VARIABILIDADE
2Prof. Renato Mussi1° Semestre 2011
VALOR RELATIVO (Z)
O valor relativo (Z), ou distribuição corrigida, é utilizado para comparar
valores individuais de 2 ou mais conjuntos de dados com variabilidades
diferentes, e é calculado por:
Onde X e o valor que se quer comparar, é a média do conjunto de dados e
dp(X) é o desvio padrão da população.
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV)
O coeficiente de variação (cv) é utilizado para comparar as variabilidades de 2
ou mais conjuntos de dados, e é calculado por:
COMPARAÇÃO DE VARIABILIDADE
3Prof. Renato Mussi1° Semestre 2011
Onde S é o desvio padrão amostral e é a média amostral, dados por:
4Prof. Renato Mussi
EXEMPLO
Considerando as notas de 10 alunos em:
Administração: 8,0 8,0 8,0 6,0 8,0 6,0 8,0 10,0 8,0 10,0
Política: 9,0 6,5 8,0 6,0 6,5 6,5 9,0 6,0 10,0 9,0
Estatística: 9,0 9,0 8,0 8,0 9,0 10,0 8,0 8,0 9,0 8,0
Calcular:
1) O coeficiente de variação para cada matéria.
2) Se um aluno tirou 8,0 nas 3 matérias, em qual delas ele teve
melhor desempenho?
COMPARAÇÃO DE VARIABILIDADE
1° Semestre 2011
CONCEITO
A definição clássica de probabilidade (teórica) para eventos com chances
iguais de ocorrerem é dada por:
PROBABILIDADE
5Prof. Renato Mussi1° Semestre 2011
A definição freqüentista de probabilidade para eventos com chances iguais
de ocorrerem é dada por:
Neste caso, à medida que o número de experimentos ou de valores
observados em uma amostra cresce, mais a freqüência relativa dos valores se
aproxima do valor teórico de probabilidade. (Teoria dos Grandes Números de
Bernoulli)
CONCEITO
A probabilidade subjetiva é aquela que depende da experiência ou dos
dados em poder do analista. Varia de indivíduo para indivíduo.
O cálculo das probabilidades subjetivas se baseiam em conceitos de
coerência e atualização de opinião.
Não é escopo deste curso o estudo de probabilidades subjetivas, e a partir
daqui, consideraremos somente a probabilidade freqüentista, que baseia-se
na estabilidade das freqüências relativas e no fato de que podemos,
hipoteticamente, repetir um experimento várias vezes.
PROBABILIDADE
6Prof. Renato Mussi1° Semestre 2011
CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Consideremos um exemplo em que foi feita uma pesquisa num certo bairro
chique de Caçapava (experimento) sobre possuir ou não animais de
estimação. Os resultados estão abaixo:
PROBABILIDADE
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SEXO | PET? SIM NÃO TOTAL
HOMEM 50 150 200
MULHER 140 60 200
TOTAL 190 210 400
PROBABILIDADE
8Prof. Renato Mussi1° Semestre 2011
Foi feito então um sorteio de um kit happypet para os participantes da
pesquisa. Vamos calcular as probabilidades de o sorteado:
1)Ser do sexo feminino – P(F).
2)Não ter pet – P(NÃO).
3)Ser do sexo feminino ou não ter pet - P(F ou NÃO).
4)Ser do sexo feminino e não ter pet - P(F e NÃO).
5)Ser do sexo feminino e ter pet - P(F e SIM).
6)Ser do sexo feminino dado que tem pet - P(F|SIM).
CÁLCULO DE PROBABILIDADES
O sorteio é aleatório (por suposição) todos os pesquisados têm a mesma
chance de serem sorteados. Então, nesse caso, para o cálculo de
probabilidades, faz sentido pensar na definição clássica. A teoria dos
conjuntos será utilizada para ajudar no entendimento algumas vezes.
1) P(F) = (200/400) = 1/2 = 0,5 ou 50%.
2) P(NÃO) = (210/400) = 0,525 ou 52,5%.
PROBABILIDADE
9Prof. Renato Mussi1° Semestre 2011
CÁLCULO DE PROBABILIDADES
3) P(F ou NÃO) = P(F U NÃO) - P(F ∩ NÃO) = P(F) + P(NÃO) - P(F ∩ NÃO)
P(F ou NÃO) = (200/400) + (210/400) - (60/400) = 0,5 + 0,525 – 0,15
P(F ou NÃO) = 0,875 = 87,5%
Note que a P(F e NÃO) ou P(F ∩ NÃO) deve ser subtraída da soma das
probabilidades de F e de NÃO, pois está somada duas vezes, devendo ser
retirada uma vez para evitar duplicidade.
Quando P(A ∩ B) = ∅, ou seja, não há possibilidade de ocorrência simultânea
dos eventos A e B, chamamos de eventos disjuntos ou mutuamente
exclusivos. Neste caso temos:
P(F ou NÃO) = P(F U NÃO) = P(F) + P(NÃO)
PROBABILIDADE
10Prof. Renato Mussi1° Semestre 2011
CÁLCULO DE PROBABILIDADES
4) P(F e NÃO) = P(F ∩ NÃO) = (60/400) = 0,15 ou 15%.
5) P(F e SIM) = P(F ∩ SIM) = (140/400) = 0,35 ou 35%.
6) P(F|SIM) = (140/190) ≌ 0,737 ou 73,7%
Este tipo de probabilidade do item 6) é chamada de probabilidade
condicional.
PROBABILIDADE
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PROBABILIDADE CONDICIONAL
Para dois eventos aleatórios A e B a probabilidade condicional pode também
ser calculada por:
PROBABILIDADE
12Prof. Renato Mussi1° Semestre 2011
Desta relação tiramos também a fórmula para probabilidade conjunta:
DIAGRAMA DE ÁRVORE
É uma forma de se calcular probabilidades graficamente.
PROBABILIDADE
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EVENTOS INDEPENDENTES
Dizemos que dois eventos A e B são independentes quando a ocorrência de
um deles não muda a probabilidade do outro ocorrer, ou seja:
P(A|B) = P(A)
Dessa forma, para eventos independentes temos que:
P(A ∩ B) = P (A|B).P(B) = P(A).P(B)
PROBABILIDADE
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TEOREMA DE BAYES
Das relações estudadas anteriormente, Bayes chegou à seguinte relação:
PROBABILIDADE
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O Teorema de Bayes é uma maneira formal de atualização de uma certa
probabilidade P(A) a priori dado que outro evento B tenha ocorrido, levando
à probabilidade a posteriori ao se multiplicar por P(B|A)/P(B).
Probabilidade da União
P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Eventos Disjuntos ou Mutuamente Independentes
P(A ∩ B) = ∅, então P(A U B) = P(A) + P(B)
Probabilidade Condicional
, para P(B) ≠ 0
Probabilidade Conjunta
P(A ∩ B) = P(A|B).P(B) = P(B|A).P(A)
Eventos Independentes
P(A|B) = P(A), então P(A ∩ B) = P(A).P(B)
Teorema de Bayes
RESUMO
16Prof. Renato Mussi1° Semestre 2011
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística Básica. 6. ed.São Paulo: Saraiva, 2006.
CERRI, C.; CORDANI, L. K. Matemática: Apostila Módulo 2 - USP. São Paulo.
REFERÊNCIAS
17Prof. Renato Mussi1° Semestre 2011