NOCOES DE ESTATISTICA

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NOÇÕES DE ESTATÍSTICA: 1 Estatística descritiva e análise exploratória de dados: gráficos, 
diagramas, tabelas, medidas descritivas (posição, dispersão, assimetria e curtose). 2 Probabilidade. 2.1 
Definições básicas e axiomas. 2.2 Probabilidade condicional e independência. 2.3 Variáveis aleatórias 
discretas e contínuas. 3 Inferência estatística. 4 Técnicas de amostragem. 4.1 Amostragem aleatória 
simples. 4.2 Amostragem estratificada. 4.3 Amostragem sistemática. 4.4 Amostragem por 
conglomerados. 
 
 
 
1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA E ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS: GRÁFICOS, 
DIAGRAMAS, TABELAS, MEDIDAS DESCRITIVAS (POSIÇÃO, DISPERSÃO, ASSIMETRIA E 
CURTOSE) 
 
Estatística Descritiva 
 
A Estatística Descritiva pode ser definida como um conjunto de técnicas destinadas a descrever e 
resumir dados, a fim de que possamos tirar conclusões a respeito de características de interesse. Em 
geral utilizamos a Estatística Descritiva na etapa inicial da análise quando tomamos contato com os 
dados pela primeira vez. Objetivando tirar conclusões de modo informal e direto, a maneira mais 
simples seria a observação dos valores colhidos. Entretanto ao depararmos com uma grande massa de 
dados percebemos, imediatamente, que a tarefa pode não ser simples.Para tentar retirar dos dados 
informações a respeito do fenômeno sob estudo, é preciso aplicar algumas técnicas que nos 
permitam simplificar a informação daquele particular conjunto de valores. A finalidade da 
Estatística Descritiva é tornar as coisas mais fáceis de entender, de relatar e discutir. 
 
A média industrial Dow-Jones, a taxa de desemprego, o custo de vida, o índice pluviométrico, a 
quilometragem média por litro de combustível, as médias de estudantes são exemplos de dados 
tratados pela Estatística Descritiva. 
 
 
Análise Exploratória 
 
A análise exploratória de dados nos fornece um extenso repertório de métodos para um estudo 
detalhado dos dados, antes de adaptá-los. Nessa abordagem, a finalidade é obter dos dados a maior 
quantidade possível de informação, que indique modelos plausíveis a serem utilizados numa fase 
posterior, a análise confirmatória de dados ou inferência estatística. 
 
 
 
 
Áreas da Estatística 
 
Se entender Estatística como a Ciência dos Dados, será de grande valia o domínio que seu corpo de 
conhecimento pode oferecer. Primeiramente, como ponto de partida, pode-se dividir a Estatística em 
duas áreas: 
 
• Descritiva 
 
• Inferencial (Indutiva) 
 
Alguns autores, como por exemplo, Marcos Nascimento Magalhães e Antonio Carlos Pedroso de 
Lima, dizem que a estatística, grosso modo, pode ser dividida em três áreas: Estatística descritiva; 
Probabilidade e Inferência estatística. 
 
Estatística Descritiva 
A Estatística Descritiva se preocupa com a organização, apresentação e sintetização de dados. Utilizam 
gráficos, tabelas e medidas descritivas como ferramentas. Utilizada na etapa inicial da análise, 
destinada a obter informações que indicam possíveis modelos a serem utilizados numa fase final que 
seria a chamada inferência estatística. Análise Exploratória de Dados - Prof. Dr. Waldir Medri 
 
Estatística Inferencial 
 A Estatística Inferencial postula um conjunto de técnicas que permitem utilizar dados oriundos de 
uma amostra para generalizações sobre a população. Constitui esse conjunto de técnicas: a 
determinação do número de observações (tamanho da amostra); o esquema de seleção das unidades 
observacionais; o cálculo das medidas estatísticas; a determinação da confiança nas estimativas; a 
significância dos testes estatísticos; a precisão das estimativas; dentre outras. Essa generalização é feita 
a partir do processo de estimação das medidas estatísticas que podem ser calculadas, porém não sem 
antes se antecipar um grau de certeza de que a amostra esteja fornecendo os dados que seriam de se 
esperar caso toda a população fosse estudada. Nesse caso, o ramo da matemática que será utilizado 
para se avaliar tal grau de certeza é a probabilidade. Com ela teremos condições de mensurar a 
fidedignidade de cada inferência feita com base na amostra. 
 
 
2. PROBABILIDADE 
 
A Probabilidade pode ser pensada como o teoria matemática utilizada para estudar a incerteza oriunda 
de fenômenos que envolvem o acaso. Jogos de dados e de cartas, ou o lançamento de uma moeda para 
o ar enquadram-se na categoria do acaso. A maioria dos jogos esportivos também é influenciada pelo 
acaso até certo ponto. A decisão de um fabricante de cola de empreender uma grande campanha de 
propaganda visando a aumentar sua participação no mercado, a decisão de parar de imunizar pessoas 
com menos de vinte anos contra determinada doença, a decisão de arriscar-se a atravessar uma rua no 
meio do quarteirão, todas utilizam a probabilidade consciente ou inconscientemente. 
 
