7 Descontinuidades (4)

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GRUPO DE ESTUDOS SOBRE FRATURA DE MATERIAIS 
DEMET/EM/UFOP 
DESCONTINUIDADES
ESTRUTURA DE MATERIAIS
 Cristais perfeitos
 Resistência coesiva teórica e real
 Tipos de descontinuidades
 Descontinuidades eletrônicas
 Descontinuidades pontuais
 Descontinuidades lineares
 Descontinuidades superficiais
 Descontinuidades volumétricas
DESCONTINUIDADES (DEFEITOS)
Tipos de descontinuidades cristalinas.
DESCONTINUIDADES LINEARES
TEORIA DE 
DISCORDÂNCIAS
┴ Introdução histórica
┴ Definição de discordâncias
┴ Classificação
┴ O vetor de Burgers
┴ Movimento de discordâncias
┴ Origem das discordâncias
┴ Observação das discordâncias
┴ Tensão de Peierls-Nabarro
┴ Força exercida sobre uma discordância
┴ Tensão de linha de uma discordância
┴ Redes de Frank 
┴ Densidade de discordâncias
┴ Campo de tensões em torno de discordâncias
┴ Energia da discordância
┴ Reações entre discordâncias
┴ Campo de forças entre discordâncias
┴ Deslizamento cruzado
┴ Escalada 
┴ Interseção de discordâncias
┴ Fonte de Frank-Read
┴ Velocidade de discordâncias
┴ Discordâncias nas estruturas CFC, HC e CCC
Sugestões para consulta inicial:
http://www.doitpoms.ac.uk
http://www.matter.org.uk
Introdução histórica ao conceito de discordâncias
A tensão requerida para 
deformar plasticamente 
um cristal é muito menor 
do que a tensão 
calculada considerando a 
estrutura cristalina livre 
de descontinuidades.
Materiais endurecem 
por deformação: 
quando um material se 
deforma plasticamente, 
ele requer uma tensão 
maior para continuar se 
deformando.
O conceito de 
discordâncias foi 
“inventado” 
independentemente por 
Orowan, Taylor e Polanyi 
em 1934, como uma forma 
de explicar duas 
observações experimentais 
sobre a deformação 
plástica de materiais 
cristalinos
Trabalhos pioneiros:
 Mügge (1883) e Ewing-Rosenhain (1899): observaram que a deformação
plástica dos metais se processa pela formação de bandas de deslizamento,
devido ao cisalhamento de uma porção do cristal em relação à outra, em um
plano do cristal.
 Volterra (1907) e Love (1927): trataram o comportamento elástico de um meio
isotrópico e homogêneo deformado, sendo que alguns de seus modelos
correspondem às discordâncias.
 Darwin (1914) e Ewald (1917): a intensidade de raios-X difratada de cristais
reais era cerca de 20 vezes maior do que aquela esperada para cristais
perfeitos.
 Frenkel (1926): calculou a tensão teórica de cisalhamento, encontrando valores
da ordem de 103 a 104 da tensão real.
 Massing e Polányi (1923), Prandtl (1928) e Dehlinger (1929): propuseram vários
defeitos precursores das discordâncias.
 Orowan, Polányi e Taylor (1934): propuseram a existência da discordância em
cunha.
 Burgers (1939): propôs a existência da discordância em hélice.
Vito Volterra (1860-1940)
Johannes Burgers (1895-1981)
Mihály Polányi (1891-1976)
Geoffrey Taylor (1886-1975) Egon Orowan (1902-1989)
Rudolf Peierls (1907-1995)Nevill Mott (1905-1996)
Frank Nabarro(1916-2006)
Curva tensão-deformação para um 
monocristal de magnésio.
Linhas de
deslizamento
na superfície
do monocristal.
Constatação experimental (Ewing e Rosenhain, 1899):
Formação de marcas superficiais em um monocristal deformado 
plasticamente.
Bandas de deslizamento num
monocristal de alumínio deformado
em tração na temperatura ambiente.
MEV.
Bandas de deslizamento num policristal
de cobre deformado em compressão
na temperatura ambiente. MEV.
Um cilindro cortado (a) e deformado de seis formas distintas (b-g), conforme
proposta de Volterra.
Imperfeições em um cristal deformado por flexão, de acordo com
Massing e Polányi.
Cálculo da resistência mecânica - cristais perfeitos
RESISTÊNCIA TEÓRICA DE CISALHAMENTO
(Frenkel, 1926 – tensão limite de escoamento)
a
bG
máx 

