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Apol 01 
 
Questão 1/5 - Física - Óptica e Princípios de Física Moderna 
Você mira um laser ajustável (cujo comprimento de onda pode ser ajustado girando-se um 
botão) sobre um par de fendas próximas uma da outra. A luz que emerge das duas fendas 
produz sobre a tela um padrão de interferência como o mostrado na figura abaixo. 
 
Se você ajustar o comprimento de onda de modo que a luz do laser mude de vermelho a azul, 
como a distância entre as franjas brilhantes mudará? 
Nota: 0.0 
 
A A distância aumenta 
 
B A distância diminui 
 
 
C A distância não se altera 
 
D Não há informações suficiente para responder 
 
Questão 2/5 - Física - Óptica e Princípios de Física Moderna 
Duas fendas muito estreitas estão a uma distância de 1,8μm1,8μm uma da outra e 
a 35cm35cm de um anteparo. Qual é a distância entre a primeira e segunda linhas escuras 
da figura de interferência quando as fendas são iluminadas com luz coerente de 
λ=550nmλ=550nm? 
Nota: 20.0 
 
A 10,7cm10,7cm 
Você acertou! 
A partir da equação do mínimo, obtemos 
dsenθ0=λ/2dsenθ0=λ/2 
dsenθ1=(1+1/2)λdsenθ1=(1+1/2)λ 
subtraindo d(senθ1−senθ0)=λd(senθ1−senθ0)=λ 
a partir da trigonometria tgθ≃senθ=y/Ltgθ≃senθ=y/L 
assim, senθ1−senθ0=(y1−y0)/Lsenθ1−senθ0=(y1−y0)/L 
substituindo encontramos 
y1−y0=λL/d=0,107my1−y0=λL/d=0,107m 
 
B 5,3cm5,3cm 
 
 
C 13,2cm13,2cm 
 
 
D 15,7cm15,7cm 
 
 
Questão 3/5 - Física - Óptica e Princípios de Física Moderna 
Uma radiação eletromagnética coerente é enviada por uma fenda de 0,0100 mm de largura. 
Em qual dos seguintes comprimentos de onda não haverá difração? 
Nota: 20.0 
 
A Luz azul com comprimento de onda 500 nm. 
Você acertou! 
 
 
B Luz infravermelha com comprimento de onda 10,6 μμm 
 
C Micro-ondas de comprimento de onda 1,0 mm. 
 
D Radiação infravermelha com comprimento de onda 400 μμm. 
 
Questão 4/5 - Física - Óptica e Princípios de Física Moderna 
Uma experiência com interferência produzida por duas fendas emprega luz coerente de um 
comprimento de onda igual a 5,0 x 10-7 m. 
Em relação aos seguintes pontos no padrão de interferência, qual o que possui maior 
intensidade? 
Nota: 20.0 
 
A Um ponto que está 4,0 x 10-7 m mais perto de uma das fendas que da outra. 
Você acertou! 
 
 
B Um ponto em que as ondas luminosas provenientes das duas fendas estão 4,0 rad fora de fase 
 
C Um ponto que está 7,50 x 10-7 m mais perto de uma das fendas que da outra. 
 
D Um ponto em que as ondas luminosas provenientes das duas fendas estão 2,00 rad fora de fase. 
 
Questão 5/5 - Física - Óptica e Princípios de Física Moderna 
Duas fendas estreitas paralelas que estão a 0,0116mm0,0116mm de distância uma da 
outra são iluminadas por um feixe de laser cujo comprimento de onda é de 585nm585nm. 
(a) Em uma tela muito distante, qual é o número total de franjas brilhantes. (b) Em que angulo 
ocorre a franja que está mais longe da franja central? 
Nota: 20.0 
 
A (a) 39 franjas brilhantes. (b) 1,28rad1,28rad 
Você acertou! 
(a) A partir da expressão dsenθ=mλdsenθ=mλ, fazendo senθ=1senθ=1, encontramos m=19m=19 máximos. Como são dos dois lados a partir do máximo central, teremos 38 
máximos que somado a máximo central resulta em 39 máximos. 
 
(b) Substituindo esse valor na expressão e tomando o arco seno, encontramos o valor θ=1,28radθ=1,28rad. 
 
B (a) 41 franjas brilhantes. (b) 1,28rad1,28rad 
 
C (a) 40 franjas brilhantes. (b) 1,28graus1,28graus 
 
D (a) 39 franjas brilhantes. (b) 0,958rad 
 
Apol 2 
 
Questão 1/5 - Física - Óptica e Princípios de Física Moderna 
Duas placas retangulares planas de vidro estão apoiadas uma sobre a outra sobre a 
superfície de uma mesa. Uma fina folha de papel é colocada entre as extremidades das 
placas de modo que se forme uma cunha de ar entre as placas. As placas são iluminadas 
perpendicularmente por um feixe de luz de 546nm546nm, proveniente de uma lâmpada de 
vapor de mercúrio. Formam-se 15 franjas de interferência por centímetro. Calcule o ângulo da 
cunha. 
Nota: 20.0 
 
A 0,0235 graus 
Você acertou! 
As ondas que se interferem estão com as fases invertidas, sendo assim, a equação que descreve os mínimos 
de interferência será 2t=mλar2t=mλar. Tendo em vista que a cunha descreve um triângulo retângulo 
temos senθ=t/Hsenθ=t/H, onde HH descreve o comprimento da chapa superior, a qual corresponde 
à hipotenusa do triângulo. Com isso, senθ=(m/H)(λar/2)senθ=(m/H)(λar/2) 
 
 
B 0,0145 graus 
 
C 0,0321 graus 
 
D 0,147 graus 
 
Questão 2/5 - Física - Óptica e Princípios de Física Moderna 
Na figura abaixo a luz incidente perpendicularmente em quatro filmes finos de espessura L. 
Os índices de refração dos filmes e das camadas adjacentes estão indicados na figura. 
Seja λλ o comprimento de onda da luz no ar e n2 o índice de refração do filme fino em cada 
situação. 
 
Considere apenas a transmissão da luz que não sofre reflexão ou que sofre duas reflexões, 
como está indicado nas figuras. Para quais situações a expressão λ=2.L.n2mλ=2.L.n2m para 
m = 1, 2, 3 ... 
Pode ser usada para calcular os comprimentos de onda para os quais a luz transmitida sofre 
interferência construtiva? 
Nota: 0.0 
 
A Apenas em II 
 
B Apenas em I e II 
 
C Apenas em I e III 
 
 
D Apenas em I, III, IV 
 
Questão 3/5 - Física - Óptica e Princípios de Física Moderna 
Uma luz monocromática proveniente de uma fonte distante incide sobre uma fenda com 
0,75mm de largura. Sobre a tela, a uma distância de 2m da fenda, verifica-se que a distância 
entre o primeiro mínimo e o máximo central da figura de difração é igual a 1,35mm. calcule o 
comprimento de onda da luz. 
Nota: 20.0 
 
A 506nm 
Você acertou! 
Atravé da trigonometria podemos encontrar o valor do ângulo, assim 
θ1=arctg(y1/L)=arctg(1,35×10−3/2)=0,000675radθ1=arctg(y1/L)=arctg(1,35×10−3/2)= 
0,000675rad. Agora podemos empregar a equação geral asenθ=mλasenθ=mλ. 
 
B 305nm 
 
C 707nm 
 
D 408nm 
 
Questão 4/5 - Física - Óptica e Princípios de Física Moderna 
Uma lente convergente circular, de diâmetro D = 32 mm e distancia focal f = 24 cm, forma 
imagens de objetos pontuais distantes no plano focal da lente. O comprimento de onda da luz 
utilizada é λλ = 550 nm. 
a) Considerando a difração introduzida pela lente, qual deve ser a separação angular entre 
dois objetos pontais distantes para que o critério de Rayleigh seja satisfeito? 
b) Qual a separação entre os objetos se estes estão afastados 120 m da lente? 
Nota: 20.0 
 
A ac = 2,1 x 10-5 rad; d = 5,0 mm 
 
B ac = 1,2 x 10-5 rad; d = 2,5 mm 
 
C ac = 2,1 x 10-5 rad; d = 2,5 mm 
Você acertou! 
 
 
D ac = 1,2 x 10-5 rad; d = 5,0 mm 
 
Questão 5/5 - Física - Óptica e Princípios de Física Moderna 
Uma película de plástico com índice de refração igual a 1,7 é colocada nos vidros das janelas 
de um carro para aumentar a refletividade e manter o interior do carro mais frio. O índice de 
refração do vidro da janela é 1,52. (a) Qual é a espessura mínima da película necessária para 
que a luz de comprimento de onda de 550nm, ao se refletir em ambas as superfícies da 
película produza interferência construtiva? (b) Verifica-se que é difícil fabricar e instalar uma 
película com a espessura calculada no ítem (a). Qual deve ser a espessura mais grossa 
seguinte para que se produza uma nova interferência 
construtiva? 
Nota: 20.0 
 
A (a) 80,9nm (b) 243nm 
Você acertou! 
Os feixes que se interferem exibem uma diferença de fase de meio comprimento de onda. Assim, a equação 
 para intereferência construtiva é dada por 2t=(m+1/2)λar/nplástico2t=(m+1/2)λar/nplástico 
 
B (a) 83,9nm (b) 263nm 
 
C (a) 67,9nm (b) 143nm 
 
D (a) 90,3nm (b) 173nm 
 
Apol 3 
 
Questão 1/5 - Física -Óptica e Princípios de Física Moderna 
Ao propor a teoria da relatividade restrita Einstein em seu segundo postulado descreve que a 
velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor c em todas as direções e para todos os 
observadores, independentemente do estado de movimento relativo entre eles. Com base 
nessa afirmação, imagine dois trens relativísticos que viajam com velocidades altíssimas em 
uma mesma direção, mas com sentidos opostos. 
Se cada trem possui velocidade V e a velocidade da luz no vácuo é c, a luz percebida pelo 
maquinista de uns dos trens teria velocidade: 
Nota: 20.0 
 
A V + c 
 
B c 
Você acertou! 
A velocidade é a mesma, velocidade c, independentemente do movimento relativo entre os trens. 
 
