Laplace - 2018/1 Matemática Aplicada

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Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada – UFRGS
MAT01168 Matema´tica Aplicada II – Turma C
A´rea II – 21/05/2018
1 2 3 4 5 Total
Aluno: Cart~ao:
1.) [ 2,0 ] Seja a equac¸a˜o da corrente ele´trica i(t) num circuito LRC sujeito a` forc¸a eletro-motriz E(t)
L
di
dt
+Ri+
1
C
∫ t
0
i(ξ)dξ = E(t). (1)
Sendo a indutaˆncia L = 1H, a resisteˆncia R = 3Ω, a capacitaˆncia C = 1/2F a corrente inicial i(0) = 1C/s,
e dado que a forc¸a eletro-motriz consiste de um pulso de intensidade constante E0 = 2V durante o intervalo de
tempo (0, τ), usai a transformada de Laplace para determinar a corrente ele´trica i(t).
2.) [ 2,0 ] Uma massa oscila conforme uma mola isenta de amortecimento. Ale´m de uma forc¸a senoidal externa,
um impulso e´ dado a` mola no instante t = pi/4 . A posic¸a˜o x(t) da massa e´ descrita segundo a equac¸a˜o
d2x
dt2
+ x =
[
δ
(
t− pi
4
)
− 1
]
sin(2t),
sendo a posic¸a˜o e a velocidade iniciais iguais a zero. Determinai x(t) usando a tranformada de Laplace.
3.) [ 2,0 ] Encontrai a soluc¸a˜o do problema de valor inicial utilizando o me´todo da convoluc¸a˜o
y′′ − 4y = 6e−t para y(0) = 1 e y′(0) = 2.
4.) [ 2,0 ] Usai transformada de Laplace para resolver o sistema de equac¸o˜es{
2 dv
dt
+ du
dt
= t
3
3
dv
dt
− du
dt
= 2t2
sendo as condic¸o˜es iniciais v(0) = 1 e u(0) = −1/2
5.) [ 2,0 ] Aplicai a transformac¸a˜o de Laplace a` equac¸a˜o de Hermite,
y′′ − 2xy′ + 2ny = 0, sendo n ∈ N.
e obtende a a transformada de Laplace da func¸a˜o y(t) resolvendo a equac¸a˜o diferencial gerada
(i) Definic¸o˜es
1. £[f ] =
∫ ∞
0
f(t)e−sxdx
∥∥∥ 2. £ [∫ t
0
f(ξ)dξ
]
=
£[f ]
s
∥∥∥ 3.£[f (n)] = sn£[f ]− n−1∑
k=0
sn−1−kf (k)(0)
∥∥∥ 4.£[eatf ] = £[f ](s− a)
5.£[f(t− a)u(t− a)] = e−as£[f ]
∥∥∥ 6. f ? g = ∫ t
0
f(τ)g(t− τ)dτ
∥∥∥ 7.£[f ? g] = £[f ]£[g] ∥∥∥ 8. ∫ ∞
−∞
f(x)δ(x− x0) = f(x0)
9. shx =
ex − e−x
2
∥∥∥ 10. shx = ex − e−x
2
(ii) Tabela de Transformadas
1. £[tn] =
n!
sn+1
∥∥∥ 2. £ [eat] = 1
s− a
∥∥∥ 3. £[sen(wt)] = w
s2 + w2
∥∥∥ 4. £[cos(wt)] = s
s2 + w2
∥∥∥ 5. £[f(t)δ(t− a)] = f(a)e−as ∥∥∥
5. £[sh(wt)] =
w
s2 − w2
∥∥∥ 4. £[ch(wt)] = s
s2 − w2
∥∥∥