IOG ondas1

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Irradiação e Ondas Guiadas 
Profa. Úrsula do Carmo Resende 
LIESC 
Maxwell 
Laboratório Integrado de Eletromagnetismo 
e Sistemas de Comunicação 
 
DEE 
Departamento de Engenharia Elétrica 
2015/1 
ONDAS ELETROMAGNÉTICAS 
Lista de Siglas 
Irradiação e Ondas Guiadas 
EQ Equações de Maxwell 
OEM Ondas Eletromagnéticas 
CEM Campos Eletromagnéticos 
ED Equações Diferenciais 
CE Campo Elétrico 
CM Campo Magnético 
RF Rádio Freqüência 
EO Equação de Onda 
Introdução 
Irradiação e Ondas Guiadas 
Ondas Eletromagnéticas são um meio de transportar energia 
ou informação. 
Onda é uma função do espaço e do tempo. 
Um movimento ondulatório ocorre quando um distúrbio 
em A em um tempo t0 está relacionado com o que ocorre 
em B, em um instante t > t0. 
 
Introdução 
Irradiação e Ondas Guiadas 
As ondas eletromagnéticas são oscilações de campos elétricos 
e magnéticos associados, oscilações estas que se propagam 
pelo espaço. 
A essência da onda eletromagnética é a coexistência de 
dois campos, o elétrico e o magnético em movimento, um 
gerando o outro e assim mantendo-se ambos enquanto 
viajam, à velocidade constante igual a da luz, quando 
num meio não dispersivo (vácuo). Essa velocidade foi 
prevista através das equações de Maxwell. 
 
smxc /103
1 8
00


Introdução 
Irradiação e Ondas Guiadas 
Exemplos de OEM: 
 Luz 
 Ondas de rádio 
 Sinais de TV 
 Feixes de radar 
 Raios luminosos 
 Raio X 
 Calor Radiante 
 Microondas 
 Etc... 
 Características das OEM: 
 Viajam em alta velocidades 
 Apresentam propriedades ondulatórias 
 São irradiadas a partir de uma fonte 
 Não necessitam de um meio físico de propagação 
Introdução 
Irradiação e Ondas Guiadas 
Fontes de OEM: 
 Circuitos eletrônicos e emitidas a partir de uma antena. 
 Transição de elétrons entre níveis de energia dos átomos (processo 
utilizado na construção de fontes óticas como lasers e LEDs). 
 Vibrações de elétrons mais internos dos átomos ou impacto de 
elétrons dotados de alta velocidade em um anteparo metálico 
(irradiação de freamento) provocam emissões na faixa de raios X. 
 Emissões como raios gama originados de forma espontânea pelo 
núcleo de átomos radioativos. Essa emissões apresentam níveis de 
energia mais elevado que os raios X. 
 
Equação de Onda 
Irradiação e Ondas Guiadas 
Observe na lei de Ampère que, se o CE varia no tempo, então existirá um 
CM também variante no tempo, ortogonal ao primeiro. Isto ocorre porque 
o rotacional de H é proporcional a variação de E. Algo semelhante é 
obtido da lei de Faraday, ou seja, o rotacional de E é proporcional a 
variação de H. Uma outra conclusão ainda mais relevante, obtida por 
Maxwell, a partir das leis de Ampère e Faraday, é o caráter ondulatório 
dos CEM. Este caráter ondulatório pode ser confirmado a partir da 
equação diferencial resultante da demonstração a seguir. 
Equação de Onda 
Irradiação e Ondas Guiadas 
Considerando o espaço livre (sem fontes de corrente e carga e  = 0) e 
aplicando o rotacional em ambos os lados da 4ª EM (Lei de Ampère) tem-se: 
Substituindo a equação acima na 3ª EM (Lei de Faraday), obtém-se: 
Como 
e  · H = 0, então, 
Equação a derivadas 
parciais de segunda 
ordem. 
Equação de Onda 
Irradiação e Ondas Guiadas 
Partindo da 3ª EM (Lei de Faraday), e utilizando um procedimento semelhante ao 
exposto, pode-se obter a ED: 
 