2

 
Deslocamento, x 
Tensão 
Valores reais do limite de escoamento de materiais
Tabela: limite de escoamento teórico e experimental para vários materiais.
Adaptação de R.W.Hertzberg, Deformation and Fracture Mechanics of Engineering Materials, Wiley, 1989.
Material G/2 Limite de Escoamento experimental
(GPa) (MPa) m / exp
Prata 12,6 0,37  3 x 104
Alumínio 11,3 0,78  1 x 104
Cobre 19,6 0,49  4 x 104
Níquel 32,0 3,2-7,35  1 x 104
Ferro 33,9 27,5  1 x 103
Molibdênio 54,1 71,6  8 x 102
Nióbio 16,6 33,3  5 x 102
Cádmio 9,9 0,57  2 x 104
Magnésio (basal) 7,0 0,39  2 x 104
Magnésio (prismático) 7,0 39,2  2 x 102
Titânio (prismático) 16,9 13,7  1 x 103
Berílio (basal) 49,3 1,37  4 x 104
Berílio (prismático) 49,3 52,0  1 x 103
Em 1934, E. Orowan, M. Polanyi e G. I. Taylor propuseram, em
trabalhos independentes, a existência de uma descontinuidade
cristalina linear denominada “Versetzung”, em alemão, por Orowan e
Polanyi, e “dislocation”, por Taylor. Esta descontinuidade será
denominada discordância neste curso, embora alguns grupos de
pesquisa no Brasil prefiram o termo deslocação.
O conceito de discordância, na verdade de discordância em cunha,
pode justificar a discrepância entre as tensões calculada e medida nos
sólidos cristalinos para a deformação plástica. O conceito de
discordância em hélice, que será apresentado a seguir, foi
introduzido por J. M. Burgers somente em 1939, junto com os
conceitos de vetor e circuito, hoje conhecidos como vetor de Burgers
e circuito de Burgers.
Uma discordância em cunha em um
cristal cúbico simples.
Uma discordância em hélice em um
cristal cúbico simples.
Uma discordância em cunha com
suas características geométricas
principais.
Uma discordância em hélice com
suas características geométricas
principais.
┴ Introdução histórica
┴ Definição de discordâncias
┴ Classificação
┴ O vetor de Burgers
┴ Movimento de discordâncias
┴ Origem das discordâncias
┴ Observação das discordâncias
┴ Tensão de Peierls-Nabarro
┴ Força exercida sobre uma discordância
┴ Tensão de linha de uma discordância
┴ Redes de Frank 
┴ Densidade de discordâncias
┴ Campo de tensões em torno de discordâncias
┴ Energia da discordância
┴ Reações entre discordâncias
┴ Campo de forças entre discordâncias
┴ Deslizamento cruzado
┴ Escalada 
┴ Interseção de discordâncias
┴ Fonte de Frank-Read
┴ Velocidade de discordâncias
┴ Discordâncias nas estruturas CFC, HC e CCC
Quando um cristal é submetido a uma deformação plástica, descontinuidades da
rede tendem a se acomodar ao longo dos planos de deslizamento. Estas
descontinuidades são chamadas de discordâncias. Uma observação no microscópio
eletrônico de transmissão teria o seguinte aspecto:
(A) Representação esquemática de uma foto de MET, mostrando uma seção do plano de deslizamento.
(B) Vista tridimensional da mesma seção.
Definição de discordâncias
Outra maneira para evidenciar a presença de discordâncias: interseção de 
discordâncias na superfície do cristal, técnica de “etch-pits”.
Imagem no MET de uma folha de alumínio, mostrando 
o arranjo de discordâncias ao longo de um plano de 
deslizamento, idêntico ao esquema anterior.
Imagem no MET de uma folha de aço inoxidável 
18Cr-8Ni, mostrando o arranjo de discordâncias ao 
longo de um plano de deslizamento, idêntico ao 
esquema anterior.
A discordância pode ser definida como o limite, no plano de deslizamento, onde a
operação da deformação plástica ocorre. Em outras palavras, a discordância é uma
linha que forma o limite, no plano de deslizamento, entre a região que foi
deslocada e a região que não foi deslocada. Desta forma, a linha da discordância
ou será um anel fechado ou terminará em uma superfície livre do cristal, ou em um
contorno de grão.
Esquemas para discordância em cunha e discordânciaem hélice. 
┴ Introdução histórica
┴ Definição de discordâncias
┴ Classificação
┴ O vetor de Burgers
┴ Movimento de discordâncias
┴ Origem das discordâncias
┴ Observação das discordâncias
┴ Tensão de Peierls-Nabarro
┴ Força exercida sobre uma discordância
┴ Tensão de linha de uma discordância
┴ Redes de Frank 
┴ Densidade de discordâncias
┴ Campo de tensões em torno de discordâncias
┴ Energia da discordância
┴ Reações entre discordâncias
┴ Campo de forças entre discordâncias
┴ Deslizamento cruzado
┴ Escalada 
┴ Interseção de discordâncias
┴ Fonte de Frank-Read
┴ Velocidade de discordâncias
┴ Discordâncias nas estruturas CFC, HC e CCC
Classificação de discordâncias
Tipos de 
Discordâncias
Cunha Hélice Mista
Formas de 
Discordâncias
Reta Curva Anel
Classificação de discordâncias
Tipos de 
Discordâncias
Perfeita ou 
Unitária
Imperfeita 
ou Parcial
Reações de 
Discordâncias
Combinação de 
duas ou mais 
discordâncias
Separação de uma 
unitária em 
parciais
Interação de 
parciais resultando 
em discordâncias 
de novo tipo
Aniquilação de 
discordâncias com 
vetores de Burgers 
opostos
vetor de Burgers, b: medida da distorção da rede.
vetor t: direção da linha da discordância.
Característica Cunha Hélice
Direção de deslizamento ⁄⁄ b ⁄⁄ b
Relação entre t e b t  b t ⁄⁄ b
Direção do movimento da
discordância
⁄⁄ b  b
Movimento para outros
planos de deslizamento
escalada deslizamento cruzado
Características da discordâncias em cunha e em hélice.
Discordância em cunha, proposta em 1934 por Polanyi, Orowan e Taylor. 
Linha da
discordância
em cunha
Vetor de Burgers
Discordância em cunha, (a) sob o 
ponto de vista da mecânica do 
contínuo e (b) mostrando a posição 
dos átomos. 
Discordância em cunha AB.
Átomos em compressão
Átomos em tração
Discordância em hélice, proposta por Burgers em 1939.
Discordância em hélice, (a) sob o 
ponto de vista da mecânica do 
contínuo e (b) mostrando a posição 
dos átomos.
Discordância em hélice CD.
Deformação cisalhante
Cunha
Hélice
Mista
Comparação entre a disposição dos planos cristalinos.
(a) Cristal perfeito.
(b) Ao redor de uma discordância cunha (observe a introdução da cunha).
(c) Ao redor de uma discordância hélice (observe o movimento helicoidal).
a) Modelo de uma rede
cúbica simples. Alguns
átomos são representados
por esferas e as ligações
atômicas por molas.
b) Discordância em cunha
“positiva” DC formada a
partir da inserção de um
meio plano extra de
átomos em ABCD.
c) Discordância em hélice “à
esquerda” DC formada
pelo deslocamento das
faces ABCD na direção
AB.
d) Discordância em hélice “à
direita” DC.
e) Planos atômicos de
espaçamento b em um
cristal perfeito.
f) Planos distorcidos por
uma discordância “à
direita”.
Discordância em cunha.
Discordância em hélice.
Uma linha de discordância pode formar um
anel fechado. Na figura ao lado, CF e DE 
são componentes cunha, enquanto CD e FE 
são componentes hélice.
Anéis de discordâncias não são necessariamente quadrados. Uma forma elíptica
seria energeticamente mais favorável do que o quadrado. Neste caso, o tipo de
discordância muda continuamente ao longo da linha.
Existe um outro tipo de anel, chamado de
“anel prismático”, criado quando um disco
de lacunas é inserido ou removido do
cristal. Este anel é formado por
discordâncias cunha de sinal contrário.
a) Discordância em 
cunha positiva.
b) Discordância em 
cunha negativa.
c) Discordância em 
hélice à esquerda.
d) Discordância em 
hélice à direita.
┴ Introdução histórica
┴ Definição de discordâncias
┴ Classificação
┴ O vetor de Burgers
┴ Movimento de discordâncias
┴ Origem das discordâncias
┴ Observação das discordâncias
┴ Tensão de Peierls-Nabarro
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┴ Tensão de linha de uma discordância
┴ Redes de Frank 
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┴ Campo de tensões em torno de discordâncias
┴ Energia da discordância
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┴ Campo de forças entre discordâncias
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┴ Interseção de discordâncias
┴ Fonte de Frank-Read
┴ Velocidade de discordâncias
┴ Discordâncias nas estruturas CFC, HC e CCC
O vetor de Burgers
O vetor de Burgers é o vetor que define a magnitude e a direção de deslizamento,
sendo assim uma das principais características geométricas de uma discordância.
Uma maneira conveniente de se definir o vetor de Burgers de uma discordância é
através de seu circuito de Burgers. O vetor b mede a falha de fechamento do
circuito, sendo orientado no sentido do fim para o início de mesmo.
Uma vez que o campo de forças periódico da rede cristalina requer que os átomos
se movam de uma posição de equilíbrio para outra posição de equilíbrio, conclui-
se que o vetor de Burgers precisa conectar uma posição de equilíbrio à outra. Daí,
a estrutura cristalina determinará os possíveis vetores de Burgers.
Um vetor de Burgers é especificado pelos seus componentes ao longo dos eixos da
célula cristalográfica.
Exemplos para o sistema cúbico:
Origem ao centro do cubo:
Vetor de Burgers =
Módulo =
Origem ao centro de uma face do cubo:
Vetor de Burgers = 
Módulo = 
Origem a um vértice:
Vetor de Burgers = 
Módulo =
 111
2
1b
2
3
444
222 aaaa
b 
 101
2
1b
2
2
4
0
4
22 aaa
b 
 1001b
aab  002
Circuito de Burgers para uma discordância em cunha.