 
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2.1 DEFINIÇÕES BÁSICAS E AXIOMAS 
 
Definições Básicas 
 
Suponha que vamos realizar um experimento cujo resultado não pode ser predito de antemão. 
Entretanto, suponha que saibamos todos os possíveis resultados de tal experimento. Este conjunto 
de todos os resultados possíveis, que denotaremos por Ω, é chamado de espaço amostral do 
experimento. Assim, temos a seguinte definição: 
 
Definição 1. O conjunto Ω de todos os resultados possíveis de um determinado ex- perimento é 
chamado de espaço amostral. 
 
Exemplo 1. Se o experimento consiste em lançar uma moeda, então Ω = {Ca, Co}, onde Ca é “cara” e 
Co é “coroa”. 
 
 
Exemplo 2. Se o experimento consiste em lançar um dado e observar a face superior, então Ω = {1, 
2, 3, 4, 5, 6}. 
 
Exemplo 3. Se o experimento consiste em lançar duas moedas, então Ω = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, 
Ca), (Co, Co)}, onde o resultado (a, b) ocorre se a face da primeira moeda é a e a face da segunda 
moeda é b. 
 
Exemplo 4. Se o experimento consiste em lançar dois dados e observar as faces superiores, então 
 
 
onde o resultado (i, j) ocorre se a face i aparece no primeiro dado e a face j no segundo 
dado. 
 
Exemplo 5. Se o experimento consiste em medir a vida útil de um carro, então um possível espaço 
amostral consiste de todos os números reais não-negativos, isto é, Ω = [0; ∞). 
 
 
 
 
 
 
Definição e Propriedades das Probabilidades 
 
Há várias interpretações da probabilidade. Discutiremos as três mais correntes: 
 
Clássica: Baseia-se no conceito de equiprobabilidade, ou seja, de resultados equiprováveis. 
 
 
 
 
Freqüentista: Baseia-se na freqüência relativa de um ”número grande” de realizações do 
experimento. Seja A um evento, então 
 
 
 
 
 
 
Subjetiva: Baseia-se em crenças e/ou informações do observador a respeito do fenômeno em estudo. 
Por exemplo, seja o evento C “chove em Moscou”. 
 
 
 
Não nos preocuparemos com o problema de como definir probabilidade para cada experimento. 
Assentaremos a base axiomática da teoria das probabilidades tal como foi erigida pelo matemático 
russo Kolmogorov, responsável pela base matemática solida da teoria. 
 
 
 
AXIOMAS DA PROBABILIDADE 
Requisitos básicos 
Para que se possa ter um conceito de probabilidade que seja isento de circularidade e independente de 
simetria é preciso que se adote uma construção matemática cuidadosa. Desse modo, é preciso definir 
uma série de conceitos básicos a partir dos quais se possa enunciar, de modo claro e sem 
ambigüidades, o que vem a ser a probabilidade de um evento. 
Os conceitos básicos a partir dos quais se constrói a definição de probabilidade são conhecidos como 
os axiomas da probabilidade, sendo o seu conhecimento importante não apenas para o entendimento 
dessa definição, mas também para compreender claramente as condições necessárias à sua aplicação. 
 
 
Conceitos Básicos: 
Experimento Aleatório 
Um experimento podeser pensado como um teste para se demonstrar uma afirmativa, para examinar 
a validade de uma hipótese, ou para se determinar a eficácia de alguma coisa nunca tentada 
previamente. A conduta de um tal teste constitui um experimento. Um bom exemplo de experimento 
é o ato de jogar uma moeda sobre uma superfície plana e anotar o resultado (cara ou coroa), assim 
como o lançamento de um dado ou o sorteio cego de uma bola a partir de uma urna com múltiplas 
bolas coloridas. 
Um ingrediente fundamental na teoria da probabilidade é a noção de um experimento que, ao menos 
hipoteticamente, pode ser repetido sob condições essencialmente idênticas, porém conduzindo a 
resultados diferentes em tentativas diferentes. Em outras palavras, trata-se de uma situação onde, para 
todos os fins práticos, causas iguais geram (ou podem gerar) efeitos diferentes. Quando se diz ser 
possível repetir um experimento sob condições essencialmente idênticas, naturalmente está-se 
pensando no controle de um certo número de fatores. É claro que seria impossível controlar 
absolutamente todos os fatores em questão. Na realidade, são justamente esses fatores não controlados 
(também chamados de variáveis de confusão, variáveis estranhas ou variáveis espúrias) que irão 
constituir a aleatoriedade do fenômeno. Esta é uma forma de visualizar o conceito. 
Tome-se, por exemplo, o caso do lançamento de uma moeda. De um lançamento para o outro, não se 
pode garantir que as condições sejam exatamente as mesmas. A exata posição inicial dos objetos e 
personagens envolvidos, bem como a intensidade e direção precisas da força de lançamento, não serão 
rigorosamente as mesmas. As condições gerais, contudo, tais como a moeda, o indivíduo que faz o 
lançamento e a mesa, podem ser idênticas, mas muitos fatores simplesmente não serão controlados. 
Caso tudo fosse absolutamente controlado, então poder-se-ia supor que os resultados seriam os 
mesmos, ou talvez nem assim, visto que, aparentemente, existem incertezas fundamentais no 
universo, tais como as que são evidenciadas no fenômeno quântico. 
 
