Apostila De Limites E Continuidade

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� Cursos da área de Tecnologia – Cálculo Diferencial e Integral 1	 
Professores: José Ricardo G. Manzan e Ana Paula A. Lima
LIMITE E CONTINUIDADE
Nesta apostila estaremos apresentando um conjunto de procedimentos práticos que podem ser adotados para se determinar o limite de uma função. As regras para os cálculos são simples, e a maioria dos limites dos quais precisamos pode ser obtida por substituição, análise gráfica, aproximação numérica,, álgebra ou alguma combinação dessas.
Os valores de algumas funções variam continuamente – quanto menor a variação na variável independente, menor a variação da função. Os valores de outras funções podem saltar ou variar de maneira imprevisível, independentemente do modo como se controlam as variáveis. A noção de limite fornece um caminho preciso para distinguir esses comportamentos. Em alguns pontos do texto será feira uma referência à continuidade da função. Apesar do estudo das condições de continuidade de uma função ainda não ter sido realizado, vamos entender uma função contínua como sendo aquela que apresenta, num sistema de coordenadas cartesianas, um gráfico dado por uma linha contínua, em todos os pontos do seu domínio.
Vamos apresentar alguns exemplos para ilustrar funções contínuas e descontínuas.
A fig. 1 a seguir expressa o gráfico da função 
 é contínua em todos os pontos de seu domínio , .
Figura 1
Seja 
, cujo gráfico está representado a seguir na figura 2.
	Pode-se notar que esta função apresenta dois pontos de descontinuidade. No ponto 
 onde o valor da função é 
, diferentemente dos valores que a função apresenta imediatamente à esquerda ou à direita de 
 (valores próximos de zero).
Outro ponto de descontinuidade é 
, onde a função está definida (
), mas apresenta um “salto” em seu gráfico. Para valores de x imediatamente após o ponto 
 a função tem valores próximos de cinco; para valores de x imediatamente antes de 
, a função está próxima de 7. Dessa forma pode-se notar que a função não converge para um valor único quando os valores de x se aproximam de 4.
Figura 2
A figura 3 a seguir expressa o gráfico da função 
 que é contínua em todos os pontos de seu domínio (
), no entanto esta função apresenta um ponto de descontinuidade em 
, devido não estar definida neste ponto.
Figura 3
Funções contínuas são aquelas cujos gráficos não são interrompidos. De um modo geral, os pontos de descontinuidade de uma função são aqueles nos quais as funções não estão definidas, onde o gráfico apresenta um salto, ou ainda, naqueles pontos onde há um ponto aberto na linha do gráfico.
Após esta breve discussão de continuidade, apresentaremos uma noção intuitiva do limite de uma função, com a idéia de aproximação (convergência) da variável e da função para um determinado valor.
Noção intuitiva do limite de uma função
Para que exista o limite em um ponto 
 de uma função 
, ou seja, existe 
 (leia-se: o limite da função 
 no ponto 
 vale 
), deve-se observar se os valores da função 
 convergem para valor 
 quando os valores de 
 convergem para 
. Se houver esta convergência o limite da função estará definido no ponto 
.
Vamos ressaltar alguns pontos importantes sobre existência do limite de uma função:
Se o limite em um ponto existe, ele é único, ou seja, a função 
 converge para um mesmo valor 
 quando os valores de 
 convergirem para 
, pela esquerda ou pela direita do ponto 
.
Se 
, então 
Se 
, então o 
 não está definido.
Só tem sentido perguntar sobre o valor do limite em ponto 
 de uma função 
 se ela estiver definida imediatamente antes e após o valor 
.
Veja o exemplo a seguir:
Considere a função 
, cujo gráfico está representado na figura 4.
Figura 4
De acordo com a condição de existência do radical, esta função só está definida para valores de x maiores ou iguais a zero 
. Dessa forma, se desejássemos determinar o limite num certo ponto, essa função deveria estar definida ao redor (à esquerda e à direita) deste ponto. Observe, na tabela 1, o que ocorre para valores de x próximos de zero.
	
