Material Estatística Experimental Novo

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR
PROFESSOR: ROBERTO QUEIROGA
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL – 2014.2
POMBAL, OUTUBRO DE 2014.
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL: 2014.1
UNIDADE I - “Importância da Estatística Experimental”.
* Importância: a Estatística Experimental tem por objetivo o estudo dos experimentos, incluindo planejamento, execução, análise dos dados e a interpretação dos resultados.
* Tipos de pesquisa:
A - Pesquisa de levantamento:
Observam-se diversas características dos elementos de certa população ou amostra, utilizando-se questionários ou entrevistas. A observação é feita naturalmente e sem interferência do pesquisador. Ex: censo.
B - Pesquisa experimental:
O pesquisador exerce controle sobre o tratamento que vai ser aplicado a cada elemento da amostra. Há, portanto, interferência do pesquisador. Ex: experimentos de campo ou laboratório.
* Experimento ou ensaio:
Trabalho previamente planejado, que segue determinados princípios básicos e no qual se faz comparações do efeito dos tratamentos.
* Tratamento:
 É uma denominação genérica, para designar qualquer método, elemento ou material, cujo efeito desejamos medir e comparar. 
 Por exemplo, o tratamento pode ser: 
A - um adubo nitrogenado para a cultura do melão; 
B - uma variedade de alface; 
C - um tratamento de solo para a cultura da melancia; 
D - um biofertilizante para a cultura do pimentão; 
E - uma dosagem de calcário para a cultura da cenoura; 
F - um fungicida para a cultura do tomate; 
 * Parcela ou unidade experimental:
É a unidade na qual o tratamento é aplicado. É 
na parcela que obtemos os dados que deverão refletir o efeito de cada tratamento. 
EX: composição da parcela: uma área com um grupo de plantas; um ou mais vasos numa casa de vegetação; uma placa de Petri com um meio de cultura; um tubo de ensaio com uma solução, etc.
Exemplo de característica avaliada e tratamentos: 
Ex: - Determinação da quantidade de leite produzida em função do tipo de ração.
- Avaliação do diâmetro do caule e da altura de plantas de Eucaliptus em diferentes variedades.
- Avaliação da vida útil de frutos de morango armazenados em diferentes temperaturas.
Variável resposta:
É a variável mensurada usada para avaliar o efeito de tratamentos.
Ex: Produtividade de feijão, área foliar, sólidos solúveis etc.
* Tamanho das parcelas depende:
- Material que se está trabalhando.
Ex: Parcelas com a cultura da cana de açúcar devem ser maiores que aquelas com a alface.
- Número de tratamentos em estudo:
Em experimentos de melhoramento vegetal o tamanho da parcela deve ser reduzido.
- Quantidade de material disponível:
Ensaio de novos materiais.
- Uso de máquinas agrícolas:
Parcelas grandes.
- Área disponível para pesquisa:
Ajustamento ao tamanho da área.
- Custo, tempo e mão de obra:
- Recurso financeiro, tempo disponível para amostragem e mão de obra.
* Forma das parcelas:
 Retangulares, quadradas, cilíndricas, etc.
	BLOCO
	TRATAMENTOS
	1
	A
	C
	D
	B
	2
	D
	B
	A
	C
	3
	B
	C
	D
	A
	4
	C
	A
	B
	D
Tratamentos
A – 0 kg ha-1 de N;
B – 90 kg ha-1 de N;
C – 180 kg ha-1 de N; 
D – 270 kg ha-1 de N.
* Delineamento experimental
É o plano utilizado para realizar o experimento. Esse plano implica na maneira como os diferentes tratamentos deverão ser distribuídos nas parcelas experimentais, e como serão analisados os dados a serem obtidos. 
DIC
	TRATAMENTOS
	A
	C
	A
	C
	D
	B
	A
	B
	B
	C
	D
	A
	D
	B
	C
	D
DBC
	BLOCO
	TRATAMENTOS
	1
	A
	C
	D
	B
	2
	D
	B
	A
	C
	3
	B
	C
	D
	A
	4
	C
	A
	B
	D
DQL
	LINHAS
	COLUNAS
	1
	A
	C
	D
	B
	2
	D
	B
	A
	C
	3
	B
	D
	C
	A
	4
	C
	A
	B
	D
* População e amostra:
População
É o conjunto constituído por todos os dados possíveis com relação à característica em estudo. 
Amostra
É uma parte representativa da população, subconjunto do conjunto universo.
Experimentos: indivíduos da área útil da parcela.
* Fatores não controláveis:
Variação nos espaçamentos entre plantas.
Variação na infestação em parcelas pelas pragas.
Variação na profundidade de semeadura.
Variação na fertilidade do solo dentro da parcela.
Variação na dose de adubos, inseticidas etc.
Variação na quantidade de água aplicada.
Precipitação
Luminosidade
Temperatura
Umidade relativa do ar
* Medidas utilizadas na experimentação 
Medidas de posição
Média, mediana, moda, quartis etc.
Ex: Calcule a altura média de seis alunos da turma de agronomia de acordo com a amostra a seguir:
1,80 m, 1,65 m, 1,62 m, 1,90 m 1,40 m e 1,72 m
Medidas de dispersão
Variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
 
* Planejamento experimental:
Planejamento, condução do experimento, coleta de dados, análise dos dados e interpretação dos resultados obtidos.
* Tipos de experimentos:
Experimento preliminar:
O número de tratamentos pode ser grande.
O número de repetições pode ser pequeno.
Auxilia na escolha de tratamentos em experimentos críticos.
Experimento crítico:
São experimentos em que as respostas aos tratamentos são comparadas.
O n0 de observações é suficiente para dar segurança na determinação de diferenças significativas.
Experimento demonstrativo:
Experimentos conduzidos em trabalhos de extensão com objetivo de comparar um novo tratamento com um padrão (tradicional).
Qual deles usar?
* Objetivos de um experimento:
Questões a serem respondidas.
Hipóteses a serem testadas.
- O investigador decide quais comparações entre tratamentos oferecem informações relevantes.
- Conduz o experimento para testar hipóteses relativas às diferenças entre tratamentos.
* Etapas do Planejamento experimental:
Quais as características que serão analisadas?
EX: bovinos (% de gordura na carne, produção de leite, etc).
Ex: Acerola (teor de vitamina C, vida útil de prateleira, perda de peso, etc).
EX: Eucaliptus (diâmetro do caule, altura da planta, produção de madeira, etc).
Quais fatores que afetam estas características?
EX: raça, variedade, espaçamento, adubação, irrigação, etc.
Quais desses fatores serão estudados no experimento?
Experimentos simples: apenas um tipo de tratamento pode ser estudado de cada vez. 
EX: testar espaçamentos (adubação, variedade, irrigação devem ser constantes).
Experimentos complexos: dois ou mais fatores.
EX: embalagens x temperaturas.
EX: fonte da água x quantidade aplicada.
EX: variedades x espaçamentos x adubação.
Como será constituída a unidade experimental?
EX: único indivíduo ou grupo deles.
EX: Produtividade de alface → (variedades A, B, C, D e E) 
*Quantas repetições deveram ser utilizadas?
Depende do número de tratamentos e do delineamento experimental.
Quanto maior o número de repetições melhor a precisão do experimento.
Recomenda-se: número de parcelas ≥ 20.
* Projeto de pesquisa:
A - Título: simples e coerente com o objetivo.
Ex: Produção de milho em função de doses de nitrogênio.
B - Responsável e colaboradores:
EX: Indicar pessoas (orientador, professores, bolsistas, voluntários) e instituições.
C - Introdução com justificativa:
Revisão de literatura.
- Importância sócio-econômica, nutricional. 
- Problema a ser estudado.
- Hipóteses a serem testadas.
D – Objetivos:
Questões a serem respondidas.
E - Material e métodos:
Localização: coordenadas geográficas, tipo de solo, topografia etc.
Materiais: calagem adubação, drenagem irrigação.
Tratamentos: identificar os tratamentos a serem testados.
Condução da cultura: semeadura, podas, pulverizações, colheita, adubação, irrigação etc.
Características avaliadas: produção de grãos, teor de gordurana carne, vida útil do fruto etc.
Delineamento experimental:
(DIC, DBC, DQL).
Análise estatística (Software utilizado e procedimentos pós-análise de variância).
F - Cronograma:
Especificar o tempo para execução da pesquisa.
	
	2013
	ATIVIDADES
	Jul
	Ago
	Set
	Out
	Nov
	Dez
	Coleta e análise química do solo
	X
	
	
	
	
	
	Preparo da área
	X
	
	
	
	
	
	Aquisição de materiais
	X
	
	
	
	
	
	Semeadura
	X
	
	
	
	
	
	Transplantio
	
	X
	
	
	
	
	Condução e tratos culturais
	
	X
	X
	X
	
	
	Amostragem de plantas e frutos
	
	
	X
	X
	
	
	Colheita de frutos
	
	
	
	
	X
	
	Coleta de dados
	
	
	X
	X
	X
	
	Avaliações de pós-colheita
	
	
	
	
	X
	
	Tabulação e análise de dados
	
	
	
	
	X
	
	Apresentação de relatório
	
	
	
	
	X
	
	Envio de relatório
	
	
	
	
	
	X
	Resumo em congresso
	
	
	
	
	
	X
	Publicação em periódicos
	
	
	
	
	
	X
	Orientação de PIBIC
	X
	X
	X
	X
	X
	X
	Orientação de monografia
	X
	X
	X
	X
	X
	X
G - Orçamento.
	Discriminação 
	Unid.
	Quant.
	Valor unitário
	Valor total
	1 – Material de consumo em campo e laboratório
	-
	-
	-
	-
	- Sementes [melão (cultivar Torreon)].
	
kg
	
0,5
	
1800,00
	
900,00
	- Fertilizantes (uréia), 
	kg
	100
	1,50
	150,00
	- Fertilizante (Cloreto de potássio).
	kg
	80
	1,00
	80,00
	Fertilizante (Superfosfato simples).
	
kg
	
200
	
1,20
	
240,00
	- Defensivos (Daconil)
	kg
	1,0
	50,00
	50,00
	- Defensivos (Lanate)
	L
	1,0
	75,00
	75,00
	- Bandejas de poliestireno: 128 células 
	unid
	10
	12,00
	120,00
	- Substrato agrícola para produção de mudas.
	unid
	5
	15,00
	75,00
	- Manta (TNT)
	unid
	2
	1.000,00
	2.000,00
	- Sacos plásticos 50 x 100 cm.
	unid
	1000
	0,20
	200,00
	- sacos de papel 15 x 25 cm
	unid
	2000
	0,10
	200,00
	- Plaquetas para identificação de parcelas
	Unid
	200
	1,5
	300,00
	- Reagentes (ácido sulfúrico)
	
L
	
2,0
	
120,00
	
240,00
	- Reagentes (hidróxido de sódio). 
	
kg
	
1,0
	
150,00
	
150,00
	- reagentes (antrona)
	g
	100
	5,00
	500,00
	2 – Serviços de terceiros pessoa jurídica.
	
	
	
	
	- Manutenção e conserto de equipamentos
	-
	-
	-
	2.000,00
	- Taxas de inscrição em eventos, publicação de artigos em periódicos, confecção de posters, outros.
	