Espaço Amostral 
Um espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório, ou de 
todos os resultados considerados possíveis. Assim, o espaço amostral do lançamento de uma moeda 
seria uma coleção de resultados que inclui: cara, coroa, a moeda cair em pé, a moeda ser despedaçada 
por uma bala perdida, um pássaro apanhar a moeda em pleno ar e fugir com ela, a moeda ser 
acidentalmente engolida pelo experimentador e outros. Excluindo os resultados muito inverossímeis, 
é perfeitamente razoável considerar apenas cara e coroa. 
O espaço amostral costuma ser designado pela letra grega ômega (�), de modo que, no exemplo do 
lançamento de uma moeda: ��{cara, coroa}. Já no caso da medida da pressão arterial sistólica de um 
indivíduo, o espaço amostral seria uma faixa plausível de valores contínuos, como, por exemplo, a 
faixa de 50 mmHg a 250 mmHg (���50,250��� 
 
 
Evento 
Um evento é um subconjunto do espaço amostral, ou seja, uma coleção de resultados possíveis que 
pode ser igual ou menor do que o espaço amostral como um todo. Desse modo, se o espaço amostral 
do lançamento de um dado comum de seis faces for ��{1, 2, 3, 4, 5, 6}, então qualquer combinação 
desses resultados será um evento. Assim, diversos eventos podem ser identificados, tais como a 
ocorrência de cada face específica ({1}, {2}, {3}, {4}, {5} ou {6}), a ocorrência de uma face par ({2, 4, 6}) 
ou ímpar ({1, 3, 5}), a ocorrência de valores abaixo de "3" ({1, 2}) e outros. 
 
Álgebra 
Álgebra é um conjunto de eventos de um espaço amostral, conjunto esse definido pelas seguintes duas 
propriedades fundamentais: 
 Para qualquer evento pertencente à álgebra, o seu complementar (tomado em relação ao 
espaço amostral) também pertence à álgebra; 
 Se dois eventos pertencem à álgebra, a sua união também pertence à álgebra. 
O primeiro postulado implica em dizer que, se se está interessado na ocorrência de um evento, então, 
automaticamente, se estará interessado na sua não-ocorrência. Já o conjunto dos dois tem como 
conseqüências que, para toda álgebra: 
 O evento vazio (nenhum evento ocorreu) pertence à álgebra; 
 O espaço amostral pertence à álgebra (algum evento da álgebra necessariamente ocorrerá); 
 Se dois conjuntos pertencem à álgebra então a sua interseção também pertence à álgebra; 
 Se um número qualquer de eventos pertence à álgebra, então as operações lógicas entre eles 
(operações de conjunto - complementos, uniões, interseções e diferenças simétricas) também 
pertencem à álgebra; 
 Uma álgebra pode ter um número infinito de eventos; 
 Qualquer número finito de operações com eventos (operações de conjunto - complementos, 
uniões, interseções e diferenças simétricas) apresenta resultados que pertencem à álgebra; 
 Quando todos os resultados de um número infinito (porém enumerável) de operações com 
eventos (operações de conjunto - complementos, uniões, interseções e diferenças simétricas) 
apresentam resultados que pertencem à álgebra, esta última passa a ser denominada de sigma-
álgebra. 
 
As afirmativas acima funcionam como uma verdadeira lista de itens a serem verificados para que faça 
sentido o uso da expressão "álgebra de eventos". 
 
Axiomas de Kolmogorov 
Em 1933 o matemático russo Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903 - 1982) lançou as bases 
axiomáticas da probabilidade e desenvolveu toda uma teoria que constituiu um enorme avanço na 
área, estabelecendo um marco histórico. Não obstante o nível avançado de matemática necessário 
para uma compreensão aprofundada do assunto, os seus princípios básicos são relativamente simples e 
intuitivos, permitindo que se tenha uma boa compreensão dos conceitos e suas aplicações práticas. 
Essencialmente, os axiomas de Kolmogorov estabelecem que: 
1°) Associados aos possíveis resultados de um experimento aleatório, existe sempre um espaço 
amostral e uma álgebra de eventos; 
2°) Para todo evento da álgebra, existe um número não-negativo (maior ou igual a zero), chamado 
de probabilidade, que se atribui a tal evento; 
3°) A probabilidade do espaço amostral é igual a 1; 
4°) Para quaisquer dois eventos disjuntos (que não compartilham nenhum resultado) a probabilidade 
da união deles é igual à soma das suas probabilidades; 
5°) O 4° Axioma é verdadeiro para infinitas uniões, desde que todos os pares de eventos sejam 
disjuntos. 
A aplicação da lógica matemática aos postulados acima leva às seguintes propriedades fundamentais da 
probabilidade: 
 A probabilidade de qualquer evento é sempre um número maior ou igual a zero e menor ou 
igual a um; 
 A probabilidade de um evento impossível é zero; 
 Se a ocorrência de um evento implica na ocorrência de um segundo, então a probabilidade do 
primeiro é menor do que a probabilidade do segundo; 
 A probabilidade da união de dois eventos é igual à probabilidade do primeiro mais a 
probabilidade do segundo menos a probabilidade da ocorrência simultânea dos dois. 
 
