LIVRO DE ESTATÍSTICA

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ESTATÍSTICA 
Concursos Públicos 
 
Base de estudo de estatística aplicada a concursos públicos. BACEN. AFRFB, 
AFT, AUDITORIA MUNICIPAL E ESTADUAL. 
 
2013 
Augusto Moura 
4/6/2013 
 
 
Sumário 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA .................................................................................................................................3 
Diagrama de ramos e folhas: ............................................................................................................................3 
Tabela de freqüência .........................................................................................................................................3 
Variável aleatória ...............................................................................................................................................5 
Medidas de tendência central - médias ............................................................................................................6 
Propriedades da média aritmética: ...................................................................................................................9 
Método de cálculo da média aritmética por mudança de variável: ................................................................ 10 
Medidas de tendência central - moda e mediana. ......................................................................................... 14 
Separatrizes ................................................................................................................................................... 21 
Medidas de dispersão (Medidas de Variação): .............................................................................................. 27 
Propriedades do desvio padrão, desvio médio absoluto e variância. ........................................................... 27 
Cálculo da variância, desvio padrão e desvio médio por mudança de variável: ........................................... 29 
Coeficiente de variação ou dispersão relativa ............................................................................................... 34 
Esperança matemática - expectância. ........................................................................................................... 37 
Momentos ...................................................................................................................................................... 39 
TEOREMA DE BAYES ...................................................................................................................................... 48 
FUNÇÕES DE DISTRIBUIÇÃO E DENSIDADE DE PROBABILIDADES ........................................................ 52 
Funções de distribuição e densidade de probabilidades para variável discreta ........................................... 52 
Funções de distribuição e densidade de probabilidades para variável contínua .......................................... 54 
DISTRIBUIÇÕES DESCONTÍNUAS DE PROBABILIDADE. ............................................................................ 56 
Distribuição binomial ...................................................................................................................................... 56 
Distribuição de Poisson.................................................................................................................................. 58 
Distribuição hipergeométrica ......................................................................................................................... 60 
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE. ................................................................................... 60 
Distribuição Uniforme ..................................................................................................................................... 60 
Distribuição Normal ........................................................................................................................................ 61 
Distribuição T de Student ............................................................................................................................... 66 
Intervalo de confiança .................................................................................................................................... 67 
TESTE DE HIPÓTESE ...................................................................................................................................... 77 
Distribuição F - Análise de variância .............................................................................................................. 82 
Distribuição qui-quadrado .............................................................................................................................. 92 
AMOSTRAGEM ............................................................................................................................................... 105 
ESPECTÂNCIA - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS ................................................................... 108 
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES .................................................................................................................... 117 
NÚMEROS ÍNDICES (RELATIVOS) ............................................................................................................... 123 
SERIES TEMPORAIS ..................................................................................................................................... 130 
 
Augusto Moura 2013 
3 ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
A estatística descritiva é um ramo da estatística que 
aplica várias técnicas para organizar um conjunto de 
dados na forma de tabelas e gráficos. 
Diagrama de ramos e folhas: 
Exemplo 1 
Dados brutos do atributo X 
82 90 90 93 99 100 100 
101 101 102 102 102 103 104 
104 105 107 107 107 107 107 
110 111 113 115 115 116 117 
119 120 120 121 121 124 125 
125 125 127 130 130 134 135 
135 135 136 140 143 145 158 
 
Representação do diagrama de ramos e folhas abaixo 
correspondeàs observações (82,...,158) do atributo X. 
RAMO FOLHA 
8 2 
8 
9 003 
9 9 
10 0011222344 
10 577777 
11 013 
11 55679 
12 00114 
12 5557 
13 004 
13 5556 
14 03 
14 5 
15 
15 8 
 
Exemplo 2 
Dados brutos do atributo X 
8,4 8,5 8,5 8,5 8,7 8,8 8,9 9,0 
9,0 9,0 9,1 9,1 9,3 9,8 9,9 9,9 
10,1 10,1 10,2 10,4 10,4 10,4 10,8 10,8 
11,5 11,5 11,6 11,8 12,4 12,9 13,1 13,5 
13,6 13,9 14,2 15,2 15,3 15,3 15,6 15,6 
 
Representação do diagrama de ramos e folhas abaixo 
correspondeàs observações (8,4.........15,6) do atributo 
X. 
RAMO FOLHA 
8 4555789 
9 000113899 
10 11244488 
11 5568 
12 49 
13 1569 
14 2 
15 23366 
 
Tabela de freqüência 
 
Notação: 
DADOS BRUTOS– São aqueles que não se encontram 
prontos para análise, por não estarem numericamente-
organizados. 
Ex.: 3, 1, 2, 5, 8, 1, 2, 3, 18, 3, 4, 9, 9 
ROL– É uma lista em que os valores estão dispostos 
em ordem crescente ou decrescente de grandeza 
Ex.: 2, 4, 4, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10 
FREQÜÊNCIA (𝑓 )– É o número de observações ou 
repetições de um determinado valor, ou seja, é o núme-
ro de casos observados. 
TABULAÇÃO– É a condensação de todos os resultados 
em uma tabela, estabelecendo a correspondência entre 
o valor individual e o respectivo número de vezes que 
ele foi observado 
AMPLITUDE TOTAL (𝐴𝑡)– É a diferença entre o maior e 
o menor valor observado da variável em estudo. 
CLASSE DE FREQÜÊNCIA (K)– É cada um dos grupos 
de valores em que se subdivide a amplitude do conjunto 
de valores observados 
LIMITE SUPERIOR( 𝑠) E LIMITE INFERIOR( )– São 
os valores extremos da classe 
LIMITE REAL DE CLASSE– É a médiaaritmética entre 
o limite superior de uma classe e o limite inferiorda 
classe seguinte 
AMPLITUDE DO INTERVALO OU COMPRIMENTO DE 
CLASSE (c)- É a diferença entre os limites superior e 
inferior de uma classe 
 
Augusto Moura 2013 
4 ESTATÍSTICA 
𝑐 𝑠 
PONTO MÉDIO DA CLASSE (Xj)– É a média aritmética 
simples dos limites superior e inferior de uma classe 
FREQÜÊNCIA: 
SIMPLES ABSOLUTA (𝑓 )– É o número de repetições 
ou observações de um valor individual ou de uma clas-
se de valores da variável, ou seja, é o número de casos 
observados 
 ∑(𝑓 )é a soma das freqüências simples absolutas e 
é igual ao número total de casos observados 
ACUMULADA ABSOLUTA(𝐹 )Pode ser: ―Abaixo de‖ ou 
crescente e ―Acima de‖ ou decrescente. A freqüência 
acumulada absoluta ―abaixo de‖ uma classe ou de um 
valor individual é a soma da freqüência simples absoluta 
dessa classe ou deste valor com as freqüências simples 
absolutas das classes ou dos valores ―anteriores‖. 
SIMPLES RELATIVA (𝑓𝑟 )– É o número de repetições 
ou observações de um valor individual ou de uma clas-
se de valores da variável expresso na forma percentual. 
𝑓𝑟 
𝑓 
∑𝑓 
 
ACUMULADA RELATIVA (𝐹𝑟 )Pode ser: ―Abaixo de‖ ou 
crescente e ―Acima de‖ ou decrescente. A freqüência 
acumulada relativa ―abaixo de‖ uma classe ou de um 
valor individual é a soma da freqüência simples absoluta 
dessa classe ou deste valor com as freqüências simples 
absolutas das classes ou dos valores ―anteriores‖. 
Dados brutos do atributo X 
82 90 90 93 99 100 100 
101 101 102 102 102 103 104 
104 105 107 107 107 107 107 
110 111 113 115 115 116 117 
119 120 120 121 121 124 125 
125 125 127 130 130 134 135 
135 135 136 140 143 145 158 
Tabela de freqüência por classes: 
Classes 𝑓 𝑓𝑟 𝐹 
 85 1 0,020 1 0,020 
 95 4 0,082 5 0,102 
 105 16 0,327 21 0,429 
 110 8 0,163 29 0,592 
 125 9 0,184 38 0,776 
 135 7 0,143 45 0,918 
 145 3 0,061 48 0,980 
 155 1 0,020 49 1,000 
TOTAL - 49 1,000 - - 
 
 
Dados brutos do atributo X 
8,4 8,5 8,5 8,5 8,7 8,8 8,9 9,0 
9,0 9,0 9,1 9,1 9,3 9,8 9,9 9,9 
10,1 10,1 10,2 10,4 10,4 10,4 10,8 10,8 
11,5 11,5 11,6 11,8 12,4 12,9 13,1 13,5 
13,6 13,9 14,2 15,2 15,3 15,3 15,6 15,6 
 
Tabela de freqüência por classes: 
Classes 𝑓 𝑓𝑟 𝐹 𝐹𝑟 
 8,5 7 7 0,175 0,175 
 9,5 9 16 0,225 0,400 
 10,5 8 24 0,200 0,600 
 11,0 4 28 0,100 0,700 
 12,5 2 30 0,050 0,750 
 13,5 4 34 0,100 0,850 
 14,5 1 35 0,025 0,875 
 15,5 5 40 0,125 1,000 
TOTAL - 40 1,000 - 
 
 
 
 
Augusto Moura 2013 
5 ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
Variável aleatória 
Uma variável aleatória ( )pode ser entendida como 
uma variável quantitativa, cujo resultado (valor) depen-
de de fatores aleatórios. 
Variável Aleatória Contínuaé aquela que pode tomar 
qualquer valor numérico em um determinado intervalo 
ou coleção de intervalos. 
Exemplos de Variáveis Aleatórias Contínuas: 
 valores de corrente elétrica em um 
cabo elétrico; 
 flutuações de temperatura; 
 pesos de caixas de laranja; 
 medidas de uma peça usada na in-
dústria para fins de controle de quali-
dade; 
 alturas de pinheiros; 
 duração de uma conversa telefônica; 
 tempo necessário para completar um 
ensaio. 
Exemplo: a tabela abaixo apresenta dados parciais 
sobre a folha de pagamento de um Banco. 
 
Nota: Variável Aleatória Contínua é representada 
por classes em uma tabela de freqüência. 
Variável Aleatória Discreta aquela variável que toma 
valores que podem ser contados, isto é,é aquela para a 
qual o conjunto A é um conjunto finito ou infinito enume-
rável. 
Exemplos de Variáveis Aleatórias Discretas: 
 número de acidentes numa semana; 
 número de caras em cinco lançamen-
to de moeda; 
 número de defeitos em sapatos; 
 número de falhas numa safra; 
 número de terremotos; 
 número de jogos empatados; 
 número de livros numa estante. 
Exemplo: freqüências acumuladas das idades de 20 
jovens entre 14 e 20 anos. 
 
Nota: Variável Aleatória discreta é representada por 
valores em uma tabela de freqüência. 
 
Augusto Moura 2013 
6 ESTATÍSTICA 
Medidas de tendência central - médias 
1) Média aritmética ( ̅) 
Para variável discreta: 
 ̅ 
∑ 𝑓 
∑𝑓 
 
Obs.: quando a freqüência é igual a 1 para todos os 
valores da variável x temos: 
 ̅ 
∑ 
 
 
Onde ∑𝑓 
Para variável contínua utiliza-se para cálculo da média, 
o valor médio das classes. 
 
 𝑠
 
 
LIMITE SUPERIOR( 𝑠) E LIMITE INFERIOR( )– São 
os valores extremos da classe 
Exemplo: freqüências acumuladas das idades de 20 
jovens entre 14 e 20 anos. 
 
Determinar a média aritmética: 
Solução: 
 𝐹 𝑓 𝑓 
14 2 2 
15 4 4-2=2 
16 9 9-4=5 
17 12 12-9=3 
18 15 15-12=3 
19 18 18-15=3 
20 20 20-18=2 
 ∑𝑓 ∑ 𝑓 
 
 ̅ 
∑ 𝑓 
∑𝑓 
 
 
 
 𝑎 𝑠 
Exemplo: a tabela abaixo apresenta dados parciais 
sobre a folha de pagamento de um Banco. 
 
Determinar a média aritmética: 
Solução: 
Tabela de freqüência por classes: 
Classes 𝑓 𝑓 
 400 52 20800 
 600 30 
 800 25 
 1000 20 
 1200 16 
 1400 13 
TOTAL ∑𝑓 ∑ 𝑓 
 
 ̅ 
∑ 𝑓 
∑𝑓 
 
 
 
 𝑅 
CONCURSO PÚBLICO - AFRF- 2002 
Em um ensaio para o es-
tudo da distribuição de um 
atributo financeiro (X) fo-
ram examinados 200 tens 
de natureza contábil do 
balanço de uma empresa. 
Esse exercício produziu a 
tabela de freqüências 
abaixo. A coluna Classes 
representa intervalos de 
valores de X em reais e a 
coluna P representa a fre-
qüência relativa acumula-
da. Não existem observa-
ções coincidentes com os 
extremos das classes. 
Assinale a opção que dá o 
valor médio amostral de X. 
 
 
Classes P(%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 
 
 
Augusto Moura 2013 
7 
a)140,10 b)115,50 c)120,00 
d)140,00 e)138,00 
 
Solução: 
Fri fri xj xjfri
70 90 5 5 80 400
90 110 15 10 100 1000
110 130 40 25 120 3000
130 150 70 30 140 4200
150 170 85 15 160 2400
170 190 95 10 180 1800
190 210 100 5 200 1000
100 13800
classes
 
 
2) Média ponderada ( ̅ ) 
 ̅𝑝 
∑ 𝑝 
∑𝑝 
 
Onde 𝑝 representa o peso atribuído ao valor . 
Exemplo: Calcular a média ponderada. 
Prova Notas ( ) Pesos (𝑝 ) 
P1 8,0 1 
P2 6,4 2 
P3 3,2 3 
P4 9,5 4 
 
Solução: 
 ̅𝑝 
∑ 𝑝 
∑𝑝 
 
 
 
 
3) Média geométrica ( ̅ ) 
Para variável discreta: 
 ̅ √∏ 
 
 
 
 
 
Exemplo: Calcular a média geométrica dos elementos 
do conjunto 𝐴 * +. 
 
 ̅ √∏ 
 
 
 
 
 ̅ √ 
 
 √ 
 
≅ 
Para variável contínua: 
 ̅ √∏( ) 
 
 
∑ 
 
 
Exemplo: Calcular a média geométrica: 
 𝑓 
3 5 
5 3 
4 2 
 ∑𝑓 
Solução: 
 
 ̅ √∏( ) 
 
 
∑ 
 
 ̅ √( ) ( ) ( ) 
 
 
 ̅ √ 
 
 √ 
 
≅ 
 
4) Média harmônica ( ̅ ): 
Para variável discreta: 
 ̅𝐻 
 
∑
 
𝑥 
 
Exemplo: Calcular a média harmônica dos elementos do 
conjunto 𝐴 * +. 
 ̅𝐻 
 
∑
 
𝑥≅ 
 
Augusto Moura 2013 
8 ESTATÍSTICA 
Para variável contínua: 
 ̅𝐻 
∑𝑓 
∑
 
𝑥 
 
Exemplo: Calcular a média harmônica: 
 𝑓 
3 5 
5 3 
4 2 
 ∑𝑓 
Solução: 
 ̅𝐻 
∑𝑓 
∑
 
𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
≅ 
 
Comparação entre médias: aritmética, geométrica e 
harmônica. 
 ̅𝐻 ≤ ̅ ≤ ̅ 
Para ⋯ temos: 
 ̅𝐻 ̅ ̅ 
Para ≠ ≠ ≠ ⋯ ≠ temos: 
 ̅𝐻 < ̅ < ̅ 
Auditor-Fiscal da Receita Federal - AFRF-2000 
 Assinale a opção que expresse a relação entre as 
médias aritmética (X), geométrica (G) e harmônica 
(H), para um conjunto de n valores positivos (X1, 
X2, ..., Xn): 
a) G ≤ H ≤ X , com G = H = X somente se os n 
valores forem todos iguais. 
b) G ≤ X ≤ H, com G = X = H somente se os n 
valores forem todos iguais. 
c) X ≤ G ≤ H, com X = G = H somente se os n 
valores forem todos iguais. 
d) H ≤ G ≤ X , com H = G = X somente se os n 
valores forem todos iguais. 
e) X ≤ H ≤ G, com X = H = G somente se os n 
valores forem todos iguais. 
Gabarito: D 
4 8 9 2 média aritmética 
8 6 3 1 5,50 
10 4 4 3 média geométrica 
6 7 7 6 4,76 
 média harmônica 
 3,84 
 
5 5 5 5 média aritmética 
5 5 5 5 5,00 
5 5 5 5 média geométrica 
5 5 5 5 5,00 
 média harmônica 
 5,00 
 
 
 
Augusto Moura 2013 
9 
Propriedades da média aritmética: 
 
1) Se cada valor da variável é somado, subtraído, 
multiplicado ou dividido por uma constante , o valor 
da nova média será somada, subtraída, multiplicada 
ou dividida por este valor. 
 
Exemplo: 
 
𝐴 * + 𝑔 ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
Se o conjunto B formado pelos valores é obtido a 
partir dos valores do conjunto A formado pelos valo-
res de forma que teremos: 
 
𝐵 * + 
 
 𝑔 ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão: ̅ ̅ ( a média dos valores de ̅ é 
10 unidades superior a média dos . 
 
Se o conjunto C formado pelos valores é obtido a 
partir dos valores do conjunto A formado pelos valo-
res de forma que teremos: 
 
𝐶 * + 
 
 𝑔 ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão: ̅ ̅ ( a média dos valores de ̅ é 
multiplica por 5 unidades e subtraída de 3 unidades 
em relação a média dos . 
 
2) A soma dos desvios em relação a média aritmética 
sempre é igual a zero. 
 
∑( ̅)𝑓 
 
 
 
Exemplo: 
 𝑓 𝑓 ( ̅)𝑓 
14 2 ( ) 
15 2 ( ) 
16 5 ( ) 
17 3 ( ) 
18 3 ( ) 
19 3 ( ) 
20 2 ( ) 
 ∑𝑓 ∑ 𝑓 ∑( ̅)𝑓 =0 
 
 ̅ 
∑ 𝑓 
∑𝑓 
 
 
 
 
 
∑( ̅)𝑓 
 
Exemplo: 
 𝑓 𝑓 ( ̅)𝑓 
5 2 10 -6,4 
8 5 40 -1 
4 4 16 -16,8 
7 3 21 -3,6 
9 6 63 +5,6 
12 7 72 +22,8 
8 2 24 -0,6 
 ∑𝑓 ∑ 𝑓 ∑( ̅)𝑓 =0 
 
 ̅ 
∑ 𝑓 
∑𝑓 
 
 
 
 
 
∑( ̅)𝑓 
 
 
 
Augusto Moura 2013 
10 ESTATÍSTICA 
Método de cálculo da média aritmética por mudança de variável: 
 
Secretaria de Estado da Fazenda Edital SEF nº 001/2010 
Considere a tabela agrupada em classes mostrada a seguir, referente a um conjunto com as notas de 100 
alunos (considerados como a população da pesquisa) para a resolução das questões 34 e 35. 
 
 
 
Qual é a média das notas dos alunos? 
 
a. 58 b. 61 c. 72 
 
 d. 75 e. 76,875 
 
Solução: 
Podemos relacionar a grandeza x à grandeza y atra-
vés da relação: 
𝑥 − 
 
onde 65 é o valor 
central do conjunto de valores de x e 20 é o interva-
lo de classe. 
  61654652,020
2,0
100
20
1
1








x
f
fy
y
n
i
i
n
i
ii
 
Gabarito B 
 
 
 𝑠 𝑓 𝑓 
15 35 25 30 -2 -60 
35 55 45 10 -1 -10 
55 75 65 20 0 0 
75 95 85 30 1 30 
95 115 105 10 2 20 
 100 -20 
 
AFRF-2002.2 ESTATÍSTICA BÁSICA 
 
O atributo do tipo contínuo X, observado como 
um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de 
uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabe-
la de freqüências ao lado: 
 
 
Calcular que dá o valor médio amostral de X: 
 
 
Classes Freqüência 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
 
Augusto Moura 2013 
11 
Solução: 
Os valores de correspondem a média das classes: 
𝐿 +𝐿 
 
 
Podemos relacionar a grandeza x à grandeza y através da relação: 
𝑥 − 
 
onde 65 é o valor central 
do conjunto de valores de x e 10 é o intervalo de classe. 
Classes 𝑓 
ix
 
iy
 
ii fy
 
29,5-39,5 4 
 
 
 
 
 
 ( ) 
39,5-49,5 8 
 
 
 
 
 
 ( ) 
49,5-59,5 14 
 
 
 
 
 
 ( ) 
59,5-69,5 20 
 
 
 
 
 
 
69,5-79,5 26 
 
 
 
 
 
 
79,5-89,5 18 
 
 
 
 
 
 
89,5-99,5 10 
 
 
 
 
 
 
Σ ∑𝑓 
 ∑ 𝑓 
 
Cálculo da média da variável Y: 
 ̅ 
∑ 𝑓 
∑𝑓 
 
 
 
 
Cálculo da média da variável aleatória X: 
 ̅ 
 ̅ 
 
 
 ̅ ̅ 
 ̅ 
 ̅ 
 
 
 
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12 ESTATÍSTICA 
AFRF-2003 ESTATÍSTICA BÁSICA 
Considere a tabela de freqüências ao lado cor-
respondente a uma amostra da variável X. Não exis-
tem observações coincidentes com os extremos das 
classes. 
 
Calcular o valor que dá o valor médio amostral de X: 
 
 
 
Classes Freqüências 
Acumuladas(%) 
2.000–4.000 5 
4.000–6.000 16 
6.000–8.000 42 
8.000–10.000 77 
10.000–12.000 89 
12.000–14.000 100 
 
 
Solução: 
Podemos relacionar a grandeza x à grandeza y através da relação: 
𝑥 − 
 
onde 7000 é um dos 
valores centrais do conjunto (poderia ser utilizado 9000) de valores de x e 10 é o intervalo de classe. 
Classes 𝐹 𝑓 
ix
 
iy
 
ii fy
 
2.000–4.000 5 5 3000 -2 -10 
4.000–6.000 16 11 5000 -1 -11 
6.000–8.000 42 26 7000 0 0 
8.000–10.000 77 35 9000 1 35 
10.000–12.000 89 12 11000 2 24 
12.000–14.000 100 11 13000 3 33 
Σ ∑𝑓 
 ∑ 𝑓 
 
Cálculo da média da variável Y: 
 ̅ 
∑ 𝑓 
∑𝑓 
 
 
 
 
Cálculo da média da variável aleatória X: 
 ̅ ̅ 
 
 
 
Augusto Moura 2013 
13 
AFRF-2002 ESTATÍSTICA BÁSICA 
 
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um 
atributo financeiro (X) foram examinados 200 tens de 
natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse 
exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A 
coluna Classes representa intervalos de valores de X 
em reais e a coluna P representa a freqüência relati-
va acumulada. Não existem observações coinciden-
tes com os extremos das classes. As questões de 38 
a 43 referem-se a esses ensaios. 
 
Calcular o valor que dá o valor médio amostral de X: 
 
 
Classes P(%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
somatórioSolução: 
Podemos relacionar a grandeza x à grandeza y através da relação: 
𝑥 − 
 
onde 140 é o valor cen-
tral do conjunto de valores de x e 20 é o intervalo de classe. 
Classes 𝐹𝑟 𝑓𝑟 
ix
 
iy
 
rii fy
 
70–90 5 5 80 -3 -15 
90–110 15 10 100 -2 -20 
110–130 40 25 120 -1 -25 
130–150 70 30 140 0 0 
150–170 85 15 160 1 15 
170–190 95 10 180 2 20 
190–210 100 5 200 3 15 
Σ ∑𝑓𝑟 
 ∑ 𝑓𝑟 
 
Cálculo da média da variável Y: 
 ̅ 
∑ 𝑓𝑟 
∑𝑓 
 
 
 
 
Cálculo da média da variável aleatória X: 
 ̅ ̅ ( ) 
 
 
Augusto Moura 2013 
14 ESTATÍSTICA 
Medidas de tendência central - moda e 
mediana. 
 
A moda(𝑀 )é o valor que detém o maior número 
de observações, ou seja, o valor ou valores mais 
frequentes. 
A mediana(𝑀 )é uma medida de tendência cen-
tral, um número que caracteriza as observações 
de uma determinada variável de tal forma que este 
número (a mediana) de um grupo de dados orde-
nados separa a metade inferior da amostra, popu-
lação ou distribuição de probabilidade, da metade 
superior. Mais concretamente, 1/2 da população 
terá valores inferiores ou iguais à mediana e 1/2 
da população terá valores superiores ou iguais à 
mediana. A Mediana de um conjunto de dados é o 
dado que fica no meio quando as entradas são 
colocadas em ordem crescente. Se o conjunto de 
dados tiver um número par de entradas a mediana 
será a média entre os dois pontos que estiverem 
no meio do conjunto. 
O termo mediano pode ser determinado pela rela-
ção: 
𝑀 . 
2
+
 
2
/
 
CONCURSO PÚBLICO AUDITOR-FISCAL DA 
PREVIDÊNCIA SOCIAL – 2002 
O diagrama de ramos e folhas abaixo corresponde 
às observações (82,...,158) e ( 12,...,93) do atri-
buto X. Assinale a opção que dá o valor mediano 
de X. 
8 2 
8 
9 003 
9 9 
10 0011222344 
10 577777 
11 013 
11 55679 
12 00114 
12 5557 
13 004 
13 5556 
14 03 
14 5 
15 
15 8 
 
a) 105 b) 110 c) 104 d) 107 e) 115 
 
Solução: 
11525
2
1
2
49








XX
 
Gabarito E 
Assinale a opção que dá o valor modal de X. 
a) 105 b) 110 c) 104 d) 107 e) 115 
 
Solução; 
O valor de maior freqüência é 107 com 5 ocorrên-
cias. 
Gabarito D 
 
 
Augusto Moura 2013 
15 
Moda para variável contínua: 
MODA BRUTA: 
𝑀𝑂 
 𝑆 𝐼
 
 
MODA DE CZUBER: 
𝑀 𝑐 (
Δ 
Δ Δ 
) 
MODA DE KING: 
𝑀 𝑐 (
𝑓𝑝 𝑠𝑡𝑒𝑟 𝑟
𝑓𝑝 𝑠𝑡𝑒𝑟 𝑟 𝑓𝑎 𝑡𝑒𝑟 𝑟
) 
 𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖 𝑓𝑒𝑟𝑖 𝑟 𝑑𝑎 𝑐 𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑚 𝑑𝑎 
𝑐 𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑐 𝑎𝑠𝑠𝑒 
𝑐 𝑠 
Δ 𝑓 𝑎 𝑓𝑎 𝑡𝑒𝑟 𝑟 𝑎 𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑎 
Δ 𝑓 𝑎 𝑓 𝑝 𝑠𝑡𝑒𝑟 𝑟 𝑎 𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑎 
AFRF-2002.2 ESTATÍSTICA BÁSICA 
O atributo do tipo contínuo X, observado co-
mo um inteiro, numa amostra de tamanho 100 
obtida de uma população de 1000 indivíduos, pro-
duziu a tabela de freqüências seguinte: 
Classes 
if
 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
Calcular o valor que corresponde ao valor modal 
do atributo X no conceito de Czuber , king e bruta.. 
Solução: 
A classe modal é a classe 69,5-79,5, pois apre-
senta maior freqüência (26). 
 𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖 𝑓𝑒𝑟𝑖 𝑟 𝑑𝑎 𝑐 𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑚 𝑑𝑎 
𝑐 𝑠 
Δ 𝑓 𝑎 𝑓𝑎 𝑡𝑒𝑟 𝑟 𝑎 𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑎 
Δ 𝑓 𝑎 𝑓 𝑝 𝑠𝑡𝑒𝑟 𝑟 𝑎 𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑎 
MODA BRUTA: 
𝑀𝑂 
 𝑆 𝐼
 
 
 
 
 
MODA DE CZUBER: 
𝑀 𝑐 (
Δ 
Δ Δ 
) 
𝑀 (
 
 
) 
𝑀 
MODA DE KING: 
𝑀 𝑐 (
𝑓𝑝 𝑠𝑡𝑒𝑟 𝑟
𝑓𝑝 𝑠𝑡𝑒𝑟 𝑟 𝑓𝑎 𝑡𝑒𝑟 𝑟
) 
𝑀 (
 
 
) 
𝑀 
 
AFRF-2002 ESTATÍSTICA BÁSICA 
 Em um ensaio para o estudo da distribuição de 
um atributo financeiro (X) foram examinados 200 
tens de natureza contábil do balanço de uma em-
presa. Esse exercício produziu a tabela de fre-
qüências abaixo. A coluna Classes representa 
intervalos de valores de X em reais e a coluna P 
representa a freqüência relativa acumulada. Não 
existem observações coincidentes com os extre-
mos das classes. As questões de 38 a 43 referem-
se a esses ensaios. 
 
Augusto Moura 2013 
16 ESTATÍSTICA 
 
Classes P(%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
somatório 
 
Calcular o valor que corresponde ao valor modal 
do atributo X no conceito de Czuber , king e bruta.. 
Solução: 
Classes 𝐹𝑟 𝑓𝑟 
70–90 5 5 
90–110 15 10 
110–130 40 25 
130–150 70 30 
150–170 85 15 
170–190 95 10 
190–210 100 5 
 
A classe modal é a classe 130-150, pois apresenta 
maior freqüência (30). 
 𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖 𝑓𝑒𝑟𝑖 𝑟 𝑑𝑎 𝑐 𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑚 𝑑𝑎 
𝑐 𝑠 
Δ 𝑓 𝑎 𝑓𝑎 𝑡𝑒𝑟 𝑟 𝑎 𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑎 
Δ 𝑓 𝑎 𝑓 𝑝 𝑠𝑡𝑒𝑟 𝑟 𝑎 𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑎 
MODA BRUTA: 
𝑀𝑂 
 𝑆 𝐼
 
 
 
 
 
MODA DE CZUBER: 
𝑀 𝑐 (
Δ 
Δ Δ 
) 
𝑀 (
 
 
) 
𝑀 
MODA DE KING: 
𝑀 𝑐 (
𝑓𝑝 𝑠𝑡𝑒𝑟 𝑟
𝑓𝑝 𝑠𝑡𝑒𝑟 𝑟 𝑓𝑎 𝑡𝑒𝑟 𝑟
) 
𝑀 (
 
 
) 
𝑀 
 
AFRF-2003 ESTATÍSTICA BÁSICA 
Considere a tabela de freqüências seguinte 
correspondente a uma amostra da variável X. Não 
existem observações coincidentes com os extre-
mos das classes. 
Classes 
Freqüências 
Acumuladas(%) 
2.000–4.000 5 
4.000–6.000 16 
6.000–8.000 42 
8.000–10.000 77 
10.000–12.000 89 
12.000–14.000 100 
 
Calcular o valor que corresponde ao valor modal 
do atributo X no conceito de Czuber , king e bruta.. 
Solução: 
Classes 𝐹 𝑓 
2.000–4.000 5 5 
4.000–6.000 16 11 
6.000–8.000 42 26 
8.000–10.000 77 35 
10.000–12.000 89 12 
12.000–14.000 100 11 
 
Augusto Moura 2013 
17 
A classe modal é a classe 8000-10000, pois apre-
senta maior freqüência (35). 
 𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖 𝑓𝑒𝑟𝑖 𝑟 𝑑𝑎 𝑐 𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑚 𝑑𝑎 
𝑐 𝑠 
Δ 𝑓 𝑎 𝑓𝑎 𝑡𝑒𝑟 𝑟 𝑎 𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑎 
Δ 𝑓 𝑎 𝑓 𝑝 𝑠𝑡𝑒𝑟 𝑟 𝑎 𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑎 
MODA BRUTA: 
𝑀𝑂 
 𝑆 𝐼
 
 
 
 
 
MODA DE CZUBER: 
𝑀 𝑐 (
Δ 
Δ Δ 
) 
𝑀 (
 
 
) 
𝑀 
MODA DE KING: 
𝑀 𝑐 (
𝑓𝑝 𝑠𝑡𝑒𝑟 𝑟
𝑓𝑝 𝑠𝑡𝑒𝑟 𝑟 𝑓𝑎 𝑡𝑒𝑟 𝑟
) 
𝑀 (
 
 
) 
𝑀 
 
Mediana para variável contínua: 
𝑴𝒅 𝑳 𝒄(
 
 
 𝑭 𝒆 
𝒇 𝒆𝒅 
) 
 
𝑭 𝒆 𝒇 𝒆 𝒄 𝒄 𝒅 𝒆 𝒄 𝒆 𝒅 
 
𝒇 𝒆𝒅 𝒇 𝒆 𝒄 𝒅 𝒄 𝒆 𝒆𝒅 
 
AFRF-2002.2 ESTATÍSTICA BÁSICA 
O atributo do tipo contínuo X, observado co-
mo um inteiro, numa amostra de tamanho 100 
obtida de uma população de 1000 indivíduos, pro-
duziu a tabela de freqüências seguinte: 
Classes 
if
 𝐹 
29,5-39,5 4 4 
39,5-49,5 8 12 
49,5-59,5 14 26 
59,5-69,5 20 46 
69,5-79,5 26 72 
79,5-89,5 18 90 
89,5-99,5 10 100 
Calcular o valor que corresponde ao valor media-
no do atributo X 
Solução: 
A classe mediana é onde se encontra 
 
.
 
2
+
 
2
/
 
.
 
2
+
 
2
/
 
Classe mediana : 69,5-79,5 
𝑭 𝒆 
 
𝒇 𝒆𝒅 
𝒄 
𝑴𝒅 𝑳 𝒄(
 
 
 𝑭𝒆 
𝒇 𝒆𝒅 
) 
𝑴𝒅 (
 
 
 
 
) 
𝑴𝒅 (
 
 
) ≅ 𝟑 
 
AFRF-2002 ESTATÍSTICA BÁSICA 
 Em um ensaio para o estudo da distribuição de 
um atributo financeiro (X) foram examinados 200 
tens de natureza contábil do balanço de uma em-
presa. Esse exercício produziu a tabela de fre-
qüências abaixo. A coluna Classes representa 
intervalos de valores de X em reais e a coluna P 
representa a freqüência relativa acumulada. Não 
existem observações coincidentes com os extre-
mos das classes. As questões de 38 a 43 referem-
se a esses ensaios. 
Classes P(%) 𝑓𝑟 
 
Augusto Moura 2013 
18 ESTATÍSTICA 
70-90 5 5 
90-110 15 10 
110-130 40 25 
130-150 70 30 
150-170 85 15 
170-190 95 10 
190-210 100 5 
 
Calcular o valor que corresponde ao valor media-
no do atributo X 
Solução: 
A classe mediana é onde se encontra 
 
.
 
2
+
 
2
/
 
.
 
2
+
 
2
/
 
Classe mediana : 130-150 
𝑭 𝒆 
 
𝒇 𝒆𝒅 𝟑 
𝒄 𝟑 
𝑴𝒅 𝑳 𝒄(
 
 
 𝑭 𝒆 
𝒇 𝒆𝒅 
) 
𝑴𝒅 𝟑 (
 
 
 
𝟑 
) 
𝑴𝒅 𝟑 (
 
𝟑 
) ≅ 𝟑 
AFRF-2003 ESTATÍSTICA BÁSICA 
Considere a tabela de freqüências seguinte 
correspondente a uma amostra da variável X. Não 
existem observações coincidentes com os extre-
mos das classes. 
Classes 𝐹 𝑓 
2.000–4.000 5 5 
4.000–6.000 16 11 
6.000–8.000 42 26 
8.000–10.000 77 35 
10.000–12.000 89 12 
12.000–14.000 100 11 
 
Calcular o valor que corresponde ao valor media-
no do atributo X 
 
Solução: 
 
A classe mediana é onde se encontra 
 
.
 
2
+
 
2
/
 
.
 
2
+
 
2
/
 
Classe mediana : 8000-10000 
𝑭 𝒆 
 
𝒇 𝒆𝒅 𝟑 
𝒄 
𝑴𝒅 𝑳 𝒄(
 
 
 𝑭 𝒆 
𝒇 𝒆𝒅 
) 
𝑴𝒅 (
 
 
 
𝟑 
) 
𝑴𝒅 (
 
𝟑 
) ≅ 
 
Agente Fiscal de Rendas - Nível I 
FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS Abril/2006 
O histograma de freqüências absolutas, abai-
xo,demonstra o comportamento dos valores arre-
cadados de um determinado tributo, no ano de 
2005, em uma região a ser analisada: 
 
Observação: Considere que todos os intervalos de 
classe do histograma são fechados à esquerda e 
abertos à direita. Utilizando as informações conti-
das neste histograma, calculou-se a média aritmé-
 
Augusto Moura 2013 
19 
tica destes valores arrecadados, considerando 
que todos os valores incluídos num certo intervalo 
de classe são coincidentes com o ponto médio 
deste intervalo. Também calculou-se a mediana de 
tais valores pelo método da interpolação linear. 
Então, omódulo da diferença entre a média aritmé-
tica e a mediana é igual a 
1- R$100,00 2- R$400,00 
3- R$800,00 4- R$900,00 
5- R$1.000,00 
Solução: 
li ls xj fi yi yifi Fi 
1 2 1,5 200 -2 -400 200 
2 3 2,5 400 -1 -400 600 
3 4 3,5 500 0 0 1100 
4 5 4,5 600 1 600 1700 
5 6 5,5 300 2 600 2000 
 2000 400 
7,35,02,05,3
2,0
2000
400




yx
f
fy
y
i
ii
 
A 
10010001,08,37,3
8,38,03
5
4
13
500
600
2
2000
13
2
Gabarito
x
n
cL
m
m
m
f
F
m
d
d
d
mediana
anterior
i
d
































 
 
Agente Fiscal de Rendas - Nível Básico - SQC – 
III - FAZSP-Prova 1-Conhecimentos Gerais 
Caderno de Prova ’A01’, Tipo 001 
considere a tabela de freqüências relativas abaixo, 
que mostra a distribuição dos valores arrecada-
dos, em 2008, sobre determinado tributo, referente 
a um ramo de atividade escolhido para análise. 
Sabe-se que: 
I. As freqüências absolutas correspondem às 
quantidades de recolhimentos, sendo as freqüên-
cias relativas do segundo e terceiro intervalos de 
classe iguais a x e y, respectivamente. 
II. A média aritmética da distribuição, valor arreca-
dado por recolhimento, é igual a R$ 3.350,00 (va-
lor encontrado considerando que todos os valores 
incluídos num certo intervalo de classe são coinci-
dentes com o ponto médio deste intervalo). 
 