a) A linha da discordância é perpendicular ao seu vetor de Burgers.
b) Uma discordância em cunha move-se (no seu plano de deslizamento) na 
direção do vetor de Burgers (direção de deslizamento).
Circuito de Burgers para uma discordância em hélice.
a) A linha da discordância é paralela ao seu vetor de Burgers.
b) Uma discordância em hélice move-se (no seu plano de deslizamento) 
numa direção perpendicular ao vetor de Burgers (direção de 
deslizamento).
Vetor de Burgers.
(a) Circuito de Burgers ao redor de
uma discordância em cunha
(b) Mesmo circuito para um cristal
perfeito
(a) Circuito de Burgers ao redor de
uma discordância em hélice
(b) Mesmo circuito para um cristal
perfeito
O plano de deslizamento é definido pelo vetor de Burgers e sua discordância.
Assim, o plano de deslizamento para uma discordância em cunha é bem definido,
pois b é perpendicular à discordância. Por outro lado, para uma discordância em
hélice, como b é paralelo à discordância, nenhum plano específico é por eles
definido.
┴ Introdução histórica
┴ Definição de discordâncias
┴ Classificação
┴ O vetor de Burgers
┴ Movimento de discordâncias
┴ Origem das discordâncias
┴ Observação das discordâncias
┴ Tensão de Peierls-Nabarro
┴ Força exercida sobre uma discordância
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┴ Densidade de discordâncias
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┴ Discordâncias nas estruturas CFC, HC e CCC
Conceito de 
deslizamento
MET-158
Ilustração da geometria do deslizamento em
um cristal cilíndrico. Em geral, Φ + λ ≠ 90º.
Bandas de deslizamento em um monocristal de Fe-3,25%Si,
Hull, 1963. O esquema ao lado consiste de bandas formadas por
inúmeros degraus de deslizamento em planos de deslizamento
paralelos e bem próximos uns dos outros.
Movimento de um sólido ao longo de um particular plano de escorregamento.
(a) Sólido não deformado, como plano de escorregamento.
(b) Sólido deformado, revelando o deslizamento.
(c) Posições atômicas mostrando as ligações através do plano de escorregamento.
Movimento sem discordância
Movimento sem discordância: simultâneo
Movimento com discordância: consecutivo
Como uma discordância em cunha se move no interior de um cristal. 
Agora podemos afirmar que a deformação plástica ocorre pelo movimento de discordâncias “varrendo”
os planos de escorregamento. O movimento das discordâncias envolve o rearranjo de apenas alguns
átomos ao seu redor e não mais o movimento simultâneo e cooperativo de todos os átomos de um plano
cristalino, conforme supõe o modelo de Frenkel. Os planos de escorregamento, isto é, os planos onde as
discordâncias se movimentam, são normalmente aqueles de maior densidade atômica. A movimentação
atômica ao redor de uma discordância em cunha em movimento é mostrada na figura abaixo.
Posições sucessivas de uma
discordância que se move através do
cristal.
Note o seguinte:
(1) O resultado final do
escorregamento é o mesmo que a
situação provocada pelo
movimento simultâneo de todos os
átomos.
(2) Após a passagem da discordância,
o cristal recupera a sua perfeição.
Analogias para o movimento de uma discordância: (a) tapete; (b) lagarta.
Intuitivamente, é evidente que a deformação plástica causada pela
movimentação de uma discordância exige uma tensão muito menor
que a necessária para movimentar um plano de átomos como um
todo.
É muito freqüente fazer-se a analogia do tapete ou da lagarta para
justificar o movimento facilitado pela presença de discordâncias.
Analogia com o deslocamento de uma onda em um tapete. Para deslocar o
tapete (parte superior do cristal) sobre o chão (parte inferior do cristal), pode-se
deslizar em bloco todo o tapete sobre o chão. Por outro lado, ao formar uma
corcova (discordância) ao longo da largura do tapete, e deslocar esta corcova
pelo comprimento do tapete, o resultado final será o mesmo, mas a força
necessária será notadamente inferior ao primeiro caso.
Analogia com o deslocamento de uma lagarta.
Como uma discordância em 
hélice se move no interior de 
um cristal.
Analogia com o movimento de tábuas no chão de uma fábrica. É mais
fácil deslocar cada tábua separadamente do que todas de uma só vez.
Convenções para uma 
discordância em cunha.
Convenções para uma discordância em hélice.
Uma discordância cunha positiva e
uma discordância cunha negativa,
movendo-se em sentidos opostos,
produzem o mesmo cisalhamento.
Neste caso, as direções de
cisalhamento e de movimento das
discordâncias são idênticos.
Uma discordância hélice à direita e
uma discordância hélice à esquerda,
movendo-se em sentidos opostos,
produzem o mesmo cisalhamento.
Neste caso, as direções de
cisalhamento e de movimento das
discordâncias são perpendiculares.
Um anel também pode ser ejetado do cristal, através de sua expansão. 
Deslocamento de (a) uma 
discordância cunha, (b) 
uma discordância hélice, 
(c) uma discordância mista, 
e (d) criação de um degrau 
de deslizamento 
irreversível igual ao vetor 
de Burgers da discordância 
considerada.
Deslizamento causado pelo movimento de uma discordância em cunha.
Deslizamento causado pelo movimento de uma discordância em hélice.
Regra da mão direita
Dada uma discordância, existem quatro direções importantes associadas à ela:
 direção e sentido da linha de discordância;
 vetor de Burgers, que dá o módulo e a direção do escorregamento;
 direção do movimento da linha e
 direção do fluxo ou movimento do material. Esta direção é sempre paralela à
direção do vetor de Burgers, mas não tem necessariamente o mesmo sentido
dele.
As direções mencionadas acima não são independentes e estão “amarradas” na
chamada regra da mão direita. Segundo a regra da mão (aberta) direita:
 o dedo indicador deve apontar na direção da linha de discordância;
 o polegar deve estar voltado para o lado em que o fluxo ou movimento do
material ocorre no mesmo sentido do vetor de Burgers e
 o dedo médio, o qual deve fazer um ângulo reto com o indicador, indica então a
direção do movimento da linha de discordância.
Vamos aplicar a regra da mão direita na discordância em hélice da figura a seguir.
Discordância em hélice em movimento da
posição AA’ para BB’.
Se assumirmos que a linha da discordância da figura acima está orientada de A
para A’, o dedo indicador terá esta direção e sentido. O polegar deverá estar
voltado para cima, pois a parte de cima ou superior do cristal está deslocando da
esquerda para a direita, isto é, no mesmo sentido do vetor de Burgers.
Conseqüentemente, o dedo médio indica a direção e o sentido da linha de
discordância, isto é, perpendicular à AA’ e no sentido de AA’ para BB’. Note que,
se o sentido da linha de discordância for invertido, o sentido do movimento da
linha também o será. De uma maneira geral, o sentido da linha de discordância não
é indicado nos livros textos, mas na maioria dos casos ele pode ser rapidamente
determinado com auxílio da regra da mão direita. Procure determinar como
exercício, o sentido das discordâncias nos textos que você utilizar.
Discordâncias e deformação plástica
•Estrutura: planos e direções
densamente ocupados são
preferíveis para deformação.
vista de dois 
planos 
densos.
plano denso (inferior) plano denso (superior)
direções densas
• Comparação entre estruturas cristalinas:
CFC: muitos planos/direções densos;
HC : somente um plano, 3 direções;
CCC: nenhum
• Amostras que 
foram testadas 
em tração.
Mg (HC)
Al (CFC)
direção de tração
O movimento das discordâncias pode ser conservativo ou não
conservativo. Quando a discordância se movimenta no plano de
deslizamento, que são normalmente os planos de maior densidade
atômica (e a direção de deslizamento é também a direção de maior
densidade atômica), diz-se que o movimento é conservativo. Se o
movimento da discordância se der fora do plano de deslizamento,
perpendicularmente ao vetor de Burgers, diz-se que ele é não
conservativo, ou de escalada.
A deformação plástica de metais e ligas ocorre por intermédio de processos
elementares de nucleação, movimento, interação, e aniquilação de
descontinuidades da rede cristalina (lacunas, discordâncias, contornos de grãos,
contornos de maclas).
Deformação 
Plástica
Discordâncias de sinal 
oposto: aniquilação 
quando se encontram
Restante: interações e 
combinações para formar 
emaranhados de 
discordâncias
σ > σLE
Subestrutura de 
Discordâncias
Condições de 
deformação 
(temperatura, taxa 
de deformação, 
quantidade de 
deformação)
Estrutura 
cristalina
Energia de falha de 
empilhamento
do metal ou liga
Subestrutura de 
Discordâncias
Comportamento do metal 
sob deformação
Propriedades do 
metal deformado
Se a deformação plástica é enormemente facilitada por meio da movimentação de
discordâncias, duas possibilidades decorrem imediatamente para aumentar a
resistência mecânica de um material:
Aumento da 
resistência 
mecânica
Dificultar o movimento 
das discordâncias: 
mecanismos de 
endurecimento
Projeto de 
ligas
Tratamentos 
termomecânicos
Reduzir drasticamente 
a densidade de 
discordâncias
Whiskers
┴ Introdução histórica
┴ Definição de discordâncias
┴ Classificação
┴ O vetor de Burgers
┴ Movimento de discordâncias
┴ Origem das discordâncias