	
	Limites laterais
	Limite no ponto
	- 0,1
	não definida
	Não está definido 
	Não está definido
	- 0,01
	não definida
	
	
	- 0,001
	não definida
	
	
	0,1
	0,31
	
	
	0,01
	0,10
	
	
	0,001
	0,031
	
	
	0,0001
	0,010
	
	
	0,00001
	0,0031
	
	
	0,000001
	0,0010
	
	
Tabela 1
Para os limites laterais temos:
O valor do limite somente estará definido se a função convergir para um determinado valor. Algumas funções ao se aproximarem de um determinando ponto oscilam muito de valor, não sendo possível verificar sua convergência para um valor específico.
Veja o exemplo da função 
, que não está definida no ponto 
 mas pode assumir valores de x que próximos de zero. Observa-se que para valores de x próximos de zero, os valores da função oscilam entre 
 e 
 (mínimo e máximo valor para o seno), e não convergem para um valor específico.
O gráfico dessa função está representado na figura abaixo.
Devido a esse comportamento, de não convergir para um determinado valor, o limite da função não está definido no ponto zero.
Procedimentos para se determinar o limite de uma função
No texto a seguir você irá encontrar alguns procedimentos úteis no cálculo de limites. Ficando atento a essas dicas torna-se mais fácil encontrar, caso exista, o valor do limite da função.
Para uma função 
 definida no ponto 
 (existe 
) e ao redor dele, caso a função apresente a mesma expressão matemática imediatamente antes e imediatamente após 
, então o limite da função no ponto equivale ao valor numérico da função:
.
Exemplo:
Seja a função 
.
A tabela 2 na próxima página ilustra o comportamento desta função para valores de x próximos de 2.
	
	
	Limites laterais
	Limite no ponto
	1,99
	6,98
	
	
	1,999
	6,998
	
	
	1,9999
	6,9998
	
	
	1,99999
	6,99998
	
	
	2,01
	7,02
	
	
	2,001
	7,002
	
	
	2,0001
	7,0002
	
	
	2,00001
	7,00002
	
	
Tabela 2
Com a convergência dos valores de x para 2 observa-se a conseqüente convergência dos valores da função para 7. Assim existe o limite da função quando x se aproxima de 2 e este limite vale 7.
Assim:
Nos casos que a função estiver definida ao redor de 
, mas apresentar expressões matemáticas distintas à esquerda e à direita deste ponto, independentemente da função estar ou não definida em 
, ou seja, existindo ou não 
, é necessário se calcular os limites laterais ao ponto 
 para verificar se eles são iguais:
Se 
, então 
Se 
, então o 
 não está definido.
Exemplos:
A) Seja a função 
.
Observe, nos dados da tabela 3, como a função se comporta para valores de x próximos de 2.
	
	
	Limites laterais
	Limite no ponto
	1,99
	4,96
	
	
	1,999
	4,996
	
	
	1,9999
	4,9996
	
	
	1,99999
	4,99996
	
	
	2,01
	4,95
	
	
	2,001
	4,995
	
	
	2,0001
	4,9995
	
	
	2,00001
	4,99996
	
	
Tabela 3
Mesmo apresentando expressões diferentes na vizinhança de 
, observa-se uma convergência da função para valores próximos de 5 
 quando os valores de x convergem para 2 
. Então, como os limites laterais são iguais, o limite no ponto está definido.
Temos:
 
Nota: É interessante ressaltar que apesar desta função estar definida para o ponto 
, pois 
, para o cálculo dos limites este valor não produz nenhuma influência, uma vez que os limites são determinados para valores de x próximos de 2, mas não iguais a 2.
B) Considere a função 
.
Observe na tabela 4 como esta função se comporta para valores de x próximos de 1.
	