 A porcentagem de recolhimentos com valores 
arrecadados maiores ou iguais a R$ 3.000,00 é : 
(A)70% (B) 65% (C) 55% (D) 45% (E) 40% 
Solução: 
17503500y2500x
55090015033503500y2500x
33505509003500y2500x150
33500,1055000,204500 
3500y2500x0,101500
6,0 6,0





 yxyx
 
 
 
0,25y
1,50-1,75y
1,753,5y2,5y1,5
1,753,5yy0,62,5
1,753,5y2,5x
:1000por se-Dividindo





 
 
Augusto Moura 2013 
20 ESTATÍSTICA 
C Gabarito
0,550,100,200,25
:3000 a igualou maior %
0,350,25-0,60y-0,60x


 
CONCURSO PÚBLICO - SECRETARIA DA RE-
CEITA FEDERAL - AFRF-2003 
Considere a tabela de freqüências seguinte cor-
respondente a uma amostra da variável X. Não 
existem observações coincidentes com os extre-
mos das classes. 
Classes 
Freqüências 
Acumuladas(%) 
2.000–4.000 5 
4.000–6.000 16 
6.000–8.000 42 
8.000–10.000 77 
10.000–12.000 89 
12.000–14.000 100 
 
 Assinale a opção que corresponde à estimativa 
do valor x da distribuição amostral de X que não é 
superado por cerca de 80% das observações. 
a) 10.000 b) 12.000 c) 12.500 
d) 11.000 e) 10.500 
Solução: 
classes Freqüências 
 absolutas 
Freqüências 
acumuladas 
2000—4000 5 5 
4000—6000 11 16 
6000—8000 26 42 
8000—10000 35 77 
10000—12000 12 89 
12000—14000 11 100 
 
E Resposta
10500
12
126000
600012000012
600012000012
200031000012
10000
3
2000
12
10000
3
10000-12000
12
77%. temos10000 X Para









x
x
x
x
x
x
 
 
 
Augusto Moura 2013 
21 
Separatrizes 
Quartis 
Os quartis separam um conjunto de dados ordenados 
(ROL) em quatro 
partes iguais; assim: 
• é o 1º quartil, deixa 25% dos elementos abaixo dele; 
• é o 2º quartil, coincide com a mediana, deixa 50% dos 
elementos abaixo dele; 
• é o 3º quartil, deixa 75% dos elementos abaixo dele. 














f
F
LQ
DECÍLICA
ANTERIOR
i
n
c 4
1
 














f
F
LQ
DECÍLICA
ANTERIOR
i
n
c 4
3
3
 
Decis 
 
Os decis são valores que dividem uma série de dados 
ordenados emdez partes iguais. 
 














f
F
LD
DECÍLICA
ANTERIOR
i
n
c 10
3
3
 














f
F
LD
DECÍLICA
ANTERIOR
i
n
c 10
5
5
 
Percentis 
 
Os percentis são valores que dividem uma série de 
dados ordenados em 100 partes iguais. 














f
F
LP
CENTILICA
ANTERIOR
i
n
c 100
35
35
 














f
F
LP
CENTILICA
ANTERIOR
i
n
c 100
65
65
 
CONCURSO PÚBLICO PREFEITURA DO RECI-
FE - 2003 - Auditor do Tesouro Municipal 
 
O quadro seguinte apresenta a distribuição de 
freqüências da variável valor do aluguel (X) para 
uma amostra de 200 apartamentos de uma região 
metropolitana de certo município. Não existem 
observações coincidentes com os extremos das 
classes. Assinale a opção que corresponde à es-
timativado valor x tal que a freqüência relativa de 
observações de X menores ou iguais a x seja 
80%. 
a) 530 b) 560 c) 590 
 d) 578 e) 575 
Solução: 
li ls fi Fi 
350 380 3 3 
380 410 8 11 
410 440 10 21 
440 470 13 34 
470 500 33 67 
500 530 40 107 
530 560 35 142 
560 590 30 172 
590 620 16 188 
620 650 12 200 
 
 
 
 
Augusto Moura 2013 
22 ESTATÍSTICA 
578
30
18
30560
30
142160
30560
30
142
100
20080
30560
100
80
80
80
80
80






 






























P
P
P
f
F
P
capercentíli
anterior
i
n
cL
 
Gabarito D 
 Numa pesquisa amostral, observa-se que o salá-
rio médio mensal dos indivíduos entrevistados é 
de R$ 500,00. Os salários médios de homens e 
mulheres são R$ 600,00 e R$ 420,00, respectiva-
mente. Assinale a opção que dá a relação entre o 
número de homens e de mulheres da amostra. 
a) O número de homens é o dobro do número de 
mulheres. 
b) O número de homens é 4/5 do número de mu-
lheres. 
c) O número de homens é igual ao número de 
mulheres. 
d) O número de homens é 1/5 do número de mu-
lheres. 
e) O número de homens é 3/5 do número de mu-
lheres. 
Solução: 
 
MMH
MH
MHMH
MH
MH
5
4
100
80
80100
500420600
500
420600






 
Gabarito B 
Em uma amostra, realizada para se obter infor-
mação sobre a distribuição salarial de homens e 
mulheres, encontrou-se que o salário médio vale 
R$ 1.200,00. O salário médio observado para os 
homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi 
de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta. 
a) O número de homens na amostra é igual ao de 
mulheres. 
b) O número de homens na amostra é o dobro do 
de mulheres. 
c) O número de homens na amostra é o triplo do 
de mulheres. 
d) O número de mulheres é o dobro do número de 
homens. 
e) O número de mulheres é o quádruplo do núme-
ro de homens. 
Solução: 
MH
MH
xxLogo
xx
x






:
1200
2
2400
2
11001300
2
 
Gabarito A 
CONCURSO PÚBLICO - SECRETARIA DA RE-
CEITA FEDERAL - AFRF- 2002 
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um 
atributo financeiro (X) foram examinados 200 tens 
de natureza contábil do balanço de uma empresa. 
Esse exercício produziu a tabela de freqüências 
abaixo. A coluna Classes representa intervalos de 
valores de X em reais e a coluna P representa a 
freqüência relativa acumulada. Não existem ob-
servações coincidentes com os extremos das 
classes. 
Classes P(%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
 
Augusto Moura 2013 
23 
190-210 100 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do 
quinto decil da distribuição de X. 
a)138,00 b)140,00 c)136,67 
d)139,01 e)140,66 
Solução: 
C Resposta 
67,136
30
40
2
100
20130
2
5
5





























MedianaD
f
F
n
cLMedianaD
mediana
anterior
i
 
 Assinale a opção que corresponde à estimativa 
da freqüência relativa de observações de X meno-
res ou iguais a 145. 
a)62,5% b)70,0% c)50,0% 
d)45,0% e)53,4% 
A Resposta 
%5,62%5,22%40 
 145x70 
%5,22 
 
130145
30
130-150
 logo
 150x130para 30
%40 130x70 
:
i
i
i







i
i
i
i
i
f
para
f
f
f
fpara
Solução
 
CONCURSO PÚBLICO - SECRETARIA DA RE-
CEITA FEDERAL - AFRF-2002.2 
O atributo do tipo contínuo X, observado como um 
inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de 
uma população de 1000 indivíduos, produziu a 
tabela de freqüências seguinte: 
Classes Freqüência 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
Assinale a opção que corresponde à estimativa da 
mediana amostral do atributo X. 
a) 71,04 b) 65,02 c) 75,03 
d) 68,08 e) 70,02 
Solução: 
classes fi Fi
29,539,5 4 4
39,549,6 8 12
49,559,5 14 26
59,569,5 20 46
69,579,5 26 72
79,589,5 18 90
89,599,5 10 100
 
A Re
04,71
26
46
2
100
105,69
2
sposta
M
f
F
n
cLM
D
mediana
anterior
iD

























 
 Assinale a opção que corresponde à estimativa 
do número de indivíduos na população com valo-
res do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maio-
res do que 50,5. 
a) 700 b) 638 c) 826 
d) 995 e) 900 
 
 
Augusto Moura 2013 
24 ESTATÍSTICA 
%4 
 
5,955,99
10
89,5-99,5
 logo
 5,99x89,5para 10
%64182620
5,89x59,5 
%6,12 
5,505,59
14
49,5-59,5
 logo
 5,59x49,5para 14
:
i
i
i










i
i
i
i
i
i
i
f
f
f
f
para
f
f
f
Solução
 
C Resposta 
8261000 de %6,82
%6,826646,12
 5,95x50,5 i



if
para
 
 Assinale a opção que corresponde ao valor modal 
do atributo X no conceito de Czuber. 
a) 69,50 b) 73,79 c) 71,20 
d) 74,53 e) 80,10 
Solução: 
classes fi Fi
29,539,5 4 4
39,549,6 8 12
49,559,5 14 26
59,569,5 20 46
69,579,5 26 72
79,589,5 18 90
89,599,5 10 100
 
 
   
 BRe
79,73
18262026
2026
105,69
21
1
sposta
M
cLM
O
iO


















 
CONCURSO PÚBLICO - SECRETARIA DA 
RECEITA FEDERAL - AFRF-2002.2 
O atributo do tipo contínuo X, observado como um 
inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de 
uma população de 1000 indivíduos, produziu a 
tabela de freqüências seguinte: 
Classes Freqüência 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 Assinale a opção que corresponde à estimativa 
da mediana amostral do atributo X. 
a) 71,04 b) 65,02 c) 75,03 
d) 68,08 e) 70,02 
Solução: 
classes fi Fi
29,539,5 4 4
39,549,6 8 12
49,559,5 14 26
59,569,5 20 46
69,579,5 26 72
79,589,5 18 90
89,599,5 10 100
 
A Re
04,71
26
46
2
100
105,69
2
sposta
M
f
F
n
cLM
D
mediana
anterior
iD

























 
 Assinale a opção que corresponde à estimativa 
do número de indivíduos na população com valo-
res do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maio-
res do que 50,5. 
a) 700 b) 638 c) 826 
 
Augusto Moura 2013 
25 
d) 995 e) 900 
%4 
 
5,955,99
10
89,5-99,5
 logo
 5,99x89,5para 10
%64182620
5,89x59,5 
%6,12 
5,505,59
14
49,5-59,5
 logo
 5,59x49,5para 14
:
i
i
i










i
i
i
i
i
i
i
f
f
f
f
para
f
f
f
Solução
 
C Resposta 
8261000 de %6,82
%6,826646,12
 5,95x50,5 i



if
para
 
40- Assinale a opção que corresponde ao valor 
modal do atributo X no conceito de Czuber. 
a) 69,50 b) 73,79 c) 71,20 
d) 74,53 e) 80,10 
Solução: 
classes fi Fi
29,539,5 4 4
39,549,6 8 12
49,559,5 14 26
59,569,520 46
69,579,5 26 72
79,589,5 18 90
89,599,5 10 100
 
 
   
 BRe
79,73
18262026
2026
105,69
21
1
sposta
M
cLM
O
iO


















 
 Assinale a opção que dá o valor do coeficiente 
quartílico de assimetria. 
a) 0,080 b) -0,206 c) 0,000 
d) -0,095 e) 0,300 
 
Solução:  
78,58
14
12
4
100
105,49
 f
 F– n/4
 c Li Q
1
1
QUARTÍLICA
ANTERIOR




















Q
 
 
17,81
18
72
4
1003
105,79
 f
 F– 3n/4
 c Li Q
3
3
QUARTÍLICA
ANTERIOR





















Q
 
 
 
 
 DRe
095,0
78,5817,81
04,71278,5817,81
2)(
13
13
sposta
QQ
MQQ D









 
CONCURSO PÚBLICO - SECRETARIA DA 
RECEITA FEDERAL - AFRF-2003 
Considere a tabela de freqüências seguinte cor-
respondente a uma amostra da variável X. Não 
existem observações coincidentes com os extre-
mos das classes. 
Classes Freqüências Acumuladas(%) 
2.000–4.000 5 
4.000–6.000 16 
6.000–8.000 42 
8.000–10.000 77 
10.000–12.000 89 
12.000–14.000 100 
 
Augusto Moura 2013 
26 ESTATÍSTICA 
 Assinale a opção que corresponde à estimativa 
do valor x da distribuição amostral de X que não é 
superado por cerca de 80% das observações. 
a) 10.000 b) 12.000 c) 12.500 
d) 11.000 e) 10.500 
Solução: 
classes Freqüências 
 absolutas 
Freqüências 
acumuladas 
2000—4000 5 5 
4000—6000 11 16 
6000—8000 26 42 
8000—10000 35 77 
10000—12000 12 89 
12000—14000 11 100 
 
 
E Resposta
10500
12
126000
600012000012
600012000012
200031000012
10000
3
2000
12
10000
3
10000-12000
12
77%. temos10000 X Para









x
x
x
x
x
x
 
BANCO CENTRAL DO BRASIL - 2002 
A distribuição de freqüências de determinado atri-
buto X é dada na tabela abaixo. Não existem ob-
servações coincidentes com os extremos das 
classes. 
Classes Freqüências 
2.000-4.000 18 
4.000-6.000 45 
6.000-8.000 102 
8.000-10.000 143 
10.000-12.000 51 
12.000-14.000 41 
 
 Assinale a opção que corresponde à amplitude 
interquartílica. 
a)4.500,1 b)6.200,2 c)3.000,4 
d)3.162,6 e)2.400,0 
Solução: 
li ls xj fi Fi 
2000 4000 3000 18 18 
4000 6000 5000 45 63 
6000 8000 7000 102 165 
8000 10000 9000 143 308 
10000 12000 11000 51 359 
12000 14000 13000 41 400 
 
 
49,6726
102
37
20006000
102
63
4
400
20006000
 f
 F– n/4
 c Li Q
1
1
1
QUARTÍLICA
ANTERIOR




















Q
Q
 
 
11,9888
143
135
20008000
143
165
4
4003
20008000
 f
 F– 3n/4
 c Li Q
3
3
3
QUARTÍLICA
ANTERIOR





















Q
Q
 
 
Augusto Moura 2013 
27 
62,316249,672611,988813 QQ
 
Gabarito D 
 Assinale a opção que corresponde ao ponto mé-
dio da classe modal. 
a)3.000 b)7.000 c)10.000 
d)8.000 e)9.000 
Solução: 
9000
2
100008000


 
Gabarito E 
 Assinale a opção que corresponde à estimativa 
do valor x que não é superado por aproximada-
mente 80% das observações do atributo X. 
a)12.000 b)10.000 c)10.471 
d)9.000 e)11.700 
Solução: 
 
10471
51
12
200010000P
51
308
100
40080
200010000P
 f
 F– 80n/100
 c Li P
80
80
80
capercentíli
ANTERIOR





















 
Gabarito C 
Medidas de dispersão (Medidas de 
Variação): 
 
Determina a característica de variação de um con-
junto de dados: Amplitude, Desvio, Desvio médio 
ou desvio absoluto, Desvio padrão, Variância. 
Desvio médio absoluto (DMA): 
𝐷𝑀𝐴 
∑| ̅|𝑓 
∑𝑓 
 
Variância: 
A variância de uma variável aleatória é uma 
medida da sua dispersão estatística, indicando 
quão longe em geral os seus valores se en-
contram da média. 
𝑣𝑎𝑟( ) 
∑( ̅)
 𝑓 
∑𝑓 
 
 
𝑣𝑎𝑟( ) 
 
𝐧
*∑𝐱𝐢
 𝐟𝐢 
(∑𝐱𝐢𝐟𝐢)
 
𝐧
+ 
 
Desvio padrão: 
𝐷𝑃( ) √𝑣𝑎𝑟( )
2
 
Propriedades do desvio padrão, des-
vio médio absoluto e variância. 
Observe o seguinte conjunto de dados: 
𝐴 * + 
Supondo que a variável aleatória X possa assumir 
qualquer valor do conjunto A, teremos que a mé-
dia dos valores da variável aleatória X será ̅ . 
Determinando os afastamentos em relação a mé-
dia dos valores de X teremos. 
 ( ̅) ( ̅)
 | ̅| 
1 ( ) 4 
3 ( ) 2 
5 ( ) 0 
7 ( ) 2 
9 ( ) 4 
 0 40 12 
 
𝐷𝑀𝐴( ) 
∑| ̅|𝑓 
∑𝑓 
 
 
 
 
𝑣𝑎𝑟( ) 
∑( ̅)
 𝑓 
∑𝑓 
 
 
 
 
 
Augusto Moura 2013 
28 ESTATÍSTICA 
𝐷𝑃( ) √𝑣𝑎𝑟( )
2 √ 
2
 √ 
2
 
Suponha a existência de uma variável aleatória Y 
que atenda e relação: 
𝑌 
Teremos como valores de Y: 
𝐵 * + 
Supondo que a variável aleatória Y possa assumir 
qualquer valor do conjunto B, teremos que a mé-
dia dos valores da variável aleatória X será ̅ . 
 ( ̅) ( ̅)
 | ̅| 
-7 ( ) 12 
-1 ( ) 6 
+5 ( ) 0 
+11 ( ) 6 
+17 ( ) 12 
 0 360 36 
 
𝐷𝑀𝐴( ) 
∑| ̅|𝑓 
∑𝑓 
 
 
 
 
𝑣𝑎𝑟( ) 
∑( ̅)
 𝑓 
∑𝑓 
 
 
 
 
𝐷𝑃( ) √𝑣𝑎𝑟( )
2 √ 
2
 √ 
2
 
Conclusão: 
𝐷𝑃( ) 𝐷𝑃( ) 
 √ 
2
 √ 
2
 
𝐷𝑀𝐴( ) 𝐷𝑀𝐴( ) 
 
𝑣𝑎𝑟( ) 𝑣𝑎𝑟( ) 
 
Se 𝑌 o -10 não tem efeito sobre a dis-
persão, já o 3 multiplicando a variável X tem efeito 
sobre a dispersão. 
Exemplo: 
Se ̅ ,𝒗 ( ) e 𝑫𝑴𝑨( ) então de-
termine: 
a)Variância , desvio padrão e desvio médio 
sabendo que 𝒀 𝑿 . 
 ̅ ⟹ �̅� 
𝒗 ( ) ⟹ 𝒗 (𝒚) 
𝑫𝑷( ) √ 
 
 ⟹ 𝑫𝑷(𝒚) 
𝑫𝑴𝑨( ) ⟹ 𝑫𝑴𝑨(𝒚) 𝟑 
b)Variância , desvio padrão e desvio médio 
sabendo que 𝒀 𝑿 𝟑 . 
 ̅ ⟹ �̅� 𝟑 
𝒗 ( ) ⟹ 𝒗 (𝒚) 
𝑫𝑷( ) √ 
 
 ⟹ 𝑫𝑷(𝒚) 
𝑫𝑴𝑨( ) ⟹ 𝑫𝑴𝑨(𝒚) 
c)Variância , desvio padrão e desvio médio 
sabendo que 𝒀 
𝑿
 
 . 
 ̅ ⟹ �̅� 
 
 
 
𝒗 ( ) ⟹ 𝒗 (𝒚) (
 
 
)
 
 
𝑫𝑷( ) √ 
 
 ⟹ 𝑫𝑷(𝒚) 
 
 
 
𝑫𝑴𝑨( ) ⟹ 𝑫𝑴𝑨(𝒚) 
 
 
 
 
 
Augusto Moura 2013 
29 
Cálculo da variância, desvio padrão e desvio médio por mudança de variável: 
AFRF-2002.2 ESTATÍSTICA BÁSICA 
 
O atributo do tipo contínuo X, observado como 
um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de 
uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabe-
la de freqüências ao lado: 
 
 
Calcular a variância, desvio padrão e desvio médio: 
 
Classes Freqüência 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
Solução: 
Podemos relacionar a grandeza x à grandeza y através da relação: 
𝑥 − 
 
onde 65 é o valor centraldo conjunto de valores de x e 10 é o intervalo de classe. 
Classes 𝑓 
ix
 
iy
 
ii fy
 
 𝑓 
| ̅|𝑓 
29,5-39,5 4 ( ) +36 | | 
39,5-49,5 8 ( ) +32 | | 
49,5-59,5 14 ( ) +14 | | 
59,5-69,5 20 0 | | 
69,5-79,5 26 +26 | | 
79,5-89,5 18 +72 | | 
89,5-99,5 10 +90 | | 
Σ ∑𝑓 ∑ 𝑓 ∑ 
 𝑓 ∑| ̅|𝑓 
 
Cálculo da média da variável Y: 
 ̅ 
∑ 𝑓 
∑𝑓 
 
 
 
 
Cálculo da variância: 
𝑣𝑎𝑟( ) 
 
𝐧
*∑𝐲𝐢
 𝐟𝐢 
(∑𝐲𝐢𝐟𝐢)
 
𝐧
+ 
𝑣𝑎𝑟(y) 
 
 
* 
 
 
+ 
 
𝑣𝑎𝑟( ) 𝑣𝑎𝑟( ) 
𝑣𝑎𝑟( ) 
𝐷𝑃( ) √𝑣𝑎𝑟( )
2 √ 
2
 
Cálculo do desvio médio absoluto: 
𝐷𝑀𝐴( ) 
∑| ̅|𝑓 
∑𝑓 
 
𝐷𝑀𝐴( ) 
 
 
 
 
𝐷𝑀𝐴( ) 𝐷𝑀𝐴( ) 
𝐷𝑀𝐴( ) 
 
 
 
 
Augusto Moura 2013 
30 ESTATÍSTICA 
AFRF-2003 ESTATÍSTICA BÁSICA 
Considere a tabela de freqüências ao lado cor-
respondente a uma amostra da variável X. Não exis-
tem observações coincidentes com os extremos das 
classes. 
 
Calcular a variância, desvio padrão e desvio 
médio: 
 
 
Classes Freqüências 
Acumuladas(%) 
2.000–4.000 5 
4.000–6.000 16 
6.000–8.000 42 
8.000–10.000 77 
10.000–12.000 89 
12.000–14.000 100 
 
 
Solução: 
Podemos relacionar a grandeza x à grandeza y através da relação: 
𝑥 − 
 
onde 7000 é um dos 
valores centrais do conjunto (poderia ser utilizado 9000) de valores de x e 10 é o intervalo de classe. 
Classes 𝐹 𝑓 
ix
 
iy
 
ii fy
 
 𝑓 
| ̅|𝑓 
2.000–4.000 5 5 3000 -2 -10 20 | | 
4.000–6.000 16 11 5000 -1 -11 11 | | 
6.000–8.000 42 26 7000 0 0 0 | | 
8.000–10.000 77 35 9000 1 35 35 | | 
10.000–12.000 89 12 11000 2 24 48 | | 
12.000–14.000 100 11 13000 3 33 99 | | 
Σ ∑𝑓 
 ∑ 𝑓 ∑ 
 𝑓 ∑| ̅|𝑓 
 
Cálculo da média da variável Y: 
 ̅ 
∑ 𝑓 
∑𝑓 
 
 
 
 
Cálculo da variância: 
𝑣𝑎𝑟( ) 
 
𝐧
*∑𝐲𝐢
 𝐟𝐢 
(∑𝐲𝐢𝐟𝐢)
 
𝐧
+ 
𝑣𝑎𝑟(y) 
 
 
* 
 
 
+ 
𝑣𝑎𝑟(y) 
𝑣𝑎𝑟( ) 𝑣𝑎𝑟( ) 
𝑣𝑎𝑟( ) 
𝐷𝑃( ) √𝑣𝑎𝑟( )
2 √ 
2
 
Cálculo do desvio médio absoluto: 
𝐷𝑀𝐴( ) 
∑| ̅|𝑓 
∑𝑓 
 
𝐷𝑀𝐴( ) 
 
 
 
 
𝐷𝑀𝐴( ) 𝐷𝑀𝐴( ) 
𝐷𝑀𝐴( ) 
𝐷𝑀𝐴( ) 
 
 
 
 
Augusto Moura 2013 
31 
AFRF-2002 ESTATÍSTICA BÁSICA 
 
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um 
atributo financeiro (X) foram examinados 200 tens de 
natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse 
exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A 
coluna Classes representa intervalos de valores de X 
em reais e a coluna P representa a freqüência relati-
va acumulada. Não existem observações coinciden-
tes com os extremos das classes. As questões de 38 
a 43 referem-se a esses ensaios. 
 
Calcular a variância, desvio padrão e desvio médio: 
 
Classes P(%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
somatório 
 
 
Solução: 
Podemos relacionar a grandeza x à grandeza y através da relação: 
𝑥 − 
 
onde 140 é o valor cen-
tral do conjunto de valores de x e 20 é o intervalo de classe. 
Classes 𝐹𝑟 𝑓𝑟 
ix
 
iy
 
 𝑓 
| ̅|𝑓 
rii fy
 
70–90 5 5 80 -3 +36 | | -15 
90–110 15 10 100 -2 +32 | | -20 
110–130 40 25 120 -1 +14 | | -25 
130–150 70 30 140 0 0 | | 0 
150–170 85 15 160 1 +26 | | 15 
170–190 95 10 180 2 +72 | | 20 
190–210 100 5 200 3 +90 | | 15 
Σ ∑𝑓𝑟 
 ∑ 
 𝑓 ∑| ̅|𝑓 ∑ 𝑓𝑟 
 
Cálculo da média da variável 
Y: 
 ̅ 
∑ 𝑓 
∑𝑓 
 
 
 
 
Cálculo da variância: 
𝑣𝑎𝑟( ) 
 
𝐧
*∑𝐲𝐢
 𝐟𝐢 
(∑𝐲𝐢𝐟𝐢)
 
𝐧
+ 
𝑣𝑎𝑟(y) 
 
 
* 
( ) 
 
+ 
 
𝑣𝑎𝑟( ) 𝑣𝑎𝑟( ) 
𝑣𝑎𝑟( ) 
𝐷𝑃( ) √𝑣𝑎𝑟( )
2 √ 
2
 
Cálculo do desvio médio absoluto: 
𝐷𝑀𝐴( ) 
∑| ̅|𝑓 
∑𝑓 
 
𝐷𝑀𝐴( ) 
 
 
 
 
𝐷𝑀𝐴( ) 𝐷𝑀𝐴( ) 
𝐷𝑀𝐴( ) 
 
 
 
Augusto Moura 2013 
32 ESTATÍSTICA 
Analista - Geral - Banco Central - 2001 
Um investidor aplica em um fundo de ações e 
espera os rendimentos seguintes, dependentes do 
cenário econômico vigente: 
Cenário Rendimento 
Economia em recessão R$ 1.000,00 
Economia estável R$ 2.000,00 
Economia em expansão R$ 4.000,00 
 
Com base em sua experiência passada, a distri-
buição de probabilidades do cenário econômico 
seria: 
Cenário Probabilidade 
Economia em recessão 0,40 
Economia estável 0,40 
Economia em expansão 0,20 
 
Assinale a opção que dá o valor do desvio-padrão 
em reais da rentabilidade do investidor. 
a)1100 b)2000(1/5)
0,5 
c)3000(3/5)
0,5 
d)1000(6/5)
0,5 
e)2000 
 
Solução: 
xi fi xifi xi
2
fi
1000 0,4 400 400000
2000 0,4 800 1600000
4000 0,2 800 3200000
1 2000 5200000 
 
 
 
 
DResposta 
5/6100010
5
6
10
10
12
102,1
102,11200000
40000005200000
1
2000
5200000
1
1
1
5,03
33
6
2
2
2
22




















s
s
s
s
s
n
fx
fx
n
s
ii
ii
 
CONCURSO PÚBLICO - SECRETARIA DA RE-
CEITA FEDERAL - AFRF- 2002 
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um 
atributo financeiro (X) foram examinados 200 tens 
de natureza contábil do balanço de uma empresa. 
Esse exercício produziu a tabela de freqüências 
abaixo. A coluna Classes representa intervalos de 
valores de X em reais e a coluna P representa a 
freqüência relativa acumulada. Não existem ob-
servações coincidentes com os extremos das 
classes. 
Classes P(%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 Considere a transformação Z=(X-140)/10. Para o 
atributo Z encontrou-se , onde fi é 
a frequência simples da classe i e Zio ponto médio 
de classe transformado. Assinale a opção que dá 
a variância amostral do atributo X. 
 
Augusto Moura 2013 
33 
a)720,00 b)840,20 c)900,10 
d)1200,15 e)560,30 
 
Solução: 
Fri fri xj zi zifri zi
2
fri
70 90 5 5 80 -6 -30 180
90 110 15 10 100 -4 -40 160
110 130 40 25 120 -2 -50 100
130 150 70 30 140 0 0 0
150 170 85 15 160 2 30 60
170 190 95 10 180 4 40 160
190 210 100 5 200 6 30 180
100 -20 840
classes
 
 
 BResposta 
83636,810
36,8
100
4840
100
20
840
100
1
1
2
2
2
22








 









 

x
z
ii
iiz
s
s
n
fz
fz
n
s
 
CONCURSO PÚBLICO - SECRETARIA DA RE-
CEITA FEDERAL - AFRF-2002.2 
O atributo do tipo contínuo X, observado como um 
inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de 
uma população de 1000 indivíduos, produziu a 
tabela de freqüências seguinte: 
Classes Freqüência 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 Assinale a opção que corresponde ao desvio ab-
soluto médio do atributo X.a)16,0 b) 17,0 c) 16,6 
d) 18,1 e) 13,0 
Solução: 
classes fi Fi xj yi yifi [y-média]fi
29,539,5 4 4 34,5 -3 -12 14
39,549,6 8 12 44,5 -2 -16 20
49,559,5 14 26 54,5 -1 -14 21
59,569,5 20 46 64,5 0 0 10
69,579,5 26 72 74,5 1 26 13
79,589,5 18 90 84,5 2 36 27
89,599,5 10 100 94,5 3 30 25
100 50 130
 ERe
00,1310300,1...
300,1
100
0,130
...
10
5,64
sposta
f
fyy
AMD
f
fyy
AMD
x
y
i
i
i
i
i
i












 
Auditor-Fiscal da Receita Federal - AFRF-2000 
Solução: 
 
Augusto Moura 2013 
34 ESTATÍSTICA 
 
 
%202,0
100
90110
10100100
100
:
%1616,0
100
92108
41616
100
:
2
2












ss
M
Supondo
ss
M
Supondo
 
Gabarito B 
Coeficiente de variação ou dispersão 
relativa 
Ocoeficiente de variação é uma medida de dis-
persão empregada para estimar a precisão de 
experimentos e representa o desvio-padrão ex-
presso como porcentagem da média. Sua principal 
qualidade é a capacidade de comparação de dis-
tribuições diferentes. 
𝐶𝑉 
𝐷𝑃( )
𝑚é𝑑𝑖𝑎
 
𝜎𝑥
𝜇
 
𝑠𝑥
 ̅
 
𝜎𝑥 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖 𝑝𝑎𝑑𝑟ã 𝑝 𝑝𝑢 𝑎𝑐𝑖 𝑎 
𝜇 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑝 𝑝𝑢 𝑎𝑐𝑖 𝑎 
𝑠𝑥 𝑒𝑠𝑣 𝑝𝑎 𝑟ã 𝑎 𝑠𝑡𝑟𝑎 
 ̅ 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑚 𝑠𝑡𝑟𝑎 
Algumas vezes, o coeficiente de variação é ainda 
multiplicado por 100, passando a ser expressado 
como percentagem. O coeficiente de variação em 
uma carteira de ativos serve como medida de 
risco para cada unidade de ativo 
CONCURSO PÚBLICO - SECRETARIA DA RE-
CEITA FEDERAL - AFRF- 2002 
 Um atributo W tem média amostral 
0a
e des-
vio padrão positivo 
1b
. Considere a transfor-
mação Z=(W-a)/b. Assinale a opção correta. 
a) A média amostral de Z coincide com a de W. 
b) O coeficiente de variação amostral de Z é unitá-
rio. 
c) O coeficiente de variação amostral de Z não 
está definido. 
d) A média de Z é a/b. 
e) O coeficiente de variação amostral de W e o de 
Z coincidem. 
C Resposta 
0
1
..
1
0
0
:







x
s
VC
b
b
b
s
s
bb
aa
b
aw
z
Solução
z
z
w
z
 
 CONCURSO PÚBLICO - SECRETARIA DA RE-
CEITA FEDERAL -AFRF-2002.2 
Uma variável contábil Y, medida em milhares de 
reais, foi observada em dois grupos de empresas 
apresentando os resultados seguintes: 
Grupo Média Desvio 
 padrão 
A 20 4 
B 10 3 
Assinale a opção correta. 
a) No grupo B, Y tem maior dispersão absoluta. 
b) A dispersão absoluta de cada grupo é igual à 
dispersão relativa. 
c) A dispersão relativa do grupo B é maior do que 
a dispersão relativa do grupo A. 
d) A dispersão relativa de Y entre os grupos A e B 
é medida pelo quociente da diferença de desvios 
padrão pela diferença de médias. 
e) Sem o conhecimento dos quartis não é possível 
calcular a dispersão relativa nos grupos. 
 
Augusto Moura 2013 
35 
C Re
).(.).(.
3,0
10
3
).(.
0,2
5
1
20
4
).(.
sposta
AVCBVC
BVC
AVC



 
CONCURSO PÚBLICO - SECRETARIA DA RE-
CEITA FEDERAL - AFRF-2003 
 O atributo Z= (X-2)/3 tem média amostral 20 e 
variância amostral 2,56. Assinale a opção que 
corresponde ao coeficiente de variação amostral 
de X. 
a) 12,9% b) 50,1% c) 7,7% 
d) 31,2% e) 10,0% 
C Resposta
7,7%0,077
62
4,8
x
s
C.V.
8,41,63s
 622203x 2z3x
6,156,2s
 20z 
3
2-x
z
x
x
z





 
Agente Fiscal de Rendas - Nível I 
FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS Abril/2006 
 Considerando as respectivas definições e propri-
edades relacionadas às medidas de posição e de 
variabilidade, é correto afirmar: 
(a) Dividindo todos os valores de uma 
sequência de números estritamente positivos por 
4, tem-se que o respectivo desvio padrão fica 
dividido por 2. 
40 400 40 10 100 10 
80 100 160 20 25 40 
120 80 120 30 20 30 
 
Desvio 
padrão: 109,5 
Desvio 
padrão: 27,4 
Fica dividido por 4 
Item ERRADO 
(b) Em qualquer distribuição de valores em 
estudo, a diferença entre a mediana e a moda é 
sempre diferente de zero. 
Falso. Se a distribuição for simétrica: 
do MMx 
 
(c) Concedendo um reajuste de 10% em 
todos os salários dos empregados de uma 
empresa, tem-se também que a respectiva 
variância fica multiplicada por 1,10. 
40 400 40 44 440 44 
80 100 160 88 110 176 
120 80 120 132 88 132 
 
var= 12000 var= 14520 
 21,121,1
12000
14520

 
Item Errado. 
(d) Definindo coeficiente de variação (CV) 
como sendo o quociente da divisão do desvio 
padrão pela respectiva média aritmética (diferente 
de zero) de uma seqüência de valores, tem-se 
então que CV também poderá ser obtido dividindo 
a correspondente variância pelo quadrado da 
média aritmética. 
16,04,0
10
4
10
4
2
2

 
Item ERRADO. 
(e) Subtraindo um valor fixo de cada salário 
dos funcionários de uma empresa, tem-se que o 
respectivo desvio padrão dos novos valores é 
igual ao valor do desvio padrão dos valores 
anteriores. 
40 400 40 30 390 30 
80 100 160 70 90 150 
120 80 120 110 70 110 
Desvio 
padrão: 109,5 
Desvio 
padrão: 109,5 
 
Augusto Moura 2013 
36 ESTATÍSTICA 
Item CERTO 
 
Augusto Moura 2013 
37 
Esperança matemática - expectância. 
O valor esperado, também chamado esperança 
matemática ou expectância, de uma variável 
aleatória é a soma das probabilidades de cada 
possibilidade de saída da experiência multiplicada 
pelo seu valor. Isto é, representa o valor médio 
"esperado" de uma experiência se ela for repetida 
muitas vezes. Note-se que o valor em si pode não 
ser esperado no sentido geral; pode ser imprová-
vel ou impossível. Se todos os eventos tiverem 
igual probabilidade o valor esperado é a média 
aritmética. 
Esperança de uma variável aleatória 
Para uma variável aleatória discreta X com valores 
possíveis .e com as suas probabilida-
des representadas pela função 𝑝( ), o valor espe-
rado calcula-se pela série: 
𝐸, - ∑ 𝑝( )
 
 
 
desde que a série seja convergente. 
Para uma variável aleatória contínua X o valor 
esperado calcula-se mediante o integral de todos 
os valores da função de densidade 𝑓( ): 
𝐸, - ∫ 𝑓( )𝑑 
+ 
− 
 
Generalizando, seja g uma função que toma valo-
res no espaço amostral de X. Então temos: 
𝐸,𝑔( )- ∑𝑔( )𝑓( )
 
 
 
e 
𝐸,𝑔( )- ∫ 𝑔( )𝑓( )𝑑 
+ 
− 
 
 
Propriedades do valor esperado: 
Nas seguintes propriedades, X,Y,...são variá-
veis aleatórias, a,b,c,...são constantes. 
 
 
 
 
E para duas variáveis aleatórias: 
 
 
Estas propriedades podem ser generalizadas 
para qualquer número de variáveis aleatórias. 
BANCO CENTRAL DO BRASIL - 2002 
O preço de determinada ação fica constante, au-
menta ou diminui R$ 1,00 por dia com probabili-
dades 0,3, 0,3 e 0,4 respectivamente. Assinale a 
opção que dá o valor esperado do preço da ação 
amanhã se seu preço hoje é R$ 8,00. 
a)R$7,90 b)R$8,00 c)R$7,00 
d)R$9,00 e)R$8,50 
Solução: 
   
     
 
90,7$10,0$00,8$
:esperado Preço
1,04,03,00
3,013,013,00
332211
3
1
RRR
xE
xE
pxpxpxxpxxE
i
ii





 
Gabarito: A 
A variância pode ser calculada a partir de: 
𝑣𝑎𝑟( ) 𝐸( ) ,𝐸( )- 
Na prática usa-se muito freqüentemente esta fór-
mula para calcular mais rapidamente a variância. 
Considere a tabela de freqüênciasrelativas abai-
xo, que mostra a distribuição dos valores arreca-
dados, em 2008, sobre determinado tributo, refe-
rente a um ramo de atividade escolhido para aná-
lise. 
 
