Lista 1.5 - EDO - Alexsandro Belém

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-A´RIDO
Centro de Cieˆncias Exatas e Naturais - Ensino de Graduac¸a˜o
Equac¸o˜es Diferenciais – Lista 5 - Equac¸o˜es Exatas
Prof. Alexsandro Bele´m – email address: alexsandro.belem@ufersa.edu.br
1. Verifique se as equac¸o˜es a seguir sa˜o exatas e, em caso afirmativo, resolva.
(a) ydx+ xdy = 0 (d) dx+ cos y dy = 0
(b) cos y dx− x sin y dy = 0 (e) (2x+ 3y)dx+ (3x+ 2y) dy = 0
(c) (3x2 + y) dx+ (x+ 4) dy = 0.
2. Resolva os seguintes problemas de Cauchy.
(a)
dy
dx
=
x+ 2y
1− 2x , y(1) = 1.
(b)
dy
dx
=
3x2 − y
x− 3y2 , y(1) = 0.
(c)
dy
dx
=
2x+ sin y
x cos y
, −pi
2
< y <
pi
2
, y(1) =
pi
6
.
3. Determine uma func¸a˜o y = y(x) cujo gra´fico passe pelo ponto (1, 1) e tal que a reta
tangente no ponto (x, y) tenha coeficiente angular
x+ 2y
y − 2x .
4. Resolva (x2 + y2)dx+ (x3 + 3xy2 + 2xy)dy = 0.
5. Determine condic¸o˜es para que a equac¸a˜o P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 admita um fator
integrante da forma u(x, y) = h(t), com t = xy, onde h e´ uma func¸a˜o de uma varia´vel.
Use isso para resolver a equac¸a˜o (2y2 + 2y)dx+ (3xy + 2x)dy = 0, x > 0 e y > 0.
6. Determine um fator integrante e resolva
(a) (3y2 − x2 + 1) dx+ 2xy dy = 0, x > 0.
(b) (xy2+2) dx+ 3x2y dy = 0, x > 0.
(c) xy dx+ (x2 − y2) dy = 0, y > 0.
7. Determine uma func¸a˜o y = y(x) cujo gra´fico passe pelo ponto (1/2, 1) e tal que a reta
tangente no ponto de abscissa x intercepte o eixo x no ponto de abcissa x2.
8. Verifique que a equac¸a˜o de Bernoulli
dy
dx
+ xy = y2, y 6= 0 e´ equivalente a (xy−1 dx +
y−2 dy = 0). Procure um fator integrante e resolva.
9. Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo x de modo que o produto da velocidade pela
diferenc¸a entre a posic¸a˜o e o tempo e´ igual a` soma da posic¸a˜o com o tempo. Sabe-se
que no instante t = 0 a part´ıcula encontra-se na posic¸a˜o x = 1. Determine a posic¸a˜o
x = x(t) da part´ıcula no instante t > 0.
10. Determine uma func¸a˜o y = y(x) cujo gra´fico passe pelo ponto (2,1) e tal que o produto
da func¸a˜o pela sua derivada seja igual a` metade da soma da func¸a˜o com sua derivada.
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Matheus Medeiros
Seta
Exercícios 10.8 - Guidorizzi pág 113
Matheus Medeiros
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Exercícios 10.8 - Guidorizzi pág 113
Matheus Medeiros
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Exercícios 10.8 - Guidorizzi pág 113
Matheus Medeiros
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Exemplo 1 - Guidorizzi pág 114
Matheus Medeiros
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Exemplo 2 - Guidorizzi pág 115
Matheus Medeiros
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Exercícios 10.9 - Guidorizzi pág 116
Matheus Medeiros
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Exercícios 10.9 - Guidorizzi pág 116
Matheus Medeiros
Seta
Exercícios 10.9 - Guidorizzi pág 116
11. O movimento de uma part´ıcula no plano e´ regido pelo sistema de equac¸o˜es
dx
dt
= 2y,
dy
dt
= −x.
Suponha que no instante t = 0 a part´ıcula encontra-se na posic¸a˜o (1,1), i.e., x(0) = 1
e y(0) = 1. Mostre que a part´ıcula desloca-se sobre a elipse
x2 + 2y2 = 3.
(Sugesta˜o: Verifique que x = x(t), y = y(t) e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o x dx+ 2y dy = 0.)
12. Resolva as equac¸o˜es
(a)
dy
dx
+ y = xy3, y 6= 0.
(b)
dy
dx
− 1
x
y = y1/2, y > 0.
13. Estabelec¸a uma fo´rmula para as soluc¸o˜es da equac¸a˜o de Bernoulli
dy
dx
+ p(x)y = q(x)yα, y 6= 0,
onde p(x) e q(x) sa˜o supostas cont´ınuas num mesmo intervalo I e α 6= 0 um nu´mero
real dado.