C c – V 
 
D V – c 
 
Questão 2/5 - Física - Óptica e Princípios de Física Moderna 
Uma pessoa está de pé ao lado dos trilhos de uma estrada de ferro quando é surpreendida 
pela passagem de um trem relativístico, como mostra a figura. 
 
No interior de um dos vagões, um passageiro dispara um pulso de laser em direção à parte 
traseira do vagão. 
A velocidade do pulso medida pela pessoa que está do lado de fora do trem? 
Nota: 20.0 
 
A É maior 
 
B É menor 
 
C É igual 
Você acertou! 
 
 
D Nada pode-se afirmar. 
 
Questão 3/5 - Física - Óptica e Princípios de Física Moderna 
A radiação eletromagnética emitida por uma estrela é observada com um telescópio situado 
na Terra. A estrela se afasta da Terra a uma velocidade de 0,52c. Se a radiação possui uma 
frequência de 8,64×1014Hz8,64×1014Hz no sistema de repouso da estrela, qual é a 
frequência medida por um observador na Terra? (Efeito 
Doppler) 
Nota: 20.0 
 
A 4,85×1014Hz4,85×1014Hz 
Você acertou! 
Podemos empregar a equação do efeito Doppler para o afastamento, assim 
f=√ (1−v/c)/(1+v/c) f0=8,64×1014√ (1−0,52)/(1+0,52)=4,85×1014/zf=(1−v/c)/(1+v/c)f0= 
8,64×1014(1−0,52)/(1+0,52)=4,85×1014/z 
 
B 3,43×1014Hz3,43×1014Hz 
 
C 9,31×1014Hz9,31×1014Hz 
 
 
D 1,13×1014Hz1,13×1014Hz 
 
 
Questão 4/5 - Física - Óptica e Princípios de Física Moderna 
O píon negativo π−π− é uma partícula instável que possui vida média aproximadamente igual 
a 2,60 x 10-8 s (medida no sistema de referência do píon). 
(a) Quando o píon se desloca com velocidade muito grande em relação ao laboratório, sua 
vida média medida no laboratório é de 4,20 x 10-7 s. calcule a velocidade do píon expressa 
como uma fração de c. 
 
(b) Qual é a distância que o píon percorre no laboratório durante sua vida média? 
 
Assinale a correta. 
Nota: 20.0 
 
A (a) 0,9981.c; (b) 126 m 
Você acertou! 
 
 
B (a) 0,7751.c; (b) 103,5 m 
 
C (a) 0,6991.c; (b) 101,6 m 
 
D (a) 0,5692.c; (b) 943 m 
 
Questão 5/5 - Física - Óptica e Princípios de Física Moderna 
Uma espaçonave passa por Marte com velocidade igual a 0,985c em relação à superfície 
desse planeta. Quando a espaçonave está passando pela vertical de um ponto na superfície, 
um pulso de luz muito forte é emitido nesse ponto e depois desligado. Para um observador na 
superfície de Marte, a duração de pulso de luz foi igual a 75μμs. Observação, o pulso de luz 
partiu da nave. (a) Quem mede o tempo próprio, o observador em Marte ou o piloto da 
espaçonave? (b) Qual é a duração do pulso de luz medido pelo piloto da espaçonave? 
Nota: 0.0 
 
A (a) O piloto da espaçonave mede o tempo próprio (b) 12,94×10−6s12,94×10−6s 
O observador em Marte não mede o tempo próprio, sendo assim, o tempo medido pelo piloto será dado por 
Δtp=Δt/γ=Δt√1−v2/c2 =12,94×10−6sΔtp=Δt/γ=Δt1−v2/c2=12,94×10−6s 
 
 
B (a) O piloto da espaçonave mede o tempo próprio (b) 125×10−6s×10−6s 
 
C (a) O observador em Marte mede o tempo próprio (b) 12,94×10−6s12,94×10−6s 
 
D (a) O observador em Marte mede o tempo próprio (b) 125×10−6s 
 
 
Apol 4 
 
Questão 1/5 - Física - Óptica e Princípios de Física Moderna 
Uma luz de laser tem uma potência de saída de 5mW emite uma luz vermelha, com 
comprimento de onda de 650nm. Determine o momento linear de cada fóton? 
Assinale a alternativa correta. 
Nota: 20.0 
 
A 1,02X10-27kg.m²/s² 
Você acertou! 
 
B 2,24X10-27kg.m²/s² 
 
C 6,02X10-27kg.m²/s² 
 
D 12,32X10-35kg.m²/s² 
 
Questão 2/5 - Física - Óptica e Princípios de Física Moderna 
Uma luz de laser tem uma potência de saída de 5mW emite uma luz vermelha, com 
comprimento de onda de 650nm. Quantos fótons o laser emite a cada segundo? 
Nota: 20.0 
 
A 1,11x1015 fótons por segundo 
 
B 1,45x1015 fótons por segundo 
 
C 1,63x1016 fótons por segundo 
Você acertou! 
 
D 1,97x1016 fótons por segundo 
 
Questão 3/5 - Física - Óptica e Princípios de Física Moderna 
Realizando um experimento de efeito fotoelétrico com uma luz de uma determinada 
frequência , você verifica que é necessária uma diferença de potencial invertida de 1,25V para 
anular a corrente. Determine a energia cinética máxima. 
Assinale a alternativa correta. 
Nota: 20.0 
 
A 1,01x10-18 J 
 
B 1,23x10-18 J 
 
C 1,32x10-19 J 
 
D 2,00x10-19 J 
Você acertou! 
A energia cinética será dada por: 
 
Kmáx=e.VcorteKmáx=e.Vcorte 
 
onde e = 1,6 . 10-19 C, logo: 
 
Kmáx=1,6.10−19.1,25=2.10−19JKmáx=1,6.10−19.1,25=2.10−19J 
 
 
 
Questão 4/5 - Física - Óptica e Princípios de Física Moderna 
Numa determinada experiência de efeito fotoelétrico com uma luz de uma determinada 
frequência , você verifica que é necessária uma diferença de potencial invertida de 1,25V para 
anular a corrente. Determine a velocidade máxima dos fotoelétrons emitidos. 
Assinale a alternativa correta. 
Nota: 20.0 
 
A 2,03x103m/s 
 
B 3,43x103m/s 
 
C 4,23x105m/s 
 
D 6,63x105m/s 
Você acertou! 
A energia cinética será dada por: 
 
Kmáx=e.VcorteKmáx=e.Vcorte 
 
onde e = 1,6 . 10-19 C, logo: 
 
Kmáx=1,6.10−19.1,25=2.10−19JKmáx=1,6.10−19.1,25=2.10−19J 
 
Utilizando a equação da energia cinética 
 
k=m.v22k=m.v22 
 
sendo a massa do elétron me = 9,11 . 10-31 kg 
 
substituindo na equação da energia cinética e isolando a velocidade teremos: 
 
v=√ 2.Km v=2.Km 
 
v=√ 2.2.10−199,11.10−31 =6,63.105m/sv=2.2.10−199,11.10−31=6,63.105m/s 
 
Questão 5/5 - Física - Óptica e Princípios de Física Moderna 
Um laser produz uma luz de comprimento de onda de 800nm em pulsos ultra curtos de 
4,00x10-15s. A energia em um único pulso produzido por esse tipo de laser é 2,00x10-6J, e os 
pulsos se propagam no sentido positivo da direção x. 
Determine a incerteza mínima da frequência da luz no pulso. Assinale a alternativa correta. 
Nota: 20.0 
 
A 1,0x1012Hz 
 
B 1,45x1012Hz 
 
C 1,49x1013Hz 
 
D 1,99x1013Hz 
Você acertou! 
 
 
 
Apol 5 
 
Questão 1/5 - Física - Óptica e Princípios de Física Moderna 
Qual das radiações a seguir possui maior energia dos fótons correspondentes? 
Assinale a resposta correta. 
Nota: 0.0 
 
A Luz amarela de uma lâmpada de vapor de sódio. 
 
B Um raio gama emitido por um núcleo radioativo. 
 
 
C Uma onda de rádio emitida pela antena de uma estação de rádio comercial. 
 
D Um feixe de micro-ondas emitido pelo radar de controle de tráfego aéreo de um aeroporto. 
 
Questão 2/5 - Física - Óptica e Princípios de Física Moderna 
Qual a diferença de potencial que devemos aplicar a um microscópio eletrônico para que o 
comprimento de onda associado aos elétrons seja 0,5x10-10m. Ec=1/2mv2 = 1/2 m 
(h/mλλ)2 1eV=1,60x10-19J h=6,62x10-34J.s m=9,11x10-31kg 
Assinale a alternativa correta. 
Nota: 20.0 
 
A 305V 
 
B 408V 
 
C 513V 
 
D 601V 
Você acertou! 
 