 
 
 
A importância do Conceito de Partição 
A partição de um conjunto é uma coleção de conjuntos tal que a sua união é igual ao conjunto 
original, e que a interseção de quaisquer dois deles é vazia. Ao se particionar um evento, é possível se 
calcular a sua probabilidade somando-se a probabilidade dos eventos da partição. Para isso é 
necessário apenas dispor-se das probabilidades dos elementos da partição (vide Axiomas 4° e 5°). 
Através do particionamento de conjuntos, é possível não apenas se calcular a probabilidade de eventos 
a partir de outras probabilidades já conhecidas mas também deduzir diversas propriedades e 
implicações do próprio conceito de probabilidade. 
 
 
2.2 PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 
 
Probabilidade Condicional 
 
Permite analisar o resultadode um experimento aleatório (cálculo de probabilidades), quando existe 
intervenção no espaço amostral (e.g., quando temos informação incompleta). 
 
 
Exemplos: 
 
 Num experimento em que um dado é lançado duas vezes, sabe-se que a soma dos dois 
resultados vale 9. Qual a probabilidade de que o primeiro resultado tenha sido 6? 
 
 Um objeto é detectado por um radar. Qual a probabilidade de que seja um avião? 
 
 Qual a probabilidade de que o paciente esteja doente, dado que o teste deu negativo? 
 
 
Exemplos: 
 
Suponha que em uma sala de aula com 15 meninos e 10 meninas, um aluno é escolhido ao acaso para 
realizar uma tarefa na aula de 4a. feira. Um outro aluno é escolhido aleatoriamente para realizar a 
mesma tarefa na aula de 6a. feira. 
 
Dado o resultado da escolha de 4a. feira, qual a probabilidade de que na 6a. feira o aluno escolhido 
seja do sexo masculino? 
 
Duas respostas são possíveis, dependendo do resultado de 4a. feira: 
 
1. Um menino foi escolhido na 4a. feira 
⇒ P[outro menino ser escolhido na 6a. feira ] = 14/24 
 
2. Uma menina foi escolhida na 4a. feira 
 
⇒ P[um menino ser escolhido na 6a. feira ] = 15/24 
 
Estas são probabilidades condicionais! 
Nota: Se não tivéssemos nenhuma informação sobre o resultado de 4a. feira, a resposta seria 15/25 
 
Se sabemos que um determinado evento B ocorreu, então o espaço amostral para outro evento 
subsequente é reduzido para os resultados possíveis à luz desta informação, ou seja, os resultados 
pertencentes a B. 
 
Para determinar a probabilidade da ocorrência de um outro evento A, devemos considerar o conjunto 
de resultados em B que também resultam na ocorrência de A ⇒ este é o evento AB. 
 
Probabilidade Condicional 
 
Definição 
 
Sejam A e B dois eventos associados a um experimento aleatório E e definidos em um espaço amostral 
Ω. 
 
 
 
A expressão P [A|B ] representa a probabilidade de ocorrência do evento A, dado que o evento B 
ocorreu. 
Regra do Produto 
 ⇒ P [AB ] = P [A|B ]P [B ] = P [B |A]P [A] 
 
 
Probabilidade condicional é função probabilidade (satisfaz os três axiomas): 
 
 
... e, portanto, também satisfaz as propriedades decorrentes dos axiomas: 
 
 
 
 
Independência de Eventos 
 
Dois eventos aleatórios A e B são independentes se, e somente se: 
 
 
Quando dois eventos são independentes, a ocorrência de um não exerce nenhuma influência na 
probabilidade de ocorrência do outro. 
 
Nota: Independência é hipótese (não é de natureza estatística) 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades 
 
 
 
 
 
 
 
2.3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS E CONTÍNUAS 
 
Variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno (ou observação, ou característica). 
Para os fenômenos: 
- sexo - dois resultados possíveis: masculino e feminino; (não pode ser medida: é um atributo) 
- número de filhos tidos de um grupo de casais - resultados possíveis: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., n; 
- peso de pessoas adultas - resultados possíveis: 60 kg, 59,3 kg, 75,3 kg, 65,3 kg, ...; pode tomar um 
infinito número de valores num certo intervalo. 
 
 
TIPOS DE VARIÁVEIS 
 
1. Variável Qualitativa: quando seus valores são expressos pôr atributos ou qualidade. 
Exemplos: 
. População: Estudantes universitários do Estado do Pará. 
Variáveis: sexo, profissão, escolaridade, religião, meio onde vivem (rural, urbano). 
 
. População: População dos bairros periféricos do município de Belém 
Variáveis: tipo de casa, existência de água encanada (sim, não), bairro de origem. 
 
Variáveis qualitativas que não são ordenáveis recebem o nome de nominais. 
Exemplo: religião, sexo, raça, cor. 
 
