A5 AULA

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Cálculo Diferencial Integral a Uma Variável 
Aula 5 
 
 
 
 
Professor Guilherme Lemermeier Rodrigu 
 
CONVERSA INICIAL 
 
Olá, aluno! 
 
Seja bem-vindo(a) à aula 5 de Cálculo Diferencial e Integral! 
 
O assunto de hoje é: Integrais Indefinidas 
 
Vamos começar?! 
 
Bons estudos! 
 
 
 CONTEXTUALIZANDO 
 
Cálculo da integral indefinida 
 
O cálculo da integral indefinida pode ser tratado como o cálculo de uma antiderivada, isto é, 
podemos simplificar dizendo que a Integral é o cálculo inverso ao da Derivada. 
 
Assim, se temos uma função que foi derivada, é 
possível integrá-la, voltá-la a sua forma primitiva. 
 
 
 
 
Vamos ver os detalhes da aula de 
hoje com o professor Guilherme? 
 
http://ava.grupouninter.com.br/videos/video2.php?video=http://vod.grupouninter.com.br/2015/SET/MT170012-A05-P01.mp4 
 
 
 
 
 
 
 
 
ROTA PESQUISE 
 
Tema 1 Aplicação exemplo 
Tema 2 Aplicação exemplos 
Tema 3 Aplicação exemplos 
Tema 4 Equações Diferenciais 
Tema 5 Técnicas Especiais de Integração 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema 1 
Aplicação exemplo 
 
 
 
 
 
 
Calculando a função primitiva de f(x) = x + 2 
 
 
Primeiramente precisamos pensar que uma função primitiva tem como resultado de sua derivação f(x) = 
x + 2. 
Nesse caso, para efeito de ordenação do cálculo, definiremos que a função primitiva será F(x). Portanto, 
F’(x) = f(x), seguindo a definição de Stewart (2014, p. 310) 
 
Seguindo essa ideia, ao calcularmos a primitiva de f(x) = x + 2, estaremos buscando uma função que 
tenha esse f(x) como resultado de sua derivação. 
 
 
 
Nesse contexto é tranquilo de se pensar o caminho de volta da derivação, ou melhor, da antiderivada. 
 
Se f(x) = x + 2, então sua antiderivada será: 
f(x) =
x2
2
+ 2x + C 
Mas o que é esse C? 
Chama-se “constante de integração” e representa um valor que, ao ser derivado, simplesmente terá valor 
zero. Enfim, uma constante, um número. Formalizando 
∫ f(𝑥)𝑑𝑥 = F(𝑥) + C 
 
 
 
Em que F’(x) = f(x) e C, uma constante arbitrária, denota a família de todas as antiderivadas 
de f(x) em um intervalo I. 
Desta forma, 
∫ = 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎çã𝑜 (𝑜𝑢 𝑆 𝑎𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑑𝑜) 
f(x) = integrando 
dx = variável de integração 
C = constante de integração 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = integral indefinida de f(x) 
 
 
 
 
Calculando a função primitiva de f(x) = x + 2 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 + 2 𝑑𝑥 =
𝑥2
2
+ 2𝑥 + 𝐶 
 
Podemos dizer que a “família” de funções cuja derivada é f(x) é composta por todas as funções do tipo 
F(x) =
x2
2
+ 2x + C 
 
Agora clique nos links a seguir! Tem mais exemplos para você conferir. 
http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/integralindefinida.pdf 
http://www.somatematica.com.br/superior/integrais/integrais.php 
 
 
 
 
Calma, o professor Guilherme vai nos ajudar... 
http://ava.grupouninter.com.br/videos/video2.php?video=http://vod.grupouninter.com.br/2015/SET/MT170012-A05-P02.mp4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema 2 
Aplicação exemplos 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 
 
Calculando ∫(2𝑥)𝑑𝑥. 
∫(2𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥² + 𝐶 
F(x) = x² é uma antiderivada de f(x) = 2x porque F’(x) = 𝐷𝑥(x²) = 2x = f(x). 
 
 
Exemplo 3 
 
Calculando ∫(𝑥)𝑑𝑥. 
∫(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑥²
2
+ 𝐶 
 
Regra da Potência para Integração Indefinida 
 
∫(𝑥𝑛)𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝐶 𝑐𝑜𝑚 𝑛 ≠ −1 
 
Quando 𝑛 = −1, esta regra não é válida, e deve-se empregar 
 
∫
1
𝑥
 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥−1𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶 
Exemplo 4 
 
Calcule ∫(𝑥 – 1)²𝑑𝑥. 
∫(𝑥 − 1)²𝑑𝑥 = 
= ∫(𝑥² − 2𝑥 + 1)𝑑𝑥 = 
= 
𝑥³
3
− 2
𝑥2
2
+ 1𝑥 + 𝐶 = 
= 
𝑥³
3
− 𝑥² + 𝑥 + 𝐶 
 
 
 
 
Para facilitar nosso trabalho, podemos utilizar um formulário que relaciona as funções derivadas e suas 
primitivas no processo de integração. 
 
Clique aqui e veja o formulário em anexo: 
 
 
Em seguida, veja aplicação da tabela aqui: 
Com o uso do formulário de integrais, que valores obtemos para: 
a) ∫ 𝑥 + √𝑥 𝑑𝑥 
b) ∫ 3𝑥4 + 2𝑥 + 5 𝑑𝑥 
c) ∫ 5. 𝑒𝑥𝑑𝑥 
d) ∫ 3𝑥√𝑥 𝑑𝑥 
e) ∫ 4 cos(𝑥) + 3𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 
f) ∫
2
𝑥
+
𝑥
2
𝑑𝑥 
g) ∫ 𝑥2. √𝑥 
3
 𝑑𝑥 
h) ∫ 𝑥2 + √𝑥 
3
𝑑𝑥 
Resolução: 
 
a) Para a integral 
 ∫ 𝑥 + √𝑥 𝑑𝑥 
Quando tivermos um processo de soma ou subtração no integrando, podemos separar em integrais menores (veja a primeira 
fórmula) para facilitar, resultando: 
 
∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ √𝑥 𝑑𝑥 
 
Que pode ser reescrito como: 
∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥
1
2 𝑑𝑥 
 
Resultando 
=
𝑥1+1
1 + 1
+
𝑥
1
2+1 
1
2 + 1
+ 𝐶 
=
𝑥2
2
+
𝑥
3
2
3
2
+ 𝐶 
=
𝑥2
2
+
2
3
. 𝑥
3
2 + 𝐶 
=
𝑥2
2
+
2. 𝑥. √𝑥
3
+ 𝐶 
 
b) Para a integral 
∫ 3𝑥4 + 2𝑥 + 5 𝑑𝑥 
 
Podemos usar a primeira fórmula resultando 
= ∫ 3 𝑥4𝑑𝑥 + ∫ 2𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 5 𝑑𝑥 
E com o emprego da terceira fórmula, vem: 
= 3. ∫ 𝑥4𝑑𝑥 + 2. ∫ 𝑥 . 𝑑𝑥 + 5 . ∫ 𝑑𝑥 
Integrando (quarta fórmula) tem-se: 
= 3.
𝑥5
5
+ 2.
𝑥2
2
+ 5. 𝑥 + 𝐶 
Simplificando 
=
3𝑥5
5
+ 𝑥2 + 5𝑥 + 𝐶 
 
c) Para a integral ∫ 5. 𝑒𝑥𝑑𝑥 tem-se 
= 5. ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 5. 𝑒𝑥 + 𝐶 
 
d) Considerando a integral ∫ 3𝑥√𝑥 𝑑𝑥 podemos reescrever como sendo 
= 3. ∫ 𝑥. 𝑥
1
2 𝑑𝑥 = 3 . ∫ 𝑥
3
2 𝑑𝑥 = 3.
𝑥
3
2+1
3
2 + 1 
+ 𝐶 = 3.
𝑥
5
2
5
2
+ 𝐶 = 3.
2
5
 . 𝑥
5
2 + 𝐶 =
6. 𝑥
5
2
5
+ 𝐶 ==
6. 𝑥2√𝑥
5
+ 𝐶 
 
e) Para a integral ∫ 4 cos(𝑥) + 3𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 resulta 
= 4. ∫ cos(𝑥) 𝑑𝑥 + 3. ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = 4. 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 3 cos(𝑥) + 𝐶 
 
f) Considerando a integral ∫
2
𝑥
+
𝑥
2
𝑑𝑥 podemos reescrever como sendo: 
= 2. ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 +
1
2
 . ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 2. ln(𝑥) +
1
2
 .
𝑥2
2
+ 𝐶 = 2 . ln(𝑥) +
𝑥2
4
+ 𝐶 
 
g) Reescrevendo a integral ∫ 𝑥2. √𝑥 
3 𝑑𝑥 obtemos 
= ∫ 𝑥2. 𝑥
1
3 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥
7
3 𝑑𝑥 =
𝑥
7
3+1
7
3 + 1
+ 𝐶 =
𝑥
10
3
10
3
+ 𝐶 =
3
10
. 𝑥
10
3 + 𝐶 =
3. 𝑥3. √𝑥
3
10
+ 𝐶 
 
h) Reescrevendo a integral ∫ 𝑥2 + √𝑥 
3 𝑑𝑥 obtemos 
= ∫ 𝑥2𝑑𝑥 + ∫ 𝑥
1
3 𝑑𝑥 =
𝑥3
3
+
𝑥
1
3+1
1
3 + 1 
+ 𝐶 =
𝑥3
3
+
𝑥
4
3
4
3
+ 𝐶 =
𝑥3
3
+
3
4
. 𝑥
4
3 + 𝐶 ==
𝑥3
3
+
3
4
. 𝑥 √𝑥
3
+ 𝐶 
 
 
 
Como faz mesmo, professor Guilherme? 
 
http://ava.grupouninter.com.br/videos/video2.php?video=http://vod.grupouninter.com.br/2015/SET/MT170012-A05-P03.mp4 
 
 
 
Tema 3 
Aplicação exemplos 
 
Exemplo 5 
 
Calcule ∫ [
(𝑥+1)²
𝑥²
] 𝑑𝑥. 
∫ (
𝑥2 + 2𝑥 + 1
𝑥²
) 𝑑𝑥 = 
= ∫
𝑥2
𝑥2
+
2𝑥
𝑥2
+
1
𝑥2
𝑑𝑥 = 
=∫(1 + 2𝑥−1 + 𝑥−2)𝑑𝑥 = 
= 𝑥 + 2. ln |𝑥| −
1
𝑥
+ 𝐶 
 
Exemplo 6 
 
Calcule ∫ [
𝑡𝑔(𝑥)
sec (𝑥)
] 𝑑𝑥. 
∫ (
1
sec(𝑥)
. 𝑡𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 = 
= ∫ (cos (𝑥).
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos (𝑥)
) 𝑑𝑥 = 
=∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = 
= – cos (𝑥) + 𝐶 
Vamos trabalhar mais um pouco? 
Acesse o material a seguir e pratique: 
Para as integrais a seguir, realize as operações para simplificar e então integre. 
 
a) ∫
(2𝑥2+3)2
𝑥2
𝑑𝑥 
b)∫
(𝑥+1)3
3𝑥3
𝑑𝑥 
c) ∫ √5𝑥3 + √3𝑥4
3
 𝑑𝑥 
d) ∫
√3𝑥
𝑥3
+
𝑥3
√3𝑥
 𝑑𝑥 
e) ∫
2𝑥4+5𝑥√𝑥
𝑥2
 𝑑𝑥 
 
