P2 2014.2 gabarito

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Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2014/2 – Segunda Prova: 01/10/2014
Versa˜o: A
Formula´rio
~Fm = q~v × ~B , d ~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d ~A = 0 , d ~B = µ0
4π
Id~ℓ× (~r−~r′)
|~r−~r′|3 ,∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0dΦE
dt
, Eind = −dΦB
dt
, ~µ = IA nˆ , ΦB = LI , uB =
1
2
B2
µ0
.
∫
du
(u2 + a2)3/2
=
1
a2
u
(u2 + a2)1/2
+ C
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Considere um soleno´ide ideal de raio Rsol e uma es-
pira circular de raio Resp coaxial a ele, e suponha que
Resp > Rsol (ou seja, a espira esta´ fora do soleno´ide).
Pelo soleno´ide passa uma corrente na˜o-estaciona´ria
I(t). Denotando a indutaˆncia mu´tua do sistema por
M , as auto-indutaˆncias do soleno´ide e da espira por
Lsol e Lesp, e o campo produzido pelo soleno´ide em
seu exterior por Bext, qual das afirmac¸o˜es abaixo e´
verdadeira?
(a) Lesp = 0 pois Bext = 0.
(b) M depende de I(t).
(c) M = 0 pois Bext = 0.
(d) Lsol depende de I(t).
(e) M depende de Rsol.
(f) Lesp depende de Rsol.
2. A figura a seguir mostra a sec¸a˜o reta de treˆs fios que
conduzem correntes estaciona´rias, com intensidade de
mesmo mo´dulo I, que atravessam o plano da figura
com sentidos indicados na mesma. Quatro curvas ori-
entadas indicadas pelas letras a ate´ d sa˜o apresentadas
na figura. A alternativa a seguir que melhor relaci-
ona a circulac¸a˜o do campo magne´tico Ci =
∮
i
~B · d~l
(i = a, b, c, d) em cada curva e´
(a) Cb < Ca = Cc < Cd.
(b) Ca < Cb < Cc < Cd.
(c) Ca < Cb = Cd < Cc.
(d) Cd < Cc = Ca < Cb.
(e) Ca = Cc < Cb = Cd.
1
3. Por um condutor cil´ındrico macic¸o e infinito de raio
R passa uma corrente estaciona´ria e axial I uniforme-
mente distribu´ıda atrave´s de sua sec¸a˜o reta. O campo
magne´tico ~B a uma distaˆncia radial s do eixo do con-
dutor, em coordenadas cil´ındricas (s, ϕ), e´ igual a
(a) ~B(s < R) =
µ0iIs
2πR2
sˆ e ~B(s > R) =
µ0I
2πs
sˆ
(b) ~B(s < R) =
µ0Is
2πR2
ϕˆ e ~B(s > R) =
µ0I
2πs
ϕˆ
(c) ~B(s < R) =
µ0I
2πs
sˆ e ~B(s > R) =
µ0I
2πs
sˆ
(d) ~B(s < R) =
µ0I
2πs
ϕˆ e ~B(s > R) =
µ0I
2πs
ϕˆ
(e) ~B(s < R) 6= 0 e ~B(s > R) = 0
4. Seja uma superf´ıcie esfe´rica S, dividida em duas me-
tades S1 e S2 por um grande c´ırculo C. A partir da
lei de Ampe`re, podemos afirmar que
(a) O fluxo do campo magne´tico atrave´s de S1 e´
proporcional a` circulac¸a˜o de corrente atrave´s
de C.
(b) A circulac¸a˜o do campo magne´tico ao longo de
C e´ proporcional ao a` intensidade de corrente
atrave´s de S.
(c) A circulac¸a˜o do campo magne´tico ao longo
de C e´ proporcional a` intensidade de corrente
atrave´s de S2.
(d) O fluxo do campo magne´tico atrave´s de S e´
proporcional a` circulac¸a˜o de corrente atrave´s
de C.
(e) A circulac¸a˜o do campo magne´tico ao longo de
C e´ nula.
5. Um pro´ton (carga +e, massa m), um deˆuteron
(carga +e, massa 2m), e uma part´ıcula alfa (carga
+2e, massa 4m) entram numa regia˜o com campo
magne´tico uniforme ~B, todas com a mesma veloci-
dade ~v. Sabendo-se que ~v⊥ ~B e que o pro´ton se
move numa circunferncia de raio R, podemos dizer
que os raios das o´rbitas circulares do deˆuteron Rd e
da part´ıcula alfa Rα sa˜o, respectivamente:
(a) Rd =
√
2R e Rα =
√
2R.
(b) Rd = 2R e Rα = 2R.
(c) Rd = 2R e Rα = R/2.
(d) Rd =
√
2R/2 e Rα =
√
2R/2.
(e) Rd = R/2 e Rα = 2R.
6. Considere dois ane´is circulares, um condutor e outro
isolante, pertencentes a um mesmo plano, sujeitos a
um campo magne´tico varia´vel no tempo, perpendi-
cular ao plano dos ane´is. Estando os dois ane´is em
repouso, em qual deles surgira´ uma forc¸a eletromo-
triz induzida? Em qual deles surgira´ uma corrente
induzida?
(a) Em nenhum dos ane´is. Em nenhum dos ane´is.
(b) Em nenhum dos ane´is. Somente no anel con-
dutor.
(c) Somente no anel condutor. Somente no anel
condutor.
(d) Em ambos os ane´is. Somente no anel condutor.
(e) Em ambos os ane´is. Em ambos os ane´is.
7. Uma espira circular move-se de baixo para cima na
direc¸a˜o de um ima˜ permanente fixo, assim como na
figura abaixo. Vista de cima a corrente no fio sera´:
(a) no sentido hora´rio e a forc¸a na espira sera´ para
cima
(b) no sentido anti-hora´rio e a forc¸a na espira sera´
para cima
(c) no sentido hora´rio e a forc¸a na espira sera´ para
baixo
(d) no sentido anti-hora´rio e a forc¸a na espira sera´
para baixo
(e) no sentido hora´rio e a forc¸a na espira sera´ zero
(f) no sentido anti-hora´rio e a forc¸a na espira sera´
zero
2
8. Considere um plano infinito com uma densidade su-
perficial de corrente ~K = Kxˆ. Sabendo que esse plano
conte´m os eixos X e Y (que sa˜o perpendiculares entre
si) e e´ perpendicular ao eixo Z, qual das afirmativas
abaixo e´ verdadeira? (Obs.: simetria plana e´ a sime-
tria de translac¸a˜o nas direc¸o˜es X e Y , e simetria axial
e´ a simetria de rotac¸o˜es em torno de um eixo dado)
(a) Pela simetria plana, o campo magne´tico sem-
pre aponta na direc¸a˜o zˆ.
(b) Pela simetria axial em torno de Z, o mo´dulo do
campo magne´tico independe das coordenadas
x e y.
(c) Pela simetria axial em torno de Z, o campo
magne´tico sempre aponta na direc¸a˜o zˆ.
