Prática 4 Módulo de Torção

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
Física Geral e Experimental II
MÓDULO DE TORÇÃO
TOLEDO – PARANÁ
Agosto de 2015
Ghessyca Bonfim
Larrisa Reis Sita
Luana Carolina Hara
Vanessa Novaski
Relatório experimental entregue como requisito de avaliação da disciplina de Física Geral e Experimental II do curso de Engenharia Química da Universidade Estadual do Oeste do Paraná - Campus Toledo.
Profº.: Drº. Fernando R. Espinoza Quiñones
TOLEDO – PARANÁ
Agosto de 2015
RESUMO
Realizaram-se oscilações na balança de torção com o objetivo de determinar o módulo de torção e de cisalhamento do fio, calcular do módulo de cisalhamento. Para isso, utilizou-se uma balança de torção com arame preso junto a duas hastes nas pontas, onde uma destas foi presa ao suporte, enquanto que a outra apoiava uma barra com pesos. Determinaram-se quatro comprimentos do arame diferentes, com seis configurações de momento de inércia, onde em cada uma aplicou-se uma torção inicial de aproximadamente 50º. Realizaram-se 6 oscilações, obtendo-se o período, para cada configuração e para os diferentes tamanhos do arame. A partir dos valores encontrados foi possível determinar os módulos de torção para cada comprimento de fio. Relacionando o torque restaurador com a deformação angular, obteve-se o valor de (48,2 ± 4,82) GPa para o módulo de cisalhamento. Este valor não se encontra nos valores tabelados para as ligas de aço e ferro, isso ocorreu devido a erros do operador.
Palavra chave: Módulo de torção, módulo de cisalhamento, Lei de Hooke.
SUMÁRIO
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Dados das massas.	5
Tabela 2 - Dados do diâmetro do fio e comprimentos das hastes.	5
Tabela 3 – Valores dos coeficientes angulares e módulos de torção para cada comprimento do fio.	8
Tabela 4 – Dados das massas e tempo para cada configuração na haste maior e comprimento do fio de 21,6 cm.	12
Tabela 5 - Dados das massas e tempo para cada configuração na haste menor e comprimento do fio de 21,6 cm.	12
Tabela 6 - Dados das massas e tempo para cada configuração na haste maior e comprimento do fio de 18,6 cm.	12
Tabela 7 - Dados das massas e tempo para cada configuração na haste menor e comprimento do fio de 18,6 cm.	12
Tabela 8 - Dados das massas e tempo para cada configuração na haste maior e comprimento do fio de 16,6 cm.	13
Tabela 9 - Dados das massas e tempo para cada configuração na haste menor e comprimento do fio de 16,6 cm.	13
Tabela 10 - Dados das massas e tempo para cada configuração na haste maior e comprimento do fio de 13,6 cm.	13
Tabela 11 - Dados das massas e tempo para cada configuração na haste menor e comprimento do fio de 13,6 cm.	13
Tabela 12 - Dados do tempo médio, do período, do quadrado do período e do momento de inércia para cada configuração na haste maior e comprimento de fio de 21,6 cm.	14
Tabela 13 - Dados do tempo médio, do período, do quadrado do período e do momento de inércia para cada configuração na haste menor e comprimento de fio de 21,6 cm.	14
Tabela 14 - Dados do tempo médio, do período, do quadrado do período e do momento de inércia para cada configuração na haste maior e comprimento de fio de 18,6 cm.	14
Tabela 15 - Dados do tempo médio, do período, do quadrado do período e do momento de inércia para cada configuração na haste menor e comprimento de fio de 18,6 cm.	15
Tabela 16 - Dados do tempo médio, do período, do quadrado do período e do momento de inércia para cada configuração na haste maior e comprimento de fio de 16,6 cm.	15
Tabela 17 - Dados do tempo médio, do período, do quadrado do período e do momento de inércia para cada configuração na haste menor e comprimento de fio de 16,6 cm.	15
Tabela 18 - Dados do tempo médio, do período, do quadrado do período e do momento de inércia para cada configuração na haste maior e comprimento de fio de 13,6 cm.	16
Tabela 19 - Dados do tempo médio, do período, do quadrado do período e do momento de inércia para cada configuração na haste menor e comprimento de fio de 13,6 cm.	16