 
Resolução: 
a) Usando produto notável no numerador da integral ∫
(2𝑥2+3)2
𝑥2
𝑑𝑥 vem: 
∫
(2𝑥2 + 3)2
𝑥2
𝑑𝑥 = ∫
4𝑥4 + 12𝑥2 + 9
𝑥2
𝑑𝑥 = ∫
4𝑥4
𝑥2
𝑑𝑥 + ∫
12𝑥2
𝑥2
𝑑𝑥 + ∫
9
𝑥2
𝑑𝑥 = 
= ∫ 4𝑥2𝑑𝑥 + ∫ 12 𝑑𝑥 + ∫ 9𝑥−2 𝑑𝑥 = 4 ∫ 𝑥2𝑑𝑥 + 12 ∫ 𝑑𝑥 + 9 ∫ 𝑥−2 𝑑𝑥 = 
= 4.
𝑥3
3
+ 12 𝑥 +
9𝑥−1
−1
+ 𝐶 =
4𝑥3
3
+ 12𝑥 −
9
𝑥
+ 𝐶 
 
b) Aplicando produto notável no numerador da integral ∫
(𝑥+1)3
3𝑥3
𝑑𝑥 vem: 
∫
(𝑥 + 1)3
3𝑥3
= ∫
𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1
3𝑥3
 𝑑𝑥 = ∫
𝑥3
3𝑥3
𝑑𝑥 + ∫
3𝑥2
3𝑥3
 𝑑𝑥 + ∫
3𝑥
3𝑥3
𝑑𝑥 + ∫
1
3𝑥3
𝑑𝑥 = 
=
1
3
∫ 𝑑𝑥 + ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 + ∫
1
𝑥2
 𝑑𝑥 +
1
3
∫
1
𝑥3
𝑑𝑥 = 
1
3
∫ 𝑑𝑥 + ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 + ∫ 𝑥−2 𝑑𝑥 +
1
3
∫ 𝑥−3𝑑𝑥 = 
=
1
3
. 𝑥 + ln(𝑥) +
𝑥−1
−1
+
1
3
.
𝑥−2
−2
+ 𝐶 =
𝑥
3
+ ln(𝑥) −
1
𝑥
−
1
6𝑥2
+ 𝐶 
 
c) Para a integral ∫ √5𝑥3 + √3𝑥4
3
 𝑑𝑥 separando em duas partes e usando a propriedade relativa a radiciação 
√𝑎. 𝑏
𝑛
= √𝑎
𝑛 . √𝑏
𝑛
 vem: 
∫ √5𝑥3 + √3𝑥4
3
 𝑑𝑥 = ∫ √5𝑥3𝑑𝑥 + ∫ √3𝑥4
3
 𝑑𝑥 = ∫ √5 . √𝑥3𝑑𝑥 + ∫ √3
3
. √𝑥4
3
𝑑𝑥 = 
√5 ∫ 𝑥
3
2 𝑑𝑥 + √3
3
 . ∫ 𝑥
4
3 𝑑𝑥 = √5.
𝑥
5
2
5
2
+ √3
3
 .
𝑥
7
3
7
3
+ 𝐶 =
2√5 𝑥2√𝑥
5
+
3√3 
3
𝑥2 √𝑥
3
7
+ 𝐶 
 
d) ∫
√3𝑥
𝑥3
+
𝑥3
√3𝑥
 𝑑𝑥 = √3. ∫
𝑥
1
2
𝑥3
𝑑𝑥 +
1
√3
∫
𝑥3
𝑥
1
2
𝑑𝑥 = √3. ∫ 𝑥
−
5
2 𝑑𝑥 +
1
√3
∫ 𝑥
5
2 𝑑𝑥 = 
= √3.
𝑥
−
3
2
−
3
2
+
1
√3 
.
𝑥
7
2
7
2
+ 𝐶 =
−2√3
3𝑥√𝑥
+
2𝑥3√𝑥
7√3
+ 𝐶 
 
e) ∫
2𝑥4+5𝑥√𝑥
𝑥2
 𝑑𝑥 = 2 ∫
𝑥4
𝑥2
𝑑𝑥 + 5 ∫
𝑥
3
2
𝑥2
𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥2𝑑𝑥 + 5 ∫ 𝑥
−
1
2𝑑𝑥 = 
=
2𝑥3
3
+
5𝑥
1
2
1
2
+ 𝐶 =
2𝑥3
3
+ 10√𝑥 + 𝐶 
 
 
E, depois, temos outros exemplos aqui: 
http://www.dm.ufscar.br/profs/sampaio/calculo1_aula15.pdf 
 
 
 
 
 
 
Ele está de volta para explicar tudo!! 
É com você, professor... 
 
http://ava.grupouninter.com.br/videos/video2.php?video=http://vod.grupouninter.com.br/2015/SET/MT170012-A05-P04.mp4 
 
 
 
 
 
 
 
Tema 4 
Equações Diferenciais 
 
 
 
 
 
 
 
Resolva a equação diferencial 𝐟′(𝐱) = 𝟔𝐱𝟐 + 𝐱 – 𝟓 sujeita à condição inicial f(0)=2. 
dy
dx
= 6x2 + x – 5 ou dy = (6x2 + x – 5)dx 
∫ 𝑑𝑦 = ∫(6x2 + x – 5)𝑑𝑥 
𝑦 = 6 ∙
𝑥3
3
+
𝑥2
2
− 5𝑥 + 𝐶 
Ou 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 +
𝑥2
2
− 5𝑥 + 𝐶 
Se f(0)=2, então, 
2 . 03 +
02
2
− 5 ∙ 0 + 𝐶 = 2 
C=2 
Portanto, 
𝑓(𝑥) = 2𝑥³ +
𝑥2
2
− 5𝑥 + 2 
Resolver as equações diferenciais com as condições dadas a seguir: 
a) 𝑓´(𝑥) = √3𝑥 + 2 
3
 com 𝑓(2) = 9 
b) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥. √𝑥2 + 5 com 𝑦 = 12 𝑠𝑒 𝑥 = 2 
c) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥3 − 3𝑥 com 𝑓(0) = 5 
d) 𝑓´(𝑥) = 5𝑥2 + 3𝑥 + 2 com 𝑓(0) = 3 
e) 𝑓´(𝑥) = 16 cos(2𝑥) − 3𝑠𝑒𝑛(𝑥) com 𝑓(0) = −2 e 𝑓´(0) = 4 
 