Questão 3/5 - Física - Óptica e Princípios de Física Moderna 
Para um certo material do catodo de uma experiência do efeito fotoelétrico, verifica-se um 
potencial de corte Vo = 1,0 V parauma luz de comprimento de onda igual a 600 nm, 2,0 V 
para 400 nm e 3,0 V para 300 nm. 
Determine a função trabalho para esse material e de sua resposta em Joule. Assinale a 
resposta correta. 
Nota: 0.0 
 
A 3,2.10-19 J 
 
B 1,6 . 10-19 J 
 
 
C 4,8 . 10-19 J 
 
D 5,6 . 10-19 J 
 
Questão 4/5 - Física - Óptica e Princípios de Física Moderna 
Calcular a energia de um fóton de luz vermelha de 600nm de comprimento de 
onda. h=6,62x10-34J.s c=3x108m/s E=hf c=λλf 
Assinale a alternativa correta. 
Nota: 20.0 
 
A 1,23 x 10 -19J 
 
B 2,64 x 10 -19J 
 
C 3,03 x 10 -19J 
 
D 3,31 x 10 -19J 
Você acertou! 
 
Questão 5/5 - Física - Óptica e Princípios de Física Moderna 
Você está jogando futebol em um universo paralelo diferente do nosso, no qual a constante 
de Planck é 0,60 J.s. Qual é a indeterminação da posição de uma bola de 0,50 kg que foi 
chutada com uma velocidade de 20 m/s se a indeterminação da velocidade é 1,0 m/s? 
Assinale a resposta correta: 
Nota: 0.0 
 
A 0,11 m 
 
B 0,15 m 
 
C 0,19 m 
 
 
D 0,24 m 
 
 Exercícios Aula 1 
Professor: Luiz Augusto Polydoro 
Disciplina: Óptica e Princípios da Física Moderna 
Curso: Engenharias Modalidade: EAD 
1 – Qual é a distância na tela C da figura abaixo entre dois máximos adjacentes nas 
proximidades do centro da figura de interferência? O comprimento de onda da luz é  = 546 
nm, a distância entre as fendas d = 0,12 mm e a distância D entre as fendas e a tela é 55 
cm. Suponha que o ângulo da figura é suficientemente pequeno para que sejam válidas 
as aproximações 𝑠𝑒𝑛𝜃 ≈ 𝑡𝑔𝜃 ≈ 𝜃, onde  é expresso em radianos. 
 
Resolução: 
De acordo com a figura a distância vertical ym entre um máximo secundário e o centro da 
figura de interferência está relacionada com o ângulo  correspondente ao mesmo ponto 
através da equação 
𝑡𝑔 𝜃 ≈ 𝜃 =
𝑦𝑚
𝐷
 
O ângulo  para o máximo de ordem m é dado por: 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 ≈ 𝜃 = 
𝑚 𝜆
𝑑
 
Igualando as duas equações e colocando ym em evidencia, teremos: 
𝑦𝑚 = 
𝑚. 𝜆. 𝐷
𝑑
 
Fazendo o mesmo para o máximo de ordem m+1, obtemos: 
𝑦𝑚+1 = 
(𝑚 + 1) . 𝜆. 𝐷
𝑑
 
Para obter a distância entre máximos adjacentes, basta subtrair uma equação da outra. 
𝑦𝑚 = 
𝑚. 𝜆. 𝐷
𝑑
 
Δ𝑦 = 𝑦𝑚+1 − 𝑦𝑚 = 
(𝑚 + 1) . 𝜆. 𝐷
𝑑
−
𝑚. 𝜆. 𝐷
𝑑
 
Δ𝑦 = 
𝜆. 𝐷
𝑑
 
Substituindo valores: 
Δ𝑦 = 
546 . 10−9. 55. 10−2
0,12 . 10−3
= 2,50 . 10−3 𝑚 ≈ 2,5 𝑚𝑚 
 
2 – Duas fontes situadas no ponto A e B, emitem ondas eletromagnéticas coerentes na 
frequência de 62,5MHz. O ponto C está a 5 a uma distância de 343m do ponto A e 275m do 
ponto B. Determine a diferença de fase no ponto C entre as duas ondas: 
Para calcular a diferença de fase precisamos inicialmente achar o comprimento de onda da 
onda eletromagnética. Não esqueça que c é a velocidade da luz. 
 
𝑓 = 62,5𝑀𝐻𝑧 𝑐 = 𝜆. 𝑓 𝜆 =
3.108
62,5.106
 𝜆 = 4,8𝑚 
 
Agora vamos calcular a diferença no percurso 
 
Δx = 343m-275m 
Δx =68m 
 
Finalmente vamos calcular a diferença de fase 
𝛿 =
∆𝑥. 2𝜋
𝜆
 
 
𝛿 =
68.2𝜋
4,8
 
 
𝛿 = 89,01 𝑟𝑎𝑑 
3 – Um raio de luz monocromático parte de um determinado ponto e incide em duas fendas 
paralelas cujos centros estão separados a 0,250mm. A uma distância de 65cm existe um 
anteparo no qual são projetadas as imagens das franjas de interferência, sendo que a 
distância entre as duas franjas claras é de 0,212mm. Determine o comprimento de onda da 
luz. 
 
 
 
Segundo a fórmula da distância da interferência entre duas regiões claras é 
𝑦𝑚 =
𝑅. 𝑚. 𝜆
𝑑
 
 
Isolando o comprimento de onda na equação 
𝜆 =
𝑦𝑚. 𝑑
𝑅. 𝑚
 
 
Na hora da substituição dos valores observem o sistema de unidades, tudo em metros 
 
𝜆 =
0,212. 10−3. 0,250. 10−3
62. 10−2. 1
 
 
Resultando 
 
𝜆 = 81,53.10−9 𝑚 
 
4 –Uma fenda com a largura a é iluminada por luz branca. Qual o valor de a, a fim de que o 
primeiro mínimo da luz vermelha, cujo comprimento de onda é 650nm ocorra em 𝜃=15o? 
 
𝑎. 𝑠𝑒𝑛 Θ = 𝜆. 𝑚 
 
𝑎 =
𝑚. 𝜆
𝑠𝑒𝑛𝜃
 
 
𝑎 =
1.650.10−9
𝑠𝑒𝑛15𝑜
 
 
𝑎 = 2,5 𝜇𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exercícios Aula 2 
Professor: Cristiano Cruz 
Disciplina: Óptica e Princípios da Física Moderna 
Curso: Engenharias Modalidade: EAD 
1 – Na figura abaixo duas ondas luminosas têm um comprimento de onda de 550,0 nm antes 
de penetrar nos meios 1 e 2. Elas têm a mesma amplitude e estão em fase. Suponha que o 
meio 1 seja o próprio ar e que o meio 2 seja um plástico transparente com índice de refração 
1,60 e 2,6 m de espessura. 
 
Qual é a diferença de fase entre as duas ondas emergentes em comprimentos de onda, 
radianos e graus? 
Resolução: 
A diferença de fase entre duas ondas luminosas pode mudar se as ondas atravessarem 
meios diferentes, com diferentes índices de refração. Isso acontece porque os comprimentos 
de onda são diferentes em meios diferentes. Podemos calcular a mudança da diferença de 
fase contando o número de comprimentos de onda em cada meio e calculando a diferença 
entre os dois números. Quando as distâncias percorridas pelas ondas nos dois meios são 
iguais, o resultado é dado pela equação: 
𝑁2 − 𝑁1 = 
𝐿
𝜆
 (𝑛2 − 𝑛1) 
Temos que: 
n1 = 1,0; n2 = 1,60; L = 2,60 m = 2,6 x 10-6 m e  = 550,0 nm, substituindo na equação: 
𝑁2 − 𝑁1 = 
2,60 . 10−6
550 . 10−9
 (1,60 − 1,00) 
𝑁2 − 𝑁1 = 2,84 
Logo a diferença de fase entre as duas ondas emergentes será 2,84 comprimentos de onda. 
Como 1 comprimento de onda equivale a 2 radianos e 360o . Pela regra de três, a diferença 
de fase será: 
1𝜆 − 2. 𝜋 𝑟𝑎𝑑 
2,84𝜆 − 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒 
𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒 =
2,84. 𝜆. 2. 𝜋
1𝜆
= 17,8 𝑟𝑎𝑑 
Como: 
2. 𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 360𝑜 
17,8 𝑟𝑎𝑑 − 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒 
𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒 =
17,8 . 360𝑜
2. 𝜋
= 1020𝑜 
 
2 – Um feixe de luz branca, com intensidade constante na faixa visível de comprimento de 
onda da luz (400 – 690 nm), incide perpendicularmente em um filme de água com índice de 
refração n2 = 1,33 e espessura L = 320 nm, que está suspenso no ar. Para que comprimento 
de onda  a luz refletida pelo filme se apresenta mais intensa a um observador? 
Resolução: 
A luz refletida pelo filme é mais intensa se o comprimento de onda  for tal que os raios 
refletidos estejam em fase. As equações que relacionam o comprimento de onda à 
espessura L e ao índice de refração n2 do filme são: 
 
2𝐿 = 𝑚.
𝜆
𝑛2
 
e 
 
2𝐿 = (𝑚 +
1
2
) .
𝜆
𝑛2
 
Para determinar qual das duas equações devemos utilizar é necessário verificar se os raios 
de luz refletidos encontram-se em fase ou fora de fase. 
 