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Corpo sólido dividido em camadas cilíndricas de raio interno r, espessura dr e comprimento L. (QUIÑONES, E. R. F., Apostila da Aula Prática IV, 2014).	3
Figura 2 - Deformação de um retângulo de largura e altura L, sob ação de uma força tangencial, formando um paralelogramo. (QUIÑONES, E. R. F., Apostila da Aula Prática IV, 2015).	3
Figura 3 - Representação do sistema de balança de torção, fio metálico, haste e cestas. Fonte: ESPINOZA-QUIÑONES, F. R., Apostila Prática de Física II, 2015 ....................................................................................8
Figura 4 - Gráfico do momento de inercia por período ao quadrado para L= 0,216 m.	10
Figura 5 – Gráfico do momento de inercia por período ao quadrado para L= 0,186 m.	11
Figura 6 – Gráfico do momento de inércia por período ao quadrado para L = 0,166 m.	11
Figura 7 – gráfico do momento de inércia por período ao quadrado para L = 0,136 m.	12
Figura 8 – Gráfico do módulo de torção pelo inverso do comprimento ..............................................................................................................13
INTRODUÇÃO
O pêndulo de torção é um sistema físico que realiza oscilações harmônicas se deslocado ligeiramente de sua posição de equilíbrio. No que diz respeito às oscilações, em vez do corpo ser deslocado da sua posição de equilíbrio, ele é girado em torno de seu eixo vertical. Isto causa uma deformação do fio que o sustenta, que tende a retornar ao seu estado original sob a influência do torque restaurador exercido pelo fio, (UFBA). 
A freqüência de oscilações de um pêndulo de torção depende do fio e do corpo suspenso. Neste último caso, a dependência se expressa pelo momento de inércia do corpo em torno de um eixo que se situa no prolongamento do fio. No que diz respeito ao primeiro fator, a dependência ocorre tanto nos aspectos geométricos do fio (diâmetro e comprimento), como também, do material de que ele é feito, (UFBA).
Em relação ao momento de inércia, o seu conceito está ligado ao movimento de rotação de um corpo em torno de um eixo. Esta grandeza mede a resistência a sair do estado de repouso de um sistema quando nele aplica-se um torque que o faz rotacionar.
Esta prática tem por objetivos verificar no sistema físico a realização de oscilações harmônicas, a validade da lei de Hooke na torção do fio, a relação entre o período de oscilação e o módulo de torção, a dependência do módulo de torção do fio com seu comprimento, diâmetro e material e utilizar a balança de torção para medir momentos de inércia.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
O pêndulo de torção é um sistema físico no qual um corpo é suspenso por um fio de modo que uma leve torção no fio gere oscilações harmônicas deslocando o corpo do seu ponto de equilíbrio. 
Considerando o fio como um corpo cilíndrico e uma de suas exprimidas está fixa e a outra está submetida a uma força tangencial à superfície lateral. Se for considerado um corpo não rígido, as camadas superficiais dele deslizariam entre si como se fossem um fluido devido às forças tangencias. Mas se considerar um corpo sólido, as forças geram tensões de cisalhamento com tendência de separar as camadas do material, sendo assim, causando deformação no corpo. Essas deformações podem ser temporárias ou permanentes, de acordo com a intensidade da força. Se o cilindro voltar sua condição inicial após cessar a força externa, considera-se que ele se comporta como um sistema elástico. Neste caso, o sólido volta a forma original através s de um torque (força) restaurador que se opõe ao torque (força) que o deformou (QUIÑONES, 2015). 
A Figura 1 mostra um cilindro com os extremos fixos embarras metálicas as laterais sendo submetidas a forças tangenciais que irão resultar em uma torção. 
			
Figura 1 - Corpo sólido dividido em camadas cilíndricas de raio interno r, espessura dr e comprimento L. (QUIÑONES, E. R. F., Apostila da Aula Prática IV, 2014).
