Normalidade, DN Erro, IC, Dimensionamento V02

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TESTES DE NORMALIDADE 
DOS DADOS
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
TESTES DE NORMALIDADE
ERRO
INTERVALO DE CONFIANÇA
DIMENSIONAMENTO DE AMOSTRAS
INTRODUÇÃO
UMA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE É UM MODELO MATEMÁTICO QUE 
RELACIONA UM CERTO VALOR DA VARIÁVEL EM ESTUDO COM A SUA 
PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA.
HÁ DOIS TIPOS DE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE:
• DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS: QUANDO A VARIÁVEL QUE ESTÁ SENDO 
MEDIDA É EXPRESSA EM UMA ESCALA CONTÍNUA, COMO NO CASO DE 
UMA CARACTERÍSTICA DIMENSIONAL.
• DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS: QUANDO A VARIÁVEL QUE ESTÁ SENDO 
MEDIDA SÓ PODE ASSUMIR CERTOS VALORES, COMO POR EXEMPLO OS 
VALORES INTEIROS: 0, 1, 2, ...
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
A DISTRIBUIÇÃO NORMAL É A MAIS IMPORTANTE DAS DISTRIBUIÇÕES 
ESTATÍSTICAS:
• REPRESENTA A DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DE MUITOS FENÔMENOS 
NATURAIS;
• AS MÉDIAS E AS PROPORÇÕES DE GRANDES AMOSTRAS SEGUEM A 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL (TEOREMA DO LIMITE CENTRAL);
• TEM FORMA DE SINO, SIMÉTRICA EM RELAÇÃO À SUA MÉDIA E TENDE 
CADA VEZ MAIS AO EIXO HORIZONTAL À MEDIDA QUE SE AFASTA DA 
MÉDIA, OU SEJA, TEORICAMENTE OS VALORES DA VARIÁVEL ALEATÓRIA 
PODEM VARIAR DE  A +.
• A ÁREA ABAIXO DA CURVA NORMAL REPRESENTA 100% DE 
PROBABILIDADE ASSOCIADA A UMA VARIÁVEL. 
• A PROBABILIDADE DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA TOMAR UM VALOR 
ENTRE DOIS PONTOS QUAISQUER É IGUAL À ÁREA COMPREENDIDA 
ENTRE ESSES DOIS PONTOS.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Desvio-padrão
populacional

Média populacional

Fr
e q
u ê
n c
ia
 f(
x)
Variável x
Área Total
1 ou 100%
100% DA ÁREA EM [; +] = 1
𝑓 𝑥 =
1
2𝜋𝜎
𝑒−
1
2
𝑥−𝜇
𝜎
2
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
68,26%
da área
+3+2+
Fr
e q
u ê
n c
ia
 f(
x)
Variável x
--2-3
68,26% COMPREENDIDO ENTRE 1 DESVIO-PADRÃO
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
95,44% COMPREENDIDO ENTRE 2 DESVIOS-PADRÃO
95,44%
da área
+3+2+
Fr
e q
u ê
n c
ia
 f(
x)
Variável x
--2-3
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
99,73% COMPREENDIDO ENTRE 3 DESVIOS-PADRÃO
99,73%
da área
+3+2+
Fr
e q
u ê
n c
ia
 f(
x)
Variável x
--2-3
EXEMPLO 1 DE HISTOGRAMA
TAMANHOS DE 1000 PÉS FEMININOS
32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
0
50
100
150
200
250
300
Fr
e q
u ê
n c
ia
 f(
x)
x (tamanho do pé)
EXEMPLO 1 DE HISTOGRAMA
TAMANHOS DE 1000 PÉS FEMININOS
32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
0
50
100
150
200
250
300  = 37,144
 = 1,4482
Fr
e q
u ê
n c
ia
 f(
x)
x (tamanho do pé)
EXEMPLO 2 DE HISTOGRAMA
VELOCIDADES MEDIDAS DE 9018 CARROS
40 60 80 100 120 140 160 180
0
50
100
150
200
Fr
e q
u ê
n c
ia
 f(
x)
x (velocidade)
EXEMPLO 2 DE HISTOGRAMA
VELOCIDADES MEDIDAS DE 9018 CARROS
40 60 80 100 120 140 160 180
0
50
100
150
200
 = 108,17
 = 25,173
Fr
e q
u ê
n c
ia
 f(
x)
x (velocidade)
C
BA
Fr
eq
u ê
nc
ia
 f(
x)
Variável xDISTRIBUIÇÕES NORMAIS COMPARADAS• DA DISTRIBUIÇÃO A PARA B MUDA A TENDÊNCIA CENTRAL, MAS A VARIABILIDADE É CONSTANTE;• DA DISTRIBUIÇÃO A PARA C MUDA A VARIABILIDADE, MAS A TENDÊNCIA CENTRAL É CONSTANTE;
• DA DISTRIBUIÇÃO B PARA C 
MUDA A TENDÊNCIA CENTRAL 
E A VARIABILIDADE.