Na figura veja que os raios 1 e 2 percorrem caminhos diferentes, um reflete na primeira 
superfície e outro na segunda. Na primeira reflexão o raio de luz parte de um meio de menor 
índice de refração, o ar, n = 1,0, para um de maior índice de refração, a água n = 1,33 isso 
faz com que após a reflexão ocorra um deslocamento de fase de 0,5.(meio comprimento 
de onda). Já na segunda interface o raio de luz parte de um meio de maior índice de refração, 
a água, para um de menor índice de refração, o ar, e neste caso o raio de luz não muda sua 
fase e, portanto, ao emergir os raios 1 e 2 estarão fora de fase. Como queremos que as 
ondas refletidas estejam em fase, a diferença entre as distâncias percorridas pelos dois raios 
deve ser igual a um número ímpar de comprimento de onda. Portanto devemos utilizara 
equação: 
2𝐿 = (𝑚 +
1
2
) .
𝜆
𝑛2
 
Considerando m = 0 e substituindo os valores: 
2. 320 . 10−9 = (0 +
1
2
) .
𝜆
1,33
 
Portanto o comprimento de onda será: 
𝜆 = 2.1,33.2. 320 . 10−9 = 1700 𝑛𝑚 
Considerando m = 1 e substituindo os valores: 
2. 320 . 10−9 = (1 +
1
2
) .
𝜆
1,33
 
Portanto o comprimento de onda será: 
𝜆 = 
2.1,33.2. 320 . 10−9
3
= 567 𝑛𝑚 
Considerando m = 2 e substituindo os valores: 
2. 320 . 10−9 = (2 +
1
2
) .
𝜆
1,33
 
Portanto o comprimento de onda será: 
𝜆 = 
2.1,33.2. 320 . 10−9
5
= 340 𝑛𝑚 
Assim , o comprimento de onda para o qual a luz é visível para um observador é mais intensa 
é  = 567 nm 
 
3 – A figura mostra quatro situações nas quais a luz refletida perpendicularmente por um 
filme fino de espessura L, com índices de refração indicados. 
a) Em que situação as reflexões nas interfaces produzem uma diferença de fase nula entre 
os dois raios refletidos? 
b) Em que situações os filmes ficarão escuros se a diferença 2.L entre as distâncias 
percorridas pelos raios produzir uma diferença de fase de meio comprimento de onda? 
 
Resolução: 
Para a luz refletida possuir uma diferença de fase nula, os raios refletidos devem estar em 
fase. 
- Na situação I - Os raios refletidos na primeira interface partem de um meio de maior índice 
de refração n = 1,5, para um meio de menor índice de refração n = 1,4. Isso faz com que o 
raio refletido não mude sua fase. 
Na segunda interface o mesmo ocorre e ao emergir depois da reflexão os raios estarão em 
fase, ou seja, a diferença de fase será nula. 
- Na situação II - Os raios refletidos na primeira interface partem de um meio de maior índice 
de refração n = 1,5, para um meio de menor índice de refração n = 1,3. Isso faz com que o 
raio refletido não mude sua fase. 
Na segunda interface os raios refletidos partem de um meio de menor índice de refração n 
= 1,3, para um meio de maior índice de refração n = 1,4. Isso faz com que o raio refletido 
mude sua fase em 0,5 comprimento de onda. Neste caso, portanto, os raios estarão fora de 
fase, ou seja, a diferença de fase será de 0,5. 
- Na situação III - Os raios refletidos na primeira interface partem de um meio de maior índice 
de refração n = 1,4, para um meio de menor índice de refração n = 1,3. Isso faz com que o 
raio refletido não mude sua fase. 
Na segunda interface os raios refletidos partem de um meio de menor índice de refração n 
= 1,3, para um meio de maior índice de refração n = 1,5. Isso faz com que o raio refletido 
mude sua fase em 0,5 comprimento de onda. Neste caso, portanto, os raios estarão fora de 
fase, ou seja, a diferença de fase será de 0,5. 
- Na situação IV - Os raios refletidos na primeira interface partem de um meio de menor 
índice de refração n = 1,3, para um meio de maior índice de refração n = 1,4. Isso faz com 
que o raio refletido mude sua fase em 0,5  
Na segunda interface os raios refletidos partem de um meio de menor índice de refração n 
= 1,4, para um meio de maior índice de refração n = 1,5. Isso faz com que o raio refletido 
mude sua fase em 0,5 comprimento de onda. Neste caso, portanto, ambos os raios sofrem 
mudança em 0,5 comprimento de onda o que mantem os raios refletidos em fase, ou seja, 
a diferença de fase será nula. 
4 – O sistema de radar de um cruzador emite micro-ondas com um comprimento de onda de 
1,6 cm, usando uma antena circular com 2,3 m de diâmetro. A distância de 6,2 km, qual é a 
menor separação entre duas lanchas para que sejam detectadas como objetos distintos pelo 
radar? 
Resolução: 
Pela figura vemos que a distância entre as lanchas pode ser determinada pela tangente da 
metade do ângulo crítico c 
 
tan
𝜃𝑐
2
= 
𝑑
2
ℎ
 
Pela teoria vimos também que o ângulo crítico para duas fontes pontuais que atravessam 
um orifício, chamado limite de resolução de Rayleigh é dado por: 
𝛼𝑐 = 1,22 
𝜆
𝐷
 
 
Sendo o comprimento de onda λ = 1,6 cm = 16.10−3 m e o diâmetro da antena D = 2,3 m, 
logo: 
 
𝛼𝑐 = 1,22 
16 . 10−3
2,3
= 0,0084869 𝑟𝑎𝑑 = 8,4869 . 10−3𝑟𝑎𝑑 
Sendo a distância entre as lanchas e o radar h = 6,2 km = 6200 m 
 
Substituindo na equação da tangente: 
tan
𝜃𝑐
2
= 
𝑑
2
ℎ
 
tan
8,4869 . 10−3
2
= 
𝑑
2
6200
 
 
𝑑 = 52,6 𝑚 
5 – Qual a separação angular de duas estrelas se suas imagens mal podem ser resolvidas 
pelo telescópio refrator Thaw, do observatório Allegheny, em Pittsburgh? O diâmetro da lente 
é 76 cm e a distância focal é 14 m. Suponha que o comprimento de onda = 550 nm. 
Determine a distância entre as duas estrelas se ambas estiverem a 10 anos-luz da Terra. 
Resolução: 
A equação 𝛼𝑐 = 1,22 
𝜆
𝐷
 relaciona o ângulo crítico e o diâmetro mínimo da abertura da lente 
para que as duas fontes luminosas possam ser vistas separadamente. 
Para utilizar esse resultado precisamos realizar uma transformação de unidades, tendo em 
vista que a medida do diâmetro da lente está em centímetros devemos transformar para o 
SI, logo D = 76 cm = 0,76 m. Substituindo na equação: 
𝛼𝑐 = 1,22 
550 . 10−9
0,76
= 882,9 . 10−9𝑟𝑎𝑑 
Para determinar a distância entre as duas estrelas devemos utilizar a tangente da metade 
da separação angular das estrelas. 
 
A distância entre as estrelas e a lente do telescópio h = 10 anos-luz. Sendo um ano-luz a 
distancia que a luz percorre em um ano, 1 ano-luz = 9,46 x 1015 m, pela regra de três simples 
temos: 
1 ano-luz = 9,46 x 1015 m 
10 anos-luz = h 
h = 9,46 x 1016 m 
 Substituindo na equação da tangente: 
tan
882,9 . 10−9
2
= 
𝑑
2
9,46 . 1016
 
 
𝑑 = 8,35 . 1010𝑚 = 8,4 . 107𝑘𝑚 
 Exercícios Aula 3 
Professor: Cristiano Cruz 
Disciplina: Óptica e Princípios da Física Moderna 
Curso: Engenharias Modalidade: EAD 
1 – A partícula elementar conhecida como cáon-mais (k+) tem um tempo médio de vida de 
0,1237 s quando está em repouso, isto é, quando o tempo de vida é medido no referencial 
do cáon. Se um cáon-mais tem uma velocidade de 0,990.c em relação ao referencial do 
laboratório quando é produzido, que distancia percorre neste referencial durante seu tempo 
médio de ida de acordo com a física clássica (que é uma aproximação razoável para 
velocidades muito menores que c) e de acordo com a teoria da relatividade restrita (que 
fornece resultado correto para qualquer velocidade? 
Resolução: 
A velocidade do cáon-mais é determinada pela razão entre a distância percorrida pelo cáon-
mais e o intervalo de tempo gasto. 
𝑣 = 
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎
∆𝑡
 
Iremos calcular primeiro a distância pela física clássica e depois pela relatividade restrita. 
Pela física clássica não precisamos nos preocupar com o referencial utilizado para efetuar 
as medições, a distância será dada por: 
𝑑 = 𝑣. ∆𝑡 
Sendo t = 0,1237 s e a velocidade v = 0,990.c, temos a distância percorrida calculada pela 
física clássica 
𝑑 = 0,990 . 2,998 . 108. 0,1237 . 10−6 = 36,7 𝑚 
Na relatividade restrita, as medidas de distância e intervalo de tempo devem ser feitas no 
mesmo referencial e depois calculamos a distância percorrida pela relação: 
𝑑 = 𝑣. ∆𝑡 
O intervalo de tempo t = 0,1237 s é o tempo próprio do cáon-mais to para determinar a 
distância percorrida será necessário calcular o intervalo de tempo no referencial do 
laboratório, 
∆𝑡 = 
∆𝑡𝑜
√1 − (
𝑣
𝑐)
2
 