E, para conferir a resolução, acesse aqui: 
Equações diferenciais 
Resolver as equações diferenciais com as condições dadas a seguir: 
f) 𝑓´(𝑥) = √3𝑥 + 2 
3
 com 𝑓(2) = 9 
g) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥. √𝑥2 + 5 com 𝑦 = 12 𝑠𝑒 𝑥 = 2 
h) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥3 − 3𝑥 com 𝑓(0) = 5 
i) 𝑓´(𝑥) = 5𝑥2 + 3𝑥 + 2 com 𝑓(0) = 3 
j) 𝑓´´(𝑥) = 16 cos(2𝑥) − 3𝑠𝑒𝑛(𝑥) com 𝑓(0) = −2 e 𝑓´(0) = 4 
Resolução: 
a) 𝑓(𝑥) = ∫ √3𝑥 + 2
3
𝑑𝑥 = ∫(3𝑥 + 2)
1
3 𝑑𝑥 
𝑢 = 3𝑥 + 2 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 3 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
3
 
= ∫ 𝑢
1
3.
𝑑𝑢
3
=
1
3
. ∫ 𝑢
1
3 𝑑𝑢 =
1
3
 .
𝑢
4
3
4
3
+ 𝐶 =
1
3
.
3
4
. 𝑢
4
3 + 𝐶 =
1
4
. 𝑢
4
3 + 𝐶 =
1
4
. (3𝑥 + 2)
4
3 + 𝐶 
𝑓(𝑥) =
(3𝑥 + 2)
4
3
4
+ 𝐶 
Usando a condição 𝑓(2) = 9 ou seja quando 𝑥 = 2 → 𝑓(𝑥) = 9 na equação acima, vem: 
9 =
(3.2 + 2)
4
3
4
+ 𝐶 
9 . 4 = (8)
4
3 + 4. 𝐶 
36 = 8√8
3
+ 4. 𝐶 
36 − 8 . 2 = 4. 𝐶 
𝐶 = 5 
Então 𝑓(𝑥) =
(3𝑥+2)
4
3
4
+ 5 
 
b) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥. √𝑥2 + 5 com 𝑦 = 12 𝑠𝑒 𝑥 = 2 
𝑑𝑦 = 𝑥. √𝑥2 + 5 𝑑𝑥 integrando ambos os lados da igualdade vem: 
∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥. √𝑥2 + 5 𝑑𝑥 
𝑦 = ∫ √𝑥2 + 5 . 𝑥 𝑑𝑥 (1) 
Usando a variável auxiliar u, vem: 𝑢 = 𝑥2 + 5 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2𝑥 
𝑑𝑢
2
= 𝑥 𝑑𝑥 
 
Substituindo na equação (1), resulta: 
 𝑦 = ∫ 𝑢
1
2.
𝑑𝑢
2
=
1
2
. ∫ 𝑢
1
2 𝑑𝑢 =
1
2
.
𝑢
3
2
3
2
+ 𝐶 =
1
2
.
2
3
. 𝑢
3
2 + 𝐶 =
1
3
. 𝑢
3
2 + 𝐶 
Voltando a variável x, tem-se: 
𝑦 =
1
3
. (𝑥2 + 5)
3
2 + 𝐶 (2) 
Usando a condição 𝑦 = 12 𝑠𝑒 𝑥 = 2, resulta: 
12 =
1
3
. (22 + 5)
3
2 + 𝐶 
12 . 3 = 9
3
2 + 3 . 𝐶 
36 = 9√9 + 3 . 𝐶 
36 − 9 . 3 = 3. 𝐶 
9 = 3 . 𝐶 
𝐶 = 3 
Levando o valor da constante a equação (2) tem-se: 
𝑦 =
1
3
. (𝑥2 + 5)
3
2 + 3 
 
 
 
c) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥3 − 3𝑥 com 𝑓(0) = 5 
𝑑𝑦 = (𝑥3 − 3𝑥)𝑑𝑥 
Integrando ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥3 − 3𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥3𝑑𝑥 − 3 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 
𝑦 =
𝑥4
4
−
3𝑥2
2
+ 𝐶 (1) 
Usando a condição 𝑓(0) = 5 na equação (1), resulta: 
5 =
04
4
−
3 . 02
2
+ 𝐶 
Então 𝐶 = 5 e 𝑦 =
𝑥4
4
−
3𝑥2
2
+ 5 
 
 
 
 
d) 𝑓´(𝑥) = 5𝑥2 + 3𝑥 + 2 com 𝑓(0) = 3 
Integrando vem : 
∫ 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥 = ∫(5𝑥2 + 3𝑥 + 2)𝑑𝑥 
𝑓(𝑥) =
5𝑥3
3
+
3𝑥2
2
+ 2𝑥 + 𝐶 
E usando a condição: 𝑓(0) = 3 tem-se: 
3 =
5 .03
3
+
3 .02
2
+ 2 . 0 + 𝐶 resultando 𝐶 = 3 
 A solução é: 𝑓(𝑥) =
5𝑥3
3
+
3𝑥2
2
+ 2𝑥 + 3 
 
e) 𝑓´´(𝑥) = 16 cos(2𝑥) − 3𝑠𝑒𝑛(𝑥) com 𝑓(0) = −2 e 𝑓´(0) = 4 
Neste caso, surge uma segunda derivada, indicando que é necessário empregar o procedimento duas vezes. 
∫ 𝑓´´(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫(16 cos(2𝑥) − 3𝑠𝑒𝑛(𝑥))𝑑𝑥 
∫ 𝑓´´(𝑥) 𝑑𝑥 =
16
2
∫ cos(2𝑥) . 2 𝑑𝑥 − 3 ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 
𝑓´(𝑥) = 8 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 3 cos(𝑥) + 𝐶1 
Usando a condição 𝑓´(0) = 4 vem: 4 = 8 𝑠𝑒𝑛(2.0) + 3 cos(0) + 𝐶1 
Ou 4 = 8 . 0 + 3 . 1 + 𝐶1 resultando 𝐶1 = 1 
Resultando para a primeira derivada 𝑓´(𝑥) = 8 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 3 cos(𝑥) + 1 
Integrando pela segunda vez tem-se: 
∫ 𝑓´(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫(8 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 3 cos(𝑥) + 1)𝑑𝑥 
∫ 𝑓´(𝑥) 𝑑𝑥 =
8
2
∫ 𝑠𝑒𝑛(2𝑥). 2𝑑𝑥 + 3 ∫ cos(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 1 𝑑𝑥 
𝑓(𝑥) = −4. cos(2𝑥) + 3 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥 + 𝐶2 
Usando a condição 𝑓(0) = −2 resulta: 
−2 = −4. cos(2 . 0) + 3 𝑠𝑒𝑛(0) + 0 + 𝐶2 
−2 = −4 . 1 + 3 . 0 + 0 + 𝐶2 ou 𝐶2 = 2 
A solução da equação diferencial com as condições dadas é: 
𝑓(𝑥) = −4. cos(2𝑥) + 3 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥 + 2 
 