Para determinar a deformação angular devido à força externa aplicada, precisar-se dividir o corpo sólido em camadas cilíndricas de raio interno r, espessura dr e comprimento L (Figura 1). Cada camada cilíndrica se fosse estendida formaria um retângulo de largura 2π.r e altura L. Ao se aplicar uma força tangencial, esse se deformando em um paralelogramo, e a deformação de cisalhamento (ε) é ao longo do perímetro do cilindro e cresce com o comprimento (z), como está representado na Figura 2.
Figura 2 - Deformação de um retângulo de largura e altura L, sob ação de uma força tangencial, formando um paralelogramo. (QUIÑONES, E. R. F., Apostila da Aula Prática IV, 2015).
A equação (1) demonstra o aumento da deformação por unidade de comprimento.
 (1)
	
A força de torção externa comunica-se por diferenciais de forças tangenciais, conforme a equação (2), a cada camada cilíndrica, que se distribuem sobre a superfície de cada anel de área, equação 3, que gera tensões de cisalhamento , demonstrado pela equação 3
	
	(2)
	
	(3)
	
	(4)
Caso a torção seja elástica, há uma relação linear entre a deformação angular e a força elástica restauradora, regida pela Lei de Hooke. Para pequenas deformações, ou seja, dentro do limite elástico do fio sob torção, as tensões de cisalhamento obedecem a Lei de Hooke, exibindo valores proporcionais à deformação de cisalhamento, como mostra a equação (5).
 (5)
Onde é o módulo de cisalhamento, representa o raio do cilindro, o comprimento do mesmo e θ é o ângulo de desvio do sistema barra-cilindro em relação à sua posição original.
O torque restaurador, para pequenos deslocamentos angulares, é calculado pela equação (6) 
 (6)
Onde, , e representa a direção do torque.
Ao se iniciar o movimento de rotação, o torque pode ser representado utilizando o momento de inércia em relação ao eixo de rotação. O movimento de rotação do fio cilíndrico em torno de seu eixo de simetria depende da inércia do sistema, ou seja, do momento de inércia do cilindro e o da barra acoplada ao mesmo. Se o torque leva o sistema para a posição de equilíbrio, a resposta dinâmica vai depender da inércia do sistema. Logo, quanto maior for a inércia, o sistema vai girar sob menor aceleração angular, ou seja, mais lentamente.		Isso é representado pela segunda lei de Newton para rotações, que é representado pela equação (7).
 (7)
Onde representa o momento de inércia do sistema sob rotação, em relação ao eixo de rotação do corpo. 							Os mesmo resultado são obtidos pelas equações (6) e (7), no entanto a equação (6) representa a resposta elástica interna do corpo à torção e a equação (7) indica a aceleração transmitida ao mesmo corpo sob rotação. Utilizando-se ambas as equações, (6) e (7), e realizando as deduções apresentadas no anexo A, tem-se a equação (8), que representa o movimento oscilatório do corpo elástico de torção.
 (8)
A equação (8) representa um sistema dinâmico chamado de oscilador harmônico simples (unidimensional). A variável θ que caracteriza o único grau de liberdade descreve os pequenos desvios da posição de equilíbrio estável do fio. A restrição a pequenos desvios limita o movimento oscilatório para regiões onde o sistema se comporta elasticamente. Se passar do limite elástico do fio, o sistema não retorna à posição de equilíbrio, tendo deformações permanentes (QUIÑONES, 2014).
O período de um sistema é o tempo necessário para o corpo voltar à posição inicial ou para repetir o movimento oscilatório. Esse é função do inverso da frequência angular do sistema, equação (9) 
				 (9)
	Realizando as devidas deduções, apresentadas no anexo A, contendo a solução geral da equação diferencial (8) e (9), tem-se que o período pode ser calculado também pela equação (10)
		 (10)
	O fato de que o período T é independente da amplitude de oscilação (desde que não ultrapasse o limite de elasticidade do fio) constitui o isocronismo das pequenas oscilações do pêndulo, descoberto por Galileu (QUIÑONES, 2014).