-
	
-
	
-
	
2.250,00
	 Total 
	
	
	
	9.730,00
* Referências:
Literatura que serviu de embasamento para a realização da pesquisa. 
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL
UNIDADE II - PRINCÍPIOS BÁSICOS DA EXPERIMENTAÇÃO.
A – Repetição:
Considerações sob o erro experimental.
Variação entre observações realizadas em unidades experimentais que receberam o mesmo tratamento.
Escolha dos tratamentos
EX: Produções de duas variedades de milho A e B.
	A
	B
“A” produziu mais do que “B”
Será que A é mais produtiva do que B?
(A : área mais fértil, melhor condição de umidade).
EX: Produções de duas variedades de milho A e B com 4 repetições.
	A
	B
	B
	A
	B
	A
	A
	B
	A
	B
↓
Repetições e suas funções
A → Permitem a estimação do erro experimental.
B → Reduzem a variância da amostra (precisão).
C → Aumenta a abrangência do experimento:
Fatores que afetam o número de repetições
Grau de precisão desejado:
Recursos financeiros e tempo disponível:
B – Casualização:
O princípio da casualização consiste na distribuição dos tratamentos às parcelas de 
forma casual, para se evitar que um determinado tratamento venha a ser beneficiado ou 
prejudicado por sucessivas repetições em parcelas melhores ou piores. 
Sorteio dos tratamentos nas parcelas
Croqui de um experimento
	A
	A
	A
	A
	A
	B
	B
	B
	B
	B
	C
	C
	C
	C
	C
Desta maneira os tratamentos A, B e C têm a mesma probabilidade de ser destinado a qualquer parcela.
O que fazer?
 Casualização das repetições dos tratamentos.
	B
	A
	C
	B
	A
	C
	B
	C
	A
	B
	B
	C
	A
	A
	C
Finalidade?
Propiciar a todos os tratamentos a mesma chance de serem designados as parcelas.
Evita: favorecimento ou não ocasionado por fatores externos.
Vale ressaltar que sem os princípios básicos da repetição e da casualização não existe experimentação.
C - Controle Local:
O princípio do controle local só é obrigatório quando as condições experimentais assim o exigir (heterogeneidade das condições experimentais).
EX: experimentos no campo. (heterogêneo).
EX: experimentos em estufas e laboratório (homogêneo).
EX: Área com manchas de solo bem definidas
Distinção entre condições experimentais: é necessária a casualização nessas áreas (controle local).
Áreas são chamadas de blocos.
EX: blocos seriam as manchas de solo.
Os blocos poderão ser espalhados por toda área ou agrupados.
Poderá haver ou não grande variabilidade de um bloco para outro.
Cada bloco seja tão uniforme quanto possível.
Ex: Experimentos zootécnicos visando melhoria na qualidade da carne.
(teste de rações).
Bovinos com idades diferentes.
Podem apresentar taxa de crescimento diferenciado e, portanto não podemos distribuir as rações inteiramente ao acaso.
O controle local consiste em dividir grupo heterogêneo quanto a idade em sub-grupos homogêneos.
Sub-grupos são chamados de blocos.
Rações são distribuídas de maneira casualizada dentro de cada bloco.
Delineamentos diferem quanto à aplicação destes princípios básicos.
DIC (2 princípios – repetição, casualização)
DBC (3 princípios – repetição, casualização e controle local).
DQL (3 princípios – repetição, casualização e controle local).
EXEMPLOS PRÁTICOS DE EXPERIMENTOS:
1 - Um extensionista, desejando comparar 10 rações para ganho de peso em animais, procedeu da seguinte forma:
- Tomou 10 animais de uma propriedade rural. Estes 10 animais visivelmente não eram homogêneos entre si, porque foram oriundos de diferentes cruzamentos raciais e apresentavam idades diferentes. As rações que o extensionista julgou ser as melhores foram designadas aos melhores animais, e as rações que o extensionista julgou ser as piores foram designadas aos piores animais, de tal forma que cada animal recebeu uma única ração. Ao final de sua pesquisa, o extensionista recomendou a ração que proporcionou maior ganho de peso nos animais. 
- Baseado nestas informações, pergunta-se:
A – Quantos e quais foram os tratamentos em teste nesta pesquisa?Justifique sua resposta.
10 tratamentos: rações. Esta foi à fonte de variação introduzida pelo pesquisador.
B – Qual foi à constituição de cada unidade experimental nesta pesquisa?Justifique sua resposta.
Cada animal. Cada animal recebeu um dos tratamentos.
C - Qual(is) foi(ram) o(s) princípio(s) básico(s) da experimentação utilizados nesta pesquisa? 
Nenhum.
D – É possível estimar o erro experimental nesta pesquisa? Justifique sua resposta.
Não. Pois o experimento não teve repetição.
E - A conclusão dada pelo extensionista ao final da pesquisa é estatisticamente aceitável? Justifique sua resposta.
Não, pois não foram usados os princípios básicos da experimentação.
2 – Um pesquisador de uma indústria de alimentos desejava verificar se seis sabores de sorvete apresentavam o mesmo o teor de glicose. O pesquisador, baseado em experimentos anteriores, sabia que duas outras fontes de variação indesejáveis poderiam influenciar o valor mensurado do teor de glicose: o tipo de recipiente utilizado para armazenagem do sorvete e o equipamento utilizado para mensuração do teor de glicose. Para controlar estas duas fontes de variação o pesquisador decidiu que cada sabor deveria ser avaliado em cada um dos seis equipamentos disponíveis; e armazenado em cada um dos seis tipos de recipientes disponíveis.Com esta finalidade, o pesquisador planejou o experimento da seguinte maneira:
-	Preparar 6 lotes de100 ml de cada sabor. O total de lotes a serem preparados seria de 36 lotes;
- Os lotes de sorvetes deveriam ser distribuídos ao acaso aos recipientes, com a restrição de que cada tipo de recipiente recebesse todos os 6 sabores uma única vez;
- Os lotes de sorvetes seriam designados ao acaso aos equipamentos para a análise do teor de glicose, com a restrição de que cada equipamento avaliasse cada um dos seis sabores uma única vez.
- Baseando-se nestas informações, pergunta-se:
1 - Quais foram os tratamentos em teste neste experimento?Justifique a sua resposta.
Os seis sabores de sorvete. Esta foi à fonte de variação introduzida pelo pesquisador neste experimento.
2 - O princípio da repetição foi utilizado neste experimento? Justifique a sua resposta.
Sim, pois cada sabor apareceu seis vezes no experimento.
3 - O princípio do controle local foi utilizado neste experimento? Justifique a sua resposta. Se a resposta for afirmativa, quantas vezes o mesmo foi utilizado? Se a resposta for negativa, discuta sobre a necessidade do mesmo ser utilizado neste experimento.
Sim, pois houve controle na casualização. Dois controles foram utilizados na casualização.
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL
UNIDADE III
Delineamento inteiramente casualizado (DIC)
1 – Características
As unidades experimentais devem ser essencialmente homogêneas.
EX: Trabalhos em laboratório, estufas (temperatura e UR).
↓
EX: Pouco comum em ensaios agrícolas de campo.
↓
A casualização é feita inteiramente ao acaso. 
↓
Princípios básicos: repetição e casualização.
↓
Casualização dos tratamentos (DIC).
Experimento: 5 variedades de feijoeiro (A, B, C, D e E) e quatro repetições por tratamento.
	C
	B
	D
	A
	C
	B
	A
	C
	D
	E
	E
	B
	B
	A
	D
	D
	A
	E
	E
	C
2 - Vantagens
Não exige, embora seja preferível, que os tratamentos tenham todos os mesmos números de repetições.
Flexível: qualquer número de tratamentos ou repetição.
A análise de variância é simples, mesmo se o número de repetição variar entre os tratamentos.
3 - Desvantagens
Não é fácil manter total homogeneidade das condições durante a toda a realização do experimento.
Quando as condições experimentais não são uniformes, as variações que não sejam atribuídas a tratamentos são incorporadas ao erro (afeta a precisão do experimento).
4 - Modelo matemático
 Yij = μ + ti + εij
Yij = valor observado na parcela que recebeu o tratamento i na repetição j.
μ = média geral do experimento.
ti = efeito do tratamento i aplicado na parcela.
εij = erro dos fatores não controlados na parcela.
5 - Análise de variância (ANOVA)
 - É uma técnica de análise estatística que permite decompor a variação total, ou seja, a variação existente entre todas as observações, na variação devido à diferença entre os efeitos dos tratamentos e na variação devido ao acaso, que também é denominada de erro experimental ou resíduo.
- É um procedimento utilizado para verificação de efeito significativo entre tratamentos. Aqui saberemos se os tratamentos diferem ou não com relação à determinada característica avaliada.
- Porém, não sabemos qual o melhor ou pior dos tratamentos testados.
A ANOVA baseia-se na decomposição da variação total da variável resposta em partes que podem ser atribuídas aos tratamentos (variância entre tratamentos) e ao erro experimental (variância dentro dos tratamentos).
Composição da análise de variância
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Trat.
	I – 1
	SQTR
	SQTR/GL
	QMTR/QMR
	Erro
(resíduo)
	I(J – 1)
	SQTO – SQTR
	SQR/GL
	
	Total
	IJ -1
	SQTO
	-
	
Especificações
1a coluna: Fontes de variação (FV): tratamento + resíduo = total.
2a coluna: Graus de liberdade: tratamento + erro (resíduo) = total.
GLTR = I – 1 (Grau de liberdade de tratamento).
GLTO = IJ – 1 (Grau de liberdade total).
GLR = GLTO - GLTR (Grau de liberdade do resíduo).
I = número de tratamentos.
J = número de repetições por tratamento.
3a coluna: SQ: tratamento + resíduo = total.
SQTO = ∑YIJ2 – C 
C = G2 / IJ (Soma de quadrado total)
∑YIJ2 = Somatório das observações ao quadrado.
C = Correção das parcelas.
J = número de repetições por tratamento.
I = número de tratamentos.
SQTR = 1 / J (∑TOTRAT2) – C (Soma de quadrado de tratamento).
∑TOTRAT2 = Somatório dos totais de tratamento ao quadrado.
SQR = SQTO - SQTR (Soma de quadrado do resíduo)
4a coluna: QM ou variância: tratamento e resíduo.
QMTR = SQTR/GLTR (Quadrado médio de tratamento).
SQTR = Soma de quadrado de tratamentos.
GLTR = Grau de liberdade de tratamentos.
QMR = SQR/GLR (Quadrado médio do resíduo)
SQR = Soma de quadrado do resíduo.
GLR = Grau de liberdade do resíduo.
5a coluna: Teste F
F = QMTR/QMR.
H0: m1 = m2 = m3 = ... = mi ao nível α de probabilidade.
H1: rejeita-se H0: pelo menos a média de dois tratamentos difere entre sí ao nível α de probabilidade.
Regra de decisão
Fcal ≤ Ftabα aceita-se H0.
Fcal > Ftabα rejeita-se H0.
7 - Pressuposições básicas da análise de variância (ANOVA)
Os erros experimentais devem ter uma variância comum. (homocedásticos).
S12/S22 ≤ 4
Erros experimentais devem ser independentes e normalmente distribuídos.
8 - Transformação de dados 
Utilizados quando não se consegue atender as pressuposições básicas da ANOVA.
Raiz quadrada X
Logarítmica
Potencial
Amostra: 9, 16, 4, 25, 36 → Amplitude = 32
Raiz quadrada:
Raiz 9 = 3; Raiz 16 = 4; Raiz 4 = 2; Raiz 25 = 5; Raiz 36 = 6; 
 Amplitude: 4 → CV (coeficiente de variação).
EX1: Para comparar a produtividade de cinco variedades de milho, um agrônomo tomou 20 parcelas similares e distribuiu inteiramente ao acaso. Cada uma das cinco variedades em quatro parcelas experimentais. A partir dos dados experimentais fornecidos abaixo, é possível concluir que existe diferença significativa entre variedades com relação à produtividade, utilizando o nível de significância de 5 %?
- Croqui do experimento no campo:
	Var 1
1,12
	Var 4
1,05
	Var 2
1,15
	Var 4
1,23
	Var 3
1,27
	Var 2
1,18
	Var 5
2,17
	Var 5
1,93
	Var 5
1,90
	Var 3
1,31
	Var 1
0,98
	Var 2
1,05
	Var 3
1,12
	Var 5
1,80
	Var 2
0,97
	Var 1
0,97
	Var 4
1,12
	Var 1
0,85
	Var 4
1,25
	Var 3
1,10
- Tabulação dos dados do experimento:
	
	Repetições
	
	Tratamentos
	I
	II
	III
	IV
	Totais
	1 - Variedade 1
	0,85
	0,97
	0,98
	1,12
	3,92
	2 – Variedade 2
	0,97
	1,05
	1,18
	1,15
	4,35
	3 – Variedade 3
	1,10
	1,12
	1,31
	1,27
	4,80
	4 – Variedade 4
	1,12
	1,25
	1,05
	1,23
	4,65
	5 – Variedade 5
	1,80
	1,90
	2,17
	1,93
	7,80
	