 
Agora veja mais detalhes aqui: http://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/eq.php 
 
 
 
Confira com o professor Guilherme 
mais detalhes sobre as Equações Diferenciais 
 
http://ava.grupouninter.com.br/videos/video2.php?video=http://vod.grupouninter.com.br/2015/SET/MT170012-A05-P05.mp4 
 
Tema 5 
Técnicas Especiais de Integração 
 
 
 
 
 
 
 
As regras especiais de integração são utilizadas em situaçõesonde o integrando não é uma expressão 
simples, ou seja, quando não é possível utilizar a tabela de integrais de forma direta, necessitando usar 
procedimentos especiais inicialmente e posterior emprego do formulário básico. 
 
Se F é uma antiderivada de f, então: 
 
∫ 𝑓[𝑔(𝑥)]𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹[𝑔(𝑥)] + 𝐶 
 
Se 𝒖 = 𝒈(𝒙) e 𝒅𝒖 = 𝒈´(𝒙)𝒅𝒙, então: 
 
∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝐶 
 
Exemplo 7 
Calcule ∫(√𝟐𝐱 + 𝟓)𝐝𝐱. 
Fazendo a substituição: 
u = 2x + 5 
du
dx
= 2, du = 2dx. 
 
Dessa forma, 
𝟏
𝟐
∫(√𝟐𝐱 + 𝟓)𝟐𝐝𝐱, integrando... 
1
2
∫(√u)du =
1
2
∫ (u
1
2) du = 
=
1
2
∙
(u)
1
2+1
1
2
+1
+ C = 
=
1
2
∙
(u)
3
2
3
2
+ C = 
= 
1
2
∙
2
3
√u³ + C = 
=
1
3
√(2x + 5)³ + C 
Exemplo 8 
 
Calcule ∫ [
𝐱²−𝟏
(𝐱𝟑−𝟑𝐱 +𝟏)
𝟔] 𝐝𝐱 
∫
1
(x³−3x+1)6
∙ (x2 − 1)dx 
u = x³ − 3x + 1 
du = (3x2 − 3)dx 
du = 3(x2 − 1)dx → 
1
3
du = (x2 − 1)dx. 
 
 
 
Temos que: 
∫
1
u6
∙
1
3
du =
1
3
∫
1
u6
du 
 
1
3
∫ (
1
𝑢6
) 𝑑𝑢 =
1
3
∫(𝑢)−6 𝑑𝑢 
=
1
3
.
𝑢−5
−5
+ 𝐶 = 
= −
1
15
. 𝑢−5 + 𝐶 = 
= −
1
15
(𝑥3 − 3𝑥 + 1)−5 + 𝐶 
 
 
Exemplo 9 
 
Calcule ∫ 𝐱³𝐜𝐨𝐬(𝒙𝟒 − 𝟏)𝐝𝐱. 
∫ cos(𝑥4 − 1)x3dx 
u = 𝑥4 − 1 → du = 4𝑥³dx 
Temos que 
1
4
∫ cos(𝑥4 − 1)4x³dx = 
=
1
4
∫ cos(𝑢)d𝑢 = 
=
1
4
𝑠𝑒𝑛(𝑢) + 𝐶 = 
1
4
 𝑠𝑒𝑛(𝑥4 − 1) + 𝐶 
 
 
Mais algumas atividades para você! 
Acesse o material a seguir e veja outros exemplos: 
Use mudança de variável ou método da substituição para calcular as integrais a seguir. 
 
a) ∫ √5𝑥 + 3 𝑑𝑥 
Resolução: 𝑢 = 5𝑥 + 3 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 5 ou 
𝑑𝑢
5
= 𝑑𝑥 
Fazendo a mudança de variável: 
∫ √5𝑥 + 3 𝑑𝑥 = ∫ √𝑢 .
𝑑𝑢
5
=
1
5
∫ 𝑢
1
2 𝑑𝑢 =
1
5
𝑢
3
2
3
2
+ 𝐶 =
1
5
.
2
3
. 𝑢
3
2 + 𝐶 =
2
15
. 𝑢
3
2 + 𝐶 
Voltando a variável x, obtém-se 
=
2
15
 . (5𝑥 + 3)
3
2 + 𝐶 =
2
15
. √(5𝑥 + 3)3 + 𝐶 
 
b) ∫ 𝑠𝑒𝑛(4𝑥 + 1) 𝑑𝑥 
 
Resolução: 𝑢 = 4𝑥 + 1 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 4 ou 
𝑑𝑢
4
= 𝑑𝑥 
Fazendo a mudança de variável: 
∫ 𝑠𝑒𝑛(4𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑢).
𝑑𝑢
4
=
1
4
 ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑢) 𝑑𝑢 = −
1
4
cos(𝑢) + 𝐶 
 
Voltando a variável x, obtém-se: 
= −
1
4
cos(4𝑥 + 1) + 𝐶 
 
 
c) ∫ 𝑒5−3𝑥 𝑑𝑥 
 
Resolução: 𝑢 = 5 − 3𝑥 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −3 ou 
𝑑𝑢
−3
= 𝑑𝑥 
Fazendo a mudança de variável: 
∫ 𝑒5−3𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑒𝑢.
𝑑𝑢
−3
=
1
−3
. ∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢 = −
1
3
. 𝑒𝑢 + 𝐶 
 