	
METODOLOGIA
MATERIAIS
	Na realização da prática utilizaram-se uma balança de torção composta por uma haste cilíndrica vertical acoplada, na parte inferior, a uma mesa quadrada com quatro sapatas niveladores e amortecedores, e na parte superior, a um suporte horizontal; duas pequenas hastes auxiliares com furo transveral central passante e parafusos nos seus extremos, para prender o arame; duas travas auxiliares de latão para corpos de provas; duas hastes com corpo central e com rebaixos nos extremos, de comprimentos de 10 e 20 cm. Como também, um jogo de pesos com massas de aproximadamente 50 gramas e cestas de aproximadamente 15 gramas; um fio de aço de aproximadamente 0,57 mm para torção; um cronômetro; uma régua; um transferidor e uma balança digital.
MÉTODOS
	Inicialmente, mediram-se as massas dos jogos de discos e cestas. Nivelou-se a balança de torção. Alinhou-se o fio metálico e posteriormente, prendeu-se o mesmo utilizando parafusos da trava e verificou-se o modo como os extremos dos fios estavam presos em suas travas auxiliares. Mediram-se o comprimento do fio entre as travas e anotaram-se os seus valores.	Executou-se a montagem do pêndulo de torção, no qual, colocou-se um dos extremos do fio travado no encaixe do suporte superior da balança, passando-o pela ranhura do mesmo. Na parte inferior, passou-se o fio pela ranhura do suporte da haste de latão e encaixou-se a trava no corpo do suporte. Inseriu-se a haste de latão pelo orifício até o encaixe de seu corpo central. Verificou-se a centralização da haste com a base do transferidor. Colocaram-se, nos rebaixos da haste, duas cestas com discos de latão em equilíbrio, como apresenta a figura 3.
Figura 3- Representação do sistema de balança de torção, fio metálico, haste e cestas. Fonte: ESPINOZA-QUIÑONES, F. R., Apostila Prática de Física II, 2015.
No decorrer da prática, diminuiram-se gradativamente os contrapesos nas cestas, bem como, ampliaram-se o comprimento da haste.			Equilibrou-se o sistema dependurado e girou-o, com a mão, no plano horizontal provocando uma pequena torção no fio de . Deixou-se o pêndulo realizar 5 oscilações e mediram-se os tempos. Repetiu-se este procedimento de oscilação 3 vezes em cada sistema montado modificando os contrapesos, como também, refez-se todo o procedimento para outro comprimento do fio metálico, haste e contrapesos. E anotaram-se os dados obtidos.
RESULTADOS E DISCUSSÕES
A partir do módulo experimental obtiveram-se os dados das massas do jogo de discos, das cestas, bem como, a massa do fio, o seu diâmetro e raio, e as massas das hastes maiores e menores e seus respectivos comprimentos. A Tabela 1 e 2, apresentam estes dados.
Tabela 1 – Dados das massas.
	 
(kg)
	 
(kg)
	 
(kg)
	 
(kg)
	
(kg)
	0,0501±0,05
	0,0173±0,05
	0,0005±0,05
	0,01104±0,05
	0,00738±0,05
Tabela 2 - Dados do diâmetro do fio e comprimentos das hastes.
	 (m)
	 (m) 
	 (m)
	 (m)
	0,00057±0,000005
	0,000285±0,000005
	0,22 ±0,005
	0,12±0,005
Os dados obtidos dos intervalos de tempo para 5 oscilações para as hastes maiores e menores, respectivamente em cada comprimento do fio e as massas de cada configuração para 3, 2 e 1 peso, respectivamente são apresentados nas Tabelas 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 11 do Apêndice I. A massa m é dada pela soma das massas dos discos ecestas em cada configuração.			A partir das Tabelas do Apêndice I, calcularam-se o tempo médio, o período médio de oscilação, o quadrado do período e o momento de inércia, bem como seus respectivos erros, para cada configuração e comprimento do fio. As Tabelas 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 e 19 do Apêndice II apresentam estes dados.												Observou-se a partir das Tabelas do Apêndice II que tanto o período quanto o quadrado do período são diretamente proporcionais ao momento de inércia. Esse comportamento é coerente com a 2ª Lei de Newton para rotações, a qual mantem o torque restaurador constante.					A partir dos dados das Tabelas do Apêndice II fez-se o ajuste linear do quadrado do período de torção em função do momento de inércia associando os dados das hastes maiores e menores em cada comprimento do fio, como apresentam as Figuras 4, 5, 6 e 7. 