	
	
	
	
	G = 25,52
Grau de liberdade
→ Total: IJ – 1 = 5 x 4 – 1 = 19.
→ Tratamento: I – 1 = 5 – 1 = 4.
→ Residual: GLTO – GLTR = 19 – 4 = 15.
I = número de tratamentos.
J = número de repetições por tratamento.
Soma de quadrados
→ Total: SQT0 = ∑YIJ2 – C → C = G2 / IJ
∑YIJ2 = Somatório das observações ao quadrado.
C = Correção das parcelas.
C = 25,522 / 20 = 32,5635
SQTO = (0,852 + 0,972 + ...+ 1,932) – 32,5635
SQTO = 35,1460 – 32,5635 = 2,5825
→ Tratamento: SQTR = 1 / J (∑TR2 – C)
J = número de repetições por tratamento.
∑TR2 = Somatório dos totais de cada tratamento ao quadrado.
C = Correção das parcelas.
SQTR = 1 / 4 (3,922 + 4,352 + ...+ 7,802) - 32,5635
SQTR = 34,9479 – 32,5635 = 2,3844
→ Residual: SQR = SQTO – SQTR
SQR = 2,5825 – 2,3844 = 0,1981
Quadrados médios
→ Tratamento: QMTR = SQTR / GLR
SQTR = Soma de quadrado de tratamentos.
GLTR = Grau de liberdade de tratamentos.
QMTR = 2,3844 / 4 = 0,5961
→ Residual: QMR = SQR / GLR
SQTR = Soma de quadrado do resíduo.
GLR = Grau de liberdade do resíduo.
QMR= 0,1981 / 15 = 0,0132
Valor de F
F = QMTR / QMR
QMTR = Quadrado médio de tratamentos.
QMR = Quadrado médio do resíduo.
F = 0,5961 / 0,0132 = 45,16
Testar a significância de F
Regra de decisão
Fcal ≤ Fα aceita-se H0. 
Fcal > Fα rejeita-se H0.
Ftabelado ou Fα.
F (I, GLR) a determinado nível α. (Tabela de F).
F(4,15) 5% = 3,06. F(4,15) 1% = 4,89.
Fcal > Ftab → 45,16 > 3,06 (5%)
Fcal > Ftab → 45,16 > 4,89 (1%).
Fcal > Ftab (rejeita-se H0) → pelo menos as médias de dois tratamentos diferem estatisticamente entre sí ao nível de 1 e 5 % de probabilidade.
Conclusão do teste F da ANOVA: foi observado diferença significativa entre variedades de milho com relação a característica de produtividade da cultura a 5 % pelo teste F. 
Teste F indica que há diferença mais não discrimina quais são. 
Quadro 1 – Resumo da ANOVA para acidez total de 5 híbridos de melão.
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Híbridos
	4
	2,3844
	0,5961
	45,16**
	Resíduo
	15
	0,1981
	0,0132
	
	Total
	19
	2,5825
	
	
9 - Procedimento pós análise de variância (ANOVA):
Teste de médias e desdobramento da soma de quadrados de tratamentos em contrastes ortogonais: tratamentos qualitativos.
EX: variedades, tipos de adubos, embalagens, espaçamentos etc.
Análise de regressão: tratamentos quantitativos.
Ex: doses de nitrogênio, lâminas de irrigação, temperatura de armazenamento de frutos, populações de plantas etc.
10 - Utilização de contratstes ortogonais:
1 - Decomposição da SQTR em contrastes ortogonais.
O estudo de contrastes é muito importante na Estatística Experimental, principalmente quando o experimento em análise é composto por mais do que dois tratamentos. Com o uso de contrastes é possível ao pesquisador estabelecer comparações, entre tratamentos ou grupos de tratamentos, que sejam de interesse.
Contraste: função linear (se a soma algébrica dos coeficientes das variáveis é igual a zero).
(Y = a1x1 + a2x2 +...+ anxn → ∑an = 0).
Contrastes ortogonais: soma algébrica dos produtos dos coeficientes de mesma variável for também igual a zero.
(Y1 = a1x1 + a2x2 +...+ anxn → ∑an = 0). 
(Y2 = b1x1 + b2x2 +...+ bnxn → ∑bn = 0).
a1b1 + a2b2 +…+ anbn = 0
→ Se ∑anbn = 0, os contrastes Y1 e Y2 serão ortogonais caso os tratamentos tenham o mesmo número de repetições.
→ Caso contrário, a condição de ortogonalidade: ∑anbn/rn, onde rn é o número de repetições do tratamento n.
Regra prática para estabelecer grupo de contrastes.
1 – Escrevemos as médias dos tratamentos envolvidos na comparação.
2 – Atribuímos sinal positivo a média de um grupo e negativo as médias de outro grupo.
3 – Verificar número de tratamentos do grupo 1 e 2. Calculamos o mmc entre n1 e n2.
4 – Dividimos o mmc por n1. O resultado será o coeficiente de cada média do primeiro grupo.
5 - Dividimos o mmc por n2. O resultado será o coeficiente de cada média do segundo grupo.
Regra prática: ortogonalidade.
1 – Dividimos os tratamentos em dois grupos para estabelecer a primeira comparação.
2 – Para estabelecer as novas comparações, não podemos mais comparar tratamento de um grupo com os de outro. 
3 - Somente poderemos comparar tratamentos dentro de cada grupo. Dividimos cada grupo em subgrupos e só comparamos dentro de cada subgrupo.
EX: De acordo com os dados do exemplo anterior compare os seguintes contrastes:
Híbrido 5 vs demais (1, 2, 3 e 4).
Híbridos 1 + 2 vs 3 + 4
Híbrido 1 vs 2
Híbrido 3 vs 4
 n1 = 1 e n2 = 4; mmc (1,4)
 n1 = 2 e n2 = 2; mmc (2,2)
 n1 = 1 e n2 = 1; mmc (1,1)
 n1 = 1 e n2 = 1; mmc (1,1)
M1 = 3,92 / 4 = 0,98
M2 = 4,35 / 4 = 1,09
M3 = 4,80 / 4 = 1,20
M4 = 4,65 / 4 = 1,16
M5 = 7,80 / 4 = 1,95
 
C1 = 4 x 1,95 – 1 x 0,98 – 1 x 1,09 – 1 x 1,20 – 1 x 1,16 = 3,37. 
an2 = 42 + 12 + 12 + 12 + 12 = 20 
 
C2 = 1 x 0,98 + 1 x 1,09 – 1 x 1,20 + 1 x 1,16 = - 0,29.
an2 = 12 + 12 + 12 + 12 = 4
 
C3 = 1 x 0,98 - 1 x 1,09 = - 0,11. 
an2 = 12 + 12 = 2
 
C4 = 1 x 1,20 - 1 x 1,16 = 0,04.
an2 = 12 + 12 = 2
QMC1 = SQC1/GLC1 = 2,2717/1 = 2,2714
QMC2 = SQC2/GLC2 = 0,0841/1 = 0,0841
QMC3 = SQC3/GLC3 = 0,0242/1 = 0,0242
QMC4 = SQC4/GLC4 = 0,0032/1 = 0,0032
FC1 = QMC1/QMERRO = 2,2714/0,0132 = 172,08
FC2 = QMC2/QMERRO = 0,0841/0,0132 = 6,37
FC3 = QMC3/QMERRO = 0,0242/0,0132 = 1,83
FC4 = QMC2/QMERRO = 0,0032/0,0132 = 0,35
Tabela 2 – Decomposição da soma de quadrados de tratamentos em contrastes ortogonais relativo a valores médios da produtividade de milho de cinco variedades em Pombal – PB. CCTA/UFCG, 2013.
	Contrastes
	GL
	SQ
	QM
	F
	V5 vs V1 + V2 + V3 + V4
	1
	2,2714
	2,2714
	172,08*
	V1 + V2 vs V3 + V4
	1
	0,0841
	0,0841
	6,37*
	V1 vs V2
	1
	0,0242
	0,0242
	1,83ns
	V3 vs V4
	1
	0,0032
	0,0032
	0,35ns
	Tratamentos
	(4)
	2,3843
	-
	
	Resíduo
	15
	-
	0,0132
	
Ftabelado = F5% (1, 15) = 4,54.
Fcal > FTab o contraste é dito significativo.
Fcal ≤ FTab o contraste é dito não significativo.
Conclusão:
- A produtividade de milho na variedade 1 foi superior comparado à média de produtividade das demais variedaes (2, 3, 4 e 5). 
- A produtividade de milho foi inferior em média nas variedades 1 e 2 comparado a média de produtividade das variedades 3 e 4.
Não foi observada diferença significativa quanto a produtividade de milho entre as variedades 1 e 2 e entre as variedades 3 e 4.
DIC: CASO DE PARCELAS PERDIDAS.
Exista condição de igualdade entre tratamentos.
Problemas de perda de parcelas
Perda de parcelas (plantas):
Destruição de plantas por animais
Corte de plantas por formiga
Doenças no solo e ataque de pragas
Germinação de sementes
Perda de parcelas (morte de animais):
Aplicação errada do tratamento.
Incidência de fungos e bactérias
Observação não realizada na parcela no momento certo.
DIC: Não é necessária a estimação das parcelas perdidas. Pode-se fazer a ANOVA com diferente número de repetições por tratamento.
EX2: Com o objetivo de diminuir o consumo dos motores à gasolina, uma determinada indústria petroquímica testou 4 novas formulações de gasolina, as quais se diferenciavam pelo tipo de aditivo que era acrescentado à mesma durante o seu processo de fabricação. Para efetuar o teste, a indústria petroquímica utilizou carros completamente homogêneos para todas as características. A designação das formulações aos carros foi feita ao acaso. Após os testes de rodagem, os resultados obtidos foram (km/l):
- A (ácido forte); B (ácido fraco); C (base forte) e D (base fraca). 
	A
20,00
	B
17,44
	B
19,42
	D
18,80
	B
20,32
	A
23,40
	C
18,80
	D
18,96
	C
19,42
	C
20,32
	B
XXX
	D
18,18
	D
18,48
	C
23,26
	A
22,40
	D
19,18
	A
20,68
	C
23,14
	B
18,22
	D
18,74
	B
18,24
	A
21,26
	C
19,20
	A
XXX
	
	
Repetições
	
Totais
	Form.
	I
	II
	III
	IV
	V
	VI
	
	A
	20,00
	23,40
	22,40
	20,68
	21,26
	-
	107,74
	B
	17,44
	19,42
	20,32
	18,24
	18,22
	-
	93,64
	C
	19,20
	23,26
	23,14
	20,32
	19,42
	18,80
	124,14
	D
	18,74
	19,18
	18,48
	18,96
	18,18
	18,80
	112,34
	
	
	
	
	
	
	
	437,86
→ Grau de liberdade
- Total: N – 1 = 22 – 1 = 21.
- Tratamento: I – 1 = 4 – 1 = 3.
- Residual: GLTO – GLTR = 21 – 3 = 18.
→ Soma de quadrados
- Total: SQT0 = ∑YIJ2 – C → C = G2 / N
C = 437,862 / 22 = 8714,6082
SQTO = (20,002 + 23,402 + ...+ 18,802) – 8714,6082
SQTO = 8780,4388 – 8714,6082 = 65,8306
- Tratamento: SQTR = 1 / J (∑tR2 – C)
SQTR = 1 / 5 (107,742 + 93,642) + 1 / 6 (124,142 + 112,342) – 8714,6082 = 32,4991
- Residual: SQR = SQTO – SQTR
SQR = 65,8306 – 32,4991 = 33,3315
→ Quadrados médios
- Tratamento: SQTR / GL
QMTR = 32,4991 / 3 = 10,8330
- Residual: SQR / GL
QMR= 33,3315 / 18 = 1,8518
Valor de F
F = QMTR / QMR = 10,8330 / 1,8518 = 5,85
F(3,18) 5% = 3,16.
F(3,18) 1% = 5,09.
Fcal > Ftab (rejeita-se H0) → pelo menos as médias de dois tratamentos diferem estatisticamente entre sí ao nível de 1 e 5 % de probabilidade. 
Conclusão do teste F da ANOVA: foi observada diferença significativa entre as formulações com relação a distância percorrida pelo veículo a 5 % pelo teste F. 
Quadro 1 – Resumo da ANOVA para distância percorrida pelo veículo em quatro formulações de combustível. Pombal – PB, CCTA/UFCG, 2013. 
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Formulações
	3
	32,4991
	10,8330
	5,85*
	Resíduo
	18
	33,3315
	1,8518
	