(d) Pela simetria plana, o mo´dulo do campo
magne´tico independe das coordenadas x e y.
(e) Pela simetria axial em torno de X , o campo
magne´tico sempre aponta na direc¸a˜o xˆ.
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Considere uma espira quadrada de lado 2a percorrida por uma corrente estaciona´ria I no sentido
anti-hora´rio, e sujeita a um campo magne´tico externo estaciona´rio e uniforme ~B0 = B0xˆ. A espira se encontra no
plano XY , conforme a figura.
(a) [0,6 ponto] Calcule as forc¸as ~F1 sobre o lado horizontal superior do quadrado e ~F2 sobre o lado vertical a` direita
do quadrado, exercidas pelo campo magne´tico externo.
(b) [0,6 ponto] Determine o momento de dipolo magne´tico ~µ associado a` espira e calcule o vetor torque ~τ que o
campo externo ~B0 exerce sobre a mesma.
(c) [1,4 pontos] Determine o campo magne´tico ~B produzido pela espira no seu centro P = (0, a, 0).
2. [2,6 pontos] Uma espira retangular no plano XZ, de auto-indutaˆncia desprez´ıvel, tem lados a e b e resisteˆncia R.
Um fio retil´ıneo infinito, por onde flui uma corrente dependente do tempo I(t), e´ colocado ao longo do eixo Z a
uma distaˆncia x0 da espira, conforme mostra a figura. Despreze as correntes de deslocamento do sistema.
(a) [0,6 ponto] Sabendo que o campo produzido pelo fio retil´ıneo em um ponto P e´ dado por ~B = B(s)ϕˆ, onde s e´
a distaˆncia de P ao fio e ϕˆ e´ o vetor unita´rio que “circula”em torno do fio, encontre B(s).
(b) [1,2 ponto] Calcule o fluxo magne´tico atrave´s da espira, tomando yˆ como o unita´rio normal a` superf´ıcie.
(c) [0,8 ponto] Supondo que I(t) = I0 cosωt, determine a forc¸a eletromotriz induzida na espira?
4
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (e)
2. (a)
3. (b)
4. (c)
5. (b)
6. (d)
7. (c)
8. (d)
1
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Ambas as forc¸as podem ser obtidas da expressa˜o geral
~F = I
∫
~dl× ~B.
No lado superior temos ~dl ‖ ~B0, e portanto
~dl× ~B0 = 0 ⇒ ~F1 = 0 . (1)
Ja´ no lado inferior temos ~dl⊥ ~B0, e, como ~B0 e´ uniforme, a integral simplifica-se bastante
~F2 = I
∫
l.v.d.
~dl× ~B0 = I
∫
l.v.d.
dyB0(−zˆ) = IB0(−zˆ)
∫
l.v.d.
dy
ou seja,
~F2 = −2IB0azˆ (2)
(b) O momento magne´tico da espira e´ dado por
~µ = IAquad zˆ ⇒ ~µ = 4Ia2zˆ (3)
e o torque enta˜o pode ser obtido de
~τ = ~µ× ~B0 = 4Ia2B0(zˆ× xˆ) ⇒ ~τ = 4Ia2B0yˆ (4)
(c) Devido a` simetria de rotac¸o˜es mu´ltiplas de π/2 sobreo ponto P, podemos calcular o campo magne´tico produzido
por um dos lados apenas, e multiplicar o resultado por 4. Consideremos enta˜o o lado vertical a´ direita. Temos
d~ℓ = dy yˆ , ~rP = ~r = ayˆ , ~r
′ = axˆ + yyˆ
donde
~r−~r′ = −axˆ + (a− y)yˆ ⇒ |~r−~r′| =
√
a2 + (y − a)2
e logo
d~B =
µ0
4π
Id~ℓ× (~r−~r′)
|~r−~r′|3 =
µ0I
4π
(dy yˆ)× [−axˆ + (a− y)yˆ]
[a2 + (y − a)2]3/2 = −
µ0I
4π
dy(−a)(−zˆ)
[a2 + (y − a)2]3/2
Integrando, temos
~Bl.v.d. =
∫
l.v.d.
d~B =
µ0Ia
4π
zˆ
∫ 2a
0
dy
[a2 + (y − a)2]3/2 =
µ0Ia
4π
zˆ
∫ a
−a
du
[a2 + u2]3/2
(5)
onde no u´ltimo passo fizemos a substituic¸a˜o u = y − a. Utilizando o resultado∫
du
[a2 + u2]3/2
=
1
a2
u√
u2 + a2
⇒
∫ a
−a
du
[a2 + u2]3/2
=
1
a2
2a√
2a
=
√
2
a2
que, substitu´ıdo em (5), leva a
~Bl.v.d. =
µ0
√
2I
4πa
zˆ
e, por fim, temos
~B = 4 ~Bl.v.d. ⇒ ~B = µ0
√
2I
πa
zˆ (6)
�
2
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Ja´ sabendo que ~B = Bϕˆ e que na˜o ha´ efeitos de correntes de deslocamento, podemos determinar B aplicando
a lei de Ampe`re. Para isso, basta trac¸ar uma curva amperiana circular C de raio s, centrada no fio, e calcular a
circulac¸a˜o de ~B
∫
C
~B · ~dl =
∫
C
(B(s)ϕˆ) · (dlϕˆ) =
∫
C
B(s)dl
1︷ ︸︸ ︷
(ϕˆ) · ϕˆ) = B(s)
∫
C
dl = B(s)× 2πs,
donde, aplicando a lei de Ampe`re, temos
∫
C
~B · ~dl = 2πsB(s) = µ0I ⇒ B(s) = µ0I
2πs
. (7)
(b) O fluxo do campo magne´tico atrave´s da espira e´ dado por
Φm =
∫
S
~B · ~dA
onde S e´ a a´rea retaˆngular delimitada pela espira. Como o plano da espira e´ perpendicular ao vetor unita´rio ϕˆ e
sabendo que nesse plano particular temos ϕˆ = yˆ, podemos fazer ~B = Byˆ, ~dA = dAyˆ e enta˜o
Φm =
∫
S
(Byˆ) · (dAyˆ) =
∫
S
BdA
1︷ ︸︸ ︷
(yˆ · yˆ) =
∫
S
Bdxdy =
∫
S
(
µ0I
2πx
)
dxdy
=
µ0I
2π
∫ a
0
dy
∫ x0+b
x0
dx
x
=
µ0Ia
2π
[
log x
]x0+b
x0
ou seja,
Φm =
µ0Ia
2π
log
(
x0 + b
x0
)
(8)
(c) A forc¸a eletromotriz ε pode ser calculada pela lei de Faraday. Temos
ε = −dφm
dt
= − d
dt
µ0
I0 cosωt︷︸︸︷
I(t) a
2π
log
(
x0 + b
x0
)
= −µ0a
2π
log
(
x0 + b
x0
)
d
dt
I0 cosωt
donde
ε =
µ0aωI0
2π
sin(ωt) log
(
x0 + b
x0
)
(9)
�
3
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2014/2 – Segunda Prova: 01/10/2014
Versa˜o: B
Formula´rio
~Fm = q~v × ~B , d ~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d ~A = 0 , d ~B = µ0
4π
Id~ℓ× (~r−~r′)
|~r−~r′|3 ,∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0dΦE
dt
, Eind = −dΦB
dt
, ~µ = IA nˆ , ΦB = LI , uB =
1
2
B2
µ0
.