∆𝑡 = 
0,1237 . 10−6
√1 − (
0,99. 𝑐
𝑐 )
2
= 8,769. 10−7𝑠 
A distância percorrida pelo cáon no referencial do laboratório será: 
𝑑 = 𝑣. ∆𝑡𝑜 
𝑑 = 0,990.2,998.108. 8,769. 10−7 = 260 𝑚 
Esta distância é aproximadamentesete vezes maior que a distância calculada utilizando a 
física clássica. Experiências como esta já foram realizadas, as quais comprovaram as 
previsões da teoria da relatividade restrita. Portanto, em projetos e construções de qualquer 
aparelho que utilize partículas de alta energia é necessário levar em consideração os efeitos 
relativísticos. 
2 – Uma partícula instável de alta energia é formada em um detector e deixa um rastro com 
1,05 mm de comprimento, viajando a uma velocidade de 0,992.c, antes de decair. Qual é o 
tempo de vida próprio? Em outras palavras, quanto tempo a partícula levaria para decair se 
estivesse em repouso em relação ao detector? 
Pela relação da velocidade: 
𝑣 = 
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎
∆𝑡
 
O intervalo de tempo no referencial do laboratório será dado por: 
∆𝑡 = 
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑣
 
Onde a distância d = 1,05 mm = 0,00105 m e a velocidade v = 0,992 . c 
∆𝑡 = 
0,00105
0,992 . 2,998 . 108
= 3,53 . 10−12𝑠 
O intervalo de tempo próprio to se relaciona com o intervalo de tempo no referencial do 
laboratório, pela equação: 
∆𝑡 = 
∆𝑡𝑜
√1 − (
𝑣
𝑐)
2
 
3,53.10−12 = 
∆𝑡𝑜
√1 − (
0,992. 𝑐
𝑐 )
2
 
∆𝑡𝑜 = 3,53.10
−12 . √1 − (
0,992. 𝑐
𝑐
)
2
= 4,46 . 10−13𝑠 = 0,446 𝑝𝑠 
 3 – Uma espaçonave cujo comprimento de repouso é 130 m passa por uma base espacial 
a uma velocidade de 0,740 c. (a) Qual é o comprimento da nave no referencial da base? (b) 
Qual o intervalo de tempo registrado pelos tripulantes da base entre a passagem da proa e 
a passagem da popa da espaçonave? 
a) O comprimento da nave medido no referencial da base L pode ser determinado pela 
relação 
𝐿 = 𝐿𝑜 √1 − (
𝑣
𝑐
)
2
 
Onde Lo é o comprimento da nave em repouso, comprimento próprio. 
Logo, 
𝐿 = 130 √1 − (
0,740. 𝑐
𝑐
)
2
 
𝐿 = 130 √1 − (
0,740. 𝑐
𝑐
)
2
= 87,4 𝑚 
b) O intervalo de tempo medido pelos tripulantes da base, será: 
𝐿 = 𝑣. ∆𝑡 
87,4 = 0,740.2,998.108. ∆𝑡 
∆𝑡 = 
87,4
0,740.2,998.108
= 39,39 . 10−8 𝑠 = 394 𝑛𝑠 
4 – Um experimentador dispara simultaneamente duas lâmpadas de flash, produzindo um 
grande clarão na origem do seu referencial e um pequeno clarão no ponto x = 30,0 km. Um 
observador que está se movendo com uma velocidade de 0,250.c no sentido positivo do eixo 
x também observa os clarões.(a) Qual o intervalo de tempo entre os dois clarões, de acordo 
com o observador? (b) De acordo com o observador, qual dos dois clarões ocorreu primeiro? 
 
Resolução: 
Este exercício envolve medidas realizadas em dois referenciais, o referencial do 
experimentador e o referencial do observador e envolve dois eventos, o clarão grande, 
evento A e o clarão pequeno, evento B. 
As informações do enunciado do exercício nos dão medidas do referencial do 
experimentador, precisamos transformar estas medidas para o referencial do observador. 
Antes de iniciarmos observe o esquema do problema. 
 
 
No referencial do experimentador os dois eventos acontecem ao mesmo tempo, são 
simultâneos, logo, o intervalo de tempo entre os eventos neste referencial t = 0 
Para determinarmos o intervalo de tempo t’ entre os eventos para o referencial do 
observador, devemos utilizar a transformação de Lorentz. 
∆𝑡′ = 𝛾 (∆𝑡 −
𝑣. ∆𝑥
𝑐2
) 
Onde o fator de Lorentz é dado por: 
𝛾 = 
1
√1 − (
𝑣
𝑐)
2


𝛾 = 
1
√1 − (
0,25. 𝑐
𝑐 )
2
= 1,0327 
A distância entre os eventos x para o referencial do experimentador é: 
 
∆𝑥 = 30 𝑘𝑚 = 3.104 𝑚 
 
Substituindo na equação da transformação de Lorentz: 
∆𝑡′ = 1,0327 (0 −
0,25. 𝑐. 3.104
2,998.108. 𝑐
) = 25,8 . 10−6𝑠 = 25,8 𝜇𝑠 
O evento que ocorreu primeiro para o observador foi o evento B, ou seja, o pequeno clarão. 
 
5 – Uma espaçonave está se afastando da terra com uma velocidade de 0,900c, transmite 
mensagens com uma frequência (no referencial da nave) de 100 MHz. Para que frequência 
devem ser sintonizados os receptores terrestres para captar as mensagens? 
O efeito Doppler para as ondas eletromagnéticas depende de apenas uma velocidade, a 
velocidade relativa entre a fonte e o detector. 
Seja fo a frequência própria da fonte, isto é, a frequência medida por um observador em 
relação ao qual a fonte encontra-se em repouso e seja f a frequência medida por um 
observador que esteja se movendo com velocidade v em relação à fonte. Neste caso se o 
observador está se afastando temos a relação entre as frequências: 
𝑓 = 𝑓𝑜√
1 − 𝛽
1 + 𝛽
 
Onde: 
𝛽 = 
𝑣
𝑐
 
Para o exercício: 
𝛽 = 
0,900. 𝑐
𝑐
= 0,900 
Substituindo na outra equação: 
𝑓 = 100.106√
1 − 0,9
1 + 0,9
 = 22,9 . 106𝐻𝑧 = 22,9 𝑀𝐻𝑧 
 Exercícios Aula 4 
Professor: Cristiano Cruz 
Disciplina: Óptica e Princípios da Física Moderna 
Curso: Engenharias Modalidade: EAD 
1 – Qual a energia total de um elétron de 2,53 MeV? 
 Qual é o módulo do momento p do elétron, em unidades de MeV/c? 
A energia total é a soma da energia de repouso com a energia cinética, pela relação. 
𝐸 = 𝐸𝑜 + 𝐾 
𝐸 = 𝑚. 𝑐2 + 𝐾 
Quando dizemos um elétron de 2,53 MeV, estamos nos referindo a energia cinética K do elétron. Já a energia de repouso do elétron pode 
ser calculada a partir da massa do elétron me = 9,11 . 10
-31 Kg e da velocidade da luz, c = 2,998 . 108 m/s, logo: 
𝐸𝑜 = 𝑚. 𝑐
2 
𝐸𝑜 = 9,11.10
−31. (2,998.108)2 = 8,187.10−14 𝐽 
Já conhecemos a energia cinética K = 2,53 MeV, para determinar a energia total devemos somar a energia cinética com a energia de 
repouso do elétron, porém no nosso cálculo há uma incompatibilidade entre as unidades de energia, um está em eV e outro está e Joule. 
Transformando a unidade da energia de repouso do elétron para eV dividindo por 1,602.10-13 J/MeV, teremos: 
𝐸𝑜 =
8,187.10−14 
1,602.10−13
= 0,511 𝑀𝑒𝑉 
Então a energia total será: 
𝐸 = 0,511 + 2,53 = 3,04 𝑀𝑒𝑉 
Para determinar o momento linear p do elétron utilizaremos a equação, 
𝐸2 = (𝑝𝑐)2 + (𝑚𝑐2)2 
Isolando pc na equação: 
𝑝𝑐 = √(𝐸)2 − (𝑚𝑐2)2 
𝑝𝑐 = √(3,04)2 − (0,511)2 = 3,00 𝑀𝑒𝑉 
Logo: 
𝑝 = 3,00
𝑀𝑒𝑉
𝑐
 
2 – O próton de maior energia detectado até hoje nos rios cósmicos possuía a espantosa energia 
cinética de 3,0 x 1020 eV (energia suficiente para aquecer de alguns graus Celsius uma colher de chá 
de água) 
a) Determine o fator de Lorentz e a velocidade da partícula em relação a Terra. 
b) Suponha que o próton tenha percorrido uma distância igual ao diâmetro da galáxia (9,8 x 104 
anos-luz). Quanto tempo o próton levou para cobrir esta distância, do ponto de vista de um 
observador terrestre? 
c) Quanto tempo o próton levou para percorrer esta distância em seu referencial de repouso? 
Relatividade restrita. 
A energia cinética do próton: K = 3,0 x 1020 eV = 3,0 x 1020 x 1,6 x 10-19 J = 48 J. 
A massa do próton: mp = 1,67 x 10-27 kg. 
A velocidade da luz: c = 299792458 m/s. 
A fórmula da energia cinética para partículas com velocidades relativísticas (próximas a velocidade da luz) é dada por: 
 
