RaciocinioLogico[1]

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Prof(a). Alessandra Mendes 
 
 
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MÓDULO I 
RACIOCÍNIO LÓGICO FORMAL 
 
AULA 1 
 
1.  LÓGICA SENTENCIAL  
 
A  Lógica  Sentencial  e  de  primeira  ordem  permite,  a  partir  de 
sentenças e conectivos formalmente relacionados, a dedução de 
inferências e  conclusões.  Este  assunto  consiste em  conhecer  as 
proposições, seus valores lógicos, efetuar as operações pedidas e 
suas  respectivas  negações  (quando  for  o  caso),  classificar  as 
sentenças,  testar  equivalências  e  negações  e,  ainda,  classificar 
argumentos  como  válidos  ou  inválidos.  Podem  ser  encontradas 
ainda questões que exploram diagramas  lógicos, além da  lógica 
de predicados com o uso dos quantificadores “todo”, “algum” e 
“nenhum” e seus respectivos diagramas. 
 
No  português,  as  expressões  variam  entre  questionamentos, 
afirmativas,  divagações,  entre  outras. Mas,  a  fim  de  comunicar 
fatos ou informações, utilizam‐se declarações.  
 
O principal e mais  simples  conceito na  lógica  sentencial é o de 
Proposição. Tecnicamente, uma proposição ou sentença lógica é 
um  conjunto  de  palavras  ou  símbolos  que  exprime  um 
pensamento de sentido completo e que pode ser considerado ou 
verdadeiro ou falso. 
 
1. OPERANDOS LÓGICOS – PROPOSIÇÕES 
 
Proposições: são sentenças declarativas (algo que será declarado 
por meio de palavras ou de símbolos), afirmativas ou negativas, 
que  possuem  sujeito  e  predicado  e  que  podem  ser  valoradas 
(consideradas)  como  verdadeiras  ou  falsas,  mas  não  ambas. 
Quando  solicitado  pelo  examinador,  o  valor‐verdade  da 
proposição deve ser obtido através de julgamento (realidade). 
 
A  sentença  “O  número  2  é  par”  é  uma  proposição  cujo  valor 
lógico  é  verdadeiro.  O  valor  lógico  de  uma  proposição  é  tão 
somente um dos dois possíveis juízos que podem ser atribuídos a 
uma  proposição:  verdadeiro  (V)  ou  falso  (F)  (de  acordo  com  a 
realidade). Já a sentença “3 é par” é uma proposição cujo valor‐
lógico é falso. 
 
Vale  observar  ainda  que  uma  proposição  representa  uma 
informação  enunciada  por  uma  oração  e,  portanto,  pode  ser 
expressa por distintas sentenças, tais como: “Renato é justo”, ou 
“Renato não é injusto”.  
 
Note que as proposições podem assumir os valores verdadeiro ou 
falso, mas não ambos ou nenhum dos dois. 
 
São proposições: 
Ana foi ao cinema. 
Paulo viu quem chegou. 
Helena não conhece Pedro. 
2 é par. 
2 + 3 = 7.      
Todo peixe voa. 
NÃO são proposições: 
Está chovendo lá fora? (interrogativa) 
Paulo, vá estudar! (exclamativa) 
Leia aquele livro. (imperativa) 
X + y é positivo. (sentença aberta) 
O nome de Maria. (sentença incompleta) 
Um  excelente  livro  de  matemática.  (sentença 
incompleta) 
Quarenta e dois detentos. (sentença incompleta) 
Esta  frase  é  falsa.  (qualquer  sentença  que  se 
autodenominar falsa, mentirosa ou não verdadeira, não 
é proposição por ferir o princípio da não contradição). 
Esta  frase  é  verdadeira.  (não  possui  uma  sentença 
oposta que seja proposicional). 
 
Exemplo: (CESPE/UnB) Na lista de frases apresentada a seguir há 
exatamente duas proposições. 
a – “A frase dentro destas aspas é uma mentira”  
b ‐ Dez é menor do que sete. 
c – Como vai você?        
d – Ela é muito talentosa. 
e – Existe vida em outros planetas do universo. 
 
A frase (a) se diz falsa, se contradiz. Não é considerada 
proposição.  
A frase (b) é uma proposição e é falsa. 
A  frase  (c) é uma pergunta e não uma declaração, ou 
seja, não pode  ser  considerada nem verdadeira e nem 
falsa, por isso não é uma proposição. 
A  frase  (d)  possui  sujeito  não  especificado  (ela),  não 
podendo, portanto, ser considerada verdadeira ou falsa. 
Assim, não é uma proposição. Além disso, é considerada 
uma sentença aberta. 
A  frase  (e)  é  uma  proposição,  pois  pode  ser  ou 
verdadeira  ou  falsa,  mesmo  que  não  seja  possível  a 
inferência de um dos dois valores lógicos (V ou F). 
QUESTÃO CERTA 
 
Dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é  falsa é afirmar 
que a mesma respeita os princípios proposicionais: 
 
• Princípio da  Identidade: Uma proposição verdadeira é 
verdadeira; uma proposição falsa é falsa. 
• Princípio  da  Não‐Contradição:  Uma  proposição  não 
pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. 
• Princípio  do  Terceiro  Excluído:  Uma  proposição  só 
pode  ter  um  dos  dois  valores  lógicos,  isto  é,  ou 
verdadeiro  (V)  ou  falso  (F),  não  podendo  ter  outro 
valor. 
 
As sentenças também podem ser consideradas como: 
 
• Sentenças Abertas:  são  aquelas que possuem  sujeitos 
passíveis  de  esclarecimento.  Exemplos:  “x  é  positivo”, 
“ele chegou atrasado”.  
• Sentenças Fechadas: são aquelas que possuem sujeitos 
já esclarecidos. Exemplos: “2 é positivo”, “Paulo chegou 
atrasado”. 
 
E ainda: 
• Proposições  Simples:  são  aquelas  que  estão  sozinhas, 
desacompanhadas  de  outras  proposições.  Exemplos: 
“Todo peixe voa”, “O homem que pesca é pescador”.  
• Proposições Compostas: são aquelas que contêm duas 
(ou  mais)  proposições  simples  conectadas  entre  si, 
formando  uma  só  sentença.  Exemplos:  “Janaína  é 
médica e Patrícia é dentista”, “Os meninos que vão aos 
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estádios  jogam  futebol  ou  todos  os  esportes  são 
praticados  diariamente”,  “Ou  helena  chegou  ou  Clara 
saiu”,  “Se  fizer  sol  amanhã  então  eu  irei  à  praia”, 
“Comprarei uma mansão se e somente se eu ganhar na 
loteria”. 
 
As proposições compostas possuem operadores lógicos 
(e, ou,  se,  se e  somente  se, entre outros) que devem 
ser  estudados  para  que  seja  possível  o  conhecimento 
dos  seus  valores‐lógicos.  Portanto,  para  afirmar  que 
uma proposição composta é verdadeira ou falsa, faz‐se 
necessário analisar: 
 
1º)  o  valor  lógico  das  proposições  componentes 
(simples); e  
2º) o tipo de conectivo que as une. 
 
Exemplo: (CESPE/UnB) A sentença “Se 2 é ímpar então 3 é par” é 
falsa. 
Proposição simples “2 é ímpar” = FALSA.     
Proposição simples “3 é par” = FALSA. 
Proposição  composta  “Se  2  é  ímpar  então  3  é  par”  é 
VERDADEIRA,  pois  a  operação  de  implicação  (“Se‐então”)  entre 
dois valores FALSOS resulta em VERDADEIRO! (cálculo lógico) 
QUESTÃO ERRADA 
 
2. OPERAÇÕES LÓGICAS 
 
Enriquecendo  o  contexto  proposicional,  as  proposições  simples 
(ou atômicas) são combinadas, com o uso de operadores  lógicos 
(ou  conectivos  operacionais),  criando  sentenças  compostas  (ou 
moleculares). 
 
2.1 OPERADORES (OU CONECTIVOS LÓGICOS) 
 
Considerando “p”, “q”, “r” e “s” como exemplos de proposições 
simples, tem‐se as seguintes operações que podem ser efetuadas 
com as proposições: 
• Negação 
• Conjunção 
• Disjunção (ou disjunção inclusiva) 
• Disjunção Exclusiva 
• Implicação (ou condicional) 
• Dupla Implicação (ou bicondicional) 
 
1) Negação:  
 
A negação pode ser encontrada nas formas NÃO p, ~p ou ¬p. Em 
qualquer uma das suas  formas, uma proposição é a negação de 
outra  quando:  se  uma  for  verdadeira,  então  a  outra  é 
obrigatoriamente  falsa  e,  se  uma  for  falsa,  a  outra  é 
obrigatoriamente  verdadeira.  O  objetivo  da  operação  de 
negação é inverter o valor do seu operando. 
 
Negação 
p  ¬ p 
V  F 
F  V 
As seguintes expressões são equivalentes: 
Não é verdade que p.  É  falso  que  p.
   
É mentira p.    Nem p. 
**  Duas  negações  que  negam  a  mesma  proposição  se 
anulam. 
 