∫
du
(u2 + a2)3/2
=
1
a2
u
(u2 + a2)1/2
+ C
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Considere um soleno´ide ideal de raio Rsol e uma es-
pira circular de raio Resp coaxial a ele, e suponha que
Resp > Rsol (ou seja, a espira esta´ fora do soleno´ide).
Pelo soleno´ide passa uma corrente na˜o-estaciona´ria
I(t). Denotando a indutaˆncia mu´tua do sistema por
M , as auto-indutaˆncias do soleno´ide e da espira por
Lsol e Lesp, e o campo produzido pelo soleno´ide em
seu exterior por Bext, qual das afirmac¸o˜es abaixo e´
verdadeira?
(a) Lesp = 0 pois Bext = 0.
(b) M depende de I(t).
(c) M = 0 pois Bext = 0.
(d) Lsol depende de I(t).
(e) M depende de Rsol.
(f) Lesp depende de Rsol.
2. Seja uma superf´ıcie esfe´rica S, dividida em duas me-
tades S1 e S2 por um grande c´ırculo C. A partir da
lei de Ampe`re, podemos afirmar que
(a) O fluxo do campo magne´tico atrave´s de S1 e´
proporcional a` circulac¸a˜o de corrente atrave´s
de C.
(b) A circulac¸a˜o do campo magne´tico ao longo de
C e´ proporcional ao a` intensidade de corrente
atrave´s de S.
(c) A circulac¸a˜o do campo magne´tico ao longo
de C e´ proporcional a` intensidade de corrente
atrave´s de S2.
(d) O fluxo do campo magne´tico atrave´s de S e´
proporcional a` circulac¸a˜o de corrente atrave´s
de C.
(e) A circulac¸a˜o do campo magne´tico ao longo de
C e´ nula.
1
3. A figura a seguir mostra a sec¸a˜o reta de treˆs fios que
conduzem correntes estaciona´rias, com intensidade de
mesmo mo´dulo I, que atravessam o plano da figura
com sentidos indicados na mesma. Quatro curvas ori-
entadas indicadas pelas letras a ate´ d sa˜o apresentadas
na figura. A alternativa a seguir que melhor relaci-
ona a circulac¸a˜o do campo magne´tico Ci =
∮
i
~B · d~l
(i = a, b, c, d) em cada curva e´
(a) Cb < Ca = Cc < Cd.
(b) Ca < Cb < Cc < Cd.
(c) Ca < Cb = Cd < Cc.
(d) Cd < Cc = Ca < Cb.
(e) Ca = Cc < Cb = Cd.
4. Um pro´ton (carga +e, massa m), um deˆuteron
(carga +e, massa 2m), e uma part´ıcula alfa (carga
+2e, massa 4m) entram numa regia˜o com campo
magne´tico uniforme ~B, todas com a mesma veloci-
dade ~v. Sabendo-se que ~v⊥ ~B e que o pro´ton se
move numa circunferncia de raio R, podemos dizer
que os raios das o´rbitas circulares do deˆuteron Rd e
da part´ıcula alfa Rα sa˜o, respectivamente:
(a) Rd =
√
2R e Rα =
√
2R.
(b) Rd = 2R e Rα = 2R.
(c) Rd = 2R e Rα = R/2.
(d) Rd =
√
2R/2 e Rα =
√
2R/2.
(e) Rd = R/2 e Rα = 2R.
5. Por um condutor cil´ındrico macic¸o e infinito de raio
R passa uma corrente estaciona´ria e axial I uniforme-
mente distribu´ıda atrave´s de sua sec¸a˜o reta. O campo
magne´tico ~B a uma distaˆncia radial s do eixo do con-
dutor, em coordenadas cil´ındricas (s, ϕ), e´ igual a
(a) ~B(s < R) =
µ0iIs
2πR2
sˆ e ~B(s > R) =
µ0I
2πs
sˆ
(b) ~B(s < R) =
µ0Is
2πR2
ϕˆ e ~B(s > R) =
µ0I
2πs
ϕˆ
(c) ~B(s < R) =
µ0I
2πs
sˆ e ~B(s > R) =
µ0I
2πs
sˆ
(d) ~B(s < R) =
µ0I
2πs
ϕˆ e ~B(s > R) =
µ0I
2πs
ϕˆ
(e) ~B(s < R) 6= 0 e ~B(s > R) = 0
6. Considere um plano infinito com uma densidade su-
perficial de corrente ~K = Kxˆ. Sabendo que esse plano
conte´m os eixos X e Y (que sa˜o perpendiculares entre
si) e e´ perpendicular ao eixo Z, qual das afirmativas
abaixo e´ verdadeira? (Obs.: simetria plana e´ a sime-
tria de translac¸a˜o nas direc¸o˜es X e Y , e simetria axial
e´ a simetria de rotac¸o˜es em torno de um eixo dado)
(a) Pela simetria plana, o campo magne´tico sem-
pre aponta na direc¸a˜o zˆ.
(b) Pela simetria axial em torno de Z, o mo´dulo do
campo magne´tico independe das coordenadas
x e y.
(c) Pela simetria axial em torno de Z, o campo
magne´tico sempre aponta na direc¸a˜o zˆ.
(d) Pela simetria plana, o mo´dulo do campo
magne´tico independe das coordenadas x e y.
(e) Pela simetria axial em torno de X , o campo
magne´tico sempre aponta na direc¸a˜o xˆ.
2
7. Considere dois ane´is circulares, um condutor e outro
isolante, pertencentes a um mesmo plano, sujeitos a
um campo magne´tico varia´vel no tempo, perpendi-
cular ao plano dos ane´is. Estando os dois ane´is em
repouso, em qual deles surgira´ uma forc¸a eletromo-
triz induzida? Em qual deles surgira´ uma corrente
induzida?
(a) Em nenhum dos ane´is. Em nenhum dos ane´is.
(b) Em nenhum dos ane´is. Somente no anel con-
dutor.
(c) Somente no anel condutor. Somente no anel
condutor.
(d) Em ambos os ane´is. Somente no anel condutor.
(e) Em ambos os ane´is. Em ambos os ane´is.
8. Uma espira circular move-se de baixo para cima na
direc¸a˜o de um ima˜ permanente fixo, assim como na
figura abaixo. Vista de cima a corrente no fio sera´:
(a) no sentido hora´rio e a forc¸a na espira sera´ para
cima
(b) no sentido anti-hora´rio e a forc¸a na espira sera´
para cima
(c) no sentido hora´rio e a forc¸a na espira sera´ para
baixo
(d) no sentido anti-hora´rio e a forc¸a na espira sera´
para baixo
(e) no sentido hora´rio e a forc¸a na espira sera´ zero
(f) no sentido anti-hora´rio e a forc¸a na espira sera´
zero
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜esdiscursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Considere uma espira quadrada de lado 2a percorrida por uma corrente estaciona´ria I no sentido
anti-hora´rio, e sujeita a um campo magne´tico externo estaciona´rio e uniforme ~B0 = B0xˆ. A espira se encontra no
plano XY , conforme a figura.