	Total
	21
	65,8306
	
	
→ No Caso de número de repetições diferentes por tratamento, a condição de ortogonalidade: ∑anbn/rn, onde rn é o número de repetições do tratamento n.
EX: Com os dados do exemplo anterior, faça os seguintes contrastes.
FORM A vs demais (B, C e D).
FORM B vs (C e D)
FORM C vs FORM D
C1 = 3mA – mB – mC - mD n1 = 1, n2 = 3; mmc (1,3) 
C2 = 2mB – mC - mD n2 = 1, n2 = 2; mmc (1,2)
C3 = mC - mD n3 = 1, n2 = 1; mmc (1,1)
MA = 107,74 / 5 = 21,55
 MB = 93,64 / 5 = 18,73
MC = 124,14 / 6 = 20,69
MD = 112,34 / 6 = 18,72
C1 = 3mA – mB – mC - mD
C1 = 3 x 21,55 – 1 x 18,73 – 1 x 20,69 – 1 x 18,72 = 6,51.
SQ(C1) = (6,51)2 / ∑(32/5 + 12 / 5 + 12 / 6 + 12 / 6) = 18,1629.
C2 = 2mB – mC - mD
C2 = 2 x 18,73 – 1 x 20,69 – 1 x 18,72 = - 1,95.
SQ(C2) = (-1,95)2 / ∑(22/5 + 12 / 6 + 12 / 6) = 3,3551
C3 = mC - mD
C3 = 1 x 20,69 – 1 x 18,72 = 1,97.
SQ(C3) = (1,97)2 / ∑(12 / 6 + 12 / 6) = 11,0427.
↓
QMC1 = 18,1629 / 1 = 18,1629
QMC2 = 3,3551 / 1 = 3,3551
QMC1 = 11,6427 / 1 = 11,0427
↓
Valor de F
FC1 = 18,1629 / 1,8518 = 9,81.
FC2 = 3,3551 / 1,8518 = 1,81.
 FC3 = 11,0427 / 1,8518 = 5,96.
Tabela 2 – Decomposição da soma de quadrados de tratamentos em contrastes ortogonais relativo a distância percorrida em função de diferentes formulações de combustíveis. Pombal – PB, CCTA/UFCG, 2013.
	
	GL
	SQ
	QM
	F
	mA vs (mB + mC + mD)
	1
	18,1629
	18,1629
	9,81*
	mB vs (mC + mD)
	1
	3,3551
	3,3551
	1,81ns
	mC vs mD
	1
	11,0427
	11,6427
	5,96*
	
	(3)
	
	-
	
	Resíduo
	18
	-
	1,8518
	
Ftabelado = F5% (1, 18) = 4,41.
Fcal > FTab (significativo) e Fcal ≤ FTab (não significativo).
Conclusão:
- A distância percorrida pelo veículo foi superior na formulação A comparado a média da distância percorrida nas demais formulações (B, C e D). 
- A distância percorrida pelo veículo não diferiu quando comparada a formulação B da média das formulações C e D.
- A distância percorrida pelo veículo foi superior na formulação C quando comparada à formulação D.
Considerações sobre o CV (coeficiente de variação).
O coeficiente de variação é calculado da seguinte maneira:
CV (%) = (√QMERRO / MG) X 100
QMERRO = Quadrado médio do erro
MG = G /IJ → média geral
O CV é utilizado para avaliação da precisão de experimentos. Quanto menor o CV mais preciso tende a ser o experimento. A título de classificação geral pode-se utilizar a seguinte tabela:
	CV
	Avaliação
	Precisão
	< 10%
	Baixo
	Alta
	10 a 20 %
	Médio
	Média
	20 a 30 %
	Alto
	Baixa
	> 30 %
	Muito alto
	Muito baixa
OBS: Porém o valor do CV não tem nada de absoluto, pois existe uma variabilidade inerente a cada área de pesquisa. Por exemplo, experimentos realizados em locais com ambiente controlado geralmente são mais precisos e podem apresentar CV menores que 5%.
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL
UNIDADE IV - TESTE DE COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS DE MÉDIAS EXPERIMENTAIS.
Generalidades
Teste de comparações múltiplas (PÓS – ANOVA).
↓
ANOVA: Testar pelo teste F a aceitação ou rejeição da hipótese H0. 
Análise de variância (rejeição da hipótese nula).
↓
Evidências que existem diferenças entre médias populacionais.
Mais entre que médias se registra estas diferenças? (Teste de Comparações Múltiplas).
Procedimento PÓS-ANOVA:
Teste de médias: tratamentos qualitativos.
Análise de regressão: tratamentos quantitativos.
Teste de comparações múltiplas de médias.
(Tukey, Duncan, Newmam Keulls, Dunnett, Sheffé, t de Student).
1 - TESTE TUKEY
Usado para testar todo e qualquer contraste entre duas médias.
O teste é exato e de uso simples quando o n0 de repetições é o mesmo para todos os tratamentos.
N0 de repetições é diferente é apenas aproximado.
Não permite comparar grupos entre sí
Tem por base a DMS:
Diferença mínima significativa.
∆ = diferença mínima significativa
(valor limite para diferença entre médias de dois tratamentos não diferirem estatisticamente entre sí).
q = amplitude total estudentizada.
Tabelas de Tukey: nível α, número de tratamentos (I) e do grau de liberdade do resíduo (n’).
QMR = quadrado médio do resíduo. 
ri e ru = número de repetições.
Tabela do teste de Tukey: (I, GLR)
Hipóteses estatísticas
H0: mI = mJ H1: mI ≠ mJ, I ≠ J
Regra de decisão
Y = |mI – mJ| ≤ ∆
Aceita-se H0. (contraste não significativo).
Y = |mI – mJ| > ∆
Rejeita-se H0. (contraste é significativo).
EX: Experimento DIC: A altura de plântulas de Eucaliptus (cm) submetidos a cinco tipos de substratos.
	Substrato 1
5,5
	Substrato 3
6,9
	Substrato 2
6,8
	Substrato 3
6,7
	Substrato 5
6,6
	Substrato 4
5,9
	Substrato 5
6,8
	Substrato 4
5,7
	Substrato 2
7,1
	Substrato 5
6,4
	Substrato 1
5,8
	Substrato 2
7,2
	Substrato 5
5,8
	Substrato 1
5,1
	Substrato 3
7,2
	Substrato 4
4,9
	Substrato 3
5,8
	Substrato 4
5,6
	Substrato 1
4,6
	Substrato 2
6,0
Quadro 1: Dados coletados no experimento.
	Substratos
	Repetições
	
	1
	2
	3
	4
	1
	4,6
	5,1
	5,8
	5,5
	2
	6,0
	7,1
	7,2
	6,8
	3
	5,8
	7,2
	6,9
	6,7
	4
	5,6
	4,9
	5,9
	5,7
	5
	5,8
	6,4
	6,6
	6,8
Quadro 2 – Resumo da ANOVA para a altura da plântula de Eucalipstus.
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Substratos
	4
	7,60
	1,90
	7,31*
	Resíduo
	15
	3,91
	0,26
	
	Total
	19
	11,51
	
	
F5%(4,15) = 3,06.
Fcal > Ftab (rejeita-se H0) → existe pelo menos um contraste entre médias de tratamentos, que difere entre sí ao nível de 5 % de probabilidade.
Conclusão do teste F da ANOVA: foi observada diferença significativa entre os substratos com relação à altura da plântula de Eucaliptus a 5 % pelo teste F. 
EX: Comparar as médias pelo teste Tukey.
H0: mi = mJ 
 H1: m1 ≠ mJ.
Teste de Tukey
Colocar as médias em ordem decrescente:
m2 = 27,1/4 = 6,77 
m3 = 26,6/4 = 6,65 
m5 = 25,6/4 = 6,40 
m4 = 22,1/4 = 5,52 
m1 = 21,0/4 = 5,25 
2) Formar e calcular o valor de cada contraste: 
Y1 = |m2 – m3| = 6,77 – 6,65 = 0,12ns
Y2 = |m2 – m5| = 6,77 – 6,40 = 0,37ns
Y3 = |m2 – m4| = 6,77 – 5,52 = 1,25*
Y4 = |m2 – m1| = 6,77 – 5,25 = 1,52*
Y5 = |m3 – m5| = 6,65 – 6,40 = 0,25ns
Y6 = |m3 – m4| = 6,65 – 5,52 = 1,13*
Y7 = |m3 – m1| = 6,65 – 5,25 = 1,40*
Y8 = |m5 – m4| = 6,40 – 5,52 = 0,88ns
Y9 = |m5 – m1| = 6,40 – 5,25 = 1,15*
 Y10 = |m4 – m1| = 5,52 – 5,25 = 0,27ns
3) calcular o valor da DMS:
∆ = q √QMR / J = 4,37 √0,26 / 4 = 1,11 dias
q5% (5,15) = 4,37
4) Colocar a significância nos contrastes (passo 2) comparando o valor do contraste com o valor DMS.
5) Colocar as letras nas médias dos tratamentos.
m2 = 27,1/4 = 6,77 a
m3 = 26,6/4 = 6,65 a
m5 = 25,6/4 = 6,40 ab
m4 = 22,1/4 = 5,52 bc
m1 = 21,0/4 = 5,25 c 
Calcular o coeficiente de variação
6) Conclusão.
A maior altura de plântulas de Eucaliptus foi observada nas plantas cultivadas nos substratos 2, 3 e 5 comparado a aquelas plantas cultivadas nossubstratos 4 e 1 ao nível de 5 % de probabilidade.
Tabela 1 – Valores médios da altura de plântulas de Eucaliptus submetidos a diferentes tipos de substratos em Londrina - PR. UFPR, 2012.
	Substratos
		Altura da plântula (cm)	
	2
	6,77 a
	3
	6,65 a
	5
	6,40 ab
	4
	5,52 bc
	1
	5,25 c
	DMS
	1,11
	CV (%)
	8,33
	* Nas colunas, as médias seguidas pela mesma letra não diferem entre sí ao nível de 5 % de probabilidade.
2 - TESTE DUNCAN
Usado para testar contraste entre duas médias.
É menos rigoroso que o teste Tukey em termos de rejeitar H0. Pode indicar resultados significativos que Tukey não indicaria. (aplicação mais trabalhosa). 
Exige que as médias sejam colocadas em ordem decrescente e que tenham o mesmo número de repetições para ser exato.
A significância do teste é indicada ligando-se por uma barra ou letras as médias que não diferem entre sí.
Baseia-se na amplitude total mínima significativa (Di)
Di = diferença mínima significativa
Zi = amplitude total estudentizada
Zi = f (α, i e n’).
α = nível de significância (1 e 5 %).
i = n0 de médias ordenadas abrangidas pelo contraste.
n’ = número de grau de liberdade do resíduo.
Tabela do teste de Duncan: (n, GLR)
 