Exemplo:  Para  p  verdadeiro,a  sentença  ¬(¬(¬p))  é 
verdadeira. 
Resolvendo... 
¬(¬(¬p))  ‐  substituindo o valor de p, temos: 
¬(¬(¬V))  ‐  resolvendo os parênteses mais internos 
¬(¬F)  
¬V   = F        QUESTÃO 
ERRADA 
´ 
2) Conjunção 
 
A  conjunção  pode  ser  encontrada  nas  formas  p  E  q,  p∧q.  Por 
definição, uma proposição composta resultante da operação de 
conjunção  só  será  verdadeira  quando  todas  as  proposições 
envolvidas  na  operação  forem  verdadeiras.  Será  falsa  nos 
demais casos. 
 
Conjunção 
p  q  p ∧ q 
V  V  V 
V  F  F 
F  V  F 
F  F  F 
  
As  seguintes  expressões  são  equivalentes:
   
            p mas q.                     p porém q. 
 
 
3) Disjunção (ou disjunção inclusiva) 
 
A disjunção pode  ser  encontrada nas  formas p OU q, p∨q. Por 
definição, uma proposição  composta  resultante da operação de 
disjunção só será falsa quando todas as proposições envolvidas 
na operação forem falsas. Será verdadeira nos demais casos. 
 
Disjunção 
p  q  p ∨ q 
V  V  V 
V  F  V 
F  V  V 
F  F  F 
 
A disjunção não possui expressão equivalente. 
 
4) Disjunção Exclusiva 
 
A disjunção exclusiva pode ser encontrada nas formas OU p OU q, 
p∨q.  Por  definição,  uma  proposição  composta  resultante  da 
operação  de  disjunção  exclusiva  só  será  verdadeira  se  as 
proposições  envolvidas  na  operação  forem  opostas  (valores 
lógicos contrários). Será falsa nos demais casos. 
Disjunção Exclusiva 
p  q  p ∨ q 
V  V  F 
V  F  V 
F  V  V 
F  F  F 
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A  disjunção  exclusiva  não  possui  expressão 
equivalente. 
 
5) Implicação (ou condicional) 
 
A  implicação pode  ser encontrada nas  formas  “SE p ENTÃO q”, 
p→q.  Também  chamada  condicional,  possui  duas  proposições: 
antecedente  e  conseqüente.  Por  definição,  uma  proposição 
composta  resultante  da  operação  de  implicação  de  uma 
proposição  em  outra  só  será  falsa  se  a  antecedente  for 
verdadeira  e  a  conseqüente  for  falsa.  Será  verdadeira  nos 
demais casos. 
 
Implicação 
p  q  p → q 
V  V  V 
V  F  F 
F  V  V 
F  F  V 
 
Proposição p (Se): condição, hipótese ou antecedente 
Proposição q (então): conclusão, resultante ou conseqüente 
 
São  exemplos  de  expressões  são  equivalentes 
(existem muitas outras): 
Se p, q.    q, se p. 
Quando p, q.   Sempre que p, q. 
Todo p é q.    p implica em q. 
p é suficiente para q.  q porque p. 
p logo q. 
q é necessário para p. (*CUIDADO!!!*) 
p somente se q. (**CUIDADO!!!**) 
 
Melhorando o entendimento... 
 
SE eu ganhar na sena ENTÃO eu divido com vocês. 
Consideremos a sentença acima como uma promessa... 
Proposições:  p: eu ganhar na sena. 
q: eu divido com vocês. 
Construção:  Eu ganhar na sena → eu divido com vocês 
 
Analisando as quatro possibilidades: 
p1)  Eu  ganhei  na  Senha  (V)  e  eu  dividi  com  vocês  (V)  = 
Promessa cumprida (V) 
p2) Eu ganhei na Senha (V) e eu NÃO dividi com vocês (F) = 
Promessa não‐cumprida (F) 
p3) Eu NÃO ganhei na Senha (F) e eu NÃO dividi com vocês 
(F) = Promessa cumprida (V), já que a minha promessa dizia 
que  se  eu  ganhasse,  eu  dividiria.  Não  quebrei  a  minha 
promessa, visto que nem ganhei. 
p4) Eu NÃO ganhei na Senha (F) e eu dividi com vocês (V) = 
Promessa cumprida  (V),  já que não houve promessa para o 
caso  de  eu  NÃO  ganhar  na  sena.  Assim,  não  quebrei  a 
promessa. 
6) Dupla  Implicação  (bicondicional,  condicional 
composta) 
 
Formas  da  dupla  implicação:  “SE  E  SOMENTE  SE  p  ENTÃO  q”, 
p↔q.  Por  definição,  uma  proposição  composta  resultante  da 
operação  de  dupla  implicação  de  uma  proposição  em  outra  só 
será  verdadeira  se  ambas  as  proposições  envolvidas  na 
operação  tiverem o mesmo valor  lógico. Será  falsa nos demais 
casos. 
 
Dupla Implicação 
p  q  p ↔ q 
V  V  V 
V  F  F 
F  V  F 
F  F  V 
 
São exemplos de expressões equivalentes: 
p se e só se q. 
Todo p é q e todo q é p. 
Todo p é q e reciprocamente. 
Se p então q e se q então p.  
p é necessário e suficiente para q. 
p é suficiente para q e q é suficiente para p. 
Resumindo... 
 
Operação  Operador  Resultado 
Negação 
NÃO p, ¬P  INVERTE o valor do 
operando 
Conjunção 
p E q, P∧Q  É VERDADEIRO quando P e 
Q são verdadeiros 
Disjunção 
p OU q, P∨Q  É FALSO quando P e Q são 
falsos 
Disjunção 
Exclusiva 
OU p OU q, 
P∨Q 
É VERDADEIRO quando P e 
Q são opostos 
Implicação 
SE p ENTÃO q, 
P→Q 
É FALSO quando P é 
verdadeiro e Q é falso 
Dupla 
Implicação 
SE E SOMENTE 
SE p ENTÃO q, 
P↔Q 
É VERDADEIRO quando P e 
Q são idênticos 
 
2.1.1 VALORANDO PROPOSIÇÕES COMPOSTAS 
 
Como já explicado anteriormente, a valoração de uma proposição 
composta  depende  dos  valores  das  proposições  simples 
envolvidas e do operador que as une. 
Exemplo: A proposição composta “Se 13 é divisível por 2 então 
2 é par” é valorada como falsa. 
Neste  caso,  deve‐se  proceder  com  o  julgamento  das 
proposições simples do contexto... 
“13 é divisível por 2” = proposição falsa.   
“2 é par” = proposição verdadeira. 
 
...  e  efetuar  a  operação  de  implicação  que  está  sendo  usada 
como operador da sentença. 
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  “Se  13  é divisível  por  2  então  2  é  par”  =  F → V  = V.    
ERRADA 
 
2.1.2 RESOLVENDO SENTENÇAS SIMBÓLICAS 
 
O  problema  mais  simples  envolvendo  sentenças  simbólicas 
fornece os valores das proposições simples e solicita a valoração 
da composição.  
Neste  caso,  a  ordem  de  precedência  dos  operadores  deve  ser 
respeitada:  
1º) Negações possíveis (¬); 
2º)  Conjunções  (E),  disjunções  (OU)  e/ou  disjunções  exclusivas 
(OU_OU), da esquerda para a direita; 
3º) Implicações (SE_ENTÃO); 
4º) Duplas implicações (SE E SOMENTE SE_ENTÃO). 
Observação: (), {} e {} isolam precedência. 
 
Exemplo:  Considerando  A  e  B  proposições  verdadeiras,  a 
sentença  
¬ [(A↔B) → (¬B∨B) ∧ (A∨¬B)] é Verdadeira. 
¬ [(A ↔ B) → (¬B ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B)] (substituindo A e B...) 
¬ [(V ↔ V) → (¬V ∨ V) ∧ (V ∨ ¬V)] (negações possíveis...) 
¬ [(V ↔ V) → (F ∨ V) ∧ (V ∨ F)]     (parênteses internos...) 
¬ [V → V ∧ V]     (∧, pois tem maior precedência) 
¬ [V → V]   (resolvendo a →) 
¬ V = F      (resolvendo  a  negação  mais  externa...)   
ERRADA 
 
AULA 2 
 
2.1.3 BUSCANDO CONCLUSÕES EM SENTENÇAS TEXTUAIS 
 
Alguns  problemas,  comuns  em  provas  de  concursos  públicos, 
solicitam  do  candidato  uma  conclusão  a  partir  de  um  contexto 
textual. Neste  caso,  tal  conclusão  só poderá  ser obtida  a partir 
das  resoluções  das  operações  lógicas  presentes  nas  sentenças. 
Exemplo:  
 
“Se  Arnaldo  é  advogado  então  Caio  é  contador.  Ou  Caio  é 
contador  ou  Eliane  é  enfermeira.  Eliane  é  enfermeira  ou  Felipe 
não é fotógrafo. Ora, Felipe é fotógrafo. Logo,  
a) Arnaldo não é advogado       b) Caio é contador. 
c) Caio não é contador            d) Eliane não é enfermeira 
e) Felipe é fotógrafo.” 
 
Para a correta resolução do problema em tempo hábil, a técnica 
descrita abaixo pode ser utilizada. 
 
1ª) Isola‐se as sentenças (cada sentença termina no ponto final):  
 
Se Arnaldo é advogado então Caio é contador.   
   
Ou Caio é contador ou Eliane é enfermeira.   
   
Eliane é enfermeiraou Felipe não é fotógrafo.   
   
Ora, Felipe é fotógrafo.   
   
