Mecânica Geral Introdução Forças no Espaço

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Mecânica Geral 
Introdução: Operações com vetores 
forças no espaço 
Virmondes Ferreira da Silva Junior 
UNISAL – AMERICANA 
 
Os conceitos de decomposição de forças no plano, 
soma de forças, cálculo de resultantes; vistos nos 
problemas em que as análises se aplicam no plano, 
são os mesmos para o caso de forças no espaço. 
Mecânica Geral 
Forças no espaço. 
Porém no espaço iremos trabalhar com a geometria 
analítica em detrimento a trigonometria e método 
gráfico do paralelogramo; pois com o uso de 
coordenadas fica mais fácil resolver os problemas em 
3 dimensões. 
Mecânica Geral 
Forças no espaço. 
Mecânica Geral 
Relembrando... 
Representação de vetores em termos de seus 
componentes unitários: 
 
• Vetores unitários são vetores de medida unitária 
orientados nas direções dos eixos coordenados. 
• São ortogonais entre si (formam ângulo de 90º) 
Mecânica Geral 
Representação de vetores em termos de seus 
componentes unitários: 
kAjAiAA zyx  .

Mecânica Geral 
Operações com vetores soma de vetores. 
 Método usando geometria analítica e vetores 
unitários. 
kvjvivv zyx 

kujuiuu zyx 

kuvjuviuvuv zzyyxx )()()( 

Mecânica Geral 
Cálculo do módulo da força resultante 
Calculando o módulo da força resultante através de 
suas componentes 
kuvjuviuvuvw zzyyxx )()()( 

kwjwiww zyx 

2222
zyx wwww 
222
zyx wwww 
Mecânica Geral 
Propriedades operações com vetores (soma): 
vuuv


i) Comutativa 
wuvwuv

 )()(
ii) Associativa 
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Propriedades operações com vetores (soma): 
uu

0
iii) Elemento neutro 
0)(

 vv
iv) Elemento oposto 
Mecânica Geral 
Propriedades operações com vetores (multiplicação 
por escalar) k e c (escalares) v e w (vetores): 
i) Comutativa 
vkcvck

)..()..( 
ii) Associativa 
)..()..( vckvck


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Propriedades operações com vetores (multiplicação 
por escalar) k e c (escalares) v e w (vetores): 
iii) Elemento neutro da multiplicação 
vv

.1
iv) Distributiva 
wkvkwvk

..).( 
vcvkvck

..).( 
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Decomposição de vetores (No espaço). 
xx FF cos. yy FF cos. zz FF cos.
Mecânica Geral 
Decomposição de vetores (No espaço). 
Os valores ϴx, ϴy, ϴz, são os ângulos que definem a 
direção do vetor. 
xx FF cos. yy FF cos. zz FF cos.Em termos de vetores unitários, F pode ser definido da seguinte forma: 
kFjFiFF zyx 

Sendo: 
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Podemos reescrever: 
)coscos(cos kjiFF zyx  
Podemos definir λ: 
kji zyx  coscoscos 
Onde λ (Lambda) é um vetor unitário, ou seja seu 
módulo é igual a 1. 
zyx  222 coscoscos 
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Portanto para decompor uma força no espaço, basta 
multiplicar seu módulo pelo vetor unitário lambda 

.FF 
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Calculando λ através das coordenadas de um vetor 
(normalização de vetores). 
Exemplo: 
A
A
A 

kAjAiAA zyx  .

222
zyx AAAA 
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Calculando λ através das coordenadas de um vetor 
(normalização de vetores). 
Exemplo Considerando o vetor A, Calcule λA: 
A
A
A 

kjiA 54.3 

2.5543 222 A
Mecânica Geral 
Calculando λ através das coordenadas de um vetor 
(normalização de vetores). 
Exemplo Considerando o vetor A, Calcule λA: 25
543 kji
A



kjiA .
10
25
.
10
24
.
10
23


A
A
A 

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Exercícios: 
Determine a intensidade e os 
ângulos diretores 
coordenados da força 
resultante que atua sobre o 
anel, conforme figura. 
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Exercícios: 
Resposta. 
Mecânica Geral 
Exercícios: 
Expresse a força F1 e F2 em 
termos em termos de vetores 
unitários. Calcule os ângulos 
diretores 
Mecânica Geral 
Exercícios: 
Resposta 
lbkjiF ).6,86.4,35.4,35(1 

kjiF .212.184.1062 

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Exercícios: 
Duas forças atuam sobre o 
gancho mostrado na figura, 
especifique os ângulos 
diretores coordenados de F2, 
de modo que a força 
resultante FR atue ao longo 
do eixo y e tenha intensidade 
de 800N 
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Exercícios: 
Resposta: 
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Exercícios: 
Uma barra de aço é 
sustentada em parte pelo 
cabo DBE que passa pelo anel 
B sem atrito. Sabendo-se que 
a tração no cabo é de 385N. 
Determine as componentes 
desta força exercida pelo cabo 
no suporte em D. E pelo Cabo 
em E