Augusto Moura 2013 
38 ESTATÍSTICA 
ix
 𝑝( ) 
1 0,10 
2 0,35 
3 0,25 
4 0,20 
5 0,10 
 
Determinar a variância: 
Solução: 
ix
 𝑝( ) 𝑝( ) 
 
 𝑝( ) 
1 0,10 0,1 0,1 
2 0,35 0,7 1,4 
3 0,25 0,75 2,25 
4 0,20 0,8 3,2 
5 0,10 0,5 2,5 
 ∑ 𝑝 ∑ 
 𝑝 
 
𝑣𝑎𝑟( ) 𝐸( ) ,𝐸( )- 
𝑣𝑎𝑟( ) ( ) 
Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil - 
AFRFB – 2009 
A função densidade de probabilidade de uma vari-
ável aleatória contínua x é dada por: 
 
Para esta função, a média de x, também denomi-
nada expectância de x e denotada por E(x) é igual 
a: 
 
Solução: 
   
 
4
3
4
13
4
03
4
3
3
44
0
1
4
0
1
3
0
1












 
x
dxxdxxxfxE
 
Gabarito C 
Uma variável aleatória do tipo absolutamente contí-
nuo tem a função densidade de probabilidade seguinte: 


 

casos outros em 0
15x10 08,02,1
)(
x
xf
 
 
Assinale a opção que dá a expectância da variável 
aleatória. 
a) 0,160 b) 0,640 c) 0,500 d) 0,200 e) 0,825 
 
Solução: 
     
 
 
      67,1167,276090135
10
3
08,0
106,0 
15
3
08,0
156,0
3
08,0
2
2,1
08,02,1
32
32
15
10
32
15
10
15
10






















 
xE
xE
xxxE
dxxxdxxxfxE
 
Gabarito B 
 
 
Augusto Moura 2013 
39 
Momentos 
 
1-Momento natural (absoluto) de ordem r: 
Os momentos dão uma idéia da tendência central, 
dispersão, assimetria e curtose de uma distribui-
ção de probabilidades. Os momentos mais impor-
tantes são os quatro primeiros, que são muito 
utilizados para caracterizar funções densidade de 
probabilidade. 
O momentode ordem r centrado na média aritmé-
tica é calculado pela expressão: 
𝑚𝑟 
∑( ̅)
𝑟𝑓 
∑𝑓 
 
1º momento: 
𝑚 
∑( ̅)
 𝑓 
∑𝑓 
 
O primeiro momento centrado na média aritmética 
sempre é zero. 
2º momento: 
𝑚 𝑣𝑎𝑟( ) 
∑( ̅)
 𝑓 
∑𝑓 
 
O segundo momento centrado na média aritmética 
sempre é a variância.. 
3º momento: 
𝑚 
∑( ̅)
 𝑓 
∑𝑓 
 
O terceiro momento centrado na média aritmética 
representa a assimetria. 
Assimetria 
É o grau de deformação de uma curva de dis-
tribuição de freqüência. 
Coeficiente Momento de Assimetria (𝐴 ): 
𝐀𝟑 
𝟑º𝐦𝐨𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨
(𝐝𝐞𝐬𝐯𝐢𝐨 𝐩𝐚𝐝𝐫ã𝐨)𝟑
 
𝐦𝟑
,𝐃𝐏(𝐱)-𝟑
 
 
Positiva aAssimétric 0 A Se
Negativa aAssimétric 0 A Se
Simétrica 0 A Se
3
3
3



 
Coeficiente de assimetria de Pearson 
Curva simétrica 
Ex. Curva Normal (de Gauss) 
MoMdx 
 
Assimétrica positiva (à direita) 
MoMdx 
 
Assimétrica negativa (à esquerda) 
MoMdx 
 
Coeficientes ou medidas de assimetria 
a) A1 = 1º coeficiente de assimetria de Pear-
son 
 
Positiva aAssimétric Mo X Se
Negativa aAssimétric Mo X Se
Simétrica Mo X Se



 
 
b) A2 = 2º coeficiente de assimetria de Pear-
son 
 
Positiva aAssimétric Md X Se
Negativa aAssimétric MdX Se
Simétrica Md X Se



 
c) Coeficiente Quartílico de Assimetria 
 
PadrãoDesvio
ModaMédia
S
MoX
 
A1




 
PadrãoDesvio
MedianaMédia
S
MdX
 
)(33
A2




 
Augusto Moura 2013 
40 ESTATÍSTICA 
 
d) Coeficiente Percentílico de Assimetria 
 
4º momento: 
𝑚 
∑( ̅)
 𝑓 
∑𝑓 
 
O quarto momento centrado na média aritmética 
representa a cutose. 
Curtose 
É o grau de achatamento de uma curva de 
freqüência de uma distribuição em relação à curva 
de uma distribuição normal. 
Coeficiente momento de curtose(C) 
𝐂 
𝐦 
,𝐃𝐏(𝐱)- 
 
𝐦 
,𝐯𝐚𝐫(𝐱)- 
 
 
 
 
COEFICIENTEPERCENTÍLICO DE CURTOSE (K) 
 C– 2C
Q– Q
 
C– C
 Dq
 K 
1090
13
1090

 
percentilou centil C
quartílico desvio Dq
:Onde


 
𝐷𝑞 
𝑄 𝑄 
 
 
CURVA MESOCÚRTICA 
O Grau de achatamento é equivalente ao da 
curva normal e seu coeficiente percentílico de 
curtose é: K = 0,263. 
CURVA PLATICÚRTICA 
O grau de achatamento é superior ao da curva 
normal e K > 0,263. 
CURVA LEPTOCÚRTICA 
O grau de achatamento é inferior ao da curva 
normal (mais afilada) e K < 0,263. 
 
QQ
MdQQ
QA
13
2
13



 
CC
MdCC
cA
1090
2
1090



 
Augusto Moura 2013 
41 
Exemplo1: 
 
ix
 𝑓𝑟 
 𝑓 ∑( ̅)
 𝑓 
∑( ̅)
 𝑓 ∑( ̅)
 𝑓 ∑( ̅)
 𝑓 
1 5 5 -10 20 -40 80 
2 20 40 -20 20 -20 20 
3 50 150 0 0 0 0 
4 20 80 20 20 20 20 
5 5 25 10 20 40 80 
Σ 100 300 0 80 0 200 
 
 ̅ 
∑ 𝑓 
∑𝑓 
 
 
 
 
 
𝑚 
∑( ̅)
 𝑓 
∑𝑓 
 
 
 
 
𝑚 𝑣𝑎𝑟( ) 
∑( ̅)
 𝑓 
∑𝑓 
 
 
 
 
𝐷𝑃( ) √𝑣𝑎𝑟( )
2 √ 
2 
𝑚 
∑( ̅)
 𝑓 
∑𝑓 
 
 
 
 ( 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 ) 
𝐀𝟑 
𝟑º𝐦𝐨𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨
(𝐝𝐞𝐬𝐯𝐢𝐨 𝐩𝐚𝐝𝐫ã𝐨)𝟑
 
𝐦𝟑
,𝐃𝐏(𝐱)-𝟑
 
 
( )𝟑
 
𝑚 
∑( ̅)
 𝑓 
∑𝑓 
 
 
 
 
𝐂 
𝐦 
,𝐃𝐏(𝐱)- 
 
𝐦 
,𝐯𝐚𝐫(𝐱)- 
 
 
( ) 
 𝟑 > ( 𝒆 𝒄ú 𝒄 ) 
 
 
Augusto Moura 2013 
42 ESTATÍSTICA 
Exemplo2 
 
ix
 𝑓𝑟 
 𝑓 ∑( ̅)
 𝑓 
∑( ̅)
 𝑓 ∑( ̅)
 𝑓 ∑( ̅)
 𝑓 
1 15 15 -2,4 38,4 -61,44 98,304 
2 30 60 -18 10,8 -6,48 3,888 
3 40 120 16 6,4 2,56 1,024 
4 10 40 14 19,6 27,44 38,416 
5 5 25 12 28,8 69,12 165,888 
Σ 100 260 0 104 31,2 307,52 
 
 ̅ 
∑ 𝑓 
∑𝑓 
 
 
 
 
 
𝑚 
∑( ̅)
 𝑓 
∑𝑓 
 
 
 
 
𝑚 𝑣𝑎𝑟( ) 
∑( ̅)
 𝑓 
∑𝑓 
 
 
 
 
𝐷𝑃( ) √𝑣𝑎𝑟( )
2 √ 
2 
𝑚 
∑( ̅)
 𝑓 
∑𝑓 
 
 
 
 ( 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑝 𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎) 
𝐀𝟑 
𝟑º𝐦𝐨𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨
(𝐝𝐞𝐬𝐯𝐢𝐨 𝐩𝐚𝐝𝐫ã𝐨)𝟑
 
𝐦𝟑
,𝐃𝐏(𝐱)-𝟑
 
 𝟑 
( )𝟑
 
𝑚 
∑( ̅)
 𝑓 
∑𝑓 
 
 
 
 
𝐂 
𝐦 
,𝐃𝐏(𝐱)- 
 
𝐦 
,𝐯𝐚𝐫(𝐱)- 
 
𝟑 
( ) 
 < ( 𝒄ú 𝒄 ) 
 
 
Augusto Moura 2013 
43 
 
Exemplo 3 
 
ix
 𝑓𝑟 
 𝑓 ∑( ̅)
 𝑓 
∑( ̅)
 𝑓 ∑( ̅)
 𝑓 ∑( ̅)
 𝑓 
1 5 5 -12 28,8 -69,12 165,888 
2 10 20 -14 19,6 -27,44 38,416 
3 40 120 -16 6,4 -2,56 1,024 
4 30 120 18 10,8 6,48 3,888 
5 15 75 24 38,4 61,44 98,304 
 
100 340 0 104 -31,2 307,52 
 
 ̅ 
∑ 𝑓 
∑𝑓 
 
 
 
 
 
𝑚 
∑( ̅)
 𝑓 
∑𝑓 
 
 
 
 
𝑚 𝑣𝑎𝑟( ) 
∑( ̅)
 𝑓 
∑𝑓 
 
 
 
 
𝐷𝑃( ) √𝑣𝑎𝑟( )
2 √ 
2 
𝑚 
∑( ̅)
 𝑓 
∑𝑓 
 
 
 
 ( 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎) 
𝐀𝟑 
𝟑º𝐦𝐨𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨
(𝐝𝐞𝐬𝐯𝐢𝐨 𝐩𝐚𝐝𝐫ã𝐨)𝟑
 
𝐦𝟑
,𝐃𝐏(𝐱)-𝟑
 
 𝟑 
( )𝟑
 
𝑚 
∑( ̅)
 𝑓 
∑𝑓 
 
 
 
 
𝐂 
𝐦 
,𝐃𝐏(𝐱)- 
 
𝐦 
,𝐯𝐚𝐫(𝐱)- 
 
𝟑 
( ) 
 < ( 𝑝 𝑎𝑡𝑖𝑐ú𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎 ) 
 
Augusto Moura 2013 
44 ESTATÍSTICA 
CONCURSO PÚBLICO -SECRETARIA DA RE-
CEITA FEDERAL - AFRF-2003 
Considere a tabela de freqüências seguinte cor-
respondente a uma amostra da variável X. Não 
existem observações coincidentes com os extre-
mos das classes. 
Classes Freqüências 
Acumuladas(%) 
2.000–4.000 5 
4.000–6.000 16 
6.000–8.000 42 
8.000–10.000 77 
10.000–12.000 89 
12.000–14.000 100 
 Assinale a opção que corresponde ao valor do 
coeficiente de assimetria percentílico da amostra 
de X, baseado no 1º, 5º e 9º decis. 
a) 0,024 b) 0,300 c) 0,010 
d) - 0,300 e) - 0,028 
4909
11
5
20004000
11
5
10
100
20004000
10
: assimetria de ecoeficient
1
1
1

























D
D
f
F
n
cLD
decílica
anterior
i
 
8457
35
8
20008000
35
42
10
1005
20008000
10
5
5
5
5






























D
D
f
F
n
cLD
decílica
anterior
i
 
 
 
 
 
AResposta 
024,0
7272
176
7272
1691417090
A
490912181
84572490912181
A
2D
A
12181
11
1
200012000
11
89
10
1009
200012000
10
9
19
519
9
9
9







































DD
DD
D
D
f
F
n
cLD
decílica
anterior
i
 
CONCURSO PÚBLICO - SECRETARIA DA RE-
CEITA FEDERAL - AFRF- 2002 
 Em um ensaio para o estudo da distribuição de 
um atributo financeiro (X) foram examinados 200 
tens de natureza contábil do balanço de uma em-
presa. Esse exercício produziu a tabela de fre-
qüências abaixo. A coluna Classes representa 
intervalos de valores de X em reais e a coluna P 
representa a freqüência relativa acumulada. Não 
existem observações coincidentes com os extre-
mos das classes. 
Classes P(%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
 
Augusto Moura 2013 
45 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 
Seja S o desvio padrão do atributo X. Assinale a 
opção que corresponde à medida de assimetria de 
X como definida pelo primeiro coeficiente de Pear-
son. 
a)3/S b)4/S c)5/S d)6/S e)0 
 
A Resposta 
3135138x
C.V.
1355130
155
5
20130
:Solução
21
1
sss
M
M
cLM
O
O
iO






















 
Entende-se por curtose de uma distribuição eu 
grau de achatamento em geral medido em relação 
à distribuição normal. Uma medida de curtose é 
dada pelo quociente 
1090 PP
Q


 
onde Q é a metade da distância interquartílica e 
90P
e
10P
representam os percentis de 90% e 10%, 
respectivamente. Assinale a opção que dá o valor 
da curtose κ para a distribuição de X. 
a) 0,263 b) 0,250 c) 0,300 
d) 0,242 e) 0,000 
 
Solução: 
118
25
15
4
100
20110
4
1
1





























Q
f
F
n
cLQ
quartílica
anterior
i
 
100
10
5
100
10010
2090
100
10
180
10
85
100
10090
20170
100
90
67,156
15
70
4
1003
20150
4
3
10
10
90
90
3
3


























































































P
f
F
n
cLP
P
f
F
n
cLP
Q
f
F
n
cLQ
capercentíli
anterior
i
capercentíli
anterior
i
quartílica
anterior
i
 
 
CONCURSO PÚBLICO - SECRETARIA DA RE-
CEITA FEDERAL - AFRF-2002.2 
O atributo do tipo contínuo X, observado como um 
inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de 
 
 
 DResposta 
242,0241688,0
1001802
11867,156
2 1090
13









PP
QQ
 
Augusto Moura 2013 
46 ESTATÍSTICA 
uma população de 1000 indivíduos, produziu a 
tabela de freqüências seguinte: 
Classes Freqüência 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
Assinale a opção que dá o valor do coeficiente 
quartílico de assimetria. 
a) 0,080 b) -0,206 c) 0,000 
d) -0,095 e) 0,300 
Solução:  
78,58
14
12
4
100
105,49
 f
 F– n/4
 c Li Q
1
1
QUARTÍLICA
ANTERIOR




















Q
 
 
17,81
18
72
4
1003
105,79
 f
 F– 3n/4
 c Li Q
3
3
QUARTÍLICA
ANTERIOR





















Q
 
 
 
 
 DRe
095,0
78,5817,81
04,71278,5817,81
2)(
13
13
sposta
QQ
MQQ D









 
 Para a distribuição de freqüências do atributo X 
sabe-se que 
 
  14.682.500
24500
7
1
4
7
1
2






i
i
i
i
fxx
fxx
 
Nessas expressões os 
ix
representam os pontos 
médios das classes e 
x
a média amostral. Assina-
le opção correta. 
Considere para sua resposta a fórmula da curtose 
com base nos momentos centrados e suponha 
que o valor de curtose encontrado é populacional. 
a) A distribuição do atributo X é leptocúrtica. 
b) A distribuição do atributo X é platicúrtica. 
c) A distribuição do atributo X é indefinida do ponto 
de vista da intensidade da curtose. 
d) A informação dada se presta apenas ao cálculo 
do coeficiente de assimetria com base nos mo-
mentos centrados de X. 
e) A distribuição de X é normal 
Solução: 
classes fi Fi xj xjfi
29,539,5 4 4 34,5 138
39,549,6 8 12 44,5 356
49,559,5 14 26 54,5 763
59,569,5 20 46 64,5 1290
69,579,5 26 72 74,5 1937
79,589,5 18 90 84,5 1521
89,599,5 10 100 94,5 945
100 6950
 
(x-média)fi (x-média)^2fi (x-média)^4fi
-140 4900 6002500
-200 5000 3125000
-210 3150 708750
-100 500 12500
130 650 16250
270 4050 911250
250 6250 3906250
0 24500 14682500
 
245
100
24500
)(
2
2
2





m
f
fxx
m
i
ii
 
 
Augusto Moura 2013 
47 
 
caplaticúrti é ãodistribuiç A
44,2
245
146825
m
m
 
curtose de 
146825
100
14682500
)(
22
2
4
4
4
4







ecoeficient
m
f
fxx
m
i
ii
 
CONCURSO PÚBLICO - SECRETARIA DA RE-
CEITA FEDERAL - AFRF-2003 
Considere a tabela de freqüências seguinte cor-
respondente a uma amostra da variável X. Não 
existem observações coincidentes com os extre-
mos das classes. 
Classes Freqüências 
Acumuladas(%) 
2.000–4.000 5 
4.000–6.000 16 
6.000–8.000 42 
8.000–10.000 77 
10.000–12.000 89 
12.000–14.000 100 
Assinale a opção que corresponde ao valor do 
coeficiente de assimetria percentílico da amostra 
de X, baseado no 1º, 5º e 9º decis. 
a) 0,024 b) 0,300 c) 0,010 
d) - 0,300 e) - 0,028 
 
4909
11
5
20004000
11
5
10
100
20004000
10
: assimetria de ecoeficient
1
1
1

























D
D
f
Fn
cLD
decílica
anterior
i
 
8457
35
8
20008000
35
42
10
1005
20008000
10
5
5
5
5






























D
D
f
F
n
cLD
decílica
anterior
i
 
 
 
 
 
AResposta 
024,0
7272
176
7272
1691417090
A
490912181
84572490912181
A
2D
A
12181
11
1
200012000
11
89
10
1009
200012000
10
9
19
519
9
9
9







































DD
DD
D
D
f
F
n
cLD
decílica
anterior
i
 
 
 
 
Augusto Moura 2013 
48 ESTATÍSTICA 
TEOREMA DE BAYES 
O teorema de Bayes é um corolário do teorema 
da probabilidade total que permite calcular a pro-
babilidade de eventos mutuamente dependentes: 
𝑃(𝐴|𝐵) 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
 
𝑃(𝐵|𝐴) 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴)
 
P(A) e P(B) são as probabilidades de A e B 
P(B|A) e P(A|B) são as probabilidades de B condi-
cional a A e de A condicional a B respectivamen-
te. 
A regra de Bayes mostra como alterar as probabi-
lidades a priori tendo em conta novas evidências 
de forma a obter probabilidades a posteriori. 
Pode ser escrito na forma: 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴|𝐵) 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐵|𝐴) 𝑃(𝐴) 
EXEMPLO 1: 
A respeito de dois eventos A e B, é falso que: 
a) P(A) + P(B) = 1, se e somente se A e B 
são complementares. 
b) P(A) + P(B) – P(A B) = P(AUB). 
c) P(A B) = P(A) – P(B), se e somente se A 
e B são independentes. 
d) P(A B) = P(A) + P(B), se e somente se A 
e B são mutuamente excludentes. 
e) Se A e B são independentes, então A e B 
são mutuamente excludentes. 
RESOLUÇÃO: 
A única alternativa falsa é a letra E 
Se A e B são independentes, A e B não são ne-
cessariamente excludentes. 
 
EXEMPLO 2: 
Considere as situações apresentadas abaixo. 
Situação I: 250 empregados de uma firma atuam 
em três áreas de uma grande cidade de maneira 
que 150 atuam na área X; 75, na área Y; e 25, na 
área Z. Sabe-se que a probabilidade de um em-
pregado faltar a um dia de serviço é de 0,02 na 
área X; de 0,04, na área Y; e de 0,01, na área Z. 
Situação II: Estudantes de um curso de aperfeiço-
amento em finanças sabem que: 
I - 20% dos alunos de Econometria recebem nota 
A; 
II - dos alunos que recebem nota A em Econome-
tria, 10% recebem nota A em Estatística; 
III - dos alunos que recebem nota A em Estatística, 
20% recebem nota A em Econometria; 
IV - todos os alunos devem curas Estatística e 
Econometria. 
Com base nas situações apresentadas, julgue os 
itens a seguir. 
a) Na situação I, a probabilidade de um emprega-
do faltar a um dia de serviço é inferior a 0,02. 
b) Na situação I, sabendo que, no último dia útil, 
um empregado faltou ao serviço, a probabilidade 
de esse empregado atuam na área X é superior a 
0,4. 
c) Na situação II, selecionando um aluno ao aca-
so, a probabilidade de ele ter recebido nota A em 
Estatística será inferior a 0,2. 
d) Na situação II, selecionando um aluno ao aca-
so, a probabilidade de ele ter recebido nota A em 
Econometria e nota diferente de A em Estatística 
será superior a 0,3. 
e) Na situação II, selecionando um aluno ao aca-
so, a probabilidade de ele ter recebido nota A em 
Econometria ou em Estatística será inferior a 0,3. 
RESOLUÇÃO 
Do enunciado, fazendo 100% = 100, tiramos as 
seguintes conclusões para a situação II: 
20 alunos do total tiraram nota A em Econometria 
 
Augusto Moura 2013 
49 TEOREMA DE BAYES 
2 alunos do total tiraram nota A em Econometria e 
Estatística 
Se os 2 alunos que tiraram nota A em Estatística 
representam 20%, então 100% dos alunos que 
tiraram nota A em Estatística é igual a 10, ou seja, 
10% do total 
Analisando cada alternativa, temos: 
a) Falso; fazendo a média ponderada das probabi-
lidades, temos: 
 
b) Verdade; 
 
 
c) Verdade; como mostramos acima, a probabili-
dade de ele ter recebido nota A em Estatística 
(PA) = 0,2 
Probabilidade de ele ter recebido nota 
Estatística (PB) = 1 - 0,1 = 0,9 
Logo, temos = P(A e B) = P( ) = P(A). P(B)= 
0,2 . 0,9 = 0,18 
e) Verdade, a probabilidade de ele tirar A em Eco-
nometria(PA) = 0,2 e em Estatística (PB) = 0,1. 
Como a alternativa pede P(A ou B) e os eventos 
não são mutuamente exclusivos, devemos usar a 
regra geral da adição para estes casos, ou seja: 
P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B) 
P(A ou B) = 0,2 + 0,1 - (0,2 . 0,1) 
P(A ou B) = 0,3 - 0,02 = 0,28 
Conclusão: FVVFV 
EXEMPLO 3: 
O gerente de finanças de um banco chefiou o 
desenvolvimento e a implantação de um novo 
sistema que veio a causar sérios problemas à 
instituição devido a um erro cometido por um dos 
membros da equipe. O gerente é, com probabili-
dade igual a 0,8, o responsável pelo erro cometi-
do. Dois assessores diretos, X e Y, sabem se o 
gerente é ou não culpado e foram chamados para 
uma reunião com a presidência do banco. O as-
sessor X, primeiro a ser chamado, é amigo do 
gerente e dirá a verdade, se o gerente for inocen-
te, mas mentirá, com probabilidade igual a 0,2, se 
o gerente for culpado. Já o assessor Y, segundo a 
dar testemunho, odeia toda a equipe e dirá a ver-
dade, se o gerente for culpado, mas mentirá, com 
probabilidade igual a 0,3, se o gerente for inocen-
te. 
Com base na situação apresentada, julgue os 
itens que se seguem: 
a) Se X disser à presidência que o gerente é res-
ponsável pelo erro, a chance de o gerente ser 
inocente será igual a 0,2 
b) O testemunho falso mais provável será dado 
pelo assessor X 
c) Os assessores X e Y darão, com probabilidade 
igual a 0,16, testemunhos conflitantes 
d) Se X e Y derem testemunhos conflitantes, a 
chance de o gerente ser inocente será igual a 3/11 
e) Os eventos (X mente) e (Y mente) são depen-
dentes 
 
RESOLUÇÃO 
Analisando cada alternativa, temos: 
a) Errado; a probabilidade de o gerente ser ino-
cente é de 0,8 . 0,2 = 0,16 
b) Correto; X 1. 
0,2 = 0,2 e se o gerente for culpado = 0,8. 0,8 = 
0,64. Logo, X tem 0,20 + 0,64 = 0,84 de probabili-
dade de falar a verdade e, conseqüentemente, 
0,16 de probabilidade de dar um falso testemunho 
Y 0,8. 1 = 0,8 e se 
o gerente for inocente = 0,2. 0,7 = 0,14. Logo, Y 
tem 0,80+0,14 = 0,94 de probabilidade de falar a 
verdade e, conseqüentemente, 0,06 de probabili-
dade de dar um falso testemunho 
c) Errado; a probabilidade de testemunhos confli-
tante é de 0,2. 0,3 = 0,06 
 
     
025,0
250
25,6
250
01,02504,07502,0150
X 


 
 
     
48,0
25,6
3
01,02504,07502,0150
02,0150



 
Augusto Moura 2013 
50 ESTATÍSTICA 
d) Correto; a probabilidade de o gerente ser ino-
cente no caso de testemunhos conflitantes é de: 
P(de ele ser inocente) / P(de ele ser inocente + 
probabilidade de ele ser culpado) 
Onde: a probabilidade de ele ser inocente = 
P(A) . [P(B)/P(A)] = 0,2 . (0,3/0,2)=0,2.1,5=0,3 
A probabilidade de ele ser culpado é de 0,8, logo, 
temos: P =0,3/(0,3+0,8) = 0,3/1,1 = 3/11 
e) Correto; P(X mente).P(Y mente) ≠ 
seja, P(A).P(B) = 0,2.0,3 = 0,06. Dois eventos só 
são independentes se a multiplicação acima for 
igual a zero. 
Conclusão: ECECC 
Analista - Geral - Banco Central - 2001 
Os registros de uma instituição financeira indicam 
que 90% das contas de empréstimo consideradas 
inadimplentes apresentaram pagamentos com 
mais de duas semanas de atrasoem pelo menos 
duas prestações. Sabe-se também que 10% de 
todas as contas de empréstimo tornam-se inadim-
plentes e que 40% das contas de empréstimo 
integralmente liquidadas mostram pelo menos 
duas prestações com atraso no pagamento em 
mais de duas semanas. Assinale a opção que 
corresponde à probabilidade de que uma conta de 
empréstimo com duas ou mais prestações pagas 
com atraso de duas semanas torne-se inadimplen-
te. 
a)20% b)10% c)9% d)15% e)18% 
Solução: 
 
Probabilidade de que uma conta de empréstimo 
com duas ou mais prestações pagas com atraso 
de duas semanas torne-se inadimplente: 
%202,0
5
1
45
9
45,0
09,0
36,009,0
09,0


 
BANCO CENTRAL DO BRASIL - 2002 
Uma empresa fabrica motores a jato em duas 
fábricas A e B. Um motor é escolhido ao acaso de 
um lote de produção. Nota-se que o motor apre-
senta defeitos. De observações anteriores a em-
presa sabe que 2% e 3% são as taxas de motores 
fabricados com algum defeito em A e B, respecti-
vamente. Sabendo-se que a fábrica A é responsá-
vel por 40% da produção, assinale a opção que dá 
a probabilidade de que o motor escolhido tenha 
sido fabricado em A. 
a)0,400 b)0,030 c)0,012 
d)0,308 e)0,500 
 
 
D= motor que apresenta defeitos 
N= motor que não apresenta defeitos 
Probabilidade de que o motor escolhido tenha sido 
fabricado em A: 
308,0
26
8
026,0
008,0
008,0018,0
008,0


 
 
Augusto Moura 2013 
51 TEOREMA DE BAYES 
BANCO CENTRAL DO BRASIL - 2002 
A distribuição de probabilidades dada abaixo refere-se 
aos atributos idade e violação das leis de trânsito. Re-
presente por Ei os eventos elementares associados à 
idade e por Fi os eventos elementares associados à 
violação das leis de trânsito. 
Idade 
Violação das Leis de Trânsito nos 
últimos 12 meses. 
Nenhuma Uma Duas ou mais 
21 anos 0,230 0,120 0,050 
>21 anos 0,450 0,140 0,010 
Assinale a opção que dá a probabilidade de que um 
motorista escolhido ao acaso não tenha cometido ne-
nhuma violação de trânsito nos últimos 12 meses dado 
que o mesmo tenha mais de 21 anos. 
a)0,75 b)0,60 c)0,45 d)0,66 e)0,00 
Solução: 
75,0
60
45
01,014,045,0
45,0


 
 Assinale a opção que corresponde à probabilidade da 
união de E1 e F2. 
a)0,12 b)0,26 c)0,54 d)0, 66 e)0,37 
 
F1 F2 F3
E1 0,23 0,12 0,05
E2 0,14
 
  54,014,005,012,023,021 FEP 
CONCURSO PÚBLICO PREFEITURA DE RECI-
FE – 2003 - AUDITOR DO TESOURO MUNICIPAL 
Suponha que a probabilidade de um evento C seja 
0,4 e que a probabilidade condicional do evento D 
dado que C ocorreu seja 0,2. Assinale a opção 
que dá o valor da probabilidade de ocorrência de 
D e C. 
a) 0,50 b) 0,08 c) 0,00 
d) 1,00 e) 0,60 
Solução: 
      08,02,04,0  CPCDPCDP
 
Gabarito B 
 
 
Augusto Moura 2013 
52 ESTATÍSTICA 
FUNÇÕES DE DISTRIBUIÇÃO E 
DENSIDADE DE PROBABILIDADES 
 
Funções de distribuição e densidade 
de probabilidades para variável dis-
creta 
 
Vamos construir a partir do exemplo a função de 
distribuição de probabilidades. 
Um representante comercial tem 20% de probabi-
lidade de realizar uma venda em uma visita a um 
cliente. Escreva a função de distribuição e a fun-
ção de distribuição acumulada de probabilidades. 
Solução: 
 
 
Calculando as probabilidades para as três visitas: 
Primeira 
Visita 
Segunda 
Visita 
Terceira 
Visita 
Probabilidade 
0,2 0,2 0,2 0,008 
0,2 0,2 0,8 0,032 
0,2 0,8 0,2 0,032 
0,2 0,8 0,8 0,128 
0,8 0,2 0,2 0,032 
0,8 0,2 0,8 0,128 
0,8 0,8 0,2 0,128 
0,8 0,8 0,8 0,512 
 
Admitindo-se que a variável aleatória X representa o 
número de vendas realizada nas três visitas teremos: 
𝑃( < ) 
𝑃( ) 𝑃( ≤ < ) 
𝑃( ) 𝑃( ≤ < ) 
𝑃( ) 𝑃( ≤ < ) 
𝑃( ) 𝑃( ≥ ) 
 
Escrevendo a função de distribuição de probabilidades 
teremos: 
𝑓( ) 
{
 
 
 
 
 < 
 ≤ < 
 ≤ < 
 ≤ < 
 ≥ 
 
Escrevendo a função de distribuição de probabilidades 
acumulada teremos: 
𝐹( ) 
{
 
 
 
 
 < 
 ≤ < 
 ≤ < 
 ≤ < 
 ≥ 
 
 
 
 
Augusto Moura 2013 
53 FUNÇÕES DE DISTRIBUIÇÃO E DENSIDADE DE PROBABILIDADES 
Exemplo1: 
Uma variável aleatória X tem função de distribuição 
de probabilidades dada por 














3 x 1
3x2 11/12
2x1 7/12
1x0 1/4
0 x 0
)(xF
 
Assinale a opção que dá o valor da probabilidade X=2. 
a) 7/12 b) 11/12 c) 1/3 d) 3/4 e) 10/12 
 
C Resposta
3
1
12
4
12
7
12
11
)2(
:
xP
Solução
 
Exemplo 2: 
 Uma variável aleatória X tem função de distribui-
ção 
 












 2 xse 1
2x1 se 
12
7
1x0 se 
4
1
0 xse 0
xF
 
Assinale a opção que corresponde ao valor da fun-
ção massa de probabilidades (ou função densidade de 
probabilidades, se for o caso) de X no ponto x=1. 
a) 0,250 b) 0,333 c) 0,083 d) 0,583 e) 0,417 
 
Solução: 
...333,0
3
1
12
4
12
37
4
1
12
7



 
Gabarito B 
Exemplo 3: 
Uma variável aleatória X tem função de istribuição 
de 
 
probabilidades dada por 
 
Solução: 
Fi fi 
0 0 
 1/243 1/243 
 11/243 10/243 
 17/81 40/243 
 131/243 80/243 
 211/243 80/243 
1 32/243 
658,0
243
160
243
8080
)42Pr( 

 x
 
Gabarito B 
Exemplo 4: 
CONCURSO PÚBLICO PREFEITURA DE RECI-
FE – 2003 - AUDITOR DO TESOURO MUNICIPAL 
Para uma amostra de tamanho 100 de um atributo 
discreto X obteve-se a função de distribuição em-
pírica seguinte: 
 
Augusto Moura 2013 
54 ESTATÍSTICA 
 
Assinale a opção que corresponde à frequência de 
observações de X iguais a três. 
a) 55 b) 35 c) 20 d) 30 e) 85 
Solução: 
Fi fi 
0,00 0,00 
0,15 0,15 
0,35 0,20 
0,55 0,20 
0,85 0,30 
1,00 0,15 
20,0)3( xP
 
Gabarito C. 
 
Solução: 
 
 
 
 
  5,01
5,00
15,0
)10(5,0
00











xP
xP
x
x
x
xf
 
Gabarito C 
Funções de distribuição e densidade 
de probabilidades para variável con-
tínua 
 
Em matemática, a função densidade de probabi-
lidade é uma função utilizada para representar a distri-
buição de probabilidade caso a variável aleatória seja 
contínua. Utiliza, para esses efeitos, a integral. 
Especificamente, se uma variável aleatória tem 
densidade dada por f(x), então, intuitivamente, o interva-
lo infinitesimal [x, x+dx] tem probabilidade f(x) dx. 
Formalmente, uma variável aleatória contínua tem 
densidade f(x) se f é uma função não-negativa tal que a 
probabilidade no intervalo [a,b] é dada por: 
𝑃(𝑎 < < 𝑏) ∫ 𝑓( )𝑑 
 
𝑎
 
quaisquer que sejam a e b, e a probabilidade de todo o 
espaço amostral é 1: 
𝑃( < < ) ∫ 𝑓( )𝑑 
+ 
− 
 
A função distribuição acumulada é a integral da 
densidade: 
 
𝐹( ) ∫ 𝑓( )𝑑 
𝑥
− 
 
 
Exemplo 1: 
A variável aleatória X tem distribuição de probabili-
dades do tipo absolutamente contínuo com densidade 
de probabilidades 










x 0 
x- 
2
1
)(xf
 
tenha P(X>1)=0,25. 
 
Augusto Moura 2013 
55 FUNÇÕES DE DISTRIBUIÇÃO E DENSIDADE DE PROBABILIDADES 
a)4 b)0 c)3 d)1 e)2 
 
Exemplo 2: 
Uma variável aleatória do tipo absolutamente contí-
nuo tem a função densidade de probabilidade seguinte: 


 

casos outros em 0
15x10 08,02,1
)(
x
xf
 
 
Assinale a opção que dá a probabilidade de que a vari-
ável aleatória assuma valores entre 10 e 12. 
a) 0,160 b) 0,640 c) 0,500 d) 0,200 e) 0,825 
Solução: 
     
   
   
 
 
     
   
 
  64,076,14,2
4404,022,1
14410004,022,1
121004,010122,1
1004,01204,0102,1122,1
1004,0102,1 
1204,0122,1
04,02,1
08,02,1
22
22
2
2
12
10
2
12
10
12
10








 
xP
xP
xP
xP
xP
xP
xxxP
dxxdxxfxP
Gabarito B 
Exemplo 3: 
O tempo em segundos, necessário para processar 
certo programa é uma variável aleatória com função 
densidade de probabilidades 
 
 





0,10 x0
0,10 x1,0
)(xf
 
Assinale a opção que corresponde à probabilidade 
de que o tempo de processamento exceda 7 segundos. 
a)0,20 b)0,25 c)0,30 d)0,35 e)0,40 
 
Solução: 
    3,071,0101,01,01,0
10
7
10
7
  xdxxP
 
Gabarito C 
 
 
Augusto Moura 2013 
56 ESTATÍSTICA 
DISTRIBUIÇÕES DESCONTÍNUAS 
DE PROBABILIDADE. 
Distribuição binomial 
A distribuição binomial é a distribuição de pro-
babilidade discreta do número de sucessos numa 
sequência de n tentativas tais que as tentativas 
são independentes; cada tentativa resulta apenas 
em duas possibilidades, sucesso ou fracasso (a 
que se chama de tentativa de Bernoulli); a proba-
bilidade de cada tentativa, p, permanece constan-
te. 
Considere um experimento realizado vezes, 
sob as mesmas condições, com as seguintes ca-
racterísticas: 
 Cada repetição do experimento (ou 
ensaio) produz um de dois resultados 
possíveis, denominados tecnicamente 
por sucesso (S) ou fracasso (F), e os 
resultados são dicotômicos. 
 
 
 A probabilidade de sucesso é a mes-
ma em cada repetição do experimen-
to. 
 Os ensaios são independentes, e o 
resultado de um ensaio não interfere 
no resultado do outro. 
𝑃( ) .
 
 
/ 𝑝𝑘 ( 𝑝)𝑘 
Ovalor esperado de X é𝐸( ) 𝑝 
Avariância é𝑣𝑎𝑟( ) 𝑝( 𝑝) 
O gráfico abaixo mostra o histograma para o lan-
çamento de cinco moedas não viciadas: probabili-
dade de resultado ―cara‖ igual a 0,5 e resultado 
―coroa‖ igual a 0,5. 
 
O gráfico abaixo mostra o histograma para o lan-
çamento de cinco moedas viciadas: probabilidade 
de resultado ―cara‖ igual a 0,6 e resultado ―coroa‖ 
igual a 0,4. 
 