(a) [0,6 ponto] Calcule as forc¸as ~F1 sobre o lado horizontal superior do quadrado e ~F2 sobre o lado vertical a` direita
do quadrado, exercidas pelo campo magne´tico externo.
(b) [0,6 ponto] Determine o momento de dipolo magne´tico ~µ associado a` espira e calcule o vetor torque ~τ que o
campo externo ~B0 exerce sobre a mesma.
(c) [1,4 pontos] Determine o campo magne´tico ~B produzido pela espira no seu centro P = (0, a, 0).
2. [2,6 pontos] Uma espira retangular no plano XZ, de auto-indutaˆncia desprez´ıvel, tem lados a e b e resisteˆncia R.
Um fio retil´ıneo infinito, por onde flui uma corrente dependente do tempo I(t), e´ colocado ao longo do eixo Z a
uma distaˆncia x0 da espira, conforme mostra a figura. Despreze as correntes de deslocamento do sistema.
(a) [0,6 ponto] Sabendo que o campo produzido pelo fio retil´ıneo em um ponto P e´ dado por ~B = B(s)ϕˆ, onde s e´
a distaˆncia de P ao fio e ϕˆ e´ o vetor unita´rio que “circula”em torno do fio, encontre B(s).
(b) [1,2 ponto] Calcule o fluxo magne´tico atrave´s da espira, tomando yˆ como o unita´rio normal a` superf´ıcie.
(c) [0,8 ponto] Supondo que I(t) = I0 cosωt, determine a forc¸a eletromotriz induzida na espira?
4
Gabarito para Versa˜o B
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (e)
2. (c)
3. (a)
4. (b)
5. (b)
6. (d)
7. (d)
8. (c)
1
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Ambas as forc¸as podem ser obtidas da expressa˜o geral
~F = I
∫
~dl× ~B.
No lado superior temos ~dl ‖ ~B0, e portanto
~dl× ~B0 = 0 ⇒ ~F1 = 0 . (1)
Ja´ no lado inferior temos ~dl⊥ ~B0, e, como ~B0 e´ uniforme, a integral simplifica-se bastante
~F2 = I
∫
l.v.d.
~dl× ~B0 = I
∫
l.v.d.
dyB0(−zˆ) = IB0(−zˆ)
∫
l.v.d.
dy
ou seja,
~F2 = −2IB0azˆ (2)
(b) O momento magne´tico da espira e´ dado por
~µ = IAquad zˆ ⇒ ~µ = 4Ia2zˆ (3)
e o torque enta˜o pode ser obtido de
~τ = ~µ× ~B0 = 4Ia2B0(zˆ× xˆ) ⇒ ~τ = 4Ia2B0yˆ (4)
(c) Devido a` simetria de rotac¸o˜es mu´ltiplas de π/2 sobre o ponto P, podemos calcular o campo magne´tico produzido
por um dos lados apenas, e multiplicar o resultado por 4. Consideremos enta˜o o lado vertical a´ direita. Temos
d~ℓ = dy yˆ , ~rP = ~r = ayˆ , ~r
′ = axˆ + yyˆ
donde
~r−~r′ = −axˆ + (a− y)yˆ ⇒ |~r−~r′| =
√
a2 + (y − a)2
e logo
d~B =
µ0
4π
Id~ℓ× (~r−~r′)
|~r−~r′|3 =
µ0I
4π
(dy yˆ)× [−axˆ + (a− y)yˆ]
[a2 + (y − a)2]3/2 = −
µ0I
4π
dy(−a)(−zˆ)
[a2 + (y − a)2]3/2
Integrando, temos
~Bl.v.d. =
∫
l.v.d.
d~B =
µ0Ia
4π
zˆ
∫ 2a
0
dy
[a2 + (y − a)2]3/2 =
µ0Ia
4π
zˆ
∫ a
−a
du
[a2 + u2]3/2
(5)
onde no u´ltimo passo fizemos a substituic¸a˜o u = y − a. Utilizando o resultado∫
du
[a2 + u2]3/2
=
1
a2
u√
u2 + a2
⇒
∫ a
−a
du
[a2 + u2]3/2
=
1
a2
2a√
2a
=
√
2
a2
que, substitu´ıdo em (5), leva a
~Bl.v.d. =
µ0
√
2I
4πa
zˆ
e, por fim, temos
~B = 4 ~Bl.v.d. ⇒ ~B = µ0
√
2I
πa
zˆ (6)
�
2
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Ja´ sabendo que ~B = Bϕˆ e que na˜o ha´ efeitos de correntes de deslocamento, podemos determinar B aplicando
a lei de Ampe`re. Para isso, basta trac¸ar uma curva amperiana circular C de raio s, centrada no fio, e calcular a
circulac¸a˜o de ~B
∫
C
~B · ~dl =
∫
C
(B(s)ϕˆ) · (dlϕˆ) =
∫
C
B(s)dl
1︷ ︸︸ ︷
(ϕˆ) · ϕˆ) = B(s)
∫
C
dl = B(s)× 2πs,
donde, aplicando a lei de Ampe`re, temos
∫
C
~B · ~dl = 2πsB(s) = µ0I ⇒ B(s) = µ0I
2πs
. (7)
(b) O fluxo do campo magne´tico atrave´s da espira e´ dado por
Φm =
∫
S
~B · ~dA
onde S e´ a a´rea retaˆngular delimitada pela espira. Como o plano da espira e´ perpendicular ao vetor unita´rio ϕˆ e
sabendo que nesse plano particular temos ϕˆ = yˆ, podemos fazer ~B = Byˆ, ~dA = dAyˆ e enta˜o
Φm =
∫
S
(Byˆ) · (dAyˆ) =
∫
S
BdA
1︷ ︸︸ ︷
(yˆ · yˆ) =
∫
S
Bdxdy =
∫
S
(
µ0I
2πx
)
dxdy
=
µ0I
2π
∫ a
0
dy
∫ x0+b
x0
dx
x
=
µ0Ia
2π
[
log x
]x0+b
x0
ou seja,
Φm =
µ0Ia
2π
log
(
x0 + b
x0
)
(8)
(c) A forc¸a eletromotriz ε pode ser calculada pela lei de Faraday. Temos
ε = −dφm
dt
= − d
dt
µ0
I0 cosωt︷︸︸︷
I(t) a
2π
log
(
x0 + b
x0
)
= −µ0a
2π
log
(
x0 + b
x0
)
d
dt
I0 cosωt
donde
ε =
µ0aωI0
2π
sin(ωt) log
(
x0 + b
x0
)
(9)
�
3
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2014/2 – Segunda Prova: 01/10/2014
Versa˜o: C
Formula´rio
~Fm = q~v × ~B , d ~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d ~A = 0 , d ~B = µ0
4π
Id~ℓ× (~r−~r′)
|~r−~r′|3 ,∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0dΦE
dt
, Eind = −dΦB
dt
, ~µ = IA nˆ , ΦB = LI , uB =
1
2
B2
µ0
.
