capitulo 3, Boldrini - resumo

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Parte 3: Determinante e Matriz 
Inversa
Prof. Francisco Rafael Marques Lima
Campus Sobral
Álgebra Linear (SBL0056)
1. Introdução
• Definição de matriz inversa:
– Uma matriz quadrada A possui uma matriz inversa B se:
– Neste caso, temos: 𝐵 = 𝐴−1
• Para que serve:
– Para resolver sistemas de equações lineares possíveis e determinados 
– Sistema possível e determinado com o mesmo número de equações e 
incógnitas:
𝐴𝑋 = 𝐵 → 𝑋 = 𝐴−1𝐵
– Para sistemas indeterminados, matrizes inversas são usadas para calcular uma 
solução aproximada.
2
1. Introdução
• Determinante: 
– É um número associado a matrizes quadradas.
– “Os determinantes determinam antes. Determinam antes do quê? Eles dizem 
para você se uma equação linear tem solução ou não antes de você resolvê-
la.”
• Para que serve:
– Para sistemas com n equações e n incógnitas, o determinante:
• Diz se o sistema é possível e determinado 
• É usado no cálculo da solução
3
1. Introdução
• Para que serve especificamente (sistemas com n equações e n
incógnitas):
– Permite saber se a matriz tem ou não inversa (quando determinante = 0, a matriz não 
tem inversa)
– Permite saber se um sistema é possível e determinado
– Pode ser usado para se determinar o posto de uma matriz
– Usado para se calcular a solução de sistemas (Regra de Cramer)
– Usado para se calcular a inversa de uma matriz
– Pode ser usado para se calcular áreas ou volumes
4
2. Determinante
• Caso 1x1:
– Solução: 
– Sistema possível e determinado : a ≠ 0 
– Solução depende da matriz dos coeficientes
• Caso 2x2: 
– Solução:
– Sistema possível e determinado : 
– Solução depende da matriz dos coeficientes 5
𝑎11𝑎22-𝑎12𝑎21≠0
2. Determinante
• Caso 3x3:
– Solução: todas as incógnitas possuem o mesmo denominador:
– Sistema possível e determinado : denominador ≠ 0 
– Solução depende da matriz dos coeficientes
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2. Determinante
• Notação:
• Caso particulares:
7
2. Determinante
• Caso geral:
– Antes de definirmos o determinante no caso geral, vamos introduzir algumas definições.
– Quantas inversões possuem e ?
8
2. Determinante
• Caso geral:
– Antes de definirmos o determinante no caso geral, vamos introduzir algumas definições.
– Quantas inversões possuem e ?
9
3 e 6, respectivamente
2. Determinante
• Caso geral:
10
2. Determinante
• Caso geral:
11
j1 = 1, j2 = 3 e j3 = 2 j1 = 3, j2 = 1 e j3 = 2
2. Determinante
• Caso geral:
Observações:
12
2. Determinante
• Qual o determinante de uma matriz 4x4
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44
?
13
2. Determinante
• Qual o determinante de uma matriz 4x4
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44
?
14
Quais permutações de 4 elementos?
(4 3 2 1), (4 3 1 2), (4 2 3 1), (4 2 1 3), (4 1 3 2)
(4 1 2 3), (3 4 2 1), (3 4 1 2), (3 2 4 1), (3 2 1 4)
(3 1 4 2), (3 1 2 4), (2 4 3 1), (2 4 1 3), (2 3 4 1)
(2 3 1 4), (2 1 4 3), (2 1 3 4), (1 4 3 2), (1 4 2 3),
(1 3 4 2), (1 3 2 4), (1 2 4 3), (1 2 3 4)
2. Determinante
• Qual o determinante de uma matriz 4x4
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44
?
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Perm. # inv. Perm. # inv. Perm. # inv. Perm. # inv.