SEGUE UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL?
PERFIL DE DADOS ASSIMÉTRICO EM RELAÇÃO À MÉDIA
30 40 50 60 70 80 90 100
0
100
200
300
400
 = 68,2029
n = 10050
 = 13,5672
Fr
e q
u ê
n c
ia
 f(
x)
x
SEGUE UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL?
PEQUENO NÚMERO DE AMOSTRAS
32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
0
1
2
 = 37,6
n = 5
 = 1,6248
Fr
eq
uê
nc
ia
 f(
x)
x
TESTES DE NORMALIDADE
• TESTE GRÁFICO
• Papel da Probabilidade com R2 > 0,95
• Comparação com valores esperados de uma normal (χ²-Pearson)
• TESTES ESTATÍSTICOS
• Anderson-Darling (n ≥ 8)
• Cramer-von Mises (n ≥ 4)
• Shapiro-Wilk (4 ≤ n ≤ 50)
• Ryan-Joiner (n ≥ 4)
• Kolmogorov-Smirnov (4 ≤ n ≤ 50)
• χ²-Pearson (n ≥ 20)
• Lilliefors (4 ≤ n ≤ 50)
• Jarque-Bera (n ≥ 20)
• Lilliefors-van Soest (4 ≤ n ≤ 50)
• D'Agostino-Pearson K² (n ≥ 20)
TESTES GRÁFICOS
Distribuição NÃO Normal
μ = 3,4085 σ = 3,4129
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
μ-4σ μ-3σ μ-2σ μ-σ μ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ+4σ
Contagens em 7 classes
Conts Obs Conts Exp
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 5 10 15 20
PAPEL DA 
PROBABILIDADE
R²=0,63856 ajuste
Distribuição Normal
μ = 9,6687 σ = 0,7354
0
1
2
3
4
5
μ-4σ μ-3σ μ-2σ μ-σ μ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ+4σ
Contagens em 7 classes
Conts Obs Conts Exp
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
29 31 33 35 37 39 41
PAPEL DA 
PROBABILIDADE
R²=0,97822 ajuste
PAPEL DA PROBABILIDADE
É UMA TÉCNICA GRÁFICA UTILIZADA PARA VERIFICAR A ADEQUAÇÃO DE UM
DETERMINADO MODELO ESTATÍSTICO AOS DADOS, NO CASO O MODELO 
NORMAL.
SERÁ TRAÇADO O GRÁFICO “QUANTIS DA NORMAL PADRÃO X DADOS”.
ALGORITMO:
• ORDENAR OS DADOS
• CALCULAR OS VALORES D, DA FORMA Di = (i-0,3)/(n+0,4)
• CALCULAR OS VALORES INVERSOS DA NORMAL PADRONIZADA DE Di
• PLOTAR O GRÁFICO
PAPEL DA PROBABILIDADE
EXEMPLO: DADOS 36, 35, 36, 37, 32, 30, 33, 35, 40, 38 (n = 10).