 Raça do Paraense - 2001 
Raça Frequência 
Branca 
Negra 
 
Parda 
Outra 
Total 
Fonte: Fictícia 
 
Variáveis qualitativas que são ordenáveis recebem o nome de ordinais. 
Exemplo: nível de instrução, classe social. 
 
 Classe social do Paraense - 2001 
Classe social Frequência 
Classe A 
Classe B 
Classe C 
Classe D 
Total 
Fonte: Fictícia 
 
 
2. Variável Quantitativa: quando seus valores são expressos pôr números. Esses números podem ser 
obtidos pôr um processo de contagem ou medição. 
Exemplos: 
. População: Todos os agricultores do Estado do Pará. 
Variáveis: número de filhos tidos, extensão da área plantada, altura, idade. 
 
. População: População dos bairros periféricos do município de Belém 
Variáveis: número de quartos, área da casa em m2, número de moradores da casa. 
 
A variável quantitativa dividi-se em: 
 
1. Variável Discreta: são aquelas que podem assumir apenas valores inteiros em pontos da reta real. É 
possível enumerar todos os possíveis valores da variável. 
Exemplos: 
. População: Universitários do Estado do Pará. 
Variáveis: número de filhos, número de quartos da casa, número de moradores, número de irmãos. 
 
2. Variável Contínua: são aquelas que podem assumir qualquer valor num certo intervalo (contínuo) 
da reta real. Não é possível enumerar todos os possíveis valores. Essa variáveis, geralmente, provém de 
medições. 
. População: Todos os agricultores do Estado do Pará. 
Variáveis: idade, renda familiar; extensão da área plantada (em m2 ) , peso e altura das crianças 
agricultoras. 
 
 
 
 
 
EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
 
São aqueles que, repetidos em idênticas condições, produzem resultados diferentes. Embora não se 
saiba qual o resultado que irá ocorrer num experimento, em geral, consegue-se descrever o conjunto 
de todos os resultados possíveis que podem ocorrer. As variações de resultados, de experimento para 
experimento, são devidas a uma multiplicidade de causas que não podemos controlar, as quais 
denominamos acaso. 
 
Exemplos de Experimentos Aleatórios 
a) Lançar uma moeda e observar a face de cima. 
b) Lançar um dado e observar o número da face de cima. 
c) Lançar duas moedas e observar as seqüências de caras e coroas obtidas. 
d) Lançar duas moedas e observar o número de caras obtidas 
e) De um lote de 80 peças boas e 20 defeituosas, selecionar 10 peças e observar o número de peças 
defeituosas. 
f) De um baralho de 52 cartas, selecionar uma carta, e observar seu naipe. 
g) Numa cidade onde10% dos habitantes possuem determinada moléstia, selecionar 20 pessoas e 
observar o número de portadores da moléstia. 
h) Observar o tempo que um aluno gasta para ir de ônibus, de sua casa até a escola. 
i) Injetar uma dose de insulina em uma pessoa e observar a qunatidade de açúcar que diminuiu. 
j) Sujeitar uma barra metálica a tração e observar sua resistência. 
 
 
Exemplo 2: Consideremos os dados relativos ao aproveitamento num curso de Matemática para o 1º 
período de Administração 2003/2 da Faculdade UNIVILA, apresentados abaixo de forma ligeiramente 
diferente das tabelas de freqüências anteriores, apenas para ilustrar outra maneira de preparar uma 
tabela de freqüência. 
 
 
3. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 
 
Inferência Estatística é o estudo de técnicas que possibilitam a extrapolação, a um grande conjunto de 
dados, das informações e conclusões obtidas a partir de subconjuntos de valores, usualmente de 
dimensões muito menores. Deve-se notar que se tivermos acesso a todos os elementos que desejamos 
estudar, não é necessário o uso das técnicas de inferência estatística; entretanto, elas são 
indispensáveis quando existe a impossibilidade de acesso a todo o conjunto de dados, por razões de 
natureza econômica, ética ou física. 
 
 
Fases do Trabalho Estatístico 
 
O trabalho estatístico é um método científico, que consiste das cinco etapas básicas seguintes: 
 
1- Coleta e crítica de dados 
2- Tratamento dos dados 
3- Apresentação dos dados 
 
4- Análise e interpretação dos resultados 
5- Conclusão 
 
 
 
 
Vamos tratar cada uma dessas etapas: 
 
Coleta e crítica dos dados 
 
Após definirmos cuidadosamente oproblema que se quer pesquisar, damos início á coleta dos dados 
numéricos necessários à sua descrição. 
 
A coleta pode ser direta ou indireta. 
 
A coleta é direta quando feita sobre elementos informativos de registro obrigatório (nascimentos, 
casamentos e óbitos, importação e exportação de mercadorias), elementos pertinentes aos prontuários 
dos alunos de uma escola ou, ainda, quando os dados são coletados pelo próprio pesquisador através de 
inquéritos e questionários. 
 
A coleta direta de dados pode ser classificada relativamente ao fator tempo em: 
a) Contínua – quando feita continuamente, tal como a de nascimentos e óbitos e a de freqüência dos 
alunos às aulas. 
b) Periódica – quando feita em intervalos constantes de tempo, como os censos e as avaliações mensais 
dos alunos. 
c) Ocasional – Quando feita extemporaneamente, a fim de atender a uma conjuntura ou a uma 
emergência, como no caso de epidemias que assolam ou dizimam rebanhos inteiros. 
 