Voltando a variável x, obtém-se 
= −
1
3
. 𝑒5−3𝑥 + 𝐶 
 
d) ∫(3𝑥2 + 5)4. 𝑥 𝑑𝑥 
 
Resolução: 𝑢 = 3𝑥2 + 5 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 6𝑥 ou 
𝑑𝑢
6
= 𝑥 𝑑𝑥 
Fazendo a mudança de variável: 
∫(3𝑥2 + 5)4 . 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢4.
𝑑𝑢
6
=
1
6
∫ 𝑢4. 𝑑𝑢 =
1
6
.
𝑢5
5
+ 𝐶 =
𝑢5
30
+ 𝐶 
 
Voltando a variável x, obtém-se 
=
(3𝑥2 + 5)5
30
+ 𝐶 
 
e) ∫ 𝑥. √4 − 𝑥2𝑑𝑥 = ∫ √4 − 𝑥2. 𝑥 𝑑𝑥 
 
Resolução: 𝑢 = 4 − 𝑥2 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −2𝑥 ou 
𝑑𝑢
−2
= 𝑥 𝑑𝑥 
Fazendo a mudança de variável: 
∫ √4 − 𝑥2. 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ √𝑢 .
𝑑𝑢
−2
=
1
−2
∫ √𝑢. 𝑑𝑢 = −
1
2
 . ∫ 𝑢
1
2 𝑑𝑢 = −
1
2
.
𝑢
3
2
3
2
+ 𝐶 = −
1
2
.
2
3
. 𝑢
3
2 + 𝐶 = −
1
3
. 𝑢
3
2 + 𝐶 
Voltando a variável x, obtém-se 
= −
(4 − 𝑥2)
3
2
3
+ 𝐶 = −
√(4 − 𝑥2)3
3
+ 𝐶 
f) ∫
1−𝑥2
𝑥3−3𝑥+5
 𝑑𝑥 
 
Resolução: 𝑢 = 𝑥3 − 3𝑥 + 5 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 3𝑥2 − 3 = 3(𝑥2 − 1) = −3(1 − 𝑥2) 
 ou 
𝑑𝑢
−3
= (1 − 𝑥2)𝑑𝑥 
 
Fazendo a mudança de variável: 
∫
1 − 𝑥2
𝑥3 − 3𝑥 + 5
 𝑑𝑥 = ∫
1
𝑢
.
𝑑𝑢
−3
= −
1
3
∫
1
𝑢
. 𝑑𝑢 = −
1
3
ln|𝑢| + 𝐶 = 𝑙𝑛|𝑢|−
1
3 + 𝐶 = ln |
1
√𝑢
3 | + 𝐶 
 
Voltando a variável x, obtém-se: 
= ln |
1
√𝑥3 − 3𝑥 + 5
3 | + 𝐶 
g) ∫
𝑠𝑒𝑛(√𝑥)
−3√𝑥
𝑑𝑥 = −
1
3
 ∫
𝑠𝑒𝑛(√𝑥)
√𝑥
 𝑑𝑥 
 
Resolução: 𝑢 = √𝑥 = 𝑥
1
2 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
2
. 𝑥−
1
2 =
1
2√𝑥
 ou 2. 𝑑𝑢 =
𝑑𝑥
√𝑥
 
Fazendo a mudança de variável: 
= −
1
3
∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑢). 2 𝑑𝑢 = −
2
3
∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑢) 𝑑𝑢 =
2
3
 . cos(𝑢) + 𝐶 
Voltando a variável x, obtém-se: 
=
2
3
cos(√𝑥) + 𝐶 
 
 
h) ∫ 𝑠𝑒𝑛4(2𝑥 − 1). cos(2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = ∫(𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 1))
4
. cos(2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 
 
Resolução: 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 1) 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= cos(2𝑥 − 1). 2 ou 
𝑑𝑢
2
= cos(2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 
Fazendo a mudança de variável: 
= ∫ 𝑢4 .
𝑑𝑢
2
=
1
2
 ∫ 𝑢4. 𝑑𝑢 =
1
2
.
𝑢5
5
+ 𝐶 =
𝑢5
10
+ 𝐶 
Voltando a variável x, obtém-se: 
=
(𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 1))
5
10
+ 𝐶 
i) ∫ 4 . cos (
𝑥
2
) 𝑑𝑥 = 4 . ∫ cos (
𝑥
2
) 𝑑𝑥 
 
Resolução: 𝑢 =
𝑥
2
=
1
2
. 𝑥 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
2
 ou 2 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
Fazendo a mudança de variável: 
= 4 . ∫ cos(𝑢) . 2 𝑑𝑢 = 4 . 2 ∫ cos(𝑢)𝑑𝑢 = 8 ∫ cos(𝑢) 𝑑𝑢 = 8 𝑠𝑒𝑛(𝑢) + 𝐶 
Voltando a variável x, obtém-se: 
= 8 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
2
) + 𝐶 
 
j) ∫
3
√4−5𝑥
𝑑𝑥 = 3 . ∫(4 − 5𝑥)
−
1
2 𝑑𝑥 
 
Resolução: 𝑢 = 4 − 5𝑥 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −5 ou 
𝑑𝑢
−5
= 𝑑𝑥 
Fazendo a mudança de variável: 
= 3 . ∫ 𝑢−
1
2 .
𝑑𝑢
−5
=
3
−5
 . ∫ 𝑢−
1
2 𝑑𝑢 = −
3
5
 .
𝑢
1
2
1
2
+ 𝐶 = −
3
5
.
2
1
. 𝑢
1
2 + 𝐶 = −
6
5
 . 𝑢
1
2 + 𝐶 
Voltando a variável x, obtém-se 
= −
6
5
 (4 − 5𝑥)
1
2 + 𝐶 = −
6√4 − 5𝑥
5
+ 𝐶 
k) ∫
2𝑥2
√4+3𝑥3
3 𝑑𝑥 = 2 ∫(4 + 3𝑥
3)−
1
3 . 𝑥2𝑑𝑥 
 