(4 3 2 1) 6 (3 4 2 1) 5 (2 4 3 1) 4 (1 4 3 2) 3
(4 3 1 2) 5 (3 4 1 2) 4 (2 4 1 3) 3 (1 4 2 3) 2
(4 2 3 1) 5 (3 2 4 1) 4 (2 3 4 1) 3 (1 3 4 2) 2
(4 2 1 3) 4 (3 2 1 4) 3 (2 3 1 4) 2 (1 3 2 4) 1
(4 1 3 2) 4 (3 1 4 2) 3 (2 1 4 3) 2 (1 2 4 3) 1
(4 1 2 3) 3 (3 1 2 4) 2 (2 1 3 4) 1 (1 2 3 4) 0
Qual o número de inversões para cada uma das permutações?
2. Determinante
• Qual o determinante de uma matriz 4x4
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44
?
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Determinante:
a14a23a32a41 - a14a23a31a42 - a14a22a33a41 + a14a22a31a43 + a14a21a33a42 -
a14a21a32a43 - a13a24a32a41 + ...
2. Determinante
• Propriedades:
Prova:
Prova:
17
2. Determinante
• Propriedades:
Prova:
Prova:
18
Como em cada termo do somatório temos um e apenas um termo de cada linha, 
todos termos do somatório estariam multiplicados por zero
2. Determinante
• Propriedades:
Prova:
Prova:
19
Como em cada termo do somatório temos um e apenas um termo de cada linha, 
todos termos do somatório estariam multiplicados por zero
Propriedades válidas para as linhas aplicam-se às colunas
2. Determinante
• Propriedades:
Prova:
Prova:
20
2. Determinante
• Propriedades:
Prova:
Prova:
21
Como em cada termo do somatório temos um e apenas um termo de cada linha, cada 
termo do somatório estará multiplicado pela constante. Colocando este termo em 
evidência, teremos o determinante da matriz original vezes a constante
2. Determinante
• Propriedades:
Prova:
Prova:
22
Como em cada termo do somatório temos um e apenas um termo de cada linha, cada 
termo do somatório estará multiplicado pela constante. Colocando este termo em 
evidência, teremos o determinante da matriz original vezes a constante
Partindo da forma alternativa de definir o determinante na observação iii), temos que 
trocar duas linhas leva a uma mudança na paridade do número de inversões
2. Determinante
• Propriedades:
Prova:
23
2. Determinante
• Propriedades:
Prova:
24
Trocar duas linhas de uma matriz troca a polaridade do determinante segundo a 
propriedade anterior iv). Contudo, se estas linhas forem iguais, o resultado não 
deveria mudar. Portanto, o único número que é igual ao oposto dele é o zero.
2. Determinante
• Propriedades:
Prova:
25
2. Determinante
• Propriedades:
Prova:
26
Para provar essa propriedade, deve-se usar a definição do determinante e a 
propriedade distributiva. Veja detalhes no Boldrini.
CUIDADO: det(A+B) ≠ det(A) + det(B)
2. Determinante
• Propriedades:
• Prova:
27
2. Determinante
• Propriedades:
• Prova:
28
A prova desta propriedade pode ser obtida aplicando as propriedades vi), iii) e v). 
Basicamente, da propriedade vi) e iii) temos que o determinante resultante será a 
soma do determinante da matriz original e o determinante de uma matriz com duas 
linhas repetidas multiplicada pela constante 
2. Determinante
• Propriedades:
• Prova:
29
A prova desta propriedade pode ser obtida aplicando as propriedades vi, iii e v. 
Basicamente, da propriedade vi e iii temos que o determinante resultante será a soma 
do determinante da matriz original e o determinante de uma matriz com duas linhas 
repetidas multiplicada pela constante 
Prova bem mais elaborada. Veja Boldrini.
3. Desenvolvimento de Laplace
• No caso 3x3, note que:
pode ser expresso como:
ou ainda:
30
3. Desenvolvimento de Laplace
31
3. Desenvolvimento de Laplace
32
3. Desenvolvimento de Laplace
Submatriz Aij (o menor do elemento aij): Sinal que multiplica o cofator:
33
3. Desenvolvimento de Laplace
Observação:
Dica:
Usar as propriedades i)-viii) para simplificar o cálculo do determinante. Por exemplo, 
antes de realizar o desenvolvimento de Laplace, é interessante usar estas 
propriedades para fazer com a matriz tenha uma linha ou coluna com vários 
elementos iguaisa zero.