Secretaria de Estado da Fazenda 
Edital SEF nº 001/2010 
Uma variável aleatória X segue uma distribuição 
binomial com os seguintes parâmetros: número de 
ensaios = 100; probabilidade de sucesso em cada 
ensaio = 0,2. 
De acordo com essas informações, qual é o valor 
esperado de X? 
a. 0,2 b. 0,8 c. 20 d. 80 e. 100 
Solução: 
  202,0100  npxE
 
Gabarito C 
Em um experimento binomial com três provas, a 
probabilidade de ocorrerem dois sucessos é doze 
vezesa probabilidade de ocorrerem três sucessos. 
Desse modo, as probabilidades de sucesso e fra-
 
Augusto Moura 2013 
57 DISTRIBUIÇÕES DESCONTÍNUAS DE PROBABILIDADE. 
casso são, em percentuais, respectivamente, 
iguais a: 
a) 80 % e 20 %b) 30 % e 70 % 
c) 60 % e 40 %d) 20 % e 80 % 
e) 25 % e 75 % 
Solução: 
   
   
 
%808,02,011
%202,0
5
1
15
41
41
1213
1
3
3
121
2
3
3122
0312



















p
p
p
pp
pp
pp
pppp
xPxP
 
03- Em uma cidade, 10% das pessoas possuem 
carro importado. Dez pessoas dessa cidade são 
selecionadas, ao acaso e com repetição. A proba-
bilidade de que exatamente 7 das pessoas seleci-
onadas possuam carro importado é: 
a) (0,1)
7
(0,9)
3
 
b) (0,1)
3
(0,9)
7
 
c) 120(0,1)
7
(0,9)
3
 
d) 120(0,1) (0,9)
7
 
e) 120(0,1)
7
(0,9) 
Solução: C 
     
     
     37
37
7107
7,10
9,01,01207
9,01,0
321
8910
7
9,01,07







xP
xP
CxP
 
CONCURSO PÚBLICO AUDITOR-FISCAL DA 
PREVIDÊNCIA SOCIAL – 2002 
Suponha que a probabilidade de que se encontre 
um erro contábil grave em uma auditoria seja 0,2. 
Se dez auditorias independentes são realizadas, 
assinale a opção que dá a probabilidade de que 
não mais do que uma detecte erro contábil grave. 
 
Solução: 
     
 
 
 
 
 
   
 
EGabarito
xP
xP
xP
xP
xP
oxP
oxP
xPoxPxP
 
5
4
8,2
10
8
8,21
8,08,28,028,01
8,028,08,01
8,028,02,0101
8,02,0
1
10
1
8,08,08,08,011
8,02,0
0
10
11
99
99
99
99
91
91010
100
































 
 Os membros do departamento de vendas de uma 
Cia aérea sabem que com probabilidade 5% um 
passageiro com reserva confirmada não se apre-
senta para o vôo. Nesse contexto a política de 
vendas da Cia é vender 52 passagens para um 
vôo que acomoda no máximo 50 passageiros. 
Assinale a opção que corresponde a probabilidade 
de que haja um lugar disponível para todo passa-
geiro que se apresente para o vôo. Sabe-se que 
 
a) 0,500 b) 0,738 c) 0,830 d) 0,835 e) 0,741 
Solução: 
     
       
     
     
     
       51152
511
511
52520
95,005,05295,012
1012
95,005,0521
95,005,0
1
52
1
95,095,005,0
0
52
0
1012


















xP
xPxPxP
xP
xP
xP
xPxPxP
 
 
Augusto Moura 2013 
58 ESTATÍSTICA 
 
 
 
  741,02
19006,00694,012
0731,005,0520694,012
0731,005,0520694,012




xP
xP
xP
xP
 
Gabarito E 
Analista - Informática - Banco Central - 001 
Um fabricante de discos rígidos sabe que 2% dos 
discos produzidos falham durante o período de 
garantia. Assinale a opção que dá a probabilidade 
de que pelo menos um disco falhe numa amostra 
aleatória de 10 discos tomados da linha de produ-
ção. 
   
 
 
 
0,02 )
0,02-1 )
0,98-1 )
0,02 )
02,00,98 )
10
10
10
1010
e
d
c
b
a 
 
Solução:    
     
   
   10
10
100
98,011
98,01111
98,002,0
0
10
11
011










xP
xP
xP
xPxP
 
Gabarito C 
Distribuição de Poisson 
A distribuição de Poisson é uma distribuição de 
probabilidade discreta que expressa a probabili-
dade de uma série de eventos ocorrer num certo 
período de tempo se estes eventos ocorrem inde-
pendentemente de quando ocorreu o último even-
to. 
𝑓( 𝜆) 
𝑒−𝜆 𝜆𝑘
 !
 
onde 
 e é base do logaritmo natural (e = 2.71828...), 
 k! é o fatorial de k, 
 λ é um número real, igual ao número esperado 
de ocorrências que ocorrem num dado interva-lo de tempo. 
O valor esperado de X é 𝐸( ) 𝜆 
A variância é 𝑣𝑎𝑟( ) 𝜆 
O gráfico abaixo mostra o histograma para distri-
buição de Poisson com 𝜆 
 
O gráfico abaixo mostra o histograma para distri-
buição de Poisson com 𝜆 
 
Agente Fiscal de Rendas - Nível Básico - SQC – 
III - FAZSP-Prova 1-Conhecimentos Gerais -
Caderno de Prova ’A01’, Tipo 001 
O número de pessoas que chega ao guichê de 
uma repartição pública para autuação de proces-
sos apresenta uma distribuição de Poisson a uma 
taxa de duas pessoas por minuto. A probabilidade 
 
Augusto Moura 2013 
59 DISTRIBUIÇÕES DESCONTÍNUAS DE PROBABILIDADE. 
de que nos próximos 2 minutos chegue pelo me-
nos uma pessoa neste guichê é 
 
 
 
   
A 
11
!0
4
11
)0(11
min2
4
!
444
04
Gabarito
eee
e
xP
xPxP
utos
pessoas
k
x
ke
xP
xk










 
Secretaria de Estado da Fazenda - Edital SEF 
nº 001/2010 
 
 
   
  3
03
!0
3
0
)2()1()0(12
1
3
!










e
e
xP
xPxPxPxP
hora
clientesk
x
ke
xP
xk
 
 
  33
23
3
13
5,4
2
9
!2
3
2
3
!1
3
1










ee
e
xP
e
e
xP
 
   
 
D 
567,00498,05,812
5,4312 333
Gabarito
xP
eeexP

 
 
Auditor-Fiscal da Receita Federal - AFRF-2000 
 O número de petroleiros que chegam a uma 
refinaria ocorre segundo uma distribuição de Pois-
son, com média de dois petroleiros por dia. Desse 
modo, a probabilidade de a refinaria receber no 
máximo três petroleiros em dois dias é igual a: 
 
 
 
 
  3
14
4
04
4
!1
4
1
!0
4
0
)3()2(
)1()0(3
2
4
!
















e
e
xP
e
e
xP
xPxP
xPxPxP
dias
spetroleiro
k
x
ke
xP
xk
 
 
  44
34
44
24
3
32
6
64
!3
4
3
8
2
16
!2
4
2










ee
e
xP
ee
e
xP
 
 
 
  444
4
4434
3
71
3
3239
3
32
133
3
32
8413
3
32
843








 















eeexP
exP
eeeexP
Gabarito : C 
 
Augusto Moura 2013 
60 ESTATÍSTICA 
Distribuição hipergeométrica 
A distribuição hipergeométrica é uma distribui-
ção de probabilidade discreta que descreve a pro-
babilidade de se retirar k elementos do tipo A nu-
ma seqüência de n extrações de uma população 
finita de tamanho N, com m elementos do tipo A e 
(𝑁 𝑚) elementos do tipo B, sem reposição. 
𝑃( |𝑁 𝑚 ) 
.
𝑚
 
/ .
𝑁 𝑚
 
/
.
𝑁
 
/
 
𝑃( |𝑁 𝑚 ) 
𝐶 𝑘 𝐶( − ) ( −𝑘)
𝐶 
 
O valor esperado de X é 𝐸( ) .
 
 
/ 
A variância é 
𝑣𝑎𝑟( ) (
𝑁 
𝑁 
) (
 
𝑁
) ( 
 
𝑁
) 
Cargo: Auditor-Fiscal do Trabalho - AFT - MTE - 
2010 
Em uma amostra aleatória simples de 100 pesso-
as de uma população, 15 das 40 mulheres da 
amostra são fumantes e 15 dos 60 homens da 
amostra também são fumantes.Considere os da-
dos.Ao se escolher ao acaso cinco pessoas da 
amostra, sem reposição, a probabilidade de exa-
tamente quatro delas serem homens fumantes é 
dada por: 
 
Solução: 
𝑃( |𝑁 𝑚 ) 
𝐶 𝑘 𝐶( − ) ( −𝑘)
𝐶 
 
𝑃( | ) 
𝐶 𝐶( − ) ( − )
𝐶 
 
 
𝑃( | ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑃( | ) ≅ 
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE 
PROBABILIDADE. 
 
Distribuição Uniforme 
A distribuição uniforme é a distribuição de probabi-
lidades contínua mais simples de conceituar: a 
probabilidade de se gerar qualquer ponto em um 
intervalo contido no espaço amostral é proporcio-
nal ao tamanho do intervalo. 
 
 
 
12
:
2
:média esperadoValor 
casos demais nos 0
 ; 
1
,;
2
2 ab
Variância
ba
bxa
abbaxf
X












 
 
Solução: 
7
5
7,0
5,0
1
7,05,0
 
 
Gabarito D 
 
Augusto Moura 2013 
61 DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE. 
Distribuição Normal 
 
Distribuição normal: 
A distribuição normal é uma das mais impor-
tantes distribuições da estatística, conhecida tam-
bém como Distribuição de Gauss ou Gaussiana. 
Foi primeiramente introduzida pelo matemático 
Abraham de Moivre. 
Além de descrever uma série de fenômenos fí-
sicos e financeiros, possui grande uso na estatísti-
ca inferencial. É inteiramente descrita por seus 
parâmetros de média e desvio padrão, ou seja, 
conhecendo-se estes consegue-se determinar 
qualquer probabilidade em uma distribuição Nor-
mal. 
Um interessante uso da Distribuição Normal é 
que ela serve de aproximação para o cálculo de 
outras distribuições quando o número de observa-
ções fica grande. Essa importante propriedade 
provém do Teorema Central do Limite que diz 
que "toda soma de variáveis aleatórias indepen-
dentes de média finita e variância limitada é apro-
ximadamente Normal, desde que o número de 
termos da soma seja suficientemente grande" 
O Teorema Central do Limite é um teorema 
que afirma que quando o tamanho da amostra 
aumenta, a distribuição amostral da sua média 
aproxima-se cada vez mais de uma distribuição 
normal 
Exemplo 
Seja a variável aleatória X= "resultado de um 
dado não viciado", que pode assumir os valores 1, 
2, 3, 4, 5, 6. Sabemos que sua esperança popula-
cional é 
 
, ou seja, o resultado médio de se jogar o dado 
é 3,5. 
 
Sabemos também que a variância populacional 
é 
 
 
Se tomarmos uma amostra de 10 observações 
(ou seja, se jogarmos o dado 10 vezes e anotar-
mos o resultado), é possível que tenhamos uma 
média amostral maior ou menor que 3,5. O teore-
ma central do limite nos diz que, à medida que 
aumentamos o tamanho desta amostra (digamos, 
se jogarmos o dado 2 mil vezes e anotarmos os 
resultados), a média amostral se aproximará cada 
vez mais da média populacional, que é 3,5. Além 
disso, a distribuição amostral desta média tenderá 
a uma distribuição normal com média igual a 3,5 e 
variância igual à variância populacional dividida 
por n: 
 
. 
 
Propriedade: 
Se X e Y são variáveis aleatórias independen-
tes que seguem distribuição normal, então a soma 
U = X + Y, a diferença V = X - Y ou qualquer com-
binação linear W = a X + b Y também são variá-
veis aleatórias com distribuição normal. 
 
Considerando a probabilidade de ocorrência, a 
área sob sua curva soma 100%. Isso quer dizer 
que a probabilidade de uma observação assumir 
um valor entre dois pontos quaisquer é igual à 
área compreendida entre esses dois pontos. 
 
Desvios em relação a média: 



x
z
 
 
68,26% => 1 desvio 
95,44%=> 2 desvios 
99,73%=> 3 desvios 
 
Propriedade 1: 
"f(x) é simétrica em relação à origem, x = mé-
dia = 0; 
 
Propriedade 2: 
"f(x) possui um máximo para z=0, e nesse caso 
sua ordenada vale 0,39; 
 
Propriedade3: 
"f(x) tende a zero quando x tende para + infini-
to ou - infinito; 
 
 
Augusto Moura 2013 
62 ESTATÍSTICA 
Propriedade4: 
"f(x) tem dois pontos de inflexão cujas abscis-
sas valem média + DP e média - DP, ou quando 
z tem dois pontos de inflexão cujas abscissas 
valem +1 e -1. 
 
TEOREMA DO LIMITE CENTRAL 
Afirma quequando o tamanho da amostra au-
menta, a distribuição amostral da sua média apro-
xima-se cada vez mais de uma distribuição normal 
e variância igual à variância populacional dividida 
por n 
padrão
x
amostral
x
padrão
Ez
n
zE
n
E




 
 
Estimação: pontual e intervalar; cálculo do 
tamanho da amostra. 
 
Podem existir vários estimadores para um 
mesmo parâmetro. 
Exemplos: 
 
 
 
Secretaria de Estado da Fazenda - Edital SEF 
nº 001/2010 
Uma amostra aleatória de 100 elementos de uma 
população resultou em um erro padrão igual a 10 
para uma variável X. Admite-se que a média 
amostral de X siga uma distribuição normal. Com 
base nas informações anteriores, calcule o erro 
amostral de um intervalo bilateral de 95% de con-
fiança para a média de X. 
a. 1,645 b. 1,96 c. 10 d. 16,45 e. 19,6 
Solução: 
1,96z %95  
Erro padrão: 
6,191096,1
10


padrão
x
amostral
x
padrão
Ez
n
s
zE
n
s
E
 
Gabarito: E 
Agente Fiscal de Rendas - Nível I 
FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS Abril/2006 
49.Verificou-se que os valores arrecadados dos 
tributos em uma cidade apresentam uma distri-
buição normal. Sabe-se que 10% destes valores 
são superiores a R$ 1.770,00 e que 60% são 
menores ou iguais a R$ 1.350,00. 
 
A média e o desvio padrão destes valores calcula-
dos utilizando a tabela acima são, respectivamen-
te: 
(a) R$1.250,00 e R$400,00 
(b) R$1.250,00 e R$20,00 
(c) R$1.410,00 e R$400,00 
(d) R$1.410,00 e R$20,00 
(e) R$1.560,00 e R$20,00 
Solução: 
 
 
Augusto Moura 2013 
63 DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE. 
 
1) (equação 17703,1
17703,1
3,11770
3,1
1770











z
 
 
 
125017704003,117703,1
400
105
42000
05,1
420
42005,1
05,1420
3,125,017701350
25,017703,11350
25,017703,11350
25,01350
25,0
1350





















z
 
Solução A 
CONCURSO PÚBLICO AUDITOR-FISCAL DA 
PREVIDÊNCIA SOCIAL – 2002 
 As vendas em um mês de determinado produto, 
de custo unitário, em reais, tem distribuição apro-
ximadamente normal com média de R$ 500,00 e 
desvio padrão de R$ 50,00. Se a empresa decide 
fabricar, em dado mês, 600 unidades do produto, 
assinale a opção que dá a probabilidade de que a 
demanda não seja atendida. (Em sua resposta 
faça uso da tabela da função Φ(x) da normal pa-
drão dada abaixo). 
 
(a) 5,0% 
(b) 3,1% 
(c) 2,3% 
(d) 2,5% 
(e) 4,0% 
Solução: 
%3,2%7,97%100%7,97
977,02
2
50
500600







z
x
z


 
Gabarito C 
CONCURSO PÚBLICO PREFEITURA DE RECI-
FE – 2003 - AUDITOR DO TESOURO MUNICIPAL 
 A média e o desvio-padrão obtidos num lote de 
produção de 100 peças mecânicas são respecti-
vamente, 16 Kg e 40g. Uma peça particular do lote 
pesa 18Kg. Assinale a opção que dá o valor pa-
dronizado do peso dessa bola. 
a) –50 b) 0,05 c) 50 d)–0,05 e) 0,02 
Solução: 
50
4
200
04,0
00,2
04,0
1618




 
x
z
 
Gabarito C 
O atributo X tem distribuição normal com média 2 
e variância 4. Assinale a opção que dá o valor do 
terceiro quartil de X, sabendo-se que o terceiro 
quartil da normal padrão é 0,6745. 
a) 3,3490 
b) 0,6745 
c) 2,6745 
 
Augusto Moura 2013 
64 ESTATÍSTICA 
d) 2,3373 
e) 2,7500 
Solução: 
3490,326745,02
2442





x
zx
x
z




 
Gabarito A 
55- Tem-se uma variável aleatória normal X com 
média P e desvio-padrão V. Assinale a opção que 
dá o intervalo contendo exatamente 95% da mas-
sa de probabilidades de X 
 
Solução: 
Tabela normal: 
96,1z
 
 96,1 zx
 
Gabarito E 
 
 
Solução: 
Tabela normal: 
%45,9596,1 z
 
Gabarito C 
 
 
Augusto Moura 2013 
65 DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE. 
 
Augusto Moura 2013 
66 ESTATÍSTICA 
Distribuição T de Student 
 
A distribuição t de Student é uma distribuição de 
probabilidade estatística, publicada por um autor que 
se chamou de Student, pseudônimo de William 
Sealy Gosset 
A distribuição t de Student aparece naturalmente no 
problema de se determinar a média de uma popula-
ção (que segue a distribuição normal) a partir de 
uma amostra. Neste problema, não se sabe qual é a 
média ou o desvio padrão da população, mas ela 
deve ser normal. 
 
 
 
 
 
Augusto Moura 2013 
67 DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE. 
Intervalo de confiança 
PROCESSOS DE ESTIMAÇÃO 
 
Estimação por ponto. 
É o processo através do qual obtemos um úni-
co ponto, ou seja, um único valor para estimar o 
parâmetro. 
 
Exemplo: Amostra (1, 3, 2) 
2
3
6
3
231




n
x
x
i
 
1
2
2
3
6
14
13
1
1
1
2
2
22



















 

s
n
fx
fx
n
s
ii
ii
 
 
Estimação por intervalo 
Estimação por intervalo. É um processo que 
permite obter os limites de um intervalo onde, com 
uma determinada probabilidade (nível de confian-
ça), podemos esperar encontrar o verdadeiro valor 
do parâmetro. 
 
 
 
As estimativas por intervalo são preferíveis à 
àquelas por ponto porque indicam a precisão, 
estabelecendo limites entre os quais, estabele-
cendo limites com uma determinada probabilida-
de, o parâmetro deverá á estar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Augusto Moura 2013 
68 ESTATÍSTICA 
 
 
 
 
 
 
Agente Fiscal de Rendas - Nível Básico - SQC – 
III - FAZSP-Prova 1-Conhecimentos Gerais 
Caderno de Prova ’A01’, Tipo 001 
Em uma pesquisa de tributos de competência 
estadual, em 2008, realizada com 400 recolhimen-
tos escolhidos aleatoriamente de uma população 
considerada de tamanho infinito, 80% referiam-se 
a determinado imposto. Deseja-se construir um 
intervalo de confiança de 95,5% para a estimativa 
dessa proporção. Considerando normal a distri-
buição amostral da frequência relativa dos reco-
lhimentos desse imposto e que na distribuição 
normal padrão a probabilidade P (−2 ≤ Z ≤ 2) = 
95,5%, o intervalo é 
(A) [0,70; 0,90] (B) [0,72; 0,88] 
(C) [0,74; 0,86] (D) [0,76; 0,84] 
(E)[0,78; 0,82] 
Solução: 
Distribuição Normal: 
   
 
GabaritoD
Intervalo
x
x
zx
N
pp
p
84,0;76,0:
04,08,0
02,028,0
02,00004,0
0004,0
400
8,018,01
8,0
2
2














 
BANCO CENTRAL DO BRASIL - 2002 
 Uma revenda de automóveis vende carros montados 
no Brasil. O proprietário está interessado em estimar o 
valor médio θ dos gastos extras com opcionais casados 
com a compra de carros novos. Uma amostra de 16 
vendas produziu um valor médio de R$ 1.062,00 com 
desvio padrão de R$ 144,00. Assinale a opção que dá 
os limites de confiança para θ com coeficiente de 98%. 
A tabela abaixo dá os quantis x , de ordem 
, da distribuição 
rT
de Stu-
dent com r graus de liberdade. 
Despreze centavos. 
 
Augusto Moura 2013 
69 DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE. 
r y 
0,950 0,975 0,980 0,990 
15 1,753 2,131 2,602 2,947 
16 1,746 2,120 2,583 2,921 
17 1,740 2,110 2,567 2,898 
a) [R$ 955,00; R$ 1.168,00] 
b) [R$ 968,00; R$ 1.155,00] 
c) [R$ 990,00; R$ 1.134,00] 
d)[R$ 997,00; R$ 1.124,00] 
e) [R$ 938,00; R$ 1.186,00] 
Solução: 
 R$1.168,00R$955,00;
:confiança de Intrvalo
11681061062
9551061062
36947,21062
16
144
947,21062





x
x
x
x
n
s
Txx x
 
Gabarito: A 
 
 
BANCO CENTRAL DO BRASIL - 2002 
Tem-se amostras independentes, de mesmo ta-
manho 16, de duas populações normais com mé-
dias µe θ e variâncias não nulas 2 σ e 2 τ , respec-
tivamente. Deseja-se construir intervalos de mes-
mo nível de confiança para µe θ que, conjunta-
mente, tenham nível de confiança 90,25%. Assina-
le a opção que dá o valor pelo qual se deve multi-
plicar o desvio padrão de cada amostra, no cálculo 
dos intervalos de confiança individuais, para que 
se obtenha o nível de confiança conjunto deseja-
do. A tabela abaixo dá valores da função de distri-
buição F(x) da variável aleatória t de Student. 
Graus de 
liberdade 
x F(x) 
15 1,341 0,900 
15 1,753 0,950 
15 2,131 0,975 
16 1,337 0,900 
16 1,746 0,950 
16 2,120 0,975 
17 1,333 0,900 
17 1,740 0,950 
17 2,110 0,975 
18 1,330 0,900 
18 1,734 0,950 
18 2,101 0,975 
 
a)0.533 b)0.440 c)0.630 
d)0.438 e)0.300 
 
Solução: 
131,2T
97,5% 
95,09025,0
9025,0
tabela
2



confiança


 
Grau de liberdade=
151161 n
 
5327,0
16
131,2


n
T
s
n
T
x
n
s
Txx x
x
 
 
Augusto Moura 2013 
70 ESTATÍSTICA 
 
Solução: 
10100
100
2


x
x
s
s 
2,3
10
32
10
4
8
16
10
2230





n
s
x
T
x
 
O teste é bicaudal : 2P 
Grau de liberdade 
151-161-nG.L. 
 
Gabarito A 
Temos duas populações normais A e B com mes-
ma variância e amostras aleatórias independentes 
dessas populações de tamanhos n1=20 e n2=20 
respectivamente. Assinale a opção que dá o nú-
mero de graus de liberdade da estatística de Stu-
dent utilizada no teste de igualdade das médias 
das populações A e B. 
a) 40 b) 19 c) 16 d) 20 e) 38 
Solução: 
Grau de liberdade: 
        36181812012011 21  nn
Gabarito E 
Exemplo1: 
Uma amostra aleatória simples, de tamanho 
n= 9, de uma população normal revelou média 
amostral = 12 e desvio padrão amostral S = 6. O 
intervalo de confiança [8,16], para a média da 
população, tem nível de confiança de: 
a) 92% b)92,4% c)96% d)96,2% 
e)97,7% 
 
RESOLUÇÃO 
Em função do reduzido tamanho da amostra, 
devemos usar a variável t de Student no lugar de 
z. Como n = 9, devemos usar n - 1 = 9 - 1 = 8 
graus de liberdade. 
Usando o escore reduzido
AS
X
 - X t 
, onde: 
: temosamostra, da padrão desvio S
12 amostra de média 
(8,16) intervalo do valoresos são X
A 


X
 







33331tP66660 t66660PaLogo
66660
6
4
6
1216
 t16X Para
66660
6
4
6
128
 t 8 X Para
 
Observando a tabela dada e comparando com 
as alternativas apresentadas, veremos que o valor 
que melhor se aproxima é t =1,5 = 0,914 = 91,4% 
 
Exemplo 2: 
Através de uma amostra de 100 trabalhadores 
de certa categoria profissional, estimou-se um 
salário médio amostral de $ 2.000,00. O desvio 
padrão populacional vale $ 400,00. Desta forma, o 
intervalo de confiança para o salário médio de 
toda categoria foi 2.000 com um certo 
coeficiente de confiança. Se tivéssemos obtido o 
mesmo dado amostral com uma amostra de 400 
pessoas, o intervalo de confiança (com um mesmo 
coeficiente de confiança) seria dado por: 
a) 2.000 b) 2.000 
c) 2.000 d) 2.000 
e) 2.000  
RESOLUÇÃO 
 
Augusto Moura 2013 
71 DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE. 
amostra da tamanho=n 
população da padrão desvio = Sp
confiança de ecoeficient = Z
população da média = 
:onde ,
n
S
ZX Usando
p
X
X 
 
2
400
800
z 80
100
400
 z
 80 2.000 =
100
400
 z 2.000X
2 = confiança de ecoeficient =z temos
 100 =n e 400 = Sp , 2.000 =X para Se


 
40 2.000 X
 20][2 2.000 X
 ] (400/20)[2 2.000 X
 )
400
400
( Z 2.000X
: temos400, n Para





 
 
Exemplo3: 
1 - Um auditor possui 10.000 comprovantes de 
operações financeiras referentes ao mês de julho 
de 1997. Uma amostra de 100 comprovantes foi 
selecionada e apresentou os seguintes resultados: 
Valor médio das operações: $ 1.500,00 
Desvio padrão observado: $ 270,00 
Considerando cálculos para populações infini-
tas e aproximação normal, julgue os itens seguin-
tes, utilizando, se necessário, a tabela normal 
padronizada abaixo: 
 
TABELA NORMAL PADRONIZADA 
Entrada representa área sob a distribuição normal 
padrão a partir da média até Z 
 
a) O valor total das operações realizadas em julho 
é estimado em R$ 150.000,00. 
b) Se o intervalo de confiança obtido para o valor 
médio das operações foi [1.440; 1.560], o nível de 
confiança utilizado para o cálculo foi superior a 
95%. 
c) A probabilidade de uma dessas operações fi-
nanciadas de julho ter valor superior a R$ 
1.770,00 é inferior a 2,0. 
d) Para estimar a proporção de comprovantes com 
erro de digitação, considerando margens de erro 
amostral igual a 2% e nível de confiança de 95%, 
o número de comprovantes a serem analisados 
deverá ser superior a 2.750. 
e) Caso, em agosto, o intervalo de confiança para 
o mesmo estudo tenha sido de [1.450; 1.520], com 
nível de confiança de 97,7%, um teste de hipótese 
que reduz a 0,01 o risco de se cometer um erro 
tipo I não fornecerá evidência para se afirmar que 
a média de operações foi diferente de R$ 
1.515,00. 
RESOLUÇÃO 
Analisando cada alternativa, temos: 
a) Errado; neste caso, temos um intervalo definido 
por: 
 
Augusto Moura 2013 
72 ESTATÍSTICA 
 Z27 1.500X
10
270
 . Z 1.500X
100
270
 . Z 1.500X
amostra da elementos de número =n 
amostra da padrão desvio = S
amostra da média =X
:Onde
XX
A




n
S
Z A
 
 
Logo, o valor total de operações, vai depender 
donível de confiança utilizado para Z. 
b) Correto; se o intervalo de confiança é definido 
por [1.440; 1.560] 27 Z = 60 
Z = 60/27 = 2,22 
Observando, a tabela, vemos que para Z = 2,20, o 
nível de confiança é de 0,478 . 2 = 0,956, logo, 
para Z = 2,22, é superior a 95% 
c) Correto; 
 
Observando a tabela, verificamos que para Z = 1, 
a probabilidade de Z é igual a 0,341, logo, a pro-
babilidade de Z 
 - 0,341 = 0,1587 
d) Errado; calculando o número de comprovantes 
(n), temos: 
2565 
2
2700
 1,96 n 
Tabela) na (Veja
 95%) de confiança de nível um (para 1,96 Z
2 amostral erro e
2.700 100 . 270 
 amostra da elementos de nº S Sp
 população da padrão desvio Sp
:onde 
e
S
 . Zn 
A 
p







 
e) Correto; o teste de hipótese precisaria ter um 
nível de confiança de 99% para fornecer evidên-
cias válidas. 
Conclusão: ECCEC 
 
Para as questões 4 e 5 a tabela abaixo, que dá 
valores das funções de distribuição da variável 
normal reduzida e da variável t de Student, pode 
ser útil. 
 
 
QUESTÃO 4 
Suponha os pesos das pessoas, normalmente 
distribuídos, em certo grupo, com média de 70 Kg 
e desvio padrão de 8 Kg. Escolhidas ao acaso 4 
dessas pessoas, a probabilidade da soma dos 
seus pesos ser maior que296 Kg é de: 
a) 0,309 b) 0,159 c) 0,067 d)0,023 
e) 0,006 
 
 
RESOLUÇÃO 
Usando a fórmula 

n
s
z x σ
, temos: 
 
0,1
270
270
270
500.1770.1
S
XX
Z
A





 
Augusto Moura 2013 
73 DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE. 

















 P(1 a Logo,
4
-1z 
4
8
 70
 1z 
4
8
 70
 
4
8
 70
4 n 
8Kg s
70Kg x


gx
z
z
z
 
 (veja na tabela) 
 
(1   -1) 
Conclusão: Letra B 
 
 
QUESTÃO 5 
Uma amostra aleatória simples, de tamanho n= 9, 
de uma população normal revelou média amostral 
= 12 e desvio padrão amostral S = 6. O intervalo 
de confiança [8,16], para a média da população, 
tem nível de confiança de: 
a) 92% b)92,4% c)96% d)96,2% 
e)97,7% 
 
RESOLUÇÃO 
Em função do reduzido tamanho da amostra, de-
vemos usar a variável t de Student no lugar de z. 
Como n = 9, devemos usar n - 1 = 9 - 1 = 8 graus 
de liberdade. 
Usando o escore reduzido
AS
X
 - X t 
, onde: 
: temosamostra, da padrão desvio S
12 amostra de média 
(8,16) intervalo do valoresos são X
A 


X
 







33331tP66660 t66660PaLogo
66660
6
4
6
1216
 t16X Para
66660
6
4
6
128
 t 8 X Para
 
Observando a tabela dada e comparando com as 
alternativas apresentadas, veremos que o valor 
que melhor se aproxima é t =1,5 = 0,914 = 91,4% 
 
QUESTÃO 6 
Considere X uma variável aleatória, com distribui-
ção normal, a qual tem média 50 e variância 100: 
Seja
10
50 - X 
 Z 
 
Assinale a opção correta: 
a) O evento {0  
certo. 
b) O evento {{40  60}{X 
probabilidade menor que 0,5. 
c) Os eventos X 50 e Z0 u-
amente excludentes. 
d) O evento 30 X 80 tem a mesma 
probabilidade que o evento -2 Z 3 . 
e) Os eventos Z 1 e Z -1 são inde-
pendentes. 
 
RESOLUÇÃO: 
Analisando cada alternativa, temos (usando a 
tabela da curva normal reduzida): 
a) Incorreta; não necessariamente 
 
Augusto Moura 2013 
74 ESTATÍSTICA 
 













%%
}{}{ P
)(
10
 x
)()(
10
 x
)()(
10
 41 xpara
:Incorreta b)
3
3
22
2
11
1
xPx
xP
zPara
xPxP
zPara
xPxP
z
 
c) Incorreta: 
para 



10
 30 x z
, portanto, não 
são mutuamente excludentes. 
d) Incorreta; 
para x = 31 
 1,9- 
10
50-31
 z 
 P(x) = 0,4713 
Para x = 80 
 3 
10
50 - 80
 z 
 P(x) = 0,4987  
P(x) = 97,00% 
Para z = -2  P(z) = 0,4772 
Para z = 3  P(z) = 0,4987, logo P(z) = 0,4772 + 
0,4987 = 0,9759 = 97,59% 
Logo, as probabilidades são diferentes 
e) Correta; construindo um gráfico de z, temos: 
Logo, z 1 e z -1são independentes. 
 
Exemplo 07: 
O número de horas que um analista do TCDF 
gasta examinando cada um dos processos sub-
metidos ao órgão tem distribuição normal, simétri-
ca, com média de 10 horas e desvio padrão de 2 
horas. É correto afirmar que: 
a) Nenhum processo levará mais de 30 ho-
ras para ser examinado. 
b) O número de processos que consomem 
mais de 15 horas de trabalho é igual ao número 
de processos que despendem menos de 5 horas. 
c) Em 50% dos casos, o tempo despendido 
ao exame do processo será de exatamente 10 
horas. 
d) A moda da distribuição de horas é igual à 
mediana, que é diferente da média. 
e) 10% dos processos devem gastar entre 8 
a 12 horas para serem examinados. 
 
RESOLUÇÃO 
Analisando cada alternativa, temos: 
a) Incorreto; 
Como 10,05 não está definido na área subenten-
dida pela curva normal reduzida, precisamos fazer 
o seguinte ajuste: 
10,05 - 4 - 4 = 2,05 P(z ) = 0,4798 
Logo, 0,5 - 0,4798 = 0,0202 = 2,02% 
 
b) Correto, 
 
 
P(z ) = 0,4938 = 49,38% 
P(z ) = 0,4938 = 49,38% 
 
c) Incorreto; 
 
 
05,10
2
1,21
2
101,30
z 


 
5,2
2
5
2
1015
S
XX
z 




 
5,2
2
5
2
105
S
XX
z 






 
05,0
2
10,0
2
1090,9
z 




 
Augusto Moura 2013 
75 DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE. 
 
P(-) z 0,05 = 0,0199 + 0,0199 - 0,0398 = 
3,98% 
 
 
d) Incorreto; como a distribuição é simétrica, te-
mos 
Mo Md x
. 
 
e) Incorreto; 
 
 
 
P(-1 z 1) = 0,3413 + 0,3413 = 0,6426 = 64,26% 
Conclusão: Letra B 
 
Questão 08: 
Considere que os analistas de uma empresa de 
consultoria avaliam um projeto em cerca de 40 
horas, com variação de 5 horas (desvio-padrão). A 
avaliação inclui análise de viabilidade econômica e 
procedimentos jurídicos. Acompanhamentos ante-
riores indicam que o tempo para avaliar um projeto 
é normalmente distribuído. Julgue os itens abaixo, 
a partir dos dados apresentados e utilizando, se 
necessário, a tabela da distribuição normal acu-
mulada da página seguinte. 
a) A probabilidade de um projeto ser avaliado em 
menos de 35 horas é inferior a 0,10. 
b) A probabilidade de um projeto ser avaliado no 
período de 28 a 35 horas é superior a 0,10. 
c) 10% dos projetos requerem tempo de avaliação 
superior a 46 horas. 
d) A amplitude interquartílica para o tempo de ava-
liação de projetos é inferior a 6 horas. 
e) Pelo menos 25% dos projetos são avaliados em 
tempo inferior a 30 horas. 
 
RESOLUÇÃO 
Analisando cada alternativa, temos: 
a) Falso; 
 1- 
5
40) - (35
 
5
)X-(X
 Z 
 
usando a tabela, temos: 
158303417050:logo
341701 P(Z

 
b) Verdade; 








P
55
 P(Z
2,4- 
5
12
- 
5
40)-(28
 Z
 



 0,4032 - 0,5 Logo,
 1,3 
5
6,5
 
5
40) - (46,50
 Z
Verdade c)
P
 
 
d) Falso; 
Amplitude Interquartílica = 2 desvios quartílicos 
(ou Amplitudes semi Interquartílicas). 
 Através da fórmula empírica
S
3
2
 Dq 
, podemos 
deduzir que: 
Amplitude Interquartílica
6,66 
3
20
 5 . 
3
4
S 
3
4
S 
3
2) . (2
 
 
 
05,0
2
10,0
2
1010,10
z 


 
1
2
2
2
108
S
XX
zhoras8seX 






,1
2
2
2
1012
z 


 
Augusto Moura 2013 
76 ESTATÍSTICA 
 
e) Falso; 
 
 
 
 
 
Augusto Moura 2013 
77 TESTE DE HIPÓTESE 
TESTE DE HIPÓTESE 
Teste de Hipóteses é um método para verifi-
car se os dados são compatíveis com alguma 
hipótese, podendo muitas vezes sugerir a não-
validade de uma hipótese. O teste de hipóteses é 
um procedimento estatístico baseado na análise 
de uma amostra, através da teoria de probabilida-
des, usado para avaliar determinados parâmetros 
que são desconhecidos numa população. A ex-
pressão teste de significância foi criada por Ro-
nald Fisher 
Um Teste de Hipóteses pode ser paramétrico 
ou não-paramétrico. Testes paramétricos são ba-
seados em parâmetros da amostra, por exemplo 
média e desvio padrão. O uso tanto dos testes 
paramétricos como dos não-paramétricosestá 
condicionado à dimensão da amostra e à respecti-
va distribuição da variável em estudo. 
Os testes de hipóteses são sempre constituí-
dos por duas hipóteses, a hipótese nula H0 e a 
hipótese alternativa H1. 
 Hipótese nula (Ho) : é a hipótese que traduz 
a ausência do efeito que se quer verificar(0 
QUE É AFIRMADO). 
 Hipótese alternativas (H1) : é a hipótese que 
o investigador quer verificar. 
 Nível de significância: a probabilidade de 
rejeitar a hipotese nula quando ela é efeti-
vamente verdadeira (ERRO) 
Finalidade: avaliar afirmações sobre os valores 
de parâmetros. 
O valor p, p-valor ou nível descritivo, é uma es-
tatística muito utilizada para sintetizar o resultado 
de um teste de hipóteses. Formalmente, o valor-p 
é definido como a probabilidade de se obter uma 
estatística de teste igual ou mais extrema quanto 
aquela observada em uma amostra, assumindo 
verdadeira a hipótese nula. 
 