Hipóteses estatísticas
H0: mi = mJ H1: m1 ≠ mJ, I ≠ J.
Regra de decisão
Y = |mI – mJ| ≤ Di
Aceita-se H0. (contraste não significativo).
Y = |mI – mJ| > Di
Rejeita-se H0. (contraste é significativo).
Ex: Aplicar o teste de Duncan nas médias abaixo.
1) Colocar as médias em ordem decrescente:
m2 = 6,77
m3 = 6,65
m5 = 6,40
m4 = 5,52
m1 = 5,25
Formar e calcular o valor de cada contraste envolvendo grupo de médias: calcular o valor da DMS e comparar com o valor de cada contraste para testar o contraste.
Contrastes envolvendo grupo com 5 médias
Z5% (5,15) = 3,31
D5 = 3,31 √0,26/4 = 0,84
Y5 = |m2 – m1| = 6,77 – 5,25 = 1,52*
Contrastes envolvendo grupo com 4 médias
Z5% (4,15) = 3,25
D4 = 3,25 √0,26/4 = 0,83
Y4 = |m2 – m4| = 6,77 – 5,52 = 1,25*
Y4 = |m3 – m1| = 6,65 – 5,25 = 1,40*
Contrastes envolvendo grupo com 3 médias
Z5% (3,15) = 3,16
D3 = 3,16 √0,26/4 = 0,80
Y3 = |m2 – m5| = 6,77 – 6,40 = 0,37ns
Y3 = |m3 – m4| = 6,65 – 5,52 = 1,13*
Y3 = |m5 – m1| = 6,40 – 5,25 = 1,15*
Contrastes envolvendo grupo com 2 médias
Z5% (2,15) = 3,01
D2 = 3,01 √0,26/4 = 0,77
Y2 = |m2 – m3| = 6,77 – 6,65 = 0,12ns
Y2 = |m3 – m5| = 6,65 – 6,40 = 0,15ns
Y2 = |m5 – m4| = 6,40 – 5,52 = 0,88*
Y2 = |m4 – m1| = 5,52 – 5,25 = 0,27ns
3) Conclusão.
A altura da plântula de Eucaliptus não diferiu entre sí quando foi utilizado os substratos 2, 3 e 5, porém apresentaram plantas com altura superior quando comparados com aquelas plantas cultivadas nos substratos 4 e 1 ao nível de 5 % de probabilidade.
Tabela 2 – Valores médios da altura de plântulas de Eucaliptus submetidos a diferentes tipos de substratos em Londrina - PR. UFPR, 2010.
3 - TESTE DE NEWMAM-KEULLS
Usado para testar contraste entre duas médias.
Rigor: intermediário entre Tukey e Duncan.
Usa-se a metodologia do Duncan com a tabela de Tukey. 
A significância do teste é indicada ligando-se por uma barra ou letras as médias que não diferem entre sí.
∆i = diferença mínima significativa
QMR = Quadrado médio do resíduo.
qi = amplitude total estudentizada.
qi = f (α, i e n’).
α = nível de significância
i = n0 de médias ordenadas abrangidas pelo contraste.
n’ = número de grau de liberdade do resíduo.
Tabela do teste: Tukey
Hipóteses estatísticas
H0: mI = mJ H1: mI ≠ mJ, I ≠ J
Regra de decisão
Y = |m1 – m2| ≤ ∆i
Aceita-se H0. (contraste não significativo).
Y = |m1 – m2| > ∆i
Rejeita-se H0. (contraste é significativo).
Ex: Aplicar o teste de Newman-Keuls nas médias.
1) Colocar as médias em ordem decrescente:
m2 = 6,77
m3 = 6,65
m5 = 6,40
m4 = 5,52
m1 = 5,25
2) Formar e calcular o valor de cada contraste envolvendo grupo de médias: calcular o valor da DMS e comparar com o valor de cada contraste para testar o contraste.
Contrastes envolvendo grupo com 5 médias
q5% (5,15) = 4,37
∆’5 = 4,37 √0,26/4 = 1,11
Y5 = |m2 – m1| = 6,77 – 5,25 = 1,52*
Contrastes envolvendo grupo com 4 médias
q5% (4,15) = 4,08
∆’4 = 4,08 √0,26/4 = 1,04
Y4 = |m2 – m4| = 6,77 – 5,52 = 1,25*
Y4 = |m3 – m1| = 6,65 – 5,25 = 1,40*
Contrastes envolvendo grupo com 3 médias
q5% (3,15) = 3,67
∆’3 = 3,67 √0,26/4 = 0,93
Y3 = |m2 – m5| = 6,77 – 6,40 = 0,37ns
Y3 = |m3 – m4| = 6,65 – 5,52 = 1,13*
Y3 = |m5 – m1| = 6,40 – 5,25 = 1,15*
Contrastes envolvendo grupo com 2 médias
q5% (2,15) = 3,01
∆’2 = 3,01 √0,26/4 = 0,77
Y2 = |m2 – m3| = 6,77 – 6,65 = 0,12ns
Y2 = |m3 – m5| = 6,65 – 6,40 = 0,15ns
Y2 = |m5 – m4| = 6,40 – 5,52 = 0,88*
Y2 = |m4 – m1| = 5,52 – 5,25 = 0,27*
Conclusão.
As plantas de Eucaliptus não apresentaram diferença significativa em sua altura quando cultivadas nos substratos 2, 3 e 5, porém as plantas cultivadas nestes substratos apresentaram altura superior aquelas plantas cultivadas nos substratos 4 e 1 que não diferiram entre sí a 5 % de probabilidade.
Tabela 3 – Valores médios da altura de plântulas de Eucaliptus submetidos a diferentes tipos de substratos em Londrina - PR. UFPR, 2012.
4 - TESTE DE DUNNETT
Usado quando há interesse em comparar media de um tratamento padrão (testemunha) com os demais tratamentos.
Não há interesse na comparação dos demais tratamentos entre sí.
Um experimento com I tratamentos permite a aplicação do teste a (I – 1) comparações.
Aplicação do teste Dunnett
Calcular a estimativa de cada contraste.
Y1 = mi - mP
Y2 = mi - mP
Y(I – 1) = m(I – 1) - mP
Calcular a estimativa de variância de cada contraste.
V(Y) = (1 / ri + 1/rp) QMR
Calcular o desvio padrão do contraste.
S(Y) = √V(Y)
Calcular o valor do teste d’.
d’ = td x s(Y)
td = valor tabelado para teste Dunnett (1 e 5 %). 
td = f (α, i e n).
α = nível de significância
i = n0 de grau de liberdade de tratamentos (I – 1).
n’ = número de grau de liberdade do resíduo.
Regra de decisão
Y = |mI – mJ| ≤ d’
Aceita-se H0. (contraste não significativo).
Y = |mI – mJ| > d’
Rejeita-se H0. (contraste é significativo).
Ex: Aplicar o teste Dunnett para o exercício anterior, admitindo o tratamento 1 como sendo a testemunha. 
1) Calcular a estimativa de cada constraste.
Y1 = m2 – m1 = 6,77 – 5,25 = 1,52*
Y2 = m3 – m1 = 6,65 – 5,25 = 1,40*
Y3 = m4 – m1 = 5,52 – 5,25 = 0,27ns
Y4 = m5 – m1 = 6,40 – 5,25 = 1,15*
2) Calcular a estimativa da variância de cada contraste.
V(Y) = (1/4 + 1/4) x 0,26 = 0,13
3) Calcular o erro padrão do contraste.
S(Y) = √V(Y) = √0,13 = 0,36.
4) Calcular o valor do teste d’.
d’ = td x S(Y)
td (5%,4,15) = 2,73 d’ = 2,73 x 0,36 = 0,98
5) Conclusão.
Verifica-se maior altura de plântulas de Eucaliptus quando utilizou-se os substratos 2, 3 e 5 comparado a testemunha (substrato 1). Não houve diferença significativa na altura da plântula de Eucaliptus quando se usou o substrato 4 comparado a testemunha (substrato 1) ao nível de 5 % de probabilidade pelo teste de Dunnett.
5 - TESTE DE SHEFFÉ
Aplicado para testar todo e qualquer contraste de médias.
Frequentemente utilizado para testar contraste que envolve grupos de médias.
Mais rigoroso que o teste t, porém mais flexível.
(ortogonalidade e estabelecimento dos contrastes).
OBS: a estatística do teste é denotada por S.
I = número de tratamentos do experimento.
Fα = valor tabelado; Fα = f(n1, n2).
n1 = grau de liberdade para tratamento.
 n2 = grau de liberdade para resíduo.
V(C) = Variância do contraste.
Regra de decisão
|C | ≤ S
Aceita-se H0. (contraste não significativo).
|C| > S
Rejeita-se H0. (contraste é significativo).
EX: Um experimento testou adubos nitrogenadospara o abacaxizeiro com 6 tratamentos (5 tipos de adubo e 1 testemunha) e 4 repetições no DIC.
	Médias de produção em kg / parcela.	
	1 – Testemunha
	m1 = 21,57
	2 – Sulfato de amônio
	m2 = 27,76
	3 – Salitre do Chile
	m3 = 24,58
	4 – Uréia
	m4 = 28,44
	5 – Nitrato de cálcio
	m5 = 28,85
	6 – Nitrato de potássio
	m6 = 28,30
- Estimativa da variância residual: QMR = 0,64.
- Esquema da ANOVA:
	FV
	GL
	Tratamento
	5
	Resíduo
	18
	Total
	23
1) Calcular o valor do contraste.
C = 5 m1 – m2 – m3 – m4 – m5 – m6
C = 5 (21,57) – 27,76 – 24,58 – 28,44 – 28,85 – 28,30
C = - 30,08 kg / parcela
2) Calcular o valor da DMS.
- Cálculo de S: 
I = 6; F5% (5,18) = 2,77
3) Comparar o valor do contraste com a DMS.
|C| ≥ S: rejeita-se H0.
4) Conclusão.
Os adubos nitrogenados proporcionaram, em média, um aumento de produção de 6,02 kg / parcela (C/5) em relação à testemunha.
6 - TESTE t DE STUDENT
Usado também para comparações de médias.
As comparações devem ser escolhidas antes de serem examinados os dados.
N0 de comparações = GL para tratamentos.
Os contrastes devem ser ortogonais.
Contraste: função linear (se a soma algébrica dos coeficientes das variáveis é igual a zero).
(Y = a1x1 + a2x2 +...+ anxn → ∑an = 0).
Contrastes ortogonais: a soma algébrica dos produtos dos coeficientes de mesma variável for também igual à zero.
(Y1 = a1x1 + a2x2 +...+ anxn → ∑an = 0). 
(Y2 = b1x1 + b2x2 +...+ bnxn → ∑bn = 0).
a1b1 + a2b2 +…+ anbn = 0
Experimento com 3 médias (m1, m2, m3) → 2 graus de liberdade para tratamentos (2 contrastes).
Y1 = m1 – m2
Y2 = m1 + m2 – 2m3
EX 1: Se as estimativas das médias forem:
m1 = 26,0; m2 = 24,8; m3 = 22,8;
Vejamos agora o caso do contraste Y1
Y1 = 26,0 – 24,8 = 1,20.
Dado um contraste: Y = c1m1 + c2m2 +...+ cnmn
Tratamento 1, 2, ... n (ri)
Estimativa da variância
Variância é o quadrado do desvio padrão.
S(Y) = √V(Y)
6 (número de repetições para todos os tratamentos).
V(Y1) = (1/6 + 1/6) S2 = 1/3 S2
Supondo S2 = 1,44 
S(Y1) = √1/3 x 1,44 = 0,693
Testando o contraste pelo teste t : 
Hipóteses
H0: Y1 = 0 H1: Y1 ≠ 0
t = 1,20 / 0,693 = 1,73 → t5%,9 = 2,09
tcal < ttab contraste é não significativo, as médias dos tratamentos não diferem entre sí (m1 = m2) a 5 % de probabilidade pelo teste t.
Vejamos agora o caso do contraste Y2
Y2 = m1 + m2 – 2m3 = 26,0 + 24,8 – 2 x (22,8) = 5,2.
V(Y) = (1/6 + 1/6 + 4/6) S2
S(Y2) = S2 = √1,44 = 1,20.
Tcalc = 5,20 / 1,20 = 4,33. t5%,9 = 2,09.
 tcal > ttab contraste é significativo. (m1 + m2 ≠ m3).
Conclusão: as médias dos tratamentos (1 e 2) apresentaram superioridade em comparação a média do tratamento 3 a 5 % de probabilidade.
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL
UNIDADE V - REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
Considerações
- Um fator em estudo num experimento pode ser classificado como qualitativo ou quantitativo.
- Um fator qualitativo é aquele onde os seus níveis diferem por algum atributo qualitativo.
EX: variedades, tipos de defensivos, métodos de conduzir uma determinada tarefa, etc.
- Um fator quantitativo é aquele onde os níveis se diferem com relação a quantidade do fator.
EX: temperatura, umidade, concentração de um princípio ativo, níveis de insumo, pH, etc.
- Fator é qualitativo: proceder à análise de variância dos dados e às comparações entre médias dos níveis do fator usando algum dos procedimentos para comparações múltiplas, quando o F for significativo.
- Fator quantitativo: estudar o efeito do fator quantitativo por meio de uma relação funcional entre o mesmo e a variável resposta. A técnica indicada neste caso é a análise de regressão.
Modelo Matemático: Y = β0 + β1X + εi
 Y = β0 + β1X + β2X2 + εi
Y → variável dependente (resposta).
X → variável independente (explanatória).
Y = 2,5 + 2,0 x X = 1; Y = 4,5;
Modelo de regressão linear simples:
Relaciona uma variável aleatória Y com uma variável X.
Yi = β0 + β1Xi 
A parte da variação de X não explicada é atribuída ao acaso e constitui a variação residual.
OBS: o n0 de observações disponíveis deve ser maior que o número de parâmetros da equação de regressão.
 
