Cap8 - Controle Digital

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Controle Digital - Projeto de Controladores Digitais
In´ıcio do To´pico
Controle Digital - Projeto de Controladores Digitais
Prof. Alessandra Rose
Universidade Federal de Lavras
Julho de 2017
Universidade Federal de Lavras Prof. Alessandra Rose 1
Controle Digital - Projeto de Controladores Digitais
Suma´rio
1 Compensador em Atraso de Fase
2 Compensador em Avanc¸o de Fase
3 Procedimento de Projeto em Avanc¸o de Fase
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Compensador em Atraso de Fase
Compensador em Atraso de Fase
Na equac¸a˜o:
D(w) = a0
1 + w
ωwo
1 + w
ωwp
(1)
se ωwo > ωwp, a resposta em frequeˆncia de D(w) (Diagrama de Bode) sera´ da forma
apresentada a seguir:
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Compensador em Atraso de Fase
Compensador em Atraso de Fase
Sera´ discutido o projeto do compensador para o sistema como a seguir:
Cuja equac¸a˜o caracter´ıstica e´ do tipo: 1 +D(z)G(z) = 0
Como pode ser visto no Diagrama de Bode, o compensador em questa˜o reduz o ganho
de altas frequeˆncias em relac¸a˜o a`s baixas frequeˆncias, e introduz um atraso de fase.
Como, em geral, atraso de fase tende a desestabilizar o sistema, ωWo e ωWp devem
ser escolhidos de forma que o atraso de fase na˜o ocorra na vizinhanc¸a de −180o.
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Compensador em Atraso de Fase
Compensador em Atraso de Fase
A figura a seguir ilustra o projeto de compensador em atraso, para o caso em que o
ganho desse compensador e´ unita´rio.
Note na figura em questa˜o que a margem de ganho e a margem de fase do sistema
foram aumentadas com a adic¸a˜o do compensador, aumentando assim a estabilidade
relativa. Ainda, o ganho em baixa frequeˆncia na˜o foi reduzido, enta˜o o erro em regime
permanente na˜o foi aumentado. A banda passante foi diminu´ıda, o que em geral
resulta numa resposta mais lenta.
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Compensador em Atraso de Fase
Compensador em Atraso de Fase
Procedimento para projeto de compensador em atraso via Diagrama de Bode:
Assume-se que a0 e´ determinado pelas especificac¸o˜es do sistema
(1) Determinar a frequeˆncia ωW1 na qual o aˆngulo de fase de G(jωw) e´
aproximadamente (−180o + φm + 5o). A margem de fase do sistema compensado
ocorrera´ aproximadamente nessa frequeˆncia. (φm) e´ a margem de fase desejada.
(2) Escolha ωw0 = 0, 1ωw1 para assegurar que um pequeno atraso de fase seja
introduzido em ωw1.
(3) Em ωw1, deseja-se que |D(jωw1)G(jωw1)| = 1. Uma vez que o ganho do
compensador em altas frequeˆncias e´ a0
ωwp
ωw0
(onde a0 e´ o ganho dc do compensador),
enta˜o
|a0 ωwp
ωw0
G(jωw1)| = 1
a0
ωwp
ωw0
=
1
|G(jωw1)|
Substituindo ωw0 = 0, 1ωw1, tem-se:
a0
ωwp
0, 1ωw1
=
1
|G(jωw1)|
⇒ ωwp = 0, 1ωw1
a0|G(jωw1)|
Dessa forma, a0, ωwp e ωw0 sa˜o determinados
Exemplo!!!
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Compensador em Avanc¸o de Fase
Compensador em Avanc¸o de Fase
Na equac¸a˜o:
D(w) = a0
1 + w
ωwo
1 + w
ωwp
(2)
se ωwo < ωwp, a resposta em frequeˆncia de D(w) (Diagrama de Bode) sera´ da forma
apresentada a seguir:
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Compensador em Avanc¸o de Fase
Compensador em Avanc¸o de Fase
Pode-se observar que este compensador introduz avanc¸o de fase que tem um efeito
estabilizante, mas tambe´m aumenta o ganho em altas frequeˆncias, que e´ um efeito
desestabilizante. Um projeto de compensador em avanc¸o e´ mostrado na figura a seguir
(a0 e´ unita´rio):
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Controle Digital - Projeto de Controladores Digitais
Compensador em Avanc¸o de Fase
Compensador em Avanc¸o de Fase
O avanc¸o de fase e´ introduzido na vizinhanc¸a de -180◦, de modo a aumentar a margem
de estabilidade do sistema. Note que a banda passante tambe´m foi aumentada,
resultando numa resposta mais ra´pida. O projeto de compensadores em avanc¸o tende
a ser um procedimento de tentativa e erro, uma vez que na faixa de frequeˆncias onde
o avanc¸o de fase ocorre, pode ocorrer um efeito desestabilizante devido ao ganho.