Figura 4 - Gráfico do momento de inércia por período ao quadrado para L= 0,216 m. 
Figura 5 – Gráfico do momento de inércia por período ao quadrado para L= 0,186 m.
Figura 6 – Gráfico do momento de inércia por período ao quadrado para L = 0,166 m.
Figura 7 – gráfico do momento de inércia por período ao quadrado para L = 0,136 m.
A partir dos ajustes lineares para cada comprimento do fio obtiveram-se as equações das retas, bem como seus parâmetros. Utilizaram-se os valores dos coeficientes angulares para determinar os módulos de torção (K), conforme a Equação (8) do Apêndice III. Tais valores estão dispostos na Tabela 3. 
Tabela 3 – Valores dos coeficientes angulares e módulos de torção para cada comprimento do fio.
	(m)
	Coeficiente angular
	K ()
	0,216
	4314,1953 ± 55,2783
	0,0092 ± 0,00012
	0,186
	3990,1995 ± 51,2083
	0,0099 ± 0,00013
	0,166
	3281,6378 ± 34,7059
	0,0120 ± 0,00013
	0,136
	2731,769 ± 20,3035
	0,0145 ± 0,00011
	Observou-se a partir da Tabela 3 uma relação inversamente proporcional entre o módulo de torção e o comprimento do fio. Isso ocorre, pois em comprimentos de fio menores a tensão não se distribui tanto quanto em comprimentos maiores. Além disso, observou-se também o mesmo comportamento para o período e o módulo de torção, o que se mostra coerente com a Equação (6) e (7) do Apêndice III.							A partir dos dados dos módulos de torção e dos comprimentos dos fios, fez-se o ajuste linear do módulo de torção em função do inverso do comprimento do fio. A Figura X apresenta esse gráfico.
Figura 8 – Gráfico do módulo de torção pelo inverso do comprimento
	A partir do coeficiente angular da Figura 8 determinou-se o módulo de cisalhamento do fio (S) e seu respectivo erro utilizando as Equações (11) e (12) do Apêndice III. Encontrou-se o valor de: GPa. 		Sabendo que o fio era feito de aço carbono com módulo de cisalhamento: S = 77 GPa, como apresenta o dado da Tabela 1 do Apêndice III, observou-se que o valor determinado para o módulo de cisalhamento experimental não foi coerente com o esperado pela literatura. Além disso, calculou-se um erro percentual de 38% entre esses valores. Essa divergência é explicada, devido ao erro na aplicação da metodologia e tomada de dados. 
CONCLUSÃO
A partir da análise dos resultados obtidos verificou-se a validade da lei de Hooke na torção do fio, devido a relação diretamente proporcional entre o período ou quadrado do período e o momento de inércia, garantindo um torque restaurador constante; a relação entre o comprimento do fio e o módulo de torção, bem como, o período de oscilação e o módulo de torção, sendo essa inversamente proporcional e coerente com o esperado. Porém, a determinação do módulo de cisalhamento experimental do fio não foi coerente com o esperado pela literatura para um fio de aço carbono. Isso ocorreu devido à má observação e aplicação da metodologia.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ESPINOZA-QUIÑONES, F. R.; “Apostila de Aula prática: Módulo de Torção.”; Centro de Engenharias e Ciências Exatas, UNIOESTE; Toledo - Paraná, 2015.
HALLIDAY, D., RESNIK R., KRANE, D.S.; “Física 1”; vol. 1; 4ª edição; LTC; Rio de Janeiro – RJ; 1996.