14. Considere a equac¸a˜o linear de primeira ordem
dy
dx
+ p(x)y = q(x),
onde p(x) e q(x) sa˜o supostas definidas e cont´ınuas num mesmo intervalo I. Verifique
que exp (
∫
p(x)dx) e´ um fator integrante para a equac¸a˜o
(p(x)y − q(x)) dx+ dy = 0.
Conclua que
y = k exp (−
∫
p(x) dx) + exp (−
∫
p(x) dx)
∫
q(x) exp (
∫
p(x) dx) dx
onde k e´ uma constante,
∫
p(x) dx esta´ representando uma particular primitiva de p(x) e∫
q(x) exp (
∫
p(x)) dx uma particular primitiva de q(x) exp (
∫
p(x) dx). (Compare com
o me´todo estudado em sala para equac¸o˜es lineares.)
15. Seja f(t) uma func¸a˜o dada. prove que se y = y(x) for uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o
dy
dx
=
f(x/y) enta˜o a func¸a˜o u = u(x) dada por u(x) =
y(x)
x
(ou u =
y
x
, com y = y(x)) sera´
soluc¸a˜o da equac¸a˜o de varia´veis separa´veis x
du
dx
= f(u)− u.
16. Verique que a equac¸a˜o dada e´ do tipo
dy
dx
= f(x/y). Utilize, enta˜o, o exerc´ıcio anterior
para determinar uma famı´lia de soluc¸o˜es da equac¸a˜o dada.
(a)
dy
dx
=
x2 + y2
xy
.
(b)
dy
dx
=
4x− y
y − 2x .
(c) (x− y) dx+ (x+ y) dy = 0.
17. O movimento de uma part´ıcula no plano e´ regido pela equac¸a˜o
dx
dt
= −x + 2y, dy
dt
=
−x+y. Suponha que no instante t = 0 a particula encontra-se na posic¸a˜o (x(0), y(0)) =
(1, 0). Mostre que a particula desloca-se sobre a elipse (x− y)2 + y2 = 1.
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Matheus Medeiros
Seta
Exercícios 10.9 - Guidorizzi pág 116
Matheus Medeiros
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Exercícios 10.9 - Guidorizzi pág 116
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Exercícios 10.9 - Guidorizzi pág 116nullnullquestão 13
Matheus Medeiros
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Exemplos diversos - Guidorizzi pág 117 - Exemplo 1
Sejam φ e φ1 definidas e de classe C
1 no aberto Ω do R2; suponhamos que seus
gradientes nunca se anulem em Ω. Dizemos que as famı´lias de curvas
φ(x, y) = c e φ1(x, y) = c1
sa˜o ortogonais se, para todo (x, y) ∈ Ω,
(gradφ(x, y) | gradφ1(x, y)) = 0,
o que significa que as curvas da famı´lia φ(x, y) = c interceptam ortononalmete as da
famı´lia φ1(x, y) = c1.
18. Determine uma famı´lia de curvas que seja ortogonal a` famı´lia
x2 + 4y2 = c, x > 0, y > 0.
19. Considere a equac¸a˜o
P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0, (x, y) ∈ Ω. (1)
Sejam x = f(u, v) e y = g(u, v) duas func¸o˜es de classe C1 no aberto Ω1, tais que, para
todo (u, v) ∈ Ω1, (f(u, v), g(u, v)) ∈ Ω. Prove que se
u = u(t), v = v(t), t ∈ I
for soluc¸a˜o da equac¸a˜o
P1(u, v)
[
∂f
∂u
du+
∂f
∂v
dv
]
+Q1(u, v)
[
∂g
∂u
du+
∂g
∂v
dv
]
= 0
enta˜o
x = f(u(t), v(t)), y = g(u(t), v(t)), t ∈ I,
sera´ soluc¸a˜o de (1).
Obs. Acima P1(u, v) = P (f(u, v), g(u, v)) e Q1(u, v) = Q(f(u, v), g(u, v)).
20. Considere a equac¸a˜o
dy
dx
=
y − x
x+ y − 2 .
Determine uma soluc¸a˜o y = y(x) que passa pelo ponto (2, 1).
21. Considere a equac¸a˜o
(x2 − y2 − x
√
x2 + y2) dx+ (2xy − y
√
x2 + y2) dy = 0.
Determine uma soluc¸a˜o que passe pelo ponto (0, 1).
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Matheus Medeiros
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Exemplos diversos - Guidorizzi pág 119 - Exemplo 4
Matheus Medeiros
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Exemplos diversos - Guidorizzi pág 123 - Exemplo 11
Matheus Medeiros
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Exemplos diversos - Guidorizzi pág 124 - Exemplo 12
Matheus Medeiros
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Exemplos diversos - Guidorizzi pág 125 - Exemplo 13