As duas últimas equações diferenciais representam de forma matemática uma 
OEM propagando-se no espaço livre. Uma equação semelhante foi obtida pelo 
matemático francês D’Alembert, em 1747, quando este tentava descrever o 
movimento ondulatório em uma corda esticada. A equação obtida por ele era algo 
parecido com: 
onde y é a posição de um ponto qualquer da corda na direção transversal à 
mesma e v a velocidade de propagação da onda mecânica que surge nesta corda. 
Uma comparação entre as equações mostra que a velocidade de propagação 
da OEM é dada por: 
Equação de Onda 
Irradiação e Ondas Guiadas 
Para o caso de OEM que se propagam no ar ou no vácuo, tem-se: 
sendo c a velocidade da luz no vácuo, cujo valor é aproximadamente 3 x 108 m/s. 
Solução da Equação de Onda 
Irradiação e Ondas Guiadas 
Para tornar o processo de obtenção da solução da equação de onda mais claro e 
didático, é interessante tomar-se um exemplo prático. Considere um dipolo, 
antena linear constituída por duas hastes metálicas, orientado na direção ao az e 
alimentado por um gerador de sinais de RF. A tensão alternada desenvolvida nos 
terminais do dipolo cria uma corrente de condução nas hastes que varia no tempo. 
Sabe-se que, pela lei de Ampère, que esta corrente alternada produz CM no 
espaço em volta da antena, neste exemplo, orientado na direção a. Este campo 
varia de acordo com a mesma função de variação da corrente. Além disso, como 
CM variante no tempo produz CE variante no tempo, neste caso, com orientação 
na direção az. 
 
Para um ponto de observação muito distante da antena dipolo, as frentes de onda 
podem ser consideradas praticamente planas e os campos podem ser 
representados neste caso pelas equações: 
 
(Ondas planas serão apropriadamente discutidas posteriormente). 
Solução da Equação de Onda 
Irradiação e Ondas Guiadas 
Dipolo de comprimento l. 
Solução da Equação de Onda 
Irradiação e Ondas Guiadas 
onde c é a velocidade da OEM que se propaga na direção ar, com campos da 
forma: 
 
A solução da equação do CE ou CM pode ser obtida utilizando-se o método da 
separação de variáveis. 
Os resultados apresentados representam os campos de uma onda plana ideal. Na 
prática, as amplitudes Eo e Ho diminuem com a distância, como será visto 
posteriormente. 
Características de uma OEM 
Irradiação e Ondas Guiadas 
Analisando-se as características de uma onda plana, cujo CE é representado 
matematicamente pelo fasor-vetor: 
ou, tomando-se apenas a parte real: 
 Para um plano z fixo, o CE varia harmonicamente no tempo. 
 Para um instante de tempo t existe uma variação espacial do campo também 
harmônica (ejwt). A variação espacial, neste caso, ocorre ao longo de z. 
 O valor máximo do campo, Eo, é chamado de amplitude. 
 O argumento da função cossenoidal é chamado de fase da onda, ou seja,  = 
ωt − kz. 
 ω é a freqüência angular (radianos/segundo) e k é a constante de fase ou 
número de onda (radianos/metro). 
 A velocidade de propagação da onda plana é igual à velocidade de um 
observador que acompanha o deslocamento de uma frente de onda cuja fase, 
o, é constante, isto é: 
Características de uma OEM 
Irradiação e Ondas Guiadas 
Lembrando-se que vf, também denominada velocidade de fase da onda, 
depende das características elétricas e magnéticas do meio. A propagação da 
onda, neste caso, se dá no sentido z+, como mostrado na figura a seguir. Para 
ondas propagando-se no sentido contrário, tem-se: 
Características de uma OEM 
Irradiação e Ondas Guiadas 
A onda viaja com uma velocidade vf ao longo do eixo z+: 
Ey(t) 
 z 
 z 
 z 
t=0 
t=T/4 
t=T/2 
Características de uma OEM 
Irradiação e Ondas Guiadas 
Variação da intensidade do CE no: (a) espaço; (b) tempo. 
Características de uma OEM 
Irradiação e Ondas Guiadas 
A distância entre duas frentes de onda de mesma fase, para um dado instante de 
tempo, é denominada de comprimento de onda, representado pela letra grega λ 
(m) (vide figura). Neste caso, a variação Δ entre as duas frentes é igual a 2π, ou 
seja, 
e como conseqüência, a razão entre Δ e Δz é dada por: 
A variaçãode fase de 2π que ocorre num intervalo de tempo Δt = T, para um 
dado plano z, é denominado de período da onda (vide figura ). Portanto, 
Características de uma OEM 
Irradiação e Ondas Guiadas 
e como conseqüência, a razão entre Δ e Δt é dada por: 
denominada de frequência angular da onda. Utilizando as equações de k e  
obtém-se: 
onde f = 1/T é chamada de frequência da onda. 
Equação de Onda – Regime Harmônico 
Temporal (Caso Geral) 
ss j HE  μ
Irradiação e Ondas Guiadas 
Aplicando o rotacional em ambos os lados de (considerando agora   0 mas 
ainda espaço livre): 
ss j HE μ
0btem-se: 
Aplicando a identidade vetorial : 
e utilizando a 3ª EM obtém-se: 
0 
k É a constante de propagação (por metro) do meio. 
  AAA 2
    sss jj EEE ε  μ2
 ε jjk
k