	
	Limites laterais
	Limite no ponto
	0,99
	0,99
	
	
	0,999
	0,999
	
	
	0,9999
	0,9999
	
	
	0,99999
	0,99999
	
	
	1,01
	0,980
	
	
	1,001
	0,99801,0001
	0,99980
	
	
	1,00001
	0,99998
	
	
	1,000001
	0,999998
	
	
Tabela 4
A função anterior não está definida para 
, ou seja, não existe 
. No entanto, quando os valores de x convergem para 1 
, tanto para valores à esquerda quanto para valores à direita de 
, a função apresenta convergência para 1 
. Como os limites laterais estão definidos e apresentam mesmo valor, o limite no ponto está definido. 
Tem-se:
C) Seja a função 
.
A tabela 5 na página seguinte mostra o comportamento da função para valores de x próximos de 1.
	
	
	Limites laterais
	Limite no ponto
	0,99
	0,492
	
	Não está definido o 
	0,999
	0,4992
	
	
	0,9999
	0,49992
	
	
	0,99999
	0,499992
	
	
	1,01
	51
	
	
	1,001
	501
	
	
	1,0001
	5.001
	
	
	1,00001
	50.000
	
	
	1,000001
	500.001
	
	
	1,0000001
	5.000.000
	
	
Tabela 5
Ainda que a função esteja definida para 
 
, o limite no ponto não está definido. Pela tabela é possível notar que para valores de x próximos a 1 pela esquerda, os valores da função convergem para 
, enquanto para valores de x próximos a 1 pela direita a função apresenta valores positivos, numericamente cada vez maiores, tendendo ao infinito.Dessa forma os limites laterais estão definidos, mas o limite no ponto não existe. 
Temos:
Quando numerador e o denominador de uma função 
 estiverem convergindo para zero, temos uma indeterminação matemática.
Nestes problemas o limite, caso ele exista, pode ser calculado através de uma função equivalente 
. Para se encontrar esta função equivalente iremos utilizar processos de fatoração e racionalização e simplificação de expressões, e determinaremos o 
 através do limite da função 
.
Assim, se 
 é equivalente a 
 para todo 
 e 
, temos:
Exemplo:
Seja a função 
.
Para essa função, fatorando o numerador e o denominador, colocando os termos comuns em evidência e simplificando a expressão obtemos o seguinte: 
Assim, as funções 
 e 
 são equivalentes para valores de 
.
A tabela 6 mostra o comportamento da função 
 ao redor do ponto 
	
	
	Limites laterais
	Limite no ponto
	1,9
	1,20333333
	
	
	1,99
	1,32003333
	
	
	1,999
	1,33200033
	
	
	1,9999
	1,33320000
	
	
	1,99999
	1,33332000
	
	
	1,999999
	1,33333200
	
	
	2,1
	1,47000000
	
	
	2,01
	1,34670000
	
	
	2,001
	1,33466700
	
	
	2,0001
	1,33346667
	
	
	2,00001
	1,33334667
	
	
	2,000001
	1,33333467
	
	
Tabela 6
Para a função 
 não é possível calcular diretamente 
, uma vez que o denominador e o numerador da função convergem para zero. Utilizando-se a função equivalente 
 podemos determinar o limite da função 
. Temos:
Então: 
A figura 9 mostra o gráfico da função 
, equivalente ao gráfico de 
, exceto em 
.
Nota: Há uma dúvida muito comum ao se utilizar este artifício para se determinar o valor de um limite, devido ao fato que na função 
seja permitido substituir 
 e a função 
 não estar definida neste ponto. Porém, através da convergência da função 
 apresentada na tabela 6, verifica-se facilmente que os limites das funções são iguais.
LIMITES NO INFINITO
Nos limites de funções 
 onde a variável converge para o infinito 
 há uma simplificação possível se utilizar em boa parte dos casos. Nas funções polinomiais, ou funções racionais com divisão de polinômios, basta analisar o limite da função através dos termos de maior expoente. Esta simplificação é possível porque para valores de x numericamente grandes os termos de maior expoente tornam-se muito mais significativos que os demais. Veja um exemplo:
A tabela 7 abaixo mostra o comportamento da função para valores de x que vão se tornando, numericamente, cada vez maiores.
	