Instituto de Física da Universidade Federal da Bahia – UFBA; “Pêndulo de Torção”. Disponível em: <http://www.fis.ufba.br/dfg/fis2/Pendulo_torcao.pdf>. Acesso em 18 de Agosto de 2015.
Tabela para o módulo de cisalhamento para diferentes materiais. Disponível em:
<http://www.engineeringtoolbox.com/modulus-rigidity-d_946.html>. Acesso em 21 de Agosto de 2015.
ANEXO A
A segunda lei de Newton para as rotações é dada pela Equação (A.1).
 (A.1)
 (A.2)
Igualando as equações (6) e (A.2), tem-se:
 (A.3)
 (A.4)
A equação (A.4) é uma equação diferencial ordinária para e de segunda ordem, cuja solução geral é dada pela Equação (A.5).
 (A.5)
Onde representa a amplitude de oscilação ou máximo deslocamento angular. A função é uma função periódica, onde o parâmetro representa a frequência angular. O tempo que o sistema demora em voltar a sua condição inicial ou repetir o movimento oscilatório é chamado de período.
 (A.6)
(A.7)
	O período de um sistema é o tempo necessário para o corpo voltar à posição inicial ou para repetir o movimento oscilatório. Esse é função do inverso da frequência angular do sistema , equação (A.8).
				 (A.8)
	Logo a solução harmônica do sistema de torção pode ser escrita como:
	Derivando duas vezes esta função harmônica, obtêm-se:
	Substituindo a Equação acima na equação (A.9), obtêm-se a equação (A.10): 
 (A.10) 
APÊNDICE I
Tabela 4 – Dados das massas e tempo para cada configuração na haste maior e comprimento do fio de 21,6 cm.
	Configuração
	m (kg)
	t1 (s)
	t2 (s)
	t3 (s)
	t4 (s)
	t5 (s)
	t6 (s)
	1
	0,185
	30,48
	30,55
	30,14
	30,29
	29,95
	30,42
	2
	0,135
	25,09
	25,73
	25,33
	25,72
	26,04
	25,62
	3
	0,085
	19,6
	19,55
	19,53
	19,48
	20,1
	19,33
Tabela 5 - Dados das massas e tempo para cada configuração na haste menor e comprimento do fio de 21,6 cm.
	Configuração
	m (kg)
	t1 (s)
	t2 (s)
	t3 (s)
	t4 (s)
	t5 (s)
	t6 (s)
	1
	0,185
	15,73
	15,41
	15,72
	15,69
	15,53
	15,59
	2
	0,135
	13,15
	13,25
	13,13
	13,33
	13,3
	13,29
	3
	0,085
	10,46
	10,43
	10,36
	10,34
	10,51
	10,45
Tabela 6 - Dados das massas e tempo para cada configuração na haste maior e comprimento do fio de 18,6 cm.
	Configuração
	m (kg)
	t1 (s)
	t2 (s)
	t3 (s)
	t4 (s)
	t5 (s)
	t6 (s)
	1
	0,185
	28,69
	28,29
	28,64
	28,39
	28,66
	28,26
	2
	0,135
	23,67
	24,1
	23,83
	23,96
	24,05
	23,59
	3
	0,085
	18,25
	18,32
	18,41
	18,19
	18,96
	18,34
Tabela 7 - Dados das massas e tempo para cada configuração na haste menor e comprimento do fio de 18,6 cm.
	Configuração
	m (kg)
	t1 (s)
	t2 (s)
	t3 (s)
	t4 (s)
	t5 (s)
	t6 (s)
	1
	0,185
	14,53
	15,1
	14,67
	14,6
	14,96
	14,75
	2
	0,135
	12,30
	12,34
	12,38
	12,60
	12,60
	12,61
	3
	0,085
	9,84
	9,49
	9,78
	9,74
	9,64
	9,83
Tabela 8 - Dados das massas e tempo para cada configuração na haste maior e comprimento do fio de 16,6 cm.