Resolução: 𝑢 = 4 + 3𝑥3 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 9𝑥2 ou 
𝑑𝑢
9
= 𝑥2𝑑𝑥 
Fazendo a mudança de variável: 
= 2 ∫ 𝑢−
1
3 .
𝑑𝑢
9
=
2
9
 . ∫ 𝑢−
1
3 𝑑𝑢 =
2
9
 .
𝑢
2
3
2
3
+ 𝐶 =
2
9
.
3
2
. 𝑢
2
3 + 𝐶 =
1
3
𝑢
2
3 + 𝐶 
Voltando a variável x, obtém-se: 
=
1
3
 . (4 + 3𝑥3)
2
3 + 𝐶 =
√(4 + 3𝑥3)2
3
3
+ 𝐶 
 
 
 
 
 
 
 
Complemente os seus estudos com mais esses exemplos: 
http://wp.ufpel.edu.br/nucleomatceng/files/2012/07/M%C3%A9todo-da-substitui%C3%A7%C3%A3o.pdf 
Agora é a vez do professor Guilherme resolver: 
 
 
http://ava.grupouninter.com.br/videos/video2.php?video=http://vod.grupouninter.com.br/2015/SET/MT170012-A05-P06.mp4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integração por partes 
 
Utilizada quando no integrando ocorrer um produto de duas funções de naturezas distintas, ou seja, onde 
uma delas pode ser denotada por “u” e a outra não é possível de ser ajustada ao “du”. A resolução é pelo 
emprego da forma: 
∫ 𝑢 . 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣 . 𝑑𝑢 
 
O resultado não é uma expressão pronta, mas é obtido pela substituição de uma integração 
complexa por um produto de funções subtraindo uma outra integral mais simples. 
 
 
Exemplo 1 
 
∫ 𝑥 . 𝑒𝑥𝑑𝑥 =? 
𝑢 = 𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 
 
Derivando: 
 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 1 
 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
Integrando: 
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 
𝑣 = 𝑒𝑥 
 
Substituindo na fórmula: 
∫ 𝒖 . 𝒅𝒗 = 𝒖. 𝒗 − ∫ 𝒗 . 𝒅𝒖 
Vem: 
∫ 𝒙 . 𝒆𝒙𝒅𝒙 = 𝒙 . 𝒆𝒙 − ∫ 𝒆𝒙𝒅𝒙 
E realizando a última integral, resulta: 
∫ 𝒙 . 𝒆𝒙𝒅𝒙= 𝒙 . 𝒆𝒙 − 𝒆𝒙 + 𝑪 = 𝒆𝒙(𝒙 − 𝟏) + 𝑪 
 
 
Exemplo 2 
∫ 𝑥2. 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥 =? 
𝑢 = 𝑥2 
Derivando: 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2𝑥 
𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 
 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥 
 Integrando: 
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥 =
1
3
∫ 𝑠𝑒𝑛(3𝑥). 3𝑑𝑥 
𝑣 = −
1
3
. cos (3𝑥) 
 
 
 
 
 
Substituindo na fórmula: 
∫ 𝑢 . 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣 . 𝑑𝑢 
Vem: 
∫ 𝑥2. 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥2. (−
1
3
. cos(3𝑥)) − ∫ (−
1
3
. cos(3𝑥)) . 2𝑥 𝑑𝑥 = 
= −
𝑥2. cos(3𝑥)
3
+
2
3
. ∫ 𝑥 . cos(3𝑥) 𝑑𝑥 
 
 
Repetindo o processo para a última integral, vem: 
 
𝑢 = 𝑥 
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = cos(3𝑥) 𝑑𝑥 
𝑣 = ∫ 𝑑𝑣 = ∫ cos(3𝑥) 𝑑𝑥 =
1
3
∫ cos(3𝑥) . 3𝑑𝑥 =
1
3
𝑠𝑒𝑛(3𝑥) 
 
 
 
 
Substituindo no resultado, tem-se: 
 
= −
𝑥2. cos(3𝑥)
3
+
2
3
. [𝑥.
1
3
𝑠𝑒𝑛(3𝑥) − ∫
1
3
𝑠𝑒𝑛(3𝑥). 𝑑𝑥] = 
= −
𝑥2.cos(3𝑥)
3
+
2
9
. 𝑥. 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) −
2
9
∫ 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥 = 
= −
𝑥2.cos(3𝑥)
3
+
2
9
. 𝑥. 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) −
2
9.3
∫ 𝑠𝑒𝑛(3𝑥). 3𝑑𝑥 = 
= −
𝑥2.cos(3𝑥)
3
+
2
9
. 𝑥. 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) +
2
27
cos(3𝑥) + 𝐶 
 
 
 
Exemplo 3 
∫ ln(𝑥) 𝑑𝑥 =? 
 
𝑢 = ln(𝑥) 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
𝑥
 
𝑑𝑢 =
1
𝑥
. 𝑑𝑥 
 
𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 
𝑣 = ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 
Resultando: 
∫ 𝐥𝐧(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝐥𝐧(𝒙) . 𝒙 − ∫ 𝒙.
𝟏
𝒙
. 𝒅𝒙 = 𝐥𝐧(𝒙) . 𝒙 − ∫ 𝒅𝒙 = 𝐥𝐧(𝒙) . 𝒙 − 𝒙 + 𝑪 = 
= 𝒙. (𝐥𝐧(𝒙) − 𝟏) + 𝑪 
 
 
Agora calcule as integrais pelo processo de integração por partes: 
a) ∫ 𝑥. 𝑒4𝑥𝑑𝑥 
b) ∫(2𝑥 + 3). cos (
𝑥
4
)𝑑𝑥 
c) ∫ 𝑒2𝑥 . 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥 
Veja a resolução aqui: Resolução: 
a) ∫ 𝑥. 𝑒4𝑥𝑑𝑥 = 
𝑢 = 𝑥 
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
 