∫
du
(u2 + a2)3/2
=
1
a2
u
(u2 + a2)1/2
+ C
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. A figura a seguir mostra a sec¸a˜o reta de treˆs fios que
conduzem correntes estaciona´rias, com intensidade de
mesmo mo´dulo I, que atravessam o plano da figura
com sentidos indicados na mesma. Quatro curvas ori-
entadas indicadas pelas letras a ate´ d sa˜o apresentadas
na figura. A alternativa a seguir que melhor relaci-
ona a circulac¸a˜o do campo magne´tico Ci =
∮
i
~B · d~l
(i = a, b, c, d) em cada curva e´
(a) Cb < Ca = Cc < Cd.
(b) Ca < Cb < Cc < Cd.
(c) Ca < Cb = Cd < Cc.
(d) Cd < Cc = Ca < Cb.
(e) Ca = Cc < Cb = Cd.
1
2. Considere um plano infinito com uma densidade su-
perficial de corrente ~K = Kxˆ. Sabendo que esse plano
conte´m os eixos X e Y (que sa˜o perpendiculares entre
si) e e´ perpendicular ao eixo Z, qual das afirmativas
abaixo e´ verdadeira? (Obs.: simetria plana e´ a sime-
tria de translac¸a˜o nas direc¸o˜es X e Y , e simetria axial
e´ a simetria de rotac¸o˜es em torno de um eixo dado)
(a) Pela simetria plana, o campo magne´tico sem-
pre aponta na direc¸a˜o zˆ.
(b) Pela simetria axial em torno de Z, o mo´dulo do
campo magne´tico independe das coordenadas
x e y.
(c) Pela simetria axial em torno de Z, o campo
magne´tico sempre aponta na direc¸a˜o zˆ.
(d) Pela simetria plana, o mo´dulo do campo
magne´tico independe das coordenadas x e y.
(e) Pela simetria axial em torno de X , o campo
magne´tico sempre aponta na direc¸a˜o xˆ.
3. Considere dois ane´is circulares, um condutor e outro
isolante, pertencentes a um mesmo plano, sujeitos a
um campo magne´tico varia´vel no tempo, perpendi-
cular ao plano dos ane´is. Estando os dois ane´is em
repouso, em qual deles surgira´ uma forc¸a eletromo-
triz induzida? Em qual deles surgira´ uma corrente
induzida?
(a) Em nenhum dos ane´is. Em nenhum dos ane´is.
(b) Em nenhum dos ane´is. Somente no anel con-
dutor.
(c) Somente no anel condutor. Somente no anel
condutor.
(d) Em ambos os ane´is. Somente no anel condutor.
(e) Em ambos os ane´is. Em ambos os ane´is.
4. Seja uma superf´ıcie esfe´rica S, dividida em duas me-
tades S1 e S2 por um grande c´ırculo C. A partir da
lei de Ampe`re, podemos afirmar que
(a) O fluxo do campo magne´tico atrave´s de S1 e´
proporcional a` circulac¸a˜o de corrente atrave´s
de C.
(b) A circulac¸a˜o do campo magne´tico ao longo de
C e´ proporcional ao a` intensidade de corrente
atrave´s de S.
(c) A circulac¸a˜o do campo magne´tico ao longo
de C e´ proporcional a` intensidade de corrente
atrave´s de S2.
(d) O fluxo do campo magne´tico atrave´s de S e´
proporcional a` circulac¸a˜o de corrente atrave´s
de C.
(e) A circulac¸a˜o docampo magne´tico ao longo de
C e´ nula.
5. Por um condutor cil´ındrico macic¸o e infinito de raio
R passa uma corrente estaciona´ria e axial I uniforme-
mente distribu´ıda atrave´s de sua sec¸a˜o reta. O campo
magne´tico ~B a uma distaˆncia radial s do eixo do con-
dutor, em coordenadas cil´ındricas (s, ϕ), e´ igual a
(a) ~B(s < R) =
µ0iIs
2πR2
sˆ e ~B(s > R) =
µ0I
2πs
sˆ
(b) ~B(s < R) =
µ0Is
2πR2
ϕˆ e ~B(s > R) =
µ0I
2πs
ϕˆ
(c) ~B(s < R) =
µ0I
2πs
sˆ e ~B(s > R) =
µ0I
2πs
sˆ
(d) ~B(s < R) =
µ0I
2πs
ϕˆ e ~B(s > R) =
µ0I
2πs
ϕˆ
(e) ~B(s < R) 6= 0 e ~B(s > R) = 0
6. Um pro´ton (carga +e, massa m), um deˆuteron
(carga +e, massa 2m), e uma part´ıcula alfa (carga
+2e, massa 4m) entram numa regia˜o com campo
magne´tico uniforme ~B, todas com a mesma veloci-
dade ~v. Sabendo-se que ~v⊥ ~B e que o pro´ton se
move numa circunferncia de raio R, podemos dizer
que os raios das o´rbitas circulares do deˆuteron Rd e
da part´ıcula alfa Rα sa˜o, respectivamente:
(a) Rd =
√
2R e Rα =
√
2R.
(b) Rd = 2R e Rα = 2R.
(c) Rd = 2R e Rα = R/2.
(d) Rd =
√
2R/2 e Rα =
√
2R/2.
(e) Rd = R/2 e Rα = 2R.
2
7. Considere um soleno´ide ideal de raio Rsol e uma es-
pira circular de raio Resp coaxial a ele, e suponha que
Resp > Rsol (ou seja, a espira esta´ fora do soleno´ide).
Pelo soleno´ide passa uma corrente na˜o-estaciona´ria
I(t). Denotando a indutaˆncia mu´tua do sistema por
M , as auto-indutaˆncias do soleno´ide e da espira por
Lsol e Lesp, e o campo produzido pelo soleno´ide em
seu exterior por Bext, qual das afirmac¸o˜es abaixo e´
verdadeira?
(a) Lesp = 0 pois Bext = 0.
(b) M depende de I(t).
(c) M = 0 pois Bext = 0.
(d) Lsol depende de I(t).
(e) M depende de Rsol.
(f) Lesp depende de Rsol.
8. Uma espira circular move-se de baixo para cima na
direc¸a˜o de um ima˜ permanente fixo, assim como na
figura abaixo. Vista de cima a corrente no fio sera´:
(a) no sentido hora´rio e a forc¸a na espira sera´ para
cima
(b) no sentido anti-hora´rio e a forc¸a na espira sera´
para cima
(c) no sentido hora´rio e a forc¸a na espira sera´ para
baixo
(d) no sentido anti-hora´rio e a forc¸a na espira sera´
para baixo
(e) no sentido hora´rio e a forc¸a na espira sera´ zero
(f) no sentido anti-hora´rio e a forc¸a na espira sera´
zero
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Considere uma espira quadrada de lado 2a percorrida por uma corrente estaciona´ria I no sentido
anti-hora´rio, e sujeita a um campo magne´tico externo estaciona´rio e uniforme ~B0 = B0xˆ. A espira se encontra no
plano XY , conforme a figura.