	
	
	
	
	10
	300.000
	-10.000
	20
	290.020
	20
	9.600.000
	-80.000
	40
	9.520.040
	50
	937.500.000
	-1.250.000
	100
	936.250.100
	100
	30.000.000.000
	-10.000.000
	200
	29.990.000.200
	200
	960.000.000.000
	-80.000.000
	400
	959.920.000.400
	-10
	-300.000
	10.000
	-20
	-290.020
	-40
	-307.200.000
	640.000
	-80
	-306.560.080
	-80
	-9.830.400.000
	5.120.000
	-160
	-9.825.280.160
	-120
	-74.649.600.000
	17.280.000
	-240
	-74.632.320.240
	-200
	-960.000.000.000
	80.000.000
	-400
	-959.920.000.400
Tabela 7
Nota-se que quanto maiores numericamente forem os valores de x, mais próxima a função estará do valor do termo 
. Assim, para o cálculo de um limite com 
 bastaria verificar o comportamento do termo 
.
 Assim, temos:
Exemplos:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Quando a função 
 não estiver definida em 
, e apresentar a mesma expressão ao redor desse ponto, deve-se calcular os limites laterais para se verificar se eles são iguais. Este tipo de cálculo é muito comum na determinação de limites onde somente o denominador converge para zero, tornando-se necessário um estudo do sinal do denominador.
Exemplo:
Seja a função 
.
A tabela 8 mostra o comportamento da função para valores de x próximos de 0.
	
	
	Limites laterais
	Limite no ponto
	0,01
	-10.000
	
	
	0,001
	-1.000.000
	
	
	0,0001
	-100.000.000
	
	
	0,00001
	-10.000.000.000
	
	
	-0,01
	-10.000
	
	
	-0,001
	-1.000.000
	
	
	-0,0001
	-100.000.000
	
	
	-0,00001
	-10.000.000.000
	
	
Tabela 8
Para valores de x próximos de 0, nota-se que a função não converge para um valor específico, no entanto os valores da função tornam-se cada vez maiores numericamente e apresentam sempre sinal negativo. Dessa forma podemos entender que quando os valores de x convergem para zero a função tende a valores infinitos negativos (
) e ainda, que o limite da função está definido no ponto zero.
Assim:
A figura abaixo mostra o gráfico desta função.
Vamos agora analisar expressões indeterminadas. Costuma-se dizer que as expressões: 
.
Sejam f e g funções tais 
. Nada se pode afirmar, a priori, sobre o limite do quociente 
.
Dependendo das funções f e g ele pode assumir qualquer valor real ou não existir. Exprimimos isso, dizendo que 0/0 é um símbolo de indeterminação.
Exemplo:
1)
Conferindo temos:
Neste caso, fatora-se o numerador e o denominador fazendo-se a seguir as simplificações possíveis, pois temos uma forma indeterminada:
2) Nestes casos, temos uma indeterminação do tipo 
.
2.1)
Vamos dividir o numerador e o denominador por x e depois aplicar as propriedades de limites.
 2.2) 
, dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de x, que neste caso é 
PROPRIEDADES DOS LIMITES INFINITOS
LIMITES FUNDAMENTAIS
Os limites fundamentais consistem em proposições específicas a casos particulares, a saber, indeterminações do tipo 
, 
 e 
.
Proposição 1: 
 é igual a 1.
Aplicações:
a) 
Para resolvermos este limite, utilizaremos alguns recursos básicos.
. Portanto,
b) 
Neste caso, não necessitaremos do recurso da substituição como no caso anterior. Veja:
Proposição 2: 
, onde e é o número irracional neperiano cujo valor aproximado é 2,718281828459...
Aplicações:
a) Demonstre que 
Em primeiro lugar vamos provar 
.
De fato fazendo 
 temos que 
 quando 
. Logo,
.
Da mesma forma podemos deduzir que 
.
Portanto 
.
b) Determinar 
.
Temos que:
Proposição 3: 
.
REGRA DE L’ HOSPITAL
A Regra de L’ Hospital é um método para a resolução de indeterminações do tipo 
.
Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente, em um ponto 
. Suponhamos que 
para todo 
 em I.
Exemplo:
Este limite tem a forma indeterminada 0/0.
Vamos conhecer o processo pela qual a Regra de L’Hospital é resolvida, quando você se deparar com osímbolo 
, significa que estamos derivando esta função, esse é nosso próximo conteúdo, estaremos só aprendendo neste ponto como derivamos polinômios, para resolvermos o limite.
REGRAS DE DERIVAÇÂO: 
Derivada de uma constante: Se c é uma constante e 
para todo x, então 
.
Regra de potência: Se n é um número inteiro positivo e 
, então 
.
Derivada do produto de uma constante por uma função: Sejam f uma função, c uma constante e g a função definida por 
. Se 
 existe, então 
.
Vamos praticar, derive as funções a seguir:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
Agora que já praticamos como derivar, vamos voltar ao nosso exemplo de limite e resolver aplicando a regra de l’ hospital:
A Regra de L’Hospital permite resolver muitos limites que tornam formas indeterminadas, e para isso, basta aplicar as regras de derivação, não se esquecendo que a derivada da soma de um número finito de funções é igual á soma de suas derivadas, se estas existirem.
Exemplos:
a) 
b) 
ATIVIDADES DE FIXAÇÃO
Dado o gráfico das funções a seguir, determine seus limites:
a) 
b) 
c) 
d) 
 