Secretaria de Estado da Fazenda - Edital SEF 
nº 001/2010 
Sejam as seguintes hipóteses estatísticas sobre a 
média de uma variável X em uma população: 
 ƒ Hipótese nula: média = 100 
 ƒ Hipótese alternativa: média ≠ 100 
Para testar as hipóteses coletou-se uma amostra 
aleatória de 16 elementos da população citada, 
registrando os valores de X, resultando em: média 
amostral = 110; erro padrão = 4. Admite-se que X 
tem distribuição normal na população. Deseja-se 
que o teste tenha significância de 1%, acarretando 
em um valor crítico para a estatística de teste t, 
com 15 graus de liberdade, aproximadamente 
igual a 3. 
Com base nas informações existentes, o valor da 
estatística de teste e a decisão do teste serão: 
a. –2,5; aceitar a hipótese nula. 
b. 2,5; aceitar a hipótese nula. 
c. 2,5; rejeitar a hipótese nula. 
d. 10; aceitar a hipótese nula. 
e. 10; rejeitar a hipótese nula. 
Solução: 
4
n
s
E xpadrão
 
5,2
4
100110





n
s
x
T
x
teste
 
3tabelaT
 
 
 
Se aceita 
0H
. 
Gabarito B. 
Agente Fiscal de Rendas - Nível I 
FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS Abril/2006 
 
Augusto Moura 2013 
78 ESTATÍSTICA 
 
 
 
Solução: 
4,2
500
1200
500
20
60
20
500
60
400
500
10001060






n
s
x
z
x
teste

 
 
2,0)2,4( z z
pois 2,0zpara rejeitada será 
tabelateste
0

H 
Gabarito A 
Agente Fiscal de Rendas - Nível Básico - SQC – 
III - FAZSP-Prova 1-Conhecimentos Gerais 
Caderno de Prova ’A01’, Tipo 001 
 O gerente de uma indústria de determinado com-
ponente eletrônico garante que a vida média do 
produto fabricado é igual a 100 horas. Um com-
prador desta indústria decide testar a afirmação do 
gerente e faz um teste estatístico formulando as 
hipóteses H0: μ = 100 e H1 : μ < 100, sendo que 
H0 é a hipótese nula, H1 é a hipótese alternativa e 
μ é a média da população considerada de tama-
nho infinito com uma distribuição normal. O desvio 
padrão populacional é igual a 10 horas e utilizou-
se a informação da distribuição normal padrão 
(Z), segundo a qual a probabilidade P(Z ≥ 1,64) = 
5%. H0 foi rejeitada com base em uma amostra 
aleatória de 64 componentes em um nível de sig-
nificância de 5%. Então, o valor da média amostral 
foi, em horas, no máximo, 
(A) 94,75 (B) 95,00 (C) 96,00 (D) 96,50 
(E) 97,95 
Solução: 
64
10
64,1100
zx




x
n
s
n
s
x
z
x
x
teste


 
E. Gabarito
mínimo)(valor 95,97
05,2100
05,2100
25,164,1100
8
10
100





x
x
x
x
x
 
BANCO CENTRAL DO BRASIL - 2002 
57- Considere o teste da hipótese: 
contra alternativa : em uma amos-
tra da normal com média µ e variância 
2
. O valor da 
estatística teste t com distribuição de Student sob a 
 
Augusto Moura 2013 
79 TESTE DE HIPÓTESE 
 
e) Não se pode tirar nenhuma conclusão pois, o tama-
nho da amostra, a média amostral e o desvio padrão 
amostral não foram dados. 
Solução: 
Teste bilateral: 
0892,00446,02 valorp
 
 
Teste de significância para pro-
porções. 
 
op
o
oo
p
p
n
x
z
z
n
pp












proporção da padrão desvio
alegada proporção -amostral proporção
1
0
 
Exemplo 1: Um fabricante afirma que uma remes-
sa de pregos contém 1% de defeituosos. Uma 
amostra aleatória de 200 pregos acusa 4 defeituo-
sos. Teste a afirmação ao nível de 0,01. 
Solução: 
%1:
%1:
1 

o
oo
pH
pH 
   
43,1
007,0
01,0
200
4
007,0
200
01,0101,01
0




















op
o
oo
p
p
n
x
z
n
pp


 
Para nível de significância de 0,01 o valor de z é 
2,33 (distribuição normal). 
Aceita-se 
oH
. 
 
 
Exemplo 2 : Uma pesquisa conclui que 9 em cada 
10 médicos recomendam aspirina a pacientes que 
têm filhos . Teste a afirmação ao nível de signifi-
cância de 0,05, contra a alternativa de que a por-
centagem é inferior a 90% , se numa amostra 
aleatória de 100 médicos , 80% recomendam aspi-
rina. 
Solução: 
 
%90:
%90:
1 

o
oo
pH
pH 
   
33,3
03,0
90,080,0
03,0
100
90,0190,01
0















op
o
oo
p
p
n
x
z
n
pp


 
 
 
 
Augusto Moura 2013 
80 ESTATÍSTICA 
Para nível de significância de 0,05 (bilateral) o 
valor de z é -1,96 (distribuição normal). 
Para nível de significância de 0,05 (unilateral) o 
valor de z é -1,65 (distribuição normal). 
Rejeita-se 
oH
. 
 
 
 
Exemplo 3: Um jornal afirma que  25% dos adul-
tos em sua área de circulação são analfabetos 
segundo os padrões governamentais.Teste esta 
afirmação contra a alternativa de que a verdadeira 
porcentagem não é 25%, e use a probabilidade de 
5% de erro de tipo I . Uma amostra de 740 pesso-
as indica que apenas 20% seria considerados 
analfabetos segundo os mesmos padrões. 
 Solução: 
%25:
%25:
1 

o
oo
pH
pH 
   
016,0
740
25,0125,01
0





n
pp oo
p
 
 
125,3
016,0
25,020,0










op
op
n
x
z

 
Para nível de significância de 0,05(bilateral) o 
valor de z é -1,96 (distribuição normal). 
Rejeita-se 
oH
. 
 
Ao fazermos amostragem numa população finita e 
%5
N
n
, devemos usar o fator de correção finita: 
1

N
nN 
Ex: 4 Um fabricante de doces afirma que a por-
centagem de sacos de pastilhas de chocolate mal 
cheio é inferior a 3%. Uma pesquisa aleatória acu-
sa 4 sacos mal cheios em 50. A amostra foi extraí-
da de uma remessa de 400 sacos. A evidência 
amostral refuta a alegação do fabricante? 
Solução: 
%3:
%3:
1 

o
oo
pH
pH 
 
 
023,0
1400
50400
50
03,0103,0
1
1
0











N
nN
n
pp oo
p
 
 
 
Augusto Moura 2013 
81 TESTE DE HIPÓTESE 
17,2
023,0
03,0
50
4















op
op
n
x
z

Para 
nível de significância de 0,05 o valor de z é 1,65 
(distribuição normal). 
Rejeita-se 
oH
. 
 
 
Teste de duas amostras para 
proporções: 
21
21
21
21
21
1
21o
nn
xx
p
pp
pp
pp
:H
pp:H











 
 
 
p
2
2
1
1
21
p
2
1
2
1
σ
 
n
x
 
n
x
 
z
n
1
n
1
p1pσ
2. amostra da sobservaçõe de númeron
1. amostra da sobservaçõe de númeron
2. amostra da sucessos de númerox
1. amostra da sucessos de númerox













 
Exemplo 1: Consideremos a situação seguinte: 
Pergunta-se aos eleitores de duas cidades se eles 
são contra ou a favor de determinada lei em curso 
na legislatura do estado. Para determinar se os 
eleitores das duas cidades diferem em termos da 
porcentagem dos que favorecem a lei, torna-se 
uma amostra de 100 eleitores em cada cidade. 
Numa delas, 30 são a favor da lei, na outra, ape-
nas 20. 
 
 
67,1
06,0
100
20
100
30
σ
 
n
x
 
n
x
 
z
06,0
100
1
100
1
0,2510,25
n
1
n
1
p1pσ
2. amostra da sobservaçõe de númeron
1. amostra da sobservaçõe de númeron
2. amostra da sucessos de númerox
1. amostra da sucessos de númerox
25,0
100100
2030
nn
xx
p
pp:H
pp:H
p
2
2
1
1
21
p
2
1
2
1
21
21
211
21o
































 
 
 
 
Aceita-se Ho , as proporções são iguais. 
 
Augusto Moura 2013 
Distribuição F - Análise de variância 
 
Aplica-se a análise de variância para determi-
nar se as médias de duas ou mais populações são 
iguais. 
 Posição do pneu 
 Diantei-
ro 
direito 
Diantei-
ro 
esquer-
do 
Trasei-
ro 
direito 
Traseiro 
esquer-
do 
 
Vida 
(em 
me-
ses) 
17 25 22 26 
19 27 21 24 
20 18 19 30 
24 22 26 28 
média 20 23 22 27 
 
.diferentes médiasH
iguais. médiaH
1
0

 
(1º) Calcular o total de cada grupo e o total 
geral. 
 Dianteiro 
direito 
Dianteiro 
esquerdo 
Traseiro 
direito 
Traseiro 
esquerdo 
17 25 22 26 
19 27 21 24 
20 18 19 30 
24 22 26 28 
it
 80 92 88 108 
2
it
 6400 8464 7744 11664 
 
368108889280tT i 
 
(2º) Calcular a soma dos quadrados de todos 
os valores: 
Dianteiro 
direito 
Dianteiro 
esquerdo 
Traseiro 
direito 
Traseiro 
esquerdo 
289172 
 
625252 
 
484222 
 
676262 
 
361192 
 
729272 
 
441212 
 
576242 
 
400202 
 
324182 
 
361192 
 
900302 
 
576242 
 
484222 
 
676262 
 
784282 
 
1626 2162 1962 2936 
 
  868629361962216216262x
 
(3º) Calcular as chamadas somas dos qua-
drados ―dentro‖ e ―entre‖: 
8464
16
368
N
T
8568
4
11664
4
7744
4
8464
4
6400
n
t
8686x
22
i
2
i
2





 
Soma dos quadrados ―dentro‖: 
 Q.D. = (1º) - (2º) = 8686 - 8568 = 118 
Soma dos quadrados ―entre‖: 
 Q.E. = (2º) - (3º) = 8568 – 8464 = 104 
525,3
118
12
3
104
416
118
14
104
..
1
..
Fobservado 




RN
DQ
R
EQ
 
 
 
 
Augusto Moura 2013
 
83 TESTE DE HIPÓTESE 
TABELA ANOVA: 
FONTE 
GRAUS DE 
LIBERDADE 
SOMA DOS 
QUADRADOS 
QUADRADOS 
MÉDIOS 
F 
(observado) 
ENTRE 
314 
 104 
3104
 
525,3
118
12
3
104

 
DENTRO 
12416 
 118 
3118
 
00
testeobservadotesteobservado
testeteste
H serejeita H seaceita
FF FF
12
31
%5
 3,490F 
12
31
%1
 953,5F




















RN
R
RN
R

 
dianteiro
direito
dianteiro
esquerdo
traseiro
direito
traseiro
esquerdo
17 25 22 26 T = 368
19 27 21 24
20 18 19 30 X
2 
= 8686,00 1º
24 22 26 28 soma(ti
2
/ni) 8568,00 2º
média 20 23 22 27 T
2
/N 8464,00 3º
ti 80 92 88 108
ti
2
6400 8464 7744 11664 SQD = 118,000
x
2
1626 2162 1962 2936 SQE = 104,000
n = 4 F = 3,525
N = 16
R = 4
posição do pneu
vida
(meses)
 
dianteiro
direito
dianteiro
esquerdo
traseiro
direito
traseiro
esquerdo
40 10 80 15 T = 480
70 5 90 10
20 3 50 12 X
2 
= 26212,00 1º
24 8 30 13 soma(ti
2
/ni) 22348,00 2º
média 38,5 6,5 62,5 12,5 T
2
/N 14400,00 3º
ti 154 26 250 50
ti
2
23716 676 62500 2500 SQD = 3864,000
x
2
7476 198 17900 638 SQE = 7948,000
n = 4 F = 8,228
N = 16
R = 4
posição do pneu
vida
(meses)
 
 
Augusto Moura 2013 
ANALISE DE VARIÂNCIA 
Aplica-se a análise de variância para determi-
nar se as médias de duas ou mais populações são 
iguais. 
 SALÁRIO HORÁRIO MÉDIO 
Observa-
ções 
locali-
dade 
A 
locali-
dade 
B 
locali-
dade 
C 
locali-
dade 
D 
1 6 12 11 9 
2 9 11 8 7 
3 9 10 12 10 
4 6 8 9 10 
5 5 9 10 9 
média 35 50 50 45 
 
.diferentes médiasH
iguais. médiaH
1
0

 
(1º) Calcular o total de cada grupo e o total ge-
ral. 
 localida-
de 
A 
localida-
de 
B 
localida-
de 
C 
localida-
de 
D 
0 6 5 3 
3 5 2 1 
3 4 6 4 
0 2 3 4 
 -1 3 4 3 
it
 5 20 20 15 
2
it
25 400 400 225 
 
 
601520205tT i 
 
(2º) Calcular a soma dos quadrados de todos 
os valores: 
localidade 
2A
 
localidade 
2B
 
localidade 
2C
 
localidade 
2D
 
0 36 25 9 
9 25 4 1 
9 16 36 16 
0 4 9 16 
1 9 16 3 
19 90 90 51 
  250519090192x
 
(3º) Calcular as chamadas somas dos qua-
drados ―dentro‖ e ―entre‖: 
180
20
3600
20
60
N
T
210
5
225
5
400
5
400
5
25
n
t
250x
22
i
2
i
2





 
Soma dos quadrados ―dentro‖: Q.D. = (1º) 
- (2º) = 250 - 210 = 40 
Soma dos quadrados ―entre‖: Q.E. = (2º) 
- (3º) = 210 – 180 = 30 
00,4
40
16
3
30
420
34
14
30
..
1
..
Fobservado 




RN
DQ
R
EQ
 
 
 
 
 
Augusto Moura 2013
 
85 TESTE DE HIPÓTESE 
TABELA ANOVA: 
FONTE GRAUS DE 
LIBERDADE 
SOMA DOS 
QUADRADOS 
QUADRADOS 
MÉDIOS 
F 
(observado) 
ENTRE 
314 
 
30
 
330
 
00,4
1640
330



 
DENTRO 
16420 
 
40
 
1640
 
00
testeobservadotesteobservado
testeteste
H serejeita H seaceita
FF FF
16
31
%5
 3,239F 
16
31
%1
 292,5F




















RN
R
RN
R

 
observações
localidade
A
localidade
B
localidade
C
localidade
D
1 6 12 11 9 T = 180
2 9 11 8 7
3 9 10 12 10 X
2 
= 1690,00 1º
4 6 8 9 10 soma(ti
2
/ni) 1650,00 2º
5 5 9 10 9 T
2
/N 1620,00 3º
média 7 10 10 9
ti 35 50 50 45
ti
2
1225 2500 2500 2025 SQD = 40,000
x
2
259 510 510 411 SQE = 30,000
n = 5 F = 4,000
N = 20
R = 4
salário hora médio
 
observações
localidade
A
localidade
B
localidade
C
localidade
D
1 0 6 5 3 T = 60
2 3 5 2 1
3 3 4 6 4 X
2 
= 250,00 1º
4 0 2 3 4 soma(ti
2
/ni) 210,00 2º5 -1 3 4 3 T
2
/N 180,00 3º
média 1 4 4 3
ti 5 20 20 15
ti
2
25 400 400 225 SQD = 40,000
x
2
19 90 90 51 SQE = 30,000
n = 5 F = 4,000
N = 20
R = 4
salário hora médio
 
 
Augusto Moura 2013 
ANALISE DE VARIÂNCIA 
Aplica-se a análise de variância para determi-
nar se as médias de duas ou mais populações são 
iguais. 
A B C D 
14 11 11 12 
15 12 9 13 
13 11 11 13 
12 13 10 14 
11 13 13 10 
.diferentes médiasH
iguais. médiaH
1
0

 
(1º) Calcular o total de cada grupo e o total 
geral. 
 A B C D 
2 -1 -1 0 
3 0 -3 1 
1 -1 -1 1 
0 1 -2 2 
-1 1 1 -2 
it
 5 0 -6 2 
2
it
 25 0 36 4 
126-05tT i 
 
(2º) Calcular a soma dos quadrados de todos 
os valores: 
2A
 2B 2C 2D 
4 1 1 0 
9 0 9 1 
1 1 1 1 
0 1 4 4 
1 1 1 4 
15 4 16 10 
 
  4510164152x
 
(3º) Calcular as chamadas somas dos qua-
drados ―dentro‖ e ―entre‖: 
20
1
20
1
N
T
13
5
4
5
36
5
0
5
25
n
t
45x
22
i
2
i
2





 
Soma dos quadrados ―dentro‖: Q.D. = (1º) 
- (2º) = 45 - 13 = 32 
Soma dos quadrados ―entre‖: Q.E. = (2º) 
- (3º) = 13 – 1/20 = 13 
16,2
32
16
3
13
420
32
14
13
..
1
..
Fobservado 




RN
DQ
R
EQ
 
TABELA ANOVA: 
FONTE GRAUS DE 
LIBERDADE 
SOMA DOS 
QUADRADOS 
QUADRADOS 
MÉDIOS 
F 
(observado) 
ENTRE 
314 
 
13
 
313
 
16,2
1232
313



 
DENTRO 
16420 
 
32
 
1632
 
 
 
Augusto Moura 2013
 
87 TESTE DE HIPÓTESE 
00
testeobservadotesteobservado
testeteste
H seaceita H seaceita
FF FF
16
31
%5
 3,239F 
16
31
%1
 292,5F




















RN
R
RN
R

 
 
observações A B C D
1 14 11 11 12 T = 241
2 15 12 9 13
3 13 11 11 13 X
2 
= 2949,00 1º
4 12 13 10 14 soma(ti
2
/ni) 2917,00 2º
5 11 13 13 10 T
2
/N 2904,05 3º
média 13 12 10,8 12,4
ti 65 60 54 62
ti
2
4225 3600 2916 3844 SQD = 32,000
x
2
855 724 592 778 SQE = 12,950
n = 5 F = 2,158
N = 20
R = 4
populações
 
 
 
observações A B C D
1 2 -1 -1 0 T = 1
2 3 0 -3 1
3 1 -1 -1 1 X
2 
= 45,00 1º
4 0 1 -2 2 soma(ti
2
/ni) 13,00 2º
5 -1 1 1 -2 T
2
/N 0,05 3º
média 1 0 -1,2 0,4
ti 5 0 -6 2
ti
2
25 0 36 4 SQD = 32,000
x
2
15 4 16 10 SQE = 12,950
n = 5 F = 2,158
N = 20
R = 4
populações
 
 
Augusto Moura 2013 
 
 
 
Augusto Moura 2013
 
89 TESTE DE HIPÓTESE 
 
 
 
Augusto Moura 2013 
 A produção obtida segundo cada um de três pro-
cessos está sendo avaliada pela gerência de uma 
instituição. Uma resposta medida em unidades 
adequadas foi observada e produziu o quadro de 
análise de variância seguinte. Cada processo foi 
observado 5 vezes. 
 
A notação F(m,n) representa a distribuição F com 
m graus de liberdade no numerador e n graus de 
liberdade no denominador. A estatística teste para 
o teste de igualdade das respostas médias dos 
três processos vale 
a) 4 e se distribui como F(3,12) sob essa hipótese 
nula. 
b) 4 e se distribui como F(2,12) sob essa hipótese 
nula. 
c) 24 e se distribui como F(3,12) sob essa hipóte-
se nula. 
d) 48 e se distribui como F(2,12) sob essa hipóte-
se nula. 
e) 24 e se distribui como F(2,12) sob essa hipóte-
se nula. 
Solução: 
TABELA ANOVA: 
FONTE GRAUS DE 
LIBERDADE 
SOMA DOS 
QUADRADOS 
ENTRE 3-1=2 48 
DENTRO 15-3=12 12 
QUADRADOS 
MÉDIOS 
F 
(observado) 
248
 
24
12
12
2
42

 
1212
 
 
Gabarito E 
Analista - Geral - Banco Central - 2001 
 Um profissional da área de recursos humanos 
está interessado em avaliar o efeito do tipo de 
firma no salário inicial de uma secretária. Neste 
contexto tomou uma amostra aleatória de cinco 
secretárias iniciantes em cada um de três tipos de 
firma, anotando o salário em reais por mês. O 
investigador postula que o salário (yij) da j-ésima 
secretária da iésima firma obedece o modelo line-
ar yij= + i +ij, i=1,2,3; j=1...5. Nesta expres-
são representa uma média populacional, i é o 
efeito fixo da firma i e os ijsão erros não correla-
cionados com distribuição normal, média zero e 
variância constante. Neste contexto obtém a tabe-
la de análise de variância seguinte: 
Fonte Graus de 
liberdade 
Soma de 
quadrados 
Modelo linear (firmas) 2 18050 
Erro 12 48144 
Total (corrigido pela 
média) 
14 66194 
Assinale a opção que dá o valor da estatística F 
necessária para testar a hipótese de que os efei-
tos das firmas sejam iguais. 
a)2,25 b)3,00 c)0,37 d)0,73 e)1,28 
Solução: 
TABELA ANOVA: 
FONTE GRAUS DE 
LIBERDADE 
SOMA DOS 
QUADRADOS 
ENTRE 3-1=2 18050 
DENTRO 15-3=12 66194 
 
QUADRADOS 
MÉDIOS 
F 
(observado) 
218050
 
25,2
4012
9025
48144
12
2
18050

 
1248144
 
 
Augusto Moura 2013
 
91 TESTE DE HIPÓTESE 
Gabarito E 
BANCO CENTRAL DO BRASIL - 2002 
 Em um estudo controlado em que o interesse concen-
tra- se no desgaste de pneus testaram-se um certo 
número de marcas obtendo-se os resultados constantes 
da tabela de análise de variância dada abaixo. 
Fonte 
Graus de 
Liberdade 
Soma de 
Quadrados 
Marcas 3 60 
Erro 36 72 
Total 
(Corrigido) 
39 132 
 
Assinale a opção que dá o número de marcas de pneus 
estudadas. 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 12 
Solução: 
 
marca.cada para sobservaçõe 10
4
40
 :sobservaçõe de Número
40436n36x 
 36
pneus de marcas 4 são 4n 
 31





nx
n
 
Gabarito: C 
 Assinale a opção que dá o valor da estatística F utiliza-
da para testar a hipótese de igualdade de médias das 
marcas. 
a) 2 b) 10 c) 12 d) 20 e) 72 
Solução: 
10
2
20
3672
360



F
 
Gabarito: B 
 
 
Augusto Moura 2013 
Distribuição qui-quadrado 
Qui-Quadrado, simbolizado por , é um teste de 
hipóteses que se destina a 
 Encontrar um valor da dispersão para 
duas variáveis nominais, e 
 Avaliar a associação existente entre 
variáveis qualitativas. 
É um teste não paramétrico, ou seja, não depende 
de parâmetros populacionais, como média e vari-
ância. 
O princípio básico deste método é comparar pro-
porções, isto é, as possíveis divergências entre as 
freqüências observadas e esperadas para um 
certo evento. 
Evidentemente, pode-se dizer que dois grupos se 
comportam de forma semelhante se as diferenças 
entre as freqüências observadas e as esperadas 
em cada categoria forem muito pequenas, próxi-
mas a zero. 
Portanto, o teste é utilizado para: 
 Verificar se a freqüência com que um 
determinado acontecimento observa-
do em uma amostra se desvia signifi-
cativamente ou não da freqüência 
com que ele é esperado. 
 Comparar a distribuição de diversos 
acontecimentos em diferentes amos-
tras, a fim de avaliar se as proporções 
observadas destes eventos mostram 
ou não diferenças significativas ou se 
as amostras diferem significativamen-
te quanto às proporções desses acon-
tecimentos. 
Condições necessárias 
 Para aplicar o teste as seguintes pro-
posições precisam ser satisfeitas: 
Os grupos devem ser independentes, Os itens de cada grupo são selecio-
nados aleatoriamente, 
 As observações devem ser freqüên-
cias ou contagens, 
 Cada observação pertence a uma e 
somente uma categoria e 
 A amostra deve ser relativamente 
grande (pelo menos 5 observações 
em cada célula e, no caso de poucos 
grupos, pelo menos 10. 
Como calcular 
Karl Pearson propôs a seguinte fórmula para me-
dir as possíveis discrepâncias entre proporções 
observadas e esperadas: 
 ∑,( ) - 
em que 
 
o = freqüência observada para cada classe, 
e = freqüência esperada para aquela classe. 
 
Note-se que (o - e) = desvio (d), portanto a fórmu-
la também pode ser escrita como 
 ∑,( ) - 
Percebe-se que as freqüências observadas são 
obtidas diretamente dos dados das amostras, 
enquanto que as freqüências esperadas são cal-
culadas a partir destas. 
 
É importante notar que o desvio d = (o - e) é a 
diferença entre a freqüência observada e a espe-
rada em uma classe. Quando as freqüências ob-
servadas são muito próximas às esperadas, o 
valor de é pequeno. Mas, quando as divergên-
cias são grandes (o - e) passa a ser também 
grande e, conseqüentemente, assume valores 
altos. 
 
Hipóteses a serem testadas 
O pesquisador trabalha com duas hipóteses: 
 
Hipótese nula: As freqüências observadas não são 
diferentes das freqüências esperadas. Não existe 
diferença entre as freqüências (contagens) dos 
grupos. 
Portanto, não há associação entre os grupos 
Hipótese alternativa: As freqüências observadas 
são diferentes da freqüências esperadas, portanto 
existe diferença entre as freqüências. 
Portanto, há associação entre os grupos. 
Procedimento 
É necessário obter duas estatísticas denominadas 
 calculado e tabelado. 
 
As freqüências observadas são obtidas diretamen-
te dos dados das amostras, enquanto que as fre-
qüências esperadas são calculadas a partir des-
tas. 
Assim, o calculado é obtido a partir dos dados 
experimentais, levando-se em consideração os 
valores observados e os esperados, tendo em 
vista a hipótese. 
Já o tabelado depende do número de graus de 
liberdade e do nível de significância adotado. 
A tomada de decisão é feita comparando-se os 
dois valores de : 
Se calculado > ou = 
𝑐
tabelado: Rejeita-se Ho. 
 
Augusto Moura 2013
 
93 TESTE DE HIPÓTESE 
Se calculado < 
𝑐
 tabelado: Aceita-se Ho. 
Quando se consulta a tabela de observa-se que 
é determinada uma probabilidade de ocorrência 
daquele acontecimento. 
Portanto, rejeita-se uma hipótese quando a máxi-
ma probabilidade de erro ao rejeitar aquela hipó-
tese for baixa (alfa baixo). Ou, quando a probabili-
dade dos desvios terem ocorrido pelo simples 
acaso é baixa. 
O nível de significância (alfa) representa a máxima 
probabilidade de erro que se tem ao rejeitar uma 
hipótese. 
O número de graus de liberdade, nesse caso é 
assim calculado: 
 
G.L. = número de classes - 1 
E, evidentemente, quanto maior for o valor do 
mais significante é a relação entre a variável de-
pendente e a variável independente. 
Agente Fiscal de Rendas - Nível Básico - SQC – 
III - FAZSP-Prova 1-Conhecimentos Gerais 
Caderno de Prova ’A01’, Tipo 001 
Espera-se que o número de reclamações tributá-
rias em um órgão público durante determinada 
semana seja igual a 25, em qualquer dia útil. Sa-
be-se que nesta semana ocorreram 125 reclama-
ções com a seguinte distribuição por dia da sema-
na: 
 
Para decidir se o número de reclamações tributá-
rias correspondente não depende do dia da se-
mana, a um nível de significância α, é calculado o 
valor do qui-quadrado (χ2) que se deve comparar 
com o valor do qui-quadrado crítico tabelado com 
4 graus de liberdade. O valor de χ2 é 
(A) 1,20 (B) 1,90 (C) 4,75 (D) 7,60 
(E) 9,12 
Solução: 
n observado(o) esperado(e) (o-e) (o-e)
2
(o-e)
2
/e
1 18 25 -7 49 1,96
2 31 25 6 36 1,44
3 29 25 4 16 0,64
4 30 25 5 25 1
5 17 25 -8 64 2,56
125 125 0 190 7,6
 
6,7
25
5
125
2
2
5
1







e
eo
x
n
o
e i
i
 
Gabarito D. 
 
 
Augusto Moura 2013 
TESTE DE ADERÊNCIA 2X 
 
Os testes de aderência são utilizados para avaliar afirmações feitas sobre a distribuição de valores numa 
população é vantajoso dispormos de um método que nos permita julgar se determinada população tem a 
distribuição exigida. 
Exemplo 1 : Supondo que as 180 jogadas de um dado acusem os seguintes resultados: 
Categoria Freqüência observada 
1 20 
2 35 
3 25 
4 35 
5 32 
6 33 
o.equilibrad é não dado O:H
o.equilibrad é dado O:H
1
0
 
Teste 
0H
 ao nível de significância de 0,05. 
Solução: 
Face Valor observado (o) 
Valor esperado 






 180
6
1
e
  eo 
 
 2eo 
 
 
e
eo
2
 
1 20 30 -10 100 3,33 
2 35 30 +5 25 0,83 
3 25 30 -5 25 0,83 
4 35 30 +5 25 0,83 
5 32 30 +2 4 0,13 
6 33 30 +3 9 0,30 
Total 180 180 6,25 
 
25,6X Logo 2 
 
 






usadas. amostrais asestatístic de númeroC
classes.ou categorias de número
 1 liberdade de Graus
K
CK
 
o.equilibrad é dado O :H se-aceita logo 
07,11X
5g.l.
0,05
 beladovalor ta
51-61-Kg.l.
0
22
2
tabelaobservado XX 










 
 
 
Augusto Moura 2013
 
95 TESTE DE HIPÓTESE 
Exemplo 2: Alega-se que uma máquina de encher e fechar garrafas de cerveja produz um enchimento médio 
de 1 litro com desvio padrão de 0,2 litros, e que a distribuição de quantidade de cerveja por garrafa é normal . 
Examinam-se 100 garrafas , anotando-se o conteúdo de cerveja por garrafa. Teste a alegação ao nível de 
significância de 0,025. 
Classes Valor observado 
X < 0,96 4 
0,96  X < 0,97 6 
0,97  X < 0,98 4 
0,98  X < 0,99 16 
0,99  X < 1,00 20 
1,00  X < 1,01 18 
1,01  X < 1,02 16 
1,02  X < 1,03 10 
1,03  X < 1,04 4 
X  1,04 2 
Total 100 
 
:0H
A distribuição é normal com média 1 litro e desvio padrão 0,2 litros. 
:1H
A distribuição não é normal com média 1 litro e desvio padrão 0,2 litros. 
Solução: 
Classes Distribuição 
Normal 
Valor 
observado 
Valor 
Esperado 
 
esperado
esperado-observado
2 
X < 0,96 Z < -2 4 
28,21000228,0 
 1,30 
0,96  X < 0,97 -2,0  Z < -1,5 6 
42,41000442,0 
 0,56 
0,97  X < 0,98 -1,5  Z < -1,0 4 
19,91000919,0 
 2,93 
0,98  X < 0,99 -1,0  Z < -0,5 16 
98,141001498,0 
 0,69 
0,99  X < 1,00 -0,5  Z < 0,0 20 0,04 
1,00  X < 1,01 0,0  Z < 0,5 18 
15,191001915,0 
 0,07 
1,01  X < 1,02 0,5  Z < 1,0 16 
98,141001498,0 
 0,69 
1,02  X < 1,03 1,0  Z < 1,5 10 
19,91000919,0 
 0,07 
1,03  X < 1,04 1,5  Z < 2,0 4 
42,41000442,0 
 0,04 
X  1,04 Z  2,0 2 
28,21000228,0 
 0,03 
Total 100 100 
42,62 X
 
 
0
22
2
H se-Aceita
92,16
91101..
05,0
tabuladoobservado
tabulado
XX
X
Klg




 
 
15,191001915,0 
 
Augusto Moura 2013 
Exemplo 3 : Um engenheiro de tráfego deseja testar a afirmação de que os acidentes em certo trecho de 
uma auto-estrada têm distribuição de Poisson . Um estudo dos acidentes deu as seguintes cifras. 
Número de semanas Número de acidentes 
0 86 
1 114 
2 70 
3 60 
4 32 
5 16 
6 9 
7 4 
8 5 
9 4 
10 ou mais 0 
total 400 
 
:0H
Os acidentes têm distribuição de Poisson. 
:1H
Os acidentes não têm distribuição de Poisson. 
Teste ao nível de significância de 0,01. 
Solução: 
Número de semanasFreqüência 
observada 
Freqüência 
esperada 
Freqüência 
esperada 
0 86 
12,544001353,0 
 54,12 18,78 
1 114 
28,1084002707,0 
 108,28 0,30 
2 70 
28,1084002707,0 
 108,28 13,53 
3 60 
16,724001804,0 
 72,16 2,05 
4 32 
08,364000902,0 
 36,08 0,46 
5 16 
44,144000361,0 
 14,44 0,17 
6 9 
80,44000120,0 
 4,80 3,68 
7 4 
36,14000034,0 
 
 
1,80 
 
 
69,69 
8 5 
36,04000009,0 
 
9 4 
08,04000002,0 
 
total 400 108,66 
 
 
66,108
2
2 


e
eo
X
 
   
.H se-Rejeita
81,16X
0,01
1.c logo , amostra pela estimada foi média a :
61181..
0
2 




Obs
cklg
 
 
e
eo
2

 
Augusto Moura 2013
 
97 TESTE DE HIPÓTESE 
Exemplo 4: Use um teste de aderência qui-quadrado para determinar ao nível de significância de 0,05 , quais 
das seguintes freqüências amostrais estão suficientemente próximas das freqüências esperadas , de modo 
que a hipótese nula possa ser aceita. 
a) 
 
.H se-Aceita
31,18
10111..
05,0
88,8
0
2
2




tabela
teste
X
lg
X

 
 
 
 
b) 
 
 
 
Uma segunda aplicação de um teste de aderência consiste em determinar se 3 ou mais categorias numa 
população são igualmente prováveis. 
Exemplo 1: No decurso de um ano determinado firma teve 50 acidentes. Um dos aspectos da investigação 
levada a efeito pelo engenheiro de segurança diz respeito ao dia de ocorrência do acidente. Pelos dados que 
seguem abaixo , pode-se dizer que o dia da semana teve alguma influência? Teste a hipótese nula , de que 
os dias são igualmente prováveis. 
.H se-Aceita
28,13
415..
01,0
40,11
0
2
2




tabela
teste
X
lg
X

 
 
.H se-Aceita
81,7
314..
05,0
28,1
0
2
2




tabela
teste
X
lg
X

.H se-Rejeita
49,9
415..
05,0
40,11
0
2
2




tabela
teste
X
lg
X

Classe observado esperado 
 
e
eo
2
 
0 18 20 0,20 
1 20 25 1,00 
2 20 20 0,00 
3 20 16 1,00 
4 14 12 0,33 
5 14 10 1,60 
6 6 9 1,00 
7 9 6 1,50 
8 3 4 0,25 
9 0 2 2,00 
10 1 1 0,00 
total 125 125 8,88 
Classe observado esperado 
 
e
eo
2
 
0 32 32,7 0,015 
1 38 41,0 0,220 
2 22 20,5 0,110 
3 
8
2
2
4






 
7,5
0,0
6,0
1,5






 
 
 
0,928 
4 
5 
total 1,273 
Dia Número de acidentes Valor esperado 
 
e
eo
2
 
Segunda 15 10 2,50 
Terça 6 10 1,60 
Quarta 4 10 3,60 
Quinta 9 10 0,10 
Sexta 16 10 3,60 
total 50 50 11,40 
 
Augusto Moura 2013 
Exemplo 2: Um estudante elaborou um esquema para obter números aleatórios , gerando 1000 dígitos por 
este processo , e agora ele deseja testar se os dígitos são igualmente prováveis . Testar os dados ao nível de 
significância de 0,025. 
.H se-Aceita
20,19
9110..
025,0
52,2
0
2
2




tabela
teste
X
lg
X

 
 
 
 
Exemplo 4: A manufatura de tubos de ferro exige uma emenda soldada contínua. Os defeitos ao longo da 
emenda dos tubos de 2 polegadas têm sido bem aproximados , no passado, por uma distribuição de Poisson, 
com média de 3 defeitos por metro. Utiliza-se agora uma nova máquina de soldar . Determine se o processo 
se modificou. 
úmero de defeitos Freqüência 
observada 
Freqüência 
esperada 
Freqüência 
esperada 
0 5 
44,31000344,0 
 3,44 0,71 
1 14 
59,111001159,0 
 11,59 0,50 
2 16 
53,191001953,0 
 19,53 0,64 
3 20 
94,211002194,0 
 21,94 0,17 
4 18 
48,181001848,0 
 18,48 0,01 
5 17 
46,121001246,0 
 12,46 1,65 
6 3 
99,61000699,0 
 6,99 2,28 
7 2 
37,31000377,0 
 3,37 0,56 
8 
5
1
0
4






 
42,11000142,0 
 
13,2
18,0
53,0
42,1






 
87,3
73,3
53,0
68,4






 
9 
53,01000053,0 
 
10 
18,01000018,0 
 
total 100 10,39 
 
 
37,3
100
337



i
ii
f
fx
x
 
.H se-Aceita
07,14
71)19(..
05,0
39,10
0
2
2




tabela
teste
X
lg
X

 
 
 
e
eo
2

Dígito observado esperado 
 
e
eo
2
 
0 90 100 1,00 
1 94 100 0,36 
2 95 100 0,25 
3 103 100 0,09 
4 106 100 0,36 
5 99 100 0,01 
6 104 100 0,16 
7 102 100 0,04 
8 104 100 0,16 
9 103 100 0,09 
total 1000 1000 2,52 
xi fi xifi
0 5 0
1 14 14
2 16 32
3 20 60
4 18 72
5 17 85
6 3 18
7 2 14
8 4 32
9 0 0
10 1 10
 
Augusto Moura 2013
 
99 TESTE DE HIPÓTESE 
 
Exemplo 5 : Determine se as notas de uma grande turma de psicologia introdutória podem ser aproximadas 
por uma distribuição normal com média 50,5 e desvio padrão 10. 
Classes Distribuição 
Normal 
Valor 
observado 
Valor 
Esperado 
 
esperado
esperado-observado
2 
X < 25,5 Z < -2,5 14 
24,12000062,0 
 131,30 
26  X < 30,5 -2,5  Z < -2,0 18 
32,32000166,0 
 64,91 
31  X < 35,5 -2,0  Z < -1,5 22 
84,82000442,0 
 19,80 
36  X < 40,5 -1,5  Z < -1,0 20 
38,182000919,0 
 0,14 
41  X < 45,5 -1,0  Z < -0,5 40 
95,292001498,0 
 3,36 
46  X < 50,5 -0,5  Z < 0,0 30 
30,382001915,0 
 1,79 
51  X < 55,5 0,0  Z < 0,5 22 
30,382001915,0 
 6,94 
56  X < 60,5 0,5  Z < 1,0 20 
95,292001498,0 
 3,31 
61  X < 65,5 1,0  Z < 1,5 2 
38,182000919,0 
 14,60 
66  X < 70,5 1,5  Z < 2,0 6 
84,82000442,0 
 0,89 
71  X < 75,5 2,0  Z < 2,5 0 
32,32000166,0 
 3,32 
76  X < 80,5 2,5  Z < 3,0 
6
2
4




 
 