2ª) Para fins de teste, considera‐se que todas as sentenças são 
verdadeiras: 
 
Se Arnaldo é advogado então Caio é contador.  (V) 
   
Ou Caio é contador ou Eliane é enfermeira.  (V) 
   
Eliane é enfermeira ou Felipe não é fotógrafo.  (V) 
   
Ora, Felipe é fotógrafo.  (V) 
 
 
3ª) Identifica‐se cada um dos operadores presentes: 
 
Se Arnaldo é advogado então Caio é contador.  (V) 
   
Ou Caio é contador ou Eliane é enfermeira.  (V) 
   
Eliane é enfermeira ou Felipe não é fotógrafo.  (V) 
   
Ora, Felipe é fotógrafo.  (V) 
 
 
4ª) Avalia‐se  a partir da  sentença mais  simples  (neste  caso,  a 
última). Se a  sentença “Ora, Felipe é  fotógrafo”  tem  resultado 
verdadeiro, a única proposição “Felipe é  fotógrafo”  também é 
verdadeira. 
 
Se Arnaldo é advogado então Caio é contador.  (V) 
   
Ou Caio é contador ou Eliane é enfermeira.          (V) 
   
Eliane é enfermeira ou Felipe não é fotógrafo.  (V) 
   
Ora, Felipe é fotógrafo.  (V) 
                     1 – V   
5ª) A partir da sentença “Felipe é fotógrafo”, atribui‐se o valor‐
lógico FALSO à proposição “Felipe não é fotógrafo”. 
 
Se Arnaldo é advogado então Caio é contador.  (V) 
   
Ou Caio é contador ou Eliane é enfermeira.          (V) 
   
Eliane é enfermeira ou Felipe não é fotógrafo.  (V) 
                                                   2 – F   
Ora, Felipe é fotógrafo.  (V) 
1 – V   
 
6ª) Observando‐se  a  terceira  sentença, nota‐se uma disjunção 
(ou)  verdadeira  com  um  dos  seus  termos  falsos.  Para  que  se 
mantenha  verdadeira,  o  outro  termo  (“Eliane  é  enfermeira”) 
tem que ser obrigatoriamente VERDADEIRO. Portanto, o termo 
“Eliane é enfermeira” da segunda sentença também será. 
 
Se Arnaldo é advogado então Caio é contador.  (V) 
   
Ou Caio é contador ou Eliane é enfermeira.             (V) 
                                                 4 – V   
Eliane é enfermeira ou Felipe não é fotógrafo.  (V) 
              3 ‐ V                                 2 – F   
Ora, Felipe é fotógrafo.  (V) 
1 – V   
 
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7ª)  Na  segunda  sentença,  tem‐se  uma  disjunção  exclusiva 
(ou_ou) verdadeira que possui um dos termos verdadeiro. Para 
que se mantenha verdadeira, o outro termo (“Caio é contador”) 
tem que ser obrigatoriamente FALSO. Portanto, o termo “Caio é 
contador” da primeira sentença também será. 
 
Se Arnaldo é advogado então Caio é contador.  (V) 
                                                      6 – F   
Ou Caio é contador ou Eliane é enfermeira.           (V) 
              5 ‐ F                              4 – V   
Eliane é enfermeira ou Felipe não é fotógrafo.  (V) 
              3 ‐ V                                    2 ‐ F   
Ora, Felipe é fotógrafo.  (V) 
1 – V   
 
8ª)  Finalmente,  tem‐se  na  primeira  sentença  uma  implicação 
(se_então)  verdadeira  que  possui  o  termo  consequente  falso. 
Para  que  se  mantenha  verdadeira,  o  termo  antecedente 
(“Arnaldo é advogado”) tem que ser obrigatoriamente FALSO. 
 
Se Arnaldo é advogado então Caio é contador.  (V) 
                    7 ‐ F                                   6 ‐ F   
Ou Caio é contador ou Eliane é enfermeira.        (V) 
               5 ‐ F                                      4 ‐ V   
Eliane é enfermeira ou Felipe não é fotógrafo.  (V) 
                3 ‐ V                                     2 ‐ F   
Ora, Felipe é fotógrafo.  (V) 
1 ‐ V   
 
CONCLUSÕES:  
‐  Arnaldo  não  é  advogado,  Caio  não  é  contador,  Eliane  é 
enfermeira e Felipe é fotógrafo. 
 
Vale  observar,  finalmente,  que  a  conclusão  mais  forte  do 
problema é aquela baseada no maior número de sentenças do 
contexto.  Desta  forma,  pode‐se  dizer  que  a  alternativa  “a) 
Arnaldo não é advogado” está correta. 
 
2.1.4 TRANSFORMANDO SENTENÇAS TEXTUAIS EM SIMBÓLICAS 
 
Algumas  bancas  examinadoras,  especialmente  a  CESPE/UnB, 
solicitam  que  o  candidato  transforme  sentenças  textuais  em 
simbólicas.  Esta  passagem  de  contexto  oferece  vantagens  aos 
candidatos mais  preparados  visto  que  não  exige  cálculos  para 
resolução,  mas  tão  somente  o  conhecimento  da  simbologia 
proveniente da lógica formal. 
 
Exemplo: Considere as sentenças  (I e  II) e proposições  (P, R e T) 
abaixo: 
I Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. 
II Fumar não deve ser proibido logo fumar faz bem à saúde. 
P: Fumar deve ser proibido.  
R: Fumar não faz bem à saúde. 
T: Muitos europeus fumam. 
Com base nas informações acima, julgue como certo ou errado os 
itens a e b:  
a) I pode ser corretamente representada por P Λ (¬T). 
b) II pode ser corretamente representada por (¬P) → (¬R). 
 
Resolvendo... 
Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. 
  P       Λ    T 
a) I pode ser corretamente representada por P → (¬T).                                         
QUESTÃO 
ERRADA 
 
Fumar não deve ser proibido logo fumar faz bem à saúde 
    ¬P            →    ¬R 
b) II pode ser corretamente representada por (¬P) → (¬R).                                   
QUESTÃO CERTA 
 
Observação: Para representar simbolicamente as proposições, o 
que foi dito no enunciado é o mais relevante. Por exemplo, se o 
examinador afirmar que “Ana viajou” é P, “Ana não viajou” será 
¬P. Mas se ele afirmar que “Ana viajou” é ¬P, “Ana não viajou” 
será P. Em último caso, se o examinador não tiver feito qualquer 
afirmação, use a ¬ para representar proposições negativas. 
 
2.1.5 CONSTRUINDO TABELAS‐VERDADE 
 
Toda sentença lógica textual composta tem uma representação 
simbólica  implícita e, dependendo dos valores das proposições 
simples  envolvidas,  pode  ser  resolvida  de  algumas  maneiras 
diferentes.  
 
Exemplo: A sentença “Se Ana viajou então Ana não viajou e Paulo 
chegou atrasado” possui três valorações verdadeiras e uma falsa. 
 
Para a correta resolução desta questão, deve‐se: 
 
1) Transformar a sentença textual em simbólica; 
Se Ana viajou então Ana não viajou e Paulo chegou atrasado. 
P     →    ¬P   ∧     Q 
 
2)  Considerar  todos  os  valores  possíveis  para  P  e  Q  e  efetuar 
todas as resoluções, uma por vez. 
  P → ¬P ∧ Q 
 
P = V, Q = V 
P → ¬P ∧ Q 
V → ¬V ∧ V 
V → F ∧ V 
V → F 
F 
P = V, Q = F 
P → ¬P ∧ Q 
V → ¬V ∧ F 
V → F ∧ F 
V → F 
F 
P = F, Q = V 
P → ¬P ∧ Q 
F → ¬F ∧ V 
F → V ∧ V 
F → V 
V 
P = F, Q = F 
P → ¬P ∧ Q 
F → ¬F ∧ F 
F → V ∧ F 
F → F 
V 
 
3)  Verificar  o  conjunto  de  resultados.  Neste  caso,  a  sentença 
possui  dois  resultados  verdadeiros  e  dois  falsos. 
  QUESTÃO ERRADA 
 
A  fim  de  organizar  TODAS  as  resoluções  possíveis  de  uma 
sentença, a sua  tabela‐verdade deve ser construída. Como cada 
resolução  é  organizada  em  uma  linha  da  tabela‐verdade,  o 
número  de  proposições  da  sentença  é  determinante  para  a 
complexidade da resolução, visto que: 
 
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Nº de Linhas da Tabela‐Verdade = 2Nº de proposições 
distintas  
Nº de Linhas = Nº de Valorações = Nº de 
Resultados 
  
Deste modo,  uma  proposição  composta  com  duas  proposições 
simples (ex. P→Q) possui uma tabela‐verdade com 4 linhas. 
 
P  Q 
V  V 
V  F 
F  V 
F  F 
 
E  uma  proposição  composta  com  três  proposições  simples  (ex. 
P∨Q∧R) possui uma tabela‐verdade com 8 linhas. 
 
P  Q  R 
V  V  V 
V  V  F 
VF  V 
V  F  F 
F  V  V 
F  V  F 
F  F  V 
F  F  F 
 
IMPORTANTE!!!  Para  construir  a  tabela‐verdade  de  uma 
proposição composta qualquer, a ordem de precedência dos 
conectivos deve ser respeitada.  
 
Exemplo anterior: A sentença “Se Ana viajou então Ana não 
viajou  e  Paulo  chegou  atrasado”  possui  três  valorações 
verdadeiras e uma falsa. 
 