34
3. Desenvolvimento de Laplace
• Pierre-Simon Laplace nasceu em 1749 
na cidade de Beaumont-em-
auge/França e faleceu em 1827 em 
Paris/França
• Contribuições: mecânica celeste 
generalizando os estudos de Newton, 
transformada de Laplace, operador 
diferencial de Laplace, probabilidades, 
determinantes, entre outras
• “Newton francês”
• Laplace não era nada modesto e 
deixava claro que se achava o mais 
brilhante de sua época. Bem ou mal, 
ele estava certo.
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3. Desenvolvimento de Laplace
• Exemplos:
36
3. Desenvolvimento de Laplace
• Exemplos:
37
3. Desenvolvimento de Laplace
• Exemplos:
38
3. Desenvolvimento de Laplace
• Exemplos:
Dica: Somou-se a segunda linha à terceira
39
3. Desenvolvimento de Laplace
• Exemplos:
40
3. Desenvolvimento de Laplace
• Exemplos:
Dicas:
41
C1←C1-2.C2
L2←(-1).L2 L1←L1+L2
L3 ←L3+L2
3. Desenvolvimento de Laplace
• Exemplos:
42
3. Desenvolvimento de Laplace
• Exemplos:
43
3. Desenvolvimento de Laplace
• Exemplos:
44
3. Desenvolvimento de Laplace
• Exemplos:
Dica: 
45
vi)
iii)
4. Matriz Inversa
• Definição: Matriz inversa de A
• Exemplos:
46
4. Matriz Inversa
• Exemplos:
47
4. Matriz Inversa
iv) Se A não tem inversa, dizemos que A e não invertível ou singular.
v) Se A possui inversa, então a inversa é única.
48
Faça o teste!
4. Matriz Inversa
• Outras propriedades da Inversa:
49
4. Matriz Inversa
• Definição: Matriz dos cofatores de A
50
4. Matriz Inversa
• Definição: Matriz adjunta de A
• Verifique quanto vale 𝑨. ഥ𝑨′ = ? ? ?
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4. Matriz Inversa
• Teorema:
Note que c12 é equivalente ao determinante da matriz B obtida através de A substituindo a linha 
2 pela linha 1 utilizando o desenvolvimento de Laplace pela segunda linha. Contudo, pode-se 
mostrar que o determinante de B é zero pois esta matriz possui duas linhas iguais.
52
4. Matriz Inversa
53
4. Matriz Inversa
• Corolário:
• Prova: 
• Os cofatores podem ser usados para o cálculo da matriz inversa!
Exemplos – Cálculo da matriz inversa:
54
4. Matriz Inversa
55
4. Matriz Inversa
56
4. Matriz Inversa
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4. Matriz Inversa
• Num sistema n x n, se a matriz de coeficientes possui 
determinante diferente de zero, então o sistema é possível e 
determinado.
• Se o determinante é igual a zero, então o sistema é possível e 
indeterminado ou impossível.
• Neste caso, para saber se o sistema é possível e 
indeterminado ou impossível, é necessário olharmos o posto 
da matriz ampliada.
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5. Regra de Cramer
• A solução de um sistema n x n mostrada no slide anterior pode ser escrita 
das seguintes formas:
59
5. Regra de Cramer
• Logo:
• Note que:
• Assim, temos:
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5. Regra de Cramer
• Numerador = determinante da matriz obtida de A substituindo a i-ésima
coluna pelos termos independentes
• Denominador = determinante de A
• Método válido apenas para sistemas n x n
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5. Regra de Cramer
• Gabriel Cramer nasceu em Genebra/Suiça
em 1704 e faleceu na França em 1752
• Professor de matemática e filosofia na 
universidade de Genebra
• Teve contato com outros grandes nomes 
da matemática e Física: Johann Bernolli, 
Leonhard Euler, entre outros
• Mais conhecido por seu método para 
cálculo de determinantes mas também 
tem contribuições no estudo de curvas 
algébricas 
62
5. Regra de Cramer
• Exemplo:
63
Nota sobre complexidade: O número de operações para se calcular a solução de um 
sistema n x n pela regra de Cramer e a definição de determinantes é igual a 
(n+1).(n!n-1). Para um sistema 10x10 teríamos 362.880.000 operações! 