(a) [0,6 ponto] Calcule as forc¸as ~F1 sobre o lado horizontal superior do quadrado e ~F2 sobre o lado vertical a` direita
do quadrado, exercidas pelo campo magne´tico externo.
(b) [0,6 ponto] Determine o momento de dipolo magne´tico ~µ associado a` espira e calcule o vetor torque ~τ que o
campo externo ~B0 exerce sobre a mesma.
(c) [1,4 pontos] Determine o campo magne´tico ~B produzido pela espira no seu centro P = (0, a, 0).
2. [2,6 pontos] Uma espira retangular no plano XZ, de auto-indutaˆncia desprez´ıvel, tem lados a e b e resisteˆncia R.
Um fio retil´ıneo infinito, por onde flui uma corrente dependente do tempo I(t), e´ colocado ao longo do eixo Z a
uma distaˆncia x0 da espira, conforme mostra a figura. Despreze as correntes de deslocamento do sistema.
(a) [0,6 ponto] Sabendo que o campo produzido pelo fio retil´ıneo em um ponto P e´ dado por ~B = B(s)ϕˆ, onde s e´
a distaˆncia de P ao fio e ϕˆ e´ o vetor unita´rio que “circula”em torno do fio, encontre B(s).
(b) [1,2 ponto] Calcule o fluxo magne´tico atrave´s da espira, tomando yˆ como o unita´rio normal a` superf´ıcie.
(c) [0,8 ponto] Supondo que I(t) = I0 cosωt, determine a forc¸a eletromotriz induzida na espira?
4
Gabarito para Versa˜o C
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (a)
2. (d)
3. (d)
4. (c)
5. (b)
6. (b)
7. (e)
8. (c)
1
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Ambas as forc¸as podem ser obtidas da expressa˜o geral
~F = I
∫
~dl× ~B.
No lado superior temos ~dl ‖ ~B0, e portanto
~dl× ~B0 = 0 ⇒ ~F1 = 0 . (1)
Ja´ no lado inferior temos ~dl⊥ ~B0, e, como ~B0 e´ uniforme, a integral simplifica-se bastante
~F2 = I
∫
l.v.d.
~dl× ~B0 = I
∫
l.v.d.
dyB0(−zˆ) = IB0(−zˆ)
∫
l.v.d.
dy
ou seja,
~F2 = −2IB0azˆ (2)
(b) O momento magne´tico da espira e´ dado por
~µ = IAquad zˆ ⇒ ~µ = 4Ia2zˆ (3)
e o torque enta˜o pode ser obtido de
~τ = ~µ× ~B0 = 4Ia2B0(zˆ× xˆ) ⇒ ~τ = 4Ia2B0yˆ (4)
(c) Devido a` simetria de rotac¸o˜es mu´ltiplas de π/2 sobre o ponto P, podemos calcular o campo magne´tico produzido
por um dos lados apenas, e multiplicar o resultado por 4. Consideremos enta˜o o lado vertical a´ direita. Temos
d~ℓ = dy yˆ , ~rP = ~r = ayˆ , ~r
′ = axˆ + yyˆ
donde
~r−~r′ = −axˆ + (a− y)yˆ ⇒ |~r−~r′| =
√
a2 + (y − a)2
e logo
d~B =
µ0
4π
Id~ℓ× (~r−~r′)
|~r−~r′|3 =
µ0I
4π
(dy yˆ)× [−axˆ + (a− y)yˆ]
[a2 + (y − a)2]3/2 = −
µ0I
4π
dy(−a)(−zˆ)
[a2 + (y − a)2]3/2
Integrando, temos
~Bl.v.d. =
∫
l.v.d.
d~B =
µ0Ia
4π
zˆ
∫ 2a
0
dy
[a2 + (y − a)2]3/2 =
µ0Ia
4π
zˆ
∫ a
−a
du
[a2 + u2]3/2
(5)
onde no u´ltimo passo fizemos a substituic¸a˜o u = y − a. Utilizando o resultado∫
du
[a2 + u2]3/2
=
1
a2
u√
u2 + a2
⇒
∫ a
−a
du
[a2 + u2]3/2
=
1
a2
2a√
2a
=
√
2
a2
que, substitu´ıdo em (5), leva a
~Bl.v.d. =
µ0
√
2I
4πa
zˆ
e, por fim, temos
~B = 4 ~Bl.v.d. ⇒ ~B = µ0
√
2I
πa
zˆ (6)
�
2
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Ja´ sabendo que ~B = Bϕˆ e que na˜o ha´ efeitos de correntes de deslocamento, podemos determinar B aplicando
a lei de Ampe`re. Para isso, basta trac¸ar uma curva amperiana circular C de raio s, centrada no fio, e calcular a
circulac¸a˜o de ~B
∫
C
~B · ~dl =
∫
C
(B(s)ϕˆ) · (dlϕˆ) =
∫
C
B(s)dl
1︷ ︸︸ ︷
(ϕˆ) · ϕˆ) = B(s)
∫
C
dl = B(s)× 2πs,
donde, aplicando a lei de Ampe`re, temos
∫
C
~B · ~dl = 2πsB(s) = µ0I ⇒ B(s) = µ0I
2πs
. (7)
(b) O fluxo do campo magne´tico atrave´s da espira e´ dado por
Φm =
∫
S
~B · ~dA
onde S e´ a a´rea retaˆngular delimitada pela espira. Como o plano da espira e´ perpendicular ao vetor unita´rio ϕˆ e
sabendo que nesse plano particular temos ϕˆ = yˆ, podemos fazer ~B = Byˆ, ~dA = dAyˆ e enta˜o
Φm =
∫
S
(Byˆ) · (dAyˆ) =
∫
S
BdA
1︷ ︸︸ ︷
(yˆ · yˆ) =
∫
S
Bdxdy =
∫
S
(
µ0I
2πx
)
dxdy
=
µ0I
2π
∫ a
0
dy
∫ x0+b
x0
dx
x
=
µ0Ia
2π
[
log x
]x0+b
x0
ou seja,
Φm =
µ0Ia
2π
log
(
x0 + b
x0
)
(8)
(c) A forc¸a eletromotriz ε pode ser calculada pela lei de Faraday. Temos
ε = −dφm
dt
= − d
dt
µ0
I0 cosωt︷︸︸︷
I(t) a
2π
log
(
x0 + b
x0
)
= −µ0a
2π
log
(
x0 + b
x0
)
d
dt
I0 cosωt
donde
ε =
µ0aωI0
2π
sin(ωt) log
(
x0 + b
x0
)
(9)
�
3
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2014/2 – Segunda Prova: 01/10/2014
Versa˜o: D
Formula´rio
~Fm = q~v × ~B , d ~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d ~A = 0 , d ~B = µ0
4π
Id~ℓ× (~r−~r′)
|~r−~r′|3 ,∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0dΦE
dt
, Eind = −dΦB
dt
, ~µ = IA nˆ , ΦB = LI , uB =
1
2
B2
µ0
.