┴ Observação das discordâncias
┴ Tensão de Peierls-Nabarro
┴ Força exercida sobre uma discordância
┴ Tensão de linha de uma discordância
┴ Redes de Frank 
┴ Densidade de discordâncias
┴ Campo de tensões em torno de discordâncias┴ Energia da discordância
┴ Reações entre discordâncias
┴ Campo de forças entre discordâncias
┴ Deslizamento cruzado
┴ Escalada 
┴ Interseção de discordâncias
┴ Fonte de Frank-Read
┴ Velocidade de discordâncias
┴ Discordâncias nas estruturas CFC, HC e CCC
Origem das discordâncias
a. Discordâncias provenientes de abaixamento de temperatura
b. Discordâncias provenientes da conformação mecânica
Discordâncias provenientes de abaixamento de temperatura:
a) Defeitos presentes em “sementes nucleadoras”
b) Nucleação acidental:
i. Tensões internas geradas por impurezas ou contração térmica
ii. Coalescimento de dendritas
iii. Colapso de lacunas, para resfriamento bem rápido
iv. Crescimento epitaxial de deposição em substratos
Representação esquemática da
formação de uma discordância a
partir de uma partícula. A
nucleação da discordância resulta
da tensão produzida ao redor da
partícula, por contração diferente
entre a matriz e a partícula
durante o resfriamento.
Aneis prismáticos de
discordâncias produzidos em um
monocristal de cloreto de prata,
para relaxar o campo de
deformação criado ao redor de
uma pequena esfera de vidro,
causado por contração diferencial
durante o resfriamento do
material. Mitchell (1958).
Representação esquemática da formação de discordâncias a partir da nucleação de grãos durante a solidificação.
Anéis de lacunas formados em uma amostra de níquel, aquecida a
660oC por 10 mim, e temperada em nitrogênio líquido.
Crescimento epitaxial de filmes finos.
Discordâncias provenientes da deformação plástica dos materiais:
a) Nucleação homogênea:
Deformação convencional
Ondas de choque
b) Nucleação heterogênea:
i. Fontes de Frank-Read
ii. Deslizamento cruzado múltiplo
iii. Escalada
iv. Contornos de grãos
Nucleação homogênea de discordâncias através de deformação convencional.
Nucleação homogênea de discordâncias,
a partir de carregamento por choque.
Distribuição uniforme de discordâncias em
níquel carregado por choque, 15GPa, 2s, 77K.
(a) Cobre puro e (b) Cobre-2%Alumínio comprimidos por choque a laser com uma
pressão inicial de 40GPa em um pulso de 3ns. A diferença de subestrutura de
discordâncias está relacionada com a energia de falha de empilhamento, elevada no
primeiro caso e baixa no segundo caso.
Representação esquemática do
movimento de discordância na
fonte de Frank-Read. O
deslizamento ocorreu na área
hachurada.
Fonte de Frank-Read em uma amostra de silício. 
Dash (1957).
Fonte de Frank-Read em uma amostra de alumínio.
Crescimento lateral de bandas de
deslizamento em um monocristal de
fluoreto de lítio. As discordâncias são
observadas pela técnica de “etch pit”.
Gilman e Johnston (1962).
Sequência de eventos para o
deslizamento cruzado em um metal
CFC.
Anéis concêntricos formados a partir de uma fonte de escalada em uma
liga de Al-13,5%Mg temperada a partir de 550oC. Smallman et alli, 1962.
Emissão de discordâncias a partir de um contorno de grão.
┴ Introdução histórica
┴ Definição de discordâncias
┴ Classificação
┴ O vetor de Burgers
┴ Movimento de discordâncias
┴ Origem das discordâncias
┴ Observação das discordâncias
┴ Tensão de Peierls-Nabarro
┴ Força exercida sobre uma discordância
┴ Tensão de linha de uma discordância
┴ Redes de Frank 
┴ Densidade de discordâncias
┴ Campo de tensões em torno de discordâncias
┴ Energia da discordância
┴ Reações entre discordâncias
┴ Campo de forças entre discordâncias
┴ Deslizamento cruzado
┴ Escalada 
┴ Interseção de discordâncias
┴ Fonte de Frank-Read
┴ Velocidade de discordâncias
┴ Discordâncias nas estruturas CFC, HC e CCC
Observação das discordâncias
Principais técnicas:
a) Microscopia eletrônica de transmissão
b) Métodos superficiais
c) Métodos de decoração
d) Topogafia por difração de raios-X
e) Microscopia de campo iônico
f) Simulação computacional
Microscopia eletrônica de transmissão:
Trata-se da técnica mais utilizada para
observação de discordâncias e outras
descontinuidades cristalinas. Um feixe de
elétrons com energia da ordem de 100
keV deve atravessar uma amostra
bastante fina (100 a 1000 nm). A interação
resultante forma figuras de difração e uma
imagem ampliada de 102 a 106 vezes. A
imagem simplesmente revela a variação
de intensidade do feixe de elétrons
selecionado transmitido pela amostra.
Duas operações básicas dos sistemas de
formação de imagem do MET, envolvendo a
projeção (a) das figuras de difração e (b) da
imagem na tela de observação.
Formação de contraste.
Como certos planos próximos à linha da discordância
são distorcidos, podem surgir orientações fortemente
propícias para a difração de elétrons (equação de
Bragg). Com isto, a intensidade do feixe diretamente
transmitido será reduzida (e do feixe difratado será
aumentada). As discordâncias aparecerão como
linhas escuras na imagem por campo claro (ou linhas
claras na imagem por campo escuro).
O vetor g é perpendicular aos planos que difratam os
eletrons; o vetor u representa o deslocamento de
átomos provocados pelas discordâncias. Soluções
para as equações que fornecem a intensidade do
feixe eletrônico contêm um fator g ● u.
Consequentemente, condições de difração que
forneçam g ● u = 0 não produzirão contraste. Esta
situação se chama critério de invisibilidade.
Planos próximos a uma discordância em
cunha, rotacionados em relação à
orientação para a difração.
Micrografia de folha fina (200nm de
espessura) no MET mostrando dois
conjuntos paralelos de discordâncias. Cada
linha escura é produzida por uma
discordância. O diagrama esquemático
ilustra a distribuição das discordâncias na
folha fina, e demonstra que a foto acima
representa uma imagem projetada de um
arranjo tridimensional de discordâncias.
A forma real da imagem da discordância
depende das condições de difração, da
natureza das discordâncias e a sua
profundidade na folha fina. Ela pode
aparecer como uma linha única (não
necessariamente centrada na discordância
real), uma linha dupla, uma linha ondulada
ou uma linha partida. A linha também pode
estar invisível, fato que pode ser explorado
para determinação do vetor b de Burgers.
Ilustração do uso do método g ● u = 0, para
determinar o vetor de Burgers b de
discordâncias em uma amostra de Al-2%Mg.
Aqui, três diferentes vetores de difração g
foram escolhidos para produzir três diferentes
imagens do mesmo campo de visão. Ele
contém uma rede de quatro conjuntos de
linhas de discordâncias. Lindroos, 1971.
Discordâncias em uma amostra de
ferro, observadas em um MET.
Discordâncias em uma amostra de
aço inox austenítico, observadas
em um MET.
Discordâncias em uma amostra
temperada de cobre, observadas em um
MET.
Discordâncias em uma amostra
temperada de alumínio, observadas em
um MET.
Discordâncias “helicoidais” em uma
amostra temperada de Al-4%Cu,
observadas em um MET.
Discordâncias “helicoidais” geradas por
elevada condensação de lacunas em
discordâncias em hélice em uma
amostra temperada de Al-4%Cu,
observadas em um MET.
Discordâncias em uma amostra de titânio 
observada em um MET. Plichta, 1990
Discordâncias em um aço inoxidável, 
observadas em um MET. Ashby, 1980.
Aplicação do critério g ● u = 0. O efeito da mudança da condição de difração faz
com que a discordância B, que aparece em (a) desapareça em (b). Hirsch, Howie e
Whelan, 1960.
Arranjos de discordâncias produzidos por deformação plástica no ferro. (a) Células de
discordâncias formadas após 9% de deformação a 20oC. (b) Arranjo uniforme de discordâncias
formadas após 7% a -135oC.Keh e Weissmann, 1963.
Evolução da subestrutura de discordâncias em Fe-3,25%Si deformado e recozido. (a) Distribuição uniforme
de discordâncias em um cristal deformado 20%. (b) Formação de pequenos subgrãos em material
deformado e recozido por 15min a 500oC. (c) Mesma situação de (b), porém recozido por 15min a 600oC.
(d) Mesma situação de (b), porém recozido por 30min a 600oC. Hu, 1964.
Extensivas redes de discordâncias observadas em ferro CCC. Dadian e Talbot-Besnard.
Discordâncias em uma partícula de ouro, observadas em um MET
de elevada resolução.
Discordâncias em (a) níquel, (b) 
titânio e (c) silício, observadas em um 
MET.
Discordâncias em (a) Al2O3 e (b) TiC, observadas em um MET.
Métodos superficiais:
Se um cristal contendo discordâncias for submetido a um ambiente que remove
átomos de sua superfície, a taxa de remoção de átomos ao redor do ponto onde as
discordâncias emergem na superfície deve ser diferente da taxa relativa à matriz.
Como consequência, “pites” serão formados nestes locais.
Formação de “etch pits” no
local onde uma discordância
emerge na superfície.
Principais técnicas:
i. Ataque químico e 
eletroquímico;
ii. Ataque térmico 
(evaporação);
iii.Ataque por 
bombardeamento 
iônico.
“Etch pits” produzidos na superfície de
um monocristal de tungstênio
(Schadler e Low).
“Etch pits” formados no contorno de grão entre dois grãos
de germânio (Vogel et alli, 1953). Este foi o primeiro
trabalho realizado para confirmar a correspondência entre
as discordâncias e os “etch pits”. (Vogel et al., 1953).
Discordâncias observadas pela técnica
de “etch-pits” em uma amostra de LiF, e
contornos de sub-grãos. Johnson e
Gilman, 1957.
“Etch pits” produzidos na superfície de um monocristal de fluoreto de lítio (Gilman e Johnston, 1957). O
cristal foi atacado três vezes, para se estudar o movimento das discordâncias em função de uma tensão
aplicada.
Marcas de deslizamento (A) e arranjos de “etch pits” (B) produzidos na superfície de uma amostra de ouro
(Hashimoto, Miura e Kubo, 1976). A amostra foi levemente deformada.
Empilhamento de discordâncias em um contorno de grão (ou discordâncias sendo emitidas por um contorno
de grão?) em uma amostra de cobre observada pela técnica de etch-pits.
Uma lâmina monocristalina de KCl examinado em um microscópio ótico. Partículas de prata
precipitaram em discordâncias, que se apresentam aqui na forma de uma rede. Amelinckx, 1958.
Métodos de decoração:
Discordâncias em uma lâmina cristalina são transparentes à luz visível e à luz
infravermelha, não sendo portanto visíveis quando iluminadas com esta radiação.
Por outo lado, é possível “decorar” as discordâncias, forçando a precipitação ao
longo destas descontinuidades. A posição das discordâncias será então revelada
pelo espalhamento da luz nos precipitados, podendo ser observadas em um
microscópio ótico.
Arranjo hexagonal de discordâncias em uma
amostra de NaCl decorada com prata.
Amelinckx, 1947.
Precipitação de carboneto de molibdênio
em discordâncias de um aço ferrítico.
Irani, 1964.
Topografia por difração de raios-X:
Esta técnica é também chamada de método de Berg-Barrett (1945), e utiliza princípios
semelhantes à microscopia eletrônica.
A amostra é colocada em um dispositivo móvel, e orientada com relação ao feixe de raios-X
de tal sorte que um conjunto de planos cristalográficos que obedeçam a equação de Bragg
vai provocar difração. O feixe refletido é então examinado em uma tela contendo um filme
sensível aos raios-X, colocada bem próxima da amostra.
Como no caso da difração de elétrons, qualquer distorção da rede causada pela presença de
discordâncias resulta numa mudança das condições de reflexão, e os raios-X serão
espalhados diferentemente nesta região. A diferença na intensidade dos raios-X difratados
será gravada fotograficamente.
Uma vez que a penetração de raios-X é maior do que a penetração de elétrons, esta técnica
tem a vantagem de poder utilizar amostras mais espessas.
Esquema mostrando uma amostra montada
em um goniômetro, em posição para o
método de Berg-Barrett.
Topografia por difração de raios-X mostrando discordâncias em um monocristal de silício.
Nenhuma ampliação da topografia é obtida, mas com a posterior utilização de emulsões
fotográficas, aumentos de até 500X podem ser conseguidos. Jenkinson e Lang, 1962.
Topografia por difração de raios-X mostrando anéis de discordâncias em um monocristal de
magnésio. g = 0110. Vale e Smallmann, 1977.
(a) LiF observado no MO. Discordâncias cunha diagonais e discordâncias hélice horizontais.
(b) Raios-X na difração (200), discordâncias cunha. (c) Raios-X na difração (220),
discordâncias hélice. (d) Raios-X na difração (202), os dois tipos. Newkirk, 1959.
Microscopia de campo iônico:
Esta técnica possibilita aumentos de 106 vezes e resoluções de 0,2 a 0,3nm. A
amostra é um arame fino com uma das pontas polida eletroliticamente com forma
hemisférica de raio entre 100 a 300 raios atômicos. A amostra é carregada
positivamente em uma câmara de alto vácuo contendo traços de gás hélio ou
neônio. Os átomos do gás tornam-se polarizados, se aproximam e colidem com a
ponta da amostra. Eles cedem elétrons, se ionizam, e são projetados em um
anteparo fluorescente, produzindo a imagem.
Esquema de um microscópio de
campo iônico.
Colisão de átomo de gás polarizado e emissão de
íon de gás a partir da ponta da amostra.
Imagem de campo iônico de um contorno de grão na ponta de uma agulha de
tungstênio. Cada spot brilhante representa um átomo de tungstênio. 1967.
Discordância hélice em uma amostra de
tungstênio observada em um microscópio
de campo iônico. Inal, 1990.
Interseção de discordâncias na superfície
de uma amostra de platina observada em
um microscópio de campo iônico.
10.000.000 X. Muller, 1962.
Simulação computacional:
O potencial dos computadores tem sido explorado em duas áreas particulares
relacionadas com a estrutura atômica e com a morfologia de discordâncias.
Na primeira situação, os computadores auxiliam alguma técnica experimental bem
conhecida, como a microscopia eletrônica de transmissão.
Na segunda situação, os computadores são empregados para modelar o
comportamento atômico dos cristais, e promover informações que não são obtidas
por investigação experimental.
(a) Posições atômicas em um plano (112)
perpendicular a uma discordância em
cunha situada na direção [112], com
vetor de Burgers ½[110] em um cristal
de cobre. A discordância se dissociou
em duas parciais de Shockley nas
posições mostradas. Os deslocamentos
atômicos tanto dentro como fora do
plano da figura são indicados por
pequenos ou grandes círculos,
respectivamente.
(b) O plano (112) visto com certa
inclinação, para mostrar mais
claramente as componentes cunha e
hélice das parciais.
Imagem real e imagem obtida por simulação computacional de anéis de lacunas
produzidas por severo bombardeamento iônico de rutênio. O vetor de difração é
g , os anéis α e β possuem o vetor de Burgers b e a normal n aos anéis.
Tetraedro de falha de empilhamento em cobre
irradiado. (a) Átomos em dois planos {111}
através de um tetraedro na simulação
computacional. (b) Imagem experimental e (c)
simulada , mostrando a orientação do defeito.
Schaublin et alli, 1998.
(a) Estrutura atômica obtida por simulação
computacional da estrutura de uma
discordância maclada em um contorno de
macla (1012) em titânio HC. As células
unitárias são mostradas e a posição do
contorno é indicada por uma linha
tacejada. A discordância maclada, definida
pelos vetores da rede tλ e tμ , tem um vetor
de Burgers muito pequeno,mas requer um
deslocamento de átomos nas camadas
marcadas com um S. Bacon e Serra
(1994). (b) Imagem experimental no MET
de um contorno em titânio contendo uma
discordância maclada. A linha tracejada
mostra a localização da interface, e os
pontos negros indicam as posições de
alguns átomos próximos da interface.
Serra et alli (1996).
Arranjos de discordâncias em uma simulação de ensaio de tração com uma
amostra de monocristal de molibdênio, situação inicial e após 3% de
deformação. Bulatov e Cai, 2006.
┴ Introdução histórica
┴ Definição de discordâncias
┴ Classificação
┴ O vetor de Burgers
┴ Movimento de discordâncias
┴ Origem das discordâncias
┴ Observação das discordâncias
┴ Tensão de Peierls-Nabarro
┴ Força exercida sobre uma discordância
┴ Tensão de linha de uma discordância
┴ Redes de Frank 
┴ Densidade de discordâncias
┴ Campo de tensões em torno de discordâncias
┴ Energia da discordância
┴ Reações entre discordâncias
┴ Campo de forças entre discordâncias
┴ Deslizamento cruzado
┴ Escalada 
┴ Interseção de discordâncias
┴ Fonte de Frank-Read
┴ Velocidade de discordâncias
┴ Discordâncias nas estruturas CFC, HC e CCC
Tensão de Peierls-Nabarro
A tensão de Peierls-Nabarro representa
a resistência que a rede cristalina
oferece ao movimento de uma
discordância.
A figura ao lado mostra a tensão que
precisa ser aplicada a uma
discordância em cunha para fazê-la
mover uma distância b. Quando o
plano extra se move de sua posição de
equilíbrio (para a direita ou para a
esquerda), precisa-se vencer uma
barreira. A diferença na energia entre a
posição de equilíbrio (ponto tracejado)
e a posição mais instável é chamada de
energia de Peierls-Nabarro, e a tensão
requerida para vencer esta barreira de
energia é a tensão de Peierls-Nabarro.
(a) Movimento da discordância for a de sua posição de
equilíbrio.
(b) Variação da tensão de Peierls-Nabarro com a distância.
A discordância não avança de forma simultânea ao longo de seu comprimento
inteiro. Por outro lado, forma-se um pequeno par de degraus, por intermédio
do que se conhece como mecanismo de Seeger.
O par de degraus se move ao longo do comprimento da discordância (as duas
partes se movem em direções opostas), e quando cobrem o comprimento
inteiro então a discordância avança a distância b, seu vetor de Burgers.
A velocidade do movimento da discordância vd se relaciona com a velocidade
dos degraus vk pela seguinte equação:
vd = vk (b/L)
(a) Ultrapassagem da barreira de Peierls-Nabarro
pelo mecanismo de Seeger do par de degraus.
(b) Discordância com dois degraus.
(c) Degraus se movendo com a velocidade vk.
O processo de movimento de uma discordância na rede cristalina perfeita
pode ser encarado como uma transição de estados de energia.
Núcleo da 
discordância
Para minimizar a energia do processo, o material deslizado “crescerá” às custas
da região não deslizada, através do avanço de uma região interfacial, que é uma
discordância com núcleo de largura w.


















b
aG
b
wG
NP
)1(
2
exp
1
22
exp
1
2





w P-N
Metais: w é grande
Cerâmicos: w é pequeno
Relação a/b : planos densos e direções densas
fornecem menor valor para P-N.
A relação de Peierls-Nabarro representa a
resistência que uma rede perfeita oferece a uma
discordância retilínea.
A força necessária para movimentar uma discordância através da rede cristalina
está relacionada com a largura do núcleo da discordância através da relação de
Peierls-Nabarro (1940/1947):
A tensão τP-N também é conhecida como tensão de fricção da rede. Sua
magnitude é relativamente pequena para metais puros.
A largura w do núcleo da discordância representa a distância sobre a qual a rede é
distorcida. A equação prevê que para um núcleo de discordância muito estreito a
tensão de fricção será elevada; para um núcleo bem largo a tensão será pequena.
Considerações teóricas indicam que a largura w pode ser estimada pelas
seguintes relações:
onde dhkl é o espaçamento interplanar dos planos de deslizamento.
As equações anteriores preveem corretamente que o deslizamento é favorecido
para planos com elevado espaçamento dhkl e pequeno vetor de Burgers, isto é,
planos e direções com maior densidade atômica.
Seja, por exemplo, o caso do ferro. As expressões anteriores não são
rigorosamente válidas, porque no Fe-γ as discordâncias estão dissociadas, e no
Fe-α as discordâncias em hélice possuem uma estrutura não planar complexa em
seu núcleo.
Entretanto, as seguintes conclusões qualitativas baseadas nas equações anteriores
podem ser feitas:
a) Discordâncias em cunha no ferro, que geralmente possuem uma estrutura
mais larga no seu núcleo, tenderão a ser mais móveis do que discordâncias
em hélice, que possuem uma estrutura mais estreita no seu núcleo.
b) τP-N será menor para Fe-γ (CFC) do que para Fe-α (CCC), devido ao
espaçamento interplanar dhkl levemente maior para os planos de
deslizamento na estrutura CFC (0,208nm versus 0,204nm).
Variação da tensão limite de escoamento com (a) a temperatura e com a (b) taxa
de deformação para cristais com estrutura (i) CFC, (ii) CCC, (iii) ligação iônica, (iv)
ligação covalente.
┴ Introdução histórica
┴ Definição de discordâncias
┴ Classificação
┴ O vetor de Burgers
┴ Movimento de discordâncias
┴ Origem das discordâncias
┴ Observação das discordâncias
┴ Tensão de Peierls-Nabarro
┴ Força exercida sobre uma discordância
┴ Tensão de linha de uma discordância
┴ Redes de Frank 
┴ Densidade de discordâncias
┴ Campo de tensões em torno de discordâncias
┴ Energia da discordância
┴ Reações entre discordâncias
┴ Campo de forças entre discordâncias
┴ Deslizamento cruzado
┴ Escalada 
┴ Interseção de discordâncias
┴ Fonte de Frank-Read
┴ Velocidade de discordâncias
┴ Discordâncias nas estruturas CFC, HC e CCC
Força exercida sobre 
uma discordância
Seja um cristal de espessura unitária (e = 1), submetido a um cisalhamento
absoluto b, que corresponde ao vetor de Burgers de uma discordância.
Seja F a força por unidade de comprimento da discordância, necessária para
promover este deslizamento irreversível.
Para deslocar uma unidade de comprimento de discordância, da face A para a
face B, o trabalho será igual a F.L .
A força exercida no plano de
deslizamento é igual a  . L (tensão
cisalhante multiplicada pela área do
plano de deslizamento), e promove
um cisalhamento absoluto b .
O trabalho, que é igual a .L.b ,
deve ser igual ao trabalho
necessário para deslocar a
discordância.
Conclusão (Mott e Nabarro, 1948):
A força F é, portanto, a força que se deve exercer sobre uma discordância por
unidade de comprimento de discordância, para a promoção do cisalhamento do
cristal.
bFbLLF  
┴ Introdução histórica
┴ Definição de discordâncias
┴ Classificação
┴ O vetor de Burgers
┴ Movimento de discordâncias
┴ Origem das discordâncias
┴ Observação das discordâncias
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Tensão de linha de uma discordância
Toda discordância possui uma elevada energia de deformação elástica por
unidade de comprimento de sua linha.
A energia de deformação de uma discordância é a energia necessária para
deslocar os átomossituados na vizinhança da linha da discordância, em relação à
sua posição teórica de equilíbrio na rede cristalina perfeita.
No sentido de manter a energia total do cristal a mais baixa possível, a
discordância tende a encurtar o seu comprimento, sempre que possível, por
deslizamento ou escalada. Surge então uma tensão de linha, que age no sentido
de tornar a discordância mais retilínea, para reduzir o seu comprimento.
Em primeira aproximação, a tensão de linha T de uma discordância com raio de
curvatura R e núcleo ro é igual à sua energia de deformação elástica por unidade
de comprimento (Nabarro, 1952):
┴ Introdução histórica
┴ Definição de discordâncias
┴ Classificação
┴ O vetor de Burgers
┴ Movimento de discordâncias
┴ Origem das discordâncias
┴ Observação das discordâncias
┴ Tensão de Peierls-Nabarro
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Redes de discordâncias
Em cristais recozidos, as discordâncias
formam uma rede tridimensional,
chamada de rede de Frank.
A quantidade de discordâncias
presentes por unidade de volume do
cristal é a densidade de discordâncias ,
caracterizada pelo comprimento total de
discordâncias por unidade de volume.
Redes de discordâncias
Mesmo os cristais mais perfeitos
possuem uma densidade  entre 102 e
103 cm/cm3. Em geral, a maioria dos
cristais metálicos não deformados
contêm entre 106 e 107 cm/cm3,
enquanto aqueles severamente
deformados contêm entre 1011 e 1012
cm/cm3.
Rede de discordâncias em uma amostra de ferro normalizado. MET, 50.000X.
McLean, 1960.
Rede de discordâncias em uma amostra de diboreto de titânio. MET.
Hoke e Gray.
Um exemplo típico de redes bidimensionais de discordâncias é observado em
contornos de grão de baixo ângulo e em sub-grãos. Estas redes são
freqüentemente formadas durante o recozimento de metais trabalhados a frio.
Sub-grãos formados em amostra de alumínio.
Os diversos segmentos de discordâncias convergem para pontos chamados de
nós. Considerando l a distância média entre os nós, esta distância se relaciona
com a densidade  pela relação:

1
l
Uma característica básica dos nós é que a soma dos vetores de Burgers
correspondentes é nula:
0
1

n
ib
Considere uma discordância b1, que se dissocia em
duas discordâncias b2 e b3. Um circuito de Burgers foi
desenhado ao redor de cada discordância, seguindo do
diagrama que b1 =b2 + b3.
O circuito maior à direita engloba duas discordâncias,
mas como ele passa através do mesmo material que o
circuito menor à esquerda, o vetor de Burgers precisa
ser o mesmo. Daí, tem-se b1 + b2 + b3 =0.
Os nós da rede de Frank constituem pontos de ancoragem das linhas de
discordâncias. Como conseqüência, quando o cristal está submetido a uma
tensão, os segmentos de discordâncias tendem a se curvar, mas permanecem
fixos nos pontos de ancoragem. Pode-se então calcular a tensão cisalhante
necessária para curvar um segmento de discordâncias. Para tal, usa-se o
conceito de tensão de linha da discordância.
Considera-se uma discordância curva, com um
raio de curvatura igual a R. A tensão de linha
T se opõe a esta curvatura, produzindo uma
força perpendicular à discordância e
apontando para o centro de curvatura.
A discordância somente se manterá curva se
uma tensão cisalhante  desenvolver uma
força igual e oposta à tensão de linha.
R
bG
Rb
T
2

Equilíbrio estático de um segmento L de discordância imobilizado por dois
obstáculos e dobrado na forma de um arco de raio R sob influência da tensão
cisalhante τ. A força τ.b atuando no segmento de discordância é equilibrada pela
tensão de linha T da discordância.
Na realidade, a expressão para a tensão  cisalhante capaz de movimentar uma
discordância através de obstáculos deve ser acrescida de um termo 0 , chamado
de tensão de fricção da rede cristalina.
A tensão 0 corresponde ao cisalhamento necessário para vencer a resistência
intrínsica da rede cristalina ao deslocamento da discordância.
Esta tensão depende da natureza e da intensidade das ligações atômicas, assim
como de sua estrutura cristalina. Trata-se da tensão de Peierls-Nabarro.
Quanto mais intensas e direcionais forem as ligações atômicas, maior será a
resistência intrínsica da rede cristalina. Para os metais, a tensão de fricção será
mais elevada para estruturas CCC do que para estruturas mais compactas – CFC e
HC.
R
bG
2
0  
┴ Introdução histórica
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┴ Velocidade de discordâncias
┴ Discordâncias nas estruturas CFC, HC e CCC
Densidade de discordâncias
A tensão cisalhante necessária para que o limite de escoamento de um
monocristal seja atingido (ou seja, a tensão para movimentar discordâncias na
rede de Frank) é dada pela equação abaixo, onde R = l / 2 (l é a distância média
entre nós da rede):
R
bG
2
0  
Quando as discordâncias entram em movimento, se multiplicam e varrem os
planos de deslizamento, elas se cruzam e sua densidade  aumenta.
Conseqüentemente, a distância l, que é inversamente proporcional a , diminui,
devendo-se aplicar uma tensão  mais elevada para que a deformação plástica
prossiga. Este fenômeno se chama encruamento.
O raciocínio também é válido para policristais.
Aumento da densidade de discordâncias com o aumento da deformação.
Multiplicação de discordâncias durante a deformação plástica, superliga Hastelloy.
a) Material recozido;
b) Material deformado 5%;
c) Material deformado 15%.
Equação geral que descreve o encruamento:   0
Desenvolvimento de 
subestruturas de 
discordâncias em 
uma amostra de 
ferro, em função da 
deformação plástica 
por laminação a frio. 
a) 5% de redução.
b) 9% de redução.
c) 16% de redução.
d) 70% de redução.
Desenvolvimento de subestruturas de discordâncias em uma amostra de níquel,
em função da deformação plástica a 77K. O aumento da deformação, mesmo
nesta baixíssima temperatura, leva a uma tendência para a formação de células de
discordâncias. Longo e Reed-Hill (1970).
Variação do limite de escoamento com a densidade de discordâncias
para amostras de titânio deformadas na temperatura ambiente e
numa taxa de 10-4s-1. Jones e Conrad, 1969.
 = o + k 
1/2
 = o + k 
1/2
Variação da tensão de cisalhamento resolvida com a densidade de
discordâncias para amostras de cobre. Rall, Courtney e Wulff, 1976.
Relação entre densidade média de discordâncias e tensão limite de
escoamento para uma amosta de ferro.
 = o + Gb
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┴ Tensão de Peierls-Nabarro
┴ Força exercida sobre uma discordância
┴ Tensão de linha de uma discordância
┴ Redes de Frank 
┴Densidade de discordâncias
┴ Campo de tensões em torno de discordâncias
┴ Energia da discordância
┴ Reações entre discordâncias
┴ Campo de forças entre discordâncias
┴ Deslizamento cruzado
┴ Escalada 
┴ Interseção de discordâncias
┴ Fonte de Frank-Read
┴ Velocidade de discordâncias
┴ Discordâncias nas estruturas CFC, HC e CCC
Campo de tensões em torno de discordâncias
Ao observar atentamente o esquema de uma discordância pode-se constatar que os átomos
ao seu redor estão fora das suas posições de equilíbrio, ou seja, o reticulado cristalino está
distorcido. Pode-se notar também que as distorções são diferentes e dependem do tipo de
discordância. À estas distorções (deformações) pode-se associar campos elásticos de tensão,
calculados com auxílio da Teoria da Elasticidade.
Antes de analisar os campos elásticos de tensão ao redor das discordâncias, deve-se definir
uma notação para as tensões normais e cisalhantes. Para isto é conveniente considerar um
cubo unitário (uma unidade de volume), que está em equilíbrio sob ação de um estado
tridimensional de tensões. A figura ao lado apresenta um cubo unitário submetido ao estado
de tensões mencionado.
Discordância hélice
Discordância cunha
xx
yy
zz
xy
Linhas de isotensão para uma discordância em cunha.
┴ Introdução histórica
┴ Definição de discordâncias
┴ Classificação
┴ O vetor de Burgers
┴ Movimento de discordâncias
┴ Origem das discordâncias
┴ Observação das discordâncias
┴ Tensão de Peierls-Nabarro
┴ Força exercida sobre uma discordância
┴ Tensão de linha de uma discordância
┴ Redes de Frank 
┴ Densidade de discordâncias
┴ Campo de tensões em torno de discordâncias
┴ Energia da discordância
┴ Reações entre discordâncias
┴ Campo de forças entre discordâncias
┴ Deslizamento cruzado
┴ Escalada 
┴ Interseção de discordâncias
┴ Fonte de Frank-Read
┴ Velocidade de discordâncias
┴ Discordâncias nas estruturas CFC, HC e CCC
Energia da discordância
A presença de uma discordância no reticulado cristalino causa um aumento da
energia interna. Esta energia tem duas parcelas: a energia do núcleo da
discordância e a energia elástica.
Pode-se notar nas figuras relacionadas com os campos de tensões a presença de um
raio r0, o qual delimita o núcleo da discordância. Dentro do núcleo, as deformações
do reticulado são muito grandes, impossibilitando o uso da teoria da elasticidade,
pois as deformações elásticas nos sólidos cristalinos são em geral bem menores
que 1%. Fora do núcleo, isto é, fora de r0 pode-se calcular a energia da
discordância com auxílio da teoria da elasticidade.
Dentro do núcleo, o cálculo da energia é extremamente complexo. Por outro lado,
pode-se confirmar experimentalmente que a energia do núcleo da discordância
representa menos de 5% do valor total.
Energia de uma discordância hélice:
Energia de uma discordância cunha:
Energia de uma discordância mista:
Energia total: UT = Unúcleo + Uperiferia
Energia do núcleo da discordância:









o
h
r
rbG
U ln
4
2

  









o
c
r
rbG
U ln
14
2

 
  









o
m
r
rbG
U lncos1
14
2
2

10
2bG
U núcleo 
ro ≈ 5b
Tensão no núcleo de uma discordância.
Energia de uma discordância curva.
Exemplo: discordância cunha.
    


















oo
c
r
RbG
r
rbG
U 1
22
ln
14
ln
14 
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Reações entre discordâncias
Em seguida, neste e nos próximos itens, trataremos de vários tipos de
interação entre discordâncias. Um tipo muito freqüente é a reação
entre discordâncias.
Por exemplo, duas discordâncias podem reagir entre si e formar uma
única discordância ou uma única discordância pode se decompor em
duas outras.
Para que uma reação ocorra duas condições devem ser satisfeitas:
 a reação deve estar vetorialmente correta;
 ela deve ser energeticamente favorável.
Considere, por exemplo, a reação entre duas discordâncias do tipo
a/2<111> que se movimentam em planos de deslizamentos não
paralelos, mas ambos do tipo {110}, de um cristal CCC:
Você pode verificar que a reação, representada pela soma vetorial
dos seus vetores de Burgers, está vetorialmente correta. Resta saber
se ela é energeticamente favorável.
Vimos no item anterior que a energia de uma discordância é
proporcional ao quadrado do seu vetor de Burgers. Portanto, a
segunda condição para que a reação ocorra é:
Como se vê, a reação leva à uma diminuição de energia e realmente
tende a ocorrer.
Numerosas reações entre discordâncias são possíveis e algumas
delas serão discutidas em itens posteriores deste capítulo.
┴ Introdução histórica
┴ Definição de discordâncias
┴ Classificação
┴ O vetor de Burgers
┴ Movimento de discordâncias
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Campo de forças entre discordâncias
Considerando que as discordâncias possuem seu próprio campo interno de
tensões, deve-se esperar que, quando duas discordâncias se aproximam uma da
outra, alguma interação deva ocorrer.
Os casos mais simples são de duas discordâncias em cunha e em hélice,
situados em planos de deslizamento paralelos.
Interação entre (A) duas discordâncias em cunha paralelas e (B) duas discordâncias em hélice paralelas.
Para o caso de discordâncias em cunha paralelas, assume-se que a linha das
discordâncias está orientada segundo o eixo OZ e que o plano de deslizamento
é XZ. A força exercida entre as duas discordâncias possui as componentes Fx e
Fy, respectivamente paralelas aos eixos OX e OY.
Para o caso de discordâncias em hélice paralelas, assume-se que os dois vetores
de Burgers são paralelos ao eixo OZ. Como no caso anterior, existem duas
componentes Fx e Fy.
 
 
 222
222
12 yx
yxxbG
Fx



   
 
 222
222 3
12 yx
yxybG
Fy



 
 22
2
2 yx
xbG
Fx


  22
2
2 yx
ybG
Fy



Pode-se mostrar que duas discordâncias em hélice paralelas sempre se repelem
uma em relação à outra quando os vetores de Burgers de ambas discordâncias
possuem o mesmo sinal, e sempre se atraem para vetores de Burgers de sinais
opostos. Em qualquer um dos casos, a magnitude da força é inversamente
proporcional à distância entre as duas discordâncias.
Por outro lado, a força que atua entre duas discordâncias em cunha apresenta
uma reversão de sinal, quando a distância horizontal x entre as duas
discordâncias torna-se menor do que a distância vertical y entre os planos dedeslizamento. Observa-se que as discordâncias de mesmo sinal se repelem para
x > y ( < 450) e se atraem para x < y ( > 450) , o inverso ocorrendo para
discordâncias de sinais opostos.
Fx é igual a zero para x = 0 e x = y. A situação x = 0, onde as discordâncias
estão situadas uma sobre a outra, é uma condição de equilíbrio: trata-se da
situação encontrada para arranjos de discordâncias em contornos de grãos de
pequeno ângulo (sub-grãos).
Variação de Fx com a distância x, onde x é expresso em unidades de y, entre duas discordâncias cunha.
(A) de mesmo sinal. (B) de sinais opostos.

T
T
x
y
Arranjos de discordâncias em
cunha com vetor de Burgers
paralelos:
(a)De mesmo sinal e contidas
no mesmo plano;
(b)De sinais opostos e contidas
no mesmo plano;
(c)De sinais opostos e contidas
em planos paralelos;
(d)Combinação das duas
discordâncias de (c),
deixando uma fileira de
lacunas.
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┴ Interseção de discordâncias
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Deslizamento 
cruzado
Movimento de uma discordância hélice durante o deslizamento cruzado.
Inicialmente, a discordância move-se em um plano vertical. Em seguida, ela muda
de plano, passando a se movimentar em um plano horizontal.
Deslizamento cruzado de uma discordância hélice XY de um plano (a) para um
plano (b) e para um plano (c). O deslizamento sempre ocorre na direção do vetor de
Burgers b.
Representação esquemática do deslizamento cruzado em um cristal.
Representação esquemática do deslizamento
cruzado em um metal hexagonal compacto.
Deslizamento cruzado em uma amostra de
magnésio. Reed-Hill e Robertson, 1957.
Deslizamento cruzado em uma amostra de alumínio. Cahn, 1950.
Representações esquemáticas 
do deslizamento cruzado e do 
deslizamento cruzado duplo.
Representação esquemática do
deslizamento cruzado duplo. Este
mecanismo foi sugerido por Koehler
(1952) e modificado por Low e
Guard (1959).
Durante o processo de deslizamento
cruzado, uma discordância em hélice
pode gerar adicionais fontes de
Frank-Read.
Pode-se ver na figura ao lado que um
segmento de discordância em hélice
deslizou duas vezes para reassumir o
movimento em um plano paralelo ao
plano de deslizamento original. Note
os anéis de discordâncias adicionais
que podem ser gerados neste
processo.
Deslizamento cruzado em uma amostra de LiF. As bandas foram formadas
a -196oC e 0,36% de deformação. Gilman e Johnson, 1959.
Deslizamento cruzado na superfície polida de uma amostra de Fe-3,25%Si. 
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Escalada
Escalada: processo termicamente ativado de movimento de discordâncias em
cunha na direção perpendicular ao plano de deslizamento (não conservativo).
Escalada de uma discordância cunha em um cristal.
Escalada de uma discordância envolvendo difusão de lacunas (☐) para uma
discordância em cunha: a discordância sai do plano A e vai para o plano B.
Observe que apenas as posições atômicas () do plano extra acima da linha
da discordância são representados.
Formação de degraus ao longo da linha de discordância:
nj : número de degraus por comprimento da discordância
no: número de nós por comprimento da discordância
Uj : energia de ativação necessária para nuclear um degrau
k : constante de Boltzmann
T : temperatura
: constante (aprox. 0,2)
G : módulo de cisalhamento
b1 : vetor de Burgers da discordância
b2 : comprimento do degrau







Tk
U
nn
j
oj exp
2
2
1 bbGU j 
Escalada positiva da discordância cunha. Neste caso, uma lacuna foi aniquilada.
Escalada negativa da discordância cunha. Neste caso, uma lacuna foi criada.
A existência de uma tensão compressiva na direção de
deslizamento causa uma força na direção da escalada positiva.
Similarmente, uma tensão trativa perpendicular ao plano extra
causa uma força na direção da escalada negativa. Assim, a
superposição de tensão com elevada temperatura necessária para
difusão resulta numa elevação da taxa de escalada.
Escalada não é possível com discordâncias hélice, uma vez que
neste caso não existe plano extra de átomos.
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Interseção:
degraus
Kink
Jog
Movimento de 
discordâncias
Degrau no mesmo plano.
Degrau em outro plano.
(a), (b): kink em uma discordância 
cunha e hélice.
(c), (d): jog em uma discordância 
cunha e hélice.
Os planos de deslizamento estão 
marcados em cinza.
Interseção de duas discordâncias cunha com vetores de Burgers perpendiculares.
Interseção de duas discordâncias cunha com vetores de Burgers paralelos.
(a,b) Interseção de uma
discordância cunha
com uma discordância
hélice.
(c) Interseção de duas
discordâncias hélice.
De uma maneira geral, a presença de degraus em discordâncias em cunha não afeta o posterior
movimento deste tipo de discordâncias. O mesmo não ocorre com as discordâncias em hélice.
Na figura abaixo, o plano de deslizamento do degrau é PRR’P’. Se a discordância em hélice se
deslocar no plano B’Q’P’R’ o movimento do degrau no plano PQQ’P’ não será conservativo, e
requer a ocorrência de escalada. Portanto, a mobilidade de discordâncias em hélice fica restrita.
Pode-se imaginar que durante a deformação plástica as discordâncias vão adquirindo degraus e a
sua mobilidade vai se tornando cada vez mais dificultada. Esta explicação foi proposta por Hirsch
e Mott, no início da década de 1960, para explicar o aumento da resistência de um material à
medida que ele vai sendo deformado (encruamento).
Discordância em hélice contendo um degrau em cunha.
Movimento de uma discordância em hélice
contendo degraus. (a) Discordância retilínea, na
ausência de tensão aplicada. (b) A discordância se
curva sob a ação da tensão cisalhante aplicada. (c)
Movimento da discordância e emissão de lacunas
pelos degraus.
O movimento de discordâncias em
hélice contendo degrausé um dos
mecanismos responsáveis pela geração
de lacunas (e de instersticiais) durante
a deformação plástica.
Pode-se criar e reter em baixa
temperatura este tipo de
descontinuidade por meio de
resfriamento rápido a partir de altas
temperaturas, por meio de irradiação
do cristal com partículas de alta energia
(por exemplo, nêutrons, elétrons e
íons), ou por meio de deformação
plástica.
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Fonte de Frank-Read
Representação esquemática da operação de uma fonte de Frank-Read. A
discordância é impedida de se movimentar. Para continuar o deslizamento, deve-se
elevar a tensão aplicada. A discordância vai dobrando-se, até a geração de um anel.
O plano do slide é considerado o plano de deslizamento.
A operação de uma fonte de Frank-Read consiste numa aplicação do conceito
de tensão de linha T e da tensão  para curvar uma discordância.
a) Um segmento de discordância de comprimento l está ancorado entre os
pontos P e P’.
b) Sob a ação da tensão  a discordância se curva; o seu raio de curvatura R é
superior a l / 2. Aqui vale a expressão:
R
bG
Rb
T
2

c) Uma elevação na tensão  provoca uma curvatura mais pronunciada; o raio
de curvatura R vai diminuindo, até alcançar seu valor mínimo, R = l / 2. Nesta
situação a tensão  atinge seu máximo valor:
l
bG

d) A partir deste momento, as configurações seguintes vão surgir para tensões
cisalhantes menores. Um anel será formado, a partir da anulação de
segmentos com vetores de Burgers opostos. Novos anéis serão gerados, até
que o sistema crie uma resistência à sua formação.
A fonte de Frank-Read foi proposta por estes dois pesquisadores, de forma
independente em 1950, como um mecanismo de multiplicação de discordâncias.
Um tratamento mais rigoroso fornece a seguinte expressão para a tensão
necessária para provocar o encurvamento da linha da discordância:
O raio de curvatura será mínimo quando
R = l / 2. Assim, tomando-se valores
típicos de  = 0,33 e l = 103 , tem-se a
tensão máxima para o equilíbrio local:
a) Discordância cunha:
b) Discordância hélice:
 
 















2
1lncos43
2
1
14
2
2  R bGRTb

bG
2
1


bG
2
3

Fonte de Frank-Read em uma amostra de silício.
Dash, 1957. Observe que a configuração do anel
formado não é um arco de circunferência,
porque o valor local da tensão da linha varia
com a orientação. Fonte de Frank-Read em uma amostra de alumínio.
Fonte de Frank-Read gerada a partir de
contornos de grãos. Duas fontes são visíveis
na fotografia: no ponto triplo A e no ponto B.
Ambas emitem discordâncias para o interior
do grão à esquerda. Aço inoxidável
austenítico Fe-18Cr-14Mn-0,6N.
Fonte de Frank-Read gerada a partir de encontro de
discordâncias. Uma barreira é mostrada no ponto A
da fotografia. O movimento do empilhamento de
discordâncias é obstruído por um plano de elevada
densidade de discordâncias que intercepta a
superfície da folha no traço B-B. A tensão na ponta
do empilhamento ativa a fonte de Frank-Read. As
novas discordâncias emitidas deslizam para cima e
para baixo na fotografia. Aço inoxidável
austenítico Fe-18Cr-14Mn-0,6N.
┴ Introdução histórica
┴ Definição de discordâncias
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┴ Discordâncias nas estruturas CFC, HC e CCC
Velocidade de discordâncias
Experiência de Gilman e Johnson, para determinação da velocidade de
uma discordância.






TR
Q
kv m exp
Compilação de resultados da literatura,
sobre a dependência da velocidade de
discordâncias com a tensão aplicada.
Dependência da velocidade de discordâncias
com a tensão aplicada para LiF. Johnston e
Gilman, 1959.
Dependência da velocidade de
discordâncias com a tensão aplicada
e com a temperatura para Fe-3%Si.
Stein e Low, 1960.
Cisalhamento produzido pela passagem de discordâncias paralelas.
Equação de Orowan-Taylor.
vb
bdxb
dxdxdx
dxN
dx
bN
p
l










113
321
2
3
13
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┴ Fonte de Frank-Read
┴ Velocidade de discordâncias
┴ Discordâncias nas estruturas CFC, HC e CCC
Seja um cristal CFC, obtido por meio
do empilhamento de planos de
máxima densidade atômica, do tipo
{111}, sendo que a sequência de
empilhamento é do tipo
ABCABCABC...
A passagem de uma discordância por
um plano deste tipo causa
deformação plástica e não deve
provocar alteração da estrutura
original do cristal. Este tipo de
discordância é denominada
discordância unitária ou perfeita.
Quando a estrutura original não é
mantida, a discordância é
denominada discordância parcial ou
imperfeita.
Discordância perfeita em um cristal CFC.
Discordância parcial em um cristal CFC.
Discordâncias na estrutura CFC
A passagem de uma discordância
unitária com vetor de Burgers
b1 = a/2[110] não altera a seqüência de
empilhamento. No entanto, o mesmo
resultado final pode ser obtido de
maneira mais fácil, desde que o
movimento seja feito em duas etapas,
em ziguezague. Neste caso, o
deslocamento é representado por duas
discordâncias parciais, denominadas
de parciais de Schockley, com vetores
de Burgers b2 = a/6[211] e
b3 = a/6[121], respectivamente.
O processo todo pode ser representado pela seguinte reação de discordâncias:
A decomposição de uma discordância unitária em parciais de Schockley é
representada na figura abaixo. Existe uma força de repulsão entre as parciais,
uma vez que o ângulo  entre os vetores de Burgers b2 e b3 é igual a 60
0
(conforme visto no item anterior “Força entre discordâncias”).
As parciais de Schockley se repelem com uma força:
onde
b2 . b3 é o produto escalar e
d é a distância entre as parciais
d
bb
GF
2
32 
Decomposição de uma discordância unitária em duas parciais.
Dissociação de Schockley em um plano (111) de
um cristal CFC. A falha de empilhamento é uma
descontinuidade bidimensional, e será
aprofundada no