R2: O coeficiente de determinação fornece uma informação auxiliar visando verificar se o modelo proposto é adequado ou não para descrever o fenômeno.
Trata-se do indicador de qualidade do ajustamento.
R2 = VE/VT
0 ≤ R2 ≤ 1, ou 0 a 100 %.
Ex 1: Os dados da tabela a seguir referem-se ao efeito das doses do inseticida Vertimec sob mosca branca em condições de laboratório.
	Doses (X)
ml
	Mortalidade (Y) %
	X2
	Y2
	XY
	0.5
	3
	0,25
	9
	1,5
	1,0
	9
	1,00
	81
	9,0
	1,5
	44
	2,25
	1936
	66,0
	2,0
	68
	4,00
	4624
	136,0
	2,5
	79
	6,25
	6241
	197,5
	3,0
	82
	9,00
	6724
	246,0
	3,5
	85
	12,25
	7225
	297,5
	4,0
	94
	16,00
	8836
	376,0
	4,5
	100
	20,25
	10000
	450,0
	Total
	-
	-
	-
	-
	22,5
	564
	71,25
	45676
	1779,5
* Com base nesses dados, calcule as estimativas dos parâmetros da equação de regressão:
 
 = ∑y / n = 564/9 = 62,66 
 = ∑x / n = 22,5/9 = 2,5 
β0 = 62,66 – 24,63 * 2,5 = 1,09.
Pode-se fazer então o diagrama de dispersão e traçar a reta da equação de regressão linear.
Coeficiente de determinação (R2)
Trata-se do indicador de qualidade do ajustamento.
R2 = VE/VT
a – Variância total (VT):
VT = ∑y2 - (∑y)2 / n.
b – Variação explicada pela variável independente (VE):
VE = β1 * ∑xy – (∑x * ∑y) / n
↓
0 ≤ R2 ≤ 1, ou 0 a 100 %.
Ex 2: Calcular o R2 para o exemplo anterior.
VT = ∑y2 - (∑y)2 / n = 45676 – (564)2/9 = 10332.
VE = β1 * ∑xy - (∑x * ∑y) / n
VE = 24,63 * [1779,5 – (22,5 * 564)/9] = 9100,79.
R2 = VE/VT = 9100,79/ 10332
R2 = 0,8808 ou 88,08 %.
Conclusão: O uso das doses do inseticida (x) explica 88,08 % da variação da mortalidade de insetos (Y).
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL
UNIDADE VI
DELINEAMENTO EM BLOCOS AO ACASO - DBC
Características
Caracterizado pela introdução do princípio do controle local, representado pelos blocos.
DIC (repetição + casualização).
DBC (repetição + casualização + controle local)
↓
Quando usar o controle local?
Distinção entre condições experimentais.
(heterogeneidade do ambiente (fertilidade do solo, temperatura, etc...).
↓
EX: Quando o pesquisador deseja comparar o efeito de analgésicos em cobaias. No entanto as cobaias não são de mesma idade. Se o pesquisador achar que a idade da cobaia pode influenciar na avaliação dos analgésicos, ele deve controlar o efeito do fator perturbador: idade.
↓
O controle do efeito do fator pertubador é feito pela formação de grupos, ou seja, blocos de unidades experimentais homogêneas e fazendo com que todos os níveis do fator em estudo sejam avaliados em cada nível do fator pertubador, ou seja, em cada bloco de unidades homogêneas.
↓
Os blocos poderão ser espalhados por toda área ou agrupados.
↓
Poderá haver ou não grande variabilidade de um bloco para outro.
↓
Em experimentos instalados segundo o DBC, espera-se que as condições experimentais de um bloco sejam diferentes das condições experimentais do outro bloco e que haja homogeneidade das condições experimentais dentro de cada bloco.
Cada bloco seja tão uniforme quanto possível.
↓
Caso o pesquisador não controle o efeito do fator perturbador por meio da formação de blocos de unidades experimentais homogêneas e controle na casualização, o efeito do fator pertubador é absorvido pelo erro experimental. Tal absorção tende a provocar um aumento no valor do QMRes, o que pode acarretar em não identificar nenhuma diferença nos efeitos dos tratamentos, quando de fato uma ou mais diferenças possam existir.
Evitar uso de blocos grandes (variabilidade do ambiente – falta de uniformidade).EX: Em ensaios agrícolas de campo.
Os tratamentos são atribuídos aos blocos (sorteio dentro dos bloco).
A casualização é feita independentemente para cada bloco.
EXPERIMENTO COM 3 TRATAMENTOS E 5 REPETIÇÕES (BLOCOS) = 15 PARCELAS.
DBC
	BLOCOS
	TRATAMENTOS
	1
	A
	C
	B
	2
	B
	A
	C
	3
	A
	B
	C
	4
	C
	B
	A
	5
	C
	A
	B
Os blocos: horizontal ou vertical.
DIC
	B
	A
	C
	B
	A
	C
	B
	C
	A
	B
	B
	C
	A
	A
	C
OBS 1: em experimentos zootécnicos cada bloco será constituído por animais com características semelhantes (peso, idade etc).
↓
OBS 2: o DBC é usado quando se deseja controlar uma causa de variação além do efeito de tratamentos:
- Falta de uniformidade do terreno
- Coleta de amostra em dias diferentes
- Uso de mais de um equipamento.
↓
Vantagens
1 - Se o controle local se fizer necessário então esse delineamento é mais eficiente do que o DIC (a formação dos blocos isola esta causa de heterogeneidade diminuindo a variação do acaso).
2 - Não há restrição no número de tratamentos (quadrado latino) ou de blocos, e não exige condições experimentais uniformes (DIC).
3 - Análise estatística é simples.
Desvantagens
1 - O delineamento perde eficiência quando o controle local for dispensável (o n0 de graus de liberdade do erro é menor que o obtido no DIC).
2 - Quando a variação entre unidades experimentais dentro do bloco é grande, o erro experimental é grande.
Modelo matemático
YIJ = μ + tI + βJ + εIJ
YIJ = valor observado na parcela que recebeu o tratamento i no bloco j.
μ = média geral do experimento.
tI = efeito de tratamento.
βJ = efeito de blocos.
εIJ = erro dos fatores não controlados na parcela.
Análise de variância
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Bloco
	J - 1
	SQB
	-
	-
	Trat.
	I – 1
	SQTR
	SQTR/GL
	QMTR
/QMR
	Res.
	(I – 1) (J – 1)
	SQTO – SQTR - SQBL
	SQR/GLR
	-
	Total
	IJ -1
	SQTO
	-
	-
Especificações
1a coluna: bloco, tratamento, resíduo e total.
2a coluna: GL: bloco, tratamento, resíduo e total.
3a coluna: SQ: blocos, tratamento, resíduo e total.
SQTO = ∑YIJ2 – C → C = G2 / IJ
SQTR = 1 / J (∑TR2) – C
SQB = 1 / I (∑BL2 ) – C 
SQR = SQTO - SQTR – SQBL
4a coluna: QM ou variância: bloco, tratamento e resíduo.
QMB = SQB / GLBL
QMTR = SQTR/GLTR
QMR = SQR/GLR
5a coluna: teste F (quociente: = QMTR/QMR).
 (quociente: = QMB/QMR).
OBS 1: efeito do bloco significativo indica que a precisão do experimento foi aumentada pelo uso desse delineamento em relação ao uso do DIC.
OBS 2: A abrangência do experimento pode ser aumentada, porque os tratamentos foram testados em variadas condições experimentais.
Hipóteses estatísticas
H0: m1 = m2 = m3 = ... = mi, aceita-se H0 ao nível α de probabilidade.
H0: m1 ≠ m2 ≠ m3 ≠... ≠ mi → rejeita-se H0: pelo menos um contraste entre médias de tratamentos diferem entre sí ao nível α de probabilidade.
Regra de decisão
Fcal ≤ Fα aceita-se H0.
Fcal > Fα rejeita-se H0.
EX: A área foliar da planta é um dos indicadores da eficiência do processo fotossintético de uma determinada espécie. Em função disso foi realizado um experimento que avaliou a área foliar (cm2.planta-1) de quatro espécies indicadas para utilização em áreas de reflorestamento 1 mês após a emergência da plântula. O experimento foi realizado no DBC com 3 repetições. 
	
	Área foliar (cm2.planta-1)
	
	
	Blocos
	
	Tratamentos
	I
	II
	III
	Totais Trat.
	Espécie A
	4,07
	3,80
	3,86
	11,73
	Espécie B 
	3,91
	3,77
	3,46
	11,14
	Espécie C 
	4,90
	5,31
	4,73
	14,94
	Espécie D 
	3,79
	3,50
	3,46
	10,75
	Totais Blocos
	16,67
	16,38
	15,51
	48,56
Grau de liberdade
- Bloco: J – 1 = 3 – 1 = 2.
- Total: IJ – 1 = 4 x 3 – 1 = 11.
- Tratamento: I – 1 = 4 – 1 = 3.
- Residual: GLTO – GLTR – GLBL = 11 – 3 – 2 = 6.
Soma de quadrados
- Total: SQT0 = ∑YIJ2 – C → C = G2 / IJ
C = 48,562 / 12 = 196,5061
SQTO = (4,072 + 3,802 + ...+ 3,462) – 196,5061
SQTO = 200,5418 – 196,5061 = 4,0357
- Tratamento: SQTR = 1 / J (∑TR2) – C
SQTR = 1 / 3 (11,732 + ...+ 10,752) – 196,5061
SQTR = 200,1529 – 196,5061 = 3,6468
- Blocos: SQB = 1 / I (∑BJ2) – C
SQB = 1 / 4 (16,672 +… + 15,512) – 196,5061
SQB = 196,6884 – 196,5061 = 0,1823
- Residual: SQR = SQTO – SQTR - SQB
SQR = 4,0357 – 3,6468 – 0,1823 = 0,2066
Quadrados médios
- Tratamento: SQTR / GL
QMTR = 3,6468 / 3 = 1,2156
- Blocos: SQB / GL
QMB = 0,1823 / 2 = 0,0912
- Residual: SQR / GL
QMR = 0,2066 / 6 = 0,0344
Valor de F
FB = QMB / GLB = 0,50
F = QMTR / QMR = 1,2156 / 0,0344 = 35,34
F(3,6) 5% = 4,76; F(3,6) 1% = 9,78.
Quadro 1 – Resumo da ANOVA para área foliar da planta em diferentes espécies florestais.
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Blocos
	2
	0,1823
	0,0912
	0,50ns
	Espécies
	3
	3,6468
	1,2156
	35,34*
	Resíduo
	6
	0,2066
	0,0344
	
