AD2 PreCalculoEng 2018 2 gabarito (1)

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Pre´-Ca´lculo para Engenharia AD2 - GABARITO 1
Questa˜o 1 [2,5 pontos] Considere as func¸o˜es p(x) = x3 − 2x2 − 5x + 6 e g : R → R definida
abaixo, respondendo os itens a seguir.
g(x) =

−1 se x > 0;
0 se x = 0;
1 se x < 0.
(a)(1,0) Fatore o polinoˆmio p(x) e fac¸a um estudo de sinais.
(b)(1,0) Analise a func¸a˜o composta g ◦ p: para quais valores de x temos g(p(x)) > 0, g(p(x)) < 0,
e g(p(x)) = 0?
(b)(0,5) Descreva a func¸a˜o composta p ◦ g, isto e´, determine p(g(x)) para todo x ∈ R.
Soluc¸a˜o:
a) Substitu´ımos 1, por inspec¸a˜o, em p(x), e conclu´ımos que e´ ra´ız do polinoˆmio. Temos que
p(x) = x3 − 2x2 − 5x + 6 = (x − 1)(x + 2)(x − 3), usando o algoritmo de Briot-Ruffini para
dividi-lo por x−1, e fatorando o polinoˆmio resultante usando a Fo´rmula de Ba´shkara. Ordenando
as ra´ızes, temos −2 < 1 < 3. Vamos fazer um estudo de sinais:
x < −2 −2 < x < 1 1 < x < 3 x > 3
x+ 2 − + + +
x− 1 − − + +
x− 3 − − − +
p(x) − + − +
b) O valor de g(p(x)) ira´ depender do sinal de p(x). Assim, olhando a tabela acima, temos:
• g(p(x)) = 0 se x = 1, x = −2, e x = 3;
• g(p(x)) = −1 (e portanto < 0) se x ∈ (−2, 1) ∪ (3,∞);
• g(p(x)) = 1 (e portanto > 0) se x ∈ (−∞,−2) ∪ (1, 3).
c) Agora vejamos a composta p(g(x)). Temos que g(x) assume apenas treˆs valores, −1, 0 e 1.
Logo, sabendo que: p(0) = (−1) · 2 · (−3) = 6, p(1) = 0 e p(−1) = (−2) · 1 · (−4) = 8, temos
que
p(g(x)) =

8 se x > 0;
6 se x = 0;
0 se x < 0.
Questa˜o 2 [2,5 pontos] Determine o dom´ınio da func¸a˜o
f(x) = x
2 − 9√
x2 − x−√−x+ 1 .
Soluc¸a˜o:
• Precisamos de x2 − x = x(x − 1) ≥ 0; as ra´ızes desse polinoˆmio sa˜o 0 e 1, e seu gra´fico e´
uma para´bola com a concavidade para cima. Assim, x2 − x ≥ 0 apenas se x ≤ 0 ou x ≥ 1,
ou x ∈ (−∞, 0) ∪ (1,∞);
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Pre´-Ca´lculo para Engenharia AD2 - GABARITO 2
• ale´m disso, tambe´m desejamos ter −x+ 1 ≥ 0, ou x ≤ 1, isto e´: x ∈ (1,∞);
• Analisando o que temos ate´ aqui, precisamos tomar a intersec¸a˜o destes conjuntos: assim,
x ≤ 0.
• finalmente, no denominador, devemos ter
√
x2 − x − √−x+ 1 6= 0. Mas o denominador se
anula apenas se
√
x2 − x = √−x+ 1.
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos
x2 − x = −x+ 1,
ou seja,
x2 = 1.
Assim, o denominador se anula em x = 1 (ja´ descartado na intersec¸a˜o acima), e em x = −1.
Concluindo, temos que o dom´ınio da func¸a˜o e´ o conjunto {x ∈ R;x ≤ 0, x 6= −1}.
Questa˜o 3 [2,5 ponto] Considere a func¸a˜o f : R\ {−2} → R\ {1} definida por f(x) = x−1
x+2 . Fac¸a
o que se pede:
(a) [0,8] Verifique que a func¸a˜o f e´ injetora;
(b) [0,5] Verifique que a func¸a˜o f e´ sobrejetora;
(c) [1,2] Determine a inversa da func¸a˜o f .
Soluc¸a˜o:
Lembre-se que uma func¸a˜o f e´ dita injetora, se dados x1, x2 ∈ Dom(f) tais que f(x1) = f(x2),
enta˜o, x1 = x2, o que e´ equivalente a dizer que se x1 6= x2 enta˜o, f(x1) 6= f(x2).
Sendo assim, sejam x1, x2 ∈ R\ {−2} , tal que f(x1) = f(x2).
Assim, x1−1
x1+2 =
x2−1
x2+2 ⇒ (x1−1)(x1+2) = (x1+2)(x2−1)⇒ x1x2+2x1−x2−2 = x1x2−x1+2x2−2⇒ 3x1 − 3x2 = 0⇒ x1 = x2.
Logo, a func¸a˜o f e´ injetora.
Por definic¸a˜o, Im(f) = {y ∈ R\ {1} ; existe x ∈ R\ {−2} com y = x−1
x+2}.
Escrevendo a equac¸a˜o y = x−1
x+2 e resolvendo a equac¸a˜o para x, obtemos:
y = x−1
x+2 ⇔ y(x+ 2) = x− 1⇔ yx+ 2y = x− 1⇔ yx− x = −1− 2y ⇔ x(y − 1) = −1− 2y
⇔ x = −1−2y
y−1 .
Logo, Im(f) = R\ {1}, portanto, f e´ sobrejetora.
Ale´m disso, f−1(x) = −1−2x
x−1 .
Questa˜o 4 [2,5 ponto] Considere o gra´fico da func¸a˜o f : [−4, 3]→ R abaixo e fac¸a o que se pede.
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(a)[0,8] Construa o gra´fico da func¸a˜o g(x) = f(x − 1) indicando a transformac¸a˜o que foi feita no
gra´fico da f para se obter o gra´fico da func¸a˜o g.
Soluc¸a˜o:
O gra´fico da func¸a˜o g e´ obtido fazendo uma translac¸a˜o de uma unidade na horizontal para a` direita.
(b)[0,7] Construa o gra´fico da func¸a˜o h(x) = f(x) − 1 indicando a transformac¸a˜o que foi feita no
gra´fico da f para se obter o gra´fico da func¸a˜o h.
Soluc¸a˜o:
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Pre´-Ca´lculo para Engenharia AD2 - GABARITO 4
O gra´fico da func¸a˜o h e´ obtido fazendo uma translac¸a˜o de uma unidade na vertical para baixo.
(c)[0,5] Determine o dom´ınio da func¸a˜o j(x) = f(x− 4) + 5
Soluc¸a˜o:
Como x− 4 ∈ [−4, 3], temos que −4 ≤ x− 4 ≤ 3.
Assim, 0 ≤ x ≤ 7.
Logo, Dom(j) = [0, 7].
(d)[0,5] Determine a imagem da func¸a˜o m(x) = 2f(x+ 1)− 3
Soluc¸a˜o:
Como Imf =
[
−14 , 5
]
temos que −2 · 14 ≤ 2f(x+1) ≤ 10, logo −12 − 3 ≤ 2f(x+1)− 3 ≤ 10− 3.
Portanto, Im(m) =
[
−72 , 7
]
.
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