Onde  é o fator de Lorentz, dado por: 
 ou , 
Onde 𝛽 = 
𝑣
𝑐
 chamado de parâmetro de velocidade. 
a) Determinar o fator de Lorentz e a velocidade do próton no referencial do laboratório. 
O fator de Lorentz está relacionado com a energia de repouso pela relação: 
𝐸 = 𝛾. 𝑚. 𝑐2 
Isolando  
𝛾 =
𝐸
𝑚. 𝑐2
 
Substituindo a energia total 
𝐸 = 𝑚. 𝑐2 + 𝐾 
Teremos: 
𝛾 =
𝑚. 𝑐2 + 𝐾
𝑚. 𝑐2
 
𝛾 = 1 + 
𝐾
𝑚. 𝑐2
 
Sendo a massa do próton mp = 1,67x10
-27Kg, a energia de repouso do próton será: 
𝐸𝑜 = 𝑚. 𝑐
2 
𝐸𝑜 = 1,67.10
−27 . (2,998.108)2= 1,5009.10−10𝐽 
Mudando a unidade de energia para eV, dividindo por 1,602.10-13 J/MeV 
𝐸𝑜 =
1,5009.10−10𝐽
1,602.10−13
= 937 𝑀𝑒𝑉 
Substituindo para determinar o fator de Lorentz, 
𝛾 = 1 + 
3,0.1020
937.106
= 3,198 . 1011 
A velocidade é determinada a partir da seguinte fórmula: 
Se você utilizar a calculadora para calcular o parâmetro de velocidade vai obter o valor 1, Um truque para calcular o parâmetro  é 
reescrevendo o denominador do fator de Lorentz como o seguinte produto: 
 
 
 
Onde foi usada a aproximação que  1, tal que: 1 +  2. Assim, 
 , , 
𝛽 = 1 − 
1
2(3,198.1011)2
 
 
𝛽 = 1 − 5 . 10−24 
𝛽 = 0,999999999999999999999994888 
Sendo 𝑣 = 𝛽. 𝑐 
𝑣 = 0,999999999999999999999994888. 𝑐 
a) O intervalo de tempo que esse próton leva para percorrer uma distância x no referencial do laboratório é determinado a 
partir de: 𝑣 = 
Δ𝑥
Δ𝑡
 onde, x = 9,8 x 104 anos-luz = 9,8 x 104 anos c , 
 Sendo 𝑣 = 0,999999999999999999999994888. 𝑐 
Então: 
Δ𝑡 = 
Δ𝑥
𝑣
 
Δ𝑡 = 
9,8 x 104 anos 𝑐
0,999999999999999999999994888. 𝑐
= 98000 𝑎𝑛𝑜𝑠 
 
b) O intervalo de tempo no referencial do próton é chamado de intervalo de tempo próprio e está relacionado com o intervalo de 
tempo no referencial do laboratório através da seguinte expressão: 
Δ𝑡 = 𝛾Δ𝑡𝑜 ou Δ𝑡𝑜 =
Δ𝑡
𝛾
 
Δ𝑡𝑜 =
Δ𝑡
𝛾
= 
98000
3,198.1011
= 3,06441526 . 10−7𝑎𝑛𝑜𝑠 
Mudando a unidade para segundos: 
Δ𝑡𝑜 == = 3,06441526 . 10
−7𝑎𝑛𝑜𝑠 × (
365 dias
1 𝑎𝑛𝑜
) × (
24 ℎ
1 𝑑𝑖𝑎
) × (
3600𝑠
1ℎ
) = 9,7 𝑠 
3 – Um comprimido de aspirina tem uma massa de 320 mg. A energia correspondente a 
essa massa seria suficiente para fazer um automóvel percorrer quantos quilômetros? 
Suponha que o automóvel faz 12,75 km/L e que o calor de combustão da gasolina utilizada 
é 3,65 × 107 J/L. 
A energia relativística de repouso é determinada por: 
𝐸 = 𝛾. 𝑚. 𝑐2 
Portanto a energia da aspirina será: 
𝐸 = 320 . 10−6. (299792458)2 = 2,876 . 1013 𝐽 
Como a energia na liberada na combustão 3,65 . 107 J por 1 Litro, logo serão necessários: 
𝑉 = 2,876.1010 𝐽 .
1𝐿
3,65.107𝐽
= 787949,74 𝐿𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 
Como o automóvel percorre 12,75 Km por Litro, logo: 
𝐷𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 = 787949,74 𝐿𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠.
12,75 𝐾𝑚
1 𝐿𝑖𝑡𝑟𝑜
= 10046359,25 𝐾𝑚 
4 – Enquanto você lê esta página, um próton proveniente do espaço sideral atravessa a 
página do livro da esquerda para a direita com uma velocidade relativa v e uma energia total 
de 14,24 nJ. No seu referencial, a largura da página é 21,0 cm. 
(a) Qual é a largura da página no referencial do próton? Determine o tempo que o próton 
leva para atravessar a página (b) no seu referencial e (c) no referencial do próton. 
 
Pelos dados informados podemos através da equação da energia total 
𝐸 = 𝛾. 𝑚. 𝑐2 
Sendo a massa de repouso do próton mp = 1,67 . 10-27 Kg e a velocidade da luz c = 299792458 m/s, podemos determinar 
o fator de Lorentz, 
 
14,24 . 10−9 = 𝛾. 1,67.10−27. 2997924582 
𝛾 =
14,24 . 10−9
1,67.10−27. 2997924582
= 94,875 
Pela equação da contração da distância: 
𝐿 = 𝐿𝑜√1 − 𝛽2 = 
𝐿𝑜
𝛾
 
𝐿 =
0,21
94,875
= 0,0022134 𝑚 = 0,221 𝑐𝑚 
Para determinar o tempo que o próton leva para atravessar a página iremos utilizar a equação: 
 
b) No referencial do observador: 
Δ𝑡 = 
Δ𝑥
𝑣
 
Δ𝑡 = 
0,21
299792458
= 7,0 . 10−10𝑠 = 700 𝑝𝑠 
c) No referencial do próton: 
 
Δ𝑡 = 𝛾. Δ𝑡𝑜 
Δ𝑡𝑜 = 
700.10−12
94,875
= 7,38 . 10−12 𝑠 = 7,4 𝑝𝑠 
 Exercícios Aula 5 
Professor: Cristiano Cruz 
Disciplina: Óptica e Princípios da Física Moderna 
Curso: Engenharias Modalidade: EAD 
1 – Coloque as radiações a seguir na ordem decrescente da energia dos fótons correspondentes: 
(a) a luz amarela de uma lâmpada de vapor de sódio; 
(b) uma onda de rádio emitida pela antena de uma estação de rádio comercial; 
(c) um raio gama emitido por um núcleo radioativo; 
(d) um feixe de micro-ondas emitido pelo radar de controle de tráfego aéreo de um aeroporto. 
Resolução: 
A energia do fóton pode ser determinada pela relação: 
𝐸 = ℎ. 𝑓 
Onda h é a constante de Planck, seu valor no SI é h = 6,63.10-34 J.s e f é a frequência do fóton. 
Verificando os dados de comprimento de onda e frequência em um espectro eletromagnético 
(a) Para luz amarela de uma lâmpada de vapor de sódio  = 580 nm, logo sua frequência será: 
Pela relação: 
𝑐 = 𝜆. 𝑓 
𝑓 = 
𝑐
𝜆
= 
2,99.108
580.10−9
= 5,16.1014𝐻𝑧 
A energia do fóton será: 
𝐸 = 6,63.10−34. 5,16.1014 = 3,42.10−19𝐽 
 
(b) Para uma onda de rádio emitida pela antena de uma estação de rádio comercial, sua frequência é da ordem f = 1.106 Hz 
A energia do fóton será: 
𝐸 = 6,63.10−34. 1.106 = 6,63.10−28𝐽 
(c) Para um raio gama emitido por um núcleo radioativo sua frequência será f = 1.1022 Hz: 
A energia do fóton será: 
𝐸 = 6,63.10−34. 1.1022 = 6,63.10−12𝐽 
(d) Para um feixe de micro-ondas emitido pelo radar de controle de tráfego aéreo de um aeroporto, sua frequência f = 2,99.1014 Hz 
A energia do fóton será: 
𝐸 = 6,63.10−34. 2,99.1014 = 1,2.10−19𝐽 
 
Logo em ordem decrescente teremos os itens 
(𝑐) > (𝑎) > (𝑑) > (𝑏) 
2 – Realizando uma experiência do efeito fotoelétrico com uma luz de determinada frequência, você 
verifica que é necessária uma diferença de potencial invertida de 1,25 V para anular a corrente. 
Determine: (a) a energia cinética máxima; (b) a velocidade máxima dos fotoelétrons emitidos. 
Resolução: 
O valor de 1,25 V informado no enunciado é o potencial de corte Vo, podemos encontrar a energia cinética máxima pela 
relação: 
𝐾𝑚á𝑥 = 𝑒. 𝑉𝑜 
Onde e é o módulo carga elementar do elétron e = 1,6.10-19 C 
𝐾𝑚á𝑥 = 1,6.10
−19. 1,25 = 2.10−19𝐽 
Sendo 1 eV = 1,60281. 10-19 J 
A energia cinética em elétrons-voltz será: 
𝐾𝑚á𝑥 = 1,25 𝑒𝑉 
A velocidade máxima dos fotoelétrons emitidos será: 
𝐾𝑚á𝑥 =
𝑚. 𝑣𝑚á𝑥
2
2
 