6. Cálculo do posto usando 
determinantes
• Como já vimos antes, o conhecimento do posto 
da matriz de coeficientes e da matriz ampliada de 
um sistema linear nos dá a informação sobre a 
existência ou não de soluções do sistema
• Infelizmente, o método que sabemos para 
calcular o posto requer a solução do sistema 
através do método de Gauss-Jordan obtendo a 
matriz na forma escalonada reduzida
• Mostraremos a seguir um método (não menos 
complexo) de calcular o posto de uma matriz 
(quadrada ou não) através de determinantes
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6. Cálculo do posto usando 
determinantes
Quais submatrizes quadradas de ordem 4?
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6. Cálculo do posto usando 
determinantes
• O determinantes de todas essas matrizes são 0. 
Portanto, o posto não é 4
• Há 40 submatrizes de ordem 3x3. Essa matrizes 
podem ser obtidas cortando duas colunas e 1 
linha
• Há 
5
2
formas de cortar 2 colunas dentre as 5, e 
para cada uma delas, há 4 linhas possíveis a 
serem cortadas totalizando 40 submatrizes
• Todas essas submatrizes possuem determinante 0
66
6. Cálculo do posto usando 
determinantes
• Contudo, a submatriz de ordem 2x2 abaixo 
possui determinante diferente de 0
• Portanto, o posto da matriz é 2.
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6. Cálculo do posto usando 
determinantes
• Exemplo 2: Determine se o sistema abaixo é possível ou não 
sem resolvê-lo
• Para saber se um sistema é possível, precisamos saber o posto 
da matriz de coeficientes e da matriz ampliada
• Primeiramente, o determinante da matriz de coeficientes é 
zero pois a terceira linha é a segunda linha multiplicada por -3
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6. Cálculo do posto usando 
determinantes
• Portanto, o posto de A é menor que 3
• Como o determinante de uma das submatrizes 2x2 de A é 
diferente de 0, então o posto de A é 2 
• Observemos agora o posto da matriz de coeficientes. 
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6. Cálculo do posto usando 
determinantes
• Podemos ver diretamente que o determinante de uma das 
submatrizes de ordem 3x3 é diferente de zero
• Portanto, o posto da matriz ampliada é 3
• Logo, o sistema não admite solução pois o posto da matriz de 
coeficientes é diferente do posto da matriz ampliada
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7. Matrizes Elementares
• Mostraremos na parte 8 destes slides um processo de 
inversão de matrizes que não demanda de tantas operações 
como a regra de Cramer
• Antes disso, precisamos entender que qualquer operações 
nas linhas de matrizes é equivalente a multiplicação por uma 
matriz especial
• Ideia-chave: as 3 operações elementares podem ser 
expressas como multiplicações por matrizes elementares
71
7. Matrizes Elementares
72
7. Matrizes Elementares
73
7. Matrizes Elementares
74
7. Matrizes Elementares
• Qual o conceito básico por trás do conceito 
mostrado?
• Qual a lei de formação da matriz que devemos 
multiplicar?
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7. Matrizes Elementares
• Qual o conceito básico por trás do conceito 
mostrado?
• Qual a lei de formação da matriz que devemos 
multiplicar?
