Aula 9 - U2 - Distribuição de Probabilidades - Probabilidade e Estatística

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Aula 9 – Distribuição de Probabilidades
Prof.: Me. Caio Tácito M. Castro
Campina Grande – PB
INTRODUÇÃO
O que pretendemos neste capítulo, é apresentar dois
modelos teóricos de distribuição de probabilidade, aos
quais um experimento aleatório estudado possa ser
adaptado, o que permitirá a solução de grande número
de problemas práticos.
Vamos aprender a construir e usar distribuições de
probabilidade. Conhecer a forma, o centro e a
variabilidade de uma distribuição de probabilidade que
lhe permite tomar decisões em inferências estatísticas.
INTRODUÇÃO
�𝑃𝑃 = 1,0
Em uma distribuição de probabilidades é necessário:
∑ P(x) = 1, onde x toma todos valores possíveis
0 ≤ P(x) ≤ 1 para todo o x.
A distribuição de probabilidades indica a percentagem de
vezes que, em grande quantidade de observações,
podemos esperar a ocorrência de vários resultados de uma
variável aleatória.
Distribuições de 
probabilidade
Distribuições 
descontínuas ou 
discretas
Distribuições 
contínuas
INTRODUÇÃO
VARIÁVEL ALEATÓRIA
O resultado de um experimento probabilístico geralmente é UMA
CONTAGEM OU UMA MEDIDA. Quando isso ocorre, esse trabalho é
um possível valor de uma variável aleatória.
Uma variável aleatória X representa um valor numérico 
associado a cada resultado de um experimento 
probabilístico (ou aleatório)
A variável aleatória X, representa o número de 
caras possíveis, que aparecem no lançamento 
simultâneo de duas moedas
VARIÁVEL ALEATÓRIA
A palavra ALEATÓRIA indica que X é determinado em função de um
objeto escolhido ao acaso. Há dois tipos de variáveis aleatórias:
DISCRETA: Quando tem números finito ou contável de resultados
possíveis que podem ser enumerados.
CONTÍNUA: Quando tem um número incontável de resultados
possíveis, representados por um intervalo na reta numérica.
DISTRIBUIÇÕES 
CONTÍNUAS
UNIFORME OU RETANGULAR
NORMAL
BIVARIADA NORMAL
EXPONENCIAL
LOGNORMAL
WEIBULL
QUI-QUADRADO χ2
t DE STUDENT
F DE SNEDECOR
GAMA
BETA
ERLANG
( formas)
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS
Um pouco de história
No século XVIII, astrônomos e outros
cientistas observaram que medidas
repetidas de mensurações como a
distância à lua variavam como na figura,
quando coletadas em grande número.
Esta forma gráfica era associada aos
erros de mensuração, daí o nome de
“Distribuição normal dos erros” e depois
“Distribuição normal”
Também é conhecida por “Distribuição
Gaussiana”, em função do modelo
matemático desenvolvido por Karl F.
Gauss para este comportamento.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Formato de sino
IMPORTÂNCIA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
 Retrata com boa aproximação, as distribuições de freqüência de
muitos fenômenos naturais e físicos (altura, pressão sanguínea, peso).
 Representa a distribuição das médias e proporções em grandes
amostras, o que tem relevante implicação na amostragem (a mais
importante)
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
PROPRIEDADES
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
PROPRIEDADES
Uma distribuição normal pode ter qualquer média e qualquer
desvio padrão positivo. Esses dois parâmetros, 𝜇𝜇 𝑒𝑒 𝜎𝜎, determinam o
formato da curva normal. A média dá a localização da linha de
simetria e o desvio padrão descreve o quanto os dados estão
dispersos.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Curva normal típica
Média = µ
Desvio padrão = σ
50% 50%
Área sob a curva = 1 (0,5 + 0,5)
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
ENTENDENDO A MÉDIA E O DESVIO PADRÃO
1) De acordo com o gráfico abaixo, qual curva normal tem maior
média??? E maior desvio padrão??
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
ENTENDENDO A MÉDIA E O DESVIO PADRÃO
2) De acordo com o gráfico abaixo, qual curva normal tem maior
média??? E maior desvio padrão??
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
• Quando temos em mãos uma variável aleatória com
distribuição normal, nosso principal interesse é obter a
probabilidade de uma variável aleatória tomar um valor entre
dois pontos quaisquer (intervalo). Essa probabilidade é igual à
área sob a curva normal entre aqueles pontos
µ a b
P (a < x < b) = área hachurada sob a curva
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Porém, existe uma infinidade de distribuições normais, cada uma
com sua própria média e desvio padrão.
A distribuição normal com média 0 e desvio padrão 1 é chamada
de DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO. Tal distribuição é usada
como método para solução de problemas envolvendo
distribuições normais.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
EXEMPLO CONCRETO
• Seja 𝑋𝑋 a variável aleatória que representa os diâmetros dos
parafusos produzidos por certa máquina. Vamos supor que
essa variável tenha distribuição normal com média �̅�𝑥 = 2 𝑐𝑐𝑐𝑐 e
desvio padrão 𝑠𝑠 = 0,04 𝑐𝑐𝑐𝑐 . Deseja-se conhecer a
probabilidade de um parafuso ter um diâmetro com valor
entre 2 e 2,05 cm.
Probabilidade Desejada
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
PADRÃO
• Para transformarmos esta distribuição normal numa
distribuição normal padrão usando a fórmula abaixo,
denominada escore-z.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
PADRÃO
𝑧𝑧 =
𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 − 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑣𝑣
𝑚𝑚𝑒𝑒𝑠𝑠𝑣𝑣𝑚𝑚𝑣𝑣 𝑝𝑝𝑣𝑣𝑚𝑚𝑣𝑣𝑝𝑣𝑣
=
𝑥𝑥 − 𝜇𝜇
𝜎𝜎
Assim, as probabilidades associadas à distribuição normal
padronizada são encontradas em TABELAS, não havendo
necessidade de serem calculadas.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
PADRÃO
RETORNANDO AO EXEMPLO CONCRETO
• Queremos calcular 𝑃𝑃(2 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 2,05) . Para obter esta
probabilidade, precisamos, em primeiro lugar, calcular o
escore-z, ou seja, o valor de 𝑧𝑧 correspondente a 𝑥𝑥 = 2,05.
Logo:
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
PADRÃO
𝜇𝜇 = 2 𝜎𝜎 = 0,04 𝑥𝑥 = 2,05
𝑧𝑧 =
𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 − 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑣𝑣
𝑚𝑚𝑒𝑒𝑠𝑠𝑣𝑣𝑚𝑚𝑣𝑣 𝑝𝑝𝑣𝑣𝑚𝑚𝑣𝑣𝑝𝑣𝑣
=
𝑥𝑥 − 𝜇𝜇
𝜎𝜎
=
2,05 − 2
0,04
= 1,25
z
𝑃𝑃 2 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 2,05 = 𝑃𝑃(0 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 1,25)
x
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
PADRÃO
z
𝑃𝑃(0 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 1,25)
RETORNANDO AO EXEMPLO CONCRETO
Assim:
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
PADRÃO
z
RETORNANDO AO EXEMPLO CONCRETO
Assim:
Logo:
𝑃𝑃 2 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 2,05 =
= 0,3944
𝑃𝑃 0 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 1,25
70 80 90 100 110 120 130 
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3
µ = 100,0
σ = 10,0
escala efetiva 
escala padronizada 
Escala efetiva X Escala padronizada
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
PADRÃO
-3σ -2σ -1σ 0 +1σ +2σ +3σ
68%
95,5%
99,7%
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
PADRÃO
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
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