	Configuração
	m (kg)
	t1 (s)
	t2 (s)
	t3 (s)
	t4 (s)
	t5 (s)
	t6 (s)
	1
	0,185
	25,92
	26,12
	25,78
	25,68
	25,58
	26,11
	2
	0,135
	21,67
	21,75
	21,58
	21,92
	21,76
	21,66
	3
	0,085
	16,57
	16,58
	16,52
	16,45
	16,39
	16,29
 Tabela 9 - Dados das massas e tempo para cada configuração na haste menor e comprimento do fiode 16,6 cm.
	Configuração
	m (kg)
	t1 (s)
	t2 (s)
	t3 (s)
	t4 (s)
	t5 (s)
	t6 (s)
	1
	0,185
	12,91
	13,02
	13,18
	12,99
	13,1
	13,26
	2
	0,135
	11,25
	11,33
	11,15
	11,18
	11,01
	11,32
	3
	0,085
	8,75
	8,68
	8,77
	8,91
	8,86
	8,9
Tabela 10 - Dados das massas e tempo para cada configuração na haste maior e comprimento do fio de 13,6 cm.
	Configuração
	m (kg)
	t1 (s)
	t2 (s)
	t3 (s)
	t4 (s)
	t5 (s)
	t6 (s)
	1
	0,185
	23,53
	23,89
	23,62
	23,72
	23,57
	23,58
	2
	0,135
	19,81
	19,67
	19,66
	19,74
	19,83
	19,84
	3
	0,085
	15,33
	15,22
	15,16
	15,18
	15,32
	15,22
Tabela 11 - Dados das massas e tempo para cada configuração na haste menor e comprimento do fio de 13,6 cm.
	Configuração
	m (kg)
	t1 (s)
	t2 (s)
	t3 (s)
	t4 (s)
	t5 (s)
	t6 (s)
	1
	0,185
	12,33
	12,38
	12,49
	12,09
	12,1
	12,17
	2
	0,135
	10,32
	10,38
	10,38
	10,29
	10,46
	10,49
	3
	0,085
	8,2
	8,19
	8,27
	8,33
	8,2
	8,22
APÊNDICE II
 Tabela 12 - Dados do tempo médio, do período, do quadrado do período e do momento de inércia para cada configuração na haste maior e comprimento de fio de 21,6 cm.
	Configuração
	 (s)
	T (s)
	T² (s²)
	 (kgm²)
	1
	30,305 ± 0,045
	6,061 ± 0,045
	36,736 ± 0,550
	0,0082 ± 0,0002
	2
	25,588 ± 0,067
	 5,118 ± 0,067
	26,191 ± 0,684
	0,0057 ± 0,0002
	3
	19,598 ± 0,053
	3,920 ± 0,053 
	15,364 ± 0,412
	0,0033 ± 0,0002 
Tabela 13 - Dados do tempo médio, do período, do quadrado do período e do momento de inércia para cada configuração na haste menor e comprimento de fio de 21,6 cm.
	Configuração
	 (s)
	T (s)
	T² (s²)
	 (kgm²)
	1
	15,612 ± 0,025
	3,122 ± 0,025
	9,748 ± 0,158
	0,00242 ± 0,00006
	2
	13,242 ± 0,017
	2,648 ± 0,017
	7,0136 ± 0,088
	0,00017 ± 0,00006
	3
	10,425 ± 0,013
	2,085 ± 0,013
	4,347 ± 0,053
	0,00098 ± 0,00006
Tabela 14 - Dados do tempo médio, do período, do quadrado do período e do momento de inércia para cada configuração na haste maior e comprimento de fio de 18,6 cm.
	Configuração
	 (s)
	T (s)
	T² (s²)
	 (kgm²)
	1
	28,488 ± 0,039
	5,698 ± 0,039
	32,463 ± 0,449
	0,0082 ± 0,0002
	2
	23,867 ± 0,041
	4,773 ± 0,041
	22,784 ± 0,394
	0,0057 ± 0,0002
	3
	18,412 ± 0,056
	3,682 ± 0,056
	13,559 ± 0,411
	0,0033 ± 0,0002 
Tabela 15 - Dados do tempo médio, do período, do quadrado do período e do momento de inércia para cada configuração na haste menor e comprimento de fio de 18,6 cm.