A coleta é indireta quando é inferida de elementos conhecidos (coleta direta) e/ou do conhecimento 
de outros fenômenos relacionados com o fenômeno estudado. Como por exemplo, podemos citar a 
pesquisa sobre a mortalidade infantil, que é feita através de dados colhidos por uma coleta direta. 
 
Obtidos os dados, eles devem ser cuidadosamente criticados, à procura de possíveis falhas e 
imperfeições, a fim de não incorrermos em erros grosseiros ou certo vulto, que possam influir 
sensivelmente nos resultados. 
 
 
A crítica é externa quando visa às causas dos erros por parte do informante, por distração ou má 
interpretação das perguntas que lhe foram feitas; è interna quando visa observar os elementos 
originais dos dados da coleta. 
 
 
Tratamento dos dados 
 
Nada mais é do que a soma e o processamento dos dados obtidos e a disposição mediante 
critérios de classificação Pode ser manual ou eletrônica. 
 
 
Apresentação dos dados 
 
Por mais diversa que seja a finalidade que se tenha em vista, os dados devem ser apresentados sob 
forma adequada – tabelas e gráficos – tornando mais fácil o exame daquilo que está sendo objeto de 
tratamento estatístico. 
 
 
Análise dos resultados 
Após a apresentação dos dados devemos calcular as medidas típicas convenientes para fazermos uma 
análise dos resultados obtidos, através dos métodos da Estatística Indutiva ou Inferencial, e tirarmos 
desses resultados conclusões e previsões. 
 
 
Conclusão 
 
É de responsabilidade de um especialista no assunto que está sendo pesquisado, que não é 
necessariamente um estatístico, relatar as conclusões de maneira que sejam facilmente entendidas 
por quem as for usar na tomada de decisões. 
 
 
4. TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM 
 
Uma amostragem será probabilística se todos os elementos da população tiverem probabilidade 
conhecida, e diferente de zero, de pertencer à amostra. Desta forma, a amostragem probabilística 
implica um sorteio com regras bem determinadas, cuja realização só será possível se a população for 
finita e totalmente acessível. 
 
Consideraremos aqui as seguintes técnicas de amostragem: 
 
1 – Amostragem Aleatória Simples 
2 – Amostragem Proporcional Estratificada 
3 – Amostragem Sistemática 
 
 
 
 
4.1 AMOSTRAGEM CASUAL OU ALEATÓRIA SIMPLES 
 
Este tipo de amostragem é equivalente a um sorteio lotérico. A Amostragem Aleatória Simples é 
constituída de elementos retirados ao acaso da população. Então todo elemento da população tem 
probabilidade fixa de ser amostrado. Por isso é que a esse tipo de amostragem tende a produzir 
amostras representativas. 
 
Esta técnica é usada quando a identificação dos elementos da população é extremamente difícil, 
porém pode ser relativamente fácil dividir a população em conglomerados (subgrupos) heterogêneos 
representativos da população global. 
 
A seguir, é descrito o procedimento de execução desta técnica: 
 
1. Seleciona uma amostra aleatória simples dos conglomerados existentes; 
2. Realizar o estudo sobre todos os elementos do conglomerado selecionado. 
 
São exemplos de conglomerados: quarteirões, famílias, organizações, agências, edifícios, etc. 
 
Exemplo: 
Estudar a população de uma cidade, dispondo apenas do mapa dos quarteirões da cidade. 
 
Neste caso, não temos a relação dos moradores da cidade, restando o uso dos subgrupos heterogêneos 
(conglomerados). Para realizar o estudo estatístico sobre a cidade, realizaremos os seguintes 
procedimentos: 
 
1. Numerar os quarteirões de 1 a n; 
2. Escrever os números de 1 a n em pedaços de papel e colocá-los em uma urna; 
3. Retirar um pedaço de papel da urna e realizar o estudo sobre os elementos do conglomerado 
selecionado. 
 
 
Exemplo: Geralmente são considerados aleatórios os seguintes processos: 
 
• A chegada de carros a um posto de pedágio 
• As chamadas telefônicas numa grande mesa de operação 
• A chegada de clientes aos caixas de um supermercado 
• A produção de qualquer processo mecânico 
• Sucessivos lances de moeda ou de dado 
• Tempo de serviço em estações de pedágio 
 
É de máxima importância dar cuidadosa atenção à maneira como se escolhem os itens, bem como se 
eles são igualmente prováveis. 
Exemplo: Imagine que 500 clientes estão cadastrados em sua empresa e você precisa obter uma 
amostra aleatória de 2% dos cadastros. O que você faria? 
 
 
Como queremos uma amostra de 2% dos cadastros, precisamos sortear 10 deles. Faremos isso seguindo 
os seguintes passos: 
 
1 – Numeramos os cadastros de 001 a 500. 
 