Isolando a velocidade máxima 
𝑣𝑚á𝑥 = √
2. 𝑘𝑚á𝑥
𝑚
 
Sendo amassa do elétron me = 9,11.10-31 kg 
𝑣𝑚á𝑥 = √
2. (2.10−19)
9,11.10−31
= 6,63.105
𝑚
𝑠
 
3 – Películas de silício tornam-se melhores condutores elétricos quando iluminados por fótons com 
energia de 1,14 eV ou mais, um efeito chamado fotocondutividade. Qual dos seguintes comprimentos 
de onda da radiação eletromagnética pode causar fotocondutividade em películas de silício? 
a) Luz ultravioleta com comprimento de onda igual a 300 nm. 
b) Luz vermelha com comprimento de onda igual a 600 nm 
c) Luz infravermelha com comprimento de onda 1200 nm 
Para determinarmos qual dos comprimentos de onda podem causar eletrocondutividade em películas de silício, será 
necessário verificar quais possuem energia suficiente para causar tal efeito. 
A energia do fóton pode ser determinada por: 
𝐸 =
ℎ𝑐
𝜆
 
Logo, para o item a)  = 300 nm 
𝐸 =
6,63.10−34. 2,99.108
300.10−9 
= 6,6 . 10−19𝐽 = 4,12 𝑒𝑉 
Para o item b)  = 600 nm 
𝐸 =
6,63.10−34. 2,99.108
600.10−9 
= 3,3 . 10−19𝐽 = 2,06 𝑒𝑉 
Para o item c)  = 1200 nm 
𝐸 =
6,63.10−34. 2,99.108
1200.10−9 
= 1,65 . 10−19𝐽 = 1,03 𝑒𝑉 
Logo, como a energia mínima dos fótons necessária para ocorrer o efeito de eletrocondutividade é de 1,14 eV, apenas os 
itens a) e b) produzem tal efeito. 
4 – Muitas variedades de lasers emitem luz na forma de pulsos em vez de feixe contínuo. Um laser 
de telúrio-safira pode produzir luz a um comprimento de onda de 800 nm em pulsos ultracurtos que 
duram apenas 4.10-15 s. A energia em um único pulso produzido por um laser desse tipo é 2.10-6 J, 
e os pulsosse propagam no sentido positivo da direção x. Determine: 
a) a frequência da luz; 
b) a energia e a incerteza mínima da energia de um único fóton no pulso. 
c) a incerteza mínima da frequência da luz no pulso. 
 
Pela relação: 
𝑐 = 𝜆. 𝑓 
a) A frequência pode ser determinada por: 
𝑓 = 
𝑐
𝜆
= 
2,99.108
800.10−9
= 3,74.1014 𝐻𝑧 
b) A energia de um único fóton será: 
𝐸 = ℎ. 𝑓 
𝐸 = 6,626.10−34 . 3,74.1014 = 2,48.10−19𝐽 = 1,55 𝑒𝑉 
 
A incerteza no tempo será igual a duração do pulso, t = 4.10-15 s 
 
A incerteza na energia pode ser determinada por: 
Δ𝐸 = 
ℏ
2Δ𝑡
= 
1,055.10−34
2.4.10−15
= 1,32.10−20𝐽 
c) a incerteza da frequência será determinada por: 
Δ𝑓 = 
Δ𝐸
ℎ
= 
1,32.10−20
6,6626.10−34
= 1,99.1013 𝐻𝑧 
 Exercícios Aula ao Vivo – 25/05 
Professor: Cristiano Cruz 
Disciplina: Óptica e Princípios de Física Moderna 
Curso: Engenharias Modalidade: EAD 
1 – O próton de maior energia detectado até hoje nos rios cósmicos possuía a espantosa energia 
cinética de 3,0 x 1020 eV (energia suficiente para aquecer de alguns graus Celsius uma colher de chá 
de água) 
a) Determine o fator de Lorentz e a velocidade da partícula em relação a Terra. 
b) Suponha que o próton tenha percorrido uma distância igual ao diâmetro da galáxia (9,8 x 104 
anos-luz). Quanto tempo o próton levou para cobrir esta distância, do ponto de vista de um 
observador terrestre? 
c) Quanto tempo o próton levou para percorrer esta distância em seu referencial de repouso? 
 
 
 
 
2 – O tempo de vida médio dos múons em repouso é 2,20 s. As medidas dos múons produzidos 
em um acelerador de partículas mostram que eles têm um tempo de vida de 6,90 s. Determine: 
a) A velocidade 
b) A energia cinética 
c) O momento destes múons no referencial do laboratório. 
A massa do múon é 207 vezes maior que a do elétron. 
 
 
 
3 – Um feixe de luz monocromática é absorvido por um filme fotográfico e fica, portanto, registrado 
no filme. Um fóton é absorvido pelo filme se a energia do fóton é igual ou maior que a energia mínima 
de 0,6 eV necessária para dissociar uma molécula de AgBr do filme. Qual é o maior comprimento de 
onda da luz que pode ser registrado no filme? Em que região do espectro eletromagnético está 
localizado este comprimento de onda? 
 
 
4 – Uma placa de alumínio é iluminada por luz com um comprimento de onda de 200 nm. No alumínio, 
uma energia de 4,20 eV é necessária para que um elétron seja ejetado. Qual é a energia cinética (a) 
do elétron ejetado mais rápido e (b) do elétron ejetado mais lento? (c) Qual é o potencial de corte? 
(d) Qual o comprimento de onda de corte? 
 
 
 
5 – Você está jogando futebol em um universo paralelo diferente do nosso, no qual a constante de 
Planck é 0,60 J.s. Qual é a indeterminação da posição de uma bola de 0,50 kg que foi chutada com 
uma velocidade de 20 m/s se a indeterminação da velocidade é 1,0 m/s? 
 
 
 
 
 Exercícios Resolvidos na Aula ao Vivo de 04/05/2018 
Professor: Cristiano Cruz 
Disciplina: Física – Óptica e Princípios de Física Moderna 
Curso: Engenharias Modalidade: EAD 
1 – Uma luz monocromática proveniente de uma fonte distante incide sobre uma fenda com 
0,750 mm de largura. Sobre a tela, a uma distância de 2,00 m da fenda, verifica-se que a distância 
entre o primeiro mínimo e o máximo central da figura de difração é igual a 1,35 mm. Calcule o 
comprimento de onda da luz. 
Difração de fenda simples 
 
 
 
Os mínimos de difração ocorrem em: 𝑎 sin 𝜃𝑚 = ±𝑚 𝜆 , 𝑚 = 1, 2, 3, … 
Onde a é a largura da fenda, m é o ângulo para os mínimos da difração, m é a ordem do mínimo de difração 
e  é o comprimento de onda. 
O máximo central, conforme a figura acima, corresponde a y = 0, região iluminada na tela. 
O primeiro mínimo corresponde a m = ±1, regiões escuras na tela, as mais próximas do máximo central. 
Portanto, 𝑎 sin 𝜃1 = 𝜆 . 
A partir da figura, tem-se que: tan 𝜃1 = 
 𝑦
𝐷
 , 𝜃1 = arctan
 𝑦
𝐷
= arctan
0,00135
2,00
= 0,03867𝑜 . 
Onde as unidades foram adequadas para o SI. 
Assim, 𝜆 = 𝑎 sin 𝜃1 = 0,750 × 10
−3 × sin 0,03867𝑜 = 5,1 × 10−7 𝑚 = 510 × 10−9 𝑚 = 510 𝑛𝑚. 
Portanto, 
 𝜆 = 510 𝑛𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
2 – Um astronauta em um ônibus espacial afirma que é capaz de distinguir com dificuldade duas 
fontes luminosas na superfície da Terra, a 160 Km de distância. Calcule (a) a separação angular e (b) 
a separação linear entre as fontes, supondo que a observação foi feita em condições ideais. Use  = 
540 nm e suponha que as pupilas do astronauta têm um diâmetro de 5,0 mm. 
Resumo: Quando as ondas luminosas emitidas por duas fontes próximas entre si passam por um 
orifício circular, e distante das mesmas, observa-se uma difração. As franjas de interferência são 
circulares cujos centros estão os máximos centrais de cada uma das fontes, conforme é mostrado na 
figura abaixo. 
 
O critério de Rayleigh afirma que para distinguir (ou resolver) as duas fontes é necessário que o 
máximo central da figura de difração de uma das fontes coincida com o mínimo da outra fonte. Dessa 
forma, a abertura angular que atende esse critério é dada por: 
𝜃𝑅 = 1,22 ×
𝜆
𝑑
 , 
onde  é o comprimento de onda da onda luminosa e d é o diâmetro do orifício por onde passa a 
onda. 
Dados do problema: 
 = 540 nm = 540 x 10-9 m ; 
D = 5,00 mm = 5,00 x 10-3 m. 
 (a) É pedido a abertura angular R (em radianos). O comprimento de onda deve estar em metros, ou 
seja:  = 540 X 10-9 m . O diâmetro da pupila do astronauta também deve estar em metros, ou seja: 
d = 5,0 x 10-3 m. 
Portanto: 𝜃𝑅 = 1,22 ×
𝜆
𝑑
= 1,22 ×
540 X 10−9
5,0 x 10−3
= 1,3176 × 10−4 𝑟𝑎𝑑. 
(b) A distância entre as fontes D é obtida a partir da tangente do ângulo R, veja a figura abaixo: Para 
ângulos pequenos e em radianos, tan 𝜃𝑅 ≅ 𝜃𝑅, de modo que: tan 𝜃𝑅 =
𝐷
𝐿
= 𝜃𝑅 . 
 