∫
du
(u2 + a2)3/2
=
1
a2
u
(u2 + a2)1/2
+ C
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Por um condutor cil´ındrico macic¸o e infinito de raio
R passa uma corrente estaciona´ria e axial I uniforme-
mente distribu´ıda atrave´s de sua sec¸a˜o reta. O campo
magne´tico ~B a uma distaˆncia radial s do eixo do con-
dutor,em coordenadas cil´ındricas (s, ϕ), e´ igual a
(a) ~B(s < R) =
µ0iIs
2πR2
sˆ e ~B(s > R) =
µ0I
2πs
sˆ
(b) ~B(s < R) =
µ0Is
2πR2
ϕˆ e ~B(s > R) =
µ0I
2πs
ϕˆ
(c) ~B(s < R) =
µ0I
2πs
sˆ e ~B(s > R) =
µ0I
2πs
sˆ
(d) ~B(s < R) =
µ0I
2πs
ϕˆ e ~B(s > R) =
µ0I
2πs
ϕˆ
(e) ~B(s < R) 6= 0 e ~B(s > R) = 0
2. Um pro´ton (carga +e, massa m), um deˆuteron
(carga +e, massa 2m), e uma part´ıcula alfa (carga
+2e, massa 4m) entram numa regia˜o com campo
magne´tico uniforme ~B, todas com a mesma veloci-
dade ~v. Sabendo-se que ~v⊥ ~B e que o pro´ton se
move numa circunferncia de raio R, podemos dizer
que os raios das o´rbitas circulares do deˆuteron Rd e
da part´ıcula alfa Rα sa˜o, respectivamente:
(a) Rd =
√
2R e Rα =
√
2R.
(b) Rd = 2R e Rα = 2R.
(c) Rd = 2R e Rα = R/2.
(d) Rd =
√
2R/2 e Rα =
√
2R/2.
(e) Rd = R/2 e Rα = 2R.
1
3. Considere um soleno´ide ideal de raio Rsol e uma es-
pira circular de raio Resp coaxial a ele, e suponha que
Resp > Rsol (ou seja, a espira esta´ fora do soleno´ide).
Pelo soleno´ide passa uma corrente na˜o-estaciona´ria
I(t). Denotando a indutaˆncia mu´tua do sistema por
M , as auto-indutaˆncias do soleno´ide e da espira por
Lsol e Lesp, e o campo produzido pelo soleno´ide em
seu exterior por Bext, qual das afirmac¸o˜es abaixo e´
verdadeira?
(a) Lesp = 0 pois Bext = 0.
(b) M depende de I(t).
(c) M = 0 pois Bext = 0.
(d) Lsol depende de I(t).
(e) M depende de Rsol.
(f) Lesp depende de Rsol.
4. Seja uma superf´ıcie esfe´rica S, dividida em duas me-
tades S1 e S2 por um grande c´ırculo C. A partir da
lei de Ampe`re, podemos afirmar que
(a) O fluxo do campo magne´tico atrave´s de S1 e´
proporcional a` circulac¸a˜o de corrente atrave´s
de C.
(b) A circulac¸a˜o do campo magne´tico ao longo de
C e´ proporcional ao a` intensidade de corrente
atrave´s de S.
(c) A circulac¸a˜o do campo magne´tico ao longo
de C e´ proporcional a` intensidade de corrente
atrave´s de S2.
(d) O fluxo do campo magne´tico atrave´s de S e´
proporcional a` circulac¸a˜o de corrente atrave´s
de C.
(e) A circulac¸a˜o do campo magne´tico ao longo de
C e´ nula.
5. A figura a seguir mostra a sec¸a˜o reta de treˆs fios que
conduzem correntes estaciona´rias, com intensidade de
mesmo mo´dulo I, que atravessam o plano da figura
com sentidos indicados na mesma. Quatro curvas ori-
entadas indicadas pelas letras a ate´ d sa˜o apresentadas
na figura. A alternativa a seguir que melhor relaci-
ona a circulac¸a˜o do campo magne´tico Ci =
∮
i
~B · d~l
(i = a, b, c, d) em cada curva e´
(a) Cb < Ca = Cc < Cd.
(b) Ca < Cb < Cc < Cd.
(c) Ca < Cb = Cd < Cc.
(d) Cd < Cc = Ca < Cb.
(e) Ca = Cc < Cb = Cd.
2
6. Considere um plano infinito com uma densidade su-
perficial de corrente ~K = Kxˆ. Sabendo que esse plano
conte´m os eixos X e Y (que sa˜o perpendiculares entre
si) e e´ perpendicular ao eixo Z, qual das afirmativas
abaixo e´ verdadeira? (Obs.: simetria plana e´ a sime-
tria de translac¸a˜o nas direc¸o˜es X e Y , e simetria axial
e´ a simetria de rotac¸o˜es em torno de um eixo dado)
(a) Pela simetria plana, o campo magne´tico sem-
pre aponta na direc¸a˜o zˆ.
(b) Pela simetria axial em torno de Z, o mo´dulo do
campo magne´tico independe das coordenadas
x e y.
(c) Pela simetria axial em torno de Z, o campo
magne´tico sempre aponta na direc¸a˜o zˆ.
(d) Pela simetria plana, o mo´dulo do campo
magne´tico independe das coordenadas x e y.
(e) Pela simetria axial em torno de X , o campo
magne´tico sempre aponta na direc¸a˜o xˆ.
7. Considere dois ane´is circulares, um condutor e outro
isolante, pertencentes a um mesmo plano, sujeitos a
um campo magne´tico varia´vel no tempo, perpendi-
cular ao plano dos ane´is. Estando os dois ane´is em
repouso, em qual deles surgira´ uma forc¸a eletromo-
triz induzida? Em qual deles surgira´ uma corrente
induzida?
(a) Em nenhum dos ane´is. Em nenhum dos ane´is.
(b) Em nenhum dos ane´is. Somente no anel con-
dutor.
(c) Somente no anel condutor. Somente no anel
condutor.
(d) Em ambos os ane´is. Somente no anel condutor.
(e) Em ambos os ane´is. Em ambos os ane´is.
8. Uma espira circular move-se de baixo para cima na
direc¸a˜o de um ima˜ permanente fixo, assim como na
figura abaixo. Vista de cima a corrente no fio sera´:
(a) no sentido hora´rio e a forc¸a na espira sera´ para
cima
(b) no sentido anti-hora´rio e a forc¸a na espira sera´
para cima
(c) no sentido hora´rio e a forc¸a na espira sera´ para
baixo
(d) no sentido anti-hora´rio e a forc¸a na espira sera´
para baixo
(e) no sentido hora´rio e a forc¸a na espira sera´ zero
(f) no sentido anti-hora´rio e a forc¸a na espira sera´
zero
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Considere uma espira quadrada de lado 2a percorrida por uma corrente estaciona´ria I no sentido
anti-hora´rio, e sujeita a um campo magne´tico externo estaciona´rio e uniforme ~B0 = B0xˆ. A espira se encontra no
plano XY , conforme a figura.