Dados 
Originais
Dados 
Ordenados
i Di
Inverso Normal 
Padronizada
36 30 1 0,067308 -1,496146876
35 32 2 0,163462 -0,980330352
36 33 3 0,259615 -0,644531606
37 35 4 0,355769 -0,369790678
32 35 5 0,451923 -0,120804162
30 36 6 0,548077 0,120804162
33 36 7 0,644231 0,369790678
35 37 8 0,740385 0,644531606
40 38 9 0,836538 0,980330352
38 40 10 0,932692 1,496146876
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
29 31 33 35 37 39 41
PAPEL DA PROBABILIDADE
R²=0,97822 ajuste
𝐷𝑖 =
𝑖 − 0,3
0,4 + 𝑛
Φ−1 = INV.NORMP.N(Di)
𝑅2 = RQUAD(Di; Dados Ordenados)
χ²-PEARSON 7 CLASSES (N ≥ 20)
COMPARA AS FREQUÊNCIAS OBSERVADAS E AS FREQUÊNCIAS ESPERADAS EM 7 CLASSES 
(BLOCOS) COM A DISTRIBUIÇÃO χ².
ALGORITMO
• CALCULAR 𝑥, 𝑠 E 𝑛.
• CRIAR AS BORDAS 𝑥 − 5𝑠
2
, 𝑥 −
3𝑠
2
, 𝑥 −
𝑠
2
, 𝑥 +
𝑠
2
, 𝑥 +
3𝑠
2
, 𝑥 +
5𝑠
2
.
• CONTAR O NÚMERO DE ELEMENTOS OBSERVADOS EM CADA CLASSE.
• CALCULAR O NÚMERO DE ELEMENTOS ESPERADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
COM OS PARÂMETROS 𝑥, 𝑠 E 𝑛 EM CADA CLASSE.
• TRAÇAR O GRÁFICO DE BARRAS PARA OS ELEMENTOS OBSERVADOS E DE LINHA 
SUAVIZADA PARA OS ELEMENTOS ESPERADOS.
• CALCULAR 𝜒2 = 𝑂𝑏𝑠−𝐸𝑠𝑝
2
𝐸𝑠𝑝
E COMPARAR COM 𝜒𝑐𝑟𝑖𝑡
2 = INV.QUIQUA(1 − 𝛼; 7 − 3)
• SE 𝜒2 < 𝜒𝑐𝑟𝑖𝑡
2 ENTÃO OS DADOS SEGUEM UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL.
• O VALOR DE 𝑝 = 1− DIST.QUIQUA(𝜒2; 7 − 3; VERDADEIRO)
χ²-PEARSON 7 CLASSES (N ≥ 20)
EXEMPLO: DADOS ABAIXO (n = 20)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
μ-4σ μ-3σ μ-2σ μ-σ μ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ+4σ
Contagens em 7 classes
Conts Obs Conts Exp
Dados média 35,275
36 desv-p 2,980087
35 n 20
36 Bordas Classes Cont. Obs Cont. Esp. (O-E)2/E
37 27,82478 1 0 0,124193 0,124193
32 30,80487 2 2 1,211951 0,512415
30 33,78496 3 4 4,834607 0,14408
33 36,76504 4 9 7,658498 0,234984
35 39,74513 5 3 4,834607 0,696185
40 42,72522 6 2 1,211951 0,512415
38 7 0 0,124193 0,124193
36,5 QUI2 2,348466
34,5 QUI2CRIT 9,487729
35,5 p 0,67196
36,5
33,5
29,5
32,5
35,5
41
38,5
TESTE DE SHAPIRO-WILK (4 ≤ N ≤ 50)
ALGORITMO
• ORDENAR OS ELEMENTOS EM ORDEM CRESCENTE
• CALCULAR A MÉDIA 𝑥
• CALCULAR A SOMA 𝑎 = 𝑥𝑖 − 𝑥 2
• ORDENAR OS NÚMEROS DOS ELEMENTOS EM DUAS COLUNAS ATÉ 𝑛
2
SE PAR OU 
ATÉ 
𝑛+1
2
SE ÍMPAR. A PRIMEIRA COLUNA CRESCENTE E A SEGUNDA DECRESCENTE
• UTILIZAR A TABELA DE SHAPIRO-WILK PARA O NÚMERO DE ELEMENTOS (TABELA)• ORDENAR OS ELEMENTOS EM DUAS COLUNAS, CONFORME AS COLOCAÇÕES 
DAS DUAS COLUNAS DOS NÚMEROS DOS ELEMENTOS
• CALCULAR A SOMA 𝑏 = 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 ∙ 𝑥𝑛−𝑖+1 − 𝑥𝑖
• CALCULAR 𝑊 = 𝑏
2
𝑎
E COMPARAR COM 𝑊𝑐𝑟𝑖𝑡
• SE 𝑊 <𝑊𝑐𝑟𝑖𝑡 ENTÃO OS DADOS SEGUEM UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL.