	Total
	11
	4,0357
	
	
F indica que há diferença mais não discrimina quais são.
Procedimento pós ANOVA
Teste de médias e contrastes: tratamentos qualitativos.
Análise de regressão: tratamentos quantitativos.
Teste de médias (Tukey, t, Duncan, Scheffé, Dunett, Newman Keulls etc).
Aplicação do teste de Tukey
Dados do exemplo anterior.
Colocar as médias em ordem decrescente:
MC = 14,94/3 = 4,98 a
MA = 11,73/3 = 3,91 b
MB = 11,14/3 = 3,71 b
MD = 10,75/3 = 3,58 b 
Calcular o valor de cada contraste:
Y = |MC – MA| = 4,98 – 3,91 = 1,07*
Y = |MC – MB| = 4,98 – 3,71 = 1,27*
Y = |MC – MD| = 4,98 – 3,58 = 1,40*
Y = |MA – MB| = 3,91 – 3,71 = 0,20ns
Y = |MA – MD| = 3,91 – 3,58 = 0,33ns
Y = |MB – MD| = 3,71 – 3,58 = 0,13ns
Calcular a DMS do teste:
∆ = q √QMR / J = 4,90 √0,0344 / 3 = 0,52 cm2.planta-1
q5% (4,6) = 4,90
Conclusão: A área foliar das plantas foi superior na espécie C comparado a utilização das demais espécies, que não diferiram entre si ao nível de 5 % de probabilidade pelo teste Tukey.
CV = S / mg x 100 = 0,1855 / 4,047 x 100 = 4,58 %.
Tabela 1 – Valores médios da área foliar de diferentes espécies florestais. Pombal – PB. CCTA/UFCG, 2012.
	Tratamentos
	Área foliar (cm2.planta-1)
	Espécie A
	3,91 b
	Espécie B
	3,71 b
	Espécie C
	4,98 a 
	Espécie D
	3,58 b
	DMS
	0,52
	CV (%)
	4,58
	* Nas colunas, as médias seguidas pela mesma letra não diferem entre sí pelo teste de Tukey ao nível de 5 % de probabilidade.
Exercício extra aula: com as médias do exemplo anterior aplique os testes de Duncan e Dunnett (utilize o tratamento D como testemunha).
Decomposição da SQTR em contrastes ortogonais.
→ Se ∑anbn = 0, os contrastes Y1 e Y2 serão ortogonais: tratamentos tenham o mesmo número de repetições.
→ Caso contrário:
EX: Com os dados do exemplo anterior teste os contrastes abaixo: (Característica avaliada = área foliar de diferentes espécies florestais).
Espécie A e B vs C e D.
Espécie A vs B
Espécie C vs D
 n1 = 2 e n2 = 2; mmc (2,2)
 n1 = 1 e n2 = 1; mmc (1,1)
 n1 = 1 e n2 = 1; mmc (1,1)
Médias dos tratamentos: 
	Ma = 3,91 
	Mb = 3,71 
	Mc = 4,98 
	Md = 3,58
C1 = ma + mb – mc – md = 3,91 + 3,71 – 4,98 – 3,58 = - 0,94
 
C2 = ma - mb = 3,91 - 3,71 = 0,20
 
C3 = mc – md = 4,98 – 3,58 = 1,40
 
Quadro da ANOVA:
	Contrastes
	GL
	SQ
	QM
	F
	(MA+MB) vs (MC+MD)
	1
	0,6627
	0,6627
	19,26*
	MA vs MB
	1
	0,0600
	0,0600
	1,74ns
	MC vs MD
	1
	2,9400
	2,9400
	85,46*
	Tratamento
	(3)
	3,6627
	
	
	Resíduo
	6
	-
	0,0344
	
F5% (1, 6) = 5,99.
Conclusão: Em media, as espécies A e B proporcionaram plantas com menor área foliar comparado à média da área foliar observadas nas plantas das espécies C e D. Nas plantas da espécie C observou-se maior área foliar comparadoas plantas da espécie D. As espécies A e B não diferiram com relação à área foliar da planta, a 5 % de probabilidade pelo teste F.
DBC: caso de parcelas perdidas.
Estimação da parcela perdida
I: Número de tratamentos. 
J: número de repetições.
B: totais das observações restantes no bloco contendo a parcela perdida.
T: totais das observações restantes no tratamento contendo a parcela perdida.
G: total geral das observações disponíveis.
2 - O valor estimado é colocado na planilha (valor perdido) e a ANOVA é executada.
3 – A SQTR fica sobreestimado → Fazer a correção.
SQTR(aj) = SQT – U
4 – O número de GLR fica reduzido de uma unidade.
GLR = (I – 1) ( J – 1) – 1
5 – Se as comparações das médias forem feitas pelo teste Tukey exige o cálculo de duas DMS’s.
(Contraste sem parcela perdida)
Contrastes com parcela perdida.
EX: Um melhorista de plantas instalou um experimento visando selecionar as melhores progênies para dar continuidade ao seu programa de melhoramento. Na instalação do experimento, ele verificou que a área a ser utilizada não era completamente homogênea. Então dividiu a área em 3 sub-áreas de tal forma que cada uma fosse completamente homogênea e pudesse conter todas as 4 progênies em teste. Após esta divisão, as progênies foram distribuídas ao acaso dentro de cada sub-área. Na época da colheita ele avaliou a produção de grãos por planta (kg/planta), cujos resultados foram:
	
	Blocos
	Totais Trat.
	Progênies
	I
	II
	III
	
	Progênie A
	5,0
	X
	8,0
	13,0 + X
	Progênie B
	4,0
	4,5
	6,5
	15,0
	Progênie C
	3,0
	5,0
	6,0
	14,0
	Progênie D
	3,5
	4,5
	5,0
	13,0
	Totais Bloco
	15,5
	14,0 + X
	25,5
	55,0 + X
1 – Cálculo da estimativa da parcela perdida
X = 6,5
2 – Análise de variância
	
	Blocos
	Totais Trat.
	Progênies
	I
	II
	III
	
	Progênie A
	5,0
	6,5
	8,0
	19,5
	Progênie B
	4,0
	4,5
	6,5
	15,0
	Progênie C
	3,0
	5,0
	6,0
	14,0
	Progênie D
	3,5
	4,5
	5,0
	13,0
	Totais Bloco
	15,5
	20,5
	25,5
	61,5
Grau de liberdade
- Blocos: J – 1 = 3 – 1 = 2.
- Tratamento: I – 1 = 4 – 1 = 3.
- Residual: (I – 1) ( J – 1) – 1 = (4 – 1) ( 3 – 1) – 1 = 5.
- Total = 2 + 3 + 5 = 10.
Soma de quadrados
- Total: SQT0 = ∑YIJ2 – C → C = G2 / IJ
C = 61,52 / 12 = 315,1875
SQTO = (52 + 6,52 + ...+ 5,02) – 315,1875
SQTO = 337,25 – 315,1875 = 22,0625
- Tratamento: SQTR = 1 / J (∑ti2) – C
SQTR = 1 / 3 (19,52 + ...+ 13,02) – 315,1875
SQTR = 323,4167 – 315,1875 = 8,2292
SQTR (AJ) = SQT – U
 
U = 2,52
SQTR (AJ) = 8,2292 – 2,52 = 5,7092
- Blocos: SQB = 1 / I (∑B2) – C
SQB = 1 / 4 (15,52 + …+ 25,52) – 315,1875
SQB = 327,6875 – 315,1875 = 12,5000
- Residual: SQR = SQTO – SQB - SQTR (AJ) - 
SQR = 22,0625 – 12,50 – 5,7092 = 3,8533
Quadrados médios
- Tratamento: SQTR / GL
QMTR = 5,7092 / 3 = 1,9031
- Blocos: SQB / GL
QMB = 12,5000 / 2 = 6,2500
- Residual: SQR / GL
QMR = 3,8533 / 5 = 0,7707
Valor de F
F = QMTR / QMR = 1,9031 / 0,7707 = 2,47ns
F(3,5) 5% = 5,41.
Fcal ≤ Ftab(5%) (aceita-se H0) → não existe diferença significativa na produção de grãos das quatro progênies avaliadas ao nível de 5 % de probabilidade pelo teste F.
Quadro 1 – Resumo da ANOVA da produção de grãos em diferentes progênies. CCTA/UFCG, 2011.
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Blocos
	2
	12,5000
	6,2500
	
	Progênie
	3
	5,7092
	1,9031
	2,47ns
	Resíduo
	5
	3,8533
	0,7707
	
	Total
	10
	22,0625
	
	
Aplicação do teste Tukey
As estimativas das médias dos contrastes seriam:
m1 = 6,50
m2 = 5,00
m3 = 4,67
m4 = 4,33
Cálculo das DMS’s:
∆ = q x √QMR/J =
∆ = 5,22 √0,7707 / 3 = 2,65
q5% (4,5) = 5,22
 
∆ = 3,05
Y = |m1 – m2| = 6,5 – 5,0 = 1,50 < 3,05ns
Y = |m1 – m3| = 6,5 – 4,67 = 1,83 < 3,05ns
Y = |m1 – m4| = 6,5 – 4,33 = 2,17 < 3,05ns
Y = |m2 – m3| = 5,0 – 4,67 = 0,33 < 2,65ns
Y = |m2 – m4| = 5,0 – 4,33 = 0,67 < 2,65ns
Y = |m3 – m4| = 4,67 – 4,33 = 0,34 < 2,65ns
CV (%) = (S / m) x 100 =
CV (%) = (0,8778 / 5,125) x 100 = CV = 17,13 %.
Tabela 1 – Valores médios para a produção de grãos em diferentes progênies. CCTA/UFCG, 2012.
	Progênies
	Média
	Progênie A
	6,50* a
	Progênie B
	5,00 a
	Progênie C
	4,67 a
	Progênie D
	4,33 a
	DMS = 2,65 e DMS’ = 3,05 
	
	CV (%)
	17,13
	* Nas colunas, as médias seguidas pela mesma letra não diferem entre sí pelo teste Tukey ao nível de 5 % de probabilidade.
Conclusão: Não houve diferença significativa quanto a produção de grãos das quatro progênies avaliadas a 5 % de probabilidade pelo teste de Tukey.
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL
DELINEAMENTO EM QUADRADO LATINO (DQL)
(UNIDADE VII)
Considerações:
Os ensaios em DBC: controla a heterogeneidade em um só sentido.
(1 controle local representado pelos blocos).
↓
OBS: Quando há variação em sentido perpendicular na realização do experimento em campo ou laboratório 
(Utiliza-se mais 1 controle local).
↓
No Delineamento em Quadrado Latino (DQL), além dos princípios da repetição e da casualização, é utilizado também duas vezes o princípio do controle na casualização para controlar o efeito de dois fatores perturbadores que causam variabilidade entre as unidades experimentais.
Dois controles: considerando 1 no sentido da linha + 1 no sentido da coluna.
Geralmente, na configuração de um experimento instalado segundo o DQL, os níveis de um fator perturbador são identificados por linhas em uma tabela de dupla entrada e os níveis do outro fator perturbador são identificados por colunas na tabela.
↓
Quadrado latino
EX: Em experimentos com animais este delineamento é bastante usado.
↓
Experimentos em campo ou laboratório apresentam limitações quando o número de tratamentos for grande.
↓
Dois blocos: sentido linha e coluna.
No DQL o número de linhas, colunas e tratamentos são iguais.
Características
	
	Colunas
	
	B
	C
	D
	A
	Linhas
	D
	A
	B
	C
	
	A
	B
	C
	D
	
	C
	D
	A
	B
Utilizado: quando as unidades experimentais puderem ser agrupadas com os níveis das 2 fontes de variação.
↓
Ex 2: Num experimento com suínos pretende-se testar 4 tipos de ração (A,B,C e D), em 4 raças e 4 idades de animais. Sendo interesse fundamental o comportamento dos 4 tipos de ração, toma-se a raça e a idade como blocos, ou seja:
	
	Raça
	Idade
	R1
	R2
	R3
	R4
	I1
	Ração A
	Ração B
	Ração D
	Ração C
	I2
	Ração B
	Ração C
	Ração A
	Ração D
	I3
	Ração D
	Ração A
	Ração C
	Ração B
	I4
	Ração C
	Ração D
	Ração B
	Ração A
O número total de unidades experimentais é igual a I2, sendo I o número de tratamentos.
Cada tratamento é representado uma única vez em cada linha e em cada coluna.
↓
N0 de tratamentos = N0 de repetições (menos flexível)
> de 8 tratamentos: não recomendado (n0 de repetições).
Dentro das linhas e das colunas: uniformidade.
↓
O DQL 2 x 2, 3 x 3 e 4 x 4 apresentam 0, 2 e 6 GLR.
DQL: 5 x 5 a 8 x 8 (mais utilizados).
↓
Casualização do DQL
Sorteio da ordem das linhas e depois das colunas.
Aplicação de quatro rações em vacas em lactação.
	