Para  a  correta  resolução  desta  questão  COM  A  TABELA‐
VERDADE, deve‐se... 
1) Transformar a sentença textual em simbólica; 
Se Ana viajou então Ana não viajou e Paulo chegou atrasado. 
P         →    ¬P   ∧     Q 
 
2) Considerar todos os valores possíveis para P e Q e construir a 
tabela‐verdade da sentença. 
 
2.1)  Organizam‐se  em  colunas  as  proposições  simples, 
calcula‐se  o  número  de  linhas  da  tabela  e  dispõem‐se 
nestas  linhas  todas  as  combinações  possíveis,  em 
qualquer ordem (a ordem não é relevante pois não influi 
no resultado). 
 
P → (¬P ∧ Q) 
 
P  Q 
V  V 
V  F 
F  V 
F  F 
 
2.2) Em seguida isolam‐se as negações possíveis. Deve‐se 
observar que os resultados das colunas com proposições 
negativas  são  opostos  aos  resultados  das  colunas 
originais destas proposições. 
P → (¬P ∧ Q) 
 
P  Q  ¬P 
V  V  F 
V  F  F 
F  V  V 
F  F  V 
 
2.3) Depois,  respeitando‐se  a ordem de precedência,  as 
operações  precedentes  ou  os  parênteses  são  resolvidos 
(do mais interno para o mais externo).  
 
P → (¬P ∧ Q) 
 
P  Q  ¬P  (¬P ∧ Q) 
V  V  F  F 
V  F  F  F 
F  V  V  V 
F  F  V  F 
 
2.4) A resolução prossegue, do operador mais precedente 
para o menos precedente. Neste exemplo, a implicação é 
então  resolvida. A coluna  já existente é numerada a  fim 
de facilitar a visualização. 
P → (¬P ∧ Q) 
        1 
 
      1   
P  Q  ¬P  (¬P ∧ Q)  P → 1 
V  V  F  F  F 
V  F  F  F  F 
F  V  V  V  V 
F  F  V  F  V 
 
3)  Verificar  o  conjunto  de  resultados.  Neste  caso,  a  sentença 
possui  dois  resultados  verdadeiros  e  dois  falsos. 
  ERRADO 
 
Com a tabela‐verdade da sentença construída, as duas resoluções 
podem ser comparadas caso a caso. 
P → (¬P ∧ Q) 
 
P = V, Q = V 
P → ¬P ∧ Q 
V → ¬V ∧ V 
V → F ∧ V 
V → F 
F 
      1   
P  Q  ¬P  (¬P ∧ Q)  P → 1 
V  V  F  F  F 
V  F  F  F  F 
F  V  V  V  V 
F  F  V  F  V 
 
P = V, Q = F 
P → ¬P ∧ Q 
V → ¬V ∧ F 
V → F ∧ F 
V → F 
F 
      1   
P  Q  ¬P  (¬P ∧ Q)  P → 1 
V  V  F  F  F 
V  F  F  F  F 
F  V  V  V  V 
F  F  V  F  V 
 
P = F, Q = V 
P → ¬P ∧ Q 
F → ¬F ∧ V 
F → V ∧ V 
F → V 
V 
      1   
P  Q  ¬P  (¬P ∧ Q)  P → 1 
V  V  F  F  F 
V  F  F  F  F 
F  V  V  V  V 
F  F  V  F  V 
 
OBS: 
8/2 = 4 
(1ª coluna) 
4/2 = 2 
(2ª coluna) 
2/2 = 1 
(3ª coluna) 
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P = F, Q = F 
P → ¬P ∧ Q 
F → ¬F ∧ F 
F → V ∧ F 
F → F 
V 
      1   
P  Q  ¬P  (¬P ∧ Q)  P → 1 
V  V  F  F  F 
V  F  F  F  F 
F  V  V  V  V 
F  F  V  F  V 
 
 
Resumindo... 
 
P = V, Q = V 
P → ¬P ∧ Q 
V → ¬V ∧ V 
V → F ∧ V 
V → F 
F 
P = V, Q = F 
P → ¬P ∧ Q 
V → ¬V ∧ F 
V → F ∧ F 
V → F 
F 
 
 
      1   
P  Q  ¬P  (¬P ∧ Q)  P → 1 
V  V  F  F  F 
V  F  F  F  F 
F  V  V  V  V 
F  F  V  F  V 
 
P = F, Q = V 
P → ¬P ∧ Q 
F → ¬F ∧ V 
F → V ∧ V 
F → V 
V 
P = F, Q = F 
P → ¬P ∧ Q 
F → ¬F ∧ F 
F → V ∧ F 
F → F 
V 
 
2.2 CLASSIFICAÇÕES DE SENTENÇAS 
 
As  sentenças  lógicas  compostas  por  pelo menos  um  operador 
lógico, dependendo dos valores resultantes da última coluna das 
suas  tabelas‐verdade, podem ser classificadas como  tautologias, 
contradições ou contingências.  
 
1) Tautologia:  É  toda  sentença  sempre  verdadeira, 
independente  dos  valores  das  proposições  simples  que  a 
compõem.  
 
Exemplo: João é alto ou João não é alto. 
Consideramos que “João é alto” é p.    
Assim, João não é alto será ¬p. 
P  ¬P  P ∨ ¬P 
V  F  V 
F  V  V 
Temos então que p∨¬p é uma tautologia. 
 
2) Contradição: É toda a sentença sempre falsa, independente 
dos valores das proposições simples que a compõem. 
 
Exemplo: “João é alto e João não é alto.” 
Consideramos que “João é alto” é p.    
Assim, João não é alto será ¬p. 
 
P  ¬P  P ∧ ¬P 
V  F  F 
F  V  F 
Temos então que p∧¬p é uma contradição. 
 
3) Contingência:  É  toda  sentença  com  resultados  mistos,  ou 
seja, que não for uma tautologia nem uma contradição.  
 
Exemplo: Se João é alto então João não é alto. 
Consideramos que “João é alto” é p.    
Assim, João não é alto será ¬p. 
 
P  ¬P  P → ¬P 
V  F  F 
F  V  V 
Temos então que p→¬p é uma contingência. 
 
Exemplo: Classifique a sentença “Se Renato é poeta, Fernando é 
carioca.  Portanto,  se  Fernando  não  é  carioca,  Renato  não  é 
poeta”. 
 
Representando simbolicamente, tem‐se: 
P: Renato é poeta. 
Q: Fernando é carioca. 
P → Q: Se Renato é poeta, Fernando é carioca. (TERMO 1) 
¬Q: Fernando não é carioca. 
¬P: Renato não é poeta. 
¬Q → ¬P: Se Fernando não é carioca, Renato não é poeta. 
(TERMO 2) 
Os  termos 1 e 2 estão conectados pela palavra “portanto”. 
DICA:  os  indicadores  de  conclusão  (portanto,  por 
conseguinte,  assim,  dessa maneira,  assim  sendo,  segue‐se 
que,  implica em, deduz‐se que,  logo, de modo que, então, 
desta  forma,  por  este  motivo,  assim,  consequentemente, 
etc.),  quando  conectam  duas  sentenças  (simples  ou 
compostas), funcionam como implicação. 
 
Desta forma, tem‐se: 
Se Renato é poeta, Fernando é carioca.  
Portanto, se Fernando não é carioca, Renato não é poeta. 
(1) Portanto (2) 
(1) → (2) 
(P → Q) → (¬Q →¬P) 
 
A  partir  da  sentença  simbólica,  a  tabela‐verdade  é 
construída. 
    1      2   
P  Q  (P → Q)  ¬Q  ¬P  ¬Q → ¬P  (1→2) 
V  V  V  F  F  V  V 
V  F  F  V  F  F  V 
F  V  V  F  V  V  V 
F  F  V  V  V  V  V 
Classificação: Tautologia. 
2.3 EQUIVALÊNCIAS 
 
Duas  proposições  são  logicamente  equivalentes  (⇔,  =  ou 
simplesmente  equivalentes)  quando,  compostas  pelas mesmas 
proposições  simples,  possuem  tabelas‐verdade  com  resultados 
idênticos. 
 
Exemplo: Dizer que  “Ou Ana  é artista ou Renato  é  engenheiro” 
equivale a dizer que “Renato não é engenheiro se e somente se 
Ana não for artista”? 
1) Passando as sentenças para a representação simbólica, tem‐se: 
 
Ou Ana é artista ou Renato é engenheiro.   =   P ∨ Q 
Renato não é engenheiro se e somente se Ana não for artista.    
=   ¬Q ↔ ¬P 
 
2) Construindo as tabelas‐verdade, tem‐se: 
 
P  Q  (P ∨ Q)    ¬Q  ¬P  ¬Q ↔ ¬P 
V  V  F    F  F  V 
V  F  V    V  F  F 
F  V  V    F  V  F 
F  F  F    V  V  V 
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3) Pode‐se observar que as sentenças não são equivalentes pois 
os resultados de suas tabelas‐verdade não são iguais. Além disso, 
por  serem  absolutamente  opostos,    pode‐se  dizer  que  uma 
sentença é a negação da outra.      
  QUESTÃO ERRADA 
 
ATENÇÃO!!! EQUIVALÊNCIAS MAIS COMUNS: 
 
1ª) p → q ⇔ ¬q → ¬p  
Se p, então q ⇔ Se não q, então não p.  
 
Exemplo: Se hoje é feriado então amanhã não é domingo ⇔  
Se amanhã é domingo então hoje não é feriado. 
 