24,12000062,0 
 
9,63 
10,56 X  81 Z  3,0 
Total 200 
55,2702 X
 
 
.H se-Rejeita
67,19
11112..
05,0
55,270
0
2
2




tabela
teste
X
lg
X

 
 
TESTE DE K AMOSTRA PARA PROPORCÕES 
A finalidade de um teste de K amostras é avaliar a alegação de que K amostras independentes prove-
nham de populações que contenham a mesma proporção de determinado item. 
iguais. todassão não aispopulacion proporções AsH
iguais. todassão aispopulacion proporções AsH
1
o

 
 
 

esperada frequência
 esperada frequência - observada frequência 
X
:X quadrado-qui testeaEstatístic
2
2
teste
2
 
 
 
 
Augusto Moura 2013 
   
coluna de númeroC
linhas de númeroL
1C1-Lliberdade de grausg.l.
g.l.
α
 : tabeladeValor 






 
 
 
Exemplo 1: Um shopping comprou e plantou para sua ornamentação , 720 bulbos de tulipa de quatro 
cores. 
Resultados amostrais brancos vermelhos amarelos roxos 
Floresceram 176 
(180) 
136 
(144) 
222 
(216) 
114 
(108) 
Não floresceram 24 
(20) 
24 
(16) 
18 
(24) 
6 
(12) 
Total plantado 200 160 240 120 
Proporção populacional que tende a florescer: 
90,0
120240160200
114222136176



p
 
Proporção populacional que não tende a florescer: 
10,0
120240160200
6182424



p
 
 
 
       
       
33,10
12
126
24
2418
16
1624
20
2024
 
108
108114
216
216222
144
144136
180
180176
X
esperada frequência
 esperada frequência - observada frequência 
X
:X quadrado-qui testeaEstatístic2222
2222
2
teste
2
2
teste
2



















 
   
0
2
tabela
2
teste
2
tabela
H seaceita
XX
11,345X
3141-2g.l.
0,01α








 
 
 
 
Augusto Moura 2013
 
101 TESTE DE HIPÓTESE 
Exemplo 2: 
Região 
Sabor de sorvete Nordeste Sul Meio-oeste Totais 
Baunilha 86 
(100) 
44 
(40) 
70 
(60) 
200 
(0,4) 
Chocolate 45 
(62,5) 
30 
(25) 
50 
(37,5) 
125 
(0,25) 
Morango 34 
(25) 
6 
(10) 
10 
(15) 
50 
(0,1) 
Outros 85 
(62,5) 
20 
(25) 
20 
(37,5) 
125 
(0,25) 
Totais 250 100 150 500 
 
0,05 ciasignificân de Nível
região. da dependente ésabor pelo apreferênciA H
região. da teindependen ésabor pelo apreferênciA H
1
0



 
25,0
500
125
 p : outros 25,0
500
125
 p : chocolate
1,0
500
50
p : morango 4,0
500
200
p :baunilha
:esperada Proporção
42
31


 
Estatística teste: 
 
       
       
       
88,37
5,37
5,3720
15
1510
5,37
5,3750
60
6070
25
2520
10
106
25
2530
40
4044
5,62
5,6285
25
2534
5,62
5,6245
100
10086
X 
2222
2222
2222
2
2
2



























X
e
eo
 
Valor de tabela: 
   
0
2
H se-Rejeita
59,12
61314..
05,0



tabelaX
lg

 
 
 
Augusto Moura 2013 
Exemplo 3: 
construtores 
Queixa A B C D Totais 
Estrutura 12 
(15) 
10 
(15) 
33 
(15) 
5 
(15) 
60 
(0,15) 
Aquecimento 
Encanamento 
Rede elétrica 
28 
(20) 
5 
(20) 
17 
(20) 
30 
(20) 
80 
(0,20) 
Vista 40 
(40) 
60 
(40) 
20 
(40) 
40 
(40) 
160 
(0,40) 
Outras 20 
(25) 
25 
(20) 
30 
(25) 
25 
(25) 
100 
(0,25) 
Totais 100 100 100 100 400 
 
0,05 ciasignificân de Nível
s.comparávei são não esconstrutor OsH
s.comparávei são esconstrutor OsH
1
0



 
25,0
400
100
 p : outras 40,0
400
160
 p : vista
20,0
400
80
p : elet. enc. aque. 15,0
400
60
p :estrutura
:esperada Proporção
43
21


 
Estatística teste: 
 
       
       
       
       
43,72
25
2525
25
2530
25
2525
25
2520
40
4040
40
4020
40
4060
40
4040
20
2030
20
2017
20
205
20
2028
15
155
15
1533
15
1510
15
1512
X 
2222
2222
2222
2222
2
2
2



































X
e
eo
 
Valor de tabela: 
   
0
2
H se-Rejeita
92,16
91414..
05,0



tabelaX
lg

 
 
 
Augusto Moura 2013
 
103 TESTE DE HIPÓTESE 
Exemplo 4: 
 
 Oficinas 
Custo da mão de obra como 
% da fatura total 
A B C D E Totais 
0 a 15 10 
(9) 
5 
(4,5) 
8 
(9) 
9 
(7,5) 
13 
(15) 
45 
(0,15) 
15,1 a 25 10 
(12) 
8 
(6) 
14 
(12) 
10 
(10) 
18 
(20) 
60 
(0,20) 
25,1 a 35 18 
(21) 
13 
(10,5) 
4 
(21) 
20 
(17,5) 
50 
(35) 
105 
(0,35) 
35,1 a 50 22 
(18) 
4 
(9) 
34 
(18) 
11 
(15) 
19 
(30) 
90 
(0,30) 
Número de carros 60 30 60 50 100 300 
 
0,05 ciasignificân de Nível
s.comparávei são não oficinas AsH
s.comparávei são oficinas AsH
1
0



 
 
30,0
300
90
 p 35,0
300
105
 p
20,0
300
60
p 15,0
300
45
p
:esperada Proporção
43
21


 
Estatística teste: 
 
             
             
           
94,46
30
3019
15
1511
18
1834
9
94
18
1822
35
3550
5,17
5,1720
21
214
5,10
5,1013
21
2118
20
2018
10
1010
12
1214
6
68
12
1210
15
1513
5,7
5,79
9
98
5,4
5,45
9
910
X 
222222
2222222
2222222
2
2
2











































X
e
eo
 
Valor de tabela: 
   
0
2
H se-Rejeita
0,21
121514..
05,0



tabelaX
lg

 
 
Augusto Moura 2013 
 
 
 
 
Augusto Moura 2013
 
105 AMOSTRAGEM 
AMOSTRAGEM 
 
População é o conjunto de todos os elemen-
tos ou resultados sob investigação. Este con-
ceito se contrapõe ao de amostra, que é uma 
parte (subconjunto) da população 
 
Amostragem ou estudo por amostragem, é 
o estudo de um pequeno grupo de elementos 
retirado de uma população que se pretende 
conhecer. 
Amostra aleatória é aquela amostra para a 
formação da qual existiu um procedimento de 
seleção dos elementos ou grupo de elemen-
tos de um modo tal que dá a cada elemento 
da população uma probabilidade de inclusão 
na amostra calculável e diferente de zero. 
Amostra não-aleatória é aquela amostra para 
a formação da qual existiu um procedimento 
de seleção dos elementos da populaçãoque 
permite a escolha dos indivíduos a incluir na 
amostra segundo determinado critério mais 
ou menos subjetivo.Nesta forma 
de amostragem, não se conhece a probabili-
dade de determinado elemento ser selecio-
nado. 
Há vários métodos de amostragem, tais 
como: 
 aleatória simples, com ou sem reposição 
(cada elemento da população tem 
igual probabilidade de ser escolhido para 
caracterizar a amostra); 
 amostragem sistemática (após ordenada 
a população, seleciona-se a amostra pro-
babilística); 
 amostragem por estágios múltiplos (en-
volve o uso de um tipo de amostragem 
aleatória em cada um dos seus estágios); 
 amostragem estratificada por cotas 
 
amostra aleatória simples 
 
Uma amostra aleatória simples é aquela onde 
todas as unidades amostrais têm probabilida-
des iguais e positivas de serem seleciona-
das. 
 
TAMANHO DA AMOSTRA: 
A fórmula para cálculo do tamanho da amos-
tra para uma estimativa confiável da MÉDIA 
POPULACIONAL ( ) é dada por: 
 
 
 
Onde: 
n = Número de indivíduos na amostra 
2Z = Valor crítico que corresponde ao grau 
de confiança desejado. 
 = Desvio-padrão populacional da variável 
estudada (no exemplo, RENDA). 
E = Margem de erro ou ERRO MÁXIMO DE 
ESTIMATIVA. Identifica a diferença máxima 
entre a MÉDIA AMOSTRAL ( X ) e a verdadei-
ra MÉDIA POPULACIONAL. 
 
A equação exige que se substitua por algum 
valor o desvio-padrão populacional  , mas 
se este for desconhecido, devemos utilizar a 
aproximação 
 
 
4
amplitude
 » 
 
 
A fórmula para cálculo do tamanho da amos-
tra para uma estimativa confiável da PRO-
PORÇÃO POPULACIONAL (p) é dada por: 
 
 
Augusto Moura 2013 
 
p = Proporção populacional de indivíduos que 
pertence a categoria que estamos interessados 
em estudar. 
q = Proporção populacional de indivíduos que 
NÃO pertence à categoria que estamos interessa-
dos em estudar (q = 1 – p). 
 
E = Margem de erroou ERRO MÁXIMO DE 
ESTIMATIVA. Identifica a diferença máxima entre 
a PROPORÇÃO AMOSTRAL e a verdadeira 
PROPORÇÃO POPULACIONAL (p). 
 
01. Em um esquema de amostragem aleatória 
simples deseja-se determinar o tamanho da 
amostra que permite estimar a média de um 
atributo X com erro absoluto não superior a 2 
unidades com probabilidade 95%. Como in-
formação preliminar espera-se que X seja 
aproximadamente uniformemente distribuído 
com amplitude populacional de cerca de 100 
unidades. Considerando como aproximada-
mente zero a taxa n/N e tomando como 2 o 
quantil de ordem 97,5% da normal padrão, as-
sinale a opção que dá o valor de n. 
a) 431 b) 133 c) 400 d) 830 e) 1.000 
Solução: 
Amplitude=100 
Distribuição uniforme: 
 
833
12
10000
12
100
12
22
2 


ab
 
833833
2
2
e
z
n
2z %5,97
2
2
2
















 
Solução D 
02. Em um hospital deseja-se estimar os gas-
tos médios com contas hospitalares. Embora 
não se tenha informação preliminar sobre a 
variância dessas contas sabe-se que a distri-
buição é não uniforme, com a maioria dos va-
lores situados entre a média mais ou menos 
dois desvios. A amplitude das contas é R$ 
10.000,00. A população objetivo contém um 
número grande de contas. Assinale a opção 
que dá o tamanho da amostra necessário para 
estimar o valor médio das contas com erro não 
superior a R$ 300,00 com probabilidade 95%. 
Tome como sendo aproximadamente 2 o quan-
til de ordem 0,975 da distribuição normal pa-
drão. 
a)300 b)400 c)278 d)500 e)250 
Solução: 
2500
4
10000
4

amplitude
 
27877,277
9
2500
3
50
300
25002
2
22












 





 

n
e
z
n

 
Gabarito: C 
03. Um auditor deseja estimar a proporção p de 
contas incorretamente contabilizadas no pro-
cesso contábil de uma instituição financeira. 
Neste contexto decide tomar uma amostra ale-
atória de tamanho n das contas e estimar p 
usando a proporção amostral de contas incor-
retamente contabilizadas. O auditor considera 
a população de contas infinita e que a propor-
ção amostral tenha distribuição aproximada-
mente normal com expectância p e variância 
p(1-p)/n. Supondo variância máxima e que  (2) 
  (.) a função de distribuição 
da normal padrão, assinale a opção que dá o 
valor de n que o auditor deve tomar para esti-
mar p com erro não superior a 5% para mais ou 
para menos com nível de confiança de 95%. 
a) 100 b)200 c)400 
d)500 e)130 
Solução: 
 
  imo:e ser máx tem qu-p p
 máximo ppSX
01
12


 
 
5,0
2
1
12
1
2









a
b
xv
 
  25,05,05,0 12  ppSX
 
 
Augusto Moura 2013
 
107 AMOSTRAGEM  
400
25
10000
0025,0
0000,1
0025,0
1
0025,0
25,04
05,0
5,05,021
2
2
2
2








n
n
e
ppz
n
 
Gabarito C 
CONCURSO PÚBLICO PREFEITURA DE RECI-
FE – 2003 - AUDITOR DO TESOURO MUNICIPAL 
 O desvio-padrão da média para uma amostra de 
tamanho 100 é 30. A fim de tornar o desvio-padrão 
da média igual a 15, o que deveríamos fazer? 
a) Aumentar o tamanho da amostra para 200. 
b) Aumentar o tamanho da amostra para 150. 
c) Diminuir a amostra para 50. 
d) Aumentar o tamanho da amostra para 400. 
Solução: 
40020
20
15
1030
1510030
2
2
2
2
2211






n
n
n
nn 
 
Gabarito: D 
 
 
 
Augusto Moura 2013 
ESPECTÂNCIA - VARIÁVEIS ALEA-
TÓRIAS BIDIMENSIONAIS 
―X e Y são independentes se, e somente se, 
P(x,y) = P(x).P(y) para todo x e y‖ 
Se x e y são independentes, a esperança ma-
temática do produto das variáveis aleatórias (V.A) 
é igual ao produto das esperanças de cada uma, 
ou seja: 







Yi)XiYiP(Xi, E(xy) 
 YiP(Yi) E(y) 
 XiP(Xi) E(x) onde
 E(x).E(y) E(xy)
 
 
Se duas V.A. são independentes, elas são di-
tas necessariamente não-correlacionadas . 
Se duas V.A. são não correlacionadas, não 
quer dizer necessariamente que elas são inde-
pendentes. 
Exemplo: Sejam x = (1,3) e y = (-3,2,4) duas 
variáveis aleatórias e sua distribuição conjunta: 
 
Queremos saber se x e y são correlacionadas 
ou não. 
Solução: 
E(xy) = (1) . (0,1) . (- 3) + (1) . (0,2) . (2) + (1) . 
(0,2) . (4) + (3) . (0,3) . (- 3) + (3) . (0,1) . (2) + (3) . 
(0,1) .(4) = 0 
 
Como E(xy) = 0 e E(x) . E(y) = 2.0,6 = 1,2, as 
V.A. x e y são correlacionadas 
x P(x) x.P(x) 
1 0,5 0,5 
3 0,5 1,5 
 =2,0=E(x) 
y P(y) y.P(y) 
-3 0,4 -1,2 
2 0,3 0,6 
4 0,3 1,2 
 =0,6=E(y) 
COVARIÂNCIA DE X E Y 
Cov. (x,y) = E(xy) – E(x).E(y) 
No exemplo anterior: 
Cov. (x,y) = 0 – (2.0,6) = 0 – 1,2 = -1,2 
 
Se Cov. (x,y) = 0 caracteriza a existência de 
variáveis aleatórias (V.A) não correlacionadas. 
Obs. 
1) Se as V.A x e y são independentes então Cov. 
(x,y) = 0, porém, se Cov. (x,y) = 0, não se pode 
afirmar que as V.A x e y são independentes. Trata-
se de uma condição necessária de independência. 
2) Condição necessária e suficiente para que Cov. 
(x,y) = 0 é que E(x,y) = E(x).E(y). 
3) Cov. (x,y) > 0, quando valores grandes de x 
tendem se associar com valores grandes de y. 
4) Cov. (x,y) < 0, quando valores grandes de uma 
V.A se associam aos valores pequenos de outra. 
5) Cov. (x,y) = 0, quando os valores grandes de 
uma V.A se associam a valores grandes e peque-
nos de outra. 
6) Quando as variáveis são independentes, a co-
variância entre elas é nula: 
 Var (x+y) = Var (x) + Var(y). 
7) A variância da soma de duas V.A (a e b) quais-
quer é dada por: 
y)cov.(x, 2 V(y) V(x) y)V(x
 ).E(y)][E(xy).E(x 2 V(y) V(x) y)V(x
 y),2ab.cov.(x Var(y) b Var(x) a by) Var(ax 22



 
 
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR 
NA POPULAÇÃO (C) 
 
Onde: 
Sx = Desvio padrão de x 
Sy = Desvio padrão de y 
 
Se as variáveis x e y forem independentes, o 
coeficiente de correlação C(x,y) é nulo, pois 
E(x,y) = E(x).E(y) logo C(x,y) = 0 
PROPRIEDADES DO COEFICIENTE DE 
CORRELAÇÃO POPULACIONAL (C) 
 
y 
x 
-3 2 4 p(x) 
1 0,1 0,2 0,2 0,5 
3 0,3 0,1 0,1 0,5 
p(y) 0,4 0,3 0,3 1,0 
 
Sy.Sx
)y(E).x(E)y,x(E
)y,x(C


 
Augusto Moura 2013
 
109 ESPECTÂNCIA - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS 
1ª) Assume valores no intervalo –1 a +1, inclusive, 
ou seja, -1≤ C(x,y) ≤+1 
2ª) A condição necessária e suficiente para a exis-
tência de uma relação linear perfeita entre x e y, é 
C(x,y) = ± 1 
 
CARACTERÍSTICAS DO C(x,y) 
1 – Constitui uma medida do grau de linearidade 
entre x e y. 
2 – Quando C(x,y) se aproxima de ± 1, temos um 
alto grau de relação linear. 
3 – Quando C(x,y) se aproxima de zero, temos 
uma indicação de ausência de relação linear. 
4 – Quando C assume valores negativos, y tende 
a crescer com x. 
5 – Quando C assume valores negativos, y tende 
a variar no sentido oposto de x. 
6 – Quando C assume valores próximos de zero, 
temos apenas uma indicação da ausência de rela-
ção linear entre x e y, o que não elimina a existên-
cia de relação não linear entre estas variáveis. 
Ex.: o diagrama de dispersão pode apresentar a 
forma de uma parábola. 
 
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR 
AMOSTRAL (r) 
 
amostra nay de padrão desvio Sy 
amostra na x de padrão desvio Sx 
 xemy de (angular) regressão de ecoeficient b
:Onde
Sy/Sx .r b
Sx/Sy . b r y)(x,




 
Forma abreviada: 
 
X - Y y 
X - X x 
:reduzida Variável
:Onde


 
 
Modelo estatístico 
y = a + bX, onde: 
y = variável dependente (valor médio esperado de 
y para um dado X). 
X = variável independente de y. 
a = coeficiente linear. 
b = coeficiente (angular) de regressão que indica a 
variação de y para cada unidade de X, em média. 
 
PROPRIEDADES DO COEFICIENTE DE 
CORRELAÇÃO LINEAR AMOSTRAL (r) 
1 – Assume valores no intervalo -1 ≤ r ≤ +1. 
2 – É adimensional, isto é, não depende das uni-
dades de medidas das variáveis X e Y. 
3 – Não depende da origem em relação à qual os 
valores que os compõem são calculados, ou seja: 
a) somando-se ou subtraindo-se um valor 
constante e arbitrário a cada valor da variável X e 
Y, ou de ambas, o coeficiente não se altera. 
b) multiplicando-se ou dividindo-se por um va-
lor constante cada valor da variável X ou Y, ou de 
ambas, o coeficiente não se altera. 
 
BANCO CENTRAL DO BRASIL - 2002 
23- Considere duas variáveis aleatórias X e Y. 
Sejam 45 e 65 as médias de X e de Y, respectiva-
mente. Sejam 4 e 16 as variâncias de X e Y res-
pectivamente e 3 a covariância entre essas variá-
veis. Assinale a opção que dá a variância da dife-
rença X-Y. 
a)26 b)20 c)23 d)14 
e)Não é possível calcular a variância de X-Y com 
a informação dada. 
Solução: 
   
1432164)var(
),cov(2varvar)var(


yx
yxyxyx
 
Gabarito D 
 
 
  
   















 








n
Y
Y
n
X
X
n
YX
XY
yxr
SySx
yxCov
yxr
2
2
2
2
,
),.(
),(














yx
xy
yxr
22
),(
 
Augusto Moura 2013 
Exemplo 1: 
CORRELAÇÃO 
i
i
x
y 2 4 6 p(xi) 
1 0,20 0,02 0,03 0,25 
3 0,01 0,20 0,04 0,25 
5 0,03 0,02 0,45 0,50 
p(yi) 0,24 0,24 0,52 1,00 
E(x)= 3,50 
E(y)= 4,56 
E(x,y)= 18,04 
cov(x,y)= 2,08 
xi fi xifi xi
2
fi 
1 0,25 0,25 0,25 
3 0,25 0,75 2,25 
5 0,50 2,50 12,50 
 1,00 3,50 15,00 
var(x)= 2,75 D.P.(x)= 1,66 
yi fi yifi yi
2
fi 
2 0,24 0,48 0,96 
4 0,24 0,96 3,84 
6 0,52 3,12 18,72 
 1,00 4,56 23,52 
var(y)= 2,7264 D.P.(y)= 1,65 
a= 3 
b= 2 
var(ax+by)= 60,6156 
r(x,y)= 0,75963 
Cálculo da esperança matemática da variável 
aleatória 
ix
: 
 
   
 
  50,350,0525,0325,01
332211
332211
1




i
i
n
i
iii
xE
pxpxpxxE
pxpxpxxpxxE
 
Cálculo da esperança matemática da variável 
aleatória 
iy
: 
   
 
  56,452,0624,0424,02
332211
332211
1




i
i
n
i
iii
yE
pypypyyE
pypypyypyyE
 
Cálculo da esperança matemática da variável 
aleatória 
ii yx
: 
   
 
 
  04,18;
45,06502,04503,025 
04,06320,04301,023 
03,06102,04120,021;
;
;
333222111
1







ii
ii
ii
n
i
iiiiii
yxE
yxE
pyxpyxpyxyxE
yxpyxyxE
 
Cálculo da covariância de 
ii yx
: 
       
  08,256,45,304,18;
;;


yxC
yExEyxEyxC
 
Cálculo da variância da variável aleatória 
ix
: 
 
66,175,2
75,2
1
25,1215
00,1
50,3
00,15
00,1
1
1
2
2
2
2
22
















 

xx
x
x
ii
iix
ss
s
s
n
fx
fx
n
s
 
Cálculo da variância da variável aleatória 
iy
: 
 
Augusto Moura 2013
 
111 ESPECTÂNCIA - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS 
 
65,173,2
73,2
00,1
79,2052,23
00,1
56,4
52,23
00,1
1
1
2
2
2
22
















 

y
y
y
ii
iiy
s
s
s
n
fy
fy
n
s
 
Cálculo da variância de 
byax 
: 
   
   
61,1008,232273,2375,22)var(
),cov(2varvar)var(
53,6008,232273,2375,22)var(
),cov(2varvar)var(
3b e 2a Supondo
22
22
22
22





byax
yxbaybxabyax
byax
yxbaybxabyax
 
Cálculo do coeficiente de correlação linear: 
   
 
   
 
     
         
 
   
  76,075963,0;
56,452,2350,300,15
56,450,304,18
;
,
;
52,23 00,15
04,18,
56,4 50,3
22
2222
22










yxr
yxr
yEyExExE
yExEyxE
yxr
yExE
yxE
yExE
 
Exemplo 2: 
CORRELAÇÃO 
i
i
x
y 
2 4 6 p(xi) 
1 0,01 0,02 0,32 0,35 
3 0,02 0,20 0,01 0,23 
5 0,37 0,03 0,02 0,42 
p(yi) 0,40 0,25 0,35 1,00 
E(x)= 3,14 
E(y)= 3,90 
E(x,y)= 9,62 
cov(x,y)= -2,626 
xi fi xifi xi
2
fi 
1 0,35 0,35 0,35 
3 0,23 0,69 2,07 
5 0,42 2,10 10,50 
 1,00 3,14 12,92 
var(x)= 3,0604 D.P.(x)= 1,75 
yi fi yifi yi
2
fi 
2 0,40 0,80 1,60 
4 0,25 1,00 4,00 
6 0,35 2,10 12,60 
 1,00 3,90 18,20 
var(y)= 2,99 D.P.(y)= 1,73 
a= 3 
b= 2 
var(ax+by)= 7,9916 
r(x,y)= -0,8681 
Cálculo da esperança matemática da variável 
aleatória 
ix
: 
 
Augusto Moura 2013 
   
 
  14,342,0523,0335,01
332211
332211
1




i
i
n
i
iii
xE
pxpxpxxE
pxpxpxxpxxE
 
Cálculo da esperança matemática da variável 
aleatória 
iy
: 
   
 
  90,335,0625,0440,02
332211
332211
1




i
i
n
i
iii
yE
pypypyyE
pypypyypyyE
 
Cálculo da esperança matemática da variável 
aleatória 
ii yx
: 
   
 
 
  62,9;
02,06503,04537,025 
01,06320,04302,023 
32,06102,04101,021;
;
;
333222111
1







ii
ii
ii
n
i
iiiiii
yxE
yxE
pyxpyxpyxyxE
yxpyxyxE
Cálculo da covariância de 
ii yx
: 
       
  626,290,314,362,9;
;;


yxC
yExEyxEyxC
 
Cálculo da variância da variável aleatória 
ix
: 
 
75,106,3
06,3
1
86,992,12
00,1
14,3
92,12
00,1
1
1
2
2
2
2
22
















 

xx
x
x
ii
iix
ss
s
s
n
fx
fx
n
s
 
Cálculo da variância da variável aleatória 
iy
: 
 
 
73,199,2
99,2
00,1
21,1520,18
00,1
90,3
20,18
00,1
1
1
2
2
2
2
22
















 

yy
y
y
ii
iiy
ss
s
s
n
fy
fy
n
s
 
Cálculo da variância de 
byax 
: 
   
 
   
  22,9263,2322 
90,3314,32)var(
),cov(2 
varvar)var(
10,2863,2322 
90,3314,32)var(
),cov(2 
varvar)var(
3b e 2a Supondo
22
22
22
22









byax
yxba
ybxabyax
byax
yxba
ybxabyax
 
Cálculo do coeficiente de correlação linear: 
 
 
 
 
 
 
     
         
 
   
  87,08681,0;
90,320,1814,392,12
90,314,362,9
;
,
;
20,18
92,12
62,9,
90,3
14,3
22
2222
2
2











yxr
yxr
yEyExExE
yExEyxE
yxr
yE
xE
yxE
yE
xE
 
 
Augusto Moura 2013
 
113 ESPECTÂNCIA - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS 
Exemplo 3: 
CORRELAÇÃO 
i
i
x
y 
2 4 6 p(xi) 
1 0,20 0,00 0,00 0,20 
3 0,00 0,40 0,00 0,40 
5 0,00 0,00 0,40 0,40 
p(yi) 0,20 0,40 0,40 1,00 
E(x)= 3,40 
E(y)= 4,40 
E(x,y)= 17,20 
cov(x,y)= 2,24 
xi fi xifi xi
2
fi 
1 0,20 0,20 0,20 
3 0,40 1,20 3,60 
5 0,40 2,00 10,00 
 1,00 3,40 13,80 
var(x)= 2,24 D.P.(x)= 1,50 
yi fi yifi yi
2
fi 
2 0,20 0,40 0,80 
4 0,40 1,60 6,40 
6 0,40 2,40 14,40 
 1,00 4,40 21,60 
var(y)= 2,24 D.P.(y)= 1,50 
a= 3 
b= 2 
var(ax+by)= 56 
r(x,y)= 1 
 
Cálculo da esperança matemática da variável 
aleatória 
ix
: 
   
 
  40,340,0540,0320,01
332211
332211
1




i
i
n
i
iii
xE
pxpxpxxE
pxpxpxxpxxE
 
 
Cálculo da esperança matemática da variável 
aleatória 
iy
: 
   
 
  40,440,0640,0420,02
332211
332211
1




i
i
n
i
iii
yE
pypypyyE
pypypyypyyE
 
 
Cálculo da esperança matemática da variável 
aleatória 
ii yx
: 
   
 
 
20,1740,065 
40,04320,021;
;
;
333222111
1





ii
ii
n
i
iiiiii
yxE
pyxpyxpyxyxE
yxpyxyxE
 
 
Cálculo da covariância de 
ii yx
: 
       
  40,440,320,17;
;;


yxC
yExEyxEyxC
 
 
Cálculo da variância da variável aleatória 
ix
: 
 
Augusto Moura 2013 
 
50,124,2
24,2
1
56,1180,13
1
4,3
8,13
1
1
1
2
2
2
22


















 

xx
x
ii
iix
ss
s
n
fx
fx
n
s
 
Cálculo da variância da variável aleatória 
iy
: 
 
50,124,2
100
36,1960,21
100
40,4
60,21
100
1
1
2
2
2
22
















 

xy
y
ii
iiy
ss
s
n
fy
fy
n
s
 
Cálculo da variância de 
byax 
: 
   
   
  24,224,2322 
24,2324,22)var(
),cov(2 
varvar)var(
5624,2322 
24,2324,22)var(
),cov(2 
varvar)var(
3b e 2a Supondo
22
22
22
22









byax
yxba
ybxabyax
byax
yxba
ybxabyax
 
Cálculo do coeficiente de correlação linear: 
 
 
 
 
 
 
     
         
 
   
  00,1;
40,460,2140,380,13
40,440,320,17
;
,
;
60,21
80,13
20,17,
40,4
40,3
22
2222
2
2












yxr
yxr
yEyExExE
yExEyxE
yxr
yE
xE
yxE
yE
xE
 
Exemplo 4: 
CORRELAÇÃO 
i
i
x
y 
2 4 6 p(xi) 
1 0,00 0,00 0,40 0,40 
3 0,00 0,40 0,00 0,40 
5 0,20 0,00 0,00 0,20 
p(yi) 0,20 0,40 0,40 1,00 
E(x)= 2,60 
E(y)= 4,40 
E(x,y)= 9,20 
cov(x,y)= -2,24 
xi fi xifi xi
2
fi 
1 0,40 0,40 0,40 
3 0,40 1,20 3,60 
5 0,20 1,00 5,00 
 1,00 2,60 9,00 
var(x)= 2,24 D.P.(x)= 1,50 
yi fi yifi yi
2
fi 
2 0,20 0,40 0,80 
4 0,40 1,60 6,40 
6 0,40 2,40 14,40 
 1,00 4,40 21,60 
var(y)= 2,24 D.P.(y)= 1,50 
a= 3 
b= 2 
var(ax+by)= 2,24 
r(x,y)= -1 
 
 
 
Augusto Moura 2013
 
115 ESPECTÂNCIA - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS 
Cálculo da esperança matemática da variável 
aleatória 
ix
: 
   
 
  60,220,0540,0340,01
332211
332211
1




i
i
n
i
iii
xE
pxpxpxxE
pxpxpxxpxxE
 
Cálculo da esperança matemática da variável 
aleatória 
iy
: 
   
 
  40,440,0640,0420,02
332211
332211
1




i
i
n
i
iii
yE
pypypyyE
pypypyypyyE
 
 
Cálculo da esperança matemática da variável 
aleatória 
ii yx
: 
   
 
 
60,940,061 
40,04320,025;
;
;
333222111
1





ii
ii
n
i
iiiiii
yxE
pyxpyxpyxyxE
yxpyxyxE
 
 
Cálculo da covariância de 
ii yx
: 
       
  24,240,460,220,9;
;;


yxC
yExEyxEyxC
 
 
Cálculo da variância da variável aleatória 
ix
: 
 
50,124,2
24,2
1
76,600,9
1
60,2
00,9
1
1
1
2
2
2
22


















 

xx
x
ii
iix
ss
s
n
fx
fx
n
s
 
 
Cálculo da variância da variável aleatória 
iy
: 
 
50,124,2
100
36,1960,21
100
40,4
60,21
100
1
1
2
2
2
22
















 

xy
y
ii
iiy
ss
s
n
fy
fy
n
s
 
 
Cálculo da variância de 
byax 
: 
   
  24,224,2322 
24,2324,22)var(
),cov(2 
varvar)var(
3b e 2a Supondo
22
22





byax
yxba
ybxabyax
 
   
  5624,2322 
24,2324,22)var(
),cov(2 
varvar)var(
22
22




byax
yxba
ybxabyax
 
Cálculo do coeficiente de correlação linear: 
 
 
 
 
 
 
     
         
 
   
  00,1;
40,460,2160,200,9
40,460,220,9
;
,
;
60,21
00,9
20,9,
40,4
60,2
22
2222
2
2












yxr
yxr
yEyExExE
yExEyxE
yxr
yE
xE
yxE
yE
xE
 
 
 
 
 
Augusto Moura 2013 
BANCO CENTRAL DO BRASIL - 2002 
 Considere a distribuição conjunta abaixo de duas variá-
veis aleatórias discretas X e Y. Assinale a opção que dá 
o valor da covariância entre X e Y. 
X/Y Y1 Y2 
X1 0,25 0,25 
X2 0,25 0,25 
 
a)–6,40 b)–0,87 c)–0,05 
d)0,00 e)0,25 
 
Solução: 
Y1 Y2 TOTAL
X1 0,25 0,25 0,5
X2 0,25 0,25 0,5
total 0,5 0,5 1
 
 
   
   
   
       
   
    05,05,0 
25,0,
,,
25,0,
5,0
5,0
2121
22122111
22122111
21
21






YYXX
YXYXYXYXYXCov
YEXEYXEYXCov
YXYXYXYXYXE
YYYE
XXXE
Gabarito: D 
 Em um esquema em que se toma uma amostra aleató-
ria simples de tamanho 160 de uma população com 
1600 indivíduos encontram-se os valores 
20X
e 
162 s
para a variância amostral (formula não-
viezada). Assinale a opção que corresponde a uma 
estimativa não-viezada da variância da média amostral. 
a)0,08 b)0,07 c)0,10 d)0,15 e)0,09 
Solução: 
    09,09,01,01,011,012  pp 
Gabarito: E 
 
Augusto Moura 2013
 
11
7 
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 
Dados n pares de valores (X,Y), se admitirmos que 
Y é uma função linear de X, podemos estabelecer uma 
regressão linear simples, cujo modelo estatístico, é 
y = a + bX + ui, onde: 
a = coeficiente linear da reta. 
b = coeficiente (angular) de regressão. 
ui = influência de outra variáveis e/ou erros aleatórios 
das medidas de y. 
 
AJUSTAMENTO DE CURVAS(MÉTODOS DOS 
MÍNIMOS QUADRADOS) 
É o mais usado e consiste em adotar como estima-
tiva dos parâmetros do modelo, os valores que minimi-
zam a soma dos quadrados dos desvios. 
n
Xb - Y
 a
Xb Xa XY
Xb an Y
bX a Y
2







 
 
Resolvendo o sistema acima, temos: 
 
X de observados valoresdos média X 
Y de observados valoresdos média Y
:onde ,Xb -Y a



 
 
MODELO SIMPLIFICADO 
Se quisermos simplificar os cálculos, podemos utili-
zar a variável reduzida 
 , que nos fornece: 
bx Y Y
n
X
 - 
X
xY
 
x
xY
 b
2
22








 
 
Obs. No modelo de regressão linear simples, deve-
mos ter no mínimo três pares de observações, pois se 
obtivermos apenas dois, a estimação da reta passa a 
ser um problema de geometria analítica, não sendo 
possível fazer nenhuma análise estatística. 
Outra forma de se calcular o Coeficiente de Regres-
são (b) é através da fórmula: 
b = r.Sy/Sx 
Onde: 
r = coeficiente de correlação linear 
Sy = desvio padrão de y 
Sx = desvio padrão de x 
 
DECOMPOSIÇÃO DA SOMA DOS QUADRADOS 
       
222
Y-YY-YY-Y
 
VE VA VT Logo,
(VE) modelo pelo explicada Variação )Y - Y(
modelo pelo explicada não 
 (VR) residualou (VA) aleatória Variação )Y- (Y
(VT) totalVariação )Y - (Y
:Onde
2
2
2









 
 
COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO (R) 
 
1R0
n
X
Xx
n
)y).(x(
XYxy
:onde 
x
xy
b R
2
2
22
2
2




 





 
 
Quanto mais próximo de 1 estiver R
2
, melhor o mo-
delo. No modelo de regressão linear simples, R
2
 = r
2
, ou 
seja, o coeficiente de determinação é igual ao coeficien-
te de correlação linear ao quadrado. 
 
ERRO PADRÃO DE ESTIMATIVA 
É a variação residual (VR) ou aleatória (VA) ou não 
explicada pelo modelo, assim: 
VR = VT – VE 
 
 
  
 22 XXn
YXXYn
b



 
        
2
//
2
2
22
2
2
2
2









n
nyxxybnyy
S
n
VEVT
S
n
yy
S

 
Augusto Moura 2013 
Exemplo 1: 
xi yi xi
2
 yi
2
 xiyi 
 
10 20 100 400 200 
12 30 144 900 360 
14 20 196 400 280 
16 60 256 3600 960 
18 50 324 2500 900 
20 70 400 4900 1400 
90 250 1420 12700 4100 
n= 6 y=a+bx 
 16,67 
b= 5,00 26,67 
a= -33,33 36,67 
 46,67 
 56,67 
r(x,y)= 0,88 66,67 
Correlação 0,875 
Determinação de 
bxay 
 
 
00,5
9014206
2509041006
222







 
  
xxn
yxxyn
b
 
33,3315567,41
67,41
6
250
y 15
6
90



xbya
n
y
n
x
x 
xy 533,33 :regressão de Equação 
 
Cálculo do coeficiente de correlação linear: 
 
Augusto Moura 2013
 
119 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 
   
   
 
 
     
             
875,0
67,4137,21161567,236
67,411533,683,
;
37,2116
6
12700
67,236
6
1420
 33,683
6
4100
,
67,41
6
160
 15
6
90
222222
2
2
2













yEyExExE
yExEyxE
yxr
n
y
yE
n
x
xE
n
yx
yxE
n
y
yE
n
x
xE
i
iii
ii
 
Exemplo 2 
xi yi xi
2
 yi
2
 xiyi 
 
10 50 100 2500 500 
12 45 144 2025 540 
14 35 196 1225 490 
16 15 256 225 240 
18 10 324 100 180 
20 5 400 25 100 
90 160 1420 6100 2050 
n= 6 y=a+bx 
 51,67 
b= -5,00 41,67 
a= 101,67 31,67 
 21,67 
 11,67 
r(x,y)= -0,98 1,67 
correlação -0,977 
Determinação de bxay  
 
5
9014206
1609020506
222







 
  
xxn
yxxyn
b
 
  67,10115567,26
67,26
6
160
y 15
6
90



xbya
n
y
n
x
x
 
xy 567,101 :regressão de Equação  
Cálculo do coeficiente de correlação linear: 
 
Augusto Moura 2013 
   
   
 
 
     
             
977,0
67,2667,10161567,236
67,261567,341,
;
67,1016
6
6100
67,236
6
1420
 67,341
6
2050
,
67,26
6
160
 15
6
90
222222
2
2
2













yEyExExE
yExEyxE
yxr
n
y
yE
n
x
xE
n
yx
yxE
n
y
yE
n
x
xE
i
iii
ii
 
Exemplo 3: 
xi yi xi
2
 yi
2
 xiyi 
 
10 25 100 625 250 
12 29 144 841 348 
14 33 196 1089 462 
16 37 256 1369 592 
18 41 324 1681 738 
20 45 400 2025 900 
90 210 1420 7630 3290 
n= 6 y=a+bx 
 25,00 
b= 2,00 29,00 
a= 5,00 33,00 
 37,00 
 41,00 
r(x,y)= 1,00 45,00 
Determinação de bxay  
 
00,2
9014206
2109032906
222







 
  
xxn
yxxyn
b
 
00,515235
35
6
210
y 15
6
90



xbya
n
y
n
x
x
 
xy 25 :regressão de Equação  
 
 
Augusto Moura 2013
 
121 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 
Cálculo do coeficiente de correlação linear: relação linear perfeita. 
   