2 - Para o sorteio exibiremos duas opções: 
 
a) Escreva os números de 001 a 500, em pedaços iguais de um mesmo papel, colocando-os dentro de 
uma caixa. Agite sempre a caixa para misturar bem os pedaços de papel e retire, um a um, dez 
números que formarão a amostra. 
 
b) Coloque em uma urna, bolas numeradas de zero a nove, inclusive, misture bem e retire uma. Anote 
o número dessa bola que será o primeiro dígito do número do cadastro que será amostrado. Volte a 
bola retirada à urna, misture bem e retire outra. O número dessa segunda bola será o segundo dígito 
do número do cadastro que será amostrado. O procedimento deverá ser repetido até completar os três 
dígitos da numeração utilizada. Como a população é constituída por 500 cadastros, devem ser 
desprezados os números maiores do que 500, bem como os números que já foram sorteados e o 
número 000. O sorteio deverá ser repetido até se conseguir a amostra de 
10 cadastros. 
 
 
O processo de seleção exige que se atribuam números consecutivos aos itens listados escolhendo-se 
depois, aleatoriamente, os números dos itens que comporão a amostra. Conceitualmente, podemos 
usar cartas, dados, fichas numeradas ou bolas numeradas para gerar números aleatórios para gerar 
números aleatórios correspondentes aos números de nossa listagem. 
 
Na prática, tais dispositivos são empregados raramente, por várias razões. Uma dela é que cada 
dispositivo deixa algo a desejar; os métodos não são perfeitamente aleatórios. As cartas, por exemplo, 
podem aderir umas às outras, impedindo um embaralhamento perfeito. As arestas de um dado 
podem estar desgastadas. E sempre há o perigo de as bolas de uma urna não terem sido 
convenientemente misturadas. 
 
Em vista disso, e porque a amostragem aleatória é vital para a inferência estatística, existem tabelas 
especialmente elaboradas, chamadas Tabelas de Números Aleatórios, construída de modo que os dez 
algarismos (0 a 9) são distribuídos ao acaso nas linhas e colunas. 
 
Na tabela de números aleatórios os dez algarismos 0,1,2,...,7,8,9, podem ser lidos isoladamente ou em 
grupos; podem ser lidos em qualquer ordem, como por colunas, num sentido ou noutro, por linhas, 
diagonalmente etc., e podem ser considerados aleatórios. A opção de leitura, porém, deve ser feita, 
antes de iniciado o processo. 
 
Para usar uma tabelade números aleatórios devemos: 
 
1 – Fazer uma lista dos números da população 
2 – Numerar consecutivamente os itens na lista, a começar do zero, 
 
3 – Ler os números na tabela de números aleatórios de modo que o número de algarismos em cada um 
seja igual ao número de algarismos do último número da sua listagem. 
4 – Desprezar quaisquer números que não correspondam a números da lista ou que sejam repetições 
de números lidos anteriormente. Continue o processo até ter o número desejado de observações. 
5 – Usar os números assim escolhidos para identificar os itens da lista a serem incluídos na amostra. 
 
EXEMPLO DE UMA TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS 
(retirada de: STEVENSON, William J. Estatística aplicada à administração, São Paulo: Harbra, 
1981) 
 
3690 2492 7171 7720 6509 7549 2330 5733 4730 
0813 6790 6858 1489 2669 3743 1901 4971 8280 
6477 5289 4092 4223 6454 7632 7577 2816 9202 
0772 2160 8236 0812 4195 5589 0830 8261 9232 
5692 9870 3583 8997 1533 6566 8830 7271 3809 
 
2080 3828 7880 0586 8482 7811 6807 3309 2729 
1039 3382 7600 1077 4455 8806 1822 1669 7501 
7227 0104 4141 1521 9104 5563 1392 8238 4882 
8506 6348 4612 8252 1062 1757 0964 2983 2244 
5086 0303 7423 3298 3979 2831 2257 1508 7642 
 
0092 1629 0377 3590 2209 4839 6332 1490 3092 
0935 5565 2315 8030 7651 5189 0075 9353 1921 
2605 3973 8204 4143 2677 0034 8601 3340 8383 
7277 9889 0390 5579 4620 5650 0210 2082 4664 
5484 3900 3485 0741 9069 5920 4326 7704 6525 
 
6905 7127 5933 1137 7583 6450 5658 7678 3444 
8387 5323 3753 1859 6043 0294 5110 6340 9137 
4094 1957 0163 9717 4118 4276 9465 8820 4127 
4951 3781 5101 1815 7068 6379 7252 1086 8919 
9047 0199 5068 7447 1664 9278 1708 3625 2864 
 
7274 9512 0074 6677 8676 0222 3335 1976 1645 
9192 4011 0255 5458 6942 8043 6201 1587 0972 
0554 1690 6333 1931 9433 2661 8690 2313 6999 
8231 5627 1815 7171 8036 1832 2031 6298 6073 
3995 9677 7765 3194 3222 4191 2734 4469 8617 
 
2402 6250 9362 7373 4757 1716 1942 0417 5921 
5295 7385 5474 2123 7035 9983 5192 1840 6176 
5177 1191 2106 3351 5057 0967 4538 1246 3374 
7315 3365 7203 1231 0546 6612 1038 1425 2709 
5775 7517 8974 3961 2183 5295 3096 8536 9442 
 