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Procedimento de Projeto em Avanc¸o de Fase
Procedimento de Projeto em Avanc¸o de Fase
Sera´ apresentado um procedimento que fornece uma margem de fase especificada,
mas na˜o tem controle sobre a margem de ganho. Portanto, e´ necessa´rio que apo´s o
projeto, a margem de ganho seja verificada, de modo a garantir a estabilidade.
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Procedimento de Projeto em Avanc¸o de Fase
Procedimento de Projeto em Avanc¸o de Fase
Determinar a frequeˆncia ωw1, onde: D(jωw1)G(jωw1) = 1∠(180◦ + φm), onde (φm)
e´ a margem de fase desejada.
Reescrevendo:
D(w) = a1w+a0
b1w+1
D(w) = a0
1+ w
a0/a1
1+ w
b
−1
1
onde a0 e´ o ganho do compensador, enta˜o: ωw0 =
a0
a1
e ωwp =
1
b1
Tem-se que: |D(jωw1)| = 1|G(jωw1)| e ∠D(jωw1) = 180
◦ + φm −G(jωw1) = θ
enta˜o:
a1 =
1−a0|G(jωw1)| cos θ
ωw1|G(jωw1)| sin θ
b1 =
cos θ−a0|G(jωw1)|
ωw1 sin θ
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Procedimento de Projeto em Avanc¸o de Fase
Procedimento de Projeto em Avanc¸o de Fase
Se o sistema projetado for esta´vel, a margem de ganho foi satisfeita.
Pore´m, o procedimento na˜o garante estabilidade e o Diagrama de Bode deve ser
obtido para determinar a estabilidade.
O ganho dc do compensador e´ geralmente determinado pelas especificac¸o˜es de regime
permanente para o sistema.
A frequeˆncia ωw1 pode ser determinada aproximadamente como a seguir:
(1) G(jωw1) < 180◦ + phim
(2) |G(jωw1)| < 1a0
(3) cos θ > a0|G(jωw1)|
Portanto, ωw1 deve ser escolhida de modo a satisfazer as 3 restric¸o˜es.
Exemplo!!!
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Controle Digital - Projeto de Controladores Digitais
Procedimento de Projeto em Avanc¸o de Fase
Procedimento de Projeto em Avanc¸o de Fase
Concluso˜es
Efeito compensador em atraso:
• reduc¸a˜o do ganho em altas frequeˆncias
• reduc¸a˜o da banda passante, resposta + lenta
• erro em regime permanente na˜o foi reduzido (poderia ser reduzido)
• ganho em baixa frequeˆncia na˜o foi reduzido (poderia ser aumentado)
Efeito compensador em avanc¸o:
• aumento do ganho em altas frequeˆncias
• aumento da banda passante
lembrar: aumento do ganho em altas frequeˆncias para compensador em avanc¸o →
problema com ru´ıdo → filtro ou adic¸a˜o de compensador em atraso em cascata
Tabela e Figuras Exemplos!!!
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Controle Digital - Projeto de Controladores Digitais
Procedimento de Projeto em Avanc¸o de Fase
Procedimento de Projeto em Avanc¸o de Fase
Em resumo
Vantagens do compensador em atraso:
1 Caracter´ısticas em baixas frequeˆncias: mantidas ou melhoradas
2 Margens de estabilidade: melhoradas
3 Banda passante: reduzida (resposta mais lenta, pore´m vantajoso para ru´ıdo)
Desvantagens do compensador em atraso:
1 Reduc¸a˜o da banda passante
2 Resposta transito´ria com um termo lento
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Controle Digital - Projeto de Controladores Digitais
Procedimento de Projeto em Avanc¸o de Fase
Procedimento de Projeto em Avanc¸o de Fase
Em resumo
Vantagens do compensador em avanc¸o:
1 Margens de estabilidade: melhoradas
2 Performance em altas frequeˆncias: melhorada (velocidade de resposta)
3 E´ deseja´vel para estabilizar alguns sistemas
Desvantagens do compensador em avanc¸o
1 Ru´ıdos de altas frequeˆncias: amplificados (amplitude)
2 Sinais grandes podem ser gerados, o que pode prejudicar o sistema ou leva´-lo a
operar em regio˜es na˜o-lineares.
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	Compensador em Atraso de Fase
	Compensador em Avanço de Fase
	Procedimento de Projeto em Avanço de Fase