   
 
 
     
             
00,1
3567,12711567,236
351533,548,
;
67,1271
6
7530
67,236
6
1420
 33,548
6
3290
,
35
6
210
 15
6
90
222222
2
2
2













yEyExExE
yExEyxE
yxr
n
y
yE
n
x
xE
n
yx
yxE
n
y
yE
n
x
xE
i
iii
ii
 
Exemplo 4: 
xi yi xi
2
 yi
2
 xiyi 
 
10 -25 100 625 -250 
12 -31 144 961 -372 
14 -37 196 1369 -518 
16 -43 256 1849 -688 
18 -49 324 2401 -882 
20 -55 400 3025 -1100 
90 -240 1420 10230 -3810 
n= 6 y=a+bx 
 -25,00 
b= -3,00 -31,00 
a= 5,00 -37,00 
 -43,00 
 -49,00 
r(x,y)= -1,00 -55,00 
correlação -1 
Determinação de bxay  
 
   
00,3
9014206
2409038106
222







 
  
xxn
yxxyn
b
 
  00,515340
40
6
240
y 15
6
90





xbya
n
y
n
x
x
 
 
Augusto Moura 2013 
xy 35 :regressão de Equação  
Cálculo do coeficiente de correlação linear: relação linear perfeita. 
   
   
 
 
     
         
 
   
00,1
4017051567,236
4015635,
;
1705
6
10230
67,236
6
1420
 635
6
3810
,
40
6
240
 15
6
90
222222
2
2
2

















yEyExExE
yExEyxE
yxr
n
y
yE
n
x
xE
n
yx
yxE
n
y
yE
n
x
xE
i
iii
ii
 
Augusto Moura 2013
 
123 NÚMEROS ÍNDICES (RELATIVOS) 
NÚMEROS ÍNDICES (RELATIVOS) 
ÍNDICE RELATIVO DE PREÇO (PB,A) 
B
A
AB,
B
A
P
P
 P
Base Preço P
Atual Preço P



 
ÍNDICE RELATIVO DE QUANTIDADE (QB,A ) 
B
A
AB,
B
A
Q
Q
Q
Base QuantidadeQ
AtualQuantidadeQ



 
ÍNDICE RELATIVO DE VALOR( VB,A ) 
B
A
AB,
B
A
V
V
V
BaseValor V
AtualValor V



 
Exemplo: 
ANO
PREÇO
 MÉDIO
 DE VENDA
QUANTIDADE
 VENDIDA
RECEITA
(x1000)
1990 3000 60 180,0
1991 3300 63 207,9
1992 3900 60 234,0
1993 4500 66 297,0
1994 4500 72 324,0
1995 4800 75 360,0
1996 4950 66 326,7
 
Calcular o índice de preços , quantidade e valor 
tendo como base 1990. 
115,1
0,180
9,207
05,1
60
63
10,1
3000
3300
1990
1991
1991,1990
1990
1991
1991,1990
1990
1991
1991,1990



V
V
V
Q
Q
Q
P
P
P
 
ANO
ÍNDICE 
DE
PREÇOS
ÍNDICE 
DE 
QUANTIDADES
ÍNDICE
 DE
 VALORES
1990 1,00 1,00 1,00
1991 1,10 1,05 1,16
1992 1,30 1,00 1,30
1993 1,50 1,10 1,65
1994 1,50 1,20 1,80
1995 1,60 1,25 2,00
1996 1,65 1,10 1,82
 
Calcular o índice de preços , quantidade e va-
lor tendo como base 1993. 
606,0
65,1
00,1
901,0
10,1
00,1
667,0
50,1
00,1
1990,1993
1990,1990
1990,1993
1990,1993
1990,1990
1990,1993
1990,1993
1990,1990
1990,1993



V
V
V
Q
Q
Q
P
P
P
 
ANO
ÍNDICE
 DE
 PREÇOS
ÍNDICE
 DE
 QUANTIDADES
ÍNDICE
 DE
 VALORES
1990 0,667 0,909 0,606
1991 0,733 0,955 0,700
1992 0,867 0,909 0,788
1993 1,000 1,000 1,000
1994 1,000 1,091 1,091
1995 1,067 1,136 1,212
1996 1,100 1,000 1,100
 
ÍNDICE ARITMÉTICO MÉDIO DE PREÇOS 
SIMPLES (PB,A) 
n
P
P
AB,
AB,


 
ÍNDICE ARITMÉTICO MÉDIO DE QUANTI-
DADE SIMPLES (QB,A) 
n
Q
Q
AB,
AB,


 
ÍNDICE RELATIVO DE PREÇOS COM MÉDIA 
HARMÔNICA SIMPLES (PB,A
H) 
 

BA,
H
AB,
P
n
P
 
 
Augusto Moura 2013 
ÍNDICE RELATIVO DE QUANTIDADES COM 
MÉDIA HARMÔNICA SIMPLES (PB,A
H) 
 

BA,
H
AB,
Q
n
Q
 
ÍNDICE RELATIVO DE PREÇOS COM MÉDIA 
GEOMÉTRICA SIMPLES (PB,A
G) 
n
n
1i
i
G
AB, PP 


 
ÍNDICE RELATIVO DE QUANTIDADES COM 
MÉDIA GEOMÉTRICA SIMPLES (PB,A
G) 
n
n
1i
i
G
AB, QQ 


 
Exemplo: 
 1990 2000 
PRODU-
TO 
PREÇO QUANT
. 
PRE-
ÇO 
QUANT
. 
A 0,80/kg 3kg 1,20/kg 2,5kg 
B 0,10 cada 5 0,08 
cada 
4 
C 1,00/dúzi
a 
2 dú-
zias 
1,50/ 
dúzia 
3 dú-
zias 
D 0,10 3 0,20 4 
450,1
4
10,0
20,0
00,1
50,1
10,0
08,0
80,0
20,1
4
P
P
1990,2000
1990,2000





 
111,1
4
3
4
2
3
5
4
3
5,2
4
Q
Q
1990,2000
1990,2000





 
377,1
10,0
20,0
00,1
50,1
10,0
08,0
80,0
20,1
PP 4
4
1i
1990,2000
G
1990,2000

 

 
075,1
3
4
2
3
5
4
3
5,2
QQ
4
4
4
1i
1990,2000
G
1990,2000

 

 
 
297,1
20,0
10,0
50,1
00,1
08,0
10,0
20,1
80,0
4
P
4
P
2000,1990
H
1990,2000





 
 
035,1
4
3
3
2
4
5
5,2
3
4
Q
4
Q
2000,1990
H
1990,2000





 
ÍNDICE ARITMÉTICO MÉDIO DE PREÇOS 
PONDERADO (PB,A) 



i
iAB,
AB,
f
fP
P
 
ÍNDICE ARITMÉTICO MÉDIO DE QUANTI-
DADE PONDERADO (QB,A) 



i
iAB,
AB,
f
fQ
Q
 
ÍNDICE RELATIVO DE PREÇOS COM MÉDIA 
HARMÔNICA PONDERADA (PB,A
H) 
 


iBA,
iH
AB,
fP
f
P
 
ÍNDICE RELATIVO DE QUANTIDADES COM 
MÉDIA HARMÔNICA PONDERADA (PB,A
H) 
 
Augusto Moura 2013
 
125 NÚMEROS ÍNDICES (RELATIVOS) 
361,1
10,0
20,0
00,1
50,1
10,0
08,0
80,0
20,1
PP
10
1423
10
10
1i
1990,2000
G
1990,2000


























 

if
 
 


iBA,
iH
AB,
fQ
f
Q
 
ÍNDICE RELATIVO DE PREÇOS COM MÉDIA 
GEOMÉTRICA PONDERADA (PB,A
G) 
n
n
1i
iAB,
G
AB, fPP 


 
ÍNDICE RELATIVO DE QUANTIDADES COM 
MÉDIA GEOMÉTRICA PONDERADA (PB,A
G) 
n
n
1i
iAB,
G
AB, fQQ 


 
Exemplo: 
1990 
PRODUTO PESOS PREÇO QUANT. 
A 3 0,80/kg 3kg 
B 2 0,10 cada 5 
C 4 1,00/dúzia 2 dúzias 
D 1 0,10 3 
 
2000 
PRODUTO PREÇO QUANT. 
A 1,20/kg 2,5kg 
B 0,08 
cada 
4 
C 1,50/ 
dúzia 
3 dú-
zias 
D 0,20 4 
41,1
1423
1
10,0
20,0
4
00,1
50,1
2
10,0
08,0
3
80,0
20,1
P
P
i
1990,2000
1990,2000






f
f i
 
14,1
1423
1
3
4
4
2
3
2
5
4
3
3
5,2
Q
Q
1990,2000
1990,2000







i
i
f
f
 
096,1
3
4
2
3
5
4
3
5,2
QQ
10
1423
10
10
1i
1990,2000
G
1990,2000

























 

 
 
304,1
1
20,0
10,0
4
50,1
00,1
2
08,0
10,0
3
20,1
80,0
1423
P
P
2000,1990
H
1990,2000







i
i
f
f
 
 
051,1
1
4
3
4
3
2
2
4
5
3
5,2
3
1423
Q
Q
2000,1990
H
1990,2000






 if
 
ÍNDICE DE PREÇOS AGREGATIVOS DE 
LASPEYRES (DA ÉPOCA BASE) 



BB
BA
AB,
QP
QP
L
 
 
Augusto Moura 2013 
ÍNDICE DE QUANTIDADE DE LASPEYRES 
(DA ÉPOCA BASE) 



BB
BA
AB,
PQ
PQ
L
 
ÍNDICE DE PREÇOS DE PAASCHE (DA 
ÉPOCA ATUAL) 



AB
AA
AB,
QP
QP
P
 
ÍNDICE DE QUANTIDADE DE PAASCHE (DA 
ÉPOCA ATUAL) 



AB
AA
AB,
PQ
PQ
P
 
ÍNDICE IDEAL DE FISCHER: 
ABABAB PLF ,,, 
 
ÍNDICE DE VALOR =Laspeyres (de preço) x 
Paasche (de quantidade) 
 
PROPRIEDADES DOS RELATIVOS 
1 – Da identidade – o número índice deve ser 
igual à unidade quando a época coincidir com a 
época base. Pa,a= 1 
2 – Reversibilidade no tempo – ao se permuta-
rem dois períodos a e b, os resultados serão o 
inverso um do outro 
Pb,a . Pa,b = 1 e Pb,a = 1/Pa,b 
3 – Circular ou Cíclica – Pa,b . Pb,c . Pc,d = 
Pa,dou Pa,b . Pb,c . Pc,a= Pa,a = 1 
4 – Decomposição das causas (Inversão ou 
Reversão dos fatores) 
Pa,b . Qa,b = Va,b 
P = preços 
Q = quantidade 
V = valor 
Obs.: Os índices de Laspeyres e de Paasche 
não satisfazem ao teste de reversibilidade no tem-
po e da cadeia (cíclica ou circular). 
Nenhum número índice satisfaz a todos os tes-
tes. 
O índice ideal de Fischer, Laspeyres e de 
Paasche não satisfazem ao teste circular. 
Os números índices simples satisfazem ao tes-
te circular. 
O índice ideal de Fisher satisfaz ao teste de re-
versibilidade no tempo e da reversão dos fatores. 
Os índices de Laspeyres e de Paasche não sa-
tisfazem ao teste da reversão dos fatores e da 
reversibilidade no tempo. 
No índice de Laspeyres, os pesos são fixos e re-
ferem-se à época base. 
 
Exemplo: 
A tabela abaixo dá os valores dos preços Ptie 
quantidades Qtide quatro itens de consumo A, B, C 
e D nos tempos t1 < t2. Os preços estão em reais e 
as quantidades em unidades apropriadas. 
Item Pt1 Pt2 Qt1 Qt2 
A 10 15 5 4 
B 9 11,5 5 4 
C 4 5 3 2 
D 5 6,5 3 2 
 
Assinale a opção que dá o valor mais próximo do 
índice de preços de Paasche no tempo t2 com 
base em t1. 
a)136 b)137 c)138 d)139 e)136,5 
Solução: 
Índice de preços de Paasche: 
 
Augusto Moura 2013
 
127 NÚMEROSÍNDICES (RELATIVOS) 
371,1
94
129
524294104
5,62525,114154









AB
AA
preços
QP
QP
P
 
Índice de quantidades de Paasche: 
772,0
167
129
5,63535,115155
5,62525,114154









AB
AA
squantidade
PQ
PQ
P
 
Índice de preços de Laspeyres: 
368,1
122
167
534395105
5,63535,115155









BB
BA
preços
QP
QP
L
 
Índice de quantidades de Laspeyres: 
7236,0
152
110
1534395105
524294104









AB
AA
squantidade
PQ
PQ
F
 
Índice de ideal de Fischer: 
3695,1368,1371,1 
 preçospreçospreços FPF 
3695,1368,1371,1 
 squantidadesquantidadesquantidade FPF 
CONCURSO PÚBLICO - SECRETARIA DA RE-
CEITA FEDERAL - AFRF- 2002 
 A inflação de uma economia, em um período de 
tempo t, medida por um índice geral de preços, foi 
de 30%. Assinale a opção que dá a desvaloriza-
ção da moeda dessa economia no mesmo perío-
do. 
a) 30,00% b) 23,08% c) 40,10% 
d) 35,30% e) 25,00% 
B Resposta
%08,23%100
%130
%30
:

Solução
 
CONCURSO PÚBLICO - SECRETARIA DA RE-
CEITA FEDERAL - AFRF-2002.2 
 No tempo t0+2 o preço médio de um bem é 30% 
maior do que em t0+1, 20% menor do que em t0 e 
40% maior do que em t0+3. Assinale a opção que 
dá o relativo de preços do bem em t0+3 com base 
em t0+1. 
a) 162,5% b) 130,0% c) 120,0% 
d) 092,9% e) 156,0% 
   
 
 
D Re
%9,92
4,1
130
3
34,1130
3%4032
1302
1001 tSendo
:
0
0
000
0
0
sposta
t
t
ttt
t
Solução





 
CONCURSO PÚBLICO - SECRETARIA 
DA RECEITA FEDERAL - AFRF-2003 
 Dadas as três séries de índices de preços abaixo, 
assinale a opção correta. 
Ano S1 S2 S3 
1999 50 75 100 
2000 75 100 150 
2001 100 125 200 
 
Augusto Moura 2013 
2002 150 175 300 
a) As três séries mostram a mesma evolução de 
preços. 
b) A série S2 mostra evolução de preços distinta 
das séries S1 e S3. 
c) A série S3 mostra evolução de preços distinta 
das séries S1 e S2. 
d) A série S1 mostra evolução de preços distinta 
das séries S2 e S3. 
e) As três séries não podem ser comparadas pois 
têm períodos-base distintos. 
Solução:: 
Ano S1 S2 S3 
1999 50 75 100 
2000 75 100 150 
2001 100 125 200 
2002 150 175 300 
Cálculo dos números índices para ano base 1999: 
ano S1 S2 S3
1999 1,0 1,0 1,0
2000 1,5 1,3 1,5
2001 2,0 1,7 2,0
2002 3,0 2,3 3,0 
A série S2 mostra evolução distinta das séries S1 
e S3. 
Resposta B. 
Analista - Geral - Banco Central - 2001 
 A tabela abaixo dá os valores dos preços Ptie 
quantidades Qtide quatro itens de consumo A, B, C 
e D nos tempos t1 < t2. Os preços estão em reais e 
as quantidades em unidades apropriadas. 
Item Pt1 Pt2 Qt1 Qt2 
A 10 15 5 4 
B 9 11,5 5 4 
C 4 5 3 2 
D 5 6,5 3 2 
Assinale a opção que dá o valor mais próximo do 
índice de preços de Paasche no tempo t2 com 
base em t1. 
a)136 b)137 c)138 d)139 e)136,5 
 
Solução: 
371,1
94
129
524294104
5,62525,114154









preços
preços
AB
AA
preços
P
P
QP
QP
P
 
 
Auditor-Fiscal da Receita Federal - AFRF-2000 
 Uma empresa produz e comercializa um deter-
minado bem X. A empresa quer aumentar em 60% 
seu faturamento com X. Pretende atingir este ob-
jetivo aumentando o preço do produto e a quanti-
dade produzida em 20%. Supondo que o mercado 
absorva o aumento de oferta e eventuais acrésci-
mos de preço, qual seria o aumento de preço ne-
cessário para que a firma obtenha o aumento de 
faturamento desejado? 
a) 40,0 % b) 20,5 % c) 25,3 % 
d) 33,3 % e) 35,6 % 
Solução: 
...33,13
12
160
10
10
10
160100
2
2
2
2
1
1
21





Q
F
P
Q
Q
P
FF
 
 
Augusto Moura 2013
 
129 NÚMEROS ÍNDICES (RELATIVOS) 
 
a) 9,00 % 
b) 6,08 % 
c) 7,00 % 
d) 7,16 % 
e) 6,11 % 
Solução: 
16,10706,105
100
3
06,105%3
06,105103
100
3
103%3
103100
100
3
100%3
100
223
112
001
0




ttt
ttt
ttt
t
Como a série é cíclica: 
20 t
 em relação a 
10 t
 equivale a 
30 t
 em 
relação a 
0t
 logo o aumento é de 7,16% 
Gabarito: D 
 
 
Augusto Moura 2013 
SERIES TEMPORAIS 
 
Uma série temporal é um conjunto cronológico (ordenado no tempo) de observações. 
Uma série temporal pode ser decomposta pelo modelo clássico em quatro componentes: 
1º) Tendência : descreve um movimento suave , em longo prazo , dos dados , para cima ou 
para baixo. 
2º) Variações cíclicas : quando as variações apresentam um certo grau de regularidade num 
período superior a um ano. 
3º) Variações sazonais : são variações cíclicas em prazo curto, inferior a um ano. 
4º) Variações irregulares : coisas do acaso. 
 
Modelo multiplicativo: 
ISCTY 
 
 
Modelo aditivo: 
ISCTY 
 
 
Modelo misto: 
   




ISCTY
ISCTY 
 
Isolamento da tendência com uso da análise de regressão linear: 
 
Exemplo: 
 
ano 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 
toneladas 10 11 9 11 12 15 13 17 16 13 
 
ano 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 
toneladas 14 10 18 16 20 22 14 21 17 21 
 
Reta de regressão linear: 
 
 
Augusto Moura 2013
 
131 SERIES TEMPORAIS 
ANO (X) TONELADAS (Y) XY X
2
Y
2
1 10 10 1 100
2 11 22 4 121
3 9 27 9 81
4 11 44 16 121
5 12 60 25 144
6 15 90 36 225
7 13 91 49 169
8 17 136 64 289
9 16 144 81 256
10 13 130 100 169
11 14 154 121 196
12 10 120 144 100
13 18 234 169 324
14 16 224 196 256
15 20 300 225 400
16 22 352 256 484
17 14 238 289 196
18 21 378 324 441
19 17 323 361 289
20 21 420 400 441
TOTAL 210 300 3497 2870 4802
 
 
      4802Y 2870X 3497XY 300Y 210 22X
 
 
   
 52,052,9
Y
:linear regressão de Reta
)linear ecoeficient ( 52,9
20
21052,0300xb-Y
a
)angular ecoeficient ( 52,0
210287020
300210349720
222
XY
bXa
n
XXn
YXXYn
b












 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Augusto Moura 2013 
ANO (X) TONELADAS (Y)
TENDÊNCIA
Y=9,52+0,52X
MODELO
ADITIVO
Y-T
MODELO
MULTIPLICATIVO
Y / T
1 10 10,04 -0,04 1,00
2 11 10,56 0,44 1,04
3 9 11,08 -2,08 0,81
4 11 11,60 -0,60 0,95
5 12 12,12 -0,12 0,99
6 15 12,64 2,36 1,19
7 13 13,16 -0,16 0,99
8 17 13,68 3,32 1,24
9 16 14,20 1,80 1,13
10 13 14,72 -1,72 0,88
11 14 15,24 -1,24 0,92
12 10 15,76 -5,76 0,63
13 18 16,28 1,72 1,11
14 16 16,80 -0,80 0,95
15 20 17,32 2,68 1,15
16 22 17,84 4,16 1,23
17 14 18,36 -4,36 0,76
18 21 18,88 2,12 1,11
19 17 19,40 -2,40 0,88
20 21 19,92 1,08 1,05
VARIAÇÕES
CÍCLICAS E IRREGULARES
 
 
 
Augusto Moura 2013
 
133 SERIES TEMPORAIS 
 
 
0
5
10
15
20
25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Representação gráfica da tendência 
TONELADAS (Y) TENDÊNCIA
Y=9,52+0,52X
 
Augusto Moura 2013 
 
-8,00
-6,00
-4,00
-2,00
0,00
2,00
4,00
6,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
VARIAÇÕES 
CÍCLICAS E IRREGULARES 
 
Augusto Moura 2013135 SERIES TEMPORAIS 
 
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
VARIAÇÕES 
CÍCLICAS E IRREGULARES 
 
Augusto Moura 2013 
Isolamento da tendência por médias móveis: 
 
ANO (X) TONELADAS (Y)
MÉDIAS 
MÓVEIS
MODELO
ADITIVO
Y-T
MODELO
MULTIPLICATIVO
Y / T
1 10
2 11
3 9 10,60 -1,6 0,849
4 11 11,60 -0,6 0,948
5 12 12,00 0,0 1,000
6 15 13,60 1,4 1,103
7 13 14,60 -1,6 0,890
8 17 14,80 2,2 1,149
9 16 14,60 1,4 1,096
10 13 14,00 -1,0 0,929
11 14 14,20 -0,2 0,986
12 10 14,20 -4,2 0,704
13 18 15,60 2,4 1,154
14 16 17,20 -1,2 0,930
15 20 18,00 2,0 1,111
16 22 18,60 3,4 1,183
17 14 18,80 -4,8 0,745
18 21 19,00 2,0 1,105
19 17
20 21
VARIAÇÕES
CÍCLICAS E IRREGULARES
 
 
 
Augusto Moura 2013
 
137 SERIES TEMPORAIS 
 
0
5
10
15
20
25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
TENDÊNCIA - MÉDIAS MÓVEIS 
TONELADAS (Y) MÉDIAS MÓVEIS
 
Augusto Moura 2013 
 
-6,0
-5,0
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
MODELO 
ADITIVO 
Y-T 
 
Augusto Moura 2013
 
139 SERIES TEMPORAIS 
0,000
0,200
0,400
0,600
0,800
1,000
1,200
1,400
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
MODELO 
MULTIPLICATIVO 
Y / T 
 
Augusto Moura 2013 
TRIMESTRE Y M.M. (4 períodos) B=média de duas M.M. Y / B
I 20
II 18
21,00
III 22 21,50 1,02
22,00
IV 24 22,50 1,07
23,00
I 24 23,50 1,02
24,00
II 22 24,63 0,89
25,25
III 26 25,75 1,01
26,25
IV 29 26,63 1,09
27,00
I 28 27,63 1,01
28,25
II 25 28,88 0,87
29,50
III 31 30,00 1,03
30,50
IV 34 31,00 1,10
31,50
I 32 32,00 1,00
32,50
II 29 33,00 0,88
33,50
III 35 34,00 1,03
34,50
IV 38 34,88 1,09
35,25
I 36 35,88 1,00
36,50
II 32 37,13 0,86
37,75
III 40 38,25 1,05
38,75
IV 43 39,25 1,10
39,75
I 40 40,25 0,99
40,75
II 36 41,38 0,87
42,00
III 44
IV 48
MÉTODO DA RAZÃO PARA MÉDIA MÓVEL
VARIAÇÕES SAZONAIS
 
 
Augusto Moura 2013
 
141 SERIES TEMPORAIS 
 
 
 I trimestre II trimestre III trimestre IV trimestre 
 1,02 1,07 
1,02 0,89 0,94 1,09 
1,01 0,87 1,03 1,10 
1,00 0,88 1,03 1,09 
1,02 0,86 1,05 1,10 
0,99 0,87 
Obs: Os valores em amarelo são desprezados no cálculo da média. 
TOTAL 3,03 2,62 3,08 3,28 
MÉDIA 1,01 0,87 1,03 1,09 
 
 
 
 
1,09 :e trimestrIV
1,03 :e trimestrIII
0,87 :e trimestrII
1,01 :e trimestrI
Sazonal Relativo
 
 
 
Augusto Moura 2013 
 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
III IV I III III IV I III III IV I III III IV I III III IV I II
RELATIVO SAZONAL 
 
Augusto Moura 2013
 
143 SERIES TEMPORAIS 
Analista - Informática - 
Banco Central - 001 
Uma série temporal fracamente estacionária 
xtcom média evolui obedecendo o proces-
so auto-regressivo de primeira ordem (xt-
)=0,9(xt-1-)+t com t inteiro. As compo-
nentes t são realizações do ruído branco 
com variância 2>0. 
Assinale a opção que dá o coeficiente de 
correlação entre as realizações xt+2 e xt. 
a)0,81 b)0,90 c)0,50 d)0,45 e)0,98 
Solução: 
81,09,09,0 
 
 
Augusto Moura 2013 
Provas BACEN 2006 – FCC 
 
Solução: 
xi fi yi yifi 
22,5 31 -3 -93 
37,5 24 -2 -48 
52,5 16 -1 -16 
67,5 9 0 0 
82,5 5 1 5 
97,5 7 2 14 
112,5 8 3 24 
 100 -114 
 
 
 
média(yi) -1,14 
 
média(xi) 50,4 
A média encontra-se na classe de freqüência 
16 logo 16% das empresas. 
Gabarito B 
 
 
Solução: 
Li Ls fi Fi 
1000 2000 2 2 
2000 3000 8 10 
3000 4000 16 26 
4000 5000 10 36 
5000 6000 4 40 
 
𝑴𝒅 𝑳 𝒄(
 
 
 𝑭 𝒆 
𝒇 𝒆𝒅 
) 
𝑴𝒅 𝟑 (
 
 
 
 
) 
𝑴𝒅 𝟑 𝟑 
Gabarito B 
 
Solução: 
𝑀 𝑐 (
Δ 
Δ Δ 
) 
 
Augusto Moura 2013
 
145 Provas BACEN 2006 – FCC 
𝑀 (
 
( ) ( )
) 
𝑀 (
 
 
) 
𝑀 
Gabarito E 
 
Solução: 
𝑫 𝑳 𝒄(
 
 
 𝑭 𝒆 
𝒇𝒅𝒆𝒄 𝒄 
) 
𝑫 (
 
 
 
 
) 
𝑫 
 
𝑸𝟑 𝑳 𝒄(
𝟑 
 
 𝑭 𝒆 
𝒇 𝒆 𝒄 
) 
𝑸𝟑 (
𝟑 
 
 
 
) 
𝑸𝟑 
 
𝑸𝟑 𝑫 
 
Gabarito C 
 
 
Gabarito D 
 
Solução: 
𝐶𝑉 
𝐷𝑃( )
𝑚é𝑑𝑖𝑎
 
𝜎𝑥
𝜇
 
𝑠𝑥
 ̅
 
𝑑
𝑚
 
 
 
𝑑
𝑚 
 ⇒ 
 
 
𝑚 𝑚 
 
 𝑚 𝑚 
𝑚 
 ̅ 
 + 
 + 
 
Gabarito C 
 
Augusto Moura 2013 
 
 
Solução:    
     
   
   5
5
50
05,011
05,01111
05,095,0
0
5
11
011










xP
xP
xP
xPxP
 
Gabarito E 
 
 
25,1
2
5,20




 
x
z
 
Consultando tabela 0,11=11%
 
 
Gabarito A 
 
 
Consultando tabela: 
16% são superiores ou iguais a R$10.000,00 
logo z=+1. 
60% são inferiores ou iguais a R$7.000,00 logo 
z=.+0,25 
 
 𝜇
𝜎
 ⇒ 𝜇 𝜎 ( ) 
 
 𝜇
𝜎
 ⇒ 𝜇 𝜎 
 
{
 𝜇 𝜎 
𝜇 𝜎 
 
 𝜇 
𝜇 
Gabarito D 
 
 
Augusto Moura 2013
 
147 Provas BACEN 2006 – FCC 
 
 
Solução: 
𝑃( ≤ ≤ ) 
𝑃( ≤ ≤ ) 
𝑃( ≤ ≤ | ≤ ≤ ) 
 
 
 
Gabarito B 
 
𝑃( ) ∫ (𝑎 
 
 
)𝑑 
 
 
 ⇒ *
𝑎 
 
 
 
 
+
 
 
 
 𝑎
 
 
 
 
 ⇒ 𝑎 
 𝑎 ⇒ 𝑎 
 
 
 
Gabarito A 
 
 
𝑝(𝐴 | ã 𝑢𝑐𝑟 ) 
 
 
 
 
 
 
Gabarito D 
 
Augusto Moura 2013 
 
 
Solução: 
ix
 𝑝( ) 𝑝( ) 
 
 𝑝( ) 
0,10 0,30 0,0300 0,0030 
0,08 0,50 0,0400 0,0032 
0,05 0,20 0,0100 0,0005 
 ∑ 𝑝 ∑ 
 𝑝 
 
    %808,0
3
1

i
ii xpxxE
 
𝑣𝑎𝑟( ) 𝐸( ) ,𝐸( )- 
𝑣𝑎𝑟( ) ( ) 
𝑣𝑎𝑟( ) 
Gabarito C 
 
 
Solução: 
∑ . 
𝑣𝑎𝑟( ) 
∑ 𝑣𝑎𝑟( ) 
(∑ ) 
 
 
∑ 
( ) 
 
 
 
∑ 
( ) 
 
 . . 
 
∑ . 
𝑣𝑎𝑟( ) 
∑ 𝑣𝑎𝑟( ) 
(∑ ) 
 
 
∑ 
( . ) 
 
 
 
∑ 
( . ) 
 
 . . 
 
𝑣𝑎𝑟( ) [
 
 
]
 *∑( ) 
∑( )
 
+ 
𝑣𝑎𝑟( ) 
 
 
 * 
( ) 
 
+ 
𝑣𝑎𝑟( ) . 
Gabarito E 
 
 
Augusto Moura 2013
 
149 Provas BACEN 2006 – FCC 
 
𝑎)𝑣𝑎𝑟( ) 𝐸( ) ,𝐸( )- 
c) 
d) Se as V.A x e y são independentes então Cov. 
(x,y) = 0, porém, se Cov. (x,y) = 0, não se pode afir-
mar que as V.A x e y são independentes. 
e) em qualquer 
caso. 
Gabarito B 
 
Solução: 
225 15
40
600
 40
200
3
640560
200
3
200
3
3 60
100
200
660540
100
200
100
200






nn
n
n
x
n
x
zz
zxzx




 
Gabarito A 
 
 
5,1
40
60
9
120
740800





n
s
x
T
x

 
Gabarito D 
 
Augusto Moura 2013 
 
 
 
5,1
2000
3000100120010
160100190010
2
22







 
  
b
xxn
yxxyn
b
 
1105,116
16
10
160
y 10
10
100



xbya
n
y
n
x
x 
xy 5,10,1 :regressão de Equação  
12
5,1
119
 195,10,1 

 xx
 
Gabarito E 
 
     
   22
2222
160306010100120010
160100190010
).(






  
  
b
yynxxn
yxxyn
yxr
 
%90
10
9
10
3
10
3
50002000
3000
2
2 









R
 
Variação residual: 
*∑𝒚 
(∑𝒚) 
 
+ 𝒃 *∑ 𝒚 
(∑ ∑𝒚)
 
+ 
 *𝟑 
 
 
+ * 
( )
 
+ 
 , - ,𝟑 - 
 
Gabarito C 
 
 
 
Augusto Moura 2013
 
151 Provas BACEN 2006 – FCC 
 
Solução: 
𝑃( ≤ ≤ ) 
 𝑝 𝑝
𝑝 𝑝 𝑝 𝑝
 
𝑃( ≤ ≤ ) 
 𝑝
 𝑝
 
𝑃( ≤ ≤ ) 
 𝑝 𝑝 𝑝
𝑝 𝑝 𝑝 𝑝
 
𝑃( ≤ ≤ ) 
 𝑝
 𝑝
 
𝑃( ≤ ≤ | ≤ ≤ ) 
 
 
 
Gabarito A 
 
 
𝑃( ) ∫ .
 
 
 /𝑑 
 
 
 ⇒ *
 
 
 +
 
 
 
 
 
 ⇒ 
 
 
 
 
 
 
 ⇒ 
 
 
 
 
 
 
Gabarito E 
 
 
 
𝑝(𝑇 |𝑡𝑎 𝑎 ã 𝑝 𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎) 
 
 
 
𝑝(𝑇 |𝑡𝑎 𝑎 ã 𝑝 𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎) 
 
 
 
 
Gabarito E 
 
 
Augusto Moura 2013 
 
 
Solução: 
ix
 𝑝( ) 𝑝( ) 
 
 𝑝( ) 
8000 0,25 2000 16000000 
5000 0,60 3000 15000000 
2000 0,15 300 600000 
 ∑ 𝑝 ∑ 
 𝑝 
 
 
    5300
3
1

i
ii xpxxE
 
𝑣𝑎𝑟( ) 𝐸( ) ,𝐸( )- 
𝑣𝑎𝑟( ) ( ) 
𝑣𝑎𝑟( ) . . 
Gabarito B 
 
Solução: 
∑ . 
𝑣𝑎𝑟( ) . 
∑ 𝑣𝑎𝑟( ) 
(∑ ) 
 
 
∑ 
( ) 
 
 
 
∑ 
( ) 
 
 . . 
 
∑ . 
𝑣𝑎𝑟( ) . 
∑ 𝑣𝑎𝑟( ) 
(∑ ) 
 
 
∑ 
( . ) 
 
 
 
∑ 
( . ) 
 
 . . 
 
𝑣𝑎𝑟( ) [
 
 
]
 *∑( ) 
∑( )
 
+ 
𝑣𝑎𝑟( ) 
 
 
 * . . 
( . ) 
 
+ 
𝑣𝑎𝑟( ) . 
Gabarito C 
 
 
Augusto Moura 2013
 
153 Provas BACEN 2006 – FCC 
 
 
a) 𝐸( ) 𝐸( ) 
b) 𝐸( 𝑌) 𝐸( ) 𝐸(𝑌) ⟹
 𝐶 𝑣( ) 
Se as V.A x e y são independentes então Cov. (x,y) 
= 0, porém, se Cov. (x,y) = 0, não se pode afirmar 
que as V.A x e y são independentes. 
𝑐)𝑣𝑎𝑟( ) 𝑣𝑎𝑟( ) 
d) 𝐶 𝑣( ) 𝐸( 𝑌) 𝐸( ) 𝐸(𝑌) 
𝐸( ) 𝐸(𝑌) 𝐶 𝑣( ) 𝐸( 𝑌) 
𝑒)𝐶 𝑣( ) 𝐸( 𝑌) 𝐸( ) 𝐸(𝑌) 
Gabarito D 
 
 
Solução: 
 ̅ 
 
 
 
 
 
 
96,6604,63
196,165196,165
400
20
96,165
400
20
96,165
96,1
2
3,92
z
 3,9265,00-68,92
100
20
92,68
100
200
65
100
200
100
200











z
z
zxzx
 
Gabarito A 
 
 
 
Augusto Moura 2013 
2
25
50
100
250
550600





n
x
z
x


 
Gabarito C 
 
 
 
 
25,1
400
500
6040010
6010065010
2
22







 
  
b
xxn
yxxyn
b
 
5,2625,110
10
10
100
y 6
10
60



xbya
n
y
n
x
x 
xy 25,15,2 :regressão de Equação  
5,1028025,15,225,15,2  xy
 
Gabarito B 
 
 
     
   22
2222
1001080106040010
6010065010
).(






  
  
b
yynxxn
yxxyn
yxr
 
%7878,0
64
500
32
25
24
5
24
5
240
500
800400
500
2
2 









R
 
Variação residual: 
*∑𝒚 
(∑𝒚) 
 
+ 𝒃 *∑ 𝒚 
(∑ ∑𝒚)
 
+ 
 * 
 
 
+ * 
( )
 
+ 
 , - , - 
 
 
Gabarito D 
 
 
 
Augusto Moura 2013
 
155 Provas BACEN 2006 – FCC 
BACEN – CESGRANRIO – 2009 
 
Gabarito A 
 
𝐻𝑎 : 𝑎 𝑚𝑒 𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 é 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒 𝑡𝑒. 
 
02,3
27
30178
2
6752
..
1
..
(III)Fobservado 


RN
DQ
R
EQ
 
Gabarito A 
 
 
 
 
a) 𝐸( 𝑌) 𝐸( ) 𝐸(𝑌) 𝐶 𝑣( ) 
b) 𝐸( ) 𝐸(𝑌) 𝐸( 𝑌) 𝐶 𝑣( ) 
c)𝐸( 𝑌) 𝐸( ) 𝐸(𝑌) 
𝑑)𝑣𝑎𝑟( ) 𝑣𝑎𝑟( ) 
𝑒)𝐶 𝑣( ) 𝐸( 𝑌) 𝐸( ) 𝐸(𝑌) 
Gabarito B 
 
𝑃( ) ∫ .
 