P  Q  (P → Q)    ¬Q  ¬P  ¬Q → ¬P 
V  V  V    F  F  V 
V  F  F    V  F  F 
F  V  V    F  V  V 
F  F  V    V  V  V 
 
2ª) p → q ⇔ ¬p ∨ q  
Se p, então q ⇔ Não p ou q.  
 
Exemplo: Se hoje é feriado então amanhã não é domingo ⇔  
Hoje não é feriado ou amanhã não é domingo. 
 
P  Q  (P → Q)    ¬P  Q  ¬P ∨ Q 
V  V  V    F  V  V 
V  F  F    F  F  FF  V  V    V  V  V 
F  F  V    V  F  V 
 
ATENÇÃO!!! Os dois casos mostrados acima são particularmente 
cobrados e, se conhecidos, eximem o candidato da necessidade 
de  fazer  a  tabela‐verdade  da  sentença  na  hora  da  prova. Mas 
tenha cuidado, pois não são os únicos! Se outro caso qualquer for 
questionado  as  tabelas‐verdade  das  sentenças  deverão  ser 
construídas. 
 
2.4 NEGAÇÕES DE SENTENÇAS 
 
Dizemos  que  duas  proposições  são  uma  a  negação  da  outra 
quando  são  compostas pelas mesmas proposições  simples e os 
resultados de suas tabelas‐verdade são opostos. 
Exemplo: A sentença “Ou Ana é artista ou Renato é engenheiro” é 
a  correta  negação  da  sentença  “Renato  não  é  engenheiro  se  e 
somente se Ana não for artista”? 
 
1) Passando as sentenças para a representação simbólica, tem‐se: 
Ou Ana é artista ou Renato é engenheiro. P∨Q 
Renato não  é  engenheiro  se  e  somente  se Ana não  for  artista. 
¬Q↔¬P 
 
2) Construindo as tabelas‐verdade, tem‐se: 
 
P  Q  (P ∨ Q)    ¬Q  ¬P  ¬Q ↔ ¬P 
V  V  F    F  F  V 
V  F  V    V  F  F 
F  V  V    F  V  F 
F  F  F    V  V  V 
 
3)  Pode‐se  observar  que  as  sentenças  são  opostas  pois  os 
resultados  de  suas  tabelas‐verdade  são  contrários. 
  QUESTÃO CERTA 
 
ATENÇÃO!!! NEGAÇÕES MAIS COMUNS: 
 
1ª) ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q  
A negação de P E Q é  ¬p OU ¬q.  
 
Exemplo: A negação de “hoje é  feriado e amanhã é domingo” é 
“hoje não é feriado ou amanhã não é domingo” 
 
P  Q  (P ∧ Q)    ¬P  ¬Q  ¬P ∨ ¬Q 
V  V  V    F  F  F 
V  F  F    F  V  V 
F  V  F    V  F  V 
F  F  F    V  V  V 
 
2ª) ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q  
A negação de P OU Q é  ¬p E ¬q.  
 
Exemplo: A negação de “hoje é feriado ou amanhã é domingo” é 
“hoje não é feriado e amanhã não é domingo” 
 
P  Q  (P ∨ Q)    ¬P  ¬Q  ¬P ∧ ¬Q 
V  V  V    F  F  F 
V  F  V    F  V  F 
F  V  V    V  F  F 
F  F  F    V  V  V 
3ª) ¬(p → q) = p ∧ ¬q  
A negação de SE P ENTÃO Q é P E ¬Q. 
 
Exemplo: A negação de “hoje é feriado ou amanhã é domingo” é 
“hoje não é feriado e amanhã não é domingo” 
 
P  Q  (P → Q)    P  ¬Q  P ∧ ¬Q 
V  V  V    V  F  F 
V  F  F    V  V  V 
F  V  V    F  F  F 
F  F  V    F  V  F 
 
AULA 3 
 
3. LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO 
 
Um argumento é uma  sequencia de afirmações onde um grupo 
de  sentenças  (proposições  iniciais)  resulta  em  outra  sentença 
(proposição final), que será consequência das primeiras.  
 
Em outras palavras, um argumento é a  relação que associa um 
conjunto  de  proposições  p,  q,  ...,  chamadas  premissas,  a  uma 
proposição c, chamada de conclusão.  
 
Os indicadores de premissas são: pois, desde que, como, porque, 
assumindo que, visto que, admitindo que, a razão é que, em vista 
de, supondo que, sabendo‐se que, como mostrado pelo  fato de 
que, isto é verdade porque, etc. 
Os  indicadores  de  conclusão  são:  portanto,  por  conseguinte, 
assim,  dessa maneira,  assim  sendo,  segue‐se  que,  implica  em, 
deduz‐se que, logo, de modo que, desta forma, então, etc. 
 
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Observação:  em  um  argumento,  o  operador  de  conjunção 
conecta  premissas  e  o  conjunto  de  premissas  conecta‐se  à 
conclusão através do operador de implicação. 
 
Observação:  É  extremamente  importante  saber  identificar  a 
conclusão  do  argumento,  que  pode  estar  apontada  por  um 
indicador  de  conclusão  ou  não.  Neste  caso,  ou  as  premissas 
estarão  indicadas  (e  o  termo  restante  será  a  conclusão)  ou  a 
conclusão  contém  o  termo  maior  e  o  menor,  costumando 
apresentar‐se na última frase do argumento. 
 
Um  argumento  pode  ser  considerado  válido  ou  inválido.  Vale 
salientar  que  a  validade  ou  invalidade  de  um  argumento 
independe  das  verdades  e/ou  falsidades  das  premissas  e/ou 
conclusão isoladamente. 
 
3.1 VALIDADE DOS ARGUMENTOS 
1) Argumento Válido 
 
Um argumento é válido  (ou ainda  legítimo ou bem  construído), 
quando  a  sua  conclusão  for  uma  conseqüência  obrigatória  do 
seu conjunto de premissas, ou  seja, quando a conclusão estiver 
garantida pelo contexto estabelecido pelas premissas.  
 
As  premissas  e  a  própria  conclusão  poderão  ser  visivelmente 
falsas (e até absurdas!), e o argumento, ainda assim, poderá ser 
considerado válido. Isto pode ocorrer porque, como já foi dito, o 
estudo  dos  argumentos  não  leva  em  conta  a  verdade  ou  a 
falsidade  das  premissas  que  compõem  o  argumento,  mas  tão 
somente a validade deste.  
 
Em um raciocínio dedutivo, não é possível estabelecer a verdade 
de  sua  conclusão  se  as  premissas  não  forem  consideradas 
verdadeiras.  Portanto,  para  fins  de  teste  de  validade 
argumentativa,  considera‐se  que  as  premissas  são  verdadeiras 
(independente  de,  na  realidade,  serem  ou  não)  e,  ao  final, 
verifica‐se  se  a  conclusão  é  verdadeira  (garantida)  para  aquele 
contexto.  
 
Exemplo: O argumento...   
p1: Todos os homens são pássaros. 
p2: Nenhum pássaro é animal. 
c: Portanto, nenhum homem é animal.  
...  está  perfeitamente  bem  construído,  já  que  a  partir  das 
premissas garantimos a conclusão. Neste caso, é um argumento 
válido, muito embora a veracidade das premissas e da conclusão 
sejam totalmente questionáveis.  
 
A  lógica  de  argumentação  não  se  preocupa  com  a  verdade  ou 
falsidade  das  premissas  e/ou  conclusão, mas  tão  somente  com 
validade dos argumentos.  
 
Os  argumentos  também  podem  aparecer  na  forma  simbólica 
como uma  sentença única  e, neste  caso,  serão ditos  válidos  se 
suas tabelas‐verdade resultarem em tautologia.  
 
Exemplo: (CESPE/UnB) Um argumento que tem como premissas: 
• Se Ana dorme, Carlos acorda. 
• Carlos não acorda. 
E como conclusão 
• Ana não dorme 
É válido. 
Nestes casos, pode‐se utilizar duas resoluções: 
 
1ª)  Ou,  a  partir  da  sentença  que  representa  o  argumento,  é 
construída sua tabela‐verdade e, ao final, verifica‐se se consiste 
em uma tautologia (argumento válido)... 
 
A sentença que expressa o argumento é formada pelas 
premissas  simbolicamente  representadas  conectadas 
pelo operador ∧ e este conjunto ligado à conclusão por 
uma implicação (→). 
 
Tem‐se então o argumento acima representado por: 
 
((P→Q) ∧ ¬Q) → ¬P 
 
E sua tabela‐verdade preenchida: 
 
    1  2       
P  Q  (P→Q)  ¬Q  (1 ∧ 2)  ¬P  (1 → 2) 
V  V  V  F  F  F  V 
V  F  F  V  F  F  V 
F  V  V  F  F  V  V 
F  F  V  V  V  V  V 
 
Trata‐se,  portanto,  se  uma  tautologia,  ou  seja,  o 
argumento é VÁLIDO.      
 QUESTÃO CERTA 
 
1ª) Ou o argumento é  resolvido como um simples conjunto de 
sentenças.  
 