𝑑𝑣 = 𝑒4𝑥𝑑𝑥 
𝑣 = ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒4𝑥𝑑𝑥 =
1
4
∫ 𝑒4𝑥. 4𝑑𝑥 =
1
4
𝑒4𝑥 
Substituindo na fórmula ∫ 𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 vem: 
∫ 𝑥. 𝑒4𝑥𝑑𝑥 = 𝑥.
1
4
𝑒4𝑥 − ∫
1
4
𝑒4𝑥 . 𝑑𝑥 =
𝑥. 𝑒4𝑥
4
−
1
4
∫ 𝑒4𝑥𝑑𝑥 = 
=
𝑥. 𝑒4𝑥
4
−
1
4.4
∫ 𝑒4𝑥. 4𝑑𝑥 =
𝑥. 𝑒4𝑥
4
−
1
16
. 𝑒4𝑥 + 𝐶 =
𝑒4𝑥
4
. (𝑥 −
1
4
) + 𝐶 
b) ∫(2𝑥 + 3). cos (
𝑥
4
)𝑑𝑥 
𝑢 = 2𝑥 + 3 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2 
𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = cos (
𝑥
4
) 𝑑𝑥 = cos (
1
4
. 𝑥) 𝑑𝑥 
𝑣 = ∫ 𝑑𝑣 = ∫ cos (
1
4
. 𝑥) 𝑑𝑥 = 4. ∫ cos (
1
4
. 𝑥) .
1
4
𝑑𝑥 = 4. (𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
4
)) = 4𝑠𝑒𝑛(
𝑥
4
) 
Substituindo na fórmula ∫ 𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 vem: 
∫(2𝑥 + 3). cos (
𝑥
4
)𝑑𝑥 = (2𝑥 + 3). (4𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
4
)) − ∫(4𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
4
) . 2 𝑑𝑥 = 
4(2𝑥 + 3). 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
4
) − 8 ∫ 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
4
) . 𝑑𝑥 = 
4(2𝑥 + 3). 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
4
) − 8 . 4 ∫ 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
4
) .
1
4
𝑑𝑥 = 
4(2𝑥 + 3). 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
4
) + 32. cos (
𝑥
4
) + 𝐶 
 
 
 
c) ∫ 𝑒2𝑥. 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑒2𝑥 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑒2𝑥. 2 
𝑑𝑢 = 𝑒2𝑥. 2 𝑑𝑥 
 
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥 
𝑣 = ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥 =
1
3
. ∫ 𝑠𝑒𝑛(3𝑥). 3𝑑𝑥 = −
cos(3𝑥)
3
 
Substituindo na fórmula ∫ 𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 vem: 
∫ 𝑒2𝑥. 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒2𝑥.
− cos(3𝑥)
3
− ∫ (−
cos(3𝑥)
3
) . 𝑒2𝑥. 2 𝑑𝑥 = 
= −
𝑒2𝑥.cos(3𝑥)
3
+
2
3
∫ 𝑒2𝑥. cos(3𝑥) 𝑑𝑥 = (1) 
Substituindo na fórmula ∫ 𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 para a última integral vem: 
𝑢 = 𝑒2𝑥 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑒2𝑥. 2 
𝑑𝑢 = 2. 𝑒2𝑥𝑑𝑥 
 
𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠(3𝑥)𝑑𝑥 
𝑣 = ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑐𝑜𝑠(3𝑥)𝑑𝑥 =
1
3
∫ 𝑐𝑜𝑠(3𝑥). 3𝑑𝑥 =
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
3
 
Levando estes resultados na expressão (1), tem-se: 
∫ 𝑒2𝑥. 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥 = −
𝑒2𝑥. cos(3𝑥)
3
+
2
3
[𝑒2𝑥.
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
3
− ∫
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
3
. 𝑒2𝑥. 2 𝑑𝑥] = 
∫ 𝑒2𝑥. 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥 = −
𝑒2𝑥. cos(3𝑥)
3
+
2
3
. 𝑒2𝑥.
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
3
−
4
9
∫ 𝑒2𝑥. 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥 
Agrupando as integrais no lado esquerdo, vem: 
∫ 𝑒2𝑥. 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥 +
4
9
∫ 𝑒2𝑥. 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥 = −
𝑒2𝑥. cos(3𝑥)
3
+
2
3
. 𝑒2𝑥.
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
3
 
Ou 
(1 +
4
9
) ∫ 𝑒2𝑥. 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥 = −
𝑒2𝑥. cos(3𝑥)
3
+
2
9
𝑒2𝑥. 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) 
9 + 4
9
 . ∫ 𝑒2𝑥. 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥 =
𝑒2𝑥
3
. [
2
3
𝑠𝑒𝑛(3𝑥) − cos (3𝑥)] 
Ou ainda 
13
9
 . ∫ 𝑒2𝑥. 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥 =
𝑒2𝑥
3
. [
2
3
𝑠𝑒𝑛(3𝑥) − cos (3𝑥)] 
 
Finalmente 
 ∫ 𝑒2𝑥. 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥 =
3. 𝑒2𝑥
13
. [
2
3
𝑠𝑒𝑛(3𝑥) − cos (3𝑥)] + 𝐶 
 
Referências 
 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo – 7ª.ed.: Cengage Learning, 2010. 
Silva, Cláudio Xavier da. Matemática aula por aula, Vol.3. São Paulo: FTD, 2009. 
 
Bibliografia Básica 
 
DEMANA, F. D.; WAITS, B.W.; FOLEY, G. D.; KENNEDY, D.; Pré-Cálculo. São Paulo - 2ª.ed.: Pearson, 
2013. 
 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 6. ed.; rev. 
e ampl. São Paulo: Pearson, 2007. 
CASTANHERIA, N. P.; Matemática Aplicada. Curitiba - 3ª ed.: Ibpex, 2010. 
Bibliografia Complementar 
THOMAS, G. B.; Cálculo. São Paulo - 10ª ed.: Pearson, 2006. 
SWOKOWSKI, E. W.; Cálculo com geometria analítica. São Paulo - 2ª ed. vol. 1: Makron Books, 1994. 
LEITHOLD, L.; Cálculo com geometria analítica. São Paulo - 3ª. ed. vol. 1: Editora Harbra, 1994. 
FLEMING, D. M.; GONÇALVES, M. B.; Cálculo A: Função de uma variável. São Paulo - 2ª ed.: Pearson, 
2007. 
BOULOS, P.; Cálculo diferencial e integral. São Paulo - vol. 1: Makron Books, 1999.