 
 /𝑑 
 
 
 ⇒ *
 
 
 +
 
 
 
 
 
 ⇒ 
 
 
 
 
 
 
 ⇒ 
 
 
 
 
 
 
Questão anulada 
 
 
Augusto Moura 2013 
 
A Distribuição de Bernoulli é a distribuição discreta de espaço 
amostral {0, 1}, com probabilidades P(0) = 1 - p e P(1) = p. 
 Média: 𝐸( ) 𝑝 
 Variância: 𝑉𝑎𝑟( ) 𝑝( 𝑝) 
Na distribuição Binomial 
 Média: X é 𝐸( ) 𝑝 
 Variância: 𝑉𝑎𝑟( ) 𝑝( 𝑝) 
 
Gabarito B 
 
 
𝑃(𝐵|𝑓𝑢𝑠𝑐𝑎) 
 
 
 
Gabarito A 
 
 (
𝑧 ℴ
𝐸
)
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
Gabarito E 
 
Augusto Moura 2013
 
157 Provas BACEN 2006 – FCC 
 
Função monotônica: não inverte a ordem de ne-
nhum par 
Função contínua: pequenas variações nos objetos 
do domínio correspondem a pequenas variações 
nos seus contra-domínios. 
Gabarito C 
 
 
Solução: 
 ̅ 
 
 
 
 
 
 
 94,22,70-5,64
3
92,68
100
200
7,2
33



n
z
z
n
zx
n
zx 
 
994,2406,2
294,07,2294,07,2
100
3
3
94,2
7,2
100
3
3
94,2
7,2
3
94,2







n
n
n
n
nz
 
Gabarito B 
 
 
Augusto Moura 2013 
 
Notas: 
Os testes de hipóteses são sempre constituídos por duas hipóteses, a hipótese nula H0 e a hipótese alternati-
va H1. 
 Hipótese nula (Ho) : é a hipótese que traduz a ausência do efeito que se quer verificar(0 QUE É AFIR-
MADO). 
 Hipótese alternativas (H1) : é a hipótese que o investigador quer verificar. 
 Nível de significância: a probabilidade de rejeitar a hipotese nula quando ela é efetivamente verdadeira 
(ERRO) 
Gabarito A 
 
𝐻𝑎 : 𝑎 𝑚𝑒 𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 é 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒 𝑡𝑒. 
 
02,3
27
30178
2
6752
..
1
..
(III)Fobservado 


RN
DQ
R
EQ
 
Gabarito A 
 
 
 
 
 
Augusto Moura 2013
 
159 Provas BACEN 2006 – FCC 
 
 
𝐼 𝑣𝑎𝑟(𝑎 𝑏 ) 𝑎 𝑣𝑎𝑟( ) 𝑏 𝑣𝑎𝑟( ) 𝑎𝑏𝑐 𝑣( ) 
 𝑎𝑏𝑐 𝑣( ) 𝑎 𝑣𝑎𝑟( ) 𝑏 𝑣𝑎𝑟( ) 𝑣𝑎𝑟(𝑎 𝑏 ) 
 𝑎𝑏𝑐 𝑣( ) 𝑣𝑎𝑟(𝑎 𝑏 ) ,𝑎 𝑣𝑎𝑟( ) 𝑏 𝑣𝑎𝑟( )- 
𝑐 𝑣( ) 
 
 𝑎𝑏
*𝑣𝑎𝑟(𝑎 𝑏 ) ,𝑎 𝑣𝑎𝑟( ) 𝑏 𝑣𝑎𝑟( )-+ 
Padrões estocásticos são aqueles que têm origem em processos não determinísticos, com origem em eventos 
aleatórios. Por exemplo, o lançar de dados resulta num processo estocástico, pois qualquer uma das 6 faces do 
dado tem iguais probabilidades de ficar para cima quando de seu arremesso. Porém, é importante salientar uma 
diferença entre aleatoriedade e estocasticidade. Normalmente, os eventos estocásticos são aleatórios. Todavia, 
podem eventualmente não o ser. É perfeitamente plausível, embora improvável, que uma série de 10 arremessos 
de dados gere a seqüência não aleatória de 6,5,4,3,2,1,2,3,4,5 ou 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1.Apesar de coerente - ou 
compressível (podendo ser expressa de um modo mais comprimido que a seqüência inteira) - a seqüência não-
aleatória é estocástica, pois surgiu através de um evento aleatório: o lançar de dados. 
 
II - Se o coeficiente de correlação é igual a -1 temos uma relação linear perfeita e conseqüentemente 
um processo determinístico sendo não estocástico. 
 
III - Se as V.A. x e y são independentes então Cov. (x,y) = 0, porém, se Cov. (x,y) = 0, não se pode afirmar que as 
V.A x e y são independentes. 
 
Gabarito C 
 
 
Augusto Moura 2013 
ESTATÍSTICA CESPE 
Dados acerca de 400 indústrias de pequeno porte foram coletados em um levantamento amostral. Essas indús-
trias foram selecionadas por amostragem aleatória simples de um rol de 5 mil indústrias. Entre os dados coleta-
dos, estavam o número de empregados (E) e o faturamento bruto anual (F), em milhares de reais. A pesquisa 
mostrou, entre outros, os seguintes resultados. 
I Na ocasião da pesquisa, foram observados, em média, 50 empregados por indústria e o faturamento bruto anu-
al médio foi de R$ 800 mil/indústria. 
II Os desvios-padrão amostrais de E e F foram iguais, respectivamente, a 20 empregados e R$ 100 mil. 
III A correlação linear entre E e F foi positiva. Com relação à situação hipotética descrita acima e com base nas 
informações apresentadas, julgue os itens a seguir. 
01 - A associação entre E e F pode ser corretamente representada por um modelo de regressão linear simples 
na forma F = a + bE, em que a = 50 e b = 15. 
02 - A estimativa do erro-padrão da média aritmética dos números de empregados observados na amostra é 
inferior a 1. 
03 - Para se estimar o número de empregados e o faturamento bruto anual com 95% de confiança, a margem 
de erro correspondente deve ser de 5%. 
04 - Caso uma nova amostra aleatória simples de tamanho 400 seja extraída desse mesmo rol de indústrias, a 
probabilidade de ela contemplar exatamente as mesmas indústrias da amostragem anterior é igual a 
 
 
. 
05 - Caso F siga uma distribuição exponencial, então o coeficiente de variação de F será igual a 1. Uma pesqui-
sa de preços de determinado produto foi realizada para o planejamento do leilão de bens penhorados pela justi-
ça. A tabela ao lado mostra a distribuição de 200 preços desse produto. Com base nessas informações e na ta-
bela, julgue os itens a que se seguem. 
 
06 - Dos preços observados, 95% são menores ou iguais a R$ 18 mil. 
07 - A média dos preços observados pela pesquisa está entre R$ 13 mil e R$ 14 mil. 
 
Augusto Moura 2013
 
161 Provas BACEN 2006 – FCC 
08 - A classe modal está entre R$ 14 mil e R$ 16 mil. 
09 - O preço mediano é igual a R$ 15 mil. 
10 - O primeiro e o terceiro quartis da distribuição dos preços são, respectivamente, iguais a R$ 14 mil e R$ 18 
mil. Uma auditoria foi realizada nas filiais I e II da empresa A&B, com o propósito de examinar a lisura dos pro-
cessos de compras efetuadas em determinado trimestre. Para a realização de um estudo-piloto e considerando 
que a população de notas fiscais existentes nessas filiais era muito grande, em cada filial foi tomada uma amos-
tra aleatória simples de 900 notas fiscais. Para cada nota fiscal examinada, registrou-se, entre outras coisas, o 
logaritmo natural do valor da compra constante na nota fiscal: X. Uma avaliação estatística mostrou que as distri-
buições de X para as filiais I e II são aproximadamente normais, com médias 𝜇 e 𝜇 e desvios padrão 𝜎 e 𝜎 , 
respectivamente, em que 𝜎 ≠ 𝜎 , . 
 
Os resultados por filial são mostrados na tabela abaixo. 
 
Com base nas informações acima e considerando-se que Φ(2) = 0,9772 e Φ(0,675) = 0,7500, em que Φ(z) re-
presenta a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão, 
Julgue os itens de 11 a 17. 
11 - Para ambas as filiais, a margem de erro para a estimativa do valor médio de X é igual a 2,28%, consideran-
do-se que o nível de confiança seja igual a 97,72%. 
12 - A margem de erro para a estimativa do valor médio de X para a filial I diminuirá se o nível de confiança dese-
jado para a estimativa intervalar aumentar de 95% para 99,9%. 
13 - O p-valor correspondente ao teste de hipóteses 𝐻 : 𝜇 𝜇 versus 𝐻 : 𝜇 ≠ 𝜇 é inferior a 4,8% e a hipótese 
nula não é rejeitada quando o nível de significância for igual ou superior a 5%. 
14 - Se uma nota fiscal da filial I for selecionada aleatoriamente, estima-se que a probabilidade de essa nota 
apresentar um valor X igual a 12,5 é inferior a 0,995. 
15 - Por regressão linear simples obtém-se um modelo na forma ̂ em que ̂ representa o valor 
médio da distribuição de X em função de z = 0 (para a filial I) ou z = 1 (para a filial II), o que permite concluir que 
a correlação linear entre X e z é igual a -0,2. 
16 - Estima-se que a mediana e o primeiro quartil da distribuição de X na filial I são, respectivamente, iguais a 8,5 
e a 7,15. 
 
Augusto Moura 2013 
17 - O erro padrão da estimativa da média de X para a filial I é inferior a 0,07. 
Uma instituição possui 15 empregados: 2 da referência A, 4 da B e 9 da referência C. O salário mensal de cada 
empregado da referência C é igual a R$ 2.000,00; o de cada empregado da referência B, R$ 3.500,00; e o salá-
rio mensal de cada empregado da referência A é igual a R$ 5.000,00. 
A partir dessas informações, julgue os itens a seguir. 
18 Ao se selecionarem, aleatoriamente e sem reposição, dois empregados dessa instituição, a probabilidade de 
a soma dos salários desses dois empregados não ultrapassar R$ 5.000,00 é superior a 0,35. 
19 O salário mediano dos 15 empregados dessa instituição é igual a R$ 2.800,00. 
20 Se 6 empregados dessa instituição são do sexo masculino, então o salário médio dos homens que nela traba-
lham está entre R$ 2.000,00 e R$ 4.000,00. 
Um modelo de regressão linear simples descreve a relação entre o preço unitário (representado por X), em reais, 
de determinado produto e a quantidade de unidades vendidas (representada por Y). A reta de regressão ajustada 
pelo método de mínimos quadrados ordinários é Y X. 
Com base nessas informações, julgue os itens subseqüentes. 
21 Considere que, no modelo apresentado, o preço unitário do produto, representado pela variável Z, seja cotado 
em dólares e que um dólar valha R$ 2,00. Nesse caso, segundo o mesmo método de mínimos quadrados, a reta 
de regressão estimada seráY Z. 
22 De acordo com o modelo, se o preço de venda corresponder a R$ 50,00 a unidade, pode-se prever a venda 
de 20 unidades desse produto. 
23 O coeficiente de determinação do referido modelo é negativo, o que indica a existência de relação inversa 
entre o preço e a quantidade de unidades vendidas. 
Suponha que 70% das pessoas que integrem um plenário sejam do sexo feminino e 30%, do sexo masculino, e 
que 20% das mulheres e 10% dos homens sejam favoráveis a determinada proposta, sendo todos os demais 
integrantes contrários a ela. A partir dessas informações, julgue os próximos itens. 
24 A probabilidade de se selecionar aleatoriamente um indivíduo no plenário e ele ser do sexo feminino ou ser 
favorável à proposta é superior a 0,80. 
25 A probabilidade de se selecionar aleatoriamente um indivíduo no plenário e ele ser um homem não favorável à 
proposta é igual a 0,27. 
Em pesquisa realizada para se estimar o salário médio dos empregados de uma empresa, selecionou-se, aleato-
riamente, uma amostra de nove empregados entre todos os empregados da empresa. Os dados de tempo de 
serviço, em anos, e salário, em quantidade de salários mínimos, dos indivíduos dessa amostra estão dispostos 
na tabela abaixo. 
 
 
Augusto Moura 2013
 
163 Provas BACEN 2006 – FCC 
A partir dos dados da tabela,julgue os itens seguintes. 
26 A estimativa não viciada da variância dos salários dos indivíduos da amostra com mais de 5 anos de serviço é 
igual a 2/3. 
27 Excluindo-se da amostra um empregado qualquer, nem o menor salário nem a moda amostral sofreriam alte-
rações com relação aos valores observados na amostra completa. 
GABARITO: 
01 - E 02 - C 03 - E 04 - E 05 - C 06 - C 07 - C 08 - E 09 - E 
10 - E 11 - E 12 - E 13 - C 14 - E 15 - E 16 - C 17 - C 18 - E 
19 - E 20 - C 21 - C 22 - C 23 - E 24 - E 25 - C 26 - E 27 - C 
 
 
Augusto Moura 2013 
PROBABILIDADE 
 
 A mediana é uma medida de tendência central, um número que caracteriza as observações de uma determina-
da variável de tal forma que este número (a mediana) de um grupo de dados ordenados separa a metade inferior 
da amostra, população ou distribuição de probabilidade, da metade superior. Mais concretamente, 1/2 da popula-
ção terá valores inferiores ou iguais à mediana e 1/2 da população terá valores superiores ou iguais à mediana. 
𝑃( ≥ ) 𝑃( ) 
𝑃( ≥ ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO C 
 
𝑃( ) .
 
 
/ ( ) ( ) 
GABARITO C 
 
𝑃𝑅𝑂𝐹𝐸𝑆𝑆𝑂𝑅: 
 𝐴 (𝑆𝑈𝑃𝐸𝑅𝐼𝑂𝑅 𝐴 𝑆𝐸𝑇𝐸) 
𝐴 (𝐼𝑁𝐹𝐸𝑅𝐼𝑂𝑅 𝐴 𝑆𝐸𝑇𝐸) 
𝐵 (𝑆𝑈𝑃𝐸𝑅𝐼𝑂𝑅 𝐴 𝑆𝐸𝑇𝐸) 
𝐵 (𝐼𝑁𝐹𝐸𝑅𝐼𝑂𝑅 𝐴 𝑆𝐸𝑇𝐸) 
𝑃( < |𝑃𝑅𝑂𝐹𝐸𝑆𝑆𝑂𝑅 𝐴) 
 
 
 
 
 
 
 
Augusto Moura 2013
 
165 Provas BACEN 2006 – FCC 
GABARITO D 
MEDIDA DE TENDÊNCIA CENTRAL E MEDIDAS DE DISPERSÃO. 
 
I-ERRADO 
O coeficiente de variação é uma medida de dispersão que se presta para a comparação de distribuições dife-
rentes. Odesvio-padrão, uma medida de dispersão, é relativo à média e como duas distribuições podem ter mé-
dias/valores médios diferentes, o desvio dessas duas distribuições não é comparável. A solução é usar o coefici-
ente de variação, que é igual ao desvio-padrão dividido pela média: 
 
II-ERRADO 
Variância de uma variável aleatória é uma medida da sua dispersão estatística, indicando quão longe em geral 
os seus valores se encontram do valor esperado.A variância de uma variável aleatória real é o quadrado do Des-
vio Padrão. A VARIÂNCIA é sempre positiva. 
III-ERRADO 
A mediana é igual ao segundo quartil. 
Gabarito E 
 
I-ERRADO 
Coeficiente de variação, que é igual ao desvio-padrão dividido pela média. 
 
Augusto Moura 2013 
II-ERRADO 
A variância tem medida da média elevado ao quadrado (aritmética, geométrica ou harmônica) 
III- CERTO 
A mediana é igual ao 2º quartil, logo é inferior ao terceiro quartil. 
Gabarito E 
 
𝐶𝑉 
 
 
 
Gabarito A 
 
 𝑝 
𝑝 
Moda = 2 (maior freqüência = 0,5 ) 
Mediana = 2 
Gabarito B 
 
 
Augusto Moura 2013
 
167 Provas BACEN 2006 – FCC 
𝑃𝑅𝐸Ç𝑂 𝑀É𝐷𝐼𝑂 𝑈𝑆 
𝑅 
𝑈𝑆 
 𝑅 
𝐷𝐸𝑆𝑉𝐼𝑂 𝑃𝐴𝐷𝑅Ã𝑂 𝑈𝑆 
𝑅 
𝑈𝑆 
 𝑅 
O COEFICIENTE DE VARIAÇÃO NÃO MUDA 
GABARITO A 
 
NÚMEROS ÍNDICES 
 
𝑝𝑒𝑟í 𝑑 𝑡 ∶ 𝑔 𝑝𝑒𝑟í 𝑑 𝑡 ∶ 
𝑝𝑒𝑟í 𝑑 𝑡 ∶ 𝑌 𝑔 𝑝𝑒𝑟í 𝑑 𝑡 ∶ 𝑌 
𝑝𝑒𝑟í 𝑑 𝑡 
𝑝𝑒𝑟í 𝑑 𝑡 
𝑖 𝑓 𝑎çã : 
 𝒃 𝑨 
 
𝑝𝑒𝑟í 𝑑 𝑡 ∶ 𝑠𝑎 á𝑟𝑖 𝑔 𝑝𝑒𝑟í 𝑑 𝑡 ∶ 𝑠𝑎 á𝑟𝑖 
𝑝𝑒𝑟í 𝑑 𝑡 ∶ 𝑝𝑟𝑒ç 𝑔 𝑝𝑒𝑟í 𝑑 𝑡 ∶ 𝑝𝑟𝑒ç 
𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑝 𝑑𝑒𝑟 𝑎𝑞𝑢𝑖𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣 
 
 
 
 
 
 
 𝒃 𝑨 
 
Augusto Moura 2013 
 
I-certo 
O índice de preço de Laspeyres trata-se de uma média ponderada de relativos, tendo os fatores de pondera-
ção calculados a partir de preços e de quantidades da época básica. Por conseguinte, o índice de preços de 
Laspeyres (LP) para um conjunto de mercadorias, em um período t, é uma média aritmética ponderada dos 
preços relativos dessas mercadorias, utilizando como fatores de ponderação, os valores monetários de 
cada mercadoria vendidas na época base. 
 
 
 𝑃 
 
 
 (𝑃 𝑄 ) 
 2
 
 (𝑃 𝑄 ) 
 
 
 (𝑃 𝑄 )
(𝑃 𝑄 ) (𝑃 𝑄 ) (𝑃 𝑄 )
 
𝑃 𝑄 𝑃 𝑄 𝑃 𝑄 
 (𝑃 𝑄 )
 
∑𝑃 𝑄 
∑𝑃 𝑄 
 
 
II-errado 
 Número-índice de Paasche: 
É um índice agregado, o qual na sua formulação original, é uma média harmônica ponderada de relativos, sendo 
os pesos calculados com base nos preços e nas quantidades dos bens na época atual, 
PP=ÍNDICE DE PREÇOS DE PAASCHE: 
𝑃𝑃 
∑𝑓 
∑
 
𝑥 
 
∑(𝑃 𝑄 )
 
 
 
 
 2 
 2
 
 
 
 
 
 
∑(𝑃 𝑄 )
 (𝑃 𝑄 )
 
∑(𝑃 𝑄 )
∑(𝑃 𝑄 )
 
III-errado 
O índice de Fischer, também conhecido corno forma ideal, é a média geométrica dos números-índices de Las-
peyres e de Paasche. Sob o aspecto da ponderação, esse índice envolve os dois sistemas anteriormente adota-
dos. A proposta de Fischer fundamenta-se no fato de que os índices os quais compõem não atendem ao critério 
de decomposição das causas, além de um deles tender a superestimar enquanto outro a subestima o verdadeiro 
valor do índice. Esse verdadeiro valor tenderá a ser um número superior ao fornecido pela fórmula de Paasche e 
inferior ao apresentado pela fórmula de Laspeyres, o que acontece com a média geométrica entre esses dois 
índices. Entretanto, o índice de Fischer, apesar de ser chamado de ideal, nisso pode ser considerado "perfeito". 
A necessidade de modificar pesos, em dada época comparada, em decorrência do cálculo do índice de Paasche, 
constitui uma restrição não desprezível ao seu emprego. Além disso, não parece ser possível determinar especi-
ficamente o que o índice de Fischer mede, bem como estabelecer o verdadeiro valor de um Índice perfeito, o 
qual serviria de elemento de referência. 
 
Augusto Moura 2013
 
169 Provas BACEN 2006 – FCC 
GABARITO A 
 
Gabarito B 
Por deflação entende-se o processo inverso à inflação - uma diminuição do índice de preços no consumidor, uma 
queda de preços. Difere da desinflação, pois esta é a desaceleração do ritmo do aumento de preços. Quando a 
inflação reduz-se de 10% ao mês para o de 5%, por exemplo, pode-se dizer que houve desinflação. 
A inflação reduz o valor real do dinheiro ao longo do tempo; inversamente, a deflação aumenta o valor real do 
dinheiro. Isto é, compra-se uma maior quantidade de bens com a mesma quantidade de moeda. A deflação está 
normalmente associada a períodos de recessão - como a Grande Depressão. 
Visão keynesiana 
A deflação pode ser gerada por uma procura agregada inferior à da oferta do produto potencial e daqui pode 
ganhar um ritmo próprio ao estabelecer-se na economia criando expectativas de deflação para os anos futuros. 
Os preços acabam caindo sempre que sobram mercadorias por falta de consumidores. Como as empresas não 
conseguem vender como antes, mesmo a preços menores, o faturamento e o lucro também acabam reduzidos. 
Para não ficar no prejuízo, elas são obrigadas a diminuir o ritmo da produção e a demitir funcionários. Com 
o desemprego alto, ninguém costuma gastar além da conta. Por isso, a oferta de serviços e os estoques cres-
cem. Resultado: excesso de bens e preços menores que os de períodos anteriores. 
O processo de deflação ainda pode ser iniciado, ou agravado, pela baixa oferta de moeda. Quer dizer, falta di-
nheiro em circulação, seja por causa dos juros altos, que tornam o crédito proibitivo, seja pela falta de investi-
mentos. Essa bola de neve costuma afetar todos os setores da economia, do agricultor aosfabricantes 
de eletrodomésticos, além de abalar a própria estrutura social. 
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES 
 
 
Augusto Moura 2013 
o Teorema Central do Limite é um teorema que afirma que quando o tamanho da amostra aumenta, a distribui-
ção amostral da sua média aproxima-se cada vez mais de uma distribuição normal e variância igual 
à variância populacional dividida por n. 
𝜇 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑝 𝑝𝑢 𝑎𝑐𝑖 𝑎 
 ̅ 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑚 𝑠𝑡𝑟𝑎 
𝜎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑝 𝑝𝑢 𝑎𝑐𝑖 𝑎 
𝑠𝑥 𝑚á𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑚 𝑠𝑡𝑟𝑎 
𝑇𝑒 𝑟𝑒𝑚𝑎 𝐶𝑒 𝑡𝑟𝑎 𝑑 𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑎𝑓𝑖𝑟𝑚𝑎 𝑞𝑢𝑒: 
 𝛍 �̅� 𝐞 𝐬𝐱
 
𝛔 
𝐧
 ( 𝐚𝐬 𝐦é𝐝𝐢𝐚𝐬 𝐬ã𝐨 𝐢𝐠𝐮𝐚𝐢𝐬 𝐞 𝐚 𝐯𝐚𝐫𝐢â𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐚𝐦𝐨𝐬𝐭𝐫𝐥 é 
 
𝐧
 𝐯𝐞𝐳𝐞𝐬 𝐚 𝐯𝐚𝐫𝐢â𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐩𝐨𝐩𝐮𝐥𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥). 
Gabarito C 
 
I-ERRADO 
O intervalo de confiança depende do tamanho da amostra. Quanto maior o tamanho da amostra menor o 
intervalo de confiança. 
 
 
Augusto Moura 2013
 
171 Provas BACEN 2006 – FCC 
II- CERTO 
O grau de confiança é a probabilidade (1-α) do intervalo de confiança conter o verdadeiro valor do parâ-
metro. Se α=1% então 1-α=1-0,01=0,99=99% de confiança conter o verdadeiro da média. 
III-CERTO 
𝑻𝒆 𝒆 𝑪𝒆 𝒅 𝑳 𝒆 𝒇 𝒆: 𝛍 �̅� 𝐞 𝐬𝐱
 
𝛔 
𝐧
 
GABARITO E 
 
A distribuição normal é uma das mais importantes distribuições da estatística, conhecida também como Distri-
buição de Gauss ou Gaussiana. Foi primeiramente introduzida pelo matemático Abraham de Moivre. 
Além de descrever uma série de fenômenos físicos e financeiros, possui grande uso na estatística inferencial. É 
inteiramente descrita por seus parâmetros de média e desvio padrão (raiz quadrada da variância), ou seja, 
conhecendo-se estes consegue-se determinar qualquer probabilidade em uma distribuição Normal. 
Um interessante uso da Distribuição Normal é que ela serve de aproximação para o cálculo de outras distribui-
ções quando o número de observações fica grande. Essa importante propriedade provém do Teorema Central do 
Limite que diz que "toda soma de variáveis aleatórias independentes de média finita e variância limitada é apro-
ximadamente Normal, desde que o número de termos da soma seja suficientemente grande" (ver o teorema para 
um enunciado mais preciso). 
Gabarito D 
 
𝐸𝑟𝑟 𝑝𝑎𝑑𝑟ã 𝐸 
𝜎
√ 
 
 
√ 
 
 
 
 
Gabarito D 
 
Augusto Moura 2013 
 
𝐼 𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑧𝑎 𝑌 ( ): 
𝑌 
𝑌 
Função densidade de probabilidade no intervalo: 
𝑓( ) 
 
𝑏 𝑎
 
 
 
 
 
 
 𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎 𝑑𝑒 ( ) 
Gabarito D 
 
Um estimador não tendencioso é aquele que produz um resultado verdadeiro para a variável aleatória em estu-
do. Exemplo: ̅ 
∑𝑥 
 
 
Tanto 𝐴 
𝑥 +𝑥2+𝑥 𝑥 
 
 quanto 𝐵 
𝑥 +𝑥2+𝑥 
 
 são estimadores não tendenciosos pois utilizam a definição de média 
aritmética de n termos. 
A variância de A pode ser maior, menor ou igual a variância de B, isto dependera dos valores de X. 
 
I II III 
X1 2 10 3 
X2 5 3 7 
X3 9 2 3 
X4 20 1 6,51 
 
Augusto Moura 2013
 
173 Provas BACEN 2006 – FCC 
 
 
var(A) var(A) var(A) 
 
46,50 12,50 3,56 
 
var(B) var(B) var(B) 
 
8,22 12,67 3,56 
 
Conclusão: item I(certo); item II(certo); item III(errado) 
Gabarito D 
 
Item I (ERRADO) 
𝑣𝑎𝑟(𝑧) 𝑎 𝑣𝑎𝑟( ) 𝑏 𝑣𝑎𝑟( ) 𝑐 𝑣( ) 
𝑣𝑎𝑟(𝑧) 𝑣𝑎𝑟( ) 𝑣𝑎𝑟( ) 𝑐 𝑣( ) 
Item Ii (CERTO) 
𝐸( ) Representa a esperança matemática da grandeza X que em verdade corresponde a própria média popula-
cional 
Propriedades do valor esperado 
Nas seguintes propriedades, são variáveis aleatórias, são constantes. 
 
 
 
 
E para duas variáveis aleatórias: 
 
 
Estas propriedades podem ser generalizadas para qualquer número de variáveis aleatórias. 
 
Augusto Moura 2013 
Item III ( ERRADO ) 
A covariância ou variância conjunta é a média do grau de interdependência ou inter-relação numérica entre duas 
variáveis X e Y. 
A covariância é por vezes chamada de medida de dependência linear entre as duas variáveis aleatórias. 
𝑐 𝑣( 𝑌) 𝐸( 𝑌) 𝐸( ) 𝐸(𝑌) 
 
 
 
NOTA: COV(X,Y)=0 TEMOS QUE X e Y NÃO ESTÃO RELACIONADAS LINEARMENTE, MAS PODEM ESTAR 
RELACIONADAS ATRAVÉS DE OUTRO MODELO MATEMÁTICO. 
A correlação é um conceito relacionado usado para medir o grau de dependência linear entre duas variáveis. 
O coeficiente de correlação ρX, Y entre duas variáveis aleatórias X e Y com valores esperados μX e μY e desvios 
padrão σX e σY é definida como: 
 
onde E é o operador valor esperado e cov significa covariância. Como μX = E(X), σX² = E(X²) − E²(X) e , do 
mesmo modo para Y, podemos escrever também 
 
A correlação é definida apenas se ambos desvios padrões são finitos e diferentes de zero. Pelo corolário 
da desigualdade de Cauchy-Schwarz, a correlação não pode exceder 1 em valor absoluto. 
GABARITO B 
 
APENAS O ITEM II É CERTO. 
Os testes de hipóteses são sempre constituídos por duas hipóteses, a hipótese nula H0 e a hipótese alternativa 
H1. 
 Hipótese nula (Ho) : é a hipótese que traduz a ausência do efeito que se quer verificar. 
 
Augusto Moura 2013
 
175 Provas BACEN 2006 – FCC 
 Hipótese alternativas (H1) : é a hipótese que o investigador quer verificar. 
 Nível de significância: a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é efetivamente verdadei-
ra (ERRO) 
GABARITO B 
 
 
O valor p, p-valor ou nível descritivo, é uma estatística muito utilizada para sintetizar o resultado de um 
teste de hipóteses. Formalmente, o valor-p é definido como a probabilidade de se obter uma estatística 
de teste igual ou mais extrema quanto àquela observada em uma amostra, assumindo verdadeira a hipó-
tese nula. 
 
Mais concretamente, no teste de hipóteses com base em freqüência estatística, a significância de um 
teste é a probabilidade máxima de rejeitar acidentalmente uma hipótese nula verdadeira (uma decisão 
conhecida como erro de tipo I). O nível de significância de um resultado é também chamado de e não 
deve ser confundido com o valor p (p-value). 
Um erro de tipo I consiste em rejeitar a hipótese nula quando a mesma é verdadeira. A probabilidade de 
cometer um erro de tipo I num teste de hipóteses é denominada significância do teste e representa-se 
pela letra grega α. Este erro é por isso também chamado de Falso Positivo. 
Um erro de tipo II consiste em não rejeitar a hipótese nula quando a mesma na realidade é falsa. É tam-
bém chamado de Falso Negativo. 
A probabilidade de cometer um erro de tipo II é designada pela letra grega β (beta). A potência do tes-
te estatístico é definida como 1 - β. Quanto maior for a potência do teste, menor será a probabilidade de 
 
Augusto Moura 2013 
ocorrer um erro do tipo II. No entanto, à medida que a probabilidade do erro de tipo II diminui, aumenta a 
probabilidade da ocorrência do erro de tipo I. 
I-ERRADO 
O p-valor não define o erro de tipo II. 
II – CERTO 
P-VALOR=0,004 IMPLICA SIGNIFICÂNCIA DE 0,996=99,6% 
III-ERRADO 
1-0,004 é a significância do teste. 
GABARITO B 
 
I – ERRADO 
𝑆𝑒 𝑍 𝑎𝑌 𝑒 𝑡ã 𝛼 𝑎𝛽 𝑒 𝛼 𝑎𝛽 
II – CERTO 
𝑆𝑒 𝑍 𝑎𝑌 𝑒 𝑡ã 𝜈 𝑎𝜇 𝑒 𝑣𝑎𝑟(𝜈 ) 𝑎
 𝑣𝑎𝑟(𝜇 ) 
III-CERTO 
O Coeficiente de determinação, também chamado de R² é uma medida de qualidade do mode-
lo econométrico em relação à sua habilidade de estimar corretamente os valores da variável resposta . 
O R² indica quanto da variância da variável respostaé explicada pela variância das variáveis explicativas. Seu 
valor está no intervalo de 0 a 1: Quanto maior, mais explicativo é o modelo. 
Por exemplo, se o R² de determinado modelo é 0,64, significa que 80% da variância de é explicada pela vari-
ância de , se o R² de determinado modelo é 0,81, significa que 90% da variância de é explicada pela vari-
ância de . 
𝑆𝑒 𝑍 𝑎𝑌 𝑒 𝑡ã 𝑅 
 𝑅 
 
 
Augusto Moura 2013
 
177 Provas BACEN 2006 – FCC 
GABARITO E 
 
 
 
 
NOTA: O fato da variável Xt apresentar resíduo ut significa que os estimadores são inconsistentes. 
GABARITO C 
 
Augusto Moura 2013 
 
 
 A B C TOTAL 
ANO 1 10 20 70 100 
ANO2 70 100 
Não ocorreu aumento de preços. 
GABARITO A 
 
ANO BASE Índice Crescimento Acumulado Base 2007 
2007 100 1 0% 
2008 110 
 
 ⟹ 10% 
2009 120 
 
 ⟹ 32% 
2010 90 
 
 ⟹ 8% 
2011 205 
 
 ⟹ 84,5% 
A taxa de crescimento acumulado é: 84,5% 
 
Augusto Moura 2013
 
179 Provas BACEN 2006 – FCC 
GABARITO B 
 
 
𝑠𝑥
 
𝜎 
 
 
 
 
 𝜎 ⟺ 𝑠𝑥 √
 
 
 𝜎 
2
 𝜎 √
 
 
2
 𝜎 (
 
 
)
 
2
 
Gabarito C 
 
X \ Y -1 1 ∑ 
 
-3 
 
2º PASSO 
0,3-0,15=0,15 
0,1 
3º PASSO 
0,15+0,1=0,25 
 
5 
 
0,15 
5º PASSO 
0,25-0,15=0,10 
4º PASSO 
0,5-0,25=0,25 
 
6 
 
1º PASSO 
0,5-0,2=0,3 
0,2 0,5 
∑ 
7º PASSO 
0,3+0,15+0,15=0,6 
8º PASSO 
02+0,1+0,1=0,4 
1,0 
 
 
Augusto Moura 2013 
𝜇 
 
 
 
GABARITO D 
 
 
𝑃* ã 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒 𝑡 𝑢 𝑐𝑢𝑟𝑠 | ã 𝑎𝑝𝑟 𝑣𝑎𝑑 + 
 ( ã 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒 𝑡 𝑢 𝑐𝑢𝑟𝑠 𝑒 ã 𝑎𝑝𝑟 𝑣𝑎𝑑 )
 ( ã 𝑎𝑝𝑟 𝑣𝑎𝑑 )
 
𝑃* ã 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒 𝑡 𝑢 𝑐𝑢𝑟𝑠 | ã 𝑎𝑝𝑟 𝑣𝑎𝑑 + 
 
 
 
 
 
 
Gabarito C 
 
𝐼 𝐸𝑅𝑅𝐴𝐷𝑂 𝑉𝐴𝑅( 𝑌) 𝑉𝐴𝑅( ) 𝑉𝐴𝑅(𝑌) 𝐶𝑂𝑉( 𝑌) 
 
Augusto Moura 2013
 
181 Provas BACEN 2006 – FCC 
𝐼𝐼 𝐶𝐸𝑅𝑇𝑂 
NOTA: COV(X,Y)=0 TEMOS QUE X e Y NÃO ESTÃO RELACIONADAS LINEARMENTE, MAS PODEM ESTAR 
RELACIONADAS ATRAVÉS DE OUTRO MODELO MATEMÁTICO. SE X e Y NÃO ESTÃO RELACIONADAS 
DE NENHUMA FORMA ENTÃO COV(X,Y)=0 
 
𝐼𝐼𝐼 𝐶𝐸𝑅𝑇𝑂 
Nas seguintes propriedades, são variáveis aleatórias, são constantes. 
 
 
 
 
E para duas variáveis aleatórias: 
 
 
Estas propriedades podem ser generalizadas para qualquer número de variáveis aleatórias. 
GABARITO E 
 
GABARITO E 
 
Um erro de tipo I consiste em rejeitar a hipótese nula quando a mesma é verdadeira. A probabilidade de 
cometer um erro de tipo I num teste de hipóteses é denominada significância do teste e representa-se 
pela letra grega α. Este erro é por isso também chamado de Falso Positivo. 
 
Augusto Moura 2013 
GABARITO D 
 
𝐼 𝐸𝑅𝑅𝐴𝐷𝑂 
𝑀É𝐷𝐼𝐴 𝐻𝐴𝑅𝑀Ô𝑁𝐼𝐶𝐴 𝑀É𝐷𝐼𝐴 𝐺𝐸𝑂𝑀É𝑇𝑅𝐼𝐶𝐴 𝑀É𝐷𝐼𝐴 𝐴𝑅𝐼𝑇𝑀É𝑇𝐼𝐶𝐴 
𝑃𝐴𝑅𝐴 𝑉𝐴 𝑂𝑅𝐸𝑆 𝐼𝐺𝑈𝐴𝐼𝑆 𝐷𝐴 𝑉𝐴𝑅𝐼Á𝑉𝐸 𝐴 𝐸𝐴𝑇Ó𝑅𝐼𝐴. 
EXEMPLO: ⟹ 𝑀É𝐷𝐼𝐴 𝐻𝐴𝑅𝑀Ô𝑁𝐼𝐶𝐴 𝑀É𝐷𝐼𝐴 𝐴𝑅𝐼𝑇𝑀É𝑇𝐼𝐶𝐴 
𝐼𝐼 𝐸𝑅𝑅𝐴𝐷𝑂 
𝐴 𝑉𝐴𝑅𝐼Â𝑁𝐶𝐼𝐴 𝑃𝑂𝐷𝐸 𝑆𝐸𝑅 𝑍𝐸𝑅𝑂 𝑃𝐴𝑅𝐴 𝑉𝐴 𝑂𝑅𝐸𝑆 𝐼𝐺𝑈𝐴𝐼𝑆 𝐷𝐴 𝑉𝐴𝑅𝐼Á𝑉𝐸 𝐴 𝐸𝐴𝑇Ó𝑅𝐼𝐴: 
 EXEMPLO: 𝑇𝐸𝑀𝑂𝑆 𝑉𝐴𝑅( ) 
𝐼𝐼𝐼 𝐸𝑅𝑅𝐴𝐷𝑂 
EXEMPLO: ⟹ 𝑀É𝐷𝐼𝐴 𝐻𝐴𝑅𝑀Ô𝑁𝐼𝐶𝐴 
𝑀É𝐷𝐼𝐴 𝐻𝐴𝑅𝑀Ô𝑁𝐼𝐶𝐴 
 
 
− 
 
 
− 
 
 
− 
 
 
 
− 
 
 
 
 
GABARITO A 
 
GABARITO B 
 
Augusto Moura 2013
 
183 Provas BACEN 2006 – FCC 
 
Augusto Moura 2013 
 
Augusto Moura 2013
 
185 Provas BACEN 2006 – FCC 
 
21
C 
22
D 
23
C 
24
A 
25
B 
26
E 
27
A 
28
C 
29
E 
30
E 
31
E 
32
C 
33
E 
34
B 
35
B 
36
A 
37
B 
38
A 
39
D 
40
D