(a) [0,6 ponto] Calcule as forc¸as ~F1 sobre o lado horizontal superior do quadrado e ~F2 sobre o lado vertical a` direita
do quadrado, exercidas pelo campo magne´tico externo.
(b) [0,6 ponto] Determine o momento de dipolo magne´tico ~µ associado a` espira e calcule o vetor torque ~τ que o
campo externo ~B0 exerce sobre a mesma.
(c) [1,4 pontos] Determine o campo magne´tico ~B produzido pela espira no seu centro P = (0, a, 0).
2. [2,6 pontos] Uma espira retangular no plano XZ, de auto-indutaˆncia desprez´ıvel, tem lados a e b e resisteˆncia R.
Um fio retil´ıneo infinito, por onde flui uma corrente dependente do tempo I(t), e´ colocado ao longo do eixo Z a
uma distaˆncia x0 da espira, conforme mostra a figura. Despreze as correntes de deslocamento do sistema.
(a) [0,6 ponto] Sabendo que o campo produzido pelo fio retil´ıneo em um ponto P e´ dado por ~B = B(s)ϕˆ, onde s e´
a distaˆncia de P ao fio e ϕˆ e´ o vetor unita´rio que “circula”em torno do fio, encontre B(s).
(b) [1,2 ponto] Calcule o fluxo magne´tico atrave´s da espira, tomando yˆ como o unita´rio normal a` superf´ıcie.
(c) [0,8 ponto] Supondo que I(t) = I0 cosωt, determine a forc¸a eletromotriz induzida na espira?
4
Gabarito para Versa˜o D
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (b)
2. (b)
3. (e)
4. (c)
5. (a)
6. (d)
7. (d)
8. (c)
1
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Ambas as forc¸as podem ser obtidas da expressa˜o geral
~F = I
∫
~dl× ~B.
No lado superior temos ~dl ‖ ~B0, e portanto
~dl× ~B0 = 0 ⇒ ~F1 = 0 . (1)
Ja´ no lado inferior temos ~dl⊥ ~B0, e, como ~B0 e´ uniforme, a integral simplifica-se bastante
~F2 = I
∫
l.v.d.
~dl× ~B0 = I
∫
l.v.d.
dyB0(−zˆ) = IB0(−zˆ)
∫
l.v.d.
dy
ou seja,
~F2 = −2IB0azˆ (2)
(b) O momento magne´tico da espira e´ dado por
~µ = IAquad zˆ ⇒ ~µ = 4Ia2zˆ (3)
e o torque enta˜o pode ser obtido de
~τ = ~µ× ~B0 = 4Ia2B0(zˆ× xˆ) ⇒ ~τ = 4Ia2B0yˆ (4)
(c) Devido a` simetria de rotac¸o˜es mu´ltiplas de π/2 sobre o ponto P, podemos calcular o campo magne´tico produzido
por um dos lados apenas, e multiplicar o resultado por 4. Consideremos enta˜o o lado vertical a´ direita. Temos
d~ℓ = dy yˆ , ~rP = ~r = ayˆ , ~r
′ = axˆ + yyˆ
donde
~r−~r′ = −axˆ + (a− y)yˆ ⇒ |~r−~r′| =
√
a2 + (y − a)2
e logo
d~B =
µ0
4π
Id~ℓ× (~r−~r′)
|~r−~r′|3 =
µ0I
4π
(dy yˆ)× [−axˆ + (a− y)yˆ]
[a2 + (y − a)2]3/2 = −
µ0I
4π
dy(−a)(−zˆ)
[a2 + (y − a)2]3/2
Integrando, temos
~Bl.v.d. =
∫
l.v.d.
d~B =
µ0Ia
4π
zˆ
∫ 2a
0
dy
[a2 + (y − a)2]3/2 =
µ0Ia
4π
zˆ
∫ a
−a
du
[a2 + u2]3/2
(5)
onde no u´ltimo passo fizemos a substituic¸a˜o u = y − a. Utilizando o resultado∫
du[a2 + u2]3/2
=
1
a2
u√
u2 + a2
⇒
∫ a
−a
du
[a2 + u2]3/2
=
1
a2
2a√
2a
=
√
2
a2
que, substitu´ıdo em (5), leva a
~Bl.v.d. =
µ0
√
2I
4πa
zˆ
e, por fim, temos
~B = 4 ~Bl.v.d. ⇒ ~B = µ0
√
2I
πa
zˆ (6)
�
2
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Ja´ sabendo que ~B = Bϕˆ e que na˜o ha´ efeitos de correntes de deslocamento, podemos determinar B aplicando
a lei de Ampe`re. Para isso, basta trac¸ar uma curva amperiana circular C de raio s, centrada no fio, e calcular a
circulac¸a˜o de ~B
∫
C
~B · ~dl =
∫
C
(B(s)ϕˆ) · (dlϕˆ) =
∫
C
B(s)dl
1︷ ︸︸ ︷
(ϕˆ) · ϕˆ) = B(s)
∫
C
dl = B(s)× 2πs,
donde, aplicando a lei de Ampe`re, temos
∫
C
~B · ~dl = 2πsB(s) = µ0I ⇒ B(s) = µ0I
2πs
. (7)
(b) O fluxo do campo magne´tico atrave´s da espira e´ dado por
Φm =
∫
S
~B · ~dA
onde S e´ a a´rea retaˆngular delimitada pela espira. Como o plano da espira e´ perpendicular ao vetor unita´rio ϕˆ e
sabendo que nesse plano particular temos ϕˆ = yˆ, podemos fazer ~B = Byˆ, ~dA = dAyˆ e enta˜o
Φm =
∫
S
(Byˆ) · (dAyˆ) =
∫
S
BdA
1︷ ︸︸ ︷
(yˆ · yˆ) =
∫
S
Bdxdy =
∫
S
(
µ0I
2πx
)
dxdy
=
µ0I
2π
∫ a
0
dy
∫ x0+b
x0
dx
x
=
µ0Ia
2π
[
log x
]x0+b
x0
ou seja,
Φm =
µ0Ia
2π
log
(
x0 + b
x0
)
(8)
(c) A forc¸a eletromotriz ε pode ser calculada pela lei de Faraday. Temos
ε = −dφm
dt
= − d
dt
µ0
I0 cosωt︷︸︸︷
I(t) a
2π
log
(
x0 + b
x0
)
= −µ0a
2π
log
(
x0 + b
x0
)
d
dt
I0 cosωt
donde
ε =
µ0aωI0
2π
sin(ωt) log
(
x0 + b
x0
)
(9)
�
3