Consideram‐se  todas  as  sentenças  verdadeiras  (com 
exceção da conclusão)... 
• Se Ana dorme, Carlos acorda. (V) 
• Carlos não acorda. (V) 
• Ana não dorme. (?) 
... e as operações existentes  são  resolvidas a partir da 
sentença mais simples (a conclusão, última sentença, só 
é verificada no FINAL). 
Se Ana dorme, Carlos acorda.  (V) 
    
Carlos não acorda.  (V) 
            1 ‐ V   
Ana não dorme.  (? – conclusão) 
   
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 
 
Se Ana dorme, Carlos acorda.  (V) 
                                   2 ‐ F   
Carlos não acorda.  (V) 
           1 ‐ V   
Ana não dorme.  (? – conclusão) 
   
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 
 
Se Ana dorme, Carlos acorda.  (V) 
         3 ‐ F                   2 ‐ F   
Carlos não acorda.  (V) 
           1 ‐ V   
Ana não dorme.  (? – conclusão) 
   
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Ao  término da  resolução,  verifica‐se que  a  conclusão  “Ana não 
dorme“ é obrigatoriamente VERDADEIRA. Trata‐se, portanto, de 
um argumento VÁLIDO, pois as verdades das premissas garantem 
a verdade da conclusão.          
  QUESTÃO CERTA 
 
2) Argumento Inválido 
 
Um argumento é inválido (ou ilegítimo, mal construído, falacioso, 
sofisma  ou  paralogismo)  quando,  considerando  as  premissas 
como verdadeiras, ainda assim não for suficiente para garantir a 
verdade da conclusão. 
 
Exemplo:   p1: Todas as crianças gostam de chocolate. 
  p2: Patrícia não é criança. 
  c: Portanto, Patrícia não gosta de chocolate. 
 
Este é um argumento  inválido, falacioso, mal construído, pois as 
premissas não garantem  (não obrigam) a verdade da conclusão. 
Patrícia pode gostar de  chocolate mesmo que não  seja  criança, 
pois  a  primeira premissa  não  afirmou  que  somente  as  crianças 
gostam de chocolate. 
 
Argumentos com quantificadores: Os argumentos que envolvem 
o uso de quantificadores  (Todo,  algum ou nenhum) podem  ser 
mais rapidamente resolvidos utilizando‐se os Diagramas de Euler‐
Venn (Teoria dos Conjuntos).  
 
3.2 ARGUMENTOS COM QUANTIFICADORES 
 
1) TODO (qualquer que seja, tudo, todas, os, quem, ...) 
1) TODO A é B. Significa que qualquer que seja 
o elemento de A, ele pertence obrigatoriamente a B.  
OU   
Garantias  Possibilidades 
i. ALGUM A É B  i. É POSSÍVEL QUE TODO B SEJA A. 
ii. ALGUM B É A  ii.  PODEM  EXISTIR  B’s  QUE  NÃO  SEJAM 
A’s. 
iii. NENHUM A 
NÃO É B 
iii. É POSSÍVEL QUE TODO A SEJA B E QUE 
TODO B SEJA A. 
2)  
2) ALGUM (pelo menos um, algo, alguns, existem, há, 
...) 
 
3) ALGUM  A  É  B  (pelo  menos  um  A  é  B). 
Significa  que  existe  pelo menos  um  elemento  que  é 
comum a A e B.  
4) Observação  1:  Se  TODO  A  é  B,  pode‐se  afirmar  que 
ALGUM A é B. 
5) Observação 2: O algum representa uma parte comum, 
mas  desconhece‐se  o  tamanho  dessa  parte.  Pode 
haver,  por  exemplo,  apenas  um  elemento  comum.  É 
possível  também  que  todos  os  elementos  sejam 
comuns. Logo, não é possível a garantia da quantidade 
de elementos comuns. 
6)  
OU  OU  
OU   
 
Garantias  Possibilidades 
ii. ALGUM B É A  i. É POSSÍVEL QUE TODO B SEJA A. 
  ii. PODEM EXISTIR B’s QUE NÃO SEJAM 
A’s. 
  iii. É POSSÍVEL QUE TODO A SEJA B E QUE 
TODO B SEJA A. 
  iv. É POSSIVEL QUE TODO A SEJA B. 
  v. É POSSÍVEL QUE EXISTAM A’s QUE NÃO 
SEJAM B’s. 
3) NENHUM (nada, não existe, ninguém, ...) 
 
7) NENHUM  A  É  B.  Significa  que  não  existe 
elemento que pertença simultaneamente a A e B.  
8) Observação:  quando NENHUM A  é B  pode‐se  afirmar 
que TODO A NÃO É B. 
9)  
 
Garantias  Possibilidades 
i. ALGUM A NÃO É B.  (NÃO HÁ) 
ii. TODO A NÃO É B.   
iii. ALGUM B NÁ É A.   
iv. TODO B NÃO É A. 
v. NENHUM B é A. 
 
 
3.3 NEGANDO QUANTIFICADORES 
1) Negação de “Todo”: Quem nega o todo é o ALGUM 
(discordando do verbo). 
Exemplo: Todo ator é charmoso.      
Negação: Algum ator não é charmoso. 
2) Negação de “Nenhum”: Quem nega o nenhum é o 
ALGUM (concordando com o verbo). 
Exemplo: Nenhum ator é charmoso.    
Negação: Algum é charmoso. 
3) Negação  de  “Algum”:  O  algum  pode  ser  negado 
utilizando‐se o todo (e discordando do verbo) ou o 
nenhum (e concordando com o verbo). 
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Exemplo 1: Algum ator é charmoso.      
Negação: Nenhum ator é charmoso.  
Negação: Todo ator não é charmoso. 
 
Exemplo 2: Algum ator não é charmoso.    
Negação: Todo ator é charmoso. 
Negação: Nenhum ator não é charmoso. 
 
3.4 REPRESENTAÇÃO SIMBÓLICA DE QUANTIFICADORES  
1) TODO É (∀) 
 
Proposição 
categórica 
Representação 
simbólica 
Leitura 
Todo A é B  ∀χ(A(x)→B(x)) 
Qualquer que seja x, se ele 
pertence a A, pertence 
necessariamente também a B. 
 
Exemplo: Todo humano é inteligente. Considerando H(x) como “x 
é humano” e I(x) como “x é inteligente”, tem‐se então 
∀χ(H(x)→I(x)). 
2) ALGUM É (∃) 
 
Proposição 
categórica 
Representação 
simbólica 
Leitura 
Algum A é B  ∃χ(A(x)ΛB(x)) 
Existe um elemento x tal que 
x pertence a A e também 
pertence a B. 
 
Exemplo: Algum humano é inteligente. Considerando H(x) como 
“x é humano” e I(x) como “x é inteligente”, tem‐se então ∃χ (H(x) 
Λ I(x)). 
3) NENHUM É (¬∃) 
 
Proposição 
categórica 
Representação 
simbólica 
Leitura 
Nenhum A é 
B 
¬∃χ (A(x)ΛB(x)) ou 
∀χ(A(x) → ¬B(x)) 
Não existe um elemento x 
tal que x pertence a A e 
também pertence a B. 
 
Exemplo: Nenhum humano não é inteligente. Considerando H(x) 
como “x é humano” e I(x) como “x é inteligente”, tem‐se então 
¬∃χ (H(x) Λ I(x)). 
 
MÓDULO II 
RACIOCÍNIO LÓGICO NÃO FORMAL 
 
AULA 1 
 
1. HIPÓTESES 
 
• Regras  do  enunciado:  o  problema  normalmente 
apresenta  informações sobre algumas pessoas sempre 
falarem  a  verdade,  outras  sempre  mentirem  e/ou 
outras às vezes falarem a verdade e às vezes mentirem. 
• Respostas:  informações  dadas  aos  questionamentos 
feitos a essas pessoas. 
• Análise do enunciado: deduções, através de inferências 
lógicas,  sobre  quem  gerou  tal  situação.  Para  tanto, 
partiremos  de  hipóteses,  supondo  que  cada  pessoa 
envolvida  seja  verdadeira  ou  mentirosa,  culpada  ou 
inocente, etc. 
• Modo  de  resolução:  Proceder  com  uma  leitura 
detalhada  do  enunciado  e  identificar  claramente  a 
exceção a ser encontrada.  
 
DICAS DE INÍCIO:  
• Começar pelo que fala sobre o que o outro falou; 
• Perguntas com respostas fixas 
o Você fala a verdade? 
o Você mente? 
• Informações contraditórias/idênticas; 
• Começar pelo que fala sobre si mesmo; 
• Começar  pelo  que  fala  sobre  o  outro  (observar  o 
problema pela perspectiva do elemento excludente do 
conjunto). 
• Análise de possibilidades (resolução mais longa). 
 
Exemplo:  Em  uma  urna  existem  quatro  fichas:  duas  pretas 
idênticas  e  duas  brancas  idênticas.  Renata  e  Fernanda  têm 
comportamentos estranhos quando  carregam as  fichas. Sabe‐se 
que, quando Fernanda carrega a ficha branca, ela fala a verdade, 
mas quando carrega a preta, mente. Já Renata, quando carrega a 
ficha branca mente e quando carrega a preta, fala a verdade. Em 
um  dado momento,  cada  uma  delas  retira  uma  ficha  da  urna. 
Perguntamos  a  cada  uma  delas  se  as  fichas  que  carregam  são 
idênticas. Eis as respostas: 
Fernanda: ‐ Nossas fichas são da mesma cor. 
Renata: ‐ Nossas fichas têm cores diferentes. 
Deste modo, quem mente e qual ficha cada uma carrega? 
 