5500 2276 6307 2346 1285 7000 5306 0414 3383 
3251 8902 8843 2112 8567 8131 8116 5270 5994 
4675 1435 2192 0874 2897 0262 5092 5541 4014 
3543 6130 4247 4859 2660 7852 9096 0578 0097 
3521 8772 6612 0721 3899 2999 1263 7017 8057 
 
5573 9396 3464 1706 9204 3389 5678 2589 0288 
7478 7569 7551 3380 2152 5411 2647 7242 2800 
3339 2854 9691 9562 3252 9848 6030 8472 2266 
5505 8474 3167 8552 5409 1556 4247 4652 2953 
6381 2086 5457 7703 2758 2963 8167 6712 9820 
 
Exemplo: Imagine que 500 clientes estão cadastrados em sua empresa e você precisa obter uma 
amostra aleatória de 2% dos cadastros. Como você usaria a tabela de números aleatórios para extrair 
essa amostra? 
 
Depois de numerar os cadastros podemos escolher, por exemplo, percorrer a última coluna da tabela 
de cima para baixo lendo os três primeiros algarismos de cada linha. Os números obtidos dessa forma 
são: 
 
473, 828, 920, 923, 380, 272, 750, 488, 224, 
764, 309, 192, 838, 466, 652, 344, 913, 412. 
 
Desprezando os números que são maiores do que 500 (e eventuais repetições) 
devemos tomar para a amostra os cadastros de números: 
 
473, 380, 272, 488, 224, 309, 192, 466, 344, 412. 
 
Dispondo-se de uma lista precisa dos itens da população, é relativamente simples escolher uma 
amostra aleatória com o auxilio de uma tabela de números aleatórios. Na realidade, a lista não precisa 
conter todos os itens. As locações dos itens podem constituir uma alternativa, como por exemplo, os 
quarteirões de uma cidade, ou os arquivos de uma firma etc. 
 
 
4.2 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA 
 
Muitas vezes a população se divide em subpopulações, denominadas de Estratos. Como é provável 
que a característica em estudo dessa população apresente, de estrato em estrato, um comportamento 
heterogêneo e, dentro de cada estrato, um comportamento homogêneo, convém que o sorteio dos 
elementos da amostra leve em consideração tais estratos. 
A amostra proporcional estratificada é composta por elementos proveniente de todos os estratos. 
Exemplo: Vamos obter uma amostra proporcional estratificada de 10% para a pesquisa da 
estatura de 90 alunos de uma escola onde 54 são meninos e 36 são meninas.Temos aqui dois estratos, 
sexo masculino e sexo feminino. 
a) O primeiro passo é determinar o tamanho da amostra em cada estrato: 
 
Sexo População 10% Amostra 
M 54 10 × 54 = 5,4 
100 
5 
F 36 10 × 36 = 3,6 
100 
4 
Total 90 10 × 90 = 9 
100 
9 
 
b) Numeramos os alunos de 01 a 90, sendo que de 01 a 54 correspondem meninos e de 55 a 90 
meninas. 
c) obtemos uma amostra aleatória ou sistemática de cada sexo e reunimos as informações numa 
só amostra, denominada amostra estratificada. 
 
 
4.3 AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA 
 
Quando os elementos da população já se acham ordenados, não há necessidade de construir um 
sistema de referência. São exemplos os prontuários médicos de um hospital, os prédios de uma rua, as 
linhas de produção etc. Nestes casos, a seleção dos elementos que constituirão a amostra pode ser feita 
por um sistema imposto pelo pesquisador. 
A Amostragem Sistemática é constituída de elementos retirados da população segundo um sistema 
preestabelecido. 
 
Exemplo 1: Imagine que 500 clientes estão cadastrados em sua empresa e você precisa obter uma 
amostra aleatória de 2% dos cadastros. Como você obteria uma amostra sistemática? 
Precisamos obter uma amostra de tamanho 10. Para obter a amostra podemos dividir 500 por 10, e 
obter 50. Sorteamos um número entre 1 e 50, inclusive, para ser o primeiro cadastro da mostra e a 
partir desse número, contamos 50 cadastros e retiramos o último para fazer parte da amostra. 
Procedemos dessa forma até completarmos os 10 cadastros da amostra. 
Exemplo 2: No caso de uma linha de produção, podemos, a cada dez itens produzidos, retirar 
um para pertencer a uma amostra da produção diária. Neste caso, estaríamos fixando o tamanho da 
amostra em 10% da população. 
É preciso especial cuidado com o sistema de seleção. Não forme uma amostra com as primeiras pessoas 
de uma fila ou, se são atendidos 10 clientes por dia, não escolha para a amostra, o décimo de cada dez 
clientes. Estes procedimentos podem determinar amostras tendenciosas. Recomenda-se sempre 
sortear o primeiro elemento que será selecionado para a mostra e, a partir daí, usar o sistema de 
seleção. 
 
4.4 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS 
 
É utilizada quando a população pode ser dividida em subpopulações (conglomerados) heterogêneos 
representativos da população global. A amostragem é feita sobre os conglomerados, e não mais sobre 
os indivíduos da população.