Construa o gráfico e analise a continuidade das seguintes funções:
a) 
 b) 
c) 
 d) 
Determine, se existirem, os valores de 
, nos quais a função f(x) não é contínua.
a) 
�� EMBED Equation.DSMT4 c) 
b) 
Calcule os limites:
a) 
 b) 
c) 
 d) 
e) 
 f) 
g) 
 h) 
 
i) 
Calcular os limites:
a) 
 b) 
c) 
 d) 
 
e) 
 f) 
 
g) 
 h) 
i) 
 j) 
l) 
 m) 
n) 
 o) 
Calcular os limites, se existir:
a) 
 b) 
c) 
 d) 
e)
 f) 
g) 
 h) 
i) 
 j) 
l) 
 m) 
n) 
 o) 
p) 
7) Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.
a) 
		c) 
b) 
REFERENCIAL DE RESPOSTAS
1)
a) 
 c) 
b) 
 d) 
2) 
a) 
b) 
c) 
d) 
3)
a) Neste caso temos os pontos que não pertencem ao domínio da função: x = 3 e x = -7.
b) 
Neste caso a função não é contínua em
,pois esses pontos não pertencem ao domínio da função.
c) Temos que em x = -1 a função não é contínua porque não existe 
.
4)
a) 17 b) 14 c) 
 d) 0 e) 
f) 
 g) 0 h) 
 i)
5) 
a) 0 b) 
 c) 
 d) -3 e) 1
f)
 g) 1 h) 
 i) 
 j) 
l) (0 m)
 n)
 o) 
6) 
a) 
 b) 
 c) 
 d) -13 e) -7
f) -1 g) 
 h) 
 i) 0 j) 
l) 
 m) 
 n) 
 o) 0 p) 4
7) a) 9		b) 4/3		c) 
Limite lateral à esquerda
Limite lateral à direita
�
�EMBED Equation.3���
�
� EMBED Equation.DSMT4 ���
�
�
�
�
�
È contínua se x < 1 e se x > 1, e descontínua em x = 1.
�
A função é contínua para todos os reais.
�
Analisando o gráfico visualiza-se uma função contínua em todo o seu domínio, ou seja, em todo o conjunto dos números reais.
�
A visualização gráfica mostra que a função não é contínua em x = -2 .
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