	Colunas
	
	A
	B
	C
	D
	Linhas
	D
	A
	B
	C
	
	C
	D
	A
	B
	
	B
	C
	D
	A
* Admitindo que o sorteio da ordem das linhas tenha sido:
4,2,1 e 3.
	
	Colunas
	
	B
	C
	D
	A
	Linhas
	D
	A
	B
	C
	
	A
	B
	C
	D
	
	C
	D
	A
	B
* Admitindo que o sorteio da ordem das colunas tenha sido:
2,3,1 e 4.
	
	Colunas
	
	C
	D
	B
	A
	Linhas
	A
	B
	D
	C
	
	B
	C
	A
	D
	
	D
	A
	C
	B
Modelo matemático
Yijk = m + li + cj + (tk)ij + eijk
Yijk = observação relativa ao tratamento k na linha i e na coluna j.
m = média geral
li = efeito da linha i
cj = efeito da coluna j
(tk)ij = efeito do tratamento k na linha i e nacoluna j.
eijk = erro experimental associado a observação Yijk.
Análise de variância
De acordo com o modelo matemático:
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Linhas
	I – 1
	SQL
	
	
	Colunas
	I – 1
	SQC
	
	
	Tratamentos
	I – 1
	SQTR
	QMTR
	QMTR / QMR
	Resíduo
	(I – 2) (I – 1)
	SQR
	QMR
	
	Total
	I2 - 1
	SQTO
	
	
Especificações
1a coluna: FV: linhas, colunas, tratamentos, resíduo e total.
2a coluna: GL: linhas, colunas, tratamentos, resíduo e total.
3a coluna: SQ: linhas, colunas, tratamentos, resíduo e total.
SQTO = ∑YIJK2 – C → C = G2 / I2
SQTR = 1 / I (∑ TR2) – C
SQL = 1 / I (∑LI2) – C
SQC = 1 / I (∑CO2) – C
SQR = SQTO – SQTR – SQL – SQC
4a coluna: QMR: tratamento e resíduo.
QMTR = SQTR/GLT
QMR = SQR/GLR
5a coluna: teste F (quociente = QMTR/QMR).
Hipóteses estatísticas
H0: σ12 = σ22
H1: σ12 ≠ σ22
Termos práticos
H0: aceita-se H0: m1 = m2 = m3 = ... = mi ao nível α de probabilidade.
H1: rejeita-se H0: pelo menos a média de dois tratamentos difere entre sí ao nível α de probabilidade.
Regra de decisão
Fcal ≤ Fα aceita-se H0.
Fcal > Fα rejeita-se H0.
Exemplo prático – Um experimento foi realizado visando avaliar o efeito da utilização de 4 tipos de compostos orgânicos sob o acúmulo de massa seca em mudas de Eucaliptus para produção de madeira para indústria.
Tratamentos:
A = restos vegetais + esterco bovino.
B= restos vegetais + esterco caprino.
C = restos vegetais + esterco de aves.
D = restos vegetais.
	
	Colunas
	Totais Linhas
	Linhas
	1
	2
	3
	4
	
	1
	93,0 A
	108,6 B
	108,9 C
	102,0 D
	412,5
	2
	115,4 B
	96,5 D
	77,6 A
	100,2 C
	389,7
	3
	102,1 C
	94,9 A
	116,9 D
	96,0 B
	409,9
	4
	112,6 D
	114,1 C
	118,7 B
	97,6 A
	443,0
	Totais Colunas
	423,1
	414,1
	422,1
	395,8
	1655,1
	
	Graus de liberdade
Linhas, colunas e tratamentos = I – 1 = 4 – 1 = 3.
Total = I2 -1 = 42 – 1 = 15
GLR = GLto – GLLinhas – GLcolunas – GLTrat. =
GLR = 15 – 3 – 3 – 3= 6. 
Soma de quadrado de linhas
SQL = 1 /4 (412,52 + ...+ 443,02) – 1655,12/16 = 362,5869.
Soma de quadrado de colunas
SQC = 1 /4 (423,12 + ...+ 395,82) – 1655,12/16 = 119,8669.
Soma de quadrado de tratamentos
TA = 363,1; TB = 438,7; TC = 425,3; TD = 428,0
SQTR = 1 /4 (363,12 + ...+ 428,02) – 1655,12/16 = 881,0969.
Soma de quadrado total
SQTO = (93,02 + ...+ 97,62) – 1655,12/16 = 1812,6794.
Soma de quadrado do resíduo
SQR = SQTO – SQTR – SQL – SQC
SQR = 1812,6794 – 881,0969 – 362,5869 – 119,8669 = 449,1287.
Quadrados médios
Tratamento
QMTR = SQTR / GLTR = 881,0969 / 3 = 293,6989
Resíduo
QMR = SQR / GLR = 449,1287 / 6 = 74,8548
Valor de F
FCAL = QMTR / QMR = 293,6989 / 74,8548 = 3,92ns
F (3,6) 5 % = 4,76
Quadro da Anova:
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Linhas
	3
	362,5869
	
	
	Colunas
	3
	119,8669
	
	
	Compostos
	3
	881,0969
	293,6989
	3,92ns
	Resíduo
	6
	449,1287
	74,8548
	
	Total
	15
	1812,6794
	
	
Conclusão: não foi observada diferença significativa na massa seca de plântulas de Eucaliptus em função dos compostos orgânicos avaliados pelo teste F a 5 % de probabilidade.
Tabela 1 – Massa seca em plantas de Eucaliptus submetidos a diferentes tipos de compostos orgânicos em Pombal-PB. CCTA/UFCG, 2011. 
	Tratamentos
	Massa seca (g.planta-1)
	RV+EC (B)
	*109,68 a
	RV (D)
	108,25 a
	RV+EA (C)
	106,32 a
	RV+EB (A)
	90,85 a
	DMS
	20,33
	CV (%)
	7,99
	* Nas colunas, as médias seguidas pela mesma letra não diferem entre sí ao nível de 5 % de probabilidade pelo teste de Tukey.
A = restos vegetais + esterco bovino.
B= restos vegetais + esterco caprino.
C = restos vegetais + esterco de aves.
D = restos vegetais.
OBS 1: Se as comparações das médias forem feitas pelo teste Tukey exige o cálculo de duas DMS’s.
∆ = q √QMR / J 
(Contraste sem parcela perdida)
Contrastes com parcela perdida.
OBS 2: Se as comparações das médias forem feitas pelo teste Duncan exige o cálculo de duas DMS’s.
D = Z √QMR / J 
(Contraste sem parcela perdida)
Contrastes com parcela perdida.
DQL com parcela perdida
Exista condição de igualdade entre tratamentos
Perda de parcelas
Estimação da parcela perdida.
r = número de repetições.
G = total geral das parcelas mensuradas
L, C e T são os totais das linhas, colunas e tratamento que ocorreu à parcela perdida.
Análise de variância
De acordo com o modelo matemático:
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Linhas
	I – 1
	SQL
	
	
	Colunas
	I – 1
	SQC
	
	
	Tratamentos
	I – 1
	SQT
	QMT
	QMT / QMR
	Resíduo
	(I – 2) (I – 1) - 1
	SQR
	QMR
	
	Total
	Soma
	SQTO
	
	
DBC: o procedimento feito leva a um valor não correto para SQTR.
Correção: SQTR
→ Subtração de U da SQTR.
Prossegue a análise de variância de forma usual.
 Exercitando:
Exemplo 2: Os dados abaixo são de um experimento que foi realizado no DQL e avaliou o efeito de 4 espécies indicadas para áreas de reflorestamento sob o acúmulo de matéria orgânica no solo. 
	
	Colunas
	Totais L
	Linhas
	1
	2
	3
	4
	
	1
	93,0 A
	108,6 B
	108,9 C
	102,0 D
	412,5
	2
	* B
	96,5 D
	77,6 A
	100,2 C
	274,3
	3
	102,1 C
	94,9 A
	116,9 D
	96,0 B
	409,9
	4
	112,6 D
	114,1 C
	118,7 B
	97,6 A
	443,0
	Totais C
	307,7
	414,1
	422,1
	395,8
	1539,7
Y = 90,3
	
	Colunas
	Totais L
	Linhas
	1
	2
	3
	4
	
	1
	93,0 A
	108,6 B
	108,9 C
	102,0 D
	412,5
	2
	90,3 B
	96,5 D
	77,6 A
	100,2 C
	364,6
	3
	102,1 C
	94,9 A
	116,9 D
	96,0 B
	409,9
	4
	112,6 D
	114,1 C
	118,7 B
	97,6 A
	443,0
	Totais C
	398,0
	414,1
	422,1
	395,8
	1630,0
Graus de liberdade
Linhas, colunas e tratamentos = I – 1 = 4 – 1 = 3.
GLR = (I – 2) (I – 1) - 1 = (4 – 2) (4 – 1) - 1 = 5.
Soma de quadrado de linhas
SQL = 1 /4 (412,52 + ...+ 443,02) – 16302/16 = 782,8550.
Soma de quadrado de colunas
SQC = 1 /4 (398,02 + ...+ 395,82) – 1655,12/16 = 120,9650.
Soma de quadrado de tratamentos
TA = 363,1; TB = 413,6; TC = 425,3; TD = 428,0
↓
SQTR = 1 /4 (363,12 + ...+ 428,02) – 1630,02/16 = 686,4150.
Correção: SQTR
U = 4,1344
SQTR (AJ) = SQTR – U = 686,4150 – 4,1344 = 682,2806
Soma de quadrado total
SQTO = (93,02 + ...+ 97,62) – 16302/16 = 1803,1100.
Soma de quadrado do resíduo
SQR = SQTO – SQTR (AJ) – SQL – SQC
SQR = 1803,1100 – 682,2806 – 782,8550 – 120,9650 = 217,0094.
Quadrados médios
Tratamento
QMTR = SQTR (AJ) / GLTR = 682,2806 / 3 = 227,4269
Resíduo
QMR = SQR / GLR = 217,0094 / 5 = 43,4019
Valor de F
FCAL = QMTR / QMR = 227,4269 / 43,4019 = 5,24ns
F (3,5) 5 % = 5,41
	FV
	GL
	SQ
	QM
	F
	Linhas
	3
	782,8550
	
	
	Colunas
	3
	120,9650
	
	
	Espécies
	3
	682,2806
	227,4269
	5,24ns
	Resíduo
	5
	217,0094
	43,4019
	
	Total
	14
	1803,1100
	
	
F (3,5) 5 % = 5,41
Fcal < Ftab (Contrastes não significativo). 
Conclusão: não foi observada diferença significativa no acúmulo de matéria orgânica do solo em função das quatro espécies avaliadas pelo teste F a 5 % de probabilidade.
UNIDADE VIII - EXPERIMENTOS FATORIAIS 
Conceitos básicos
Experimento fatorial: É aquele que compara todos os tratamentos que podem ser formados pela combinação de níveis nos seus diferentes fatores.
Fator
É um tipo de tratamento.
EX: variedade, espaçamento, doses de potássio... etc.
Nível
Refere-se aos diversos tratamentos dentro de qualquer fator.
EX: Fator: doses de K (níveis: 0, 50, 100 kg ha-1).
Fator: Temperaturas (níveis: 5, 10, 15 e 20 0C).
Tratamentos
Consistem de todas as combinações possíveis entre os diversos fatores nos seus diferentes níveis.
Fatorial: tipo de esquema, ou seja, uma maneira de organizar os tratamentos e não um tipo de delineamento, que representa a maneira de como os tratamentos