Resolvendo... 
Pode‐se  proceder  com  a  avaliação  das  possibilidades 
(hipóteses): 
 
 
  H1  H2  H3  H4 
Fernanda: 
cores = 
BRANCA 
V 
BRANCA 
V 
PRETA 
M 
PRETA 
M 
Renata: 
cores # 
BRANCA 
M 
PRETA 
V 
PRETA 
V 
BRANCA 
M 
 
Analisando... 
 
1 ‐ Considerando que as afirmações (“cores =” e “cores 
#”) são mutuamente excludentes, pode‐se concluir que 
as  hipóteses  2  e  4  (H2  e  H4)  estão  erradas,  já  que 
ambas  as  declarações  não  podem,  ao mesmo  tempo, 
afirmar verdades. Tampouco podem, ao mesmo tempo, 
afirmar  mentiras.  Ou  seja,  as  fichas  não  podem  ser 
iguais  e  diferentes  ao  mesmo  tempo  e  não  podem, 
também, nem serem iguais e nem diferentes. 
2  ‐  Restam  as  hipóteses  1  e  3.  Observando  as  duas, 
pode‐se concluir que ou as fichas são, ambas, brancas, 
ou  são,  ambas,  pretas.  De  uma  forma  ou  de  outra, 
serão iguais. Assim, chega‐se à última conclusão: Quem 
fala  que  as  fichas  têm  coresiguais  (Fernanda)  fala  a 
verdade. Portanto, a hipótese H1 é a correta. 
 
Resposta: As fichas são, ambas, brancas. Fernanda fala a verdade 
e Renata mente. 
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AULA 2 
 
2.  CORRELACIONAMENTO 
 
São problemas nos quais são passadas informações de diferentes 
tipos,  como  por  exemplo:  nomes,  carros,  cores,  qualidades, 
profissões,  atitudes,  atividades,  etc.  O  objetivo  do  problema  é 
descobrir o correlacionamento entre as informações dadas.  
 
O método mais comum para a resolução destas questões utiliza 
uma  grade  de  correlação  construída  a  partir  dos  grupos  e 
elementos citados.  
 
Observação:  Estes  problemas  podem  vir  simples  ou mistos. No 
segundo  caso,  tem‐se  regras  diversas  no  enunciado  ou 
sequencias lógicas implícitas. 
 
2.1 PROBLEMAS SIMPLES 
 
São resolvidos apenas com as respectivas grades de resolução: 
 
Ex:  Três homens, Marcos, Pedro  e  Fernando,  têm um Gato, um 
Papagaio e uma Iguana, mas não sabemos quem tem o que. Eles 
são de Manaus, Recife e Natal, mas também não sabemos quem 
mora  aonde.  Com  base  nas  dicas  abaixo,  tente  descobrir  onde 
cada um mora e o seu respectivo bicho de estimação. 
• O natalense tem uma Iguana. 
• Fernando é de Recife. 
• O Papagaio não é de Fernando. 
• Pedro não é de Natal. 
 
Resolução: 
PASSO 1: Separa‐se os grupos do problema. 
‐ Homens (Marcos, Pedro e Fernando); 
‐ Animais de Estimação (Gato, Papagaio, Iguana); 
‐ Cidades (Manaus, Recife e Natal). 
 
 
PASSO  2:  Identifica‐se  o  possível  grupo  principal  que,  para 
facilitar a  resolução da questão, deverá  ficar na primeira coluna 
da tabela. O grupo principal é normalmente identificado partindo 
do princípio que os outros grupos se referem a este  (os animais 
são dos homens – se  relacionam com os homens  ‐ e as cidades 
também). Os outros grupos devem ficar na primeira  linha. Nesta 
questão, o grupo principal é “homens” e os grupos  secundários 
são “animais” e “cidades”. 
 
PASSO  3:  Constrói‐se  a  grade  de  resolução. Na  grade,  o  grupo 
principal fica na primeira coluna com os elementos dispostos em 
linhas e os grupos secundários  ficam nas colunas subseqüentes, 
com os elementos dispostos em colunas. 
 
  ANIMAIS  CIDADES 
 
G
at
o 
Pa
pa
ga
io
 
Ig
ua
na
 
M
an
au
s 
Re
ci
fe
 
N
at
al
  
 
HOMENS 
Marcos             
Pedro             
Fernando             
 
PASSO  4:  Início do preenchimento da  grade de  resolução. Vale 
lembrar  que  a  resolução  das  dicas  pode  não  preencher 
completamente a grade, mas estes problemas são raros. 
Dadas  as  dicas  do  problema,  a  grade  é  preenchida  com  as 
afirmações  que  não  deixam  margens  de  dúvidas.  As  que  não 
estiverem muito  claras  no momento  devem  ser marcadas  para 
que  possam  ser  lidas  posteriormente.  TODAS  DEVERÃO  SER 
CUIDADOSAMENTE LIDAS, INDEPENDENTE DA ORDEM. 
 
A  primeira  dica,  “O  natalense  tem  uma  iguana”,  não  pode  ser 
resolvida  primeiro.  Ainda  não  sabemos  quem  é  o  natalense  e 
ainda não  sabemos de quem é a  iguana. Precisaremos  voltar a 
esta dica para terminar a resolução do problema, portanto vamos 
grifá‐la.   
Segunda dica: Fernando é de Recife. 
Marquemos  na  Tabela  Principal  um  “S”  (sim)  na  célula 
comum a Fernando e Recife. 
 Se Fernando é de Recife, pode‐se concluir que ele não é 
de Manaus e nem de Natal.  
Concluímos  ainda  que,  se  Fernando  é  de  Recife,  nem 
Marcos e nem Pedro o são. Marque essas células com um 
“N” (não) na Tabela Principal. 
Terceira dica: O Papagaio não é de Fernando.  
Marquemos  um  “N”  na  célula  comum  a  Fernando  e 
Papagaio. 
  ANIMAIS  CIDADES 
 
G
at
o 
Pa
pa
ga
io
 
Ig
ua
na
 
M
an
au
s 
Re
ci
fe
 
N
at
al
  
 
HOMENS 
Marcos          N   
Pedro          N   
Fernando    N    N  S  N 
 
Quarta dica: Pedro não é de Natal. 
Marquemos um “N” na célula comum a Pedro e Natal. Só 
sobrou uma cidade para Pedro. Ele é de Manaus.  
Continuando  o  raciocínio,  se  Pedro  é  de  Manaus,  nem 
Fernando e nem Marcos o são.  
Marquemos as negações.  
Sobre Marcos,  portanto,  concluímos  na  Tabela  Principal 
que ele é de Natal. 
 
  ANIMAIS  CIDADES 
 
G
at
o 
Pa
pa
ga
io
 
Ig
ua
na
 
M
an
au
s 
Re
ci
fe
 
N
at
al
  
 
HOMENS 
Marcos        N  N  S 
Pedro        S  N  N 
Fernando    N    N  S  N 
 
De acordo com a dica “a”, a) O natalense tem uma Iguana. 
Se Marcos é o natalense, ele tem uma Iguana.  
E se ele tem uma Iguana, nenhum outro tem Iguana.  
E ele, por sua vez, não tem Gato ou Papagaio.  
Continuemos marcando as negações.  
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Para  Fernando,  portanto,  restou  o  Gato  (pois  que  já 
sabíamos que ele não tinha Papagaio).  
Se Fernando tem um Gato, ninguém mais o tem. 
Finalizando, para Pedro sobrou o Papagaio. 
 
As respostas estão na grade marcadas com “S”, ou seja, Marcos 
tem  uma  iguana  e  é  de Natal,  Pedro  tem  um  papagaio  e  é  de 
Manaus e Fernando tem um gato e é de Recife. 
 
  ANIMAIS  CIDADES 
 
G
at
o 
Pa
pa
ga
io
 
Ig
ua
na
 
M
an
au
s 
Re
ci
fe
 
N
at
al
  
 
HOMENS 
Marcos  N  N  S  N  N  S 
Pedro  N  S  N  S  N  N 
Fernando  S  N  N  N  S  N 
 
2.2 PROBLEMAS MISTOS 
 
Fornecem regras e/ou sequencias lógicas. 
 
Exemplo:  Cinco  irmãos  exercem,  cada  um,  uma  profissão 
diferente.  Luís é paulista,  como o agrônomo, e é mais moço do 
que  o  engenheiro  e  mais  velho  do  que  Oscar.  O  agrônomo,  o 
economista e Mário  residem no mesmo bairro. O economista, o 
matemático  e  Luís  são,  todos,  torcedores  do  Flamengo.  O 
matemático  costuma  ir  ao  cinema  com  Mário  e  Nédio.  O 
economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que Pedro; 
este, por sua vez, é mais moço do que o arquiteto. Logo: 
 
a)  Mário  é  engenheiro,  o  matemático  é  mais  velho  do  que  o 
agrônomo, o economista é mais novo do que Luís; 
b)  Oscar  é  engenheiro,  o  matemático  é  mais  velho  do  que  o 
agrônomo, e Luís é mais velho do que o matemático; 
c)  Pedro  é  matemático,  o  arquiteto  é  mais  velho  do  que  o 
engenheiro e Oscar é mais velho do que o agrônomo; 
d) Luís é arquiteto, o engenheiro é mais velho do que o agrônomo 
e Pedro é mais velho do que o matemático; 
e)  Nédio  é  engenheiro,  o  arquiteto  é  mais  velho  do  que  o 
matemático e Mário é mais velho do que o economista. 
 