TESTE DE SHAPIRO-WILK (4 ≤ N ≤ 50)
EXEMPLO: DADOS 36, 35, 36, 37, 32, 30, 33, 35, 40, 38 (n = 10).
PAR a = 77,6 i n-i+1 tabela x(n-i+1) x(i) tab*(x-x) b 8,7323
30 27,04 1 10 0,5739 40 30 5,739W 0,982643
32 10,24 2 9 0,3291 38 32 1,9746W crit 0,842
33 4,84 3 8 0,2141 37 33 0,8564p p>0,05
35 0,04 4 7 0,1224 36 35 0,1224 DN
35 0,04 5 6 0,0399 36 35 0,0399
36 0,64
36 0,64
37 3,24
38 7,84
40 23,04
i\n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 0,7071 0,7071 0,6872 0,6646 0,6431 0,6233 0,6062 0,5888 0,5739 0,5601 0,5475
2 0 0,1677 0,2413 0,2806 0,3031 0,3164 0,3244 0,3291 0,3315 0,3325
3 0 0,0875 0,1401 0,1743 0,1976 0,2141 0,226 0,2347
4 0 0,0561 0,0947 0,1224 0,1429 0,1586
5 0 0,0399 0,0695 0,0922
6 0 0,0303
7
Tabela S-W 5%
N W
3 0,767
4 0,748
5 0,762
6 0,788
7 0,803
8 0,818
9 0,829
10 0,842
11 0,85
12 0,859
CONFIANÇA VERSUS INCERTEZA
A CONFIANÇA DE UM EXPERIMENTO É A EXPECTATIVA DE REPETIBILIDADE DO 
MESMO.
INCERTEZA É O VALOR COMPLEMENTAR A 100% DA CONFIANÇA.
INCERTEZA = 𝛼
CONFIANÇA = 1 − 𝛼
COM O VALOR DE CONFIANÇA, PODE-SE CALCULAR A VARIÁVEL NORMAL 
PADRONIZADA 𝑍𝑐 (DA TABELA NORMAL) CORRESPONDENTE.
EXEMPLOS:
• confiança de 95% resulta em 𝑍𝑐 = 1,96
• confiança de 90% resulta em 𝑍𝑐 = 1,645
• confiança de 99% resulta em 𝑍𝑐 = 2,58
NO EXCEL, 𝑍𝑐 = INV.NORMP.N(0,5+CONFIANÇA%/2)
DISTRIBUIÇÃO NORMAL - ERRO
• CASO OS DADOS SIGAM UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL, É POSSÍVEL 
CALCULAR O ERRO ESTATÍSTICO ENVOLVIDO NA VARIABILIDADE DOS 
DADOS COM DETERMINADA CONFIANÇA (OU INCERTEZA)
𝑒 =
𝑍𝑐 ∙ 𝜎
𝑛
• COM O ERRO, É POSSÍVEL CALCULAR O INTERVALO DE CONFIANÇA, 
COMO O INTERVALO DENTRO DO QUAL SE TEM O NÍVEL DE CONFIANÇA 
DE QUE A MÉDIA POPULACIONAL ESTEJA CONTIDO.
𝐼𝐶1−𝛼 = 𝑥 − 𝑒; 𝑥 + 𝑒
DIMENSIONAMENTO DE AMOSTRAS
• CASO OS DADOS SIGAM UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL, É POSSÍVEL 
CALCULAR O NÚMERO DE AMOSTRAS QUE UM EXPERIMENTO DEVE TER, 
EM FUNÇÃO DE UM NOVO ERRO 𝑒𝑁 (MÁXIMO A SER COMETIDO), UMA 
CONFIANÇA DESEJADA, E O DESVIO-PADRÃO 𝜎 OBSERVADO NO 
EXPERIMENTO PILOTO:
𝑛𝑁 =
𝑍𝑐 ∙ 𝜎
𝑒𝑁
2