 Desta forma, D = L x R = 160 x 103 x 1,3176 x 10-4 = 21,1 m. 
3 – Os diamantes de imitação usados em joias são feitos de vidro com índice de refração de 1,50. 
Para que reflitam melhor a luz, costuma-se revesti-los com uma camada de monóxido de silício (SiO) 
de índice de refração igual a 2,00. Determine a menor espessura possível da camada para que uma 
onda de comprimento de onda de 560 nm e incidência perpendicular sofra interferência construtiva 
ao ser refletida pelas suas duas superfícies. 
 
Lembrete: A diferença de fase entre duas ondas pode mudar se uma das ondas for refletida, ou se ambas forem refletidas, 
isso vai depender dos índices de refração dos meios incidentes e refratados. 
Quando a onda luminosa está no ar e incide na superfície da película de silício, parte dela é refletida na superfície da 
película e parte é transmitida. A parte refletida sofre uma mudança de fase de (0,5 ), pois o índice de refração da película 
é maior que o índice de refração do ar. (Obs. A parte transmitida da onda para dentro da película não sofre mudança de 
fase.) Quando essa onda encontra a superfície de vidro, parte dela é transmitida e parte é refletida. Nesse caso, essa 
parte refletida da onda não sofre mudança de fase, pois o índice de refração do vidro é menor que o índice de refração 
da película de silício. 
Portanto, somente ocorrerá inversão da fase por reflexão se o índice de refração do meio da onda incidente for menor 
que o índice de refração a superfície refletora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A condição para que ocorra uma defasagem de 0,5  durante o percurso de 2L na película é dada por: 
2𝐿 = (𝑚 +
1
2
) ×
𝜆
𝑛𝑆𝑖𝑂Onde m = 0, 1, 2, 3, .... 
Portanto, a menor espessura da película para que ocorra uma defasagem de 0,  é para m = 0. Dessa forma: 
2𝐿 =
𝜆
2 𝑛𝑆𝑖𝑂
 
 
Para que haja uma interferência construtiva entre as duas ondas refletidas, 
na primeira superfície entre ar-SiO a onda sofre defasagem de 0,5 e na 
superfície entre os SiO-vidro não ocorre mudança de fase. 
Portanto, o caminho percorrido pela onda no interior da película é igual a 
2L. A condição para que essa onda refletida na superfície SiO-vidro é que 
nesse percurso deve haver um número inteiro de comprimentos de onda e 
mais uma meia onda. Dessa forma, quando essa onda voltar ao ar sofrerá 
uma interferência construtiva com aquela refletida na superfície ar-SiO. 
 
𝐿 =
𝜆
4 𝑛𝑆𝑖𝑂
=
560 × 10−9
8
= 7,0 × 10−8 𝑚 = 70 𝑛𝑚 = 0,070 𝜇𝑚. 
 
 
4 – Em um experimento de Young, a distância entre as fendas é 5,0 mm e as fendas estão a 1,0 m da 
tela de observação. Duas figuras de interferência podem ser vistas na tela, uma produzida por uma 
luz com comprimento de onda de 480 nm e outra por uma luz com comprimento de onda de 600nm. 
Qual é a distância na tela entre as franjas de terceira ordem (m=3) das duas figuras de interferência? 
 
 
 
 
 
Para determinar a posição do terceiro máximo de interferência na tela de observação é necessário calcular o ângulo  
para m = 3. A equação que fornece os máximos para a experiência de duas fendas é dada por: 
𝑚 𝜆 = 𝑑 sin 𝜃𝑚 
sin 𝜃𝑚 =
𝑚 𝜆
𝑑
 
𝜃𝑚 = arc sin(
𝑚 𝜆
𝑑
) 
Para obter a posição dos máximos na tela de observação é necessário calcular a tangente de m , ou seja: 
tan 𝜃𝑚 =
𝑦𝑚
𝐷
 
Ou ainda, 
𝑦𝑚 = 𝐷 tan 𝜃𝑚 
Assim, deve-se calcular o m e y para cada um dos comprimentos de onda fornecido no enunciado do exercício. 
Para m = 3, 1 = 480 x 10-9 m, d = 5,0 x 10-3 m e D = 1,0 m ,obtêm –se: 
𝜃𝑚 = arcsin (
3 × 480 × 10−9
5,00 × 10−3
) = 0,016500 
𝑦3,1 = 𝐷 tan 𝜃𝑚 = 1,00 × tan, 01650
0 = 2,99 × 10−4 𝑚 
 
Para m = 3, 2 = 600 x 10-9 m, d = 5,0 x 10-3 m e D = 1,0 m ,obtêm –se: 
𝜃𝑚 = arc sin
3 × 600 × 10−9
5,00 × 10−3
= 0,0206260 
𝑦3,2 = 𝐷 tan 𝜃𝑚 = 1,00 × tan 0,020626
0 = 3,60 × 10−4 𝑚 
 
Onde y3,1 e y3,2 são as posições dos máximos de terceira ordem para os comprimentos 1 = 480 x 10-9 m e 2 = 600 x 10-9 
m 
Portanto, a diferença entre y3,1 e y3,2 é : y = y3,2 - y3,1 = 6,1 x 10-5 m = 61 µm. 
 
5 – O píon negativo π- é uma partícula instável que possui vida média aproximadamente igual a 2,60 
x 10-8 s (medida no sistema de referência do píon). (a) Quando o píon se desloca com velocidade 
muito grande em relação ao laboratório, sua vida média medida no laboratório é de 4,20 x 10-7 s. 
calcule a velocidade do píon expressa como uma fração de c. (b) Qual é a distância que o píon 
percorre no laboratório durante sua vida média? 
(a) 
O tempo próprio de vida média do píon foi dado e é indicado por t0 = 2,60 x 10-8 s. Esse tempo é no 
referencial do píon que está se movendo com velocidade relativística v, ou seja, o observador nesse 
referencial estaria vendo o píon parado. 
O tempo de vida médio medido no laboratório, visto por um observador parado e vendo o píon se 
mover com velocidade relativística, é indicado por t = 4,20 x 10-7 s. 
A relação entre esses intervalos de tempos são: 
∆𝑡 = 𝛾∆𝑡0 
Onde , 𝛾 =
1
√1−(
𝑣
𝑐
)
2
 
∆𝑡 =
∆𝑡0
√1 − (
𝑣
𝑐)
2
 
 
√1 − (
𝑣
𝑐
)
2
=
∆𝑡0
∆𝑡
 
(√1 − (
𝑣
𝑐
)
2
)
2
= (
∆𝑡0
∆𝑡
)
2
 
1 − (
𝑣
𝑐
)
2
= (
∆𝑡0
∆𝑡
)
2
 
 
− (
𝑣
𝑐
)
2
= (
∆𝑡0
∆𝑡
)
2
− 1 
 
(
𝑣
𝑐
)
2
= 1 − (
∆𝑡0
∆𝑡
)
2
 
𝑣
𝑐
= √1 − (
∆𝑡0
∆𝑡
)
2
 
 
𝑣
𝑐
= √1 − (
2,60 × 10−8
4,20 × 10−7
)
2
 
 
𝑣
𝑐
= 0,998082061 ou 𝑣 = 0,9981 𝑐 . 
 
(b) 
A distância percorrida pelo píon no referencial do laboratório é dado por 𝐿 = 𝑣 ∆𝑡, onde 
𝑣 = 0,9981 × 299792458 = 299217474,3 𝑚/𝑠. 
Portanto, a distância percorrida no laboratório será de: 
𝐿 = 126 𝑚. 
Enquanto que a distância percorrida pelo píon no referencial píon é dado por: 𝐿0 = 𝛾 𝐿, 
𝛾 =
1
√1 − (
𝑣
𝑐)
2
=
1
√1 − (
0,9981 𝑐
𝑐 )
2
=
1
√1 − (0,9981)2
= 16,2298 
 
𝐿0 = 16,23 × 126 = 2045 𝑚. 
 
6 – Uma espaçonave passa sobre um planeta com velocidade de 0,600c. Um cientista na superfície 
do planeta mede o comprimento dessa espaçonave e obtém um valor igual a 74,0 m. A seguir, a 
espaçonave pousa na superfície do planeta e o mesmo cientista mede o comprimento dessa 
espaçonave, que agora está em repouso. Qual é o valor que ele encontra? 
 
Esse exercício é semelhante ao item (b) do exercício 5. 
𝐿0 = 𝛾 𝐿 
Onde L = 74,0 é o comprimento no referencial da superfície do planeta, ou seja, observador parado 
mediu a espaçonave em movimento. 
𝛾 =
1
√1−(
𝑣
𝑐
)
2
=
1
√1−(
0,600 𝑐
𝑐
)
2
=
1
√1−(0,600)2
= 1,25. 
No referencial da espaçonave, ou seja, o observador mede a espaçonave como se ela estivesse 
parada, pois o mesmo está com a mesma velocidade da espaçonave. 
Assim, essa medida será semelhante quando a espaçonave estiver parada no planeta. 
L0 = 1,25 x 74,0 = 92,5 m.