PASSO 1: Identificar os grupos. Só serão grupos os que possuírem 
o mesmo número de elementos. Portanto, nesta questão, tem‐se 
CINCO pessoas e CINCO profissões. Logo: 
 
  PROFISSÕES 
 
A
gr
ôn
om
o 
Ec
on
om
is
ta
 
M
at
em
át
ic
o 
En
ge
nh
ei
ro
 
A
rq
ui
te
to
 
 
 
 
HOMENS 
Luís           
Mário           
Nédio           
Oscar           
Pedro           
PASSO 2: Resolução das dicas. Ao reler as dicas, deve‐se observar 
que  apesar  de  existir  uma  sequencia  de  idades,  não  existe, 
entretanto,  a  especificação  das mesmas.  Só  está  colocado  que 
uns são mais velhos do que outros e vice‐versa. Portanto, tem‐se 
um  problema misto  com  sequencia.  Logo,  precisamos  da  reta 
sequencial. 
         
Mais 
moços 
      Maisvelhos 
         
 
 
Dica 1: Luís é paulista, como o agrônomo, e é mais moço do que o 
engenheiro e mais velho do que Oscar. Logo... 
... Luís não é agrônomo (pois estão sendo comparados); 
... Luís não é engenheiro (pois é mais moço que ele); 
... Oscar não é engenheiro (pois é mais moço que ele); 
 
  PROFISSÕES 
 
A
gr
ôn
om
o 
Ec
on
om
is
ta
 
M
at
em
át
ic
o 
En
ge
nh
ei
ro
 
A
rq
ui
te
to
 
 
 
 
HOMENS 
Luís  N      N   
Mário           
Nédio           
Oscar        N   
Pedro           
         
Mais 
moços 
OSCAR  LUIS  ENG.  Mais 
velhos      
         
Dica 2:  ‐ O agrônomo, o economista e Mário residem no mesmo 
bairro. Logo... 
... Mário não é agrônomo (pois estão sendo comparados); 
... Mário não é economista (idem anterior); 
 
  PROFISSÕES 
 
A
gr
ôn
om
o 
Ec
on
om
is
ta
 
M
at
em
át
ic
o 
En
ge
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ei
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A
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te
to
 
 
 
 
HOMENS 
Luís  N      N   
Mário  N  N       
Nédio           
Oscar        N   
Pedro           
 
Dica  3:  ‐  O  economista,  o  matemático  e  Luís  são,  todos, 
torcedores do Flamengo. Logo... 
... Luís não é economista (pois estão sendo comparados); 
... Luís não é matemático (idem anterior); 
...  Logo,  Luís  só  pode  ser  Arquiteto  e,  assim,  ninguém  mais  é 
arquiteto. 
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  PROFISSÕES 
 
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HOMENS 
Luís  N  N  N  N  S 
Mário  N  N      N 
Nédio          N 
Oscar        N  N 
Pedro          N 
 
Dica 4: ‐ O matemático costuma ir ao cinema com Mário e Nédio. 
Logo... 
... Mário não é matemático (pois estão sendo comparados); 
... Nédio não é matemático (idem anterior); 
... Logo, Mário só pode ser Engenheiro e ninguém mais o é. 
 
  PROFISSÕES 
 
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om
o 
Ec
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om
is
ta
 
M
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em
át
ic
o 
En
ge
nh
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A
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ui
te
to
 
 
 
 
HOMENS 
Luís  N  N  N  N  S 
Mário  N  N  N  S  N 
Nédio      N  N  N 
Oscar        N  N 
Pedro        N  N 
 
Dica 5: O economista é mais velho do que Nédio e mais moço do 
que Pedro; este, por  sua  vez, é mais moço do que o arquiteto.. 
Logo...  
... Nédio não é Economista (pois é mais moço que ele); 
... Pedro não é Economista (pois e mais velho que ele); 
 
 
... Pedro não é arquiteto (pois é mais moço que ele). 
... Nédio só pode ser Agrônomo, e ninguém mais o é. 
... Pedro só pode ser Matemático, e ninguém mais o é. 
... Oscar só pode ser Economista. 
 
  PROFISSÕES 
 
A
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ôn
om
o 
Ec
on
om
is
ta
 
M
at
em
át
ic
o 
En
ge
nh
ei
ro
 
A
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te
to
 
 
 
 
HOMENS 
Luís  N  N  N  N  S 
Mário  N  N  N  S  N 
Nédio  S  N  N  N  N 
Oscar  N  S  N  N  N 
Pedro  N  N  S  N  N 
A grade está completa. Mas ainda não foi descoberta a sequencia 
completa das idades. 
         
Mais 
moços 
OSCAR  LUIS  ENGENHE  Mais 
velhos      
 
NEDIO 
 
ECONOMISTA 
 
PEDRO 
 
ARQUIT 
 
     
Logo,  como  sabemos  que  Luís  é  o  arquiteto,  que  o  engenheiro 
(Mário)  é  mais  velho  do  que  ele  e  que  Oscar  é  o  economista, 
ficando entre Pedro e Nédio, a sequencia termina assim: 
 
NÉDIO  OSCAR  PEDRO  LUÍS  MÁRIO 
AGRÔN.  ECON.  MATEM.  ARQUIT.  ENG. 
MAIS 
MOÇO 
  MAIS 
VELHO 
 
RESPOSTA: A) MÁRIO É ENGENHEIRO, O MATEMÁTICO É MAIS 
VELHO DO QUE O AGRÔNOMO, O ECONOMISTA É MAIS NOVO 
DO QUE LUÍS. 
 
RESOLUÇÕES CORRELACIONAMENTO (Módulo II – Aula 2) 
 
1.  
 ROBERTO FÁBIO GUSTAVO VERM VERDE AZUL CIGARROS MOTOS PÃES 
ESQ N S N N N S S N N 
CENTRAL N N S N S N N N S 
DIR S N N S N N N S N 
FÁBIO Ñ PÃES, GUST Ñ AZUL, GUST Ñ CIGARROS, FÁBIO Ñ VERM 
 
 
2.  
 ALPINISMO JUDÔ CICLISMO BRA ESP PORT 
SARA N N S N N S 
MARA S N N S N N 
LARA N S N N S N 
 
 
3.  
 50, 60, 80, 100, 150, AJ PROF ADV DENT MED 25 28 30 32 33 
Ame N N S N N N N N S N S N N N N 
Bas N N N S N N N S N N N S N N N 
Car S N N N N S N N N N N N S N N 
Dan N S N N N N S N N N N N N S N 
Eli N N N N S N N N N S N N N N S 
AJ = 30 = 50,00 ADV < 150,00 32 – PROF/MÉD ELI > 60,00 25 – DENT 
 
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S 
4.  
 NORTE SUL LESTE FINANC COBRA OUVID 
CLOVIS N S N N S N 
RUI N N S S N N 
RAIMUNDO S N N N N S 
LESTE Ñ OUVIDORIA 
 
 5. 6. 
 DESENV REDES S.BASICO WIND MAC LINUX 
JULIO N N S S N N 
CARLOS S N N N S N 
MARIANA N S N N N S 
DESENV = MAC 
 
7.  
  ATIBAIA  BATATAIS  CATAND  DRACENA  EMBU  ADV  BIB  CONT  DENT  ENG 
ALMIR  N  N  N  S  N  N  S  N  N  N 
BRANCO  S  N  N  N  N  N  N  N  N  S 
CAIO  N  S  N  N  N  N  N  N  S  N 
DANILO  N  N  N  N  S  N  N  S  N  N 
EDÍLSON  N  N  S  N  N  S  N  N  N  N 
OCUPAÇÃO # CIDADE 
 
8. 9. 10. 
  10  20  30  Dep.  Fat.  Hipot. 
Antônio  N  N  S  N  N  S 
Benedito  N  S  N  N  S  N 
Camilo  S  N  N  S  N  N 
11. 
  VOCAL  GUIT  TEC  BAT  25  26  28  23  ÓCULOS  GRAV  GOLA  BOTAS 
CÉLIA  S  N  N  N  N  N  N  S  N  N  N  S 
DÉCIO  N  S  N  N  N  S  N  N  S  N  N  N 
ROBERTO  N  N  S  N  N  N  S  N  N  N  S  N 
BENÍCIO  N  N  N  S  S  N  N  N  N  S  N  N 
GRAVATA = 25  GUIT = 26  TEC = GOLA 
 
12. 
 ALBERTO GUSTAVO CARLOS TIAGO 1) CELINA x ALBERTO 
2) ANA X MARIDO JULIA 
3) ESPOSA ALB X MARIDO ANA 
4) CELINA X CARLOS 
5) ESPOSA GUST X ALBERTO 
CELINA N N N S 
ANA N S N N 
JÚLIA N N S N 
HELENA S N N N 
 
13. 14. 15. 16. 17. 
 
  ADV  ARQ  ENG  MED  BRA  CAM  GOI  VIT  VIO  XAD  PINT  ART 
ANDRÉ  S  N  N  N  N  N  S  N  N  N  N  S 
BRUNO  N  N  N  S  N  S  N  N  S  N  N  N 
CARLOS  N  N  S  N  N  N  N  S  N  S  N  N 
DAVI  N  S  N  N  S  N  N  N  N  N  S  N 
 
18. 
 BAT GUIT VOCAL CIVIL ENG ELET 
ANTONIO N N S S N N 
JOÃO N S N N N S 
PEDRO S N N N S N 
 
 
19. 20.  
 
 RIC ROB RON 5 6 7 
ANA N N S N N S 
BERTA N S N N S N 
CARLA S N N S N N