μ
0
2
s
2
s
2
EE
  0 a onda perde 
energia à medida que 
propaga ! 
Sadiku:  = k 
Equação de Onda – Regime Harmônico 
Temporal (Caso Geral) 
0s
2
s
2  HH k
Irradiação e Ondas Guiadas 
Aplicando um procedimento semelhante para o campo H obtém-se: 
Estas equações são conhecidas como equações vetoriais homogêneas de 
Helmholtz, ou equações vetoriais de onda. Em cordenadas cartesianas é 
equivalente a três equações escalares, uma para cada componente de campo ao 
longo dos eixos x, y e z. É sempre importante relembrar que estão sendo 
considerados meios sem fontes. No domínio da frequência os resultados são: 
 
rkrk   ee 0s0s HE HE
Sendo E0 e H0 as constantes de integração que indicam os valores dos campos 
na origem do vetor posição r, que define o ponto do espaço no qual se deseja 
determinar os valores das diversas componentes de campo. A grandeza k é 
chamada de vetor de propagação e tem grande importância na descrição da 
onda no espaço. 
Equação de Onda – Regime Harmônico 
Temporal (Caso Geral) 
Irradiação e Ondas Guiadas 
Solução da equação de onda homogênea em coordenadas Cartesianas através 
da técnica de separação de variáveis. 
2 2 =0k E E
Para: 
Sendo: 
2 2ˆ ˆ ˆE E E =0 , ,x y z i ix y z k i x y z     E E E
Resolver a equação de onda escalar: 
   2 2 =0k  r r
Seja (separação de variáveis): 
       = x y zf x f y f z r
 
22 2
2 2
2 2 2
2
=
yx z
x y z y z x z x y
x y z
d fd f d f
f f f f f f f f f
dx dy dz
k f f f
    

Equação de Onda – Regime Harmônico 
Temporal (Caso Geral) 
Irradiação e Ondas Guiadas 
Divide por: 
x y zf f f
 
22 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1
=
yx z
x y z
x y
d fd f d f
f f f k
f dx f dy fz dz
      
   
   
   
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sin1
,
cos
sin1
,
cos
sin1
,
cos
x
y
z
j k xx
x x x
x
j k yy
y y y
y
j k zz
z z z
d f
k f x e K x
f dx
d f
k f y e K y
f dy
d f
k f x e K z
fz dz



    
    
    
onde 
2 2 2 2 2
x y zk k k k     
É a equação da separação de variáveis. 
Equação de Onda – Regime Harmônico 
Temporal (Caso Geral) 
Irradiação e Ondas Guiadas 
= yx z
jk yjk x jk z
x y zf f f e e e  
Para reduzir a notação: 
 
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
x y z
x y z
j
k x k y k z
x x y y z z
k x k y k z
e  
  
  
   
 k r
k
r
k r
r
Procedendo desta forma para cada componente vetorial de E: 
  0E
je E k rr
 
2 2
0
0
H j
k
e 
  

H H
H
k r
r
Irradiação e Ondas Guiadas 
Equação de Helmholtz 
As EDs a seguir são chamadas de equação de onda reduzida ou equação de 
Helmholtz. Sua solução de fornece a variação espacial do vetor CE da onda. 
Na forma vetorial, a solução de é do tipo: (Como já visto) 
Irradiação e Ondas Guiadas 
Equação de Helmholtz 
Sendo Eo e Ho os vetores amplitude, r o vetor posição e k o vetor de onda que 
aponta no sentido de propagação. Em coordenadas retangulares, estes vetores 
podem ser escritos como se segue: 
Por exemplo, se uma onda plana se propaga na sentido z− com CE orientado na 
direção y, então a expressão do CE em função da posição no espaço é: