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Intervalo de confiança para a diferença de duas médias populacionais - Resumo

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Estatística Aplicada - Resumo
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A
DIFERENÇA DE MÉDIAS
POPULACIONAIS
Populações independentes de variâncias conhecidas
Sejam
, … , 
e
, … , 
a.a’ s de populações independentes ∼ (,
) e  ∼
(,
), respectivamente, com
e
conhecidos. Sabe-se que:
Z = (
− 
)(− )
+
∼ (0,1)
Para (1 − ) fixo, encontramos um número tal que:
(− ≤  ≤ )= 1 − 
Então:
1 = P −z ≤ (
− 
)(− )
+
≤ 
= −
+
(
− 
)(− )
+

= (
− 
)− 
+
≤ −(− )≤ −(
− 
)+
+

= (
− 
)+ 
+
(− )(
− 
)
+

= (
− 
)− 
+
(− )(
− 
)+
+

Então:
, ()%=(
− 
)− 
+
, (
− 
)+
+


2
Populações independentes com variâncias desconhecidas, mas iguais
Sejam
, … , 
e
, … , 
a.a’ s de populações independentes ∼ (, ) e  ∼
(, ), respectivamente, com desconhecido. Sabemos que:
= (
− 
)(− )
1
+1
∼ ()
Onde
=()
()
 .
Dado um número (1 − ) encontramos tal que:
(− ≤  ≤ )= 1 − 
Então:
1 −  = (− ≤  ≤ )= 
− ≤ (
− 
)(− )
1
+1
≤ 
= −
1
+1
(
− 
)(− )≤ 
1
+1

= (
− 
)
+
≤ −(− )≤ −(
− 
)+ 
+

= (
− 
)+
+
(− )(
− 
)− 
+

= (
− 
)
+
(− )(
− 
)+ 
+

Então:
(), ()%=(
− 
)
+
,(
− 
)+ 
+

Populações independentes com variâncias desconhecidas e diferentes
Sejam
, … , 
e
, … , 
a.a’ s de populações independentes ∼ (,
) e  ∼
(, 
), respectivamente, com
e
desconhecidos e diferentes. Sabemos que
= (
− 
)(− )
+
∼ 

3
Onde  =
+
 − 1 +
 − 1
Dado (1 − ), escolhemos tal que:
(− ≤  ≤ )= 1 − 
Então:
1 −  = ( ≤  ≤ )= 
− (
− 
)(− )
+
≤ 
=
−
+
 ≤ (
− 
)(− )≤ 
+
=
(
− 
)− 
+
 ≤ −(− )(
− 
)+ 
+
=
(
− 
)+ 
+
 ≥ (− )(
− 
)− 
+
=
(
− 
)− 
+
≤(− )(
− 
)+ 
+
Logo:
(), ()%=(
− 
)− 
+
, (
− 
)+ 
+
Populações dependentes
Sejam
, … , 
e
, … , 
a.a’s de populações dependentes  ∼  (,
) e  ∼
(, 
), respectivamente. Temos então observações pareadas, da forma:
(
, 
),…,(
, 
).
Situações em que temos populações dependentes:
Medição do mesmo equipamento antes e depois de ajuste.