AP3 PreCalculoEng 2018 1 gabarito

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Gabarito da AP3 - Pre´-Ca´lculo para Engenharia - 2018-1
Considere f(x) =
√
1−4x
p(x) e p(x) = x
4−x3−2x2. Fac¸a o que se pede nas questo˜es 1 e 2.
Questa˜o 1 [1,0 ponto] Fatore o polinoˆmio p(x) e encontre suas ra´ızes.
Soluc¸a˜o: Observemos que o polinoˆmio na˜o possui termos independentes, e x2 pode ser fatorado,
expondo um polinoˆmio de grau 2:
p(x) = x4−x3−2x2 = x2(x2−x−2).
O de grau 2 podemos analisar usando a Fo´rmula de Ba´shkara, e assim x2−x−2 = (x+1)(x−2).
Portanto,
p(x) = x4−x3−2x2 = x2(x+1)(x−2),
sendo suas ra´ızes 0, −1 e 2.
Questa˜o 2 [1,0 ponto] Determine o dom´ınio da func¸a˜o f , e os pontos onde f se anula.
Soluc¸a˜o: Devemos ter 1−4x≥ 0 e p(x) 6= 0.
Mas 1−4x≥ 0 se x≤ 1/4. Pela fatorac¸a˜o de p(x) na questa˜o 1, temos que p(x) = 0 em 0,−1, e 2.
Logo, o dom´ınio de f e´ dado por {x ∈ R;x≤ 1/4,x 6= 0,x 6=−1,}.
A func¸a˜o se anula se 1−4x= 0, isto e´, se x= 1/4.
Considere as func¸o˜es f(x) = (1/2)x+2 e g(x) = log2
(
64x−3) e fac¸a o que se pede nas questo˜es 3 e
4.
Questa˜o 3 [1,0 ponto] Determine a expressa˜o simplificada de (g ◦f)(x) (usando propriedades de
logaritmo e exponencial), e o valor de x tal que (g ◦f)(x) = 0, caso exista.
Soluc¸a˜o: Note que f(x) = (1/2)x+2 = 2−(x+2). Assim,
(g ◦f)(x) = g(f(x)) = g(2−(x+2)) = log2(64 · (2−(x+2).)−3) =
log2(64)+ log2(2−(x+2))−3 = 6+3(x+2)log2 2 = 6+3(x+2) = 12+3x.
Assim, (g ◦f)(x) = 0 se 12+3x= 0, ou seja, x=−4.
Questa˜o 4 [1,0 ponto] Calcule f(g(1/4)).
Soluc¸a˜o: Temos que g(x)= log2
(
64x−3), e assim, g(1/4)= log2
(
64(1/4)−3)= log2
(
26(2−2)−3)=
log2
(
26(26)) = log2
(
212) = 12.
Logo,
f(g(1/4)) = f(12) = (1/2)14 = 116384 .
Pre´-Ca´lculo para Engenharia AP 3 2
Questa˜o 5 [2,0 pontos] Determine os zeros, caso existam, e o dom´ınio da func¸a˜o definida por
f(x) = 2(sen(x+pi/4))
2−3sen(x+pi/4)+1
cos(x−pi) .
Soluc¸a˜o: Determinar os zeros da func¸a˜o f , significa determinar os valores reais de x tais que
f(x) = 0. Vamos considerar y = sen(x+pi/4). Logo, a expressa˜o no numerador deve ser 0 para que
f(x) = 0. Isso significa que
2y2−3y+1 = 0.
Usando a Fo´rmula de Ba´shkara, encontramos duas soluc¸o˜es: y1 = 1 e y2 = 1/2. Assim, consideremos
os dois casos separadamente:
(i) Seja y1 = sen(x1+pi/4) = 1. Temos que x1+pi/4 = pi/2+2kpi, onde k ∈ Z, e assim x1 =
pi/4+2kpi, k ∈ Z.
(ii) Agora consideremos y2 = sen(x2+pi/4) = 1/2. Portanto, temos duas possibilidades:
(1) x2+pi/4 = pi/6+2kpi, onde k ∈ Z, e assim x2 =−pi/12+kpi, k ∈ Z.
(2) x3+pi/4 = 5pi/6+2kpi, onde k ∈ Z, e assim x3 = 7pi/12+kpi, k ∈ Z.
As soluc¸o˜es acima sa˜o, portanto, os zeros da func¸a˜o.
O dom´ınio e´ dado pela restric¸a˜o sobre o denominador: cos(x−pi) 6= 0. Ou seja,
x−pi 6= pi/2+kpi,
ou seja,
x 6= pi/2+kpi,
com k ∈ Z (como k varia em Z, tanto faz escrever k ou k+1).
Isto significa que Dom(f) = {x ∈ R;x 6= pi/2+kpi,k ∈ Z}.
Seja f : [−4,6]→ R uma func¸a˜o cujo o gra´fico esta´ representado abaixo:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Pre´-Ca´lculo para Engenharia AP 3 3
Fac¸a o que se pede nas questo˜es 6 , 7 , 8 e 9.
Questa˜o 6 [1,0 ponto] Sabendo que o gra´fico de f e´ um um arco de para´bola em [1,5], determine
uma expressa˜o para f neste intervalo.
Soluc¸a˜o: Analisando a func¸a˜o f no intervalo [1,5].
Note que f(2) = 0 e f(4) = 0. Assim, 2 e 4 sa˜o zeros da func¸a˜o f . Sabendo que o gra´fico de f e´
um arco de para´bola neste intervalo, temos que f(x) = ax2+ bx+ c neste intervalo. Usando o fato
de que , xv = 3 e yv =−1 temos que b=−6a e c=−1+9a. Por outro lado , f(4) = 0 e f(2) = 0,
substituindo na func¸a˜o quadra´tica, obtemos a = 1, b = −6 e c = 8. Logo, no intervalo [1,5] temos
que f(x) = x2−6x+8.
Questa˜o 7 [1,0 ponto]Sabendo que o gra´fico de f e´ um segmento de reta em [5,6], determine
uma expressa˜o para f neste intervalo.
Pelo gra´fico dado acima, temos que a reta no intervalo [5,6] passa pelos pontos (5,3) e (6,−1).
Assim, o coeficiente angular desta reta e´ dado por m= −1−36−5 =−4.
Logo, y−3 =−4(x−5).
Portanto, f(x) =−4x+23 no intervalo [5,6].
Questa˜o 8 [1,0 ponto] Determine o dom´ınio da func¸a˜o g(x) = 12f(x−1)−1.
Soluc¸a˜o: Como g(x) = 12f(x−1)−1 e x−1 ∈Dom(f) = [−4,6], temos que −4≤ x−1≤ 6.
Logo, x ∈ [−3,7].
Portanto, Dom(g) = [−3,7].
Questa˜o 9 [1,0 ponto] Construa o gra´fico da func¸a˜o g(x) = |f(x)|−1 para x ∈ [−2,4] .
Soluc¸a˜o:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