• Aplicar operações elementares em uma matriz A é o 
mesmo que aplicar as mesmas operações na matriz 
identidade e depois multiplicar essa matriz por A
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7. Matrizes Elementares
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7. Matrizes Elementares
78
7. Matrizes Elementares
• Definição: Uma matriz elementar é uma matriz 
obtida a partir da matriz identidade, através da 
aplicação de uma operação elementar com linhas
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Troca das linhas i e j
Produto da linha i por 
um escalar
Linha j é ela mesma somada a 
linha i multiplicada por um 
escalar
7. Matrizes Elementares
• Exemplo: Qual o formato de todas matrizes 
elementares 2x2?
80
7. Matrizes Elementares
• Exemplo: Qual o formato de todas matrizes 
elementares 2x2?
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7. Matrizes Elementares
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A1
A2
A3
A1
-1
A2
-1
A3
-1
7. Matrizes Elementares
• Exemplo: Qual a inversa de ?
Esta matriz corresponde a matriz identidade após 
substituir a linha1 pela soma da linha 1 e a linha 3 
multiplicada por 2.
Portanto, a inversa dessa matriz corresponde a matriz 
identidade com a linha 1 substituída pela linha 1 
subtraída da linha 3 multiplicada por 2
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7. Matrizes Elementares
• Exemplo: Qual a inversa de ?
Esta matriz corresponde a matriz identidade após a 
troca entre as linhas 2 e 3.
Portanto, a inversa dessa matriz corresponde a matriz 
identidade após a troca entre as linhas 2 e 3
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7. Matrizes Elementares
• Exemplo: Qual a inversa de ?
Esta matriz corresponde a matriz identidade após a 
multiplicação da linha 2 por 17.
Portanto, a inversa dessa matriz corresponde a matriz 
identidade após divisão da linha 2 por 17.
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8. Método para Cálculo da Inversa 
Usando Matrizes Elementares
Prova: Se A é invertível, então existe B (inversa de A) tal que BA = I. Considere 
um sistema de equações homogêneas Ax = 0. Para que esse sistema tenha 
apenas a solução trivial, a forma escalonada reduzida da matriz ampliada 
deve ser [Inxn|0nx1]. Em outras palavras, caso o sistema homogêneo Ax = 0
tenha apenas a solução trivial, a forma escalonada reduzida da matriz de 
coeficientes, A, deve ser a matriz identidade.
Portanto, basta provar que se A é invertível, a solução do sistema Ax = 0
admite apenas a solução trivial (e consequentemente a forma escalonada 
reduzida da matriz A é a identidade):
x = Ix = BAx = B(Ax) = B0 = 0
Logo, Ax = 0 admite apenas a solução trivial e a prova se conclui.
86
8. Método para Cálculo da Inversa 
Usando Matrizes Elementares
87
• Para entender o relacionamento entre matrizes elementares e a matriz 
inversa considere que a partir de operações elementares em uma matriz A
obtivemos a matriz identidade
• Sabemos que as operações elementares de linha podem ser 
representadas pelo produto de matrizes elementares correspondentes: Ei
correspondendo a i-ésima operação elementar realizada em A. Assim:
• Como A admite inversa, temos que:
8. Método para Cálculo da Inversa 
Usando Matrizes Elementares
88
8. Método para Cálculo da Inversa 
Usando Matrizes Elementares
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8. Método para Cálculo da Inversa 
Usando Matrizes Elementares
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8. Método para Cálculo da Inversa 
Usando Matrizes Elementares
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8. Método para Cálculo da Inversa 
Usando Matrizes Elementares
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8. Método para Cálculo da Inversa 
Usando Matrizes Elementares
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9. Matlab
• c = det(A); % Calcula o determinante da matriz A
• B = inv(A); % Calcula a inversa da matriz A
• B = A^(-1); % Calcula a inversa da matriz A
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9. Matlab
Matrizes Elementares:
• E = eye(N); E(i,i) = k; A = E*A; % Multiplica a i-ésima linha de A por k
• E = eye(N); E(i,j) = k; A = E*A; % Substitui a i-ésima linha pela i-ésima
% mais k vezes a j-ésima linha
• E = eye(N); E([ i , j ],:) = E([ j , i ],:); A = E*A; % Troca a i-ésima e a j-ésima
colunas
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