	Configuração
	 (s)
	T (s)
	T² (s²)
	 (kgm²)
	1
	14,768 ± 0,044
	2,954 ± 0,044
	8,724 ± 0,260
	0,00242 ± 0,00006
	2
	12,472 ± 0,029
	2,494 ± 0,029
	6,222 ± 0,146
	0,00017 ± 0,00006
	3
	9,72 ± 0,027
	1,944 ± 0,027
	3,779 ± 0,001
	0,00098 ± 0,00006
Tabela 16 - Dados do tempo médio, do período, do quadrado do período e do momento de inércia para cada configuração na haste maior e comprimento de fio de 16,6 cm.
	Configuração
	 (s)
	T (s)
	T² (s²)
	 (kgm²)
	1
	25,865 ± 0,045
	5,173 ± 0,045
	26,760 ± 0,463
	0,0082 ± 0,0002
	2
	21,723 ± 0,023
	4,345 ± 0,023
	18,876 ± 0,203
	0,0057 ± 0,0002
	3
	16,467 ± 0,023
	3,293 ± 0,023
	10,846 ± 0,149
	0,0033 ± 0,0002 
Tabela 17 - Dados do tempo médio, do período, do quadrado do período e do momento de inércia para cada configuração na haste menor e comprimento de fio de 16,6 cm.
	Configuração
	 (s)
	T (s)
	T² (s²)
	 (kgm²)
	1
	13,077 ± 0,026
	2,615 ± 0,026
	6,840 ± 0,135
	0,00242 ± 0,00006
	2
	11,207 ± 0,024
	2,241 ± 0,024
	5,024 ± 0,108
	0,00017 ± 0,00006
	3
	8,812 ± 0,018
	1,762 ± 0,018
	3,106 ± 0,065
	0,00098 ± 0,00006
Tabela 18 - Dados do tempo médio, do período, do quadrado do período e do momento de inércia para cada configuração na haste maior e comprimento de fio de 13,6 cm.
	Configuração
	 (s)
	T (s)
	T² (s²)
	 (kgm²)
	1
	23,652 ± 0,027
	4,73 ± 0,027
	22,376 ± 0,253
	0,0082 ± 0,0002
	2
	19,758 ± 0,016
	3,952 ± 0,016
	15,616 ± 0,127
	0,0057 ± 0,0002
	3
	15,238 ± 0,014
	3,048 ± 0,014
	9,288 ± 0,087
	0,0033 ± 0,0002 
Tabela 19 - Dados do tempo médio, do período, do quadrado do período e do momento de inércia para cada configuração na haste menor e comprimento de fio de 13,6 cm.
	Configuração
	 (s)
	T (s)
	T² (s²)
	 (kgm²)
	1
	12,260 ± 0,033
	2,452 ± 0,033
	6,012 c 0,161
	0,00242 ± 0,00006
	2
	10,387 ± 0,015
	2,077 ± 0,015
	4,315 ± 0,064 
	0,00017 ± 0,00006
	3
	8,235 ± 0,011
	1,647 ± 0,011
	2,713 ± 0,036
	0,00098 ± 0,00006
APÊNDICE III
Equações utilizadas nos resultados e discussões.
Momento de Inércia:
 	(1)
Erro do Momento de Inércia:
 			 (2)
 	 (3)
 (4)
 (5)
Módulo de Torção:
 				 (6)
 				 (7)
 					 (8)
Erro do Módulo de Torção:
 				 (9)
Módulo de Cisalhamento:
 					 (10)
 				 (11)
Erro do Módulo de Cisalhamento: 
 					 (12)
	Erro percentual:
 (13)
Tabela 1 – Módulo de cisalhamento para diferentes materiais.
	Liga metálica
	Módulo de cisalhamento (GPa)
	Zinco 
	43
	Bronze
	44
	Cobre
	45
	Níquel - Prata
	48
	Berílio – Cobre 
	48
	Ferro Maleável 
	64
	Ferro Dúctil
	65
	Aço carbono
	77
Fonte: http://www.engineeringtoolbox.